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A n ' DIUAlHCA DE TORRE
DE ..... . '
ABSORÇÃO ..
por
.. --João Batista Leonessa
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Tese submetida ao éorpo ;Docente ·/
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da. Coor-
-danação -de Programa de , .. ..
Pos-Graduaçao da Engenharia da
·universidade Federal d.6 ·ru:o de Janeiro. com nàrte dos ; . . ...
, . ,, . . .- ,. .·, .requi.si tos necessarios para a obtenção do G.t-a.u Mestre
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-:Aprovada por -...... .., "· , ._ - .,. .. :~ .... -
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,AGRADECIMEN TOS
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. De-se jo tornar público · os · meus agradecimentos ao Prof 3
Giulio Massarani, que sugeriu e orientou esta tese, e ...
ao_: CAPES (Coordenação._de -Aperfeiçoamento . do Pessoal do
En s ino . Superior), c~ja conces;sã·o de bolsa .permitiu a ·
r,eali~ação dêste trabalho~ Quero ainda· entender meus ·
._ ..... agradecimentos _ao pessoal do Laboratório de Processa--- ,.·. ~. . ,. .
/' :_.- ,~.'. ._ -~en to de Dados do .Instituto . Te~nológico . d.a ·Àeronáu ti-,·
t,,. . . ... ,_· .... -:
e~. _cuja colaboração foi deci s:i. va na elaboração e pr.9.
--é::e s s amen to· dos programas --u til'~ zados. . .. ~ -! ··; ..
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ÍNDICE ,
pag.
I - INTRODUÇÃO • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 - A Aplicaçao ao controle • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l
, . Historico .•.•.....•.•.......•..... ~ ..•.............. 2
, Estudos em tuna so fase •e•••••••••••••••••••••••• 2
Estudos en duas fases • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 5 A
Y.10delos . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 A
Resposta en frequencia ••••••••••••••••••••••••••••• 8 A -
II .... DESENVOLVIHENTO DO l·fODELO DIFUSAO AXIAL
_Difusão nas duas fases •••••••••••••••••••••••••••••• 10 - . , ·· ··Soluçao para a fase- gasosa •••••••••••••••••• ·• • • • • • • lo
- A Condiçoes de Contorno • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - - A Aplicaçao das condiçoes de contorno • • • • • • • • • • • • • • • •
17
21 - " F'u.Iiçao Transferencia ••••••••••••••••••••.••••••••••• 23
III - RESULTADOS E DISCUSSÃO
Comparação dos resultado~. Discussão •••••••••••••••
Recomendações ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
25
38
IV - BIBLIOGR.t~FIA ........................................ 39
- APÊNDICES
A. Programa em computador digital•••••••••••••••••• 41 - , B. Determinaçao das partes reais e imaginarias dos
A , .
~ para.Iil.etros usados durante os calcules ••••••••••• 51
e. Tabelas e Resultados •••••••••••••••••••••••••••• 54
- NOI-.!ENCLATURA • • • •. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 65
••
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1 1
1 ÍNDICE DE TABELAS E FIGURAS
,
FIGURAS pag.
I.1 Correlação de P9 contra R9 •••••••••• • •••••••••• 5 A - J
I . 2 Hodelo Difusao AY..ial • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 10a - A , 3 Razao de Amplitude contra a frequenc i a
- " Condiçoe s Contor no Grupo I - Pe0 :: cte ••• •• • º 28
4 - A Razao de Amplitude contra a frequencia - A Condiçoe s.· Contor no Grupo II - Pe 0 : cte • • • • • 32
- • A 5 Razao ~e Amplitude contra _frequancia ... ....
Condiçoes Contorno Grupo I - Pe1 : cte ••••• 36
6 · - A Razao de Amplitude contra frequencia
Condições Cont ;rno , Grupo II - Pe1 : cte ••••• "?i{
TABELAS .. 1 Resultados experimentais de Gray ••••••••••••••• 55
' .
2 , A
Resultados teoricos deste trabalho para as condi
- A 6 çoes contorno Grupo I •••••••••••••••••••••••••• 5
3 , ....
Resultados· teoricos deste trabalho para as cond1
- A 6 çoas contorno Grupo II••••••••••••••••••••••••• o
4 ,
Resultados teoricos de Andrade ••••••••••••••••• 64 \ .\
. · ,
SUMÁRIO
Jeste estud o é feita u~a anilise di~~mi~a teórica . - r ~e uma torre recheada de absorçao, operando em contra-corrente
t aplicado o Modêlo difusão axial que utiliza um 1
termo de difusividade axial turbulepta méd ia para a fase lí-
quida e gasosa.· As vazões para: ambas as fases são considera-, t: .
/
. das constantes •
. A ánáiise teórica foi feita utilizando-se da téc
nica d,e resposta em frequência a um sinal senoidal da concen
. tração do gás · a . ser absorvido. A função · transferência foi .ob -· ' \ . ,• ., . . .
; ·tidai considerando-se o equ~librio expresso pela lei de Henr~ ~ . . . ;,. . , .,..
' ~ara testar .o modelo usou-se o sistema gas carbo-
~ico-ar-água para os quais existem· curvas experimentais de
resposta e6 frequincia (7). O ,estudo foi ~feito para dois di-. .
ferentes conjuntos de condições de contôrno e os resultados
obtidos foram comparados com·- os resultados · experimentais de i,.,..
:,: _,- Gray (.7) e resultados teóricos de Massarani (13) e Andrade . ~
-,_--~- (14)o 1 . ' ; . ,.
- .-· ,-··· : As curvas ·obtidas parecem estar coerente s com os
trabalhos anteriorese Neste estudo conclui-se que o modilo
·· ·· adotado permite a previsão di funçio transfer~ncia na faixa
'
! .
~e zero a 2 ciclos/min., isto é, igual a faixa de aplicabili
dade do modêlo usado por Andrade (14).
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, CAPI1'ULO I
IIITRODUÇÃ..Q.
... ... b_ulic o_ç.c..Q_ao Contrc-1..Q
~ . . A
O rapido progresso no campo de controle de proceã.
sos tem como resultado a necessidade de um maior conhecimento A . . ~ ,
do com~orta.t:1ento tlina::iico dos sistemas. A aplicaçao de metodos , " - ~
analiticos no projeto de sistemas de controle requer tun conhec,1. . À
mento apurado da dina~ica do processo.
, No campo da engenharia quimica, o: conhecimento do
A . - ~
co?Ilporta.I!lento diné.;Oico de colunas de destilaçao e a.bsorçao, re.a. ~
. , tores ·e outros eqUipP..mentos que operam com leito fixo e de gra,a
. A
de i.mportancia, pois procura-se se~pre regular a pureza do pro-
duto em presença de variações da alimentação.
' / A
Para un projeto · oti.rno de equipamento de controle . , ,
por realimentação e necessario que se conheça o comportamento
transiente do processo, u.r.:ia vez que o ciclo dos sistemas con
.troladores inclui a re~posta dos instrumentos, as perdas nas J
linhas e. a resposta do processo em si (11).
; . Quando un sinal · senoidal e aplicado a entrada d$
, , . \
um sistema linear, o sinal de saida· sera um sinal senoidal de "' ,
mesma frequoncia, porem no caso mais geral, com diferente am-A .. • ,
plitude e angulo de fas·e , em relaçao ao sina1 de entrada. Atrg_
i'.,,..,,.. '•·
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,..,
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' , ' A ves do estudo dos elementos caracte.risticos desses dois sinais,
. A . ,
pode-se conhecer o comportamento dinamico do sistema. Tal tecn.1. .
I A
ca e denominada de resposta em frequencia.
, . "" A tecnica de resposta em frequencia apresenta a
.. 1· "
, , , .. , vantagem de possuir uma analise teorica facil, em relaçao a te~
A A
nicas similares, e esse fato faz com que a resposta em frequen-A I
c~a seja ·utilizada para estudo e projeto de ·controles· automati-
cos. '
HISTÓRICO
- , Estudos e~ uma so Fas~ ,
t. "~
. , -Os estudos teoricos e experim~ntais da dispersao
axial de massa, são de origem relativamente recente e por A
esse A
motivo muito pouco existe publicado sobre o assunto. '
Os estudos de difusão radial .de massa em colunas
recheadas, foram iniciados por Wilhelm et al. (3), que estuda-, ,
ramo escoament o de agua traçada atraves de um leito de esferas • A
de 1, 3, 5. e 8 ::nn de diametro, e em regimes de escoamento cujo ,
numero de Reynolds variou entre 5 e 2000.
- , , A dispersao axial de sal em agua escoando atraves
·de leitos da areia em regime laminar· foi estudado por Rafai .(15).
-_2 -
..,_,_
· f Danckwerts (6) estudou a dispersão ax:1.a1 em um l e.1 , ,
to constituido de aneis de Raschig, para um regime de escoàmento , -com numero de Reynolds ig~al a 40, usando a :funçao salto.
A
O uso da resposta em frequencia foi introduzidopor . A ,
K:ramers e Alberta (10), que imaginaram UI!l modelo fisico consti-,
tuido de n-misturadores interligados, qu!3 simulavam um leito. In Ili, - • , • • ,
vestigaram entao,:a dispersao de agua traçada atraves de uma co-. ,. , '
luna de aneis de Raschig em r,egimes com o Revariando entre 100 A
a 200. Esses; autores calcularam os valores de difusividade pal'~ ,
tindo de dois grafices diferentês:
a) razão de amplitude contra frequ;ncia --,;
A
b) defasa.rnento angular contra frequencia
,;• -
Os valores de difusividade obtidos foram bastante )~ -
diferentes apres~ntando variações de 50 a 100%; A explicação de A
tal fato foi dada admitindo-se a exis~encia de efeitos capaciti-
v.o~ do leito. .... " ; ~
Os primeiros estudos referentes ·a difusão · axial em
gases; foram xelatados por McHenry e Wilhelm (12) ,' que estudaram . \
, .
-~ escoamento de gases atraves de leitos de esféras. Nesse trab~-
lho os valoras de difµsividade foram obtidos a partir da respos-A
· ta em frequencia do sistema. Para regimes de escoamento com Ra
.. · .. variando entre 26 e 1000, foi determinado um Pa-=Z.
_., .. Aris e Amundson (1), a~ravés de um estudo teórico ' ,.
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.. proYaràm que os modelos "n-misturadores» e "difusão axial" são
~ , 1 •
iguais, quando a eficiencia de mistura e considerada 100~, e , , '
observaram que o numero de Peclet tende assintoticarnente para , ;
o valor 2, quando o nU.!!lero de Reynolds e elevado.
Camberry e Dreton (4) estudurl'.El e determinaram a
dispersão axial a.e água traç,ada para iei tos de. an~is de Rascrjg
e de esferas e · observaram que difusividade aumenta linea.rnente
com.Rc, no intervalo ct~ 0,5 a 100. Observaram ainda, a não con A . • -
cor-dancia dos modelos "n-misturadoresn e "difusao axial".
. , atraves ' Jacques, Vermeulen e colaboradores (9),
, · · A - A ,
da mudança dos parametros de correlaçao por eles ja estipulada, · , , . . . .
conseguiram· apresentar em um so.$rafico todos os resultãdosque
dispunham at~ então. ·AJa11iando-se êsse .grifico podo-se · n~tar A , . ,
a existencia de dois patamares para o numero de Peclet do 11-·quido, um no regime l~na.r e outro no regime turbulento. A
• , - 1 ,
mesma coisa porem, nao · acontece ., com o gas, onde pode-se obser-. ~ . . '
vara existencia da um valor pratica.mente constante para as . - . , ,
regio~s _laminar e turbulenta. O grafice representado na pagi-, . -
na seguinte e a ·correlaçao estipulada por Jacques, Vermeulen e
colaboradores. (Fig.I,l) -· .
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FIG·. I.1 Correldçào de Jocgues _ et aL ' . ' , -· : ~ ' ,: ., .... ~
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.. --Estµd.os e~ guas fases ...
. '
Poucos são os estudos experilµentais quando o es-, A
coamento e considerado em duas fases. Como·se sabe a eficienc~a
de operações ·tais _como absorção, extração e destilação, são d1 ~ A ~
minuidas pelo f enomeno de difusao axial (8). . .. , . ~ t '
. ' O trabalho fundamental para escoamento em duas fâ
, A, . ' A
. ses e ó de Gray (7), que estudou a d1namica de uma torre de ab- > 1
· sorção. Nesse estud9 foram utilizados _os modeJ..os; "escoamento
t
- 5 -.. ·-
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ampistonado" t ! "n-mistu.radores tt e ttdifusão axial". Gray obteve , "
tambe~ , us ando resposta em frequencia, dados experimentais para . , "' , ,
o sistema gas carbonico-ar~agua. Comparando-se os resultados teg_
ricos.· e experimentais obtidos, observa-se que nenhum dos· . inode-. ' los ajustou-se bem as curvas experimentais. Nesse trabalho o m.2,
A ~ - -delo d~fU.sao axial foi estudado parcialmente,. pois nao foi con-
. sid.êrada a- absorção. Gray deixa _como sugestão, a aplicação do .... ...
. modelo dif'usao -axín.l para a.11bas as fases, considerando-se a ab-~
.sorçao entre elas. · '·
' .., ~
., ~· p
. A
Ma.ssarani (13) usando . o modelo ffescoamento empis-·~
. . A
tonadott estudou a resposta em frequenci-a para ambas as fases. do . , . A . ,'- . " ,
sistema gas ca.rbonico-ar-agua e am.onia-ar-agua. As c~vas obti-- A das saó quase coincidentes com as de Gray pa~a o. modelo empist~
. . ... '
, nado. · Os: _dois. tr;abalhos citados, usam 6 mesmo modelo, ma$ cond1 . ~-
• •• "19' ' A . . · , A .' . · ""'
·. · :: _çoes de contorno diferentes, fato esse que. parece nao . ini'J.uir
:,: "muito · nos resultados. .. . ' ~-~:'"- .
:.r'· ·~ tL', ; ' ... ' \
., · · -~ . .-:·\: ::-. ;_'. · •- Andrade {14) · continuou o trabalho. de Gra.y e Massg, - - ., " . , __ , ./'. . :
~
~ • , A . . -. . _. - , .. . , , , .
rani usando o modelo ·~~if'usao axial ... , . : !)orém:'. ... ponsiderando a d.1 ~ ... ' . . . ' . . . .
tusao somente na fase gasosa.· O estudo foi real~zado p~à. o- si11. ·:··. . ... .
,· . , " , ! .
·; . ·· . .- tema gas carbonico-ar-agua, e os resultados obtidos foram compª ?
_, .
. . . . rà.dos com os resultados experimentais de Gray. As curvas obti-- •• -. •{i" . • f" • • -
. '!'.·::: ~ . "- . ( , A . .
. ' :_ .. ; ~ ::·. das · apresentam. desvios não explicaveis parà frequenc1as . supe ._
_-,- < '. -~.'::~ __ · ~i~~ês a 4 c:tdlos. por ~nuto, . e .P~e~em "~~nder . n~ ·_11mit~ (EG=O), . . - . . . . . ' , . .
;,·. -a curva teorica obtida por Massarani·. Andrade avaliou â difusi-- - \ - •. .... _.:; _.. ., . ~:... . .. :. ., ... .
,i,;: <:
;.\· ,,,·. • º'-,,.,'\,_.}/· - -:,; · . ' r ~ • " ~ ,.,. .
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,,
...
v1dada ruda.l turbulontn em aproximadamente· 40 ft2fb..r, valor ;sse ,
muito proxino ao utilizado por Gray.
J .
MODE19..§
... _. . , A
Quatro sao os modelos !latematicos que tem sido e.::i-,
. pregados para descrever .o escoa~ento de fluidos em leitos · poro-
.....
A . -sos. Esses modelos sao:
·' <
, . .. 'í' .
· 1) Escoamento Empistonado
2) n-tüstu:radores
, . · · ":il:) n~ .f',,s::: .... ~ .. ~a1 . , _, J...Lt.. .:t. "'-6.V C.~
, 4) Estatistico
A ' ,
· Q modelo ª1Escoamento Empistonado" considera o fluj. . ' ·
A ' do ·movendo-se como um embolo no interior do equipamento. Por igr12 , , .
rar a mistura radial e axial e o mais simples dos modelos •
A
O modelo ·n-1·,üsturadores, proposto por Kramers e , , , ,
Alberta (10), e constituido de uma serie de estagios de misturas,
isolados entre si, onde em ~ualquer instante .o lÍquido e o gás é ~.;
· considerado completamente misturado.
-· ....
O mod;lo "Difu.são Axial1t utiliza-se da 2~ lei de ~
Fick e portanto, um termo equivalente a uma difusividade. Para o , .
escoamento em uma so fase tem-se:
··· - 7
. • A
-- L•
,1 1·
: i .. ·~ ' l
1
.J_ .....
.... t.~
-·- '
·< .. '
' '
'"';,
(
-cf C \) '"2> e. _ ~ t.~2:,'- - ~2.. - 'Ot
' , . - , , ,
onde C e a concentraçao, V e a velocidade media e E. e a difusi-
vidade longitudinal turbulentn, onde estão envolvidos os efei
, tos de dii'usão molecular e de misturae
A F . . ,r • ..
O modele ºEstatistico" e baseado na teoria esta --, -', A ..
· tistica da turbulencia em tubos nao recheõ.dos; usa o conceito - . . .
do "randon waJ..kU de 'Einstein em q~e se determina o 11-yre pe.rcu:r. . , . ' .. '· . -
so media dos 13equenos turbilhoes ·dentro .da corrente (8). J. -
. · 1 •: \. ~ .. • y
~ ' ,:. ":'; ~
.... RESPOSTA EM PI?.EQUE:I,ÇJ:.,A ". .~ .. .. . ._,.\
•{
... "" .; ~ .~ .r j ,.; • ;. .,.' • . :_ ··~,.
. ~· _,_ ·: .. : r:;. -. :/ :\: -::;_ . --. - . . ... , :" •··•
1. ,·.· ·-_::, ,. ~ ' ._·'· A resposta em frequencia ·de um sisteua e obtida ;
: 1 - • 1 •• ., ,. 'Y · - ·
'.
, :· ,., A ~
atraves da funçao transfe~encia do sistema.: _·1.,.
"t-·. ..
. . . . , Para um sistema linhar essa função e definida co-
, mota transformada de Laplace àa saida dividida pela transforma-
da de Laplace da .entrada",- desde que o quociente · seja ,
univoco.
' '. Considere-se o sistema abaixo (Torre de Absorção) f. ;· f
"',,. ·r -.-:,·,1 .• .; ...... , ·.- .. - . . .,J ..
u· 1,",
1 - ,.., l.
' . ~. •: ;,-, Si.s.T'~M A 1 >< a: >' •
' ,.. ·i.. . .
. " '.,-,..· . 1 : • 1
- 8 -l~'!- ..... _, . .. ' ..
~. J -.. . ,.
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.. .r',
' - . , Variando-se a concentraçao do soluto no gas de en .
A .. trada ~enoidal.ncnte, em torno de um valor estabelecido ten-so :
. y 1 a A1 sen ( wt) . , ,.. .. "
onde y1 e o valor instantaneo da variaçao da concentraçao em r§. ' . , . A ..
gime estabelecido, Ai e a ru:nplitude e W a frequencia. Se o sis-.' - . .._. . , ~ ' ,
·. · tema e descri to · P<?r equaçoes lineares , para a saida. tem-se:
,- i ~ 1 · ·-· ., · .Y2 ~ -- Az sen (wt t ~} , ~ ~ :J~ • . ' •
, :ande ~ e o de.fasà.me.nto angular entre as duas · senóides. ·. Tomando-
.. · ... J>e _ a ;- transformada de: Laplace d~ y1 e y 2 _tem-sei
····.······ .. . ;,·, .:::_; Jjz ., ~ exp (Í6 s/w) s2 w wZ : ... " .
' ".> ':. . \ ' ; },· .':' ? J .,' ' ... ,;< ,' + ,,/i: ';,; '. ' .::-" · · ~ -,_i''unçao :··tra.nsferencia sera: .'· .. · -. :': ·· .. ,,,.· ... ,. / . .'.
·.·(! ---~
. . .. .· · .... · .. - . - .. . ·A . -: ~- - ,.-~·,· -,'. __ .··, . ..... ·· .. ·.' .. .. _. , · --::.·,;.... . ·.~ ... oé } . 2 exp . ci s/w) >• ,• ... • .. · • ~ ';_.>/ .... •
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,· _:·.··ondà .<X_ ~ a r 'azão de amplitude,~~ o defasa.mentó angular e \., é " : .. :::'. ·:._º -im·agi.nário puro v:;i:'. . . -: ./ . · ... <~ .·;. '•'' _. .-,,~ .. ·;.. . . -~· _-:-._;-
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,, cesso contínuo de ._absorção de g;s, pode · ~er. _obtida diret.amente ,, . ,-· . :. . A . . ,
. :":. · a partir da função transferencia, . quando a entrada do . gas . ;--
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DESENVOLVIl-lENTO' HATEMÁTICO -. ,: : .
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Considere-se o elemento . de · coluna. dado .pela figu-
ra I~2 , · onde existe o movimento em contra corrente de duas · fa-. ,
ses; uma liquida e outra gasosa. .. •'.
( ·.,. r ' ;,.:,- .. , ·.:- e~·,: ' ' . ,.
<'5,, .-:;·, ... .Atraves de . um ._ balanço de massa transiente para , o ., .. ;·_ ,. ·' :, . . . . '' .
liquida obtem_;se · (7) t · . ·---·soluto na -fase ,,
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. .. ·; . Nadz {.'. . ENTRADA: .. 1\
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·-por, abs.orçãó .· ... , '_.;-~··:\:>> -':-
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Sabendo-se
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~rca de tinns~c~~nci~ '.:) -;,
:!.nterf:,eial, re·/:rt--·\ic lei to --- l - --~ - - --.J._
d if1:crÕ.o .1:cio.l t _t __ . ~ . f _··----·--· ..
a r"G: rcto~ç r.os tct::i.is, a:~rca ~e trannfer;ncia intcrfacial 1. , '~· 3 O!'""O.CS/ ! 1.:
. - ~ v~~~o nol ar d e liquido,
-~----N
lb , . /( ,...,_?.. ' ) '-' O-C3, r 1. - nr
- ' .. • vn:::o.o c olnr e o r;ns ,
1b~oleG/ (ft2-hr)
• 1 1 __ r r f: .- .. ·r NL
fluxo de ~sca ~or uboor-• J ,. 1 1 t · /( 4" ... 2 , ) çao, .c::o_es ,3.o _u o. ~ 1., - 1: r
>
~J ~~ • • "\ .!.. - . 1~ . . # ~ e i,G· i.r.u.::os <:, ,e :?J.:i.cGa o.o so .... u .. o né:l.5 H1so.s i qui tia o r.;as,
• lbmolea soluto/(:1:t2-hr), dada."? ? ela 2a lei de, Fick: ,,
n - i;,1 &.1.: L - - . 1L ~ + L-.,c,
- n- Eh ê1v + Gy G-- G'"Gã';" r-
onde•
EL e EG: difusividades axiais turbulcntns, rt2/hr
x e y: frnçôcs nolnres do soluto nas fa3es l{quidn , 1· . , e [';Ua • · a, J.'.~cnsiona._.
z: coordenr-.dn de altur~. da. tÔrrc, ft
.. .,. ~·
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FIGUR\ I.2
100..-
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ir .G
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11 1
11 .. 1
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. (
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UL : 1x - Br,hL ?z (2.2)
Substituindo-se então·(Z.2) om (1.2) e manipulando-se conv!l
n1entemento tem-se : 2 , .. L 2! - h E d x + Na ~ h 2A
ôz L Làz2 L ot (3.2)
~
, ... ' "'·• ~ ,. t
onda
. L • vazão molar de liquido por ~dade de área foi consi-... ·~ - ., -
·, . ,. derada constante em z ....... ·.-;º ....
, . . De maneira:.. analoga um balanço de massa para o soluto na fa-
se gasosà ·rornece: . .· . . 2 . .
.. :-·. '..:: .. . :.·· ·, · .. -<· -a· 2Z + h E U - Na' - h · .QZ , .,. ·.·· · . .. ··· ·. · . ' · · · o G G 2 - G à • ,• • • • . e,"• •'' • '•. z • ~ z: · · ,., ·· .... · .· ot · · · ,·:., ·· ···- onde · · · : · ; .,. _- · ·
. . . •·, ·. , . . . . ·.
'. ·:~·- hG · e considerado constante em te z . ,\. ,, . ,
· . , ··· ··· G e considerado· constante em z \ ~' . .. .. t
.• ~-. f ~- ·-= ~( ;. :·.~ .. t
~
'
(4~2) . ' ...... • • .1 . . .•· . . .... ...,-:,:
J·'
' ' •• < .,.· ... r. l ,.. •. , r l.,;
,... . .l. ,:- . .
• ~,. ! \ .. ~ ,, t : \ ::. • A . ,
. . '-~ . A taxa de transfereneia de massa e a'ssumida ser proporcio-, .. .. ~_ / ... · _. -- . . - . ' . ,.. .. . ,
nal ao .g~adiente d~ concentraçao, isto e, .. , . . . * . . .
_ N -~ kL (x - x) , ~ < .. , . (5.2) . ' ' ~
,, .. -, , . .: .. . . onde ·
'\.
. :,- .· ~ . ~
_ . . :>·' . ~ .= coef. de transf. de ~assa lb moles/hr-rt2-rração molar
.~ ; , . ·~;~:/·~ .x* =. compos~ção ~e equ1li brio . ..,.<f '\ •
. . ...... •.. .. •• " . 'e • . , , ,;
, ·~·,: -·, ,__ A int.erfase liqu1do-gas sera suposta permanentemente em equJi,
· ' . . ';: .. : l.Íbrio, equilib;io :sse que s~r~ quantitativamente descri to pela ... t .•
:· :.,\ l~i de Henry -·
~.- "
. ,. ; li •• ,-~ ' - -~J... . ... .. ,,.
,.
. '
~ Y:mx
·,
~
·,
. _(t).2)
• 11 •
• sr.., -·;
. ~· . .,
.. ~ -.Z ----- 11·~ oa.,..--
onde - ,
m = 1nc11naçao da linha de equilibrio
Substituindo-se as equações (5 .. 2) e (6.2) em (3~2) a (ü~2),
tem-se: .....
. LS?2S-hE._ dz L~L
d2x • ~a (y/m -
dz2 . .
-G 2Z + h · E . A~ - k ·a , (y/m -õz . G .G w .. L : : .
..
àx x): ~ ót'
x) :: h 2Z . G ot .
~ ' ~-, .... ;, l .. ., !
, .• . '._' -~ . '"-i~.
Seja a seguinte mudança de variavel , · . ·~ ,'·.: .;_. . z . . ' ' ~--. . .. .. -·. -
(7 .2)
(8.2}
._ ..
§ = T · .:·,·.-.. \. ·:.·.: .. -. ·-.. . . . ··. , ·.. ··, >~ .\~·>:_;~-> -·. ?~; ;~ ~ .. 7, : .. ..... ·:: -:·
-: · ·§ m altura . reduzida ,,. · · · ::· ~::·.> ·, -.~ .. · , -.. onde
• • ' ' ~ . • ·• -', '-. .•• ff-. ~: • ·.,.
, . ·'. ~-· · J. • .,comprimento · de n1ei to"· -':;:.-·.- .: · ,-;·~·/~.·:'.·.'~:>.:_.:;-:_.: ·,.: .. ·.. ' ... ,._!e·'\, . ·t ·:. '·! '' .'-· -.. ,.
', ..... Dessa forma· as equaç~es (7 .2) e· (802) podem ~er escritas C.Q.
'.
m,º . segue 1 . •. • . . . ·:. ;:· ·. ,e·/'' ":; .•. i .. :' ·':-:é,).').} \{:'\i:?~t~;t, . ·· ·' ··· · · ·· ·h Ji..· 2 · k a [ h_ t ·· · · ·
.' -' .. : :: ... :··,::/. ~ - L-L • g_z ~ L (:X: - x) • :k.. QZ. <:;:: .'. (9.2) _: · .. i ·., à§. L { . d§2 L m . ' L , àt . \·!"- ·
.···:_ .. ~<··:.,, .,:-. .; .. ·.:., ---~ ; . < -· : ~·::~_,.:',~ .. ·;· .. , .. ·.:,;':._;_-r\<. , .. _ . . ·. · ·.'. ... h E·- ~~- · k af · .:·., .. ,,, h . ~ tf·.:., , ·: . . · .. .
. ·, . . , .. ~ + G G Q...Z + L (:2: - x) - ~ - .· .. - (10. 2) . .. .. • t • 2 m - G · t · ' ., ! ৠG ô§ G . , :. , ... · . ·· :_ ' ; ,·-
• •. !. ~ · • ,"; :··, ;:_'/'\;.;~;);~'· • . ·:,:,._.·:::..;··'; .•. ..
" , . . -:-·· Introduzindo-se agora o numero de Peclet definido como sendo
~ ,,,,
. . . , · .-. , .. : ·~ produto do numero de Reynolds e. Schmidt -· ~· .... ~
~ ~ .
-; ~ . º"··· : .. ~. "~ ....... li, .. • • til .· • .. .;,··, . , .. _.._ ., ...
' ~
'\.-:;.\.,;:',·~:.,:·: -~ •.. '\ .. "'1 ...
•, ... r' 'Ili~
/ :... .. · .. • t ,. . . , ... . ,·t ;r . ..,....... ..,....,.:
'·. . .. ·~.
... !··,· .. -t,,,· • •
•· ., ....... '1'l"- ...
, 4,~
. ··:·.::.{·~ ~·; ., .. ,•,:_ .,, ...... .-...:·, .....
. :, ·;; ; -:\ ,;,~ '. -~ ... ; _.,.
~ - .. , .. ..
:~:~·~· ,,,,,~ ''"'t~ ' "! .... 'l
12 - '
• • !'. •, =:\~<.{~\.;:: ·, t ~ ·..- "; ' .... ,· )~( ...... /" ·.:.~& • r
,.,, :. ,1
.. ,, . ' . '
; •
• .• .:.;,: .. ;-!..,.\ ... ·~/:;,/ ... ~·,.la.:,,':, tJ • • w .. ~ ........ . ~., .. , .,, ·--·· '"•· .. ·-- ·-·
ondo:
Pe' ~). ( ./!:_) _ Ra. Se = ( J>-' f'0AB - __QY_
~AB
, , D e um comprimento caracteristico
.f:)AD é a di:f'usividade de A em B , . (
V e a velocidade intersticial do liquido ~·
(ll.2)
Fazendo-se o comprinento do leito ser o comprimento ca-, ,
.racteristico e a difusi~idade ser a axial turbulenta difus1v1d,â , . ,
de o numero de Peclet sera:
•.. ·. . VL O _li .. .Pie - t._ , L- - -
' ... , EL hLEr, ... . ....
· , .. Vaf _ Gl _Peg =. EG - ha,Eo
(l2o2)
' ,
·,
· .. , (13.2) . . .. "
., "'·· ... "'. 'f. .. • !···. "' ,•,. r ,. .,. ..., , ::; ;~
-, .... •:,_ ~
ondea L , ,
VL: -h e a velocidade intersticial do liquido e ,·1 L
:\ "·)f • . ...; -;~ · ··-.. vG· = Jl. é a velocidade intersticial do vapor
. h ' .. G . . .
~·>.
~
As equações (12.2) e .(13.2) representam 'respectivamente o , ,
numero de Peclet para a fase liquida e gasosa. ~ .t
Definindo-se ainda
.. ·:-./r· \,; .. . ,. . -: . ,... .. .,,
~ . ~ . .,
{
-. .... ~
. ,'
.. t '~~ ••
~~
. ,.
...
- .13 -
,; .
~ -. • : -· ,-; .... .t.. • .. _. ~
.... : .,· .. : . ...
• ,_ !•·f
.. •·· ~ ~ ~-:
.. , : ~-.. -- ·(. .... , .
......
··-.:.,:. ......
... ....
; .
• • _I •
T - htl 1-L
ha~ TG=o ·
(14.2) k1al
NoL: --i;--
~Lal NoG = cr-
tempo de resid;ncia do 1Íqu1do na torre, hr
... , t empo de residencia do gas na torra, hr
nQ de Uilidados de transf. para rase liquida (5)
n~ de unidades de transf. para fase gasosa
Substituindo-se as equações (12.2), (13.2) e (l.4.2) nas
equações (9) e (10) obteremos: .,., ...
. ~2- . '\ .L . . .... 'ft
. .\a!....A ;_ Pé 23 .. Pe1N L ( - x): -- T1Pe1 ,. , 2 L o§ o m . t d§ . . · · .. · · . -. . r. .. ~- " . . •'
(15.2)
• ,• .... ..
" ~-· --... ": """ :: ·,,' :
:-· t ~'. -·· - - ,.~ . - :··. t,/ ~-
·, . . 2 . :·· .. ô .. ,,.· .. ;. · .. · h - ·Pe 21:. - PeGNoG (..l.. -x) : TaPe-G Q2 (16.2) . . . ·.. 2 G Õ§ . :.<.:·./e"~·.::. d§ ·, ....
m . . ot ~
: . < .-... . . Considerando-se a coluna . operando em regime permanente qua.n 'i ., ' t.·· .. . .. . .. .
do.:.t . ;:. o .e derinindo-se as novas C(?llCentraçÕes y e X como des-
vios dá condição- inicial. _,.... -· .
,. . . . . ,., - ', . ,, ' '( o) ( ) '-:,. · .;·: :~·::;·'-:~! ,·::~ . X z, e- y z,O · - . ~~ .. ;~~=-)r" .:::. < .... ,
• .•• r .;-.. ;.-· " · , ·• I •
. : ."•
.,,.
::-
y- ~· -~ -'· ...
i. \
,•. ~ .... -., ' '-.'.'.. ·-\ r · X(z,t) • x(z,t) - x(z,o)
~. , . , ??)<.;.>~ '. ' . . . . .. : , ,, .. -;.,, ; ,. ·. ' '-:·~
-:;.- · ·(\<· .. --.: -:Y(z,t) : y(z,t) - y(z,o) ,-1. ..... , """'. - :. ~.:: "
~· ".. \. '
•'l: J, ~ . '
T ' ---·· : --~'-~(-':~-~·;·,;.._: .. .. ~-' .. <3, : • .-:::. ~· ::-_"' ,;_. -:·_· .. r , -_:' ,/. ·.:.: ·.· ,~ ·1 .-·< .'. ;_.:··,
~:·_::.;:/: Demonstra-se que as equações (15o2) e (16.2) continuan1 vtlJ.,
-·. das_. quando subst1 tuimos x e y por X e Y • · -·· ~
' ' . ,,
, ~ ~. ' - ..
"' ... ) . . ' .......
.. ,.•
, ..
- 14 -' .
' . r ~, ; i.? _,,. • .. , • .
.::""-
. .
. .. ... ~
: • • 1
e • •
, -. ~ .... ·'•· 1ooJ.. ~r _ _ _, ~-•• ,.•, ;~<.-•·-4"' • ~- ·~ ,. :._··~ .,_ :.,... .• -.:.. .. .-. . .___. ,\ .. ... , .. ;.• -·-.1
Ili· ' • . :,
..
Tomando- 3e a tru..'1sfor:.1n.da de- Lapla~o,. em relação · ao tc;~po,
das oquu~oes (15.2) c · (16.2), dof1nida co~o: ~
á::> •. •",.'
- Z \ -ot , ""{ ~ X : Q., _ ~ dt -·
_.·.º't /O
y -: f_ y .= );-sty .. ~~· o '.
•, ( . ._
As·. eg_u:içÕ3S transfor~adas serão;
2 d. )~ d ~ . V ... . Pe·L _b:. - U 1PcL (.;:. - X) - T Pc s5r·
.. · L L ·• .. _..._..... .. .,. • "'.l
di;c.:. . d§ ~ . a
_ .. ,. ?-.. o • - ·: • ••
-V j7 . Y ~ ~ __.:. ... Pe L - n P~·G {- - X) : T Po s!
-:> G d& , oG IJ . G G d§'- ,;J ,:·
·'·
1
.. ,: :~ l
.... ., ~ .. -. .. ... ,..
"' (' :> ,_. '· ... ) ..
~··:.-~. \-_,.:.:-' po~st
t l~l :*~ ... - .... ;_::, ~
X(§ O ) - · !'s· --· . . 1.,J'•
' . . -. :•, .... ' ....
onda :,
,.
t_ -.
' .....
_:,
'
' :. .. ('' '\ ., ........
1 -.:t ir
. . X(§j O) no arranjando-se
.~ ·~:. ':.'"'•'•
= o ''.·-~··:. ·:- ~ ,· · ... -é,'':·:·1·{ .. ·.;;,.• · ...
as equaçoes acima e utilizando-se a notaç;o
· u11nha u_ te:n-se: ... ·1
; ~ ·,. ;.: p°L
• 1r 1,. M f •
~·. • A -
~
. ·•.· ·, • 4 . ......,,.. ____ •
. -;.·. Pe0
,, 1
(A•.,~'". (' .,r !'
O 'a.04'• .. - ..... ' -::''" ~ .... ' . •;; t_~· -· . .. ,.. .. _ -· ~ .... ..··r·)
X+ ~n0
L+ T~s) X NL_ - -~y
- L1 ; .. . ., ., , .. :
.,. ,·-;., •.. ·.._1 "" .~ ..... ...;;
, .-.,_., <l,.:i... . -·~ ... ~ . • :-... .r t•
y_' .. . (NfuG + TGs) y : >
- ~ "": . N X oG · .. ~.-
.: . .. .(17 .2)
.... . t - ~ ......
. .. ~
(18.2).
.. "i .
~ - . . Tem-se entao um sistema de equaçoes que podom ser resolvi-
dos para a: fa.se gasosa ou para a fasa lÍquida . ... _,.: .-:·< ~---t:,/~ . . . ,. . ... -\'.:· ,_;' '., ~ ...... :::~ ,' .. '_,.. t .. : .. ~ ';.: • .. _ ..-.- ·~-
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.. SOLUÇ~O P~n.A A FASE GASO.§! . : t
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O siste~n f ormado pelas oquaçõas (17.2} e (18.2), , .... ~ ~ . ..
sera resolvido explicitando-se o valor de X na equaçao· (18. 2) e \ . ·, -
~eter-niruu1do-s~ as deri vad~s lâ e 2~ -~º . X om r ~l ação a ~ • E:i -,,,. .. . , .
seguida esses valores sao substituidos (17 . 2) r esultando u.ma e-
B - ..L l . -. . .- :;'.:.'..).>:'~:·:o:·-'-'~/~:i~~~:;:'..-.. ,.~·., · .. ·.~ ... -' ·, = N· ( l5e Po ) ' · ·. ··-:- .. ,~ · , ... ~. ·. "• ··' "' ·~ 1 ,... " - ; - •. \ ... ~ ; .. ... .., - ~ 'l • • , o " L G · · ~ ·· . ·· . · ·, · ·· · · · • ... · -· ·· . .. .
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(19.2)
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· :·::<·A equação · (19.2) pode ser eseri ta cooo~· ;.·.,)~. · ;:·J-(. . . ;:: .... ... -
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(20..2)
·. :;,.· ; ., _equação cuja: solução -.,, . .' ··_ ,~ •. ; ': ~(/-·: . . '· .. r... § rz§
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-.. - , r2 ,. r3 e r4 suo as raizes da equaçao car acteristica
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cujos coeficientes são funções do par~etro <1, da Transforma-
da de Laplace. ' . . '
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CONDICOES DE CONTOIU'rO . 4.-. .; ........
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'· A solução da equação (21.2) depender ~ da natura-l • ,.. A
za das condiçoe s . de contorno as sociadas ao problema... · · . .-
\ . .,_ . .,...~~.: -: . ··, r Mui to . pç:>UCO existe na li tera tur~ com relação . as ,t. -
.. 1, ,, "~: ... ... •
- ~ ~ ~ . : -,. condiçoes de contorno para _escoamento em duas fases. _: -~--·-
• ... · O artigo de Wehne.r e: Wilhelm {16) · parece foma -_. ·1· - A · · ,
.cer sUgestões que conduzem a condições de contorno mais aceitã .: . ..
. ... .I!--"'.
-~ ... .; .... •.;.
, -veis para o problema quando e considerada a difusao axial
duas. rases. ,-·- . . ' t~;
. , - ,·
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nas
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,,. ~;, . ,; ;J,• - ' . .. . -·.considere-se que a região que· forma ·o "leito de
~- - , ~cheiott est~ja situada entre O e l na figura da pagina seguia
,.. • - , 4 te -, · .~ !'-":'~ . . . ~ . ,.., ·-. .,. .~ .. • . . .. ._. . . . ..... -. ,,, -.... ·, .. .~ • ' ... t , . ...,_ ...
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Seja A a região de -antecede ·o 1e1to;
B a -região correspondente ao leito e
C a região· posterior ao leito.
1• 1 -
... FASi. l(Qt] l l)A
~, e ~ASfi. GAso~ A. ----e--
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~m -balanço :material para a · fase gasosa nó _topo da . :- ; ·,..-.•
... _,... .. coiuna (§ : · 1) ~ornecet
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·: u A · e e [ y(.l + )- ..L _g_ · ··· Pe~ d§ ... G
yC1 ... _ >{ }~~·~<~:t:~i-;c~~-~-J . b, . , Pa d§ . . J.
- ~-- .· .... ··:. -~ , : .. '. . - G . . . .- . . onda·
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. Pa~ ·::: .. ng de Peclet do g~s na ·reg,iâo C ,,.
B , .. Pa.G :::. .no qe Peelet do gas na regiao.B
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onde
u = velocidade do fluxo gasoso , -A. e area transversal da seçao de escoamento
Portanto tem-sei ',-. .
, [:v<1+ >- -1c { :vC1 +-i] =· [:v<n-~ .à. Y<i -J · PeG d Pe d§ j
- G ~ , ,
Esta equaçao .c_ontinuara valida substituindo-se y por Y, is-, - ~ to e, pelo valor da c0ncentraçao em torno do regime estabeleci-
do. Considerando-se que na região C não -existe dirusão •••••• e . -( Pa0 ~ a::J) · e tomando a Transformada de Laplace, a expressao
acima se transforma em:
.... -:::-·:. :··_- icit-) = Y(l-) - p;~ f9YC1..-)_, ·_., ' •.. . - . \i
;.
" Considerando-se ainda que a. fase gasosa no topo da coluna
. :: · .. · .. ·r:/ · J.;_-_.ic1•> :: !ci-> --não ·-sofre descontinuidade; então . ·,; · .• ~ .•.
~ .. · . ... ,_ . . I " · · e · portanto • ,· • . ,f ·-: ' . • •
. ~~ .
.. ... . l' ;· .·• .'• •. . 1 ...
.. ;.:-. ~ : . )" ... ':
-~J ':·~
,, ·,,
' ~ . , .. ,·. . eci-> . ,,.. ··.·. .... . - o .... . \. ·. . d -... ·: ""; ; . ~· ~-(.. ./ . ~
(23·.2) ·-:, '··
l. , i'
1·· ., . .
Um balanço material para a !ase gasosa na base da coluna ,.., "
(§- a O ) :f'orne ce i . ' -. '- ,; "' .. . . ; > ~~AAr~;)· _: p~ ·diy(O-j :: ~~(O:; '·~ 'is eco•~ .... , ;- . . . G . . G . /\· ; .. . :.: . 1l1aS - ·. ' ,!,· •. : i :·.. . . . > ·. ~- . -· . ·:. . ..
• .,,. • ,· ··' } • J
·_- · ·. · : . ,; ,:: ·. u . A - ú_A ... ·. · · · ,·. A. A - .B B
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.. _ .·.... 'l. t ~ .,
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,. .., ~ • • • ._ •• : .• '.1 ,· ...
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'f!" 1 _.; -...'• •. -. ---r~- .... .. ..., j ._.1 "L.- .... ..,._.'"' ... . .1, -~-
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.
I ., • •. ,. tlt .....
e considerando-se ainda a 1na xistenc1a de difusa.o na regiao •
A - - - -(Po· _.. o:::>) , entao a. equaçao acima pode ser escrita ·· . G , •
1
Yi• Y(o-) = Y{O~} _ .J- ..!l.Y(o+) ,. . . . . Poo d§ .
, (Z4.2)
onde 11 ; a transformada de Laplaco de·
..... y(o-) ::· Asen wt .. - . --, ~ -De maneira analoga, pode-se obter mais .duns condiçoes. de
A • ,-
OOntorno se~e.lhantes para a fase 1iquida, ou seja: . A : • : • r..Z<o+) = o -•>,.:' •.: \\~... . •' (25.2)
d§ .·· .. •. . .. , . .... -· :
' ê ,, ·.\{. <2;1· ?·; ·:·-~:-:('. /. ,:(- ... '.'''·:;: . .;- { .. J, ••
) .. ·
.· ... ~li
. ·. , .. ··.> -~( +) . ~e :)· J rivc,·-) ,:,_ ..._ '·." . .- . : ... : ,·, ,.:; A l - O - AI ·- --... ~ ..._ ·.• ,,. · '· - (26 2) · ;, .. ·· ·
:: '- · ~-- ~ -~ · . · - - · Pe · d§ · . ·~ .. . : ' · ! -'. .. ·-; ·.-· -~,: ,:: ·_: : ·· _· : . . :, .. ,. : · ..•. · . .... - . · A -~ - . , , . .. ·• o.· .• , ·• ,.
': . ··.:': \· ,· ·/t...'l cc,ndiçÕes de contorno expressas pelas .equações. (25.2) e • -·;;.:: . : __ +' - . ... ~- . . ;/\ ' ' . ....
.. ~· ..... ·· (26.2)" nap · podem ser. diretame_nta. aplicadas a equaçao (21.2) pois 1- ·
são condições em."; x;· enquanto a equação (21.2) é, em - ' y , son:en, 1:, •
< \' .te. ' ,-...·,,>~~ ;,:~ ; 'Í. •> :/~ )'•\. ·~ ~· •,,; .. :: -•! < I;. .. -· ' • ...!.•!:,i,
::-.. . ..
-~~ .:.~.<._.:·.::. Assim sendo, as expressões:- (25.2) e (26.2) serão colocadas '··· ! . .
' - . . : :.: ··.'.: .em :função á.e Y. Para isso explic1 ta-se. o valor de X na equação ·,:: : · .. .'. :· .. ; . . ' . ' ,' . . . ..:,~ . . . . . < . :: · (18 .2) e calcula-se ~ ·_ · ' ,- : . '. · · · .. . · .. :,_..·. ,· .
. ,. ...... ..: .. : .. . ., . . d§ . ·_ ,r ... ~ • ... ~ •• , , · ~ • .... ·~ - ·,·· ... .,.·~ ... !'' ~
~ .. ,, '·--_'';,.~· usando-se ' então (25.2) obtem-se1 :- •;: ... :·" ">:.;·· .. · :·.··· .:.;• , 11( \.t".: 1 , • .. : • • - • - ... • • • .• • • I - , • ... ~ . • r ~ ' \ •'. . • •
,·'._v~_: ·:.3;-~·;-;/··· ~ ~II(~+)~ j:II(o_.,) -[NoG + .T sl yI(o+)' ·=:··O >. \ (ZT .2) · , · ·, ., t, · Pe · - m G 1J · .·:. ·, -:,~:->. G . . . ,°.' _- . -
.. ·. - .:;~: ·{t . De maneira an~oga usando-se a equaçao (26.2), depois- de aJ. •. •, ' · l .., • • -
• . ., .., 1 - - -. , .,,.
~-· · -.~: ~ . gumas manipulaçoes alg~ bricas tem-se t .
r,. ~
'?\: ~·: >\§/ ·5; )}].-. ; - 20 -
- .,<?·-. ,. .{ i;1\:/2rr ... o.':'~ ,., .- .. ,,.,,.~
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('
l,._ Y (1-) - ..1,_ + ...1._ Y (l _)_ oG - TGs Y(l-) = O _II I ( . J-II N
Pe1 • PoG PeG Pe1 m · , (28.2)
Portanto as equações 23.2, 24.2, Z7 •. 2 e 28 .2 tambÓn são - .... condiçoes de contorno para o problema. ·
Conveo observar que se PeG e Pe1 ,.~ 00 as condições de
conto.rno ex-pressas por 21.!..2 e 2h.2 fi cam.
' Y.1 ·: y (O~) 29.2
•
I ? (1--) = l . (1 +) : ó 30.2 ... ' .
que foram as condiçoes de contorno usadas por Massarani (13). 1 ,
. nesse trabalho o probelam sera resolvido para dois gr~
pos distintos _de condições de co~torno, a saber:
· G~UPO I equações n2s.23.2,25.2,29.2 e 30.2
- GRUPO II equações nQs. 23.2 21+.2, 25.2 e 30.2 -:,-.-
... -.· • ,.,
- - A APLICAÇAO DAS COHDICOZS DE C01lT ORNO • ,J
·-·
Derivando-se a equação (21.2) e aplicando-se a · - A A
condi~ao de contorno (23.2) tem-sei
..
~
4 r· ~ c1 r1 <L i : o
.
(31.2)
1• 1 . • A A
Aplicando-se a condiçao de contorno (24.2) tem-ses
•. 4 .. b c1 (1 - r 1 /PeG) = Yi (32.2)
i=l 1 - ~ ... Para a condiçao de contorno (29.2) a equaçao (32.2)fica.
4 Z Ci • Y1.
,• i=l
- 21 -' •W
(32.2a) . '\· ";'' .f
'
. Aplicando-se agora a condição de contorno expressa , - ,
por (25 .2), e apos algurr.as manipulaçoes alge bricas tor,-se i .+ .
~ C1r1 [r1 (r1/PeG - 1) - (l!oG/m - TG>li~ ~ O (33.2)
Aplicando-se a condição dada por (30.2) ten-se: 4 ~ '(~l 2 ~ t:-J C1 Q, 0IoG/m - TGwi) - (ri;PeG)J -== o l-=-1
(34.2) . , . - , Nas equaçoes acima o parametro s ja foi substituido
por .1;w. 1
As equações (31.2),(32.2), (32.2a), (33.2) e (34.2) . - ,
formam dois sistemas de 4 equaçoes. a 4 incognitas, quo nos:
pern:ite. deterr;inar os valores de -c1 , c2 , C3 e c4, pé. ra os ••••
-dois casos distintos em questao.
9s dois sistemas pódem ser assim escritos:
GRUPO II
4 ~ e( c1 :::: i 1 . L (.::.'
4-
~ 0?1 :::: o <.r \
4-z: 'tc1 == o e.:=-• 4 .z: elci = o
l,.:. 1
- _____ ...,. ____ ...,....,
• A
Cond.içoes de Contorno
"
- 22 - .
• 1
,.
GRUPO I
4
2 c1 ==-L:.1
Y1
+ 2-0i.c1 = o L=I
4
~ y~c1 -=== o 1..:: I
4
~ E\c1 == o l, ':. 1
:, ~
on:ie:
(\ i = [1 -__:! J , PeG
ri =
r r <2 i
i
[
r. N G ] 'ti= ri ri(Pe: - 1) - ( ~ + TGwi~
e . r.[NG ri2] i =- <L 1 <.~ + TGwi) - FeG
Conhecidas as raizes da equação (22·.2) os sistemas
de equações podem ser resolvidos, oôtendo-se assim as 4 con~ ... ...
tantes Ci para os dois casos em questao: l!esse trabalho os
- ,. -- " sistemas serao resolvidos por inversao da matriz, atravez
de um programa de computaô.or.
- A
Funçao Tr2nsferencia
- A , ._
A f'Unçao transferencia e por definiçao a transformada ,
de Lapl9-ce da saida, dividida pela transformada de Laplace
da entrada, ou· seja: rl r2 r3 r4 () !ill ele - c2~ ~<Z. - C/L G(iw) = = -
Y(o) Y1 ( ...
CaJ.culadas as raizes e as constantes a funçao trans-A , ,
ferencia esta deterninada. Deve-se notar que tanto as raizes - , como as constantes sao numeros complexos.
, A
Como e conhecido da teoria de resposta em frequenc1a - ,
a razao de amplitude ei
e<= \ 4_\-=. ~ R L~1' + 1 l~ll.-,
- 23 -
-r._,..,.
·-
.:; .•
..
. \ ~- .
, e o ctefazamento angular sera.:
f8 li ~ ctg I (Gl -R(G]
Para efeito de ccmparaçao com os r esultndos de
Gray (7 ) va"'.loS definir:
1
rx:. : e< -o( o
onde
=
''>
o< 11m·~ _,_,, o
;
e( , e o valor de C\ normalizado.
....
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~ (·
.~· :.,.
-... '.- '"{ -
e· •
~:·~~\· ,.;:-- ·.4-
.- ... ,·,. .. ..,,.- .. ;_:· :, ,.• ~~
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&,.i\PJ.UJJ~Q. I IJ
, .'
' RESUL1lill0S o DIC~JS3ÕBS ---
O progrwna de computador digital utilizado para obter ..,, A _,,, ~
n rosposta .on froquencia da torre de absorçao e apresentado ( ~ A -no ape.ndice A. No upondice B sao apresentadas as tabelas com
todos os valoi·es usados e calculados neste trabalho. , H ,/'
Os dados nece 3sarios para a soluç_ao teorica do problema
que d~vem ser conhecidos são:
l) Dimensões da Coluna.
?~
..... .,
2) Especificações do Leito.
3) Vazão de liquido e de g~s.
4) Dados de equi~ibrio (m}
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· ·= :>· .:· 5) Dados · de transferencia· de massa por absorçao. a• • ' .,
6) Dados de dispersão axial. :''
··; ~-
;
f· Os dados acima referidos foram introduzidos no progra::na
. , atr.avez dos grupos Nol, Nog, T , T· , Pe e Pe e foram os me§.
L G L G , mos . que Gray (7) e Andrade (14) usaram em seus estudos teori-
cos. , . , Os numeras de Peclet para a fase liquida e · gasosa fo-
ram avaliados inicialr.:ente pela correlação de Jacques et al
(9) e os valores encontrados· foram Pe • 230 e Pe : 270 - A G L ..
A funçao transferencia para os valores dos numeres de
Peclat acima citados não pode ser determinada, pois os va-'/
.. lores que aparecirea durante os calculos ultrapassava a cap-ª.
cidade da m~quina utilizo.da (I.B.H.1620). ,
.. , .~ ~- - 2.5 • ~
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. Assim ~cndo os valores dos numeros de Peclet utilizndos
· forama
... ~ Pe ~ 1,2,5 :e -10
G ,·
Pe = 50,60,70,80,90,i10 e 130 L
.. ' •.
J,
- . , '
A comparaçao dos resultados teoricos obtidos -neste tra-
balho, COD os resultudos ·experjruentais de Gray (7) e com os , .'._ . . . ' ~ ,..
resultado~ teor1cos de Massarani (13) e Andrade ·(~4) ~ao apr~
, sentados -nas figurns 3,4,5· e _6~-- conforme as ·condiçÕes de con-
: torno utilizadas •. :_:.". -~': - . ., · .. '! . .,
.. ... ·• j -
... ,. . . '.
·-·?-, . .-; , .. :~ Coni'orme- pode ser observadó. nas figuras 3 e l..t as curvas - • 1 ·- ·. .
· ·· · da razão de aopli~ude ( ~ )- contr·a a· frequ;p.9ia ;b-tidas ne.st~ . •. :_ . ... . . . . • • . : .. - - . . . . . . . . . - 1 .. ; . . ' .
. . ·,:. -trabalho, de uo ·ÍJodo gerài :· dão. valores de o( . maiores quando ~·' • .. • • • • •• - - J. .. • • • • ,- 'li:
} são usada.s as ·cóndiçÕes . de -contorno' ·a.o . grupo :r-. '-':' ·\- .. -_:,',-: .· ·.,.-· '· - - ...
···- . . ,· , \ , ..... . . . -_ · · . ·~ t·: ·- :· Essas vari-açoes de ·.' · paree:.em most~ar·_ que ·a _soluçao . do .
' '~ . ., ·.· . . . . . ,. . '
::. .: problem·a fj.~a b~stànt·e af~·tad~· ;.àra;pe~uena; Vari~ç~eS. nas COJl
, t· ~: .... ·dições d~ . cont~rno utili~~dasf _ \_· ~ ·:: .. ,;, _:· ·.- ·· .':.-. ~ --:-_' ~~ '. · - . ..:· ·: · .. ·:.- : .-• • • : ... : ,,... 1 : •. ' : : , • • .: •' , ' • - I ~ ~ ,, (. , _ •" '- • • • • , • , .• , •
· \' .,-:. ... :1,· < Tanibem para ambos os casos · ( 1 ··e II} as curvas pará valQ. • .i,. · • ., !... . . . ~ . ' ~- ·.: • • , ,.... . .: .
. . .. . res de Pe = 1 , e 2 apresentam desvios; - G . . '• • j .~ • r .,
:._. ', e·:xpi1cados pelos baixos valores de Pe : ... · .. G
~na . talvez possam ser
, : pois a medida . que Pe G
·. · aumenta (Pe . ~ ~ ·e 10), pode-se observ~ que as curvas apresen- -;~ -.. ·.. .. . , G ,. .. .. . . . : . ·.· tam anda.raento normal. Deve-se notar que a medida· que aumenta-se
- .• ·: • : ~ :!'- •• • • •• • • ; , •
. o val.or de Pe e-Pe as curvas tendem a curva teorica 0btida uor . ·.· ·. . . . L .. -- , _., , . . G . . . ... - ~- , IA- i (13) ' ' ', ·-:-~ .·, ,· .. • .,_ . ... . t·. :.· ';" ,., !•, .
. ·· 1·.LcJ.SSaraD. • ,. , ... , . ~···· · ' .... •· .. ·r"-:· .. t "~ ,. ~· :.,.• ~ - I • •• • " .,.. • : ·, ~ . • • • ~ • J • • w - '
_: . · ·· , .... . · .. · Mantendo-se fixo o valor de Pa e " variando-se o valor de ·-:,· ";_ •• • , • • "J ·.. .. • • • L . . . . .·, · Pe , · pode-se observar que as curvas obtidas· neste trabàJ.ho •
,. Q . ' . .
. {Fig.5 ~ 6) são semelhant~s as obtidas ·por Andr~~e (Í4) embora
.. • .... í· :. , ' .. : , ~ ' :··; ,. • , .... · .• :/ . . '·,. ':-' ·: :; ) ; .• -- . • · . ,r ....... _·, , .... ,··· .. !" r • 26.. . .. ,, .. _ .. ~=.- t .-··
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1 os valo~es de~ para um mesmo PeG sejam diferentes, o que,
era de se esperar pois , nos dois casos os números de Peclet
para a fase líquida são bem diferentes.
O rnodêlo adot~do neste trabalho representa melhor os da
dos experimentais, quando são usadas as condições de contôrno
do grupo I e para valores do número de Peclet para a fase ga
so3a maior que 5 e para a fase líquida maior qu e 70, e ; para
a frequência até 2 ciclos/ mi nuto.
Quanto a utilização do modêlo para projetos de contrôle·,
observa-se que a · faixa de aplicabilidade é igual as dos mode
los e~tudados por Massarani (13) e Andrade (14), isto é, para
frequência até 2 ciclos/minuto.
N e ·sse trabalho não foi. calculado o d.efa sam.ento angular,
pois, conforme já ficou evidenciado nos trabalhos de Massarân!
(13) e Anirade (14) o defasamento ·angular apresenta-se sempre y
bem próximos aos valores experim~ntais ie Gray (7). -·-.~ ..
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1 VALo.eJ5 r)oRJCOS ! oisr1 ; rJABALHO
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FIGURA 4a..
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F..E COME!fJAr' ÕES - ~-\\
Para trabalhos teóricos futuros, sugere-se que o prQ
blema seja resolvido usando-se as condições de contôrno dadas
pelas equações 23.2, 24.2, 25.2 e 26.2 que parecem ser as con . . . -diçÕes de contôrno mais completas para o problema em questão.
Outra pos·sibilidade que merece estudos futuros é a
solução do problema "através "' do · computador analógico, transfor
mando o sistema de equações dado por 9.2 e 10.2 emum sistema
· de e;uação de diferenças finitas que podem então serem resol-
_vidas.
Do ponto de vista experimental, suger-e-se que sejam
estudados outros sistemas para que se possa concluir até onde
os diferentes modelos podem s~r empregados.
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~ 38
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,: .->~~- . lli- Pj\.RT:;;_t CÁLCULO DAS RAIZES DO . POLIUOMiá_. ~E 4~ ORDEM: _.,. '>-:, ;~,./': !
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.. , , . · . ·: :/ ,, _, · . ·. · .. Messa fasa e 'f~i to, inicia.1.nente o '_calculo dos· COít -1, ·.-1: ·• •.• ,. :-·~ .•. , • · · ,_. ·.,. '.-.)' · •... ~~ ... ·-· ~ .~ • ' • • • .•... : ... · • .•. ....~·· '· . .. :.·. • • .•. •· ·. •
. · · :. ·· ficientes do . pol.inomio complexo·· de . 4~-ordem· •. Pa:ra: a: det·erm1nà· _: ' ·.·: \ • . . ·:.. .. ' . . .. . ' . 7 : ... , .,. . . ·.· .. . . : . ... . . ... : .. . : .. . . . . ' . . .
< -:·_ · .: .çao das raizes foi · usado o programa »IBM i620 General -Progràm . . ' ... . ·.: .. ·.· .. ··. . ·! . . .·· · ... ·. . .. -" A ··. · .. ·. ·.. ,. , . . . -... · , -.· . . ... . ."
··::'' ", : .Libray nc ·7.o.029n. · Esse· ·programa utiliza o _metodo interativo · •. L o ~ ,.; ' • ' ' • ' • ... '\ ' • • • ~: • • • • • '-~- ,, ' • ' • ~ • • •
.. : .. ' de. Newton-Raphson é serve. para . resol yer polinomiais complexos : ... .. ,
de ··quaJ.quer grau, d~sdé que ·seja fornecido o · valor à.pro:x:imado · . .. . .-- :_ ....
de uma das raizes. • :~:\. \. · .,. f ~ ~
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:. .. -~' ~. . -. .. . . ;'.. . . . . ..· . . '\ ·. . . ·;~. . .· ,. >.' '';- z.! PARTE: cÁLcULO DA_S ?OHSTA11TES Ci, c2, :~3 ª' c4 . ;., .,.... ·.---···.-. ·:.·-
· -· .:J · -: ) : . '\·::·. ~- , ~ -:..., ·.Essa fç.Se resume-se em resolver um sistema da 4 , ' ~ ,: ~ • ~ • • ~ .. • • ...:_ ... .. .. ;.. ~ ' ·- . • ~ , • • • • .. - ' . .. • !'·· •. .. : :
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32-· PARTÉ: . ClLLCLTLO DE F1J1!ÇÃú TRANSFERÊNÇIA . \
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e efetuado o r
calcuJ.o
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da razao de
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Pru.,a e feito de . , calculo, os· valores· que ·aevem ser
: fornecldos -sao: •-'. .. _;.•
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, .... todos · -em unidades .coerentes
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.No · p~og:1:ama que se . segu~ deve ser observada a s~
gUinte . nomenclatura, . na :ordem de· : seu · àpai'ecimento · no ·Programa: y -> ~ . . . :{~\~;· ·>~\ '· -
~.. '-.. . "•
. -.-.·· ·,• '
SDIBOLO-NO PR0(1-qAHA. :. ~ ' .. SIMBOLO no T,EXTO ,;
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SII·JBOLO }'{0 TEXTO
Pe L
increnento de Pe G
incremento de PeL ,
PeG mã..ximff . .- , ':"PeL ma,dmo.
w {ciclos/minuto)
. "1 (radianos/h) ~
erro ...,:· .... ·· ... ., -
numero de interaçoes
_. ,./ ·
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_.- ·:- .. : ·.·/.:'Parte real da raiz aproxinada. . .. ' . . . .
.. ; ·'. .• ... ,,... .
.. ,,.. ... ) . ·.·-: -.. ..
·.·.':.
J." .;'· - .. ~ . .Par"ª · .i-;-nag ... nar1.a da raiz aproXJ,reo.a
Parte real da raiz .1 ., .
Parta imaginaria da raiz ' .
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UNIVERSlDADE DO BRASIL INS TITUTO DE QtJIM IC A e e e e ee e e
TESE DE MESTRE E~ CIENCJAS. JOAO BATISTA LEONESSA
DINAMJCA DE COLUNA DE ABSORC~:
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PR It~E I RA PARTE ,
·. INSTITUTO TECNCLOGICO DE AE RONAUTICA ·LABORATORIO DE PROCESSAMENTO DE DADOS
CONSTANTES D1MENS10N CC12 ) ,P(.12},Q(l2) DEL'~2=0o l
D::L32::0,, ' ENOL=8 .. 0935 ENOG=512o· . TRG=.0082308 · iRL=oOl86181 EM=l5ó5•
M=l. LD=4 LR=4 .
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C ENTRADA DOS DADOS I NI CIAIS ·: 99~AC CEPTtP EG,D PEG,PE GM , PE L,DPEL•PELM,E,LP,ALFA,~ ATA
.PE G=PEG-DP EG ., PELL=PEL-DPEL .
. e ,._ 125' PEG=PEG+DPEG
' . •· PEL=PÉLL ,.. . I'FCPEG-PEGM )l30tl30, l26 .·., ·. , _ . 126 PAUSE ' '- ·:-?' -~ . , ~ · . G O TO · 9 9
~~~ 130 ·PEL;PEL+DPEL . . ~: ' '.: '. . -_, I F { P E L -P E L M ) 13 5 ; 1 3 5 , -1 2 5 ., - ·: ·C :.; . • ·> .·: '(: ·. CALCULO DOS COE.FICIENTES DO POLINOMIO CO MP LEXO
;: i.>"··--:.-1 ·35 L,.;O ,> ·: _·::·::· _' -. PUNCH20 t. Pt:G tPEL
. · -"·:., ~· -·-20 · FORMAT-( El4o8,3X,El4.8) .><; . :_ i 16 L,., L + 1 . . . . . :/;.j\:_-:, ~ -GO- . TO . (14·1,1~2,143,144tl45,146d47) ,L
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DEL3la-(lo+CPEG)/PEL > . DEL2·1=ENOL-< ENOG*PEG) / ,Ê"li* PF.L'+PEG ~{-
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230 2 50
260 2
300
DEL22=!TRL-IPEG*TRGI/PEL)*~R [I DELll=PEG*(l~NOG!/E M-E~OL) V ' DcL12=tTkG-TRL)*?~G*WRV D ELO 1 = P E G ·';r T r~ G '.t T R L ·} W R * 'd F~ V , . D[LQ2;:,-PEG*~:~ ·*( (E NCGi{·TRL l/ EM+(E flOL*TRG ) )J IFISENSE SWITCH 1)230,260 PR!NT 250,DELA1,DE L 31,DEL21 , DE L 22 FORMATt[l4.8,2X,El4 . 8,2X,El4.8,2X,El4.8,2X ) PRINT 200,DEL11,DEL12,DEL01,DEL02 GOTO 260
CALCULO DAS ~AIZES COMPLEXAS DO POLINO~IO PUNCH2,?EG,PEL , L,~R FO~MAT( E14.8,2X~El4o8•2X,14, 2X, El4.BI L2DP 2 =2 ·:",1..D+ Z C ( l l = D E L t, l C { 2. ·J = D E L 4 2 Cí 3 )=DEL 31 C{4i=DEL32 CC5l=DEL21 C{6> =DEL22 ·(t 7 ) =DELl 1
· c( S)=DEL12 · c( 9j =DEL01
' CtlO)=DEL02 303 J=>0-1
J=J+l I TH::; l ALPH,1.=ALFA. BETti.=CATA . DO 100 I=l,L2DP2
.:::· l00 ° P(I):.((I)
L2D=L D+LD · DO .109 LRCNT=l, LR · Q tl);P(l ) '.
Q t 2 ) :: P ( 2 }· DO 105 NOIT=l,LP
. • ... ' • ÓO . 10'1 J=;,l2DP2,2 .. . ·· .. ·_·,· .. :o ( J l =ALPHA·~-'~( J-2 )-BETA*Q ( J-1 l +P ( J l
~ 101 QCJ+l}=AL PHA*Q (J-l)+8ETA* O( J-2)+P {J+l) GAMMA =Q(ll
/·: DELTA =Q ( 2 l i .. ~ D o: l O 2 · J = 3 , L 2 D , 2
· ,':." X=ALPHA*GAMHA-BETA*DELTA+Q(J) :~ .. DELT A=ALPHA*C ELTA~dETA*GAMMA +Q{J+l)
'.. , l O 2 G A MM 1\ :: X '·. :· . .. :. • . ; X=GAMMA**2+DEL TA** 2
:<. IF( X}ll3,113,103 . '' ~·· · 113 PR I N T 7 ....
..•
. 7 F0RMA T(/24HEX1STE UMA UERIVAvA NULA,/) · GO TO 111
·' 103 SIGMA =( QfL2D+l)*GAMMA +0(L2D+2)* DELTA J./X TAU =C QCL2D+2J~GA M~A~Q{L2D+l)* DE LTAJ/X . IF( SQR T(5IGMA**2+T AU**2>-E> 11 2 , 104 ,104
104 ALP HA =ALPHA-SIGMA 105 BETA:BETA-T AU
·~ - 45-.....
... ---r·-· - ... ...--- ..... ,.,-----~ -------~~~t..:_.;: __ ·~ .... ~~:
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G
PRI~lT 2000 2000 Foq~AT(/35~HA UM NUMERO EXCE SSIVO DE IT ERACOESl
GOTO 111 111 NOIT= .• OIT-1
ITH=2 11 2 S I G \1 A :: C ( 1 l
TAU=C!2} DO 106 J=3,L2DP2,2 X= ALPriA* SIG MA - BETA*T~U+C( J) TAU= ALPHA*TAU+BETA*SIG~A+C {J+l)
10'6 SI G.'1:\=X PUNCH 9,ALPHA t SE TA
.9 FORMAT< El4.8,2X,El4.8) GO, TO ( 1 O 7 , 11 O } , 'J T H
107 LDPl=L D+l DO 10 8 l=l,LRCNT J=2*I-1 P{J)=O•
l O 8 P ( J•+ 1 l ::: O • LRCPl=LRCNT+l DO 109 I=LRCPl,LDPl J:2*I-l
· p(J}=O(J-2) 109 P!J+l)=QIJ-ll 110 IF(L-7ll36,130,130
END
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UNI VERSI2A~E DO 8PAS1L TESE DE M~S~RE EM CI ~NC IAS J OA O BATISTA LEO NES SA
INSTITUTO DE QUiMI CA DI NAM IC A DE COLUNA DE ABS CRc ;: SEGU NDA RARTE
r r:STI TUTO TECNOLOGICO DE AERON AUTICA LABORA TDRIO DE PPOCES S~~EN TO DE DADOS
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e C CALCUL O DOS COE FIC IENTES DAS EQU ACOES CO MPLEXAS
e D! ME N S l ON R { 4 , 5 } , X ( l } t 5 ) , E f< ( L~) , E l i 4 ) , S ( 4 ) , RI ( 4 l , V R ( 4 ) , V l ( 4 l
K=4 KX=5
2000 R~A D, PEGC,P ELC, DUN P UN CH l,PEGC,?ELC
.1 FCRM,".,T{El 4 . 2 ,2X,ElL.,_ . • 8)
DO 53 LL=l,7 1000 READ,PEG, PEL,L,WR,DUN
TRG:::.003230 8 ENOG=512 EM=l565• B3=1EL*PEG
,. B=PEL+PEG e= T RG ·,H-JR , B2=ENOG/EM L/ DO llOv J=l,4 ER(Jl=O• EI{J)=O•
1100 REAQ,SCJ),Rl(Jl,DUN ER(ll=l• PUNCH 254,PEG,PEL,L DO l O 9 1 J = 1 , 4
1091 PUNCH I ,SíJ} ,R1 i Jl 254 FORMATIE14. B,2X,El4• S ,2X,I4,2X,El4.B)
DO 1200 J=l,4 . A=EXP( S(J)) ~,, A"'A.*( .lE-151 _i/ Al=COS(RI \J}) V A 2 = S I N í R I < ..J } l 1,, / e 1 = ·cs ( J l * s ( J , r v C 2 = (RI ( J) *RI ( J) > / /
· C4=SCJJ*Cl (5.= 8* ( Cl.-(2 l D=3.*S(J}*S(J)*Rf<Jl D1 =RI(J)*C2 D2=S*2•*S(JJ*RI{Jl . R(l,J}:1. -S(J ·)/PEG V .
.
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X(l,J)=-RI(J)/PEG V ,; R{2,J)=A*(S(J)*Al-~I(J)*A2l~/ Xl2,J)=A*(S(J l *A2+RitJl*Al) ~ R ( 3 ~ .J ) = S ( J 1 * ( ( C 1 - 3 ~ * C 2 > / ( ·p E G ~ - S ( J l - 6 2 ) + R · I { J l *' l R I < J l + T R G * W R l _. x < 3 , J l = R 1 < J , * 1 < 3 • i:· e 1 - e 2 i ; P E G-2 • * s 1 .J l - s 2 > - T R G * s ( J 1 * w R / F
R(4,J)=A*CA1*{( C4-3•*SlJ)*C2-C5}/63+B2l-A2*(CD-Dl-D2)/ ~3+C l 1 !
1200 X(4,J J =A * (Al*(( D- Cl-D21/B3+C!+A2*((C4-3.*S{JJ*C2-CS)/B3+B2l t ~ IF ! SENSE SWliCH 1) .300,320 · .
300 PRI NT 31 0 , R (l,l), Xt l,l),R(l,Zl,X(l,2)
._~ . '' (
- 47 -... ~---~ -~ .. t.·:_ ;j
.·~---~···-.:. ,, ·-~ ~ ... _ .:., ?,..--
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, 310 FORMAT(El4.B,2X,El4•B,2X,El4•8,2X,~l4•8 , 2Xl PRINT 310? í-<(1,3),X{ld l, F~ll ,•+J,X (l,t.,) PR[NY 3JO,R12,ll,X12,l l ,R12,2),X(2 , 2} PHINT 3J.O,Rt2,3l ,Xi2,3) ,R(2,4J ,X(2,4l PRINT 310, R f3,l) ,X(3,ll , ;~ 13,2) ,X(3 , 2l PRINT 310 , Rf3,3) ,X(393) ,R(:3,4) ,X(3,4 ) PRINT 310, id4tl),X(lHll,P.(t+,2 )~ X(4,2) PRINT 310,R14,3J,X(4t3),R(4,4l~XC4,4 l
e C CALCULd DAS SOLUCOES DO SISTEMA DE EQUACOES COMPLEXAS
320 DO 33 I = 1, K DO 48 L:::: l 9K R(L, KXl = O .. O
48 X(L, KX} = OcO R! I ,KX l= l• I Y = 1 IF (R (I , lll 34, 31, 34
. 31 IF (X( I , ll l .34, 1 00 , · 3 4 34 Tl =R{I, U~~R( I, ll+X(I,ll*X< l,ll
' Tl R=R{I ,11 TlX=X(I,ll DO 35 J =l, KX TR ::(R { I , Jl* TlR +X (I ,Ji*TlX) /Tl Tlp(X( I,JJ *T l R- RII,JJ *TlX)/ Tl
., R(I, · Jl = TR 35 XCI, Jl = TI
-IX =O .· I y · = -i
, ' -- lF(I - K) 37 , 3 8 , iOO
: 38 MX = r' _.- 1 MY= i -GO TO -39
. , ,, 3 7 . M Y ·= I + . l .-,,
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... , ..... ,
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MX = K ~9 DO 40 L = MY, MX
- IX= IX. +l Tl = R'(L, · 1)
,· T 2 = . X ( L, 1 } . ·, 00···4Q J=l,KX . · TR. = ·Rt I, Jl*Tl
,.·-
X(I, J>*T2 '. T I = R ( l , J l * T 2 + X C I , J ) * T l
.RCL, J) = R(L, J) - TR . 40 Xil~J)=X(L,J)-TI
I Y = 3· IF (I ·- 1) 100, 44, 45
~ : .4 5 ·_ I F ( ( K- - 1') - I X > l O O , 4 4 , · 3 8 4 4 DO . 4 6 L · = l , K
DO ·46 .J = 1, K Nu ·.= ·J . + 1 R(L,JJ=R(L,NU)
:_ 46 X ( L, J l = X ( L, NU l ·_ .33 CONTI NU E
J
5 2 DO . 5 3 . I = 1 , K TR=o.o rr=o.o
.. "· .. DO 54 _J=l,K ·TI=R( I ,J)*ER(-J)-X( I ,J)*EI ( J)
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. ....... ,-~--------~·---""":,~--~ ···1'l ~- '""'"' :., .. ~ ... .. . -,1\-::..,1,, p; .... . ·. ~ · -- ..;.-
T2=XI I ,Jl~E ~(JJ+RI l,J)ÁEIIJJ TK=TR+Tl
54 TI=T:+T2 VR: IJ= TR V I ( 1 l = T I PUN(H l t VRII ! , Vllll
53 CONT!NU[ GOTO 2GCJ
100 P~IN T 101 101 FGR~A T<l7 µ 0!/ ISAO ?OR ZERCJ
GJ TO 53 END
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UNIVERSIDA)E DO BRASiL TESE CE MESTRE E~ CIENCI~S
INSTITUTO DE QUIMICA DINA~I(A DE COLUNA DE ABsc qc:
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JO AO BATISTA LEO~ESSA TERCEIRA PARTE
INS TITUTO TECNOLOGICO DE AERONAÜT~CA LA60RATORlC DE ?RCC~SSAMENTO DE DADOS
DU'!ENSID,~ St'r), RitL~l,TR(4},T!(L,}, SS(4), _WC(7), Rf< (4l
1; e e 1 > =o. 1.-\-1(\2}=.2 WC{3l~ .4 WCl4)=1.0 WC(51~2. WC(61=4 ~ WC {7)=7.
2000 PUNCH l 1 FORMAT{//~X,3~HM0DELO DIFUSAb AXIAL NAS DUAS FASESt
PUNCH 2 2 FORMAT(/l0X,27HRESULTA D0S TEOR1C0S OBTIDOS)
RE AD, P EG ,~" El PUIKH 3 ,PEG, PEL
' -3 FORMATl/5X,4HPEG= , Fl0.4,7H PEL=,Fi0.-4/ l
PUNCH 4 4 FORMATt3H \v,lOX,4HALF1\, ll X;5H!~ LR:H t\,.9;x ·,.7HTAN PHI t6X,3HPH1 ,/}
P'\I + .. - .M .......
-;-t,-:-1 t,LJ .;...,U ' 1000
e 00 600 L=l,7 [f~TR~DA DOS DADOS READ.PEG,PEL,LL , DUN · IFCL-LLlS0,51150
;~_:.;· . .. - .......
. 1001
e
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50 P~INT 52 52 FORMATU31HA
PAUSf:· Gó TO 1001.
51 DO· 100 ·J=l,4
ORDEM DOS CARTQES ESTA ERRADA)
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. -lOC READ,S{Jl,RlCJ),DUN ',. • ,,::. • .:.'J.,
DO 1 O l I = 1, 4 , -.;.
101 READ,TR(I),Tr -(I},DUN ,. ....... •
150
· ·A=O. - -. - · ; · .. , ·.,:. B =O• . ,. -., . -- :.--... ··.. .'
DO 150 J=l,4 .· . .. -. - . A=A+EXPt S(J) l*(TR(J)-l',(0SíRI (J) )-TI (Jl*SINCRI (Jl) l B = 8 + E X P ( S í J l i * < T R ('j } ;;- S I tH R I < J l } + T I ( J l * C O S ( R ! ( J l ) l .. ·. ,.
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ALFA=SCRTlA*A+B*Bl 400 IF (L-1) 402,401, 402 401 con: ALFA
~') .... ':,e~'?- ,. ·:_: ~
u02 ALPHA = ALFA/CON 600 !:ur:?H M500? ~.ic f I:), r.,!~FA, 500 ..e Ofü:u-ü (F4 •• t ,x, lüc: . 6,
GO TO 2.000 . EHD
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ALPHA 3x, E12.6)
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O c fu.CULO DA RESPOS- .
Por motivos .de $implic1dade o para tor~'U"
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, ,. Apena.ice mais
. , . sintetico, omitirenos o desenvolvimento matema-
tico' (oper ações c.om nmieros coriÍplexos) e apresentaremos ·. ape-À
nas os va1ores ·rinais utilizado·s. (vêr nomenclatura do apend,i
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22) Coeficientes do sistema de equaçoes Para as yondiçÕes de contôrno Grupo I, tem-se:
R(l~J) = 1 X(l,J) = O Para as condições do grupo II tem-se:
R ( 1 , J) = 1 - ( r j l / P'eJ e X ( 1 , J ) = - r j 2/ p e G
Os demais valores nao variam .e são: rjl
.R(2,J) = (t (rjl cos rj 2 - rj 2 sen rj 2 )
1
X(2,J) r.l
J . ( = (J,, r jl sen r j 2 + rj 2 cos rj 2)
[ . 2
R(J,J) = :rjl 1/PeG(rjl 2 •
3r j·2) r jl-NoG/mJ+ r j 2(r j 2+TGw)
X(J,J) = r~ 2~/PeG(3r;1- r;2 ) - 2rj1- N0 G/m] - TG.rj1 .w
definindo-se
~l NoG -- -= m
1 ( 2 ~ 2 ) PeG rjl - rj2
~2· = 2rjl rj2
TGw - PeG
R(4,J) =
r.l <l J (cos_ rj21._l - sen rj212>
r.l (l, J ( cos r j 2 \ 2 + sen r j 2 rt._1.) . X( 4 ,!') = ...
para J = 1, ?, 3 e 4
. - 52 -
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3~) Funçao transforencia :
4. r . ~ j1 .·
A.~ a1 ~ ~ - .(cj1 co~ rj2 ~ cj2 s~n rj2 )_ ;J-1 . ·. . ..... - • ,Y..
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. r.l . B -:; G2 _: z a_,J (_cjl_·se..YJ. r j 2 .:+ CjZ cos r j 2 )_
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co:-.:o os dc..d.Cl:3 r c f o1·sntcs D.O cc:·ui)2.::-.0nto, utilizados nc sse t;;;a-
balho, são os mesmos que os utilizados por G?.AY (7) o JlJWili~.J:::;
. (11.i) e são os abai:w apresentados:
l) Leito Fixo
,Di~'!letro -:::: 6 in ·
~tura cl) ~ 5,12 ft , A
. ·Recheio: aneis· de Raschig à.e Cera.mica A ~ - . .
D:i.á.rnetro dos a.'1.eis (Dp) 5/8 in _.--: ·
;·_"/_~ .. Poros_idáde _-' (f:)::: ·0,604 <: ._,
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~:-_::_<-."_ -·. :·2) · Condições · de:_·Op~ração _. ~:" . •·- .·::·. ~- . . .- _.: .. ::~:~- .. ,.: , · ; ' < ,/ : Va~ã~. d~ LÍcÍuido (L) C:. 55 {b ~o{e ~/hr ,rt2 : .;~ .• ' . ,:< '\ · · : '. . :· - 2. : <~ ' ' '"·
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TemperatUl'a· :do lÍquido- :::=. .74°F · - - · . ,,• ~ .. ...
. - . . , · ... · , .: ·,::·,, .· . ... Vazao de Gas · (G) -==
-::::: soºF , . .. . . . .. , . , , ._ · · , · .Tempero. tura · do gas
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3) Sistcoa co2- .Ar~Agua <_
Coeficiente de transfer;ncia Clt1a) -== . . 2 -·-= 87 ~b molo:::/111~ ft fraçao molar
·.lnclino.çüo da linha· do aquilibrio (n) ==- 1565
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Roteng;o do lÍquido (hL) - · - . ";l
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n'.)ten,;ao do gns (hG) --05 dados oxperimcmtEr.is obtidos por Gr n.y (7)
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. ~-· __ : ~as ta.b~las 2a, 2b, ·2c e 2d são apresentados os "': ~ ... - . . . ,,.. . A
·· · ·. resultados obtidos com as condiçoes de contorno do Grupo I e
· nas tabelas 3a, 3b-, 3c e 3d ()S resultados obtidos com as ccnd1, • A . .
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TADELA 3d
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H~SULTADOS TY'O"ílICOS 03TID0S - .... -...
(Cond. ,Conto - Grupo II)
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EQ~.J~TCLJ\TUI~
a !~ froél do t.rc..Yl~fcr;ncia de massa por absorção, rt2/ft3
A :: - ... D..nplitnde da osciluçao harmonica
B -- coeficiente da equação (19.2)
e -- constantes da equação (21.2)
D · : . ,
conprimento caracteristico; operador A
~= Dirunotro do _anel de Raschig, in
E . : difusividade axial · turbtüenta, ft2/ft3
F j : -coeficiente da equaçao 19.2
G : · Vazão molar da fase gasosa lb moles/hr rt2 ou - A funçao transf erencia . ·
·. h ·.· =
1 1 ... -retenção total, · lb. moles/ft3
Çi · : . imaeinárto puro ·
coeficiente da equação (19~2)
:~·- .
J --kL : .· coeficiente de tra11sferência de massa, · 1b·· moles/hr ft2
' . . .. · l · = altura da tirre, ft ·,. -IL =
- , ' . 2 vazao molar da fase liquida lb moles/hr ft
m -- - , inclinaçao da linha de equilibrio .
M · = · coeficiente da equação (19.2) , A
_ N00= numero de unidades de transferencia para a fase gasosa , . A ,
NoL= nllr.1cro de unidades de trar1sferencia para a fase liquida ,
n · : numero de misturadores
N : fluxo de transfer;ncia de massa, lb mol~sinr rt2
- . .\.
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U0 : Vé ~ velocidada superficinl ft/h.r
!
V -- Velocidade interstici2.l - G/ha ou Lint, ft/hx
V = coeficiente du equaçÜo . (19.2) ~ A
w = frequencia, rad/hr -- . , fraçao molar do soluto na fase liquida X --
y = fração molar do ·soluto na fasa, gasosa.
z -- coordenada longitudinal; ft
SÍmbôlos Esneciais
« = razão de amplitude ou coeficiente da (35.2) 1
ex = ..
razao de· amplitude normalizada .. -.
~ = coeficiente da equação (35.2)
"t = coeficiente da equação (35.2)
e= coeficiente da equação (35.2)
E. = porosidade do leito, vol.vazio/vol.total
cb = defasamento angular
§ = coordenada longi tudinal nornalizada
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O.O ~~Oi9b l4l0B 00 0J96 1~10E 00 0.2 o.90 5021e oo o.ag o103E ao 0.4 0.7631038 00 0«727034E QO t.O 0.3233788 00 ~0.107856E 00 2.0 0.952118ü-Ot 0~924243E-Ol q.o o.t935o~s-oz o.1z 3331e~o2 1.0 0.168044E~OZ ~o.5&9l~QE~03
PEH 10.0000 PELII 60+0000 o.o 0.969219& OQ 0.9692l 9E 00 a.z o.-9262Be oa 0.,9I64Z9E 00 0.4 0.80990 06 ºª 0J7338t2E 00 1.0 o.sa12a2s ao 0~28S297E-Ol 2.0 o.12113se oo O.ir2c 262E 00 .w.o O.B491!6E~ot Q.,l 30 839E-Ol 7.0 0.3!il066E.,03 -;o~ l 3118 9E•03
P.EGi 1a.ooao PEL'I 10;0000 o.o o.914477.e oo O.i<J7:44"11E 00 0.2 ' 0.939815E 00 0.932903E 00 0.4 .' 0.8lfl726E 00 O.B22144E 00 t.o 2.0
"·º 1.0
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º·"' 1.0 2.0 · 4.0
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