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Particle detection and interactionsFísica de Partículas (2 aulas) - Outubro 2011
Fernando Barao
Departamento de Fısica
IST - Instituto Superior Tecnico
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -1- Detection and interactions
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -2- Detection and interactions
Cinemática relativista
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -3- Detection and interactions
Relativistic mechanics
✔ Total Energy
E = γmc2 = mc2√1−β2
[GeV]
✔ Linear Momentum
~p = γm~v = m~v√1−β2
[GeV/c]
✔ Kinetic Energy
T = E −mc2 = (γ − 1)mc2 [GeV]
✔ Lorentz factor
γ = 1 + Tmc2 γ = E
mc2
γ2 = 11−β2 ⇒ β =
√1− 1
γ2
γβ = pm c =
√(Em
)2 − 1
Relação entre ~p e E
E2 = (pc)2 + (mc2)2
~pE = γm~v
γmc2 = ~vc = ~β
Natural Units
✔ Energy
1 [eV] ≃ 1.6× 10−19 [C] . 1 [V]
1 [eV] ≃ 1.6× 10−19 [J]
Massasme 0.511 MeV/c2
mµ 105.658 MeV/c2
mπ 139.570 MeV/c2
mp 938.272 MeV/c2
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -4- Detection and interactions
Interacções de partículascom a matéria
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -5- Detection and interactions
Interacções das partículas : sumário
✔ noc ao de secc ao eficaz
✔ livre percurso m edio
✔ probabilidade de interacc ao
✔ detecc ao de partıculas
✔ interacc ao de partıculas carregadas
◮ perda de energia : aprox. cl assica
◮ express ao de Bethe-Bloch
◮ exemplo : medida da perda de energia em AMS
✔ perda de energoia em electr oes
✔ Range da partıcula
✔ multiple scattering
✔ interacc ao de fot oes
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -6- Detection and interactions
Interaction rate : cross section ( σ)
A secção eficaz de um processo físico :
✔ traduz a possibilidade de ocorrência do processo
✔ o seu cálculo é possível, conhecendo as leis de interacção
entre as partículas
✔ possui unidades de área (1 barn = 10−28 m2)
∆ x
Φ
Rint = ΦA σ n∆x
A taxa de interacções (Rint) depende de :
✔ taxa de partículas incidentes Rinc = Φ A [/sec]
◮ Φ ≡ fluxo de partículas incidentes [m−2.s−1]
◮ A ≡ área de incidência do feixe [m2]
✔ densidade de partículas-alvo por unidade de área
ntarget = n∆x [/m2]
◮ n ≡ densidade de partículas-alvo [m−3]
◮ ∆x ≡ espessura do alvo [m]
✔ . . .e obviamente da secção eficaz σ
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -7- Detection and interactions
Interaction probability
A probabilidade que uma partícula tem de interagir
por unidade de comprimento do material
atravessado, depende de :
n densidade de alvos [/m3]
σ secção eficaz [m2]
A densidade de alvos de um material qualquer
depende de :
ρ densidade do material [gr/cm3]
A massa de uma mole [gr]
NA número de Avogadro [/mole]
p = n σ
n = NA × ρ
A︸︷︷︸nb of moles per cm3
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -8- Detection and interactions
Probabilidade de Interacção numa distância x
Suponhamos um feixe de N partículas a atravessar um material de
densidade ρ [gr/cm3], no qual a probabilidade de interacção por
unidade de comprimento é p = NAρAσ
dx
N
• O número de partículas sobreviventes após terem percorrido uma
distância dx :
N(x+ dx) = N(x)− p dx N︸ ︷︷ ︸• Como N(x+ dx) ≃ N(x) + dN
dxdx, tem-se :
dN = −p dx N
• Integrando :∫ N
N0
dNN
= −∫ ℓ
0p dx, obtém-se : N = N0 e−p ℓ
• A probabilidade de a partícula não interagir após percorrer uma
distância ℓ é então : Pint = e−p ℓ
✔ p = NAρAσ
✔ N = N0 e−p ℓ
✔ Pint = e−p ℓ
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -9- Detection and interactions
Livre Percurso Médio ( λint)
O livre percurso médio de uma partícula define-se como sendo o
valor médio da distância percorrida pela partícula sem que tenha
sofrido qualquer interacção :
λint =
∫∞0
x Pint(x) dx∫∞0
Pint(x) dx
Como a probabilidade de uma partícula não interagir ao
atravessar uma distância x de material é Pint(x) = e−p x, vem :
λint =
∫∞0
x e−p x dx∫∞0
e−p x dx
=
[−x
p e−p x
]∞0
+∫∞0
1pe
−p x dx[1pe
−p x]∞0
=1
p
✔ λint =1p
✔ p = 1λint
✔ Pint = e− x
λint
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -10- Detection and interactions
Interacções das partículas com a matéria
Detecção de partículas
✔ a detecção das partículas neutras (fotões ) ou carregadas (electrões, muões,
protões ) faz-se através da sua interacção com a matéria.
✔ as partículas carregadas interagem essencialmente através de mecanismos
de ionização e excitação do átomo. No caso das partículas relativistas a
perda de energia por radiação de Bremsstrahlung também tem que ser
considerada.
✔ os fotões interagem com a matéria, produzindo partículas carregadas, através
dos mecanismos efeito fotoeléctrico , efeito de Compton e produção de
pares .
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -11- Detection and interactions
Perda de energia de uma partícula carregada ( dEdx )
✔ Colisões inelásticas com o átomo
A passagem de uma partícula carregada por um meio material é caracterizada por uma perdade energia
( dEdx
), devido essencialmente às colisões inelásticas com os electrões atómicos do meio. Ocorre assim uma
excitação do átomo ou mesmo a sua ionização .
◮ Apesar da quantidade de energia transferida em cada colisão ser pequena, o grande número de colisões
existentes leva à perda de energia .
✔ Dispersão elástica pelo núcleo
Muito pouca energia transferida devido à diferença de massas núcleo-partícula incidente.
◮ Desvio da partícula da trajectória inicial (multiple scattering)
✔ Bremsstrahlung
Electrões deflectidos no campo eléctrico do núcleo (~a = d~vdt
), radiam.
✔ Radiação de Cerenkov
Ondas de choque electromag. criadas quando a velocidade da partícula é maior que a da luz no meio (v = cn
)
✔ Radiação de Transição
Emissão de radiação electromagnética quando partículas altamente relativistas atravessam materiais dieléctricos
diferentes.
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -12- Detection and interactions
dEdx : aproximação clássica (fórmula de Bohr)
Vejamos o que se passa na interacção de uma partícula pesada de massa m,
carga ze e velocidade ~v com um electrão atómico que se encontra à distância b
da trajectória da partícula.
✔ Assume-se o electrão como livre e inicialmente em repouso e a partícula
pesada incidente não sofre desvio.
Momento linear transferido transferido para o electrão
∆p =
∫ +∞
−∞~F dt =
∫e ~E dt
Do campo eléctrico aplicado, pode-se considerar somente a componente
transversa E⊥ e tendo como dt = dxv
:
∆p =e
v
∫ +∞
−∞E⊥ dx
Tendo em conta o fluxo do campo eléctrico transverso :
∆p =z e2
2 π ε0 v b
v
M
e
b
v
E E
Ze
e
Fluxo do campo ~E
Pela lei de Gauss tem-se :
∫~E⊥ · d~S = z e
ε0∫E⊥ 2πb dx = z e
ε0
∫E⊥ dx = z e
2 π ε0 b
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -13- Detection and interactions
dEdx : energy transfer ( ∆E)
✔ The incident charged particle (ze) can interact with both
nuclei and electrons of the atoms
✔ The transfered energy to the bound particle (mass, m
and charge, Z) :
∆E =∆p2
2 m=
(1
4πε0
)2 1
m c22 z2 Z2 e4
b2 β2
=(me c2)2
m c22 z2 Z2
β2
( re
b
)2
✔ A large contribution to the energy transfer from close
interactions is espected from the dependence,
∆E ∝ 1b2
✔ The ratio of the energy transfered to electrons
(m = me) and nucleus (m = A mp) :
∆E(e)
∆E(n)=
2
Z
mp
me∼ 4000
Z
atomic electrons are responsible for most of the energy loss
The classical electron radius is obtained by
looking into the equivalence of the relativistic
energy (E = mec2) and the electron
electrostatic energy (Ue).
Calculating the electrostatic energy stored by a
uniform charged sphere of radius re :
✔ work to bring dq to a sphere charged with q :
dW = φdq = 14πε0
qrdq
with,
q = ρ 43πr3, dq = ρ4πr2dr
dW = 43
πε0
ρ2r4dr
✔ sphere electrostatic energy (e = ρ4/3πr3e ) :
UE = 43
πε0
ρ2∫ re0 r4dr = 3
5e2
4πε0
1re
✔ classical electron radius :
mec2 = e2
4πε0
1re
⇒ re = 14πε0
e2
mc2
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -14- Detection and interactions
dEdx : aproximação clássica (fórmula de Bohr)
Energia transferida para o electrão
∆E =p2
2 me=
1
2 me
(z e2
2 π ε0 v b
)2
Para se obter a energia total perdida pela partícula, temos que ter em conta o
número total de electrões existentes na região de parâmetro de impacto relevante.
Energia perdida pela partícula para os electrões do meio
dE(b) = ne 2 π b db dx ∆E =
(z e2
)2
4 π ε20
ne
me v2db
bdx
Integrando no parâmetro de impacto db :
−dE
dx=
(z e2
)2
4 π ε20
ne
m v2ln
(bmax
bmin
)
Número de electrões
x
dx
db
Numa coroa cilíndrica
infinitesimal de espessura db,
onde a densidade de electrões
é ne, tem-se :
d ne = ne 2 π b db dx
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -15- Detection and interactions
dEdx : aproximação clássica (fórmula de Bohr)
Limites do parâmetro de impacto
Para se estabelecer os limites dos parâmetros de impacto, isto é, as distâncias mínimas e
máximas de interacção entre a partícula incidente e o electrão, devem-se ter em conta alguns
argumentos físicos.
bmin
O parâmetro de impacto mínimo é estabelecido pelo comprimento de onda de De Broglie do electrão,
bmin ∼ λ = hp= h
γ m v
bmax
O parâmetro de impacto máximo : assume-se a interacção entre o campo eléctrico da partícula incidente e um
electrão livre. No entanto :
✔ os electrões encontram-se ligados aos átomos, possuindo uma dada frequência orbital associada (ν)
✔ a aproximação do electrão livre pode ser feita se o tempo de colisão for pequeno quando comparado com o
período T = 1ν
do electrão ; o tempo de interacção é dado por : tint ∼ bγ
1v
tint < T ⇒ bmax ∼ γvν
b
eT
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -16- Detection and interactions
dEdx : aproximação clássica (fórmula de Bohr)
Substituindo os limites dos parâmetros de impacto :
−dE
dx=
(z e2
)2
4 π ε20
ne
me v2ln
(γ2 m v2
h ν
)
As frequências dos electrões que interagem com a partícula variam, tomando-se portanto um valor médio para a sua
energia < I >= hν ,
−dE
dx=
(z e2
)2
4 π ε20
ne
me v2ln
(γ2 m v2
< I >
)
Existe uma dependência da densidade electrónica do meio atravessado ne ; observar-se-ão então variações
grandes de energia perdida para diferentes meios. No entanto, tendo em conta que :
ne = ρA
NA Z ⇒ neρ
= ZA
NA ∼ cte
pode-se definir a variável espessura : t = ρ x [g.cm−2]
−dE
dt=
(z e2
)2
4 π ε20
NA
me v2Z
Aln
(γ2 m v2
< I >
)[MeV.cm2.g−1]
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -17- Detection and interactions
Quantum treatment of the energy loss
✔ Bethe and Bloch in the early 1930s treated the energy loss problem taking into
account Quantum Mechanics principles :
◮ energy transfer to atomic electrons occur in discrete amounts
◮ wave nature of particles
✔ atomic collisions classified according to momentum transfer to the atomic
electron. Classicaly, to large impact parameters correspond low momentum
transfers and vice-versa
✔ the energy loss by the traversing particle due to the atomic electrons
interactions :
dE ∼∫
w · dσ
dwdw · ne
︸ ︷︷ ︸prob
· dx
◮ energy loss in every collision, w
◮ electron density, ne = Z ρA NA
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -18- Detection and interactions
dEdx : a fórmula de Bethe-Bloch
O cálculo da perda de energia pela mecânica quântica foi realizado por Bethe e Bloch.
−1
ρ
dE
dx≡ −dE
dt= 2 π NA r2e mec
2
︸ ︷︷ ︸0.1535 MeV ·cm2.g−1
Z
A
z2
β2
[ln
(2 me γ
2 v2 Tmax
I2
)− 2β2 − δ
]
re Raio clássico do electrão (re = 2.817 × 10−13 cm)
re = e2
4 π ε0 mec2
me Massa do electrão (me = 0.511 MeV/c2 )
NA Número de Avogadro (Na = 6.023 × 1023 mol−1)
ρ Densidade do meio material atravessado
z Carga eléctrica da partícula incidente
Z Número atómico do meio material
A Número de massa do meio material
I Energia média de excitação
I
Z=
{12 + 7
Z [eV ] (Z<13)
9.76 + 58.8Z−1.19 [eV ] (Z>=13)
β Velocidade da partícula incidente (β = vc )
γ Factor de Lorentz (γ−1 =√
1 − β2)
δ Correcção de densidade
Tmax Energia máxima transferida na colisão
Tmax ∼ 2 mec2 β2 γ2 (M >> me)
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -19- Detection and interactions
dEdx : a correcção de densidade ( δ)
A partícula incidente no material polariza os átomos e desta forma os electrões mais afastados vêem
um campo eléctrico menor. A correcção de densidade δ é aplicada para se ter em conta o facto de os
electrões mais distantes contribuirem então menos para a perda de energia.
δ =
0 X < X0
4.6052 ·X + C + a (X1 −X)m X0 < X < X1
4.6052 ·X + C X > X1
X = log (βγ) = log
1√
1β2 − 1
Material I [eV] -C a m X1 X0
Plástico Cintilador 64.7 3.20 0.1610 3.24 2.49 0.1464
Ar 85.7 10.6 0.1091 3.40 4.28 1.742
Água (H2O) 75 3.50 0.0911 3.48 2.80 0.24
Chumbo (Pb) 823 6.20 0.0936 3.16 3.81 0.3776
Ferro (fe) 286 4.29 0.1468 2.96 3.15 -0.0012
Alumínio (Al) 166 4.24 0.0802 3.63 3.01 0.1708
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -20- Detection and interactions
Perda de energia do muão ( µ) no Cobre
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -21- Detection and interactions
dEdx : dependência na energia
A perda de energia de uma partícula carregada mostra uma dependência com a velocidade que
varia para diferentes regiões de velocidade.
✔ Para muito baixas velocidades (β < 0.05), a fórmula de Bethe-Bloch deixa de se verificar. Neste
domínio em que a velocidade da partícula é comparável à velocidade dos electrões atómicos, a
partícula atrai electrões diminuindo a sua carga efectiva e desta forma a perda de energia diminui.
✔ Para velocidades da partícula na região β ∼ [0.05, 0.1] a perda de energia é dominada pelo factor
1/β2, diminuindo até um valor mínimo obtido em β ∼ 0.96 ou γβ ∼ 3.5 ; este valor de dEdx
mínimo é conhecido como minimum ionizing value.
A dependência da perda de energia dEdx
∝ 1β2 ∝ M
Ena massa é usada para a identificação de
partículas nesta região de velocidades.
✔ Para velocidades acima do dEdx
mínimo, o termo ln(γβ) domina, dando origem à região de
relativistic rise.
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -22- Detection and interactions
Energy loss
✔ A perda de energia por colisões atómicas só depende da velocidade da partícula incidente
✔ A perda de energia mínima acontece para γβ ∼ 3.5 (minimium ionizing particle)
✔ dEdt
∝ β−5/3
✔ dEdt
|min ∼ 2 MeV.cm2/g
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -23- Detection and interactions
dEdx : desenvolvimento e aproximações
Desenvolvendo :
ln(
2meγ2v2TmaxI2
)= ln
(2mec
2
Iγ2v2
c2Tmax
I
)= ln
(2mec
2
I
)+ ln
(γ2v2
c2
)+ ln
(Tmax
I
)
e tendo em conta que para massas M >> me : Tmax ∼ 2mec2β2γ2, vem :
ln(
2meγ2v2TmaxI2
)= ln
(2mec
2
I
)+2 ln (γβ)+ln
(2mec
2
I
)+2 ln (γβ) = 2 ln
(2mec
2
I
)+4 ln (γβ)
A perda energia vem então expressa como :
1ρ
dEdx
≃ 0.1535β2
Z
A︸︷︷︸∼0.5
z2[2 ln
(2 me c2
I
)+ 4 ln (γβ)− β2 − δ
2
][MeV.cm2.g−1]
Ou numa aproximação mais grosseira : 1ρ
dEdx
≃ 0.1535β5/3 z2
[ln
(2 me c2
I
)][MeV.cm2.g−1]
Silicium
Z=14
ρ = 2.33 gr/cm3
1β2 = 1 +
(1γβ
)2
1
10
1 10 100
gamma*beta
dE/dx Silicium
f1(x)f2(x)
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
1 10
gamma*beta
dE/dx Silicium
1-f2(x)/f1(x)
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -24- Detection and interactions
Perda de energia no detector AMS
✔ AMS : detector a instalar na Estação Espacial Internacional (ISS) em 2009
✔ Faz identificação de partículas (e, p, He,...) e caracterização em velocidade, momento linear, energia, carga
eléctrica
✔ A carga eléctrica é medida pela deposição de energia em 6 planos de silício (300 µm de espessura)
< ∆E >∝ Z2 β−5/3 ∝ Z2
[(mp
)2+ 1
]
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -25- Detection and interactions
Range da partícula
Uma dada partícula de energia E0 e massa M penetra num meio material perdendo energia nas colisões
atómicas por excitação e ionização à taxa dEdx
dada pela fórmula de Bethe-Bloch. Desprezando o efeito do
multiple scattering, a distância de paragem da partícula (particle range) é dada por :
R =
∫ R
0dx =
∫ Mc2
E0
dE(+ dE
dx
) =
∫ E0
Mc2
dE(− dE
dx
)
Na região de baixas velocidades,
γβ > 2 ⇒(
E0M
)> √
5 ⇒ E0 > √5Mc2
pode-se usar a expressão aproximada para a perda de energia : −(
dEdx
)= κ
β2 .
Tendo em conta que : β2 = 1−(
M c2
E
)2
Vem :
R =
∫ E0
Mc2
[1−
(M c2
E
)2]
dE
κ=
1
κ
[E0 +Mc2
(Mc2
E0− 2
)]=
1
κ
T20
E0
[cm]
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -26- Detection and interactions
Muon range on water
Question
Evaluate the maximal energy a muon (mµ = 105 MeV/c2) can have to stop
within a water reservoir h = 30 cm heigh.
✔ Take the aproximated Range equation and have it equal to h
h = 1κ
[E0 +Mc2
(Mc2
E0− 2
)]
✔ Maximal energy :
T0 = E0 −Mc2 = h κ2
(1 +
√1 + 4Mc2
h k
)
✔ water (ρ = 1 gr/cm3) :
κ ∼ 0.1535︸ ︷︷ ︸[MeV/cm]
ln
(2mec2
I
)
︸ ︷︷ ︸9.5
+ · · ·
∼ 1.46 [MeV/cm]
T0 ∼ 1230 1.46
(1 +
√1 + 4 105
30 1.46
)∼ 93 MeV
E0
R
Cosmic Ray Laboratory (IST) - 2nd
cycle
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -27- Detection and interactions
Energy loss of light particles (electrons and positrons)
✔ Electrons and positrons lose energy by ionization (as heavier particles
do) and also by radiation, due to their small mass :(dEdx
)tot
=(dEdx
)coll
+(dEdx
)rad
✔ Radiation occurs when the incident particle accelerates under the
effect of the atomic coulombian field produced by the nucleus charge
(Ze) and atomic electrons (e).
✔ The electrical field contribution of the electrons to the radiating power
can be neglected (e/Ze) ; although, its presence can shield the
nuclear charge seen by the incident particle.
✔ At high energies the radiation loss can be the prevaling mode.
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -28- Detection and interactions
Energy loss electrons and positrons : ionization
✔ For electrons crossing matter, the energy loss ionization mechanism involves colllisions between
identical particles.
✔ Cross-section for the scattering of a relativistic electron with kinetic energy E from a free electron
acquiring a kinetic energy w (Moller) :dσdw
= 2π e4
mev2
[1w2 − 1
w(E−w)mec
2(2E+mec2)
(E+mc2)2+ 1
(E−w)2+ 1
(E+mec2)2
]
✔ The energy loss due to collisions is obtained by integration the collision probability times the
transfered energy : dEdx
=∫w ne
dσ
dwdw
︸ ︷︷ ︸Pint
dEdx
≃ 2 π NA r2e (mec2) ρZA
1β2
{ln
[12
(mec
2
I
)2(γ + 2)3
]+ F
(T
mec2
)+ · · ·
}
F (T/(mec2), depends on the electron charge sign.
Tmec2
= γ − 1, is the electron kinetic energy expressed in terms of its mass.
✔ For relativistic electrons (β → 1), the dEdx
obtained from above is essentially the same obtained
from the heavy particle dEdx
formula.
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -29- Detection and interactions
Energy loss : bremsstrahlung
✔ The strength of the electric field felt by the incident particle of mass M and charge z, depends on the amount of
screening from the electrons around the nucleus.
✔ For a particle of energy Ei that radiates a photon of energy κ, the effect of the screening can be parametrized in
terms of :
Ef = Ei − κ, final electron energy
t = 100 mec2 k
Ei Ef Z1/3 = 100 mec2
Z1/3
k/EiEi(1−k/Ei)
✔ The radiated power depends on the charge acceleration :dEdt
= 23
e2
c3a2
✔ The bremsstrahlung differential cross-section for a particle of energy E radiating a photon of energy κ in the field
of a nucleus of charge Z is (in the limit of complete screening, t → 0) :
dσdκ
≃ 5 α z4 Z2 r2e1κ
(meM
)2 [1 +
(κE
)2 − 23
(κE
)]ln
(183Z1/3
Mme
)
The contribution of the atomic electrons can be included by replacing Z2 → Z(Z+ 1).
✔ The energy loss :(
dEdx
)rad
= na︸︷︷︸na=NA
ρA
E1
E
∫ E−Mc2
0κ
dσ
dκdκ
︸ ︷︷ ︸σrad
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -30- Detection and interactions
Energy loss : critical energy ( Ec)
✔ The radiative total cross-section, obtained by integrating in the photon energy range, is given for the complete
screening aproximation by :
σrad ≃ 4 α Z(Z + 1) z4 r2e(me
M
)2ln
(183Z1/3
Mme
)
✔ and therefore the energy loss :
−(
dEdx
)rad
= NAρA
E σrad ≃ E z4(me
M
)24 NA
ρ
Aα r2e Z(Z + 1) ln
(183
Z1/3
M
me
)
︸ ︷︷ ︸1
X0−(
dEdx
)rad
= EX0
, where X0 is the radiation length
✔ The critical energy (Ec) is the energy above which the radiation
losses become dominant over the collision losses :
( dEdx )
rad
( dEdx )
col
∼ z2 E meM2
2π
α (Z + 1)ln
(183
Z1/3Mme
)
2 ln
(mec2
I
)+4 ln γ
Ec ∼ 600(
1z
Mme
)21
Z+1[MeV]
Interesting( !) : Ec(µ) ∼(
mµ
me
)2Ec(e) ∼ 4× 104 Ec(e)
2 5 10 20 50 100 200
Copper X0 = 12.86 g cm−2
Ec = 19.63 MeV
dE
/dx ×
X0 (
MeV
)
Electron energy (MeV)
10
20
30
50
70
100
200
40
Brems = ionization
Ionization
Rossi: Ionization per X0 = electron energy
Total
Bre
ms
≈ EE
xact
brem
sstr
ahlu
ng
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -31- Detection and interactions
Energy loss for electrons : bremsstrahlung
✔ The bremsstrahlung differential cross-section for an electron of energy E radiating a
photon of energy κ in the field of a nucleus of charge Z or an electron is (in the limit of
complete screening, t → 0) :
dσdκ ≃ 4 α Z(Z + 1) r2e
1κ
[1 +
(κE
)2 − 23
(κE
)]ln(
183Z1/3
)
✔ The energy loss :(dEdx
)rad
= E NAρ
A4 α Z(Z + 1) r2e ln
(183
Z1/3
)
︸ ︷︷ ︸1
X0
= EX0
✔ The critical energy : Ec ∼ 600Z+1 [MeV]
✔ The number of radiated photons above a certain photon energy κth along a path L is :
N bremssγ =
∫L
∫ κmax
κthNA
ρ
A︸ ︷︷ ︸na
dσdκ dκ dx = L
X0
∫ κmax
κth
[1k + κ
E2 − 23
1E
]dκ
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -32- Detection and interactions
Electrons energy loss : critical energy
2 5 10 20 50 100 200
Copper X0 = 12.86 g cm−2
Ec = 19.63 MeV
dE
/dx ×
X0 (
MeV
)
Electron energy (MeV)
10
20
30
50
70
100
200
40
Brems = ionization
Ionization
Rossi: Ionization per X0 = electron energy
Total
Bre
ms
≈ EE
xact
brem
sstr
ahlu
ng
Ec (
MeV
)
Z
1 2 5 10 20 50 100 5
10
20
50
100
200
400
610 MeV________ Z + 1.24
710 MeV________ Z + 0.92
SolidsGases
H He Li Be B CNO Ne SnFe
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -33- Detection and interactions
Electron energy loss : radiation length
✔ The radiation length, L0, corresponds to the mean interaction
length for the radiation process :1L0
= na σrad = NAρA
σrad
1L0
≃ 4 NAρA
α Z2 r2e
[ln
(183Z1/3
)][cm−1]
X0 = L0 ρ ≃ 716.4 [g.cm−2] A
Z(Z+1) ln(
287√Z
)
✔ energy loss due to radiation :
−(
dEdx
)= E
X0⇒ E = E0 e
− xX0
✔ Total energy lost :
−(
dEdx
)tot
∼ a+ EX0
where a is the collision energy loss assumed essentially
energy independent.
Mat. ρ (g.cm−3) L0 (cm)
H2 0.0708 891
He 0.125 755
Li 0.534 155
Be 1.85 35.3
B 2.37 22.2
C 2.27 18.8
N2 0.808 47.0
O2 1.14 30.0
Ne 1.20 24.0
Al 2.70 8.89
Fe 7.86 1.12
Pb 11.37 0.56
Air 0.0012 30050.
H2O 1.0 36.1
Scint. 1.03 42.4
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -34- Detection and interactions
Muon energy loss : critical energy
/home/sierra1/deg/dedx/rpp_mu_E_loss.pro
Thu Apr 4 13:55:40 2002
Muon energy (GeV)
dE
/d
x (
MeV
g−1
cm
2)
H (gas) total
U tot
al
Fe to
tal
Fe
brem
s
Fe
nucl
0.1
1
10
100
1000
102101 103 104 105
Fe
pair
Fe ion
Fe
radi
ativ
e to
tal
___________
(Z + 2.03)0.879
___________
(Z + 1.47)0.838
100
200
400
700
1000
2000
4000
Eµc
(G
eV
)
1 2 5 10 20 50 100
Z
7980 GeV
5700 GeV
H He Li Be B CNO Ne SnFe
SolidsGases
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -35- Detection and interactions
Cosmic muons flux : dEdx effect
Question
Evaluate the cosmic muon flux arriving at a detector under an amount
h of matter (rock, Z = 11, A = 22, ρ = 3 gr/cm3).
✔ The muon flux arriving at the earth surface follows a law :
Φ0(E0) = A E−α [m−2.sr−1.s−1.GeV−1]
1 10 100 1000
100.
1000.
pµ [GeV/c]
p µ1.
7 dN/d
pµ
[m
−2 s−1
sr−1
(GeV
/c)1.
7 ] ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������
������������������������������ (E0)
Detector
Φ0
Rock
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -36- Detection and interactions
Cosmic muons flux deep underground
✔ Muons suffer losses by ionization and bremsstrahlung :
−(dEdx
)= a+ bE
a ∼ 2 MeV/gr/cm2
b ∼ 0.1 (gr/cm2)−1
✔ Muon energy as function of distance :
∫ T
T0
dE
( dEdx )
=∫ x
0dx ⇒
∫ T
T0
dE
( ab+E)
= −b∫ x
0dx ⇒
[ln
(ab+ E
)]TT0
= −bx
T =(ab+ T0
)e−bx − a
b
✔ Muon flux at a given depth :
dNdE
= dNdE0
dE0dE
= Φ(E0)dE0dE
As, dT = dT0 e−bx and T0 =
(ab+ T
)e+bx − a
b, we get :
Φ(E) = A e−bx[(T + a
b
)ebx − a
b
]−α
Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -37- Detection and interactions