ECUACIONES DIFERENCIALES

Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden

1 Trayectorias ortogonales

Sea Γ la familia de curvas definida por la ecuacion diferencial F (x, y, y′) = 0, para(x, y) en una region abierta D del plano XY . La familia Γ′, ortogonal a Γ, esta

definida por la ecuacion diferencial F

(

x, y,−1

y′

)

= 0.

Si la ecuacion diferencial de la familia Γ esta dada en coordenadas polares, digamos

F

(

θ, r,dr

dθ

)

= 0, entonces la ecuacion diferencial de la familia ortogonal, Γ′, esta

dada por la ecuacion F (θ, r,−r2 dθ

dr) = 0.

Los pasos para encontrar las trayectorias ortogonales de una familia dada son lossiguientes:

Paso 1. Identificar la familia Γ.

Paso 2. Encontrar la ecuacion diferencial que define Γ.

Paso 3. Escribir la ecuacion diferencial de Γ′.

Paso 4. Resolver la nueva ecuacion diferencial.

Ejercicios. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias. Esbozar lasfamilias y sus trayectorias.

1. y = Cex ( R: y2 + 2x = C).

2. y2 = 4C(x + C) (R: y2 = 4C(x + C)).

3. r = C(1 − cos θ) (R: r = C(1 + cos θ)).

4. y = cos(x + C) (R: y = − sin(x + C)).

5. Γ es la familia de todas las rectas tangentes a la parabola y = x2. (R: x =Ce−2y).

6. Γ es la familia de curvas que satisface que la proyeccion sobre el eje X de laparte normal entre (x, y) y el eje X tiene longitud 1. (R: y2 + 2x = C).

1

2 Proporcionalidad directa

Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por X(t)es (directamente) proporcional a la cantidad presente en un instante t, entonces laecuacion diferencial que modela este fenomeno se puede expresar como:

dX

dt= k X

donde k es la constante de proporcionalidad. Si k es positivo, entonces X crece enel tiempo; si k es negativo, X esta disminuyendo y si k = 0, X es constante.

Como se trata de una ecuacion en variables separables, su solucion es:

X(t) = X0 ek t, donde X0 = X(0)

2.1 Crecimiento y decaimiento

Uno de los primeros intentos por modelar matematicamente el crecimiento de-mografico humano lo hizo Thomas Malthus, economista ingles, en 1798. La ideabasica del modelo es la hipotesis de que la tasa de crecimiento de la poblacion deun paıs crece proporcionalmente a la poblacion total en un instante dado. A pesarde que este modelo es demasiado simple y no toma en cuenta factores como la inmi-gracion y la emigracion, predijo con mucha exactitud la poblacion de Estados Unidosentre 1790 y 1860. Esta ecuacion se utiliza, por ejemplo, para modelar poblacionesde bacterias durante perıodos cortos de tiempo.

Ejemplos.

1. Un cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente habıa tres mil bac-terias, ¿cuantas bacterias habra despues de un dıa? (R: aproximadamente 50 milmillones).

2. Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Despues de una hora, la

cantidad medida de bacterias es3

2N0. Si la razon de reproduccion es proporcional

a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario para triplicar lacantidad inicial de microorganismos. (Note que el tiempo requerido es independientede la cantidad inicial de bacterias). (R: aproximadamente 2 horas con 43 minutos).

2.2 Desintegracion radiactiva

El nucleo de un atomo esta formado por combinaciones de protones y neutrones.Muchas veces estas combinaciones son inestables y los atomos se desintegran o seconvierten en atomos de otras sustancias. Se dice que estos nucleos son radiactivos.Para modelar este fenomeno de desintegracion radiactiva, se supone que la tasa dedesintegracion de los nucleos (decaimiento) es proporcional a la cantidad presentede nucleos.

2

En fısica, el perıodo medio es una medida de la estabilidad de una sustancia radiac-tiva. Esto es, el tiempo que transcurre para que se desintegre o transmute la mitadde los atomos en una muestra inicial. A mayor semivida, mayor estabilidad. Porejemplo, la semivida del radio Ra-226, muy radiactivo, es unos 1700 anos. En eselapso, la mitad de una determinada cantidad de Ra-226 se transmuta y forma radonRn-222.

Ejercicios.

1. Un reactor de cultivo convierte Uranio 238, relativamente estable, en Plutonio239, un isotopo radiactivo. Al cabo de 15 anos se ha desintegrado el 0, 043 % dela cantidad inicial de una muestra de plutonio. Calcule la semivida de ese isotopo,suponiendo que el ritmo de desintegracion es proporcional a la cantidad presente.(R: aproximadamente 24 mil anos).

2. Si la semivida de una sustancia radiactiva es de 20 dıas. ¿Cuanto tardara endesintegrarse el 90% de ella? (R: aproximadamente 66 dıas y medio.)

2.3 Datacion por radiocarbono

Alrededor de 1950, el quımico Willard Libby invento un metodo que emplea el car-bono radiactivo para determinar las edades aproximadas de los fosiles. La teorıa dela datacion con radiocarbono se basa en que el isotopo carbono 14 se produce en laatmosfera por accion de la radiacion cosmica sobre el nitrogeno. Suponiendo que larazon de la cantidad de C-14 al carbono ordinario es constante, por consecuencia lacantidad proporcional del isotopo presente en todos los organismos vivos sera igualque la de la atmosfera. Cuando un organismo muere, la absorcion del C-14, sea porrespiracion o alimentacion, cesa. Ası, si se compara la cantidad proporcional de C-14presente, por ejemplo en un fosil, con la relacion constante que suponemos existeen la atmosfera, es posible obtener una estimacion razonable de su antiguedad. Elmetodo se basa en que se sabe que el perıodo medio del C-14 es, aproximadamente,5.600 anos. Libby obtuvo el Premio Nobel de Quımica por este trabajo en 1960.Su metodo se uso, por ejemplo, para fechar los muebles de madera en las tumbasegipcias y las envolturas de lino en los rollos del Mar Muerto. Pese a algunas difi-cultades tecnicas, el metodo se considero capaz de dar una precision razonable enperıodos de tiempo inferiores a los 40 mil anos. Actualmente se sabe que la razonde C-14 al carbono ordinario no es constante, y el metodo ha debido ser ajustado.Para nuestros efectos, seguiremos suponiendo razon constante.

Ejercicios.

1. Al analizar un hueso fosilizado se encontro que contenıa la centesima parte dela cantidad original de C-14. Determinar la edad del fosil. (R: aproximadamente37.200 anos).

2. El radiocarbono de la madera viva se desintegra a un ritmo de 15,30 desintegra-ciones por minuto (dpm) por gramos de carbono. Estimar la edad de un fragmento

3

de pata de silla de la tumba de Tutankhamon descubierto por los arqueologos yanalizado por radiactividad en 1950 si en ese momento su ritmo era 10,14 dpm. (R:aproximadamente 3.378 anos).

2.4 Enfriamiento (y calentamiento)

Segun la ley empırica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfrıaun objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio quelo rodea, que es la temperatura ambiente. Formule el modelo y resuelva la ecuaciondiferencial resultante.

Ejercicios.

1. Si una olla de agua hirviendo (100˚C) se retira del fuego y se deja enfriara una temperatura ambiente de 20˚C y dos minutos despues la temperaturadel agua en la olla es e 80˚C, ¿cual sera la temperatura del agua 5 minutosdespues de retirarla del fuego? ¿Cuanto demora el agua en estar a temperaturaambiente? (R: aproximadamente 59˚C; aproximadamente 36 minutos).

2. Un termometro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, dondela temperatura del aire es 5˚F. Despues de un minuto el termometro indica55˚F, y despues de 5, marca 30˚F. ¿Cual es la temperatura del recinto inte-rior? (R: aproximadamente 64,5˚F).

3. Una pequena barra de metal, cuya temperatura es de 20˚C, se deja caer enun recipiente con agua hirviendo. Si se sabe que la temperatura aumento 2˚Cen un segundo.

a) Calcule el tiempo que dicha barra demora en alcanzar los 90˚C.

b)¿Cuanto demorara la barra en alcanzar los 98˚C ?

2.5 Interes compuesto

El interes que gana una cuenta de ahorros habitualmente se capitaliza (o compone)a intervalos regulares de tiempo. Sin embargo el interes podrıa componerse contin-uamente.

Sea S(t) la cantidad de dinero acumulada al cabo de t anos con una tasa r de interesanual, compuesto continuamente. Si S0 es el capital inicial, entonces, si el interesse compone anualmente, S(t) = S0(1 + r)t (¡verifıquelo!). Ahora, si el interes secompone semestralmente, S(t) = S0(1 + 1

2r)2t, y ası, si ese interes se compone n

veces al ano, S(t) = S0(1 + 1nr)nt. Si n se hace crecer de modo que el interes se

compone con frecuencia cada vez mayor, tendremos el caso lımite en que el interesse compone continuamente. Demuestre que entonces S(t) = S0e

rt, es decir S essolucion del P.V.I. S ′(t) = rS(t), S(0) = S0.

Ejercicios.

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1. Si se depositan $5.000 en una cuenta de ahorro que rinde el 534% de interes

anual compuesto continuamente, calcular la cantidad reunida al cabo de 5anos. ¿En cuanto tiempo se habra duplicado el capital? (R: aproximadamente$6.700; aproximadamente en 12 anos).

2. Suponga que una suma de dinero esta colocada a un cierto interes que seacumula continuamente. Si la cantidad original es S0, ¿cuando se doblara elcapital si la tasa de interes anual es 3%?, 4%?, 5%?

3 Proporcionalidad inversa

Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por X(t)es inversamente proporcional a la cantidad presente en un instante t, entonces laecuacion diferencial que modela este fenomeno se puede expresar como:

dX

dt=

k

X

donde k es la constante de proporcionalidad.

Como se trata de una ecuacion en variables separables, su solucion es:

X2(t) = 2k t + X20 , donde X0 = X(0)

Ejercicios.

1. Suponga que la poblacion de peces en un lago es atacada por una enfermedad,con el resultado que los peces cesan de reproducirse y el ritmo de disminucionde la poblacion es de ahı en adelante inversamente proporcional al tamano de lapoblacion. Si originalmente habıa 10000 peces en el lago y 4 semanas despues queda-ban 8000, ¿cuanto tiempo tardaran en morir todos los peces del lago? ¿Y si el ritmode disminucion es directamente proporcional? ( R: aproximadamente 11 semanas;aproximadamente 165 semanas).

2. Un escalador de montanas sale de su campamento base a las 6 de la manana. Amedida que sube, la fatiga y la falta de oxıgeno se hacen sentir de manera que larapidez con la que aumenta su elevacion es inversamente proporcional a la elevacion.A mediodıa esta a una altura de 19 mil pies y a las 2 de la tarde ha llegado a lacima de la montana que esta a 20 mil pies. ¿A que altura estaba el campamentobase? (R: aproximadamente 15.600 pies de altura).

4 Proporcionalidad conjunta

Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por X(t)es conjuntamente proporcional a la cantidad presente en un instante t y a ciertacantidad A − X(t), entonces la ecuacion diferencial que modela este fenomeno sepuede expresar como:

dX

dt= k X(A − X)

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donde k es la constante de proporcionalidad.

Como se trata de una ecuacion en variables separables, su solucion es:

X

A − X= CeAk t, donde C =

X0

A − X0

Ejercicios.

1. Suponga que en cierta comunidad de cien mil habitantes, la cantidad de personasbajo la influencia de determinado anuncio es conjuntamente proporcional al numerode personas que ya vio el anuncio y al numero de personas que aun no lo ha visto.Si inicialmente 300 personas vieron el anuncio y dos dıas despues ya lo habıan visto900, ¿cuantas personas habran visto el anuncio despues de diez dıas? ¿En cuantotiempo estima que el anuncio habra llegado a toda la poblacion? (R: 42.975 personasaproximadamente; 31 dıas).

2. Suponga que un estudiante portador de un virus regresa a un campus univer-sitario aislado, en el cual hay 1000 estudiantes. Si la rapidez con que el virus sepropaga es proporcional al producto del nmero de estudiantes contagiados por losno contagiados y se observa que a los 4 dıas hay 50 contagiados. Determine elnumero de estudiantes contagiados a los 6 dıas.

5 Analisis de compartimientos

Un sistema de un compartimiento esta constituido por una cierta cantidad X(t)de material en el compartimiento, y dos funciones E(t) y S(t) que representanrespectivamente el ritmo de entrada y el ritmo de salida de material al sistema.

E(t)−→ X(t)

S(t)−→

La ecuacion que modela este fenomeno se puede expresar como:

dX

dt= E − S

El tipo de ecuacion diferencial que resulta depende en general de las funciones Ey S. En el caso de mezclas, por ejemplo, E(t) corresponde a la cantidad total desustancia que ingresa al sistema, ası, si entra agua pura, E(t) = 0. Por otro lado,el ritmo de salida S(t) es la cantidad de litros que sale del sistema por unidad detiempo por la concentracion de la sustancia X en cada instante, vale decir X divi-dido por el volumen total, V (t).

Obsevacion. Si la cantidad de litros que entra al sistema es igual a la cantidadque sale, el volumen es constante. Si la cantidad de litros que entra al sistemaes distinta a la cantidad que sale, el volumen total esta variando y se expresa porV (t) = V0+(a−b) t, donde V0 representa el volumen inicial , a representa la cantidad

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de litros que entra al sistema y b, la cantidad de litros que sale de el.

Ejercicios. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 gramosde sal. Al tanque entran 4 litros por minuto de solucion con un gramo de sal porlitro. La solucion, bien mezclada, sale del tanque con la misma rapidez.

1. Calcule la cantidad de gramos de sal en el tanque en cualquier instante t.

2. Calcule la concentracion de sal en el tanque despues de cinco minutos.

3. Resuelva el problema 1), pero suponiendo que entra agua pura al tanque.

4. Resuelva el problema 1) suponiendo que la solucion sale a un ritmo de 10 litrospor minuto.

6 Otras aplicaciones

6.1 Caıda libre

Segun la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza total que actua sobre uncuerpo es igual al producto de su masa por su aceleracion. Si un cuerpo de masa mcae libremente unicamente bajo el influjo de la gravedad, entonces el peso (fuerza)del cuerpo es mg donde g es la aceleracion de gravedad, que puede considerarseconstante en la superficie terrestre y aproximadamente igual a 980 cm/seg2. Seah(t) la altura del cuerpo. Entonces la aceleracion hacia arriba del cuerpo es h′′(t) ymh′′ = −mg ( signo “menos” pues la gravedad atrae el cuerpo hacia abajo).

Ejercicio. Se deja caer una pelota desde el tejado de un edificio de 44, 1 mts. dealtura. ¿Cuanto tiempo demorara la pelota en caer al suelo? (R: 3 segundos).

6.2 Caıda retardada

Si ademas suponemos que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional alavelocidad del cuerpo que cae, la ecuacion diferencial del movimiento es:

h′′(t) = −g − Kh′(t)

donde K > 0, es decir, la resistencia del aire produce una desaceleracion.Ejercicio. Desde la superficie terrestre se lanza hacia arriba una piedra de masam con velocidad inicial v0. Si la resistencia del aire se supone proporcional a lavelocidad, con constante de proporcionalidad k, y la unica fuerza que actua ademases una fuerza gravitacional constante, probar que la maxima altura alcanzada es:

mv0

k−

m2g

k2ln(1 +

kv0

mg)

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6.3 Circuitos en serie

Un circuito en serie simple contiene un inductor, un resistor y y un capacitor. En uncircuito con el interruptor cerrado, la corriente se representa por i(t) y la carga en elcapacitor por q(t). Las letras L, C y R son, en general, constantes y se denominaninductancia, capacitancia y resistencia, respectivamente. Segun la segunda ley deKirkhoff, el voltaje E(t) a traves de un circuito cerrado debe ser igual a las caıdas devoltaje en el circuito. La caıda de voltaje a traves de un inductor es Li′(t), a travesde un capacitor es C−1q(t) y a traves de un resistor, Ri(t). Ademas, la corriente yla carga en el capacitor estan relacionadas mediante la formula q′(t) = i(t).

Ası, tenemos que E(t) = Li′(t) + C−1q(t) + Ri(t) = Lq′′(t) + Rq′(t) + C−1q(t).

Cuando el circuito contiene solo un inductor y un resistor, E(t) = Li′(t) + Ri(t).Por otra parte, si el circuito contiene solo un resistor y un condensador, E(t) =Rq(t) + C−1q(t).

Ejercicios.

1. Una inductancia de 2henries(h) y una resistencia de 10 ohms(Ω) se conectanen serie con una fem de 100 volts (V ). Si la corriente es 0 inicialmente, ¿cual es lacorriente despues de 0, 1 segundos? R: aproximadamente 3, 93 ampere.

2. Si se conectan en serie una resistencia de 2000 Ω y una capacitancia de 5 ×10−6 farads (f) con una fem de 100V , ¿cual es la corriente despues de 0, 1 s siinicialmente es de 0, 001 ampere? R:aproximadamente 4, 54 × 10−7ampere.

6.4 Ecuacion de la tractriz

Un esquiador acuatico P localizado en el punto (a, 0) es tirado por un bote de motorQ localizado en el origen y que viaja hacia arriba a lo largo del eje Y . Hallar latrayectoria del esquiador si este se dirige en todo momento hacia el bote. Estecamino se llama tractriz.Supongamos que el esquiador se encuentra en el punto P (x, y). Entonces la rectaPQ es tangente a la curva descrita por P . Luego, como la distancia PQ es a, laecuacion diferencial que modela la trayectoria es

dy

dx= −

√a2 − x2

x

De aquı, y = a ln

(

a +√

a2 − x2

x

)

−√

a2 − x2 + C.

Puesto que y = 0 cuando x = a, tenemos que C = 0 y entonces la ecuacion de latractriz es:

y = a ln

(

a +√

a2 − x2

x

)

−√

a2 − x2

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