“UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO”

“CIENCIAS AGROPECUARIAS”

“APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI”

CURSO: LABORATORIO DE INGENIERÍA DE ALIMENTOS I

PROFESOR: M.SC. GUILLERMO LINARES

ALUMNA: MARTÍNEZ SALDAÑA YURICO ELIZABETH

CICLO: VI

HORARIO: JUEVES 3-7 pm

TRUJILLO-PERÚ-2011

“INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL”

INTRODUCCIÓN

El principio de Bernoulli, expresa que en un fluido perfecto (sin viscosidad ni rozamiento) en

régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece

constante a lo largo de su recorrido.

Éste principio va a describir el comportamiento de un fluido (incluido el aire) moviéndose a lo

largo de una línea de corriente. Se expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento)

en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece

constante a lo largo de su recorrido.

El teorema de Bernoulli es una de las leyes básicas de la hidrodinámica, pero cuya

aplicaciones uno de los pilares de la hidrodinámica. Es por eso que mediante la aplicación del

principio de Bernoulli nos ayudaran al mejor conocimiento de la ecuación fundamental de la

hidrodinámica.

I. OBJETIVOS

Reconocer las aplicaciones del Principio de Bernoulli en la mecánica de fluidos.

Determinar el coeficiente de corrección de un medidor de caudal tipo orificio.

Relacionar la variación de la velocidad y las alturas en un experimento de desfogue de

líquido tipo Torricelli.

Determinar la presión de vacío en la altura máxima de una instalación tipo Sifón.

II. MATERIALES

Tuberías

Agua de pozo

Centímetro

Cronómetro

Baldes

Manguerita

III. MARCO TEÓRICO

La ecuación de Bernoulli es uno de los pilares fundamentales de la hidrodinámica, son

innumerables los problemas prácticos que se resuelven mediante su ecuación:

Con ella se determina la altura de suspensión a que se debe instalarse una bomba.

Ella es necesaria para el cálculo de la altura efectiva o altura útil que se necesita en una

bomba

Con ella se estudia el problema de la cavitación.

Con ella se estudia el tubo de aspiración de una turbina.

Ella interviene en el cálculo de las tuberías de agua, oleoductos, tuberías de

refrigeración y aire acondicionado, tuberías forzadas en centrales hidroeléctricas, etc.

El principio de Bernoulli es una sencilla relación matemática que relaciona los cambios en la

energía cinética, la energía potencial y la presión en un fluido en el que no hay disipación. El

principio de Bernoulli para un fluido incompresible (el agua e incluso el aire a baja velocidad se

asemejan mucho al modelo de fluido incompresible) y en ausencia de campos de fuerzas (sin

gravedad) y en condiciones estacionarias (la distribución de velocidades del fluido por todo el

espacio no cambia con el paso del tiempo) tiene el siguiente aspecto:

p ≡ presión; ρ ≡ densidad; v ≡ rapidez.

Esta ecuacioncita algebraica y diminuta tiene un tremendo poder simplificador. Si el fluido

sigue siendo incompresible y estando en condiciones estacionarias pero ahora hay un

campo de fuerzas potenciales, el principio de Bernoulli sigue adoptando una forma muy

sencilla:

U es la energía potencial por unidad de masa. Si no nos movemos mucho, el campo

gravitatorio tiene una aceleración de magnitud casi constante g y apunta hacia abajo; su

energía potencial por unidad de volumen es U = g z, donde z es la coordenada según la

dirección vertical positiva hacia arriba.

Bernoulli dedujo el principio que lleva su nombre sólo para líquidos incompresibles, pero es

posible generalizarlo para fluidos compresibles. La forma de la ecuación resultante depende del

modelo de comportamiento del fluido. Para un gas ideal, tiene el siguiente aspecto:

3.1. ECUACIÓN DE BERNOULLI GENERALIZADA

Si la corriente atraviesa una o varias máquinas que le suministran energía (bombas)

experimenta un incremento de energía que se puede expresar en forma de altura. Asimismo si

la corriente atraviesa una o varias maquinas a las que cede energía (turbinas) experimenta un

decrecimiento de energía, que se puede expresar en forma de altura, por tanto:

p + ρ v2 ⁄ 2 = constante

p + ρ v2 ⁄ 2 + ρ U = constante

v2 ⁄ 2 + a ⁄ (γ − 1) + U = constante

Altura de presión:

Altura geodésica:

Altura de velocidad:

Suma de las perdidas hidráulicas entre 1 y 2:

Suma de los incrementos proporcionados por las alturas entre 1 y 2:

Suma de alturas absorbidas por las turbinas entre 1 y 2:

3.2. APLICACIONES DE ECUACIÓN DE BERNOULLI

El principio de Bernoulli tiene una aplicación muy útil: medir la rapidez con la que se mueve

un avión en relación al viento. Esto se hace con un tubo de Prandtl que mide la presión

estática (la presión del aire sin frenar) y la presión de remanso (es decir, la presión del aire

tras frenarlo suavemente hasta que acompaña al avión). La variación de la energía

potencial es despreciable. Conocidas las presiones y la celeridad de remanso (que es nula),

descubrir la rapidez aerodinámica del avión es sólo cuestión de despejar.

El principio de Bernoulli sirve para explicar cómo funciona un ala a partir de la cinemática

del viento alrededor de ella. La forma del ala es tal que la corriente se mueve más deprisa

por encima de ella y más despacio por debajo. Por el principio de Bernoulli, la presión es

más baja en la cara superior del ala y más alta en la cara inferior; esto da lugar a una fuerza

resultante positiva hacia arriba: la fuerza de sustentación.

g

VZ

g

PHHHVZ

g

Ptbr

2

2

22

221

2

111

v2 : velocidad teórica (las pérdidas entre 1 y 2 se han despreciado)

va : velocidad real

vt : velocidad teórica

cv = va/vt = coeficiente de velocidad

Caudal real:

v2real : velocidad en la sección

contracta

A2 : área del chorro

cc = A2/Ao

A2 = cc.Ao

2

2

221

2

11

22z

g

vpz

g

vp

g

vzz

2

2

212

g

vH

2

2

2

gHv 22

gHcv vreal 22Qr = v2real. A2

Teóricamente:

…. (A)

Debemos calcular , que es velocidad en la tubería:

… (ESTO SE REEMPLAZA EN A)

0..2. AcgHcQ cvr gHAccQ cvr 2.)..( 0

gHAcQ qr 2.. 0

Calcular velocidad real: (

3.2.1. TUBO DE PITOT: mide la presión total o presión de estancamiento

2

2

221

2

11

22Z

g

VPZ

g

VP

hPP est1

3.2.2. TUBO DE PRANDTL:

Combina en un único instrumento un tubo de

Pitot 1 y un tubo piezométrico 2 y conectado

a un manómetro diferencial que mide la

presión dinámica. Sirve para medir la

velocidad de la corriente y el caudal.

3.2.3. MEDIDA DE CAUDALES: TOBERA DE MEDIDA

2

2

221

2

11

22Z

g

VPZ

g

VP

)(2 212

2

PPgV

)(2 212

PPV

)(2 212

PPCV v

3.2.4. MEDIDA DE CAUDALES: DIAFRAGMA (ORIFICIO)

3.2.5. SIFÓN

Un sifón está formado por un tubo, en forma de "U" invertida (en el caso de sifon

normal). Con uno de sus extremos sumergidos en un líquido, que asciende por el tubo a

mayor altura que su superficie, desaguando por el otro extremo. Para que el sifón

funcione debe estar lleno de líquido, ya que el peso del líquido en la rama del desagüe

es la fuerza que eleva el fluido en la otra rama.

El sifón ya era conocido por los romanos que lo utilizaban en sus acueductos.

… TEÓRICO

3.2.6. TORRICELLI:

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un

líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la

gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un

líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la

que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido

hasta el centro de gravedad del orificio":

… TEÓRICO

IV. RESULTADOS Y DISCUSIONES

TABLA1. APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DEL SIFÓN

Nº DE MUESTRA

VOLUMEN (m3)

ALTURA (m)

VOLUMEN DE RECOJO O

CAUDAL(m3/s) VELOCIDAD REAL (m/s)

VOLUMEN TEÓRICO

(m/S)

COEFICIENTE DE

CORRECCIÓN Z A - Z 1

1 0.000800 0.725 2.66667E-05 0.6930 3.7715 0.1837 0.18

2 0.000800 0.714 2.66667E-05 0.6930 3.7428 0.1852 0.191

3 0.000785 0.702 2.61667E-05 0.6800 3.7112 0.1832 0.203

4 0.000770 0.689 2.56667E-05 0.6670 3.6767 0.1814 0.216

5 0.000770 0.678 2.56667E-05 0.6670 3.6472 0.1829 0.227

6 0.000760 0.666 2.53333E-05 0.6584 3.6148 0.1821 0.239

7 0.000760 0.654 2.53333E-05 0.6584 3.5821 0.1838 0.251

8 0.000750 0.642 0.000025 0.6497 3.5491 0.1831 0.263

9 0.000760 0.63 2.53333E-05 0.6584 3.5158 0.1873 0.275

10 0.000725 0.619 2.41667E-05 0.6280 3.4849 0.1802 0.286

11 0.000730 0.608 2.43333E-05 0.6324 3.4538 0.1831 0.297

12 0.000730 0.596 2.43333E-05 0.6324 3.4196 0.1849 0.309

13 0.000720 0.585 0.000024 0.6237 3.3879 0.1841 0.32

14 0.000700 0.573 2.33333E-05 0.6064 3.3529 0.1808 0.332

15 0.000690 0.561 0.000023 0.5977 3.3177 0.1802 0.344

16 0.000690 0.55 0.000023 0.5977 3.2850 0.1820 0.355

17 0.000650 0.539 2.16667E-05 0.5631 3.2520 0.1731 0.366

18 0.000670 0.529 2.23333E-05 0.5804 3.2216 0.1802 0.376

19 0.000650 0.516 2.16667E-05 0.5631 3.1818 0.1770 0.389

20 0.000650 0.505 2.16667E-05 0.5631 3.1477 0.1789 0.4

21 0.000660 0.493 0.000022 0.5717 3.1101 0.1838 0.412

22 0.000640 0.482 2.13333E-05 0.5544 3.0752 0.1803 0.423

23 0.000590 0.472 1.96667E-05 0.5111 3.0431 0.1679 0.433

Figura1. Velocidad real Vs volumen teórico en el Sifón

Figura 2. Caudal vs Z1-Z2 en el Sifón.

y = 4.387x + 0.696R² = 0.955

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

VO

LUM

EN T

EÓR

ICO

(m/s

)

VELOCIDAD REAL (m/s)

VELOCIDAD REAL vs VOLUMEN TEÓRICO

y = 1E-05e1.019x

R² = 0.938

0

0.000005

0.00001

0.000015

0.00002

0.000025

0.00003

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Z1-Z

2 (

m)

CAUDAL (m3/s)

VOLUMEN DE RECOJO O CAUDAL(m3/s) vs ∆Z

Figura3. Velocidad real vs Z1-Z2 en el Sifón

Figura 4. Volumen teórico vs Za-Z1 en Sifón.

y = 0.624x + 0.246R² = 0.951

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Z1-Z

2 (

m)

VELOCIDAD REAL (m/s)

Z1-Z2 vs VELOCIDAD REAL

y = -0.347x + 1.495R² = 0.999

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

ZA-Z

1

VOLUMEN TEÓRICO ( m/S)

VOLUMEN TEORICO vs Z A - Z 1

TABLA 2. APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

Apertura

de h2

Volumen

de recojo Velocidad real

(m/s)

Coeficiente de

Corrección

(adimensional)

∆H(m) velocidad teòrica

llave (m) H2O (ml)

1 0.275 238 0.016 0.158 0.005 0.0226

2 0.27 327 0.022 0.218 0.010 0.0319

3 0.265 405 0.027 0.267 0.015 0.0391

4 0.26 467 0.032 0.317 0.020 0.0451

5 0.255 532 0.036 0.356 0.025 0.0504

6 0.25 591 0.04 0.396 0.030 0.0552

7 0.245 637 0.043 0.426 0.035 0.0597

8 0.24 678 0.046 0.455 0.040 0.0638

9 0.235 737 0.05 0.495 0.045 0.0677

10 0.23 758 0.051 0.505 0.050 0.0713

11 0.225 787 0.053 0.525 0.055 0.0748

12 0.22 844 0.057 0.564 0.060 0.0781

13 0.215 865 0.059 0.584 0.065 0.0813

14 0.21 910 0.062 0.614 0.070 0.0844

15 0.205 940 0.064 0.634 0.075 0.0874

16 0.2 978 0.066 0.654 0.080 0.0902

17 0.195 993 0.067 0.663 0.085 0.0930

18 0.19 1037 0.07 0.693 0.090 0.0957

19 0.185 1059 0.072 0.713 0.095 0.0983

20 0.18 1091 0.074 0.733 0.100 0.1009

D (cm) d ( cm)

2.5 0.67

ν1 (m/s) = ν teórica ν2 (m/s)

0.101 1.406

Figura5. Velocidad real vs Volumen teórico en Bernoulli

Figura6. Variación de altura vs Volumen de recojo en Bernouulli

Figura 7. Velocidad Real vs Variación de altura

y = 1.338x + 0.002R² = 0.999

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Vo

lum

en

Te

ori

co (

mL)

V real (m/s)

Vreal vs V Teórico

y = 3565x0.515

R² = 0.999

0

200

400

600

800

1000

1200

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120

Vo

lum

en

de

Re

cojo

(m

L)

Variación de altura (m)

Volumen de recojo vs variación de altura

y = 1.693x - 0.032R² = 0.972

-0.020

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08Var

iaci

on

de

ALt

ura

(m

)

Velocidad Real (m/s)

Velocidad real vs Variacion altura

TABLA 3. Aplicaciones de Torricelli

Figura8. Velocidad Teórica vs Velocidad Real

y = 0.178x1.370

R² = 0.928

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Vve

loci

dad

re

al (

vr)

Velocidad teórica (v2)

Área (m2) 9.11683E-05

pi 3.141592654

D (m) 0.010774

N° muestra

V(ml) ΔZ(cm) V(m^3) ΔZ(m) Caudal (m3/s) velocidad real

(vr) v2

1 665 16 0.000665 0.16 4.43333E-05 0.486280173 1.771507832

2 598 16 0.000598 0.16 3.98667E-05 0.437286531 1.771507832

3 570 14 0.00057 0.14 0.000038 0.416811577 1.657093842

4 535 29 0.000535 0.29 3.56667E-05 0.391217883 2.384965409

5 540 25 0.00054 0.25 0.000036 0.394874125 2.21438479

6 475 11 0.000475 0.11 3.16667E-05 0.347342981 1.468856698

7 425 10 0.000425 0.1 2.83333E-05 0.310780562 1.400499911

8 398 8 0.000398 0.08 2.65333E-05 0.291036855 1.252645201

9 338 8 0.000338 0.08 2.25333E-05 0.247161953 1.252645201

10 310 6 0.00031 0.06 2.06667E-05 0.226686998 1.084822566

11 285 6 0.000285 0.06 0.000019 0.208405788 1.084822566

12 250 5 0.00025 0.05 1.66667E-05 0.182812095 0.990302984

13 195 4 0.000195 0.04 0.000013 0.142593434 0.885753916

14 142 3 0.000142 0.03 9.46667E-06 0.10383727 0.767085393

15 88 1 0.000088 0.01 5.86667E-06 0.064349857 0.442876958

16 62 1 0.000062 0.01 4.13333E-06 0.0453374 0.442876958

Figura9. Variación de Z vs Caudal

Figura 10. Variación de Z vs Velocidad Real

y = 0.000x0.685

R² = 0.928

0

0.00001

0.00002

0.00003

0.00004

0.00005

0.00006

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Cau

dal

(m

3/s

)

ΔZ(m)

y = 1.374x0.685

R² = 0.928

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

velo

cid

ad r

eal

(vr

)

ΔZ(m)

Según Ayanz (2001), tanto el teorema del Sifón como Torricelli son aplicaciones del

Principio de Bernoulli. Esto se comprobó con los resultados obtenidos por medio del cual

conocemos la importancia en los fluidos

Según Bolinaga (1992), la precisión es menor a la de medidores modernos, por este motivo

el caudal es estimado midiendo la diferencia de presión y usando un coeficiente de

corrección empírica, en la práctica al caudal se le multiplicó por su factor de corrección,

pudiendo hallar el caudal teórico. Este tipo de fenómeno se debe a que en el sistema

existen perdidas de cargas significativa.

Comparando lo dicho por Bolinaga vemos que el factor de corrección encontrado en la

aplicación de Sifón está entre 0.17-0.18; lo cual nos sirve para hallar nuestro caudal teórico.

Según Fernández (1992), el teorema de Torricelli, nos indica que es la velocidad de salida

de un líquido por un orificio de un depósito abierto a la atmósfera libre y siendo despreciable

el área del orificio frente a la de la superficie libre del líquido, puede deducirse aplicando el

teorema de Bernoulli. Si el orificio practicado en A es despreciable frente a la de la

superficie libre, las velocidades del líquido en el interior del depósito son demasiados

grandes.

Según Jiménez (2003), la distribución de tuberías, válvulas y otros elementos de reparto

necesarios para conducir el agua desde las instalaciones de aducción hasta las acometidas

domiciliarais o redes particulares, conservando las cualidades de la misma e impidiendo su

pérdida o contaminación.

Comprando lo dicho por Jiménez vemos que en la aplicación de Bernoulli describe el

comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente.

V. CONCLUSIONES:

Se conoció la importancia del Principio de Bernoulli en mecánica de fluidos.

Se logró determinar el coeficiente de corrección en las diferentes aplicaciones del teorema

de Bernoulii.

Se relacionó la variación de la velocidad y las alturas en un experimento de desfogue de

líquido tipo Torricelliu.

VI. RECOMENDACIONES:

Es necesario trabajar con instrumentos de mayor calibración para no tener mucho error

en las medidas.

Una sola persona se debe encargar de la toma de datos para que no se encuentro

influencia de errores,

VII. BIBLIOGRAFÍAS

Ayanz, J. (2001). Un inventor navarro. Gobierno de Navarra. 285 páginas.

Bolinaga, Juan. "Mecánica elemental de los fluidos". Fundación Polar. "Universidad

Católica Andrés". Caracas, 1992.

Fernández, J. (1992). Iniciación a la física, Editorial Reverte. 460 páginas.

Jiménez, L. (2003). Instalaciones hidrosanitarias. Ediciones CEAC. 286 páginas.