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CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
1111 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES
RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURASIng. CARLOS A. VERDI
Ing. CLAUDIO F. PERNICEDIEGO J. CERNUSCHI
INTRODUCCION
Resolver una estructura implica conocer la relación causa-efecto y estos pueden ser unos uotros estáticos o cinemáticos, en otras palabras significa que a partir de las cargas laresolución de la estructura nos permitirá saber el valor de las reacciones exteriores y losdesplazamientos, el estado de solicitación interna y su deformación en cualquier punto, bajocualquier carga, estática o cinemática.
El método de las deformaciones permite resolver estructuras que poseen indeterminacióncinemática, utilizando como incógnitas a los desplazamientos de los nudos.
En este método suponemos descompuesta la estructura en barras y nudos (nodos), lasprimeras son rectas y poseen características mecánicas uniformes y los segundos vinculan lasbarras entre ellas. Además estas barras están resueltas para cualquier solicitación estática ocinemática, cuya solución se obtuvo mediante el método de las fuerzas.
Definiremos Indeterminación Cinemática a la cantidad de desplazamientos nodalesdesconocidos. Este método tiene la particularidad que si bien tiene como objetivo principalresolver estructuras hiperestáticas, lo que realmente resuelve son estructuras que tienenindeterminación cinemática las que pueden ser tanto hiperestáticas como isostáticas. En estasúltimas se pueden obtener los desplazamientos nodales por un procedimiento indirecto o seaprimero encontrando las solicitaciones internas N, Q y M mediante la utilización de lasecuaciones de estática, y luego aplicando el TFV encontrar los desplazamientos deseados. ElMétodo de las Deformaciones no hace distingo con relación a la indeterminación estática,porque su objetivo es otro: el conocimiento de la cinemática general de la estructura paraluego a partir de la misma obtener las solicitaciones internas. El método de las fuerzas operaal revés o sea primero encuentra las fuerzas y luego la cinemática de las estructuras.
Para poder aplicar el método, a igual que en el método de las fuerzas debemos previamentehaber predimensionado la estructura, o sea que debemos tener la estructura definida por sugeometría (dimensiones) y propiedades mecánicas (material).
PLANTEO DEL MÉTODO (METODOLOGÍA GENERAL)
1.- Enunciado del problema: se define la estructura eligiendo una nomenclatura alfabética onumérica para designar los nudos y barras. Cada barra queda determinada en cuanto alsentido de sus coordenadas locales teniendo como origen el nudo designado como nudoinicial de la barra y sentido positivo hacia el nudo designado como final.
El sistema global de coordenadas será único y sobre él estarán referenciados los nudos.
2.- Incógnitas cinemáticas: Designamos por “n” al número de incógnitas (Ui) del método yque determina los grados de libertad que tienen los nudos de la estructura, o lo que es lomismo el número de desplazamientos libre (traslaciones y rotaciones) que pueden
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2222 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
experimentar dichos nudos. Estas incógnitas cinemáticas Ui se las designa según el sistemaglobal de coordenadas y por lo tanto su dirección positiva coincide con dicho sistema.
3.- Estructura fundamental: se modifica la estructura que es cinemáticamente indeterminadaen una determinada; para tener una solución resuelta solicitada por el sistema de cargasdado. Esta estructura modificada se llama estructura fundamental o primaria y su soluciónbajo las cargas se llama solución particular del problema en la cual las incógnitas valencero (Uj=0).
La estructura fundamental se logra agregando vínculos en cada dirección nodal libre. Deesta manera todos los nudos quedan empotrados y de esta manera todas las barras estaráncon una condición de vinculación en sus extremos del tipo empotrada-empotrada,empotrada-articulada o articulada-articulada cuya solución conocemos. De esta forma cadabarra puede ser analizada independientemente de su vecina.
El análisis de cada barra individual bajo las cargas actuantes efectuada en forma conocidaconstituye la solución particular. El agregado de vínculos a la estructura por un ladoimpide los desplazamientos y por otro generan fuerzas reactivas que en la estructuraoriginalmente no estaban modificando el sistema de fuerzas nodales. La restitución delequilibrio original se realiza mediante la solución complementaria.
La estructura fundamental, nos dará la solución particular del problema, es una estructuraideal con todos los nudos bloqueados (Ui=0), con las cargas en las barras y cargasaplicadas directamente a los nudos.
4.-Solución complementaria: Esta solución tiene como misión restituir las condicionesmodificadas en la estructura fundamental por el agregado de vínculos a través de losdesplazamientos (Ui) que son las incógnitas de método. Estas soluciones se denominancomplementarias; las que sumadas a la solución particular (fundamental) nos dan lasolución completa del problema.
La solución complementaria que restituye el equilibrio de nudos, que no ofrece la soluciónprimaria donde los desplazamientos son nulos (Ui=0), consiste en determinar losdesplazamientos (traslaciones y rotaciones) de nudos necesarios para verificar el equilibriode los mismos, mediante las acciones que ellos generan.
La solución complementaria consiste en imponer a la estructura libre de cargas, losverdaderos valores de los desplazamientos (Ui) que experimentarán los nudos de laestructura, impedidos en la solución particular y lo hacemos dando cada uno de dichosdesplazamientos por vez, permaneciendo la estructura bloqueada para los restantes.
Así, si damos el desplazamiento U1 únicamente, para que la estructura mantenga esacondición de desplazamiento es necesario aplicar en los nudos y en dirección de lasincógnitas cinemáticas fuerzas de fijaciones fuerzas reactivas (R11; R21... Rij)que seránigual a la suma de las fuerzas que actúan en los extremos de barras afectadas por eldesplazamiento dado. Estas fuerzas tienen por misión mantener la estructura con losdesplazamientos impuestos.
5.- Ecuaciones de equilibrio: Finalmente una vez aplicados todos los desplazamientosincógnitos (Ui) se habrá alcanzado el estado cinemático final de la estructura y cada nudodeberá estar en equilibrio. Para poder cumplir esta exigencia se plantearán “n” ecuaciones
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3333 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
de equilibrio en dirección de las incógnitas cinemáticas (U1,....Un). Estas se denominanecuaciones de equilibrio, y determinarán qué valores de las incógnitas originarán fuerzasnodales que anulen las fuerzas de la solución particular (sistema fundamental)
Este es el momento de considerar el equilibrio de los nudos, donde debemos incluir todasfuerzas aplicadas directamente en los mismos, y debe incluir a las provenientes de lascargas exteriores (causas) y a las fuerza de las soluciones particulares y complementariasdescriptas anteriormente y que son reactivas, las carga de nudos deberán aparecer del otrolado de la igualdad con su propio signo.
Por ejemplo:
R10 + R11 + ... + R1j = P1
R20 + R21 + ... + R2j = P2
R30 + R31 + ...+ R3j = M3 (suponiendo que M sea un momento aplicado en ladirección de la incógnita U3)
Definiendo una expresión Kij como coeficiente de rigidez de nudo, que se define como: esla fuerza reactiva que aparece en la dirección i cuando solamente en la dirección j seimpone un desplazamiento unitario. Su valor se obtiene sumando las fuerzas reactivasque aparecerán en los extremos de barras en la dirección de la incógnita Ui, cuando se daun desplazamiento o giro en la dirección de la incógnita Uj, de valor unitario, y por lotanto podemos indicar:
Pij = kij . Uj
Las ecuaciones anteriores se pueden expresar reemplazando la anterior expresión:
P10 + k11 U1+... + k1j Uj = P1
P20 + k21 U1+... + k2j Uj = P2
P30 + k31 U1 + ...+ k3j Uj = M3
En general podemos expresar
Pio + k1j U1 + ........+ kij Uj = Pj
Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores obtenemos U1, U2 ... Uj, luego para obtenerlos esfuerzos internos en la estructura hacemos lo siguiente:
M = M0 + M1 U1 + M2 U2 + ...+ Mj Uj
Q = Q0 + Q1 U1 + Q2 U2 + .... +Qj Uj
N = No + N1 U1 + N2 U2 + ...+ Nj Uj
COMPORTAMIENTO DE UNA BARRA ANTE DESPLAZAMIENTOS IMPUESTOS
A modo de repaso veremos las rigideces de una barra. Para un desplazamiento unitarioimpuesto obtendremos las fuerzas correspondientes en extremo de barra para distintasvariantes de vinculación.
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Barra empotrada-empotrada con giro unitario impuesto
2
6
l
EJ2
6
l
EJ
l
EJ4
l
EJ2
2
6
l
EJ2
6
l
EJ
Q
l
EJ4 l
EJ2−
M
Barra empotrada-empotrada con desplazamiento transversal unitario impuesto
3
12
l
EJ
3
12
l
EJ2
6
l
EJ
2
6
l
EJ
3
12
l
EJ3
12
l
EJ
Q
2
6
l
EJ 2
6
l
EJ−
M
Barra empotrada-articulada con giro unitario impuesto
l
EJ32
3
l
EJ2
3
l
EJ
2
3
l
EJ2
3
l
EJ
Q
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5555 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
l
EJ3
M
Barra empotrada-articulada con desplazamiento transversal unitario impuesto
2
3
l
EJ3
3
l
EJ3
3
l
EJ
3
3
l
EJ3
3
l
EJ
Q
2
3
l
EJ
MEn este caso el desplazamiento transversal se produce en el apoyo que se encuentraempotrado. A idéntica solución se llega si el desplazamiento se produce en el apoyoarticulado.
Barra articulada-articulada con desplazamiento axil unitario impuesto
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
NLa solución de desplazamiento axil unitario también es válida para las barras empotrada-empotrada y empotrada-articulada.
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6666 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
ESQUEMA DE LA ESTRUCTURA
AB
BC
CD AC
2 T×m
0.01 m
10 T
4 T/m
A
B
C
D
∆Ti=10oC ∆Ts=50oC
4 m
3 m 3 m
VALORES DE LAS CARGAS
Cargas EstáticasP = 10 TnM = 2 Tn×mq = 4 Tn/m
Desplazamiento de vínculo impuestoδA = 0.01 m
Cargas térmicas∆Ti = 10 ºC∆Ts = 50 ºC
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICASTodas las barras (salvo el tensor AC) tienen la sección transversal constante del siguienteancho y altura:b = 0.20 mh = 0.40 m
CARACTERÍSTICAS MECÁNICASJ = b × h3 / 12 = 0.001067 m2
A = b × h = 0.08 m2
Atensor = 0.0010 m2 (∅=0.0357m)
CARACTERÍSTICAS DE LOS MATERIALESHormigón Eh = 3000000 Tn/m2 λ=1×10-5 1/oCAcero (tensor)Ea = 21000000 Tn/m2 λ=1×10-5 1/oC
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ESTRUCTURA FUNDAMENTAL
Determinaremos a continuación el grado de indeterminación cinemática para llegar a plantearel fundamental para el método de las deformaciones. Sabemos que cada nudo tiene 3 gradosde libertad (dos desplazamientos y un giro).
Nudos (4 nudos × 3 direcciones por nudo) 12 direcciones libres –
Vinculación ExternaEmpotramientos (2 × 3 direcciones) 6 direcciones restringidas
Indeterminación cinemática (grados de libertad) 6 direcciones libres
Por lo tanto tendremos seis incóngitas cinemáticas en nuestra estructura fundamental. Ellasserán el desplazamiento horizontal, el desplazamiento vertical y la rotación del nudo B y eldesplazamiento horizontal, el desplazamiento vertical y la rotación del nudo C.Identificaremos las incógnitas sobre la estructura.
AB
BC
CD AC
A
B C
D
u1
u2
u3 u4
u5
u6
Incógnitas cinemáticas
RIGIDECES kij
El fundamental planteado previamente cumple con la compatibilidad de deformaciones encada nudo de la estructura.Para garantizar el equilibrio en cada nudo se deben plantear las ecuaciones de equilibrio delmétodo de las deformaciones, las que pueden expresarse como
ioiiijuk pp =+
donde pi es la fuerza en la estructura correspondiente con la incógnita Ui. Cada una de lasecuaciones es de por sí una ecuación que suma fuerzas en la estructura fundamental paraigualarlas con las fuerzas existentes en la estructura original.
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8888 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Cada uno de los términos kij de la matriz rigidez es la fuerza correspondiente con la incógnitaUi cuando en Uj actúa un desplazamiento unitario. Ante cualquier desplazamiento unitarioconocemos las fuerzas que se generan en los nudos ya que las barras empotrada-empotrada,empotrada-articulada y articulada-atriculada tienen una solución conocida. Restará entoncesevidenciar estas fuerzas sobre los nudos y hallar su valor en la dirección de la incógnitacorrespondiente para poder hallar la matriz rigidez.
Aplicamos entonces desplazamientos unitarios a cada una de las incógnitas para poder hallarlas rigideces kij.
Desplazamiento U1 unitario
AB
BC
CD AC
BC
BCEAl BC
BCEAl
2
6
AB
ABEJ
l
3
12
AB
ABEJ
l
2
6
AB
ABEJ
l
3
12
AB
ABEJ
l
Siendo el desplazamiento U1 unitario podremos hallar las rigideces ki1 dado que fisicamentees la magnitud estática resultante en la dirección de la incógnita i cuando en la dirección de U1
actúa un desplazamiento unitario
A
B C
D
k11
k21
k31 k41
k51
k61
Centremos entonces nuestra atención en el nudo B donde se encuentran las incógnitascinemáticas U1, U2 y U3
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9999 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
BCBC
BCEAl
2
6
AB
ABEJ
l
3
12
AB
ABEJ
l
B
AB
k11
k21
k31
la rigidez k11 será la fuerza en la dirección de 1 cuando U1 es unitario, resultando ser la sumade fuerzas horizontales que actúan sobre el nudo B
k11 = 3
12
AB
AB
BC
BC EJEA
ll+ = 80000 + 600 = 80600
del mismo modo k21 será la fuerza en la dirección de 2 cuando U1 es unitario, al no haberfuerzas verticales en el nudo la rigidez es nula
k21 = 0
k31 se obtiene con el momento resultante en el nudo B entonces tendremos
k31 = 2
6
AB
ABEJ
l = 1200
Las incógnitas cinemáticas U4, U5 y U6 se encuentran en el nudo C, de modo que para hallarlas restantes rigideces correspondientes con el desplazamiento U1 unitario debemos analizareste nudo.
BC
CD
BC
BCEAl
C
k41
k51
k61
la rigidez k41 será la fuerza en la dirección de la incógnita 4 cuando U1 es unitario, en estecaso será
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10101010 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
k41 = BC
BCEA
l− = –80000
Vemos que k41 es negativa ya que la fuerza está en sentido opuesto al de la incógnita U4.
Al no haber magnitudes estáticas correspondientes con las incógnitas U5 y U6, las rigidecesk51 y k61 serán nulas
k15 = 0
k16 = 0
Hallaremos a continuación las reacciones en los vínculos externos para U1 unitario
RxA RyA RzA RxD RyD
-600 0 1200 0 0
Los diagramas de solicitaciones para U1 unitaria serán los siguientes
AB
BC
CD AC
-80000
Diagrama de esfuerzo axil para U1=1
AB
BC
CD AC
-600
Diagrama de esfuerzo de corte para U1=1
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11111111 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
-1200
1200
Diagrama de momentos para U1=1
Desplazamiento U2 unitario
AB
BC
CD AC
AB
ABEAl
2
6
BC
BCEJ
l
3
12
BC
BCEJ
l
2
6
BC
BCEJ
l
3
12
BC
BCEJ
l
AB
ABEAl
Haciendo un análisis similar al realizado para U1 unitario, podemos hallar las rigideces ki2,
A
B C
D
k12
k22
k32 k42
k52
k62
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12121212 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
k12 = 0
k22 = 3
12
BC
BC
AB
AB EJEA
ll+ = 60000 + 1422.22 = 61422.22
k32 = 2
6
BC
BCEJ
l= 2133.33
k42 = 0
k52 = 3
12
BC
BCEJ
l− = –1422.22
k62 = 2
6
BC
BCEJ
l = 2133.33
Las reacciones en los vínculos externos son
RxA RyA RzA RxD RyD
0 -60000 0 0 0
Los diagramas de esfuerzos para U2 unitario resultan
AB
BC
CD AC
6000060000
Diagrama de esfuerzo axil para U2=1
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13131313 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
-1422.23
Diagrama de esfuerzo de corte para U2=1
AB
BC
CD AC
-2133.34
2133.34
Diagrama de momentos para U2=1
Desplazamiento U3 unitario
AB
BC
CD AC
BC
BCEJ
l
4 2
6
BC
BCEJ
l
BC
BCEJ
l
22
6
BC
BCEJ
l
AB
ABEJ
l
4
2
6
AB
ABEJ
l
2
6
AB
ABEJ
l
AB
ABEJ
l
2
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
14141414 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
A
B C
D
k13
k23
k33 k43
k53
k63
k13 = 2
6
AB
ABEJ
l= 1200
k23 = 2
6
BC
BCEJ
l= 2133.33
k33 = BC
BC
AB
AB EJEJ
ll
44+ = 3200 + 4266.66 = 7466.66
k43 = 0
k53 = 2
6
BC
BCEJ
l− = –2133.33
k63 = BC
BCEJ
l
2 = 2133.33
Las reacciones en los vínculos externos son
RxA RyA RzA RxD RyD
-1200 0 1600 0 0
Diagramas de solicitaciones para U3 unitario
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
15151515 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
-1200
-2133.34
Diagrama de esfuerzo de corte para U3=1
AB
BC
CD AC
-1600
3200
-4266.66
2133.33
Diagrama de momentos para U3=1
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
16161616 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Desplazamiento U4 unitario
AB
BC
CD AC
BC
BCEAl
2
3
CD
CDCD yEJ
l
∆⋅3
3
CD
CDCD yEJ
l
∆⋅
BC
BCEAl
AC
ACACAcero xAEl
∆⋅CD
CDCD xEAl
∆⋅
3
3
CD
CDCD yEJ
l
∆⋅
α β
AC
ACACAcero xAEl
∆⋅
α
β
α u4=1
1
β
C
∆yCD∆xCD
∆xAC
α = β = tan-1 (4/3) =53.13 o
∆xAC = 1 ⋅ cos α = 0.6
∆xCD = 1 ⋅ cos β = 0.6
∆yCD = 1 ⋅ sen β = 0.8
Estamos en condiciones de hallar las rigideces ki4.
A
B C
D
k14
k24
k34 k44
k54
k64
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
17171717 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
k14 = BC
BCEA
l− = –80000
k24 = 0
k34 = 0
k44 = )sen(3
)cos()cos(3
βαβ CD
CD
CDAC
AC
ACAceroCD
CD
CD
BC
BC yEJ
xAE
xEAEA
∆+∆+∆+llll
= 98841.16
k54 = )cos(3
)sen()sen(3
βαβ CD
CD
CDAC
AC
ACAceroCD
CD
CD yEJ
xAE
xEA
∆+∆+∆−lll
= –20987.14
k64 = CD
CD
CD yEJ
∆2
3
l = 307.2
Las reacciones en los vínculos externos son
RxA RyA RzA RxD RyD
-1512 -2016 0 -17329.15 23003.14
Los siguientes son los diagramas de esfuerzos internos para U4 unitario
AB
BC
CD AC
80000
-28800
2520
Diagrama de esfuerzo axil para U4=1
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
18181818 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
-61.44
Diagrama de esfuerzo de corte para U4=1
AB
BC
CD AC
-307.20
Diagrama de momentos para U4=1
Desplazamiento U5 unitario
3
12
BC
BCEJ
l
AB
BC
CD AC
2
3
CD
CDCD yEJ
l
∆⋅
3
3
CD
CDCD yEJ
l
∆⋅
AC
ACACAcero xAEl
∆⋅CD
CDCD xEAl
∆⋅
3
3
CD
CDCD yEJ
l
∆⋅
α β
AC
ACACAcero xAEl
∆⋅
2
6
BC
BCEJ
l
3
12
BC
BCEJ
l
2
6
BC
BCEJ
l
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
19191919 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
α
β α
u5=11
β
C
∆yCD
∆xCD∆xAC
α = β = tan-1 (4/3) =53.13 o
∆xAC = 1 ⋅ sen α = 0.8
∆xCD = 1 ⋅ sen β = 0.8
∆yCD = 1 ⋅ cos β = 0.6
Las rigideces ki5 son las siguientes
A
B C
D
k15
k25
k35 k45
k55
k65
k15 = 0
k25 = 3
12
BC
BCEJ
l− = –1422.22
k35 = 2
6
BC
BCEJ
l− = –2133.33
k45 = )sen(3
)cos()cos(3
βαβ CD
CD
CDAC
AC
ACAceroCD
CD
CD yEJ
xAE
xEA
∆+∆+∆−lll
= –20987.14
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
20202020 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
k55 = )cos(3
)sen()sen(12
33βαβ CD
CD
CDAC
AC
ACAceroCD
CD
CD
BC
BC yEJ
xAE
xEAEJ
∆+∆+∆+llll
=34857.87
k65 = 22
63
BC
BCCD
CD
CD EJy
EJ
ll−∆ = –1902.93
Las reacciones en los vínculos externos son
RxA RyA RzA RxD RyD
-2016 -2688 0 23003.14 -30747.65
A continuación se muestran los diagramas de esfuerzos internos para U5 unitario
AB
BC
CD AC
384003360
Diagrama de esfuerzo axil para U5=1
AB
BC
CD AC
1422.23
-46.08
Diagrama de esfuerzo de corte para U5=1
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
21212121 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
-2133.33
2133.33
-230.40
Diagrama de momentos para U5=1
Desplazamiento U6 unitario
AB
BC
CD AC
BC
BCEJ
l
4
2
6
BC
BCEJ
l
BC
BCEJ
l
2
2
6
BC
BCEJ
l
CD
CDEJ
l
3
2
3
CD
CDEJ
l
2
3
CD
CDEJ
l
A
B C
D
k16
k26
k36 k46
k56
k66
k16 = 0
k26 = 2
6
BC
BCEJ
l = 2133.33
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
22222222 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
k36 = BC
BCEJ
l
2 = 2133.33
k46 = αcos3
2CD
CDEJ
l = 307.2
k56 = 22
6sen
3
BC
BC
CD
CD EJEJ
ll−α = –1902.93
k66 = CD
CD
BC
BC EJEJ
ll
34+ = 6186.66
Las reacciones en los vínculos externos son
RxA RyA RzA RxD RyD
0 0 0 -307.2 -230.4
Diagramas de esfuerzos resultantes para U6 unitario
AB
BC
CD AC
-2133.33
-384.00
Diagrama de esfuerzo de corte para U6=1
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
23232323 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
-2133.33
4266.66
-1920.00
Diagrama de momentos para U6=1
TERMINOS DE CARGAS poi
Los términos de carga poi son las fuerzas en la dirección de Ui cuando sobre las barras del
fundamental actúa un determinado estado de cargas. Si conocemos los resultados de esascargas para las distintas barras estaremos en condiciones de hallar cada uno de los términos decarga. Se obtendrá el po
i para cada carga por separado para simplificar los cálculos. Luegoaplicaremos el principio de superposición para hallar el po
i del estado de cargas que será lasumatoria de los po
i de cada una de las cargas.
A
B C
D
po1
po2
po3 po
4
po5
po6
Carga concentrada
AB
BC
CD AC
P = 10 TP/2 P/2P⋅lBC/8 P⋅lBC/8
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
24242424 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
po1p = 0
po2p = P/2 = 5 T
po3p = P⋅lBC/8 = 3.75 T×m
po4p = 0
po5p = P/2 = 5 T
po6p = –P⋅lBC/8 = –3.75 T×m
Las reacciones en los vínculos externos de los nudos A y D son
RxA RyA RzA RxD RyD
0 0 0 0 0
Los diagramas de esfuerzos en la estructura resultan
AB
BC
CD AC
-5.000
5.000
Diagrama de corte para carga concentrada en barra BC
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
25252525 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
-3.750
3.750
Diagrama de momentos para carga concentrada en barra BC
Carga distribuida
AB
BC
CD AC
q = 4 T/m
q = 4 T/m
q⋅lAB/2
q⋅l2AB/12
q⋅l2AB/12
q⋅lAB/2
po1q = –q⋅lAB/2 = -8 T
po2q = 0
po3q = –q⋅l2
AB/12= -5.333 T×m
po4q = 0
po5q = 0
po6q = 0
Las reacciones en los vínculos externos de los nudos A y D son
RxA RyA RzA RxD RyD
-8 0 5.3333 0 0
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
26262626 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Diagramas de solicitaciones para carga distribuida
AB
BC
CD AC
-8.000
8.000
Diagrama de corte para carga uniformemente distribuida
AB
BC
CD AC
-5.333
2.667
-5.333
Diagrama de momentos para carga uniformemente distribuida
Carga térmica
AB
BC
CD AC
∆Ti=10oC
∆Ts=50oC
λ⋅⋅∆−∆⋅l
EJ
h
TT si
2
3
λEJh
TT si ⋅∆−∆
⋅2
3
λ⋅⋅∆−∆
⋅l
EJ
h
TT si
2
3
λ⋅⋅∆ EATg
λ⋅⋅∆ EATg
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
27272727 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
po1t = 0
po2t = 0
po3t = 0
po4q = λ⋅⋅
∆−∆⋅−
l
EJ
h
TT si
2
3⋅ cos β + λ⋅⋅∆ EATg ⋅ sen β = 42.432 T
po5q = – λ⋅⋅
∆−∆⋅
l
EJ
h
TT si
2
3 ⋅ sen β – λ⋅⋅∆ EATg ⋅ cos β = -58.176 T
po6q = λEJ
h
TT si ⋅∆−∆⋅2
3 = -4.8 T×m
Las reacciones en los vínculos externos de los nudos A y D son
RxA RyA RzA RxD RyD
0 0 0 -42.432 58.176
Diagramas de esfuerzos para carga térmica
AB
BC
CD AC
-72.000
-72.000
Diagrama de axil para carga térmica
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
28282828 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
0.960
0.960
Diagrama de corte para carga térmica
AB
BC
CD AC
4.800
Diagrama de momentos para carga térmica
Desplazamiento de vínculo impuesto
AB
BC
CD AC
δ=0.01 m
δ3
6l
EJ
δ2
12l
EJ
δ3
6l
EJ
δ2
12l
EJ
AC
ACACAcero xAEl
∆⋅
AC
ACACAcero xAEl
∆⋅
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
29292929 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
αA
α
δ = 0.01 m
∆xAC
α = tan-1 (4/3) =53.13 o
∆xAC = δ ⋅ cos α = 0.01 m × 0.6 = 0.006 m
po1δ = δ
212
l
EJ = 6 T
po2δ = 0
po3δ = δ
36l
EJ = 12 T×m
po4δ = αsen⋅∆ AC
AC
ACAcero xAE
l = 15.12 T
po5δ = αcos⋅∆ AC
AC
ACAcero xAE
l = 20.16 T
po6δ = 0
Las reacciones en los vínculos externos de los nudos A y D son
RxA RyA RzA RxD RyD
-21.12 -20.16 12 0 0
Diagramas de esfuerzos para desplazamiento de vínculo impuesto
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
30303030 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
25.20025.200
25.200
Diagrama de axil para desplazamiento de vínculo impuesto
AB
BC
CD AC
-6.000
-6.000
Diagrama de corte para desplazamiento de vínculo impuesto
AB
BC
CD AC
-12.000
12.000
Diagrama de momentos para desplazamiento de vínculo impuesto
Para obtener los valores totales de los términos de carga, aplicamos el principio desuperposición. Sumando los po para cada carga tenemos
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
31313131 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
po1 = -2 T
po2 = 5 T
po3 = 10.417 T×m
po4 = 57.552 T
po5 = -33.016 T
po6 = -8.55 T
TERMINOS DE CARGAS pi
Cada una de las ecuaciones del método de las deformaciones es una ecuación de equilibrio encada dirección libre y la suma de la solución particular y complementaria debe ser igual a lasfuerzas que originalmente actuaba en dicha dirección o sea pi.En nuestro caso tenemos carga aplicada correspondiente con una incógnita cinemática: elmomento del nudo C es correspondiente con la incógnita cinemática U3. Por lo tanto eltérmino de carga pi sólo tendrá valor para i=3.
p1 = 0
p2 = 0
p3 = -2 T×m
p4 = 0
p5 = 0
p6 = 0
ECUACIONES DE EQUILIBRIO
A continuación se plantearán y resolverán las ecuaciones de equilibrio del método de lasdeformaciones. Las ecuaciones tienen la siguiente forma
PPUK o =+⋅ o bien, término a término ioiiijuk pp =+
Para la estructura que se está resolviendo, la matriz rigidez y los vectores de carga toman lossiguientes valores
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
32323232 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
80600 0 1200 -80000 0 00 61422.22 2133.33 0 -1422.22 2133.33
K = 1200 2133.33 7466.66 0 -2133.33 2133.33-80000 0 0 98841.16 -20987.14 307.2
0 -1422.22 -2133.33 -20987.14 34857.87 -1902.930 2133.33 2133.33 307.2 -1902.93 6186.66
-2 05 0
Po = 10.417 P = -257.552 0-33.016 0-8.55 0
)(1 o
o
PPKU
PPUK
−⋅=
−=⋅−
1.602E-04 1.556E-06 -6.690E-06 1.488E-04 9.045E-05 2.220E-051.556E-06 1.657E-05 -3.444E-06 1.516E-06 1.146E-06 -4.251E-06
K-1 = -6.690E-06 -3.444E-06 1.512E-04 -4.472E-06 3.714E-06 -4.959E-051.488E-04 1.516E-06 -4.472E-06 1.498E-04 9.118E-05 2.163E-059.045E-05 1.146E-06 3.714E-06 9.118E-05 8.495E-05 1.993E-052.220E-05 -4.251E-06 -4.959E-05 2.163E-05 1.993E-05 1.853E-04
de donde U resulta
-0.004991-0.000123
U = -0.001918-0.005083-0.002144 0.001679
y entonces los desplazamientos incógnitos Ui serán
U1 U2 U3 U4 U5 U6
-0.004991 -0.000123 -0.001918 -0.005083 -0.002144 0.001679
Para obtener los diagramas finales y las reacciones debemos aplicar el principio desuperposición
a = a° + ai1 U1 + ai2 U2 + ai3 U3 + ai4 U4 + ai5 U5 + ai6 U6
Así por ejemplo si queremos obtener la reacción horizontal en el nudo A tendremos
RxA = RxA° + RxA1 U1 + RxA2 U2 + RxA3 U3 + RxA4 U4 + RxA5 U5 + RxA6 U6
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
33333333 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Finalmente, las reacciones en los vínculos externos de la estructura son
RxA RyA RzA RxD RyD
-11.8175 3.2126 8.2753 -4.1825 6.7875
Representando la estructura con sus cargas y reacciones tenemos
AB
BC
CD AC
2 T×m
0.01 m
10 T
4 T/m
A
B
C
D
∆Ti=10oC ∆Ts=50oC
4 m
3 m 3 m
11.8175
3.2126
8.2753
4.1825
6.7875
Los diagramas finales de la estructura obtenidos por superposición son los siguientes
AB
BC
CD AC
-7.364
-7.296
-7.939
5.189
Diagrama de axil en la estructura
CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
34343434 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
X
Y
AB
BC
CD AC
-8.704
7.296
-7.364
2.636
0.726
0.726
Diagrama de corte en la estructura
AB
BC
CD AC
-8.275
1.132
-3.460
7.5863.632
-5.460
Diagrama de momentos en la estructura
Los diagramas de desplazamientos resultantes de la estructura son
X
Y
AB
BC
CD AC
Deformada de la estructura bajo cargas
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35353535 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
AB
BC
CD AC
-0.01
-0.004991 = U1 -0.005083 = U4
Desplazamiento según X
AB
BC
CD AC
-0.003104
-0.000123 = U2
0.000226
-0.002144 = U5
Desplazamiento según Y
AB
BC
CD AC
-0.001918 = U3
0.001679 = U6
-0.000484
-0.001044
Rotaciones según Z