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Anwendung und Modellierung im Mathematikunterricht
Ines HeinrichRonny Do XuanMathematik Didaktik 05.05.10
Gliederung
Was ist ein Modell? Mathematisches Modell Aufgabe entwerfen Aufgabenstellung, Ziele, Probleme Fermi-Aufgaben mit Beispielen Weitere Beispiele
Gibt es einen Unterschied zwischen Problemlösen und Modellieren?
Problemlösen Orientierung an einem
Mathematischen Problem oder Rechenverfahren
Heuristik Begrenztes Wissen
wenig Zeit
Modellieren Orientierung an einer
Fragestellung mit komplexem Inhalt (außermathematisch)
Mathematisierung dieses Problems (Prozessorientierung)
Recherche und Datensammlung
Werkzeug
„Echte“ und „unechte“ Anwendungen
Unechte Anwendung „eingekleidete“
Aufgaben Kein Bezug zu dem
Schüler Sämtliche
Überlegungen zur Mathematisierung bereits gegeben
Echte Anwendung Relevanz für Schüler
(„authentisch“), aber auch von allgemeinem Interesse
Motivierend und Interesse weckend
Offene Fragestellungen veranlassen selbstständiges Modellieren
Reales Problem
Was ist ein Modell?
lat.: „modulus“ : Maßstab in der Architektur
Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die „nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte“ berücksichtigt.
Modellvarianten
DESKRIPTIV Vorhersagend –
Wetterbericht
Erklärend – Planetenbewegung
Beschreibend – Landkarten
NORMATIV
Vorschreibend – Kochrezepte, Schnittmuster für Schneiderei
Mathematisches Modell
Verwendet mathematische Sprache zur Beschreibung eines Systems
Erfassen wesentlicher Parameter meist natürlicher Phänomene
Kann berechnet und wissenschaftlich beschrieben werden (analytisch, numerisch)
Kreislaufschema ( nach Blum)
Reales Modell
Reale Situation
Mathematisches Modell
MathematischeResultate
Realität Mathematik
Konstruieren / Verstehen
Gegebene Situation bzw. Aufgabe verstehen Nötige Informationen aus dem Text
entnehmen Vorstellungen entwickeln Situationsmodell
Vereinfachen / Strukturieren
Ziel: Situationsmodell mathematisieren Konkrete Leitfrage trennt „wichtige“ von
„unwichtigen“ Informationen, Struktur vereinfachen
Mathematisches Wissen, Ideen, Analogien sammeln
Zeit und Motivation überdenken Datenerfassung, Recherche, Messungen
Mathematisieren
Funktionen, Gleichungen, Bildungsvorschriften, Graphen, Formeln aufstellen
Nebenbedingungen, Daten beachten Lösungsvielfalt
Mathematisch arbeiten
„Lösung“ des Problems führt zu mathematischem Resultat
Mathematische Werkzeuge anwenden: analytisch, geometrisch, numerisch (Computer),…
Interpretieren
Mathematisches Resultat wieder auf Realsituation bzw. reales Modell beziehen
Einheiten mit berücksichtigen
Validieren
Überprüfen realer Resultate im Hinblick auf Realsituation, Reflexion getroffener Modellannahmen (Ziel führend) – Erweiterungen/Verbesserungen
Vergleich verschiedener Modelle Verschiedene Perspektiven Rundungen/Approximationen überdenken Kontrolle Dimension, Größenordnung,
Abhängigkeiten, Randbedingungen, Widerspruchsfreiheit, Stabilität des Modells
Darlegen / Erklären
Ergebnisse dokumentieren und präsentieren Vorgehen erläutern Kommunikative und argumentative
Kompetenzen gefördert
Ziele
Bildungsstandards – K3 Mathematisches Modellieren
Schule soll auf Leben vorbereiten (Umgang mit Geld), Verbindung zwischen Umwelt und Mathematik schaffen
Schüler zu eigenen kompetenten Einschätzungen befähigen (kritische Ergebnisanalyse)
Einsicht in die Bedeutung der Mathematik als Wissenschaft aber auch als Alltagsrelevanz
Motivierende und Interesse weckende Funktion Mathematisieren und Modellieren lernen …
Voraussetzungen und Gestaltung
Lehrer erfahren und flexibel Zielklarheit für Lehrer und Schüler Realitätsnah und Interesse weckend Offene Fragestellungen – fehlende und überflüssige
Angaben Projektartige Arbeitsform, Freiarbeit, Gruppenarbeit,
fächerübergreifend Aufgabenstellung authentisch und differenzierbar, …
Probleme und Schwierigkeiten
Kein Schema, fehlende Problemlösetechnik Zeitaufwendig (Vorbereitung, Unterricht) Komplexität der Realsituation Problem der Relevanz für Schüler
(Themenwahl) Gezieltes und dosiertes Einsetzen Geeignete Fragestellung finden Erfahrung mit Modellierung, …
Fermi-Aufgaben
Italienischer Physiker und Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901-1954)
Dafür bekannt, „dass er direkte, eher provisorisch anmutende Lösungswege häufig den eleganten und meist aufwändigeren Methoden vorzog“ (Peter-Koop)
War davon überzeugt, dass jeder denkende Mensch jede Frage beantworten kann
Berühmteste Frage: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“
Fermi-Aufagbe
keine richtige oder falsche Lösung -> sondern: nachvollziehbares oder nichtnachvollziehbares Ergebnis
kein Standardverfahren zum Lösen der Aufgaben Fermi-Aufgaben bilden somit komplexe Probleme, die für die
rechnerische Beantwortung einer Frage entweder keine oder nur unzureichend numerische Angaben aufweisen. Der Bearbeiter wird gezwungen, seine eigenen Daten zu erheben, plausible Annahmen zu formulieren oder zu schätzen, um zu einer Lösung zu gelangen.
Ziele: Problemlösen , Argumentieren, Kommunizieren, Darstellen Anlass, Vorwissen zu aktualisieren, Sachen zu erforschen, zu erleben
und zu erkunden, Denkprozesse zu Ende führen, festzuhalten und zu überprüfen
Fermiaufgaben kommen damit der Lernforschung nach vernetztem, problemorientiertem, ganzheitlichen Lernen entgegen
Beispiel
Weitere Beispiele
Weitere Beispiele
Weitere Beispiele
Literatur und Quellen
Modellierung im Mathematikunterricht – Gerd Hinrichs, Verlag Spektrum 2008 ISTRON-Schriftenreihe – Materialien für einen realitätsbezogenen Unterricht, Bände 1-9,
Verlag Franzbecker Einführung in die Didaktik der Mathematik – Heinz Jörg Claus, 2. Auflage 1995,
Wissenschaftliche Buchgesellschaft, S. 160 ff Der Mathematikunterricht in der Primarstufe – Gerhard Müller / Erich Ch. Wittmann, 3.
Auflage, Vieweg 1984 Peter-Koop,A. (2003): „Wieviele Autos stehen in einem 3-km-Stau?“ –
Modellbildungsprozesse beim Bearbeiten von Fermi-Problemen in Kleingruppen, In: Ruwisch/Peter-Koop, (Hrsg.): Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule, Offenburg: Mildenberger Verlag
Baireuther, P.(1990): „Konkreter Mathematikunterricht“, Bad Salzdetfurth: Franzbecker Krauthausen,G., Scherer, P. (2001): „Einführung in die Mathematikdidaktik“, Heidelberg,
Berlin, Spektrum http://de.wikipedia.org/wiki/Modell 03.05.10. http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell 03.05.10