antiderivadatello (1) (3).docx

1.1. Antiderivada de una funcin o funcin primitivaCuando derivamos la funcin F (x) se obtiene una nueva funcin representada por F(x).A esta nueva funcin se representa por: f(x)= F(x) para todo x I.Ahora nos interesa a partir de f(x) retornar a la funcin antes de derivarse F(x).

DxF(x) f(x)

DEFINICINSi para todo x I se cumple la ecuacin F(x) = f(x), la funcin F(x) es la primitiva de f(x) sobre dicho intervalo.F(x)

Antd

DEFINICINLa antiderivada o funcin primitiva de f(x) se denota por Antd (f(x)) y su valor est dada por:

Antd (f(x)) = F(x) + K tal que F(x) = f(x) en cierto intervalo I

El problema de calcular la antiderivada o funcin primitiva de f(x) es un problema que tiene infinitas soluciones. La solucin y=F(x) + K es conocido como antiderivada general, geomtricamente esta funcin primitiva es una familia de curvas, como se observa en el siguiente grfico.

XYy=F(x)+K

En el siguiente problema:

XYy=F(x)XoYo

La solucin es una sola curva que pasa por el punto

La operacin antiderivada de una funcin es un operador lineal.1. Antd (a f(x)) = a. Antd( f(x) );a=constante2. Antd( f(x)h(x) ) = Antd( f(x) ) Antd( h(x) )3.

Antd()=Ln+k

1.2 Integral Indefinida

Sea F(x) la primitiva de la funcin f(x); entonces la expresin F(x) +K es el valor de la integral indefinida de f(x) diferencial de x que se representa por: La integral indefinida es el proceso inverso a la operacin de diferenciacin de una funcin F(x).Diferenciando la funcin F(x) y luego integrando para regresar a la funcin primitivadF(x) = F(x) dx o dF(x) = f(x) dx, K es una constante arbitraria. Hay muchas funciones que tienen el mismo diferencial, de ah el nombre de integral indefinida.

d

f(x) dx

F(x)

A B d1

En lo sucesivo para regresar a la funcin primitiva vamos a usar el operador de la integral indefinida.En la integral indefinida , f(x) es conocido como integrando y , es el elemento de integracin y indica la variable de integracin.Otra forma de definir la integral indefinida a partir de una derivada utilizando diferenciales es:

La integral indefinida es el proceso inverso de la operacin de diferenciacin de una funcin.

Geomtricamente representa una familia de curvas.

El problema: Representa una nica curva que pasa por el punto dado.

Ejemplo: Calcule

Ejemplo: calcule Sol:

Ejercicio: calcule Sol:

Ejemplo: Calcula:Solucin PROPIEDADES:1: 2: 3: 4: 5: 6: si 7: si 8: si 9: 10: Ejemplo: Solucin:Ordenando la expresin del corchete, dividiendo numerador y denominador por: *

Ejercicio: resolver .

Ejemplo: resolver

Ejemplo: Ejercicio: calcular Multiplicando y dividiendo por FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACIN:1: 2: 3: 4:5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17: 18: 19: 20: 21: 22:22: 23: 24: 25: 26: 27: 28: 29: 30: 31: 32: 33: 34: 35: 36: 37: 38:

Ejercicios:

1. Calcule SolucinOrdenando f(x) para identificar de qu funcin F(x) se ha derivado

Luego F(x)=

Como D

2. Calcule: Solucin: Ordenando la funcin f(x)

3. a)Calcule

Ejemplo:Antd [ ]Solucin:Sabemos que:Arctg [ ] = = = = = Entonces, en el problema:F(x) = -6[ ] Por lo tanto:F(x) = -6Arctg ( + c

Ejercicio:Calcule sin utilizar integral indefinida ni mtodo de integracin: Antd []Solucin:Antd [] = Antd []Antd [] = 2.Antd []Por lo tanto:Antd [] = 2.Arcsen () + cEjercicio:Graficar la Antd [ ] si la curva pasa por el punto Q (1,1) (sin usar integral indefinida).Solucin:Antd [ ] = Antd [ ] = Antd [ ] = Antd [ ] = Antd [ + x.] = Antd [ . + x.]Por lo tanto:F(x)= x. + cComo Q (1,1) a F(x), entonces:1=1. + c c = 0Luego:F(x)=f(x)= x.F(x)=f(x)= Hallando los mximos y mnimos: = 0 = 0 x = 1

Ejercicio:Calcule Antd [ ]Solucin:Antd [ ]= Antd [ ]= [ ]Pero:D(x) ArgCsch [ V(x) ] = Entonces:Sea V(x) = Luego:D(x) ArgCsch [ ] = D(x) ArgCsch [ ] = = En el problema: Antd [] Antd [D(x) ArgCsch ( )]Finalmente resulta: ArgCsch [ ] + c

b) Calcule:

c)Demuestre que

4. Calcule: Solucin )

Ejemplo: Calcula: EjemploCalcule

Ejemplo: calcule Sol:

Ejercicio: calcule Sol:

1.

2.

3.

Sol:

4.

Sol:

5.

Sol:

6.

Sol:

7.

Sol:

8.

Sol:

9.

Sol:

10.

Sol:

11.

Sol:

12.

Sol:

13.

Sol:

o

14.

Sol:

15.

Sol:

16.

Sol:

17.

Sol:

18.

Sol:

19.

Sol:

20.

Sol:

21.

Sol:

22.

Sol:

23.

Sol:

24.

Sol:

25.

Sol:

26.

Sol:

27.

Sol:

28.

Sol:

29.

Sol:

30.

Sol:

31.

Sol:

32.

Sol:

33.

Sol:

34.

Sol:

35.

Sol:

36.

Sol:

37.

Sol:

38.

Sol:

39.

Sol:

40.

Sol:

41.

Sol:

42.

Sol:

43.

Sol:

44.

Sol:

45.

Sol:

46.

Sol:

47.

Sol:

48.

Sol:

49.

Sol:

50.

Sol:

51.

Sol:

52.

Sol:

53.

Sol:

54.

Sol:

55.

Sol:

56.

Sol:

57.

Sol:

58.

Sol:

59.

Sol:

60.

Sol:

61.

Sol:

62.

Sol:

63.

Sol:

64.

Sol:

65.

Sol:

66.

Sol:

67.

Sol:

68.

Sol:

Por trigonometra sabemos que entonces

69.

Sol:

70.

Sol:

71.

Sol:

72.

Sol:

73.

Sol:

74.

Sol:

75.

Sol:

76.

Sol:

77.

Sol:

78.

Sol:

79.

Sol:

80.

Sol:

81.

Sol:

82.

Sol:

83.

Sol:

84.

Sol:

85.

Sol:

Problema Propuesto:

Ejemplo: * * * METODO DE CAMBIO DE VARIABLE Sea diferenciable METODO DE INTEGRACIN POR PARTESSean las funciones U y V diferenciables en cierto intervalo I.

En la integracin por partes depende de la eleccin ptima por el estudiante de: u, dv para que se genere una nueva integral del miembro manejable o fcil de calcular si esta integral se complica, hacer una nueva eleccin de: u, dv.*Integrales no integrables utilizando funciones elementales. Ejemplo: Calcule: Diferenciando: Ejercicios:1: 2: CALCULE:I = Solucin:

= CALCULE:

Solucin: (Integramos por partes)u= du=-6 dv= v= = *;

* (integramos por partes) U= du=-2 dv= v= *

= remplazando en I:

Calcule

4)Calcula: a)

a) Demostrar

5) Calcula:

Solucin:

Ejemplo: Calcule: Solucin: Remplazando en Ejemplo: I = I = .I =I1=

u=x2 => du=2x dxdv= => v=I1=-I1=I2=I3=I= I1+ I2+ I3I=Ejemplo:Calcule:

IA=IA=

IA=IA=IA=4 IA=IA=IB=IB=

IB= IB= IB=+IB=IB=I= +K

Ejemplo:

I=

=

Io=

Io=-Reemplazando en I:

Ejemplo Solucin:

Resolviendo la integrales


Ejemplo:

CALCULE:I = Solucin:

= CALCULE:

Solucin: (Integramos por partes)u= du=-6 dv= v= = *;

* (integramos por partes) U= du=-2 dv= v= *

= remplazando en I:

INTEGRACION DE ALGUNAS INTEGRALES IRRACIONALES POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

(x, (x (V- Asignando valores adecuados a p,q y r se generan las siguientes integrales irracionales: 1(v, ;2(v, ;3(v, Para eliminar los radicales de ndice 2 vamos a utilizar la sustitucin trigonomtrica que lo indicamos en la siguiente tabla.

Tipo de integral irracionalSustitucin trigonomtrica recomendadaTriangulo rectngulo para retornar a la variable original

SUSTITUCION HIPERBOLICA

Tipo de integral irracionalSustitucin trigonomtrica recomendadaTriangulo rectngulo para retornar a la variable original

Tipo de IntegralSustitucion Sugerida

1(v,

2(v,

3(v,


1( 2() 3()Tipo de IntegralSustitucion SugeridaIdentidad Hiperbolica

1(

2()

3()

Ejemplo:Calcule: Solucin:=

I=IA=Sustitucin trigonomtrica

IA=81IA=IA=IA=IA=+ I=++Ejemplo:I=I=

EJERCICIOS ADICIONALES1: Sol: 2: halle Sol: 3: calcular: Sol: 4: hallar Sol: 5: halle: Sol:

CALCULE

El problema queda como:

Evaluamos:

Por lo tanto, tenemos que:

CALCULE

CALCULE

CALCULE

Realizamos el cambio de variable

CALCULE



PROB1.-

y==

Integral binomialm=-3, n=3, p=-4/3

Caso III de la integral de un binomio diferencial 4+ t=

-12

PROB 2.-

Dx=

(-2x)u=dv=(-2x)I=-I=

PROB3.-

I=I binomio diferencialm=1, n==4+

I=I=+k+kEJEMPLO4

Z=Dx=

=I=I=

1.

1.

Problemas sobre Integral IndefinidaProblema 1Calcule: I = I = dx u = du = -9 v = dx v = - ctgh(3x) I = - ctgh(3x) 3 I = - ctgh(3x) 3I 3 I = - ctgh(3x) Sea : = dx = U = csch(3x) dU = -3.csch(3x).ctgh(3x) dx dV = csch(3x) dx V = - ctgh(3x)= - csch(3x) ctgh(3x) - = - csch(3x) ctgh(3x) - = - csch(3x) ctgh(3x) - - = - csch(3x) ctgh(3x) - = - csch(3x) ctgh(3x) = - csch(3x) ctgh(3x) = - csch(3x) ctgh(3x) - Por lo tanto: I = - ctgh(3x) + csch(3x) ctgh(3x) +

Problema 2Encuentre el valor de K para que la siguiente integral sea integrable utilizando funciones elementales.I = = I = =I = I = - + = ; u = du =; dv = v = Sea : = I = Sea , donde: u = du = dv = v =

I = (Para que sea integrable utilizando funciones elementales: k+15 = 0 k = -15)Por lo tanto: I =

Problema sobre Integracin de un Binomio Diferencial Problema 3Calcule: I = I = + - + *Sea Vemos que p = -3 Z, de ah M.C.M. es 3; y hacemos: = = - *Sea ; m = 3, n = 4, p = / (Tercer caso del Binomio Diferencial) ; ; = =

*Sea ; m = -6, n = 3, p = ; (Repetir los mismos pasos que se realizaron para hallar

*Sea ; m = -1, n = 3, p = / (2do Caso) ;

+

Despus, se remplazarn los z por los x y los valores obtenidos se pondrn en I.

INTEGRACIONES DE FRACCIONES RACIONALES PROPIAS POR DESCOMPOSICIN EN SUS FRACIONES SENCILLAS

Fraccin racional propia

Fraccin racional impropia

Ejemplo

Ejemplo:Calcule: (fraccin racional propia)

Solucin:El integrando es una fraccin racional propia

KEjemplo:Calcula:

Solucin:

PRIMER CASO:

Son los coeficientes indeterminados que se calculan algebraicamente x=

x=.. x=

Ejemplo:Calcular:

Solucin:

SEGUNDO CASO:

Si q y m son enteros positivos >1

Los coeficientes:,.;;se tienen que calcularAlgebraicamente.Ejemplo:Calcula:

Solucin:Ordenando el integrando

Haciendo el siguiente cambio de variable

Remplazando en la integral original

Aplicando la descomposicin en sus fracciones parciales a la fraccin racional propia del integrando.

Ejemplo:

Calcula: Solucin:

Haciendo cambio de variable z= dz=

=

1= A z=-1 , D=-1 z=0 , 1=A+0+0+0 , A=1 z=1 , 1=8+4B+2C-1 2B+C=-3 z=-2 , 1=-1-2B+2C+2 B=C 3B=-3entonces : B=-1 y C=-1

I=

I=

TERCER CASO: = ++++Dnde:

Se calculan algebraicamente

CUARTO CASO:

Se calculan algebraicamente.

Criterio de Hermite:=

Para calcular los valores de se deriva ambosEJEMPLO: Calcula:

Solucin:Haciendo el cambio de variable:

Remplazando en la integral original

Descomponiendo en sus fracciones simples la fraccin racional propia del integrando.

Integrando

Remplazando en

Ejercicios:Calcule1) dxSolucin:Haciendo un cambio de variableU = tanhx = sech2x dx ; 1 tanh2x = sech2x.

Factorizando el denominador por Rufini: 1 4 -19 -46 120 2 2 12 -14 -120 1 6 -7 -60 03 3 27 60 1 9 200 (U + 4)(U + 5)(U 2)(U 3)(U + 4)(U+5) = + + + A = U=2U=2

A = B = U=3U=3

B = = C = , D =

I = + + + + I = Ln + Ln + Ln - Ln +KI = Ln + K.Calcule:2) Solucin:

ex=Z ex dx= dz = = + + + 1 = A(Z+1)3 + BZ(Z + 1)2 + CZ(Z + 1) + DZZ=0; 1=A + 0 + 0 + 0 A = 1Z=-1; 1 = 8 + 4B + 2C - 16 + 4B + 2C =03 + 2B + C =02B + C = -3Z=-2; 1 = -1 2B + 2C + 2B = CC = -1B = -1 = - - - I = - - - I = Ln - Ln + + + KI = Ln + + + K

EjemploCalcula3) Solucin: = Haciendo el cambio de variablez = tanx entonces dz = sec2x dxI = Z4 + 3Z2 + 4 + Z2 Z2 = (Z4 + 4Z2 + 4) Z2 = = (Z2 + 2 - Z)(Z2 + 2 + Z) = + ; = 1 4(1) (2) 0, = 1 4(1) (2) 0Z2 = (AZ + B) (Z2 Z + 2) + (CZ + D) (Z2 + Z + 2)Z2 = (A + C)Z3 + (B - A + D + C)Z2 + (2A B + 2C +D)Z + (2B + 2D)A + C =0 C = - AB A + D + C = 1 B 2A + D = 12A B + 2C+ D = 02B + 2D = 0A = B = 0C = D = 0I = +

I = +

I = + + + I = + + +, z = tanxI = + + + Reduciendo:I = + + + K.

Ejemplo: Calcule Solucin: = +dx Derivando ambos miembros: = + = + 1=2A 1=DD=0-A-3D+E=0E=A-2A-2B+3D-3E=0 -5A=2B B=--B-3C-D+3E=0 -3C+3A=0 =3C C=E = - 1; D = 0 A= - 1 B= C= - = - I= - (I= - lnx-1 +lnx + kI= + lnEjemplo: Calcula

Solucin:

Ejercicio:

Solucin:

INTEGRAL DE ALGUNAS EXPRESIONES IRRACIONALES

A) Integral de la forma:

Calcular MCM de: es q.

Remplazando se obtiene una nueva integral de una funcin racional en t

B) Integral de la forma:

Calculando MCM de: es l.

Remplazando se obtiene una nueva integral de una funcin racional en t

EjemploCalcula las siguientes integrales propias a)b)SOLUCIONa)

b)

EJERCICIO

Calcule SOLUCIN

Reemplazando en

Finalmente, regresamos a la variable original

EJERCICIO

Calcule SOLUCIN

Haciendo el primer cambio de variable para ordenar mejor el integrando

Haciendo otro cambio de variable para eliminar la expresin irracional

Reemplazando en

METODO DE SUSTITUCION DE EULER

Integrales de la forma:

a) Primer caso:

Haciendo la siguiente sustitucin:

,z es una nueva variableConsiderando uno de los signos

Elevando al cuadrado

Remplazando en la integral original se obtiene una nueva integral de una funcin racional en z.

b) Segundo caso:

Haciendo el siguiente cambio de variable:

Considerando uno de los signosEntonces Haciendo el procedimiento anterior y remplazando en la integral irracional se obtiene una nueva integral racional en la variable z

c) Tercer caso:

, es factorizable en R Considerando uno de los factores y haciendo el siguiente cambio de variable:

Elevando ambos miembros al cuadrado Reemplazando los datos en la integral irracional

Se forma una nueva integral de una funcin racional en la variable .

EJERCICIOCalcule por el primer caso de la sustitucin de Euler, considerando

SOLUCIN


Elevando ambos miembros al cuadrado

Reemplazando los datos en la integral irracional

Finalmente, regresamos a la variable original

EJERCICIOCalcule usando el tercer caso de sustitucin de Euler

SOLUCIN


Elevando ambos miembros al cuadrado

Reemplazamos los datos en la integral irracional

Reemplazando en

Finalmente regresamos a la variable original

Ejemplo:Calcula por el primer caso de Euler

Solucin:

Ejercicio:Calcula por el tercer caso de Euler

INTEGRACION DE UN BINOMIO DIFERENCIAL

La expresin es conocida como un binomio diferencial

Est integral indefinida es conocida como la integral de un binomio diferencial.Haciendo un cambio de variable para utilizar el concepto de integracin irracional explicado anteriormente.

Remplazando los datos en la integral indefinida que est en estudio

Se pueden deducir los siguientes casos:

a) Primer caso: Haciendo el siguiente cambio de variable para eliminar la cantidad irracional. Remplazando los datos, se obtiene una nueva integral de una fraccin racional en la nueva variable w.

d) Segundo caso:

Haciendo el siguiente cambio de variable para eliminar la expresin irracional: , pues, la dificultad de integracin est en el binomio.Remplazando en la integral del binomio diferencial se obtiene una integral de una funcin racional en w:

e) Tercer caso:

Ordenando la integral que depende de z

Entonces (tambin pertenecen a los enteros)Ahora haciendo el siguiente cambio de variable para eliminar la expresin irracional. , es el denominador de la fraccin que define a p Diferenciando: Remplazando en la integral que depende de z se obtiene una nueva integral de una funcin racional en la variable W.

Resumen:

1.

La sustitucin que se hace es:

2.


3.


EjemploCalcula:

SolucinOrdenando la integral indefinida dada innicialmente

Remplazando en la integral irracional:

Utilizando la integracin por partes

Haciendo la descomposicin en sus fracciones sencillas de la fraccin racional propia del integrando.

1=A + (1=A(

Haciendo el siguiente cambio de variable

Z=A(

Reemplazando:

u

Z=A (Z=(A+B)A+B=0 ; C=; B=

EJERCICIO

SOLUCIN

Calculando

Es el tercer caso de la integral de un binomio diferencial.

Reemplazando en

Reemplazando en )

Calculando Es el segundo caso de la integral de un binomio diferencial.

Remplazando en

Calculando

Es el primer caso de la integral de un binomio diferencial.

Reemplazando en

Finalmente, reemplazando en

Ejemplo

Calcule: I = I = + - + *Sea Vemos que p = -3 Z, de ah M.C.M. es 3; y hacemos: = = - *Sea ; m = 3, n = 4, p = / (Tercer caso del Binomio Diferencial) ; ; = =

*Sea ; m = -6, n = 3, p = ; (Repetir los mismos pasos que se realizaron para hallar

*Sea ; m = -1, n = 3, p = / (2do Caso) ;

+

Despus, se remplazarn los z por los x y los valores obtenidos se pondrn en I.

Ejemplo:Calcula

Finalmente reemplazando:

Ejemplo: Calcula: I=dxUtilzando criterio de Hermite Solucion: Por Hermite: = +Derivando ambos miembros: = + C=1 -A+D=0 D=A-2B+2C=1 -2B+2=1 B= 2+2D=-1 4A=-1 A=- , D= - dx= +dx I= + ln ( - arctg () + kFracciones parciales de la forma: Tiene raz real

Ejemplocalcula la siguiente integral indefinida:

Solucin:

Ejemplo Calcula la siguiente integral indefinida:

Solucin:


Solucin:

Fracciones parciales de la forma:


Solucin:

Ejemplo 05: Hallar la siguiente integral indefinida:

Solucin:

Remplazando en I

4.- Ejemplo: Calcule: dx Solucion: El m.c.m. de: 2,4 es 4 Haciendo cambio de variable x= Z= dx =4 Reemplazando estos datos en la ecuacin original I= = 4 I=2 ; Io=z Utilizando el mtodo de integracin por partes: udv=uv-vdu Io: u=z du=dz dv= ( v= - Io= - + I1 Ahora calculando I1I1 = = - dz = - + = - ln + I2 Ahora calculando I2: I2=z u=zdu=dz; dv= I2=--+

INTEGRACION DE ALGUNAS FUNCIONES RACIONALESI. Integrales que tienen la siguiente forma el integrando

II. Integrales que tienen la siguiente forma el integrando

SUUSTITUCION RECIPROCA

Transformando el integrando en una funcin racional en z

Ejemplo:

Ejemplo:Calcula

3z2=Az2-Az+2A+Bz2+Cz+Bz+CA=-3/4B=3/4C=3/2

Ejemplo:

z=coshx dz=senhxdx

EJEMPLOCalcule:a)b)SOLUCIONa)

b)

EjemploCalcule:

Solucin:El m.c.m. de 2, 3, 6 es 6Haciendo cambio de variable para transformar el integrando en una funcin racional.

Reemplazando en la integral original

Utilizando integracin por partes

EjemploCalcule:

Solucin

Derivando ambos miembros:

EjemploCalcule

SolucinUtilizando Hermite Derivando ambos miembros

EjemploCalcule:

Solucin:El m.c.m. de 2, 4 es 4Haciendo cambio de variable

Remplazando estos datos en la integral original:

Utilizando el mtodo de integracin por partes:

Calculando

Ahora Calculando

Remplazando y en :

EjemploHalla:

Solucin:

Reemplazando:

Por el tercer caso de la sustitucin de Euler:

Dnde: ; ; Reemplazando:

Utilizando la sustitucin trigonomtrica:

Reemplazando:

Integrando por partes:

Reemplazando:

Finalmente:

2) Hallar el integral

Cambio de variable

Donde

Cambio de variable

3) Hallar el integral

Cambio de variable

Integracin de un binomio diferencial.Donde

Es el tercer caso.

PROB3.-

I=I binomio diferencialm=1, n==4+

I=I=+k+kEJEMPLO4

Z=Dx=

=I=I=

5) Hallar la integral.

Cambio de variable

Donde

Es el II caso de binomio diferencial.

6) Hallar la solucin general.

Verificamos si es una E.D.E

Igualando (I) y (II):

7) La curva C descrita por:

Se hace rotar alrededor del eje x. Halle el rea de la superficie de revolucin que se origina.Solucin:

En la curva:

Dnde: ReemplazandoUtilizando sustitucin trigonomtrica.

Reemplazando.

Utilizamos integracin por partes:

Reemplazando

Finalmente:

8) Halle el rea de la superficie de revolucin obtenido al hacer rotar la curva alrededor del eje polar.Solucin: De el grafico: Si

Dnde:

Reemplazando:

EJERCICIOS PROPUESTOS1)

Reemplazando

2)

Reemplazando

3)

4)

Ejemplo

CALCULE

Derivando:

Entonces tenemos que :

Como :

Problema:Calcule utilizando el segundo caso de sustitucin de Euler

Solucin:

sabemos que: y decimos que

c=1>0

sabemos que llamamos de donde tenemos : obtenemos: reemplazando en pero como

entonces

Reemplazando I2 en I

Problema:Calcule por el tercer caso de Euler considerando el factor (x-1) la siguiente integral indefinida:

Solucin:

llamaremos

sabemos que

Reemplazando en IA:

IA calculando por el mtodo de HERMITE

Derivando

de donde se obtiene:

.- Ejemplo: Calcule Solucin: = +dx Derivando ambos miembros: = + = + 1=2A 1=DD=0-A-3D+E=0E=A-2A-2B+3D-3E=0 -5A=2B B=--B-3C-D+3E=0 -3C+3A=0 =3C C=E = - 1; D = 0 A= - 1 B= C= - = - I= - (I= - lnx-1 +lnx + kI= + ln

3.- Ejemplo: Calcule I=dx Solucion: Utilizando Hermite = +Derivando ambos miembros: = + C=1 -A+D=0 D=A-2B+2C=1 -2B+2=1 B= 2+2D=-1 4A=-1 A=- , D= - dx= +dx I= + ln ( - arctg () + k

Tipo de integral irracionalSustitucin trigonomtrica recomendadaTriangulo rectngulo para retornar a la variable inicial

av

v

a

v

a

EJERCICIOCalcula

Solucin


Tipo de integral racionalSustitucin hiperblica sugeridaIdentidades hiperblicas

EJERCICIOS

Calcule utilizando sustitucin hiperblica la integral

Solucin

Dividimos en dos integrales

Reemplazando en

Reemplazando en I

Ejercicios

Solucin

Ejemplo

Solucin

Ejemplo Calcule por el criterio de Hermite

Solucin

+Resolviendo++ + Calculando los valores delos coeficientes:

Entonces la integral ser

INTEGRACION DE OTRAS EXPRESIONES IRRACIONALES

A. INTEGRALES DE LA FORMA

Calculando MCM de: es l.

Reemplazando se obtiene una integral de una funcin racional en w.

B. INTEGRALES DE LA FORMA

Calculando el MCM de: es r.

Reemplazando datos:

C. Binomio diferencialIntegrales que pueden expresarse como:

Primer caso: Si .

MCM de es q.

Reemplazando

Segundo caso:

Tercer caso: .

EJERCICIOS1. SOLUCIN:

MCM es 3.

RPTA:

SUSTITUCIN DE EULER

En las integrales racionales de la forma:

Se transforma en una integral de una funcin racional en la nueva variable haciendo las siguientes transformaciones:

PRIMER CASO:

SEGUNDO CASO:

TERCER CASO:El trinomio tiene races reales.

EJERCICIOSProblema:Calcule utilizando el segundo caso de sustitucin de Euler

Solucin:

sabemos que: y decimos que

c=1>0

sabemos que llamamos de donde tenemos : obtenemos: reemplazando en pero como

entonces

Reemplazando I2 en I

Calcular utilizando el tercer caso de Euler:

INTEGRAL DE UNA FUNCIN RACIONAL EN SENO Y COSENO (SUSTITUCIN UNIVERSAL)a) En las integrales indefinidas de la forma:

Ordenando esta integral racional en z

Que se calcula por lo criterios conocidos.b) Integral racional de seno y coseno elevado a potencias pares.

Haciendo la transformacin:

EJERCICIOSCalcula:

SOLUCION:

FRMULA DE REDUCCIN (FRMULA RECURSIVA)Es cuando una integral indefinida depende de uno o ms parmetros.La frmula de recurrencia es cuando se expresa el resultado en base a una funcin primitiva conocida ms un nueva integral semejante a la integral original donde uno de los parmetros decae en una o dos unidades(no se culmina la integracin).

EJERCICIOSHallar la frmula de reduccin para:

Y utilizando la frmula hallada encuentra:

SOLUCION:

Entonces utilizando la frmula encontrada:

Problema 4Halle la formula de reduccin para y usando la formula calcule

*Sea ;

Por lo tanto:

Para el Problema

Por lo Tanto:

PROBLEMA 1La curva descrita por que va desde el punto hasta se hace rotar alrededor de la recta . Calcule el rea de superficie de revolucin que se origina.Solucin:

Hallando el rea de revolucin

Sustituyendo , tenemos:

Resolviendo la integral:

Volviendo al clculo del rea:

Reemplazando el valor de la integral obtenida en el PROBLEMA 1:

PROBLEMA 2Se tiene la regin limitada por las grficas de:

a) Grafique la regin Para las rectas verticales Para la cuadrtica nos damos cuenta que Ahora nos damos cuenta que es una elipse rotado en 45

b) Halle el rea de la regin G (sta regin, es la que estn ms lejos del eje y)

Nos damos cuenta en la grfica que bastara hallar A y duplicar para hallar lo pedido.Como Cuando

Haciendo Cuando

c) Si la regin G que est en el primer y cuarto cuadrante se hace rotar alrededor de la recta x = -2

Por mtodo del disco diferencial:

Ahora

Luego Haciendo Cuando

Hallar el rea de la regin limitada por

3 CLCULO INTEGRAL UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Solucin:FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA ING. EDWIN TELLO GODOY

Hallando las simetras

Simetra con el eje polar (no existe ); Simetra respecto del eje (no existe); Simetra respecto al polo Para

Para n=1

Ojo Basta k cumple para uno y ya existe simetra.

Entonces tabulando:

0

01.71.921.90

02.832.80

Graficando en matlab para poder tener una aproximacion exacta :

A (rea)

Hallando el area de la interseccion :

3.a) Se tiene la regin R limitada por las grficas de :

Que se hace rotar alrededor de la recta L: x+y+1 = 0 , calcula el volumen del slido de revolucin que se origina.Solucin:Graficando las grficas pedidas:

Ahora

Sabemos que el momento de masa aplicado en el eje x de un rectngulo diferencial es su respectivo diferencial de masa multiplicado por la distancia del centro de gravedad de ste hacia el eje x

Sabemos que el momento de masa aplicado en el eje y de un rectngulo diferencial es su respectivo diferencial de masa multiplicado por la distancia del centro de gravedad de ste hacia el eje y.

Aplicando la frmula para un rectngulo diferencial: Aplicando para toda el rea pedida:

Ahora

Haciendo un cambio de variable

) Hallar la ecuacin diferencial de :

Reemplazando:

Finalmente:La ecuacin diferencial de y es:

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