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Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural. Seminário no Âmbito do Projecto POCTI/ECM/36055/2000, Financiado pela Fundação para a Ciência e a Tecnologia. João Rocha de Almeida João Cardoso. FCT/UNL, Maio de 2004. Sumário. - PowerPoint PPT Presentation
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural
João Rocha de AlmeidaJoão Cardoso
Seminário no Âmbito do Projecto POCTI/ECM/36055/2000,Financiado pela Fundação para a Ciência e a Tecnologia
FCT/UNL, Maio de 2004
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Sumário
- Optimização Estrutural
- Algoritmos Genéticos
- Fiabilidade Estrutural
- Método de Monte Carlo
- Redes Neuronais
- Exemplos
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Optimização Estrutural
Engloba um conjunto de teorias e métodos que procuram obter a estrutura que desempenha mais eficientemente as funções para as quais é projectada
Conheceu grande desenvolvimento na década de 70 quando se interligaram algoritmos de Programação Matemática (Simplex, SLP, SQP) e Programas de Elementos Finitos
Actualmente são muito utilizados Algoritmos Genéticos em vez de algoritmos de Programação Matemática
Elementos Finitos
Programação MatemáticaAlgoritmos Genéticos
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Minimizar F(X) Função Objectivo
verificando c(X) 0
onde X = {X1,X2,,XN} Vector das Variáveis de Projecto
Constrangimentos normalizados
e com Xmin X Xmax Limites Laterais das Variáveis
de Projecto
Formulação do problema de Optimização Estrutural
Função Objectivo Variáveis de Projecto Constrangimentos
Peso
Custo
Dimensões
Forma
Topologia
Deslocamentos
Tensões
Frequências
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
L1 L2
Exemplo
Duas vigas formando uma grelha
Q= 175 kN/m
L1= 2,54 m , L2= 3,05 m
adm= 138 Mpa
= 77 kN/m3
Pretende-se minimizar o Peso da estrutura (Função Objectivo)
modificando as Áreas das secções transversais das vigas, X1 e X2 (Variáveis de Projecto)
considerando que a tensão nas vigas não pode ultrapassar a tensão admissível do material (Constrangimento)
e assumindo valores máximos e mínimos para X1 e X2 (Limites Laterais)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Domínio do Problema
Soluções : X1= 151,0 cm2 X2= 46,0 cm2 Peso= 4035 N
X1= 35,2 cm2 X2= 164,4 cm2 Peso= 4556 N
X1= 84,0 cm2 X2= 121,8 cm2 Peso= 4505 N
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
A necessidade de calcular gradientes exige a continuidade das funções utilizadas, o que é uma limitação em alguns problemas. Por outro lado, os métodos baseados em gradientes tem muita dificuldade em lidar com funções que apresentem mínimos locais
A maioria dos métodos desenvolvidos para resolver problemas de optimização procuram iterativamente no espaço das variáveis de projecto o ponto que minimiza a função objectivo verificando simultaneamente os constrangimentos. Essa pesquisa é feita com base no valor da função objectivo e dos constrangimentos e também dos seus gradientes em relação às variáveis de projecto
Um dos problemas em que não existe continuidade das funções corresponde ao problema de optimização com variáveis discretas
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Algoritmos Genéticos
Baseados no trabalho original de Holland, que utilizou representações binárias das possíveis soluções de um problema e transformações destinadas a aperfeiçoar essas soluções de forma a atingir a solução óptima
.
.
.
Variáveis de Projecto
X1
X2
Cromossoma
Genes
X1 X2
( 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, ...)
Codificação
Procuram reproduzir no computador o processo de selecção natural das espécies e utilizam a terminologia da Genética
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
O conjunto de cromossomas constituindo a população de uma determinada geração é combinada através de operadores para dar origem à população da geração seguinte, que contém indivíduos melhor adaptados, de acordo com uma função de mérito
A aplicação de um algoritmo genético envolve :
1- Codificação das variáveis de projecto
2- Definição da função de mérito
3- Definição de operadores que alterem o conteudo dos cromossomas :
Selecção - escolhe os índividuos de uma geração que deverão fazer parte da geração seguinte
Cruzamento - combina os genes de dois cromossomas pais para dar origem a dois cromossomas filhos distintos dos progenitores
Mutação - altera de forma aleatória os genes de um cromossoma
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
ExemploPórtico plano
Forças verticais em todos os nós de 444,8 kN
Forças horizontais indicadas
adm= 5,08 cm
E= 200 GPa
8 grupos de elementos
21 3
54 6
87 9
1110 12
1413 15
1716 18
2019 21
2322 24
8 x 3.048 m
3.048 m
8.473 kN
7.264 kN
6.054 kN
4.839 kN
3.630 kN
2.420 kN
1.210 kN
15
1
15
1
26
2
26
2
37
3
37
3
48
4
48
4
Pretende-se minimizar o peso da estruturaescolhendo os perfis mais adequados numa tabela com 16 perfis W
(Optimização discreta)
considerando que o deslocamento horizontal no topo deve ser inferior a adm
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
W21x44
W21x44
W21x44
W21x44
W18x35
W18x35
W18x35
W18x35
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W12x16
W12x16 W12x16
W12x16
W14x26
W14x26
W18x35
W18x35
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
Peso : 31,72 kN
Tabela de perfisW27X84
W24X68
W21X62
W21X44
W18X46
W18X35
W16X31
W16X26
W14X38
W14X26
W12X40
W12X16
W10X39
W10X33
W8X31
W8X18
Cromossoma
( 4, 6, 8, 12, 10, 6, 8, 8 )
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Trabalho Desenvolvido - I
Problema :
Dada uma estrutura constituída por um conjunto N de componentes, descobrir qual a solução óptima que corresponderá a usar um número K de perfis normalizados na sua construção, a escolher entre um número M de perfis disponíveis
Solução :
Cromossoma composto. Os primeiros K genes constituem índices na tabela de perfis disponíveis. Os restantes N ( 1 por cada grupo de componentes ) referem-se a um dos K genes iniciais. Cada cromossoma define uma solução para o problema
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Tabela de perfisW27X84
W24X68
W21X62
W21X44
W18X46
W18X35
W16X31
W16X26
W14X38
W14X26
W12X40
W12X16
W10X39
W10X33
W8X31
W8X18
( 6, 7, 8, | 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3 )
Cromossoma
K= 3 Peso : 31,96 kN
W18x35
W18x35W18x35
W18x35W18x35
W18x35
W18x35
W18x35W16x31
W16x31
W16x31
W16x31
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
Exemplo pórtico plano
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Pórtico de 8 andares
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
1 2 3 5
Nº Secções diferentes
Vol
ume
(m3)
K Solução p1 Solução p2 Volume (m3) Peso (kN)
1 6 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 0.4860 37,43
2 6, 8 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8 0.4242 32,67
3 6, 7, 8 6, 7, 8, 8, 6, 6, 8, 8 0.4150 31,96
5 4, 6, 8, 10, 12 4, 6, 8, 12, 10, 6, 8, 8 0.4119 31,72
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Trabalho Desenvolvido - II
Problema : Obter vários mínimos globais ou um mínimo global e vários mínimos locais, quando estes ocorram na função a optimizar
Solução :
Partição regular do domínio em sub-domínios, cada qual contendo uma sub-população
Evolução isolada de cada sub-população para o óptimo que ocorre no sub-domínio
Processo de adaptação automática da partição do domínio às características do problema que se pretende resolver
Processo de transferência de elementos entre sub-populações, permitindo enriquecer as regiões de elevado potencial onde é mais provável que existam óptimos, em detrimento das regiões sem interesse
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Função Branin RCOS (BRC)
397887.0,
)475.2,425.9(),275.2,(),275.12,(),(
:3150,105:
10)cos(**811*10
6*5**45),(
*21
*21
21
1
2
1212221
xxBRC
xx
globaisóptimosxxDomínio
x
xxxxxBRC
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
0,00
3,75
7,50
11,25
15,00
-5,00 -1,25 2,50 6,25 10,00
x1
x2
geração 0 geração 5 geração 20 geração 40 geração 60
Função Branin RCOS (BRC)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
L1 L2
0,05
7,54
15,03
22,51
30,00
0,05 7,54 15,03 22,51 30,00
x1
0,05
10,03
20,02
30,00
0,05 10,03 20,02 30,00
x1
Exemplo : duas vigas formando uma grelha
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Fiabilidade Estrutural
A verificação da segurança de uma estrutura implica: S < R, onde S representa a acção e R a resistência
Tanto S como R dependem de diversas variáveis aleatórias, X1,...,Xn
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
nnXXX
XXXg
ncdxdxdxxxxfXXXgPP
n
n
.........
...
2121,,,
0),,,(
21),,,(...0),,,(
21
21
A violação do estado limite é definida pela condição g( X1, X2, ..., Xn) 0 e a probabilidade de colapso, Pc , pode ser formalmente expressa pela equação:
),,,(21,,,
21nXXX
xxxfn
......
onde (x1, x2, ..., xn) são ocorrências das variáveis aleatórias e
é a função conjunta de densidade de probabilidade
Função de estado limite: g(X1,...,Xn) = R – S
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
A fiabilidade de uma estrutura pode também ser medida pelo índice de fiabilidade, , que representa a distância do ponto de rotura mais provável à origem, no espaço (R, S) de coordenadas normalizadas
Pc
onde é a função distribuição normal padrão
Conhecendo a probabilidade de colapso é dada por:
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Método de Monte Carlo
onde ),,...,( 21 nXXXI é uma função definida por
0),,,( se 0
0),,,( se 1),,,(
21
2121
n
nn XXXg
XXXgXXXI
...
......
Permite obter uma estimativa da probabilidade de colapso,
N
inc XXXI
NP
121 ),,,(
1... (1)
de acordo com a equação (1), N amostras independentes de valores das variáveis aleatórias são obtidas com base nas distribuições de probabilidade dessas variáveis e a função de estado limite é calculada para cada amostra. Designando por NH o número de casos em que ocorreu o colapso, a probabilidade de colapso da estrutura é aproximada por :
N
NP H
c
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
A aplicação do método de Monte Carlo apresenta as seguintes
Vantagens :
Método probabilístico exacto, ou de nível 3 (cf. Eurocódigo 1), onde a probabilidade de colapso é avaliada a partir da distribuição conjunta de probabilidade das variáveis associadas às acções e às resistências
Permite avaliar a probabilidade de colapso de um sistema em que se consideram simultaneamente várias funções de estado limite
Desvantagens :
Requer um modelo estatístico de todas as variáveis aleatórias envolvidas
Tempo de cálculo muito elevado
Para estados limites últimos ( 104 PC 106 ) é necessário avaliar g(X) entre 105 e 107 vezes para obter resultados com uma aproximação aceitável
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Redes Neuronais
Técnica de inteligência artificial inspirada no funcionamento dos neurónios biológicos
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
O uso de redes neuronais tem vindo a generalizar-se em vários domínios, entre os quais a mecânica estrutural e em particular a fiabilidade de estruturas
Neurónio artificial introduzido por McCulloch e Pitts (1943)
x1 wm1
wm2
wm3
wmL
f ()
bm
x2
x3
xL
.
.
.
sm
m
L
kkmkm bxwa
1
mamm eafs
1
1)(
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
w242
f()
f()
f()
f()
f()
f()
f()
w111
w121
w131 b1
1
w211
w221
w231
b21
w311
w321
b31
w431
w421
w411
b41
w331
w342
b32
b22
b12
w312
w322
w332
w212
w222
w232
w142 w13
2
w122
w112
s12
s22
s32
x1
x2
x3
=
=
=
Rede neuronal multicamada ( 3 x 4 x 3 )
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
03
02
01
0
xxx
x
14
13
12
11
03
02
01
14
143
142
141
13
133
132
131
12
123
122
121
11
113
112
111
1
1 ssss
xxx
bwwwbwwwbwwwbwww
s
23
22
21
14
13
12
11
23
234
233
232
231
22
224
223
222
221
21
214
213
212
211
2
1sss
ssss
bwwwwbwwwwbwwww
s
w242
f()
f()
f()
f()
f()
f()
f()
w111
w121
w131 b1
1
w211
w221
w231
b21
w311
w321
b31
w431
w421
w411
b41
w331
w342
b32
b22
b12
w312
w322
w332
w212
w222
w232
w142 w13
2
w122
w112
s12
s22
s32
x1
x2
x3
=
=
=
O tempo necessário para calcular o valor das funções que uma rede neuronal multicamada aprendeu é muito reduzido
O cálculo corresponde apenas a algumas operações matriciais
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
O processo de obter os coeficientes wmk e bm de forma que a rede neuronal possa representar uma função designa-se por treino da rede
O treino mais comum, treino supervisionado, consiste em arbitrar valores iniciais para os coeficientes e em seguida ajustar esses valores de forma a minimizar o erro entre as saídas obtidas pela rede e o resultado exacto da função
Para proceder assim, é necessário construir um conjunto de treino, com valores das variáveis de entrada e os correspondentes valores da função. Após o treino, a rede deve ser testada com um conjunto de teste
Neste trabalho utilizou-se um algoritmo misto, minimizando-se inicialmente o erro com um algoritmo genético e em seguida com um algoritmo de gradientes conjugados
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
Exemplo
F(X,Y) = 0,3 + ( 2 Sin( X ) Cos ( Y ) + Sin ( X Y ) ) / 6
com X [3.5 , 5.5] e Y [2.0 , 4.0]
Função analítica
Conjunto de treino com
14 x 14 = 196 pontos
Conjunto de teste com
32 x 32 = 1024 pontos
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
s1 = 1 s1 = 6
s1 = 12 s1 = 18
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
t
i
r
jijij os
rtE
1 1
2)(11
i
ii
oosMAX )( máx
s1 Erro treino,E máx (%) médio (%) t (h:m:s)
1 1,5510-2 114 21 00:00:01
6 7,1510-4 32 3,9 00:02:30
12 9,2210-5 26 1,1 00:29:11
18 5,4910-6 2,5 0,38 02:09:32
24 1,7910-6 1,9 0,35 06:36:48
30 1,1910-6 1,5 0,23 18:32:06
36 1,9710-7 0,93 0,095 41:02:08
)(1médio 1
t
i i
ii
oos
t
Medidas do erro
Resultados do treino
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Trabalho Desenvolvido - III Utilização da rede neuronal para aprender o comportamento da estrutura
L1= 10 m
L2= 4 m
A
B C
D
Pórtico intermédio de uma nave industrial com 20x10x4 m
Espaçamento de 5 m entre pórticos semelhantes
Definição das acções segundo o Eurocódigo 1, considerando-se os seguintes valores característicos :
Cargas permanentes – 0,5 kN/m2 correspondente ao peso próprio da estrutura acrescido do revestimento da cobertura e da fachada
Sobrecarga – 2 kN/m2, correspondente a uma utilização normal
Vento – considera-se uma pressão dinâmica do vento igual a 0,456 kN/m2
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
,
min ,
1,51
/1,1 /1,1y SdSd
y pl y y
MNAf W f
,
,
1,51
/1,1 /1,1y SdSd
z y LT pl y y
MNAf W f
Função Descrição
H L2/150 Deslocamento horizontal máximo do pilar
V L1/300 Deslocamento vertical máximo da viga
Resistência à flexão compostacom compressão do pilar
Resistência à flexão composta com compressão da viga considerando a possibilidade de encurvadura lateral
Funções de estado limite
Um pórtico com pilares HEA 260 e uma viga HEA 300 verifica a segurança aos estados limites. Os deslocamentos e esforços de dimensionamento são :
H = 1,32 mm ; V = 16,8 mm
NSd(Pilar) = 98,6 kN (topo do pilar direito – secção C)
My,Sd(Pilar) = 122,5 kNm (topo do pilar direito – secção C)
NSd(Viga) = 46,7 kN (extremidade direita – secção C)
My,Sd(Viga) = 122,5 kNm (extremidade direita – secção C)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Variável Distribuição Média Desvio Padrão
Coefic.Variação
Valor Característico
Módulo de Young (GPa) Normal 210 10,5 0,05 210
Carga permanente (kN/m2) Normal 0,50 0,05 0,10 0,50
Sobrecarga (kN/m2) LogNormal 1,06 0,366 0,35 2,0
Pressão do vento (kN/m2) LogNormal 0,241 0,084 0,35 0,456
Tensão de cedência (MPa)
LogNormal 280 28 0,10 235
Distribuição probabilística
Numa análise preliminar, verificou-se que os valores dos deslocamentos H e V são muito inferiores aos admissíveis, pelo que a probabilidade de colapso associada aos estados limites de utilização é desprezável. Como os esforços na estrutura não dependem do módulo de Young, esta variável foi retirada do modelo probabilístico
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
s1 - número de neurónios da camada
intermédia
Erro obtido com o conjunto de treino
Erro obtido com o conjunto de teste
4 6,2810-6 2,9710-6
6 3,8510-7 3,4410-7
8 1,0110-7 8,2710-8
10 3,2010-9 2,2010-9
12 1,7710-9 1,5310-9
t
i
r
jijij os
rtE
1 1
2)(11
Rede neuronal com 3 x s1 x 3 neurónios
Resultados do treino – Erro quadrático médio
Considerou-se um conjunto de treino com 6 x 6 x 6 = 216 pontos e um conjunto de teste com 12 x 12 x 12 = 1728 pontos.
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s1 - número de neurónios
da camada intermédia
máx(%)
N (pilar) N (viga) M (pilar e viga)
4 1,42 2,14 1,11
6 0,771 1,11 0,711
8 0,545 0,516 0,503
10 0,105 0,107 0,071
12 0,067 0,069 0,067
Resultados do treino – Erro relativo máximoi
ii
oosMAX )( máx
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Número de amostras Probabilidade de colapso Tempo de cálculo (segundos)
106 1,43105 22
107 1,39105 189
108 1,28105 1865
Função de Estado Limite
Monte Carloc/ rede neuronal
Monte Carlodirecto
FORM( COMREL-TI)
SORM(COMREL-TI)
Resistência à flexão composta
com compressão do pilar
Pc = 1,277 105
= 4,21
Pc = 1,255 105
= 4,21
Pc = 1,229 105
= 4,22
Pc = 1,285 105
= 4,21
Resistência à flexão composta
com compressão da viga, considerando a possibilidade de
encurvadura lateral
Pc = 8,630 106
= 4,30
Pc = 8,607 106
= 4,30
Pc = 8,275 106
= 4,31
Pc = 8,650 106
= 4,30
Resultados da análise de fiabilidade
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Trabalho Desenvolvido - IV Utilização da rede neuronal para aprender a função de estado limite g(X)
HEB220
HEB220
HEB220
31.7 kN/m
0
10.2 kN
49.1 kN/m20.4 kN
20.4 kN
20.4 kN
20.4 kN
20.4 kN
49.1 kN/m
49.1 kN/m
49.1 kN/m
49.1 kN/m
2 x 6.00 m
6 x 3.75 m
E = 205 GPa
fy = 235 MPa
0 = 1/450
0 0IPE400
IPE360
IPE240
IPE300
IPE300
IPE330
HEB220
HEB180
HEB180
HEB200
HEB200
HEB240
HEB240
HEB260
HEB260
HEB180
HEB180
HEB220
HEB220
HEB220
HEB220
Pórtico metálico com 6 andares
Dimensões : 12 x 22,5 m
As cargas verticais, horizontais e a tensão de cedência do aço foram consideradas variáveis aleatórias
Comportamento geometricamente e fisicamente não-linear
Análises elasto-plásticas considerando a formação de zonas plásticas
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Considerou-se uma única função de estado limite, associada ao colapso elasto-plástico do pórtico.
Distribuição probabilística (*: valores para último piso)
variável média
desvio padrão
coeficiente variação
valor característico
carga vertical (kN/m) 33.3 (21.5*)
6.66 (4.30*) 0.20 49.1 (31.7*)
carga horizontal (kN) 10.76 (5.38*) 3.76 (1.88*) 0.35 20.4 (10.2*)
tensão de cedência (MPa) 280 28 0.10 235
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Considerou-se um conjunto de treino com 8 x 8 x 8 = 512 pontos e um conjunto de teste com 7 x 7 x 7 = 343 pontos.
Rede neuronal com 3 x s1 x 1 neurónios
nº neurónios - s1 Erro treino,E Respostas erradas no treino
Respostas erradas no teste
tempo treino (s)
4 4.036103 2 1 506
8 2.763103 0 1 5830
12 1.867103 0 0 23517
Resultados do treino
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A análise de fiabilidade foi realizada pelo método de Monte Carlo com 107 amostras.
nº neurónios - s1 pf (média) pf (desvio p.) (média) tempo simulação (s)
4 2.726104 3.326106 3.46 81
8 2.489104 7.062106 3.48 113
12 2.426104 3.910106 3.49 141
Resultados da análise de fiabilidade
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Trabalho Desenvolvido - V Optimização com constrangimentos de fiabilidade
Na optimização com constrangimentos de fiabilidade, pelo menos um dos constrangimentos c(X) está relacionado com a fiabilidade da estrutura
A metodologia normalmente empregue para resolver este tipo de problema recorre a algoritmos baseados em gradientes e aos métodos FORM ou SORM, baseados na determinação do índice de fiabilidade, .
Optou-se por considerar uma estratégia combinando um algoritmo genético, o método de Monte Carlo e uma rede neuronal
Esta estratégia implica a utilização do método de Monte Carlo para todos os elementos da população considerados pelo algoritmo genético
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ny
nx
P
1 2
3 4
1
2
3
4
5
6
Função objectivo :
- Massa da treliça
Variáveis de projecto :
- Àrea da secção das barras, A.
- Coordenada X e Y do nó 4, nX
Exemplo
Treliça plana com 6 barras
Na configuração inicial
indicada, nX = nY = 3 m
E = 206 GPa
Massa específica, = 7,8 x 103 kg/m3
(Burton & Hajela, 2003)
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Variáveis aleatórias :
- Carga concentrada P aplicada no nó 3
- Tensão de cedência do aço utilizado, C
Distribuição probabilística
Variável Distribuição Média Desvio padrão
Coefic.variação
Carga concentrada, P (kN) Normal 30 3 0,10
Tensão de cedência, C (MPa) Normal 172 8,6 0,05
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Verificou-se que as barras 3, 4 e 5 eram as mais solicitadas, e definiram-se três funções de estado limite
g1 = C 3
g2 = C 4
g3 = C 5
Considerou-se que o colapso da estrutura ocorre quando em pelo menos uma das barras se atinge C Sistema em série sendo a respectiva probabilidade de colapso, Pc, calculada pelo método de Monte Carlo
Definiu-se um único constrangimento :
0max
max
P
PPcc
impondo-se Pmax = 0,001 , a que corresponde = 3,090
Constrangimento :
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Considerou-se um conjunto de treino com 6 x 6 x 6 = 216 pontos e um conjunto de teste com 5 x 5 x 5 = 125 pontos.
Rede neuronal com 3 x s1 x 4 neurónios
Resultados do treino – Erro quadrático médio
Nº neurónios - s1 Erro obtido com o conjunto de treino
Erro obtido com o conjunto de teste
6 1,296710-3 7,829510-4
12 1,921810-5 1,835210-5
24 1,600510-6 2,060810-6
Nº neurónios – s1 máx(%)
M 3 4 5
6 1,167 2,240 2,949 2,949
12 0,238 0,529 0,399 0,399
24 0,0775 0,199 0,148 0,148
Resultados do treino – Erro relativo máximo
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Variável / Função
objectivo
Algoritmo genético +
Rede neuronal
Burton & Hajela Diferença (%)
A (m2) 2,359 2,366 0,28
nx (m) 1,563104 1,557104 0,36
Massa (kg) 22,512 22,450 0,28
Algoritmo genético
Cromossomas com 40 genes binários (20 por variável), populações com 40 indivíduos e um total de 60 gerações.
A probabilidade de colapso da estrutura foi estimada com 105 amostras
Resultados da optimização
Tempo total de cálculo durante a optimização : 6394 s ( 1 H 47 m )
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Conclusões
Demonstrou-se a viabilidade da aplicação das metodologias desenvolvidas :
Algoritmos Genéticos para optimização de estruturas com secções normalizadas
Método de Monte Carlo + Redes Neuronais para análise de fiabilidade
Algoritmos Genéticos + Método de Monte Carlo + Redes Neuronais para optimização de estruturas com constrangimentos de fiabilidade
Algoritmos genéticos para optimização de funções com vários mínimos globais e/ou locais