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PROBLEMA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN

Para calcular el área dentro de la curva x2 + y2 = R2 se utiliza la

siguiente formula:

[ ]

( )

( ) ( )

2

22

222

222

22222

222222

22

22

22

220

2220

22

22222

2222

R

RRRR

R

Rarcsen

RRR

R

R

Rarcsen

RRR

R

R

yarcsen

RyR

ydyyR

dyyRyRdyxdydx

dxdydAArea

R

R

R

R

R

R

R

R

yR

yR

R

R

yR

yR

AA

π

ππ

=

���

�

���

�

��

�

�

���

�

�−+−

��

�

�

���

�

�+⋅=

���

�

���

�

��

�

�

� −+−−

−−�

�

�

�

�+−⋅=

���

�

���

�+−⋅=−=

��

���

���

�� −−−−==

��

�

�

�=

==

−−

−−

−

−−−

−

−−

Dicha área también se puede integrar utilizando el teorema de Green, calculando los valores de dQ/dx y

dP/dy para obtener los valores de Q y P

0

01

1

==

=∂

∂−=

∂

∂

=∂

∂−

∂

∂∴��

�

�

�

∂

∂−

∂

∂=

PxQ

y

P

x

Q

y

P

x

QdA

y

P

x

Qdxdy

DA

Haciendo los siguientes cambios: =+CC

xdyQdyPdx

Hay que parametrizar la ecuación, por lo tanto:

x = R cos t dx = - R sen t dt y = R sen t dy = R cos t dt

Para 0 < t < 2π, queda la siguiente formula:

( ) ( )

π

πππ

ππ

2

2

2

0

2

2

0

22

2

0

04

10

2

14

4

12

2

12

4

1

2

1

R

sensenRtsentR

dttcosRdttcosRtcosRxdyC

=

��

���

���

�

�+−�

�

�

�+=��

���

�+=

⋅=⋅⋅⋅⋅=

x

-R

A

-R

y

R

x2 + y

2 = R

2

x

-R

-R

y

R

x = R cos t

y = R sen t

t

- 2 -

TEOREMA DE GREEN

En fenómenos de transporte se ocupa la ecuación 1.1 para expresar la rapidez del flujo de salida (V)

( ) dvdsVvS

⋅∇=⋅= VV ρρ Ec.1.1 Donde V es el vector de velocidad

Dicha ecuación ha empleado el teorema de Green para convertir una integral de superficie a una

integral de volumen. Para entender el teorema se analizará el caso de dos dimensiones:

Tesis del Teorema de Green

���

�

�

∂

∂−

∂

∂=+

DC

dAy

P

x

QQdyPdx Ec. 1.2

Relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C.

DEMOSTRACIÓN PARA UNA REGIÓN SIMPLE

Procedimiento: Demostrar primero la ec.1.3, luego la ec.1.4 para después sumar y llegar a la ec.1.2.

∂

∂−=

DC

dAy

PPdx Ec. 1.3 ∂

∂=

DC

dAx

QQdy Ec. 1.4

• Demostración de la ecuación 1.3:

Sea C la curva cerrada que determina la frontera de la región

D. Al proyectar la región D sobre el eje X, se forman las curvas C1, descrita por la función y1(x); y la curva C2 descrita por la función y2(x). (Fig 1.1)

C1 está definida por: { ( ) bxa;xy ≤≤1}

C2 está definida por: { ( ) bxa;xy ≤≤2}

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( )

−=−−=

−−=

−==

��

�

�

�

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

CCC

b

a

a

b

b

a

b

a

xyxy

b

a

xy

xy

b

a

xy

xyD

PdxPdxPdx

dxxy,xPdxxy,xP

dxxy,xPxy,xPdxy,xP

dxdyy

y,xPdydx

y

y,xPdA

y

P

12

2

1

2

1

2

1

12

12

Por lo tanto: −=∂

∂

CD

PdxdAy

P o escrito de otra forma: ∂

∂−=

DC

dAy

PPdx

x

y

a b

D

y1(x)

y2(x)

C1

C2

Figura 1.1

- 3 -

• Demostración de la ecuación 1.4:

Ahora, al proyectar la región D sobre el eje Y se forman las curvas C3, descrita por la función x1(y); y la curva C4 descrita por la función x2(y) (Fig 1.2).

C3 está definida por: { ( ) dyc;yx ≤≤1}

C4 está definida por: { ( ) dyc;yx ≤≤2}

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( )

=+=

+=

−==

��

�

�

�

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

CCC

c

d

d

c

d

c

d

c

yxyx

d

c

yx

yx

d

c

yx

yxD

QdyQdyQdy

dyy,yxQdyy,yxQ

dyy,yxQy,yxQdyy,xQ

dydxx

y,xQdxdy

x

y,xQdA

x

Q

34

2

1

2

1

2

1

12

12

Por lo tanto: ∂

∂=

DC

dAx

QQdy

Al sumar la ecuación 1.3 y 1.4 se obtiene:

���

�

�

∂

∂−

∂

∂=+

∂

∂=

∂

∂−=

DC

DC

DC

dAy

P

x

QQdyPdx

dAx

QQdy

dAy

PPdx

El teorema de Green explica la relación entre una integral

de línea alrededor de una curva cerrada simple C (Fig 1.3) y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial más del teorema general de Stokes.

En general este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dado un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, se puede elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o integrar la diferencia de sus derivadas parciales sobre el recinto que delimita dicha curva.

En fenómenos de transporte permite la posibilidad de

realizar el cambio de una integral de volumen a una integral de superficie (o viceversa), según nos convenga, siempre y cuando se cumplan las condiciones necesarias facilitando muchos de nuestros cálculos.

x

y

c

D x1(y)

x2(y)

C4

C3

d

Figura 1.2

Curva simple no cerrada

Curva simple cerrada

Curva no simple cerrada

Curva no simple no cerrada

Figura 1.3