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제24회 울학생탐 발표대회 보고
※출품번호 내용물에 따른 용기의
성모멘트 측정
(진자의 주기를 이용)
2009. 8. 28.
청 학 명 학 년 명(팀명)
강동 육청 풍 중학 3 호
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※ 탐구주제
<내용물에 따른 용기의 성모멘트 측정(진자의 주기를 이용)>
I.탐구 계획
가.탐구 동기
학교 1학년 여름방학 때 나는 '통 속 내용물의 종류 질량 차이와 회 이동거리
의 련성 탐구'라는 주제로 탐구발표 회에 나간 이 있다.이 탐구는 용수철 기구를
만들어서 내용물이 든 통을 어 얼마나 멀리 이동하는지 그 거리를 재서 비교하는 실험
이었는데,당시에 했던 실험은 통이 용수철에 잘 맞지 않아 거리가 정확하게 측정되지 않
았고,결과를 해서 명확하게 해석하지 못해서 상당한 아쉬움이 남았었다.
따라서 나는 이번 탐구에서 지 까지 공부했던 물리 지식들을 이용하여 1학년 때는 측
정하지 못하고 비교만 하 던 통의 회 성을 직 측정,수치화해서 비교해보고,내용
물에 종류와 양에 따른 회 성의 변화를 보다 정확하게 비교하고자 하 다.
나.탐구 목 알아보고 싶은
1.내용물의 양이 같을 때,내용물의 종류에 따라 성모멘트 값이 어떻게 달라지는
지 알아본다.
2.내용물의 종류가 같을 때,통 속에 든 내용물의 양에 따라 성모멘트 값이 어떻
게 달라지는지 알아본다.
3.결과가 어떻게 나왔으며, 이 결과가 나오게 된 이유를 과학 으로 분석해본
다.
다.탐구 기간 기간별 탐구 내용
2009년 8월 1일 ～ 2009년 8월 9일
탐구 주제 선정
2009년 8월 10일 ～ 2009년 8월 16일
련 서 참조 실험 계획
2009년 8월 17일 ～ 2009년 8월 20일
실험 비물 구매 실험 비
2009년 8월 21일 ～ 2009년 8월 22일
실험․탐구
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2009년 8월 23일
실험 결과 분석
2009년 8월 24일 ～ 2009년 8월 25일
탐구보고서 작성 수정
2009년 8월 28일
탐구발표 회 출품
II.탐구 비
가.실험 방법 고안
1학년 때 했던 탐구와 연계하여 통의 회 성( 성모멘트)을 측정하려면 회 성의
정의가 필요하다.
1. 성모멘트에 하여
강체를 작은 입자의 모임으로 생각하고,이 강체가 각속력 ω로 고정된 축에 하여 회
한다고 가정하자.
사진 1. 강체 회전운동에 지
이러한 개개 입자의 운동 에 지는 그 질량과 선 속력에 의해 정해진다.번째 입자의
질량은 ,속력을 라 하면 이 입자의 운동에 지는
이 된다.강체 내의 모든 입자는 같은 각속력 ω를 갖지만,그들 각각의 선 속력을 회
축으로부터의 거리에 의해서 결정된다.회 강체의 체 운동에 지는 각 입자의 운동에
지의 합이다.
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이 식을 다시 쓰면 다음과 같다.
여기서 은 모든 입자에 하여 동일하므로 호 밖으로 뽑아냈다. 호 안의 양을
성 모멘트(momentofinertia)로 정의하고 이것을 I로 표시하면
이 된다.( 학물리학 I(PhysicsforScientistsandEngineerswithModernPhysics),
RaymondA.Serway,p211-212.)
2.평행축 정리
질량 심을 지나는 임의의 축에 한 성모멘트를 이라고 하자.평행축 정리에
따르면 질량 심을 지나는 축으로부터 거리 D만큼 떨어져 있고 이 추과 평행한 축에
한 성 모멘트는 다음과 같다.
( 학물리학 I(PhysicsforScientistsandEngineerswithModernPhysics),Raymond
A.Serway,p215.)
3.물리 진자
철사로 만든 옷걸이의 무게 심을 잘 맞추면 옷걸이에 달린 고리 부분에 둘째 손가락
을 사용하여 지지할 수 있다.이 옷걸이를 다른 손으로 조그만 각변 만큼 움직여서 놓는
다면 그것은 진동하게 된다.매달려 있는 물체가 질량 심을 통과하지 않는 고정축 주
로 진동하며 그 물체가 질 으로 정확히 근사될 수 없다면,그 계를 단진자로 취 할 수
없다.이 경우 그 계를 물리 진자(Physicalpendulum)라 한다.
( 략)물리진자의 주기는 다음과 같다.
( 학물리학 I(PhysicsforScientistsandEngineerswithModernPhysics),Raymond
A.Serway,p342.)
와 같이 물리 진자와 평행축 정리를 이용하면 질량 심이 회 축이 되었을 때 통의
성모멘트를 측정할 수 있다.
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※ 평행축 정리와 물리 진자는 평면 강체에서 정의된 것이라고도 하는데,평면 강체에서
정의되더라도 통의 회 성을 측정하는 데에는 문제가 없을 것으로 본다.이것은 통을
근사 으로 여러 개의 질량 심이 같은 치에 있는 평면들이 모여서 이루어진 기둥이라
고 볼 수 있기 때문이다.뒤의 실험 방법에서 언 되겠지만,통에 같은 길이의 을 여러
개를 연결하여 진동시키면,이 상황은 마치 같은 질량 심의 여러 개의 평면들이 같은
길이의 실로 단진동 하는 상황과 같다. 한 성 모멘트는 스칼라량이므로 이 평면들의
성모멘트를 모두 더하면 통의 성모멘트가 된다.(아래 실험에서 실의 질량은 거의 무
시될 수 있다.)
나.실험 비
략 인 실험과정은 다음과 같다.
1)같은 크기와 모양의 3개의 우유병에 체 높이의 1/4,1/2,3/4되는 지 에 각
각 낚싯 을 세 번씩 감아 묶고,묶고 나서 50cm를 남기고 낚싯 을 자른다.(이
때,테이 의 크기와 붙이는 치를 세 병 모두 같게 하고,묶고 50cm를 남긴 낚싯 의
시작 을 세 지 이 평행하게 한다.)
사진 2. 낚싯 묶 병
2)회 축(실험에서는 빨래 걸이를 사용)에 두꺼운 종이를 걸어 놓고,회 축에서
수직으로 40cm되는 지 에 표시한다.
3)빈 통을 회 축에 매달아(빈 통과 회 축이 평행이 되게 함)진동시켜 그 궤도
를 략 으로 악한다.
4)40cm되는 지 에 표시한 곳에서 많이 멀지 않은 궤도상의 한 을 택해서 표
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시한다.
사진 3. 회전 에 종 착 사진 4. 종 에 시 점 표시
5)세 병에 물,기름,흙을 각각 통 체 높이의 1/4씩 넣는다.
사진 5. 통에 흙 기 사진 6. 내 물 통
6)세 병의 질량을 잰다.
사진 7. 질량 측정
7)각 병을 부착된 낚싯 을 이용하여 회 축에 연결시켜 진자를 만든다.이 때
통의 앙이 [2)]에서 표시한 40cm 지 에 오게 하도록 한다.(질량 심이 가능한
가까이 40cm 지 에 오게 하기 함)
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사진 8. 진 형
8)[4)]에서 표시한 지 까지 통을 궤도를 따라 올리고,통을 놓아 진동 운동시
켜 다시 원 치로 돌아올 때 까지 걸린 시간(주기)을 10번 정도 반복하여 측정한
다.
사진 9. 진 주기 측정
9) 의 과정을 빈 통의 경우와 체 높이의 1/2,3/4,1만큼 채우고 반복한다.
III.탐구
가.실험 1-내용물을 통의 1/4만큼 채웠을 경우
통에 1/4만큼 내용물을 채웠을 경우 그 주기는 다음과 같다.(주기의 단 : )
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표 1.통의 1/4만큼 채웠을 때 내용물에 따른 주기 측정
구분 물 기름 흙
1차 1.32 1.24 1.39
2차 1.33 1.26 1.41
3차 1.33 1.29 1.42
4차 1.35 1.29 1.42
5차 1.36 1.31 1.43
6차 1.36 1.31 1.44
7차 1.37 1.31 1.45
8차 1.38 1.32 1.47
9차 1.38 1.32 1.48
10차 1.39 1.33 1.49
11차 1.39 1.34 1.5
주기의 평균(단위 : 초) 1.36 1.301818 1.445455
사진 10. 기름 질량 측정
사진 11. 기름 진 운동
실험 결과
실험 결과 물이 1.36 ,기름이 1.30 ,흙이 1.44 가 나와 체 인 주기의 순서는 흙
>물 >기름 순이 되었다.
나.실험 2-내용물을 통의 1/2만큼 채웠을 경우
통에 1/4만큼 내용물을 채웠을 경우 그 주기는 다음과 같다.(주기의 단 : )
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표 2.통의 1/2만큼 채웠을 때 내용물에 따른 주기 측정
구분 물 기름 흙
1차 1.46 1.45 1.46
2차 1.5 1.46 1.5
3차 1.5 1.46 1.51
4차 1.5 1.46 1.52
5차 1.51 1.48 1.53
6차 1.52 1.49 1.54
7차 1.56 1.5 1.54
8차 1.57 1.5 1.54
9차 1.57 1.51 1.57
10차 1.58 1.53 1.57
11차 1.59 1.54 1.59
주기의 평균(단위 : 초) 1.532727 1.489091 1.533636
사진 12. 1/2 채운 통
사진 13. 물 질량 측정
실험 결과
실험 결과 물이 1.53 ,기름이 1.48 ,흙이 1.53 로 물과 흙이 거의 비슷했지만 기름
은 이보다 주기가 짧았다.
다.실험 3-내용물을 통의 3/4만큼 채웠을 경우
내용물을 통의 3/4만큼 채웠을 경우 측정한 주기는 다음과 같다(주기의 단 : )
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표 3.통의 3/4만큼 채웠을 때 내용물에 따른 주기 측정
구분 물 기름 흙
1차 1.46 1.47 1.57
2차 1.46 1.52 1.58
3차 1.46 1.53 1.59
4차 1.46 1.54 1.59
5차 1.47 1.54 1.6
6차 1.47 1.54 1.6
7차 1.48 1.55 1.61
8차 1.48 1.55 1.62
9차 1.48 1.56 1.63
10차 1.49 1.56 1.64
11차 1.49 1.56 1.65
주기의 평균(단위 : 초) 1.472727 1.538182 1.607273
실험 결과
실험 결과 물이 1.47 ,기름이 1.53 ,흙이 1.60 로 체 인 순서는 흙 >기름 >물
이었다.
라.실험 4-내용물로 통의 체를 채웠을 경우
표 4.통을 모두 채웠을 때 내용물에 따른 주기 측정
구분 물 기름 흙
1차 1.38 1.34 1.43
2차 1.38 1.34 1.45
3차 1.39 1.36 1.45
4차 1.39 1.37 1.46
5차 1.4 1.37 1.47
6차 1.41 1.37 1.51
7차 1.41 1.37 1.51
8차 1.41 1.4 1.51
9차 1.41 1.41 1.55
10차 1.43 1.42 1.56
11차 1.44 1.42 1.57
주기의 평균(단위 :초) 1.404545 1.379091 1.497273
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실험 결과
실험 결과 물이 1.4 ,기름이 1.37 ,흙이 1.49 로 체 인 순서는 흙 >물 >기름
이 되었다.
※ 실험 4의 흙의 경우 낚싯 이 약간 늘어져 회 축에서 질량 심까지의 략 인
거리가 40cm가 아니라 45.5cm이 되었다.
사진 14. 회전 에 매달 기름통
마.실험 5-빈 통의 주기 측정
빈 통의 주기를 측정하여 다음과 같은 결과를 얻었다.(주기의 단 : )
표 5.빈 통의 주기 측정
구분 주기
1차 1.28
2차 1.31
3차 1.31
4차 1.31
5차 1.33
6차 1.33
7차 1.33
8차 1.35
9차 1.36
10차 1.36
11차 1.39
주기의 평균(단위 : 초) 1.332727
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IV.탐구 결과 분석
이 분석에서 계산되는 성모멘트는 '평균 인' 성모멘트라고 할 수 있다.왜냐하면,
물이나 기름이 가득 차 있지 않은 경우 이들은 유체이기 때문에 진자가 흔들릴 때 질량
심의 치가 바뀔 수 있기 때문이다.그러나 질량 심의 치가 바 더라도 통 안에서
바 기 때문에 그 변화가 미미해서 이는 무시가 가능하므로 '평균 인' 성모멘트라 하
고 분석하도록 하겠다.
가.물리 진자 상태에서의 성모멘트 계산
앞에서 물리 진자의 주기는
이었다.이 식을 정리하면 성모멘트 I는
이 된다.즉,통의 성모멘트를 구하기 해 필요한 것은 통의 질량, 력가속도,회 축
에서 질량 심까지의 거리,진자의 주기이다.실험을 통해 얻은 값은 다음과 같다.
(모든 표의 수치는 SI단 이다.)
표 6.여러 가지 측정 값
구분 거리 주기(물) 주기(기름) 주기(흙) 중력가속도
빈 통(실험 5) 0.4 - - -
9.81
실험 1 0.4 1.36 1.301818 1.316364
실험 2 0.4 1.532727 1.489091 1.533636
실험 3 0.4 1.472727 1.538182 1.607273
실험 4 0.4(흙은 0.455) 1.404545 1.379091 1.497273
표 7.통의 질량
구분 빈 통 통(물) 통(기름) 통(흙)
실험 1 0.058 0.321 0.284 0.331
실험 2 0.058 0.619 0.549 0.714
실험 3 0.058 0.891 0.822 1.175
실험 4 0.058 1.088 0.992 1.428
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이를 통해 얻은 각 진자의 성모멘트 값은 다음과 같다.(표와 그래 의 성모멘트 단
도 SI단 이다.)
표 8.통 속 내용물에 따른 성모멘트 값(진자)
구분 물 기름 흙
빈 통 0.01024 0.01024 0.01024
실험 1 0.059014 0.04784 0.068379
실험 2 0.144541 0.121 0.166921
실험 3 0.192084 0.193311 0.301708
실험 4 0.211339 0.187528 0.361952
그래 1.통 속 내용물의 종류와 양에 따른 성모멘트 값.(진자)
나.회 축이 질량 심일 때 성모멘트 계산
평행축 정리를 이용하여
회 축이 질량 심일 때 성모멘트를 구할 수 있다.여기서 D=0.4(실험 4흙의 경우
0.455)I는 각 경우의 성모멘트 값을 표에서 입하면 된다.이를 이용하여 구한 성모
멘트 값은 다음과 같다.( 성모멘트의 단 는 SI단 이다.)
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표 9.통속 내용물에 따른 성모멘트 값(질량 심)
구분 물 기름 흙
실험 1 0.007654 0.0024 0.015779
실험 2 0.045501 0.03316 0.052681
실험 3 0.049524 0.061791 0.113708
실험 4 0.039529 0.028808 0.06632
그래 2.통 속 내용물의 종류와 양에 따른 성모멘트 값.(질량 심)
다.분석 -물리 진자에서의 성 모멘트
[그래 1.]에서 빈 통인 상태에서 내용물이 채워질수록 성모멘트 값이 증가하는 것
을 알 수 있다.특히 흙의 성모멘트 증가율이 가장 컸고,다음으로 물,기름 순서여서
실험 4( 체가 채워지는 경우)에서는 흙의 성모멘트가 가장 컸고,물,기름의 순서 로
성모멘트의 값이 작아졌다.기름의 경우 실험 3보다 실험 4의 성모멘트 값이 작았는
데,이는 흙과,물이 실험 3에서 증가하는 것으로 서 실험하는 도 에 생긴 오차에 의
해 측정된 결과라는 생각이 든다.따라서 진자의 경우는 체 으로 계속 증가하는 경향
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을 보 고.이는 물리 진자의 회 축에서 통이 40cm 정도 멀리 떨어져 있기 때문에 그런
것으로 생각된다.회 축에서 멀리 떨어지게 되면,운동하는 도 통 속 내용물의 움직임
의 효과(뒤에서 다루게 된다.)가 작아지게 되지만,통의 체 질량은 계속 증가하게 되므
로 성모멘트가 증가하게 된다.그리고 증가율은 체 으로 흙 > 물 > 기름 순인데,
이는 도와 연 이 있는 것으로 볼 수 있다. 성모멘트는 질량과 회 축에서의 거리와
련이 있는데,흙은 물이나 기름보다 도가 크므로 같은 부피만큼 담으면 통의 질량의
증가율은 같은 경우의 물이나 기름보다 크다.따라서 성모멘트 값도 물이나 기름에 비
해 더 많이 증가하는 것이다.같은 원리로 물의 성모멘트 증가율이 기름의 증가율보다
크다.(질량 증가에 의한 회 성의 증가 효과)
라.분석 -회 축이 질량 심인 경우의 성 모멘트
1)유동성 결여에 의한 성모멘트 증가 효과
기름의 도가 물의 도보다 작음에도 불구하고 같은 부피에서 기름의 성모멘트가
더 큰 구간을 발견할 수 있다 .이 이유는 바로 통속의 내용물의 유동성 차이에 있었
는데,이는 통 속에 있는 내용물이 회 을 하게 되면,아래 방향으로 움직이게 되는
힘( 력)을 받게 되어 아래쪽으로 내려가려 하고,이는 회 을 방해하는 요소로 작용
하게 된 것이다.그리고 이러한 효과는 내용물의 유동성이 작을수록 커서,물,기름,흙
에서 흙이 이 효과를 많이 받고,그 다음으로 기름,물 순이다.그리고 통 속 내용물이
어느 정도 증가하면 성모멘트가 감소하게 되는데,이는 통 속의 내용물이 차 으로
가득 차게 되면서 큰 비 을 차지하고 있었던 내용물의 유동성에 의한 효과가 사라지
게 되기 때문이다.즉,질량에 의해 성모멘트가 증가하는 효과보다,통 속 내용물의
유동성 결여에 의해 성모멘트가 증가하는 효과가 더 큰 것이다.그러므로 내용물이
간정도로 들어있는 통보다 가득 든 통이 더 회 시키기 쉽다.
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2)이번 탐구에서 얻은 결과
1.이번 탐구 역시 내용물이 다른 세 통에서 모두 성모멘트 값이 증가하다가 감소한
것으로 보아,내용물이 가득 들어있을 때 굴리기 쉬워지는 효과가 있다는 것을 알 수
있었다.
2.그래 상 1/2과 3/4지 사이(가로축 2번과 3번 사이)에서 물의 그래 와 기름의 그
래 가 만나는 까지,즉 빈통부터 내용물의 양이 체 통의 5/8정도 차기 까지는
물의 성모멘트 값이 기름의 성모멘트 값보다 크다.즉,이 범 에서 내용물의 유동
성에 의해 성모멘트가 증가하는 효과보다는 내용물의 질량에 의해 성모멘트가
커지는 효과가 더 우세한 것이다.
3.그러나 이후 가로축 2.5지 과 3.5지 사이까지는 기름의 성모멘트 값이 물
의 성모멘트 값보다 크다.즉,내용물의 양이 체 통의 5/8에서 7/8일 때까지는 내
용물의 유동성의 의한 성모멘트 증가 효과가 질량에 의한 성모멘트 증가 효과보
다 큰 것이다.
4.3.5지 부터 4번 지 ,즉 내용물의 양이 체 통에 7/8에서 가득 찰 때까지는
다시 물의 성모멘트가 기름의 성모멘트 값보다 크다.즉,이 떄는 질량의 의한
효과가 유동성 차이에 의한 효과보다 큰 것이다.
5.흙은 이와 무 하게 물과 기름의 경우보다 항상 성모멘트 값이 큰데,이는 흙
은 고체이기 때문에 물이나 기름보다 유동성 차이에 의한 효과가 크고, 도가 커
서 질량에 의해 성모멘트가 증가하는 효과도 크기 때문이다.
6. 한 통이 가득 참으로 인해 굴리기 쉬운 효과가 있는 것은 사실이나,이 경우에
도 통 속에 든 내용물의 양이 매우 작을 때의 경우보다는 성모멘트 값 이 크다.즉
내용물이 ' 당히 들어있는 경우'보다는 가득 찬 통이 굴리기 쉽다는 것이다.
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V.결론 요약
1.내용물이 든 통의 회 성이 증가하는 이유는 크게 두 가지가 있다.(질량이 증
가해서 회 성모멘트가 커지는 효과,회 하면서 내용물이 아래로 힘을 받게 되어
회 을 방해하여 회 성모멘트가 커지는 효과)이 두 가지 어느 것이 더 향을
많이 미치는 가의 여부는 통에 든 내용물에 양에 따라 다르다.
2.통의 든 내용물이 증가할수록 성모멘트가 커지게 된다.즉,회 시키기 어려워
지게 된다는 것이다.그러나 어느 순간부터 양이 증가할수록 성모멘트의 값이 작아
지게 되는 구간이 있으며,이는 통이 가득 찰 때 까지 지속된다.즉, 당히 차있는
통보다는 가득 찬 통이 굴리기 쉽다는 것이다.그러나 가득 찬 통이 무조건 굴리기
쉽다는 것은 아니다.통 속의 든 내용물의 양이 거나 빈 통이며,이 경우가 가득 찬
통보다 굴리기가 쉽다.
VI.탐구 후 느낀
2년 탐구보고서를 작성할 때 회 성에 한 값을 명확하게 수치화하지 못해서 큰
아쉬움이 남았었는데,이번 탐구에서 조 이나마 이 아쉬움을 해결할 수 있어서 탐구를
하는 동안 즐거웠다. 한 내가 직 궁 증을 풀기 해 서 을 찾아보고,실험을 설계
하여 이것을 통해 수치를 얻어 그래 를 그려 결과를 얻어내는 것은 탐구 내내 평소에
맛 볼 수 없었던 흥미로움이었다.
등학교 6학년 때부터 지 까지 매 여름방학마다 탐구보고서를 제작하는 동안,조
더 과학에 한 나의 지식을 넓히게 된 것 같아 기분이 좋다. 한 앞으로 내가 살아가는
과정에서 이 게 직 실험하고 결론을 내어 탐구보고서를 제작하 던 경험들이 큰 보탬
이 될 것이라고 생각한다.
VII.참고문헌
1. 학물리학 I[Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 6th
Edition](RaymondA.Serway.JohnW.Jewett;북스힐;2005)
2.통 속 내용물의 종류 질량 차이와 회 이동거리의 련성 탐구(권세호 ;2007)
