5/24/2018 ANNEXES

1/51

LA MATHEMATIQUE PYTHAGORICIENNE

Volume 4

Guillaume DENOM

ANNEXES

Rectangle de Fibonacci et triangle dor de Penrose Spirale de Thodore et

polygone gnomonique de rang 4 Foi religieuse ou foi scientifique La thorie

gnrale du signe Bibliographie

5/24/2018 ANNEXES

2/51

RECTANGLE DE FIBONACCI

ET

TRIANGLE D'OR DE PENROSE

deux applications gomtriques de la mdit Nicomaque 10

Bien que plusieurs auteurs aient dj signal que la suite de Fibonacci tait une notion connue et dfinie depuis lantiquit dans le cadre dusystme des mdits, la littrature mathmatique contemporainecontinue dutiliser lexpression suite de Fibonacci , au mpris de laralit historique, pour dsigner cette notion. La plus ancienne tracecrite de cette notion figure dans lIntroduction arithmtiquedeNicomaque de Grase, soit plus dun millnaire avant Fibonacci; enoutre, Nicomaque nous prcise quil nen est pas lui-mme le dcouvreur,sans indiquer quelle source il la puise.

Si cette occultation historique est fcheuse, ce nest pas pour des raisonsde proprit intellectuelle qui nont, en pythagorisme, aucuneespce d'importance, mais pour la comprhension mme de la notiondont il sagit.

En effet, il nexiste pas de dfinition plus synthtique, ni plus profonde,de la suite de Fibonacci, que celle qui est donne dans le cadre dusystme des mdits, o elle ne constitue quun cas particulier, ou, silon prfre, un lment, dun ensemble qui en compte 12.

Avant daller plus loin, rappelons que, dans le systme des mdits,trois nombres : a, b, c, sont en proportion de Fibonacci (c'est--direen mdit Nicomaque 10 ) si et seulement si ils satisfont entre eux larelation :

(c - b) = a

(c - a) b

*

5/24/2018 ANNEXES

3/51

Dans sonDossier Pythagore, Pierre Brmaud signale une proprit trsintressante des nombres de Fibonacci.

Terminons cette liste des proprits remarquables de la suite deFibonacci par celle-ci :

La figure suivante devrait convaincre le lecteur de la justesse de cette

relation et de la beaut de larithmtique gomtrique modopythagorico.

Pierre Brmaud,Le dossier Pythagore, p 290.

La construction de M. Brmaud est en effet des plus intressantes,puisqu'elle revient dfinir une relation constante entre la suite desnombres de Fibonacci et celle des carrs gnomoniques qui leurcorrespondent, relation constituant une application importante entre lathorie des mdits et celle du gnomon.

Reconnaissons, toutefois, que cette construction aurait t encore plus

belle et pertinente, si M. Brmaud avait dispos ses carrs en suivant la

5/24/2018 ANNEXES

4/51

progression dune spirale logarithmique, comme dans la figure ci-dessous :

Dans cette application de la mdit au carr gnomonique, on remarque,en particulier, que les hypotnusescorrespondantes aux carrs successifsde la suite de Fibonacci, se trouvent, elles aussi, en proportion deFibonacci .

Si lon prend pour exemple les hypotnuses correspondantes aux carrsde cts 2, 3 et 5, on vrifie que :

(rac 50 rac 18) = rac 8 = 2

(rac 50 rac 8) rac 18 3

Et l'on constate que le rapport a/b qui est le rapport mineur de lamdit (situ droite du signe gal) est gal au simple rapport

des ctsdes carrs utiliss, - tout cela en application vidente duthorme de Pythagore.

5/24/2018 ANNEXES

5/51

Enfin, cette construction permet de tracer la spirale logarithmiquecorrespondante la suite des carrs, spirale rendue clbre par sesmultiples applications florales (pissenlit, artichaut, tournesol, etc).

*

On peut remarquer que la structure de la mdit Nicomaque 10 estconstitue, ds l'instant o l'on a dispos les trois premiers carrs (carrsgnomoniques de rangs 1, 1 et 2), formant ensemble un premier

"rectangle de Fibonacci". Le rapport entre la longueur et la largeur durectangle peut, ds cet instant, tre considr comme une premireapproximation du nombre d'or, certes grossire, mais qui ne cesseensuite de se prciser mesure que la taille du rectangle augmente.

Dans la littrature moderne, la contribution la plus importante,concernant cette mdit Nicomaque 10, me semble tre celle de RogerPenrose, avec ses fameux "pavages de Penrose".

On peut dire que la dmarche de Penrose est en quelque manire inverse

de celle qui est illustre dans la figure ci-dessus. Alors que, dans la figureci-dessus, le nombre d'or est la limitevers laquelle tend la croissance durectangle, dans un pavage de Penrose, ce mme nombre d'or est lastructure invariante que l'on pose au dpart, sous la forme d'un premiertriangle d'or, triangle qui, par des divisions successives, engendre unpavage continu non priodique, dans lequel on retrouve la suite desnombres de Fibonacci.

Le "rectangle de Fibonacci" et le "triangle d'or de Penrose" peuvent sansdoute tre considrs comme les objets gomtriques les plus

fondamentaux que l'on doive associer la mdit Nicomaque 10. Entre

5/24/2018 ANNEXES

6/51

ces deux objets s'opre un retournement, un retroussement, par lequeltoute la nature mathmatique se trouve transforme. En effet.

Alors que, dans le rectangle de Fibonacci, la suite de Fibonacci est unefonction de croissance, elle est, dans le triangle de Penrose, une fonctionde division. Alors que le nombre d'or est, dans le rectangle de Fibonacci,le nombre correspondant la position de l'infini, il est, dans le triangle dePenrose, le nombre correspondant la position "1". Alors que ce qui est"Fibonacci" dans le rectangle de Fibonacci est le nombre de carrs (lesnombres de Fibonacci correspondant au nombre de carrs "atomiques"de valeur 1 que l'on peut dnombrer sur les cts des rectanglessuccessifs - largeur et longueur), ce qui est "Fibonacci" dans le triangle dePenrose est le nombre de triangles (obtus et aigus). Le rectangle deFibonacci contient l'infini, dans ce sens que deux rectangles de Fibonacci

ne sont jamais semblables au sens mathmatique (le rapportlargeur/longueur n'est jamais le mme), bien qu'ils soient de moins enmoinsdiffrents; le triangle de Penrose contient l'infini sur un mode quiest celui de la non-priodicit, c'est dire que le motif dessin par unpavage de Penrose ne prsentejamais de rgle de rptitivit continue,de sorte qu'il est impossible d'en construire l'ensemble au moyen de larplication d'une partie quelconque.

A ces diverses diffrences-symtries entre les deux structures, on peutajouter cette dernire, plus profonde. Alors que, dans le rectangle deFibonacci, la mdit Nicomaque 10 est une fonctionde l'espace, quis'accomplit dans le temps, dans le triangle de Penrose, la mditNicomaque 10 est une fonction du temps, qui s'accomplit dans l'espace.

Triangle d'or de Penrose

5/24/2018 ANNEXES

7/51

La progression du nombre de triangles d'or, aigs et obtus, est celle de lasuite de Fibonacci. Au bout de quelques tapes, on obtient toutes lesautres pices permettant de construire des "pavages de Penrose", savoirla paire (flchette / cerf-volant), et la paire (losange gras / losange

maigre). Le triangle de Penrose, constitu de triangles d'or aigs etobtus, est donc la formule la plus gnrale, dont drivent parcomposition toutes les autres.

*

Concluons par deux remarques caractre plus aphoristique.

Situation du pythagorisme.

Penrose considrait ses pavages comme une rcration mathmatique, etn'attribuait pas ce travail une importance comparable celle de sestravaux mathmatiques "srieux". De nos jours, l'impact de cettedcouverte sur la science en gnral apparat, au contraire, plusimportant que celui de ses autres travaux. Ce malentendu est tout saufanodin, et traduit la situation "problmatique" qui peut tre celle dupythagorisme dans la science contemporaine.

Le devenir physique des ides mathmatiques pythagoriciennes.

Les pavages de Penrose ont une symtrie d'ordre 5, pentagonale donc,qui tait jusque rcemment considre comme interdite dans l'ordre trsrigoureux qui est celui des "systmes cristallins". Un cristal de symtriepentagonale tait considr comme une impossibilit, parce que le

pentagone n'est pas une solution de pavage du plan (et donc, ne peutpermettre de construire une facettecristalline). Dans cet ancienparadigme, la contrainte de continuittait associe la contraintedepriodicit. Au dbut des annes 80, des quasi-cristaux de symtriepentagonale, prsentant toutes les apparences d'un cristal normal, etrpondant aux caractristiques mathmatiques d'un pavage de Penrose(continuit non priodique), sont raliss de faon synthtique*. En2008, on dcouvre que, ce que la chimie venait d'accomplir, la naturel'avait dj ralis : un quasi-cristal naturel de symtrie pentagonale,

probablement d'origine extraterrestre, est dcouvert en Russie. Cesdivers vnements ont contraint les manuels de cristallographie

5/24/2018 ANNEXES

8/51

modifier leur dfinition du cristal, afin d'y intgrer les quasi-cristaux desymtrie pentagonale. Pourtant, la cristallographie pouvait treconsidre jusque l comme un dpartement achev de la physique: difice entirement prisonnier des lois de la symtrie, formules

aujourd'hui dans le cadre de la thorie des groupes. Lacristallographie est, de fait, une espce de dimension "tmoin" de laphysique, interface parfaite entre la structure invisible: les arrangementsd'atomes, et la structure visible: lafacette du cristal, et son angle ausommet, pure matrialisation de la gomtrie des polydres.

L encore, on n'est qu' moiti surpris. Aujourd'hui comme hier, les idesmathmatiques pythagoriciennes semblent affectes d'un certain"devenir physique". La mathmatique pythagoricienne implique, parmid'autres choses, la recherche d'une certaine adquation entre la nature

mathmatique, et la nature physique. Son objet la dtermine dcrire,assez souvent, le genre de choses que la nature est susceptible, elleaussi, de raliser.

Septembre 2012

*En 2011, Dan Shechtman s'est vu dcerner le prix nobel de chimie pour

ces travaux sur les quasi-cristaux.

Quelques applications florales de la suite de Fibonacci

5/24/2018 ANNEXES

9/51

Structure et aspect d'un quasi-cristal de synthse

Mtorite quasi-cristalline dcouverte en Russie en 2008

GLOSES

1.Les mdits de 1 0

On a vu que la mdit N1 pouvait tre dfinie comme sature sur un

plan smantique et logique, mais il est galement possible de lareconnatre comme sature sur un plan purement mathmatique,

5/24/2018 ANNEXES

10/51

puisque le rapport mineur de cette mdit a une valeur constante de x/x= 1, valeur qui concide avec l'extension maximale que peut prendre lerapport mineur d'une mdit, les rapports mineurs des autres mditspouvant tous s'exprimer par des rapports infrieurs 1. Dans cette

perspective, il peut tre intressant d'largir notre dfinition habituellede la mdit, en dfinissant le systme dans N inclu zro, et en stipulantqu'une mdit est une relation entre 3 nombres A, B, C, tels que Ainfrieur ou gal B infrieur ou gal C, dans laquelle deux de cesnombres sont entre eux dans le mme rapport (mineure) que deux deleurs diffrences (majeure). On obtient alors 5 niveaux tags entre 1 et0.Niveau 1. La position de rfrence est donc celle, sature, de la seulemdit N1 (dite arithmtique) dont le pprm (plus petit rapport mineur

possible) est gal 1.Niveau 2. Un ensemble de 5 mdits dont le pprm est gal 2/3. Ce sontles mdits N6, N7, N8, N9 et T12. Ces mdits, auxquelles je neconnais pas d'application gomtrique remarquable, donnentl'impression de fonctionner toutes de la mme manire et de pouvoir trerelies par une quation commune, de manire ne former qu'une seulesupermdit.

Niveau 3. Quatre mdits dont le pprm est gal 1/2. Ce sont la mdit"gomtrique" N2, les mdits N4 et N5, ainsi que la mdit T11, quel'on a dj examine en raison de son absence d'intrt mathmatique,son adoption se rsumant intgrer dans le systme un axiomed'existence du nombre zro.Niveau 4. Une seule mdit N3, (dite "harmonique"), dont le pprm estgal 1/3.Niveau 5. Dans cette formulation, la position "sature" qui rpond

symtriquement l'autre extrmit du systme (o l'envergure est"maximale", c'est dire gale 1) est donc occupe par la seule mditN10 ("de Fibonacci"), dans laquelle le pprm est gal 0/1 = 0. Puisqu'eneffet, notre dfinition largie permet d'admettre comme "plus petitesolution possible" de la mdit la solution (0, 1, 1), et par suite commepprm le rapport 0/1. Sur le plan logique, on ne peut donc pas avoir moinsde 5 mdits, semble-t-il.Prcisons que, dans ce raisonnement, on appelle pprm le rapport

mineur simplifi, contenu dans la plus petite solution entire d'unemdit; c'est ce rapport qui comporte 5 degrs d'obturation entre 1 et 0.

5/24/2018 ANNEXES

11/51

Ainsi, les mdits du niveau 2 ont, dans leur plus petite solution entire,un rapport mineur gal 4/6 ou 6/9 (= 2/3). Sur la table des mditsdu blog, les plus petites solutions entires sont reprises de Nicomaque,chez qui elles ne sont pas forcment justifies par une dfinition

explicite. Pour la mdit "de Fibonacci", Nicomaque retient commepremire solution le triplet (3, 5, 8), sans doute pour viter le triplet (1, 2,3) qui serait identique N1. Nicomaque semble donc favoriser lapremire solution originaled'une mdit; mais rien n'interdit dereformuler la table des solutions partir d'une dfinition plusmoderne de la mdit, et en privilgiant non plus la premire solutionoriginale, mais la premire solutionpossible. Dans ce cas, il parat doncavantageux de dfinir le systme pour A infrieur ou gal B infrieur ougal C, de manire intgrer toutes les solutions initiales de la suite deFibonacci, et notamment les 4 solutions qui prcdent celle retenue parNicomaque, savoir : (0, 1, 1); (1, 1, 2); (1, 2, 3); (2, 3, 5); ...

2. Obturation du rapport mineur

La relation logique M (mdit), est une relation biternaire : x/y = M (A,B, C), o x et y doivent tre choisis parmi les termes A, B ou C, et o Mest le rapport de deux soustractions entre ces trois termes. Dans cetterelation, le rapport mineur x/y reprsente donc le "ct" binaire de larelation.Dans le systme dfini plus haut, on peut reprsenter l'obturation du

rapport mineur par l'inscription d'un trpied, ou d'un trianglequilatral, dans le cercle-unit. Les 12 mdits se rpartissent alors sur4 positions, puisque les positions de N1 (arithmtique) et N10(Fibonacci) concident, ceci prs que N1 correspond au cercleplein, et"Fibonacci" au mme cercle vide. Les positions des mdits peuventainsi recevoir une formulation "angulaire" qui est quaternaire, mais enremarquant que l'angle de la mdit N2 (gomtrique) est dterminpar la mdiatrice verticale du triangle quilatral. La structure biternaireest donc bien apparente, mme lorsqu'on ne considre que le rapport

mineur. L'axe vertical correspond au ct binaire, le trpied au ctternaire de la relation.

5/24/2018 ANNEXES

12/51

3. Table de correspondance

Cet article, pourtant simple, a suscit beaucoup de confusions, etnotamment lide surprenante selon laquelle il pourrait exister destermes manquants dans une fonction mathmatique. Il a donc paru utilede dresser une table de correspondance entre les deux structures.

Il existe, bien videmment, deux fois plusde rectangles de Fibonacci quede triangles de Penrose, puisque le rectangle de Fibonacci dveloppe lesnombres de Fibonacci par paires conjointes, alors que le triangle dePenrose dveloppe ces mmes nombres par paires disjointes.

5/24/2018 ANNEXES

13/51

La srie des triangles de Penrose correspond uniquement auxtapes impairesde la srie des rectangles de Fibonacci. Dans le rectanglede Fibonacci, les nombres de Fibonacci correspondent au rapport de la

largeur la longueur(l/L). Le rectangle de Fibonacci de rang 1, estdonc un rectangle de largeur zro et de longueur 1, c'est--direun segmentde longueur 1. Le rectangle de Fibonacci de rang 2 est un rectangle de 1x1, autrement dit le carr atomiquede ct 1 (quipermet ensuite de calculer dductivement, visuellement, les valeurs detous les carrs suivants). Au rapport (largeur/longueur)du rectangle deFibonacci, correspond, une fois sur deux, le rapport (trianglesobtus/triangles aigus)qui dcrit la composition du triangle de Penrose.

On se convaincra, au vu de ce tableau, que les deux fonctions sont bien

compltes, et parcourent la srie entire des nombres de Fibonacci, dezro l'infini; en prcisant que, dans cet article comme dans d'autres, onemploie, par commodit, le terme "infini" dans le sens hyperbolique quiest celui de la mathmatique moderne, pour dsigner diffrentes varitsde l'indfini.

5/24/2018 ANNEXES

14/51

4. Pentagone de Padovan

Si on le considre maintenant, non plus sous le seul angle de sa relationavec la mdit Nicomaque 10, mais d'un point de vue plus gnral quiest celui de la thorie des polygones gnomoniques, le rectangle deFibonacci possde une structure jumelle qui est lepentagone de

Padovan.

Alors que le rectangle de Fibonacci est form de carrs gnomoniques, lepentagone de Padovan est form de triangles gnomoniques. A chacunede ces structures sont associs une suite arithmtique et un nombre(irrationnel) remarquables (au nombre d'or,phi, de la suite deFibonacci rpondant le nombre "plastique",psi, de la suite de Padovan),ainsi qu'une spirale logarithmique. De la mme manire que, dans lerectangle de Fibonacci, le rapport entre les cts tend versphi, dans lepentagone de Padovan, le rapport entre deux cts successifs dupentagone tend verspsi.

5/24/2018 ANNEXES

15/51

La suite de Padovan, en revanche, ne relve pas de la thorie "classique"des mdits 3 termes, mais d'une thorie plus gnrale comprenant lesmdits 4 et 5 termes, ou plus, domaine qui reste largement inexplorsi l'on excepte l'tude, par Nicomaque notamment, de la mdit"parfaite", ayant pour plus petite solution le quadruplet (6-8-9-12).

La mdit ci-dessus, qu'on appellera mdit de Padovan, peut, parexemple, tre dfinie comme une relation entre 5 termes : a, b, c, d, e,chacun tant infrieur ou gal(1) son successeur, dans laquelle on a ces

trois identits :

a + b = d

b + c = e

(a + e) = (c + d)

Les cinq termes correspondant aux cinq triangles gnomoniques qui sontsuffisants pour dlimiter la circonfrence de n'importe quel pentagone dePadovan. Dans l'exemple illustr ci-dessus, les termes a, b, c, d, e,correspondent (pour le plus grand des pentagones) auxtriangles gnomoniques de rangs : 7, 9, 12, 16 et 21.

Grard Cordonnier a dfini cette mdit en utilisant la mthodeeuclidienne de division d'un segment en "extrme et moyenne raison",qui permet de dfinir le nombre d'or.

5/24/2018 ANNEXES

16/51

Pour le nombre "plastdterminent elles mmsegments tant tousCordonnier montre quce qui signifie que, to"triple" d'une autre, ch

On voit que les dequivalentes, puisque ttrois identits formuletermes (a, b, c, d, e) dterme "f", terme qui esqui est toujours galnos trois formules.

(1) La mention "infrieur ou galsuite de Padovan zro, et d'attr(0, 1, 1, 1, 2). La srie se doccupant le rang 10.

(2) La trs grande gnralit dede "paradigme", dans la dfinitio

Rfrence :Pierre Brmaud :Le dquantique, Ellipses, 20

Sous cet excellent titre, Pierre Brun large public, ne se prive pasretiendra, le choix tant difficile,alexandrine, ou encore, sa discincommensurables, dans laquellmoins une problmatique dont lde quelques fragments mal inter

que", le segment est divis en trs par combinaison trois autres grordonns en proportion gom

la proportion gomtrique est dut comme une grandeur peut tque segment est ici le "psi-uple" d

ux mthodes, gomtrique et "al us ces rapports de grandeur sont

s plus haut. Les segments 1 5 core la mdit, quant au sixime, il

donc le "successeur immdiat" d(a + b + c) comme cela ressor

" permettant, comme pour la suite de Fibonaccibuer pour valeurs au pentagone de Padovan developpe ensuite par quintuplets conjoints, le

la mdit gomtrique fait qu'elle joue ici len d'une mdit d'ordre moins primitif.

ssier Pythagore, du chamanisme0.

maud a rdig un essai qui, tout en offrant une'apporter audit dossier certains lment originason dossier mathmatique, son tableau du pyth

ussion pleine de bon sens du problme de lail dmasque, sinon une invention pure et sim

a signification historique a t fausse, et montrts.

ois parties, quindeurs; ces sixrique. Grardvaleur : "psi";e "double" ouprcdent.(2)

gbrique", sontductibles desespondent auxcorrespond aula mdit, etgalement de

i, de faire dbuter laang 1, le quintuplet :

pentagone ci-dessus

rle de substrat, ou

la physique

synthse accessible x, parmi lesquels ongorisme la priodeprtendue crise desle des modernes, due en pingle partir

5/24/2018 ANNEXES

17/51

SPIRALE DE THEODORE

ET

POLYGONE GNOMONIQUE DE RANG 4

Le 27 aot 2012 12h17, j'ai reu sur le blog le message suivant de M.Axel Schneider. Si toutes ses remarques sont intressantes, celle quiconcerne la spirale de Thodore est d'ordre fondamental. En effet, laspirale de Thodore est tout simplement la structuredualedu polygonegnomonique de rang 4.

A. Schneider :Ct du carr de Vitruve / rayon cercle Vitruve = 8/5 units (cart entrecentre cerle et celui carr). Ce rapport est celui du flocon de Koch et 2nombres de Fibonacci. Surtout on a 2 rectangles = le carr long de 3/4et diagonale 5 et son complment de 4/1 et diagonale racine 17 (commedans la spirale de Theodorus).

5 et 17 : 1!+...+5!=1+...+17=153

Amis, leur dit-il, voulez-vous parier avec moi que je puis vous rvler lavance, le nombre exact des poissons que vous venez de capturer ? Vie de Pythagore de Jamblique.

E. Post avait pour ambition de trouver dans quelle mesure une thoriecapable de formaliser l'arithmtique, partiellement rcursive (ratio)

pouvait tre la fois consistante et complte (mesure del'incompltude).

Je pense comprendre pourquoi il voquait le flocon de Koch avant de

5/24/2018 ANNEXES

18/51

mourir avec Koch. C'est une question pythagoricienne et la solution estdans Vitruve.

1531 suite Cunningham : J'ai besoin de vos connaissance sur le gnomon

qu'i...

Le message de M. Schneider s'interrompt cet endroit.

*

LA SPIRALE DE THEODORE EST LA STRUCTURE DUALE DUPOLYGONE GNOMONIQUE DE RANG 4.

Spirale de Thodore

Polygone gnomonique de rang 4. (On prend ici l'exemple du carr, maistout ce qui s'applique ici au carr s'applique de la mme manire autriangle gnomonique de rang 4).

5/24/2018 ANNEXES

19/51

Le PG (polygone gnomonique) de rang 4 compte 16 blocs, la spirale deThodore 16 blocs.

Le PG de rang 4 est une structure qui permet de dployer lescarrsdesnombres entiers de 1 4, ces carrs se dployant dans l'intervalle comprisentre 1 et 16.Symtriquement.

La spirale permet de dployer les racines carresdes nombres entiersde 1 16. (La racine 17 ne doit pas tre prise en compte dans l'analyse dela structure, puisque le bloc 16 doit tre trait comme le 1, en lescoordonnant par leur origine, comme on referme un ventail; la racine 17

n'est donc que le bord extrieur de la structure) (1)- racines carres desnombres 1 16 qui elles-mmes, se dploient dans l'intervalle comprisentre 1 et 4.

La spirale de Thodore est donc une application immdiate de la clture quatre; elle n'est mme qu'un redploiement de la structure qui estcelle du PG de rang 4. Cette structure vient donc s'ajouter la liste decelles qui sont immdiatement dductibles des propritsmathmatiques de la ttractys.

La spirale de Thodore est la structure duale du PG de rang 4, de lamme manire que l'opration : "racine carre de n" est l'opration dualede l'opration "carr de n".L'quation complte me parat tre la suivante : le polygone gnomoniquede rang 4 est l'gard des carrs des nombres 1 4, ce que la spirale deThodore est l'gard des racines carres des nombres entiers, dont lessolutions sont comprises entre 1 et 4. Soit, en gnralisant :

ST = D (PG). (O : ST : spirale de Thodore. PG : polygone gnomonique.D : "duale de ..." - dualit dfinie comme une application biunivoque surl'ensemble des entiers.) (2)

*

Une autre remarque de M. Schneider est galement des plusintressantes : celle qui consiste dcomposer le carr gnomonique de

rang 4 en 4 triangles rectangles : soit deux triangles de valeur (3-4-5) etdeux autres de valeur (1-4-racine17).

5/24/2018 ANNEXES

20/51

En effet ces deux triangles sont fondamentaux en ce que chacun d'euxcorrespond un seuil de clture.Le triangle (3-4-5) est leplus petitdes triplets pythagoriciens.

Le triangle (1-4-racine 17) est leplus granddes triangles de Thodore.

Les valeurs des aires de ces quatre triangles sont respectivement de : 6, 6,2 et 2, et le rapport du triangle de Thodore au triangle (3-4-5) est de 1/3,- rapport qui n'est autre que celui du gnomon (g/G = 1/3 ; o g : graine,et G : gnomon).

*

A ce sujet, remarquons que les modernes (comme c'est dj le cas de

Platon dans son Thtte) sont incapables d'expliquer pourquoiThodore s'est arrt au 16me bloc. Ils continuent de penser queThodore s'est arrt l pour des raisons esthtiques, parce que l'ajoutd'un 17me triangle aurait eu pour effet de recouvrir le dbut de la figure.En pythagorisme, ce qui se passe en dede la clture 4 estfondamentalement diffrent de ce qui se passe aprs; et la clture elle-mme a le statut d'un seuil ou d'une coupure pistmologique. Seul cequi se passe en de de la clture revt une valeur axiomatique etfondamentale.Citons pour conclure le Thtte : "Thodore nous avait expliqu, avec lesfigures, quelque chose de ce qui concerne les puissances, nous faisant

voir, propos de celles de 3 pieds et de 5 pieds, que, en longueur, elles nesont point commensurables avec celle de 1 pied, les prenant ainsi une une jusqu' celle de 17 pieds. Mais,je ne sais comment cela se fit, ils'arrta cette dernire." (Traduction de Lon Robin).

*

5/24/2018 ANNEXES

21/51

D'aprs ce que je comprends du message de M. Schneider, son sentimentpersonnel est que les divers lments de ce dossier ont une importancede premier ordre, puisqu'ils pourraient permettre une rsolution duproblme d'Emil Post qu'il nous rsume en ces termes : montrer "dans

quelle mesure une thorie capable de formaliser l'arithmtiquepartiellement rcursive, pourrait tre la fois consistante et complte".Je lui souhaite bonne chance dans sa recherche.

29 Aot 2012

(1) C'est videmment pour la mme raison que le nombre 17 correspond, dans unpolygone gnomonique de rang 4, l'axe de symtrie logiquede la structure, parapplication en miroir de la valeur ordinale des 8 premiers blocs sur celle des 8derniers, considrs la fois comme leurs symtriques et leurs ngatifs : (1+16 = 2+15= 3+14 = ... = 8+9 = 17), - quelle que soit la mthode gomtrique laquelle on puisserecourir pour dployer cette symtrie dans l'espace du plan; - et qu'il est, dans laspirale de Thodore, le bordou le zro gomtrique. Le nombre 17 correspondsimplement, dans ces deux structures, au retour logique de la position zro induit par

la clture de la ttractys.(2) Pour que cette application prenne toute sa valeur, le carr gnomonique de rang 4doit lui-mme tre construit par un mouvement spiral, partir de l'un des quatrecarrs situs en son milieu. De cette manire, on s'aperoit que les tapes dereconstitution gnomonique du carr (respectivement de rangs 2, 3, 4, etc.)correspondent ordinalement, dans la spirale de Thodore, aux racines carres desnombres 4, 9, 16, etc, qui ont prcisment pour solutions les nombres 2, 3, 4, et ainside suite.

5/24/2018 ANNEXES

22/51

FOI RELIGIEUSE OU FOI SCIENTIFIQUE ?

Qu'est ce que l'oracle de Delphes? C'est la ttractys, qui est l'harmonie dans laquellevivent les Sirnes.

Acousmates, Vie pythagoricienne, Jamblique.

Ce texte est la synthse de deux lettres que j'ai crites dans le cadre dun changeavec Jean-Luc Prilli, matre de confrence en philosophie ancienne Montpellier,et auteur de Symmetria et rationalit harmonique, origine pythagoricienne de lanotion grecque de symtrie. Ce livre, paru en 2008, montre la richesse etluniversalit de la notion pythagoricienne de symtrie, dont lacception est pluslarge que la dfinition moderne, puisquelle signifie au sens propre

commensurabilit, commune proportion des parties dun tout, entre elles aussi bienqu l'gard de ce tout. Cette notion qui, non seulement, est intimement lie lathorie des mdits, mais qui peut aussi, plus profondment, tre considrecomme un arrire-plan paradigmatique, commun aux quatre concepts

fondamentaux de la mathmatique pythagoricienne, et essentiel chacun d'eux; -cette notion si importante donc, en raison pythagoricienne, navait, jusque l,

jamais fait l'objet d'une tude systmatique.Mais la discussion, ici, se rapporte davantage lobjet du travail actuel de Jean-LucPrilli, qui est, pour citer une de ses lettres "de prciser les liens entre pythagorismeet cultes des mystres, en s'appuyant principalement sur les renseignements que l'on

trouve dans une source assez ancienne et abondante : les dialogues de Platon, et dansla perspective ouverte par ltude trs forte et brillante de Peter Kingsley sur:Empdocle et la tradition pythagoricienne."(1)

*

5/24/2018 ANNEXES

23/51

"Penseur religieux" et "mystique" sont des prdicats que lon voit souventassocis au nom de Pythagore. Le principal problme que je vois leuremploi, c'est qu'ils sont presque toujours utiliss sans tre dfinis. Orpour un chrtien, ces notions sont attaches certaines reprsentationsassez prcises, qui n'ont pas forcment d'analogues dans le mondeantique.En vue simplement de sortir de l'indfinition, je propose une dfinitionapproximative. Dans le monothisme, le mot religion dsigne unerelation collective et universelle un tre absent ou abscons. Lamystique, elle, est la runion d'un tre exceptionnel avec la prsencedivine, inaccessible au commun. Ces reprsentations prcises, dans

lesquelles ces deux notions s'explicitent trs bien et se compltent l'unel'autre, me paraissent dcrire un modle de religion qui ne vaut, enralit, que pour les trois grands monothismes, mais qui est,finalement, assez peu pertinent pour les cultes antiques.

*Ce n'est pas moi qui reprocherais aux historiens d'accorder de

l'importance l'aspect religieux du pythagorisme, puisque l'un des

principaux griefs que j'aie contre les historiens du pythagorisme (surtoutceux oprant dans la filire de l'histoire des sciences et de lamathmatique ancienne) est leur mconnaissance des faits religieux, quis'aggrave, d'ailleurs, mesure que ces faits sont plus anciens. Cereproche pourrait du reste s'adresser aux intellectuels modernes dansleur gnralit. Il existe des gens que l'on nous prsente comme "pointus"dans leur domaine de comptence, pour qui la religion est une espce dedisposition mentale un peu nave, qui vous rendrait peu apte, parexemple, l'exercice de la science. Des notions aussi grossires de lareligion, mme pas dignes du niveau d'un journal tlvis, sont

aujourdhui monnaie courante. Un autre travers du mme genre, est celuiqui consiste, lorsqu'on prononce les mots de mystre ou d'initiation, les accompagner d'une sensation d'interdit ou de frisson, aussi ridiculeque possible.

*Commenons par noncer une srie de propositions parfaitement

triviales, qui ne sont intressantes que par les gloses qui les

accompagnent et qui en dfinissent aussi exactement que possible laporte.

5/24/2018 ANNEXES

24/51

1. Les pythagoriciens, et Pythagore lui-mme, pratiquaient descultes religieux. C'est l un attribut qu'ils partageaient avec l'ensembledes hommes du monde antique.

2. Les pythagoriciens, et Pythagore lui mme, pratiquaient descultes exotiques.C'est l un attribut qu'ils partageaient, au moins, avecune grande partie de la classe cultive du monde grec, pour laquelle lareligion "commune", ou populaire, apparaissait trop dgrade pourpermettre, elle seule, une vritable laboration thologique. Les anciensn'opposaient pas leur culte religieux ceux des autres, puisqu'ilspensaient que les dieux des autres peuples n'existaient pas moins que lesleurs. La comparaison des dieux d'un panthon national, avec ceux despeuples voisins, tait donc, dans le monde ancien, un simple exercice dethologie ordinaire. D'o le risque, pour le moderne qui s'attarde ces

analogies, ces correspondances entre diffrents cultes, d'unevritable hmorragie de signification religieuse, qui permet par exemple certains, sans beaucoup d'effort, de voir dans le Pythagorisme unmlange de chamanisme hyperboren, d'apollinisme, de dyonysisme,d'orphisme, sans exclusion de la thologie gyptienne, du mazdisme, duzoroastrisme, du brahmanisme et bien sr du druidisme.3. Quand bien mme on parviendrait une description plus prcise. Parexemple : les pythagoriciens taient une secte orphique. Ou encore : le

pythagorisme est une nouvelle formulation du chamanisme hyperboren,on naurait rien obtenu de fondamentalement nouveau par rapport auniveau 1. Les initiations, les mystres, mme s'ils taient rservs depetits groupes, ne constituaient qu'un niveau suprieur de cettedimension du religieux qui tait une dimension ordinaire et normale dela vie humaine, de toutevie humaine.Le risque quil y a ici, c'est celui de chercher une correspondance entredeux plans de ralit qui n'ont, a priori, pas de rapport intrinsque. Parexemple : Adam Smith et Ricardo sont les fondateurs de la penselibrale. Adam Smith et Ricardo taient de religion anglicane. Donc, lelibralisme est une secte religieuse affilie l'anglicanisme. L'exemple est

bien sr exagr, cependant, il indique bien le profond sophisme qu'ilpeut y avoir mettre sur le mme plan un vnement singulier etextraordinaire de l'histoire, tel que la naissance du libralisme, avec desfaits parfaitement ordinaires tous les hommes d'une mme poque; etle sophisme est peu prs le mme dans le cas du pythagorisme, o il n'ya pas plus de raison a priori de relier un vnement aussi extraordinaireet singulier que l'apparition de la doctrine de Pythagore, ses concepts, ses

ralisations scientifiques et intellectuelles, avec un plan parfaitement

5/24/2018 ANNEXES

25/51

ordinaire et pour ainsi dire "neutre" de la vie de son temps, qui est celuide la religion.

*

Quand bien mme on russirait rendre aussi prcise que possible unedfinition relevant du niveau 3. Par exemple : "les pythagoriciens taientune secte orphique", ce serait l, j'en conviens, une informationhistorique intressante, mais on n'aurait toujours pas commenc parlerde la foi propre qui caractrise les pythagoriciens en tant que

pythagoriciens. Or sur ce point l, il y a une pice sur laquellela dcisionest prconditionnelle : c'est le serment pythagoricien.Si le serment est authentique, s'il remonte au premier groupe

pythagoricien, alorsla foi pythagoricienne n'est autre que la foiscientifique, elle n'est autre que la foi du mathmaticien en sonthorme, cette "bonne" foi, qui n'implique que l'attachement sonpropre signe, et qui, dans le paradoxe logique du mme nom, s'oppose la "mauvaise" foi qui est celle du menteur, - cette foi que j'ai appele dsma jeunesse la foi de Spinoza, et qu'il professait ceux de sescorrespondants qui lui demandaient comment il pouvait tre certain deses thses : je le crois comme je crois que les trois angles d'un trianglesont gaux deux droits. En effet, dans le serment pythagoricien, on ne

vous demande pas de croire en une entit absconse ou absente, maisdans une ralit qui estprsentedans l'esprit : la ttractys. Aprs cela, sil'on tient toujours ce que Pythagore soit le fondateur d'une nouvellereligion, il serait tout de mme honnte de prciser, un moment ou unautre, que cette nouvelle religion s'appelle la science.

*La dcision sur le serment pythagoricien est donc prconditionnelle. Jedis bien la dcision, car, est il authentique? Le fait qu'il soit mentionn

par 4 ou 5 auteurs est-il une preuve suffisante? Certainement pas. Si lonnous dit que la lecture d'une trentaine de thses, de prfrence rdigesen allemand, peut aider trancher la question, je ne suis pas sr que cesarguments puissent bouleverser un pistmologue un peu cuirass. Alorsd'o pourrait provenir une preuve plus sre? En fait, uniquement del'archologie, de la dcouverte d'une tablette o serait inscrite le serment,et qui serait date grce au carbone 14 de l'poque de Pythagore, o peuaprs. A force de confondre ses objectifs avec ceux de je ne sais quellemthodologie (comme si les mthodes pouvaient donner des ides ceux

qui n'en ont pas) l'histoire se trouve de plus en plus rduite attendre de

5/24/2018 ANNEXES

26/51

l'archologie ses possibilits d'orientation ou de dcision les plusimportantes.Pourquoi la dcision sur le serment est-elle prconditionnelle? Parce que

de cette dcision dpend immdiatement l'interprtation totale de ladoctrine. Autrement dit, en bonne logique, dans les cas rellementdcisifs : ce n'est pas "une garantie sur l'authenticit des sources" quipermet de se former "une ide sur la doctrine"; mais c'est aucontraire l'ide qu'on s'est forme sur la doctrine, qui conditionne notreopinion sur l'authenticit des sources.L'essentiel tant, ds lors, d'avoir au dpart une certaine ide des choses,

je ne vois pas comment la personnalit de l'historien pourrait n'trepas, dans tous les cas, le facteur le plus dcisif. Or cet gard, il y a

certaines "vocations universitaires" qui laissent un peu perplexe. MauriceCaveing, quels que soient ses mrites et l'utilit spciale de son travail,est un idologue positiviste comme Auguste Comte n'a sans doute jamaisrv d'en voir natre. Il nous prsente l'histoire des sciences comme unesomme de petits progrs cumulatifs, modestes et laborieux. Quelle placepourrait bien trouver Pythagore dans un processus de lecture aussicrasant? Si on lit sa thse, qu'apprend-on du pythagorisme? On sedemande surtout, en le lisant, comment l'ide a pu lui venir de s'orienter

vers l'tude de mentalits si trangres sa faon naturelle de penser. Et

que dire de Festugire, longtemps autorit dominante en matired'hermtisme, qui commence aujourd'hui nous apparatre, avec lerecul, et malgr sa croix, comme une incarnation presque fanatique,caricaturale, de la mentalit scientiste du dbut du XXe sicle.

*

Si Pythagore na ni crit, ni mme laiss de trace probantede sa pense,cest au moins une hypothse admissible, que ce fut de faon assume et

volontaire. Dans lattachement une forme exclusivement orale de la

tradition, il pouvait y avoir une dimension rellement orgueilleuse : peut-tre estimait-il quune doctrine qui ne russirait pas se conserver dansles curs, ne mritait pasqu'on s'en souvienne. Dans ce cas, ce ne seraitpaspar accident, mais par essence, par vocation mme, que cettedoctrine se refuserait tre saisie, ou cerne, par le critre ontologiquede la trace, de la preuve matrielle et crite, qui gouverne la sciencehistorique actuelle. Cela peut aussi tre un dbut de rponse unequestion que beaucoup se posent, savoir : O se situe la coupure entreune ventuelle forme originellement pure et cohrente de la pense

pythagoricienne, et les formes lacunaires ou dgrades dont tmoignentla plupart de nos sources. Etant donn, peut-tre, le caractre dj

5/24/2018 ANNEXES

27/51

obsolte de la forme orale de transmission que Pythagore entendaitmaintenir, cette "criture dans les coeurs" pourrait bien s'tre avre plus

volatile qu'il le pensait; de sorte que la "dcadence" pourrait avoircommenc ds l'extinction de Pythagore.

*

Il me reste complter ces remarques par un dernier mot concernant lanotion d'sotrisme. Cette notion ne prsente pas les mmesinconvnients que les notions de religieux et de mystique, dans la mesure

justement, o l'sotrisme est un paradigme dans lequel diffrents plansd'exprience ou de connaissance, du plus profane au plus sacr, (ouencore : s'tageant de la science la spiritualit), peuvent sesuperposer,sans se confondre. Pour cette raison mme, la notion

d'sotrisme est la seule dans laquelle pourraient lgitimement(et sansrisque de mlangeou de confusion) s'effectuer certainescorrespondances entre le plan de la science et celui de la spiritualit. Celaexplique aussi, incidemment, que je rencontre souvent moins deproblmes avec le Pythagore des sotristes, maons et autresgunoniens, (bien que mon travail n'entretienne avec les leursaucunrapport particulier), que je n'en ai, malheureusement, avec lePythagore de certains historiens, qui force de "suspension" et de"retrait" mthodologique, et corrlativement, force d'amaigrissement

progressif de tout contenu intellectuel un peu prcis, aurait tendance, deplus en plus, ressembler je ne sais quel homme des cavernes, quiaurait dcouvert la multiplication par hasard en jouant avec des noix.Dans la dmarche de certains historiens, il y a le rve dune positionneutre, en quelque sorte scurise, qui serait une espce de distanceparfaite de la pense. Mais en pistmologie, on apprend quil ny a pasdacte scientifique neutre. La suspension elle-mme nimplique paslabsence de thse, puisquelle revient souvent, en pratique, hypostasierdes thses fantmes, - des thses qui, mme lorsquelles ne sont pasnonces, peuvent ntre pas moins dcisionnelles et contraignantes quecelles, par exemple, qui mont servi dans mon travail. Dans le cas dePythagore, ces thses fantmes peuvent tre les suivantes : Aucun desconcepts hrits de la tradition pythagoricienne na de valeur centrale oudcisive pour linterprtation totale de la doctrine. Ou encore : Siparmi les concepts hrits de la tradition, certains peuvent avoir une

valeur centrale ou dcisive, nous sommes incapables de dire lesquels. Et derrire ces thses qui ont encore un air assez prcautionneux, senprofile une autre, plus massive et en ralit seule dterminante, qui estque la doctrine de Pythagore na pas de consistance scientifique interne,

qui en permettrait lexpos par une mthode strictement hypothtico-dductive.(2)

5/24/2018 ANNEXES

28/51

(1)Dans le mme courrier, Jean-Luc Prilli prcise ainsi l'angle d'attaque :"l'intuitionoriginaire qui avait gouvern mon travail rsidait moins dans la philosophie dunombre proprement dite que dans l'tude de la filiation orphisme, pythagorisme,

platonisme (que je considre comme relevant d'un dploiement "dynamique" dansun sens bergsonien)."(2)La doctrine pythagoricienne relevant de la connaissance a priori, elle peut, parhypothse, tre reconstitue en totalit partir de ses seulsprincipes, en n'importequel point de l'espace ou du temps. Les questions de "copyright" qui font le soucipermanent des historiens modernes, sur le fait de savoir si X a dcouvert cela toutseul, ou s'il l'a lu dans Y, qui lui-mme le tenait de Z, (et dont le caractreobsessionnel ne traduit souvent rien de plus profond, qu'une adhsion un peu bate l'idologie de l'originalit personnelle et de la crativit "ex nihilo" del'artistemoderne), si elles peuvent avoir un intrt dans l'ordre de ralit qui est leleur, n'en ont rellement aucun au point de vue doctrinal, qui seul nous a importdans ces tudes.

Rfrences :Peter Kingsley :Empdocle et la tradition pythagoricienne, Les Belles

Lettres, 2010.Jean-Luc Prilli :Symmetria et rationalit harmonique, originepythagoricienne de la notion grecque de symtrie, L'Harmattan, 2008.Le grand mrite de cet essai est d'avoir russi, le premier, associer un conceptmathmatique indiscutable la doctrine de Pythagore : celui de symtrie. Or ceconcept avait trois avantages trs importants : tre mathmatiquement prcis, tre

philosophiquement productif, tre un trait d'union entre les principaux conceptsmathmatiques hrits de la tradition, auxquels notre blog s'est particulirementintresss. Par l, la thse de Jean-Luc Prilli a rendu un rel service la

comprhension des choses.

Aot 2012

5/24/2018 ANNEXES

29/51

LA THEORIE GENERALE DU SIGNE

Antoine Abrassart"The True" Scorpio Rising

Le tenseur binaire radical

Lorsqu'on la reprsente par la lettre V, la dyade indtermine apparat

morphologiquement analogue au tenseur binaire radical de lalinguistique guillaumienne, concept que cette thorie dfinit comme"l'oprateur universel de la structure du langage". La linguistiqueguillaumienne se distingue des autres coles linguistiques par sa visesynthtique. Ce qui l'intresse n'est pas, prioritairement, l'analysearchitectonique du "systme de la langue", mais un fait linguistique plusprofond, agissant chacun des niveaux de ce systme, que son auteurqualifie de "psychomcanisme", ou, ailleurs, de "mcanisme de puissancede la pense humaine". Il s'agit donc d'un oprateur antrieur laproblmatique propre du langage et du signe, puisqu'il se rapporte, plusoriginairement, laparole, en tant que geste et action entiredel'homme, non encore dcompose. Citons Gustave Guillaume :

5/24/2018 ANNEXES

30/51

"La pense tient sa puissance de ce qu'elle est habile particulariser et gnraliser. Prive de cette double aptitude - qui constitueun entier (unentier intrieurement binaire) - la pense serait sans force etinoprante. Or, si de ces deux oprations - particularisation et

gnralisation - desquelles la pense tient sa puissance, on ne retientabstractivement que ce qu'elles comportent de mcanique, elles serduisent deux mouvements de pense, l'un allant du large l'troit,(inhrent la particularisation), l'autre allant de l'troit au large(inhrent la gnralisation). Une rduction abstractive inflchie selonla pente arithmtique ramnerait la particularisation un mouvementallant du plus au moins, et la gnralisation un mouvement allant dumoins au plus. Le mcanisme de puissance de la pense, c'est l'additionsans rcurrence, sans retour en arrire, de deux tensions, une tension I

fermante progressant du large l'troit, et une tension II ouvranteprogressant de l'troit au large, soit figurativement :

A ce mcanisme de puissance, on a, dans cet ouvrage, donn le nompleinement justifi de tenseur binaire radical."L'analogie entre ces deux notions : dyade indtermine, et tenseur

binaire radical, n'est en rien superficielle, mais, au contraire, tout ce qu'ily a de plus profonde; puisque ces deux notions constituent lesfondements opposs, mais complmentaires, d'une discipline

bipartite qui est lathorie gnrale du signe. Plus prcisment, nousverrons que le tenseur binaire radical est la thorie du signelinguistique, ce que la dyade indtermine est la thorie du signemathmatique, catgorie qui intgre, ici, une varit de systmes designes, tels que les systmes d'orientation, les gammes musicales, oules calendriers, dont la nature mathmatique est comparable celle desobjets les plus fondamentaux produits par cette science, - tels que lesnombres et les figures -, et dont le "substrat" ou le cadre transcendantalest le mme, puisqu'il est celui des catgories universelles de l'espace etdu temps. Et l'on s'apercevra qu'entre ces deux domaines ou ces deux

visages du signe, le signe mathmatique et le signe linguistique, la

frontire, mme si elle existe, n'est pas aussi paisse - ni tanche - qu'onpourrait le penser de prime abord.

5/24/2018 ANNEXES

31/51

*

La thorie gnrale du signe est un point de vue depuis lequel onconsidre les systmes de signes,ou encore, lesparadigmes1, tels que,pour s'en tenir un niveau lmentaire, les alphabets et les gammesmusicales, comme formant eux-mmes de "gros" signes unitaires etorganiques, comme de pures singularits morphologiques. Dans cettethorie, on s'efforce d'apprhender d'un point de vue extrieur etquidistant, d'un ct, le nombre, savoir, en l'espce, des systmes designes, tels que les gammes musicales, qui sont issus de

l'intuition d'une quantit mathmatique discrte, et qui reposent doncsur un fondement stable et ternel, "a priori", sur un rapport intuitif etimmdiat au mme, l'identit du nombre; et de l'autre, le verbe, ou lesigne linguistique, dans toute sa naturalit, sa contingence initiale, son"instant d'arbitraire", qui fait qu'aucun nom, d'aucune langue, ne saitnommer les choses exactement dans la mme "guise" qu'un autre. Or letenseur binaire radical, dont l'ambition est de rduire le processus de lasignification un mcanisme universel, a prcisment aussi la charged'expliquer la gense concrte, matrielle, du signe linguistique; et cet

oprateur semble bien recler cette capacit insigne, de savoir exhiber la fois l'universalit, la constance, l'unicit du geste linguistique, et saparfaite contingence ou dterminit naturelle, puisqu'il se distingue parses applications spectaculaires des faits de langue prcis et localiss,tels que, par exemple, le systme de l'article franais, ou celui de laflexion nominale.

Le systme phonologique des consonnes du franais

Le tenseur binaire radical est efficient, pour commencer, ds le premierdegr de la morphogense du langage, celui de la constitution du systme

phonologique, qui s'effectue par la transformation du continuumacoustico-vocalique de la phonation, en un champ d'units discrtes:les phonmes. Les tensions 1 et 2, "fermante" et "ouvrante", y jouentalors, trs prcisment, le rle que jouent, dans le systme

5/24/2018 ANNEXES

32/51

morphogntique de Turing, les fonctions chimiques, ou morphognes,"inhibiteur" et "activateur", dont on sait qu'elles engendrent, en phasesd'quilibre, des rseaux de gros points distribus en symtrie hexagonale;ce qui explique, comme nous allons tenter d'en exposer brivement la

raison profonde, l'omniprsence des structures hexagonales et desrelations logiques biternaires dans la plupart des systmesphonologiques.

structures de Turing, avec gauche, phase d'quilibre hexagonal

La structure phonologique la plus caractristique est une structure detype "sceau de Salomon", dans laquelle une relation ternaire faible, ousecondaire, est pose en temprance immdiate d'une relation binaireforte, ou premire. Sur un plan purement logique, la premire diffrenceconstructive d'un systme est, par dfinition, toujours binaire, mais ilfaut bien comprendre que le binaire est, fondamentalement,l'oprateurle plus impropre la construction du continuum; ce que l'onpeut illustrer sur le plan de la logique premire, en remarquant que lesegment, parce qu'il est la premire diffrenciation de la monade, estaussi l'objet monadique qui ressemblele moins au point; et en effet lesobjets monadiques de rang 3 et 4, le disque et la boule, ressemblent plusau point que le segment. La relation ternaire joue donc le rle de

temprance maximale de la relation binaire, - ou si l'on veut, de mdit- temprance qui permet une relation d'opposition binaire de serapprocher le plus vited'un envahissement gnral du continuum. Ainsi,dans le systme phonologique des consonnes du franais, les relations

binaires fortes sont les relations "sourde/sonore" et"occlusive/fricative"; tandis que les relations ternaires se disposenten mdiation (dentale/labiale/gutturale), ou en extension(nasale/liquide/semi-voyelle) de ces relations binaires fortes.

5/24/2018 ANNEXES

33/51

(Remarques.I. Par souci de simplicit, les phonmes sont ici dsigns biunivoquement par deslettres de l'alphabet, qui, comme on le sait, sont souvent plurifonctionnelles. Pourtre correctement interprtes, les lettres doivent tre ici oralises dans le paradigme"a";(1) c'est--dire que, pour connatre la valeur exacte des phonmes du tableau ci-dessus, il suffit de faire suivre les lettres qui les dsignent par la lettre "a"; ainsi, pourprciser les cas litigieux : "carte" et "garde" pour les occlusives "c" et "g", "wapiti" et"yak" pour les semi-voyelles "w" et "y", "chat" et "sable" pour les phonmes "ch" et"s", "zazie" pour "z", etc.)II. Contrairement l'opinion de divers linguistes, aucun phonme du troisimeniveau n'est inclus dans la catgorie "sonore". Mme si nous avons pu constater quecertains linguistes demeuraient rticents au principe autoritaire de la logique, lacatgorie "ni sourde ni sonore" constitue pour nous une catgorie indispensable dusystme, pour une raison simple, qui est que la relation sourde/sonore constitue unensemble biunivoque parfaitement compact. En effet, une sourde se transformeunivoquement en la sonore correspondante par "sonorisation"; et rciproquement,cette sonore se retransforme univoquement en la sourde de dpart par"assourdissement". La catgorie "ni sourde ni sonore" dsignant ds lors, ni plus nimoins, l'ensemble des phonmes qui sont exclus de cet ensemble biunivoque clos etcomplet.III. Ce tableau constitue, bien videmment, un systme complet des consonnes dufranais, dfinies selon la mthode jakobsonienne depermutation de la syllabe. Ilrecense donc l'ensemble des solutions "c" existant, en franais, pour remplir unematrice de syllabe deux lments simples (c : Consonne / v : Voyelle). La lettre X,comme on le sait, ne correspond pas un phonme, mais 4 phonmes diffrents, lesdeux sourdes de Flix (cs) et les deux sonores de Xavier (gz); cette lettre signalant

donc, par sa fonction comme par sa forme, le centre gomtrique du paradigmesourd/sonore. La lettre "k" est un substitut phonologique de "c". Enfin la consonnemanquante de l'alphabet franais, la fricative "ch" de "chat", est ici "reprsente" par

5/24/2018 ANNEXES

34/51

le graphme "inutile", non phonologique, de ce mme alphabet : la lettre H; car,comme l'a indiqu Saussure, on ne peut en aucune manire appeler "phonme" unsigne qui n'a d'autre existence phontique, que le fait qu'on ne puisse faire, devant lui,ni liaison ni lision.

IV. Voyelles. Il n'existe pas de systme constantdes voyelles du franais. Leurdnombrement mme est impossible, tant sujet des variations locales. Ainsi, lesvoyelles finales des mots "chacun" et "demain" correspondent des phonmesidentiques Paris, mais distincts Toulouse. Pour les voyelles des mots "chauve" et"porte", c'est l'inverse : elles correspondent des phonmes identiques Toulouse,mais distincts Paris. Le franais apparat donc, cet gard, moins diffrent qu'onpourrait le penser des langues smitiques, dans lesquelles les voyelles sont rputesn'avoir pas d'existence vritablement individuelle. En revanche, le systme desconsonnes est rigoureusement constant, quelles que soient les diffrences d'accent oude ralisation locales. Le phonme "r" peut-tre roul ou non selon les rgions, ilreste fonctionnellement un "r", c'est dire qu'il conserve partout la mme fonction

dans le systme.)Si maintenant toutes ces relations biternaires sont dployes, ou libres,non plus dans le champ logique bidimensionnel qui est celui d'un tableauanalytique, mais dans un espace de diffusion "thorique"tridimensionnel, on s'aperoit qu'elles se solidifient spontanment en unprisme hexagonal. Pour passer d'une structure l'autre, il suffitd'enrouler en pense le plan du tableau ci-dessus, en mettant bout boutses cts gauche et droit.

5/24/2018 ANNEXES

35/51

Ce que l'on pourrait commenter ainsi : les relations logiques biternairesde type "sceau de Salomon" constituent l'oprateur de diffrenciation le

plus rapide et le plus efficace pour transformer un "segment" (c'est--direune relation d'opposition binaire) en un "disque" (hexagone), puis en un"cylindre" (prisme); ou encore, pour permettre cette relationd'opposition d'envahir l'espace trois dimensions.(2)Pour que le modle mcanique guillaumien soit oprant, il faut doncconsidrer que la tension 2, la tension ouvrante, est la tension binaire, ou"paire", tandis que la tension 1, la tension fermante, est la tensionternaire, ou "impaire". En effet, le ternaire tant toujours polaris par uncentre de symtrie qui est structurellement son origine,(centre

correspondant ici aux catgories "labiale" d'une part, et "liquide" d'autrepart) une tension ternaire peut tre "fermante", ou "inhibitrice",lorsqu'elle est, gomtriquement, une tension de contraction du segment(2) vers le point qui est son centre (1); ou bien, si l'on raisonne sur untriangle, une tension de contraction de ce triangle, rgressantgomtriquement de l'un de ses cts(2), vers le sommet oppos(1).

La structure complte du systme des consonnes pouvant ds lors sedployer en trois coups de temps seulement, trois entiers guillaumiens,ou trois "guillaume" correspondants aux trois tages de la structure ci-dessus; car nous attachons pour notre part le plus grand prix cetteproprit du tenseur binaire radical, un peu nglige par les guillaumienset peut-tre par G. G. lui-mme, de permettre une expression quantifie,et en ce sens vritablement scientifique, de la diffrence nergtico-informationnelle dans laquelle consisteultimement le signe. Notons quece modle apparat en tout point conforme au formalisme logique de ladyade indtermine, dans lequel l'impair, le ferm, prcde toujours lepair, l'ouvert.

5/24/2018 ANNEXES

36/51

5/24/2018 ANNEXES

37/51

*

Le choix, par Gustave Guillaume, d'un modle mcanique, plutt qu'unmodle chimique ou autre, est, lui seul, assez lourd de consquence. Ilpeut se rclamer d'un certain principe d'conomie scientifique, qui estcelui du "moindre besoin". La science trouve toujours meilleur ce qui estfait avec des moyens plus "rustiques", lorsque ceux-ci s'avrentsuffisants. Mais surtout, le choix d'un modle mcanique a pour effet deplacer, par hypothse, l'organe du langage - ou si l'on veut, son centreorganisateur - beaucoup plus prs du corps et de son activit mcanique,sinon musculaire, que du cerveau, et de son activit chimique ou

lectrique.

*Ces deux notions, dyade indtermine et tenseur binaire radical, nousreprsentent donc les deux visages, ou les deux cts du signe; un ctqui implique, originairement, passivit, prudence, patience ourceptivit, (la ttractys, par exemple, est essentiellement un "rcipient",

ou un "rceptacle", pour reprendre la terminologie technique du Time),et qui est tourn vers ce qui est stable, constant, et ternellement lemme, vers le nombre; et un autre ct qui consiste, originairement, enune action, en un engagement en quelque sorte libre, souverain, oucrateur, dans la matire, avec tout ce que cela comporte de "hasardheureux" et de "chatoiement" potique de l'tre, et qui est la parole,entant que geste et action gnrique de l'homme. La connaissancepythagoricienne n'tant qu'un accord, ou une harmonie, entrecette naturalit et cette ternit. Car ces deux cts du signe ne peuvent

jamais, en effet, tre spars compltement l'un de l'autre, puisque mmele nombre, pour tre reu, doit d'abord tre saisi par l'entremised'un nom. Inversement, on a vu, avec Gustave Guillaume, que l'oprateurle plus profond de la langue se rduisait, en dfinitive, uninflchissement arithmtique, une espce de tendance "imiter" lenombre.

5/24/2018 ANNEXES

38/51

Systmes d'orientation, gammes et calendriers

A la famille des systmes "mathmatiques" appartiennent, outre lesgammes musicales, les systmes relevant du paramtrage de l'espacetemps, tels que les systmes d'orientation et les calendriers. Lesproblmes de "comma" musical sont, mathmatiquement, analogues ceux poss par le comput calendaire. La tendance une stabilisationhexagonale ou dodcagonale - en considrant que ces diverses divisionsdu temps peuvent tre reprsentes par des divisions du cercle -demeure, nanmoins, assez gnrale ces systmes (gammes etcalendriers). Le systme babylonien, conserv par la civilisationmoderne, est sexagsimal; l'anne, comme le zodiaque, comme la

journe, et comme l'heure de nos horloges, a 12 divisions; et notresystme musical, aprs une computation interne de plus de deux milleans, s'est stabilis en une gamme tempre de 12 demi-tons, soit 6 tonsentiers.

Les couleurs

D'autres systmes, enfin, appartiennent une catgorie intermdiaire;ainsi, les systmes de noms de couleurs internes chaque languenaturelle qui, bien qu'ils relvent de la contingence linguistique,ralisent, la plupart du temps, un paramtrage mathmatique peu prsidal, et quasi constant, du spectre de la couleur. Les mmes "stations" serencontrent, quelques nuances prs, dans la plupart des idiomes

occidentaux, permettant une transmission relativement aise, d'unelangue l'autre, de l'exprience de la couleur, pourtant incommunicablepar nature, en l'absence d'un rfrent universel et non subjectif. "Lescouleurs", en effet, n'existent pas, puisque la couleur est originairementun phnomne singulier, un continuum. Le bleu n'est, en soi, rien deplus que la somme des expriences et des ides humaines qui se sontaccroches au mot "bleu", depuis que ce mot est utilis. Le rfrentdescouleurs que nous avons l'habitude de nommer comme des individus, n'adonc, en toute rigueur, aucune existence absolue en dehors des noms

naturels qui en fixent la notion. Son concept ne se "substantialise" quepar un va et vient la vrit fort subtil, dans lequel entrent en jeu,

5/24/2018 ANNEXES

39/51

simultanment : 1) la consistance topologique intrinsque,originairement locale,du seul systme de signes - le systme des nomsde couleurs - qui, par sa vertu propre d'oprateur de diffrenciation,dtermine ces signes, dans leur usage, tantt s'attirer, tantt se fuir

magntiquement de proche en proche, par un mouvement devantnormalement les conduire, dans leur devenir utilitaire, se satelliser,(sur le continuum virtuel dont ces units transportent le principe avecelles), une distance talon de valeur 1 les uns des autres; et 2) laconfrontation permanente de ce mme systme avec l'expriencequotidienne, qui amne la notion de ces signes "s'infuser"graduellement de ralit ou de substantialit empirique, par unmouvement de reconnaissance par "approches" - ou par une

"approximation" perceptive;(4)- ces deux mouvements, pour finir, sesoutenant et se guidant l'un l'autre. Dans la gense concrte du systme,on peut imaginer que ce dynamisme, ce mouvement "optimiste" de lasignification, puisse commencer s'activer partir d'un grapherudimentaire de, par exemple, 4 ou 5 units, dont la structure ou laconfiguration dfinitive demeurerait, dans un premier temps,indcise, ou fluctuante; c'est dire que l'on peut imaginer une langueprimitive qui ne disposerait que de quatre ou cinq noms de couleurs. Enrevanche, nos systmes modernes relvent probablement d'un lentprocessus de "dcantation" statistique, ou conomique, de natureessentiellement pratique.

5/24/2018 ANNEXES

40/51

Structure "sablier" du paradigme franais des noms de couleurs

Triangle "Mondrian".Couleurs dites "primaires" (Rouge-Jaune-Bleu)

Triangle "Malvitch".

Couleurs dites "alchimiques" (Rouge-Noir-Blanc)

Chacun des "registres" du sablier enferme virtuellement une structurehexagonale biternaire de type "sceau de Salomon". En outre, lastructure gnrale du sablier lui-mme est topologiquement analoguela structure "fermante-ouvrante" du tenseur binaire radical; de sorteque le systme peut nous apparatre comme formant un "super-entier"guillaumien fermant-ouvrant, compos en ralit de deux entiersconjoints ou "siamois".

5/24/2018 ANNEXES

41/51

5/24/2018 ANNEXES

42/51

tantt, l'exemple de Goethe, la rsorber dans le registre subjectif de lapure sensibilit, sinon mme de l'motivit. Mais ce qui a chapp tous,(y compris au pourtant trs sagace Newton) c'est qu'une fois qu'on avaitproduit toutes ces "simulations" phnomnologiques de la couleur, on

avait seulement montr les raisonsde la couleur, ses motivations enquelque sorte externes et contingentes - mais toujours pas la couleur elle-mme, dont le contenupossibletait pourtant "connu" et dtermindepuis le dbut, puisqu'il rsultait de la toute puissanceproductive, apriorique et en quelque manire magntique, mane de la seulehypostase originelle de son nom.

De la consistance logique continue de la thorie du signe matriel, travers la nature mathmatique diverse de ses principaux continuumsde rfrence

Un tmoin significatif des conceptions qui taient celles despythagoriciens, en matire de thorie du signe, est ce fameux passageduProtreptique d'Aristote, o l'on compare les trois doubles consonnesgrecques formes partir de la lettre sigma, avec les trois accordsfondamentaux de l'harmonie musicale, rapports l'unisson. Cettecomparaison laquelle le malheureux Aristote ne comprend goutte,parce qu'il ne saisit pas lepoint de vue depuis lequel elle est nonce, estd'une profonde pertinence thorique, comme on peut tenter, ici mme,de l'exposer en quelques traits; et elle n'est pas le seul tmoin du haut

degr de technicit et de rigueur formelle qu'avaient acquis lesspculations des pythagoriciens, en matire de thorie du signe.Mais avant d'entrer dans le coeur du problme, il convient d'voquercertaines considrations gnrales concernant la thorie du signe, qui nepouvaient tre abordes avant que des exemples prcis du genre desystmes auquel cette thorie s'applique, fussent produits, ouextensivement dfinis.En tout premier lieu, il convient de se dfaire de l'ide que puisse exister,

dans la thorie du signe, un plan phnomnologique correspondant celui de la pure sensation, ou d'une rception sensorielle absolument

5/24/2018 ANNEXES

43/51

passive, dnue de toute intentionnalit, de toute dimension active, tellequ'en subsument, le plus souvent, les catgories rigides de la psychologiemoderne, quelques diverses qu'elles puissent tre.

Les diffrents continuums sur lesquels raisonne la thorie du signematriel, ne sont pas proprement parler des continuums sensoriels,mais bien plutt perceptifs, c'est dire qu'ils comportent tous un lmentrelevant d'une certaine "magntisation"pralable, ou "intentionnelle" etpar consquent activede la sensibilit, transcendante l'indterminitpurement "objective" du fait sensoriel. Cependant, ces continuums sedistinguent entre eux par le fait de comporter, les uns par rapport auxautres, une plus ou moins forteproportionde rceptivit, de passivit, ouau contraire d'oprativit et d'activit.

De la mme manire, le point commun aux diffrents systmes que l'on aenvisags ici, est de consister, chaque fois, en une action organiquede structuration d'un certain continuum perceptif, par la constitutiond'un systme d'units discrtesrgi par des interrelations logiques (elles-mmes assimilables autant de "logoi", ou de rapports d'entierspythagoriciens); cependant, ces continuums ne comportent pasncessairement le mme nombre de dimensions mathmatiques

"thoriques", comme on peut aisment s'en rendre compte l'usage. Eneffet.

Le continuum de la tonalit, abstraction faite de ses conditions deralisation pratiques, peut tre reprsent par un axe mono-dimensionnel (dimension pythagoricienne 2),(5) comme il l'est dans lareprsentation courante du langage, o il est symbolis par un axe appeltantt "haut-bas", tantt "aig-grave", expressions qui ont des sens assez

voisins. Le continuum de la couleur, avec l'expression de ses diffrences

combinatoires biternaires de type "sablier", requiert, quant lui, aumoins deux dimensions (dimension pythagoricienne 3); c'est--dire que,mme si l'exprience de la couleur pourrait, en thorie pure, trecommunique un sujet ne connaissant que l'existence de deuxdimensions, elle ncessite au minimum cette capacit de percevoir un"cran", sur lequel puissent apparatre diffrentes "taches colores".Enfin le continuum de la phonation se distingue son tour de ces deuxpremiers exemples, en ce que sa dfinition ne procde pas d'uneseuleaire sensorielle (telle que l'"oreille" pour la musique, ou l'"oeil" pour la

couleur, dans une acception anatomique volontairement vague de cesdeux "organes" sensoriels) mais de l'interconnexion de deuxaires

5/24/2018 ANNEXES

44/51

sensorielles; car en effet, le continuum de la phonation n'est passeulement vocalique, mais acoustico-vocalique, de sorte que, bien qu'ilsoit entirement immerg dans le domaine de l'empirique et du perceptif,il rsulte de la mise en correspondance de deux "aires"

sensorielles antagonistes, l'une active, reprsente par l'appareilphonatoire, l'autre passive, reprsente par l'organe de rception dessons labors par ce dernier. C'est pourquoi les proprits d'un systmetels que celui des consonnes, ne peuvent compltement se dployer quedans une dimension thorique suprieure celle du plan, par consquenten dimension pythagoricienne 4.Le continuum de la tonalit peut apparatre, cet gard, comme le pluspassif, en ce qu'il est indpendant des conditions concrtes de sa

production, que celles-ci puissent tre actives ou non n'ayant aucune

incidence en la circonstance. La musique est en effet la rception d'unrapport arithmtique absolument pur et constant, dont la saisie nencessite aucun "geste" ni "exercice" musical particuliers, pas plus qu'ellen'exige la connaissance conscientedes valeurs numriquescorrespondantes aux accords musicaux, puisqu'elle relve d'un registreempirique plus profond que ceux-l, que l'on peut lgitimement qualifierde "subconscient" ou, si on prfre, de supra-conscient, qui est celui, toutnaf ou naturel, du sentiment immdiatde l'accord ou de l'harmonie, du"juste" et du "faux".

A l'inverse, le continuum acoustico-vocalique de la phonation estdpendant de la coordination pralable d'un appareil de production, avecun plan de rception antagoniste; et de ce fait, il intgre une plus forteproportion d'oprativit, d'activit, voire de "gestualit", dans saconstitution matrielle mme, que le continuum tonal.

Ces divers points prciss, il parat maintenant plus ais de gloser lefragment pythagoricien duProtreptiqued'Aristote.La saisie pythagoricienne considre les trois doubles consonnes grecquesformes partir de la lettre sigma comme constituant hypothtiquementl'axe vertical polaire du systme des consonnes; en considrant commepoint zro ou origine polaire de ce systme, la lettre sigma elle-mme entant qu'elle n'est coordonne aucune autre. Puis il tablit unecorrespondance entre ces trois modes de coordination de la lettre sigma,et ces trois rapports de coordination de la note tonique que sontrespectivement la quarte, la quinte et l'octave. Soit :

5/24/2018 ANNEXES

45/51

0. Sigma - Ton1. Ksi - Quarte2. Psi - Quinte3. Dzta - Octave

On peut remarquer que les trois niveaux dploys ici correspondent, engrec comme en franais, au ternaire fondamental despointsd'articulationde la phonation : guttural - labial - dental; de sorte que le"retour" de la dentale originaire (sigma) dans le dernier rapport (la lettre

dzta tant une combinaison de deux dentales) se trouve correspondre,terme terme, au retour cyclique, ou "hlicodal", de la position del'origine (ton) dans le rapport d'octave. On peut ensuite remarquer qu'enfranais aussi, l'axe polaire du systme des consonnes concide avec celuiqui traverse les doubles consonnes formes partir de la lettre S : savoirla double-sourde de Flix et la double-sonore de Xavier, mme si lefranais ne possde pas d'autres doubles consonnes naturalises dansl'alphabet, et si dans le systme propre cette langue, le ternaire le plusfondamental est un ternaire diffrent de celui des points d'articulation.

N'en dplaise Aristote, une telle comparaison apparat donc bienlgitime, si on la considre, avec la mthode adquate, sous l'anglescientifique particulier qui est celui de la thorie du signe, domaine, il est

vrai, dont cet auteur assez peu mathmaticien, ne souponnaitprobablement pas mme la possibilit de l'existence.

(1)En sympathie, pour une fois, avec les variations de l'usage moderne ce sujet, leterme "paradigme" dsigne, synthtiquement, dans nos pages, comme il le faisait, ilme semble, dans la pense des anciens, la fois l'exemple, et le systme decoordonnes, ou encore l'ensemble, non ncessairement clos, dont cet exemple est unexemple; la consistance de notre travail permettant, chaque fois, de savoir dans quelsens il est utilis. Pour employer une image, le terme paradigme dsigne la roue d'unsystme, en tant qu'elle peut tre reprsente par chacun de ses rayons, ou mieuxencore, en tant que la nature mme d'une roue ne consiste, ou ne rsulte, que de lapossibilit qu'ont ses rayons de permuter, de prendre la place l'un de l'autre(2)

Pour tre plus prcis, la structure trois tages du systme phonologique desconsonnes du franais contient deux ensembles de structure biternaire, ou "sceau deSalomon" : l'ensemble "sourd" (t-p-c, s-f-ch) et l'ensemble "sonore" (d-b-g, z-v-j),

5/24/2018 ANNEXES

46/51

et un ensemble de structure terbinaire, correspondant ici au rez-de-chausse de lastructure : l'ensemble "ni sourd ni sonore" (n-m, r-l, w-y).

(3)Dans notre article sur la construction pythagoricienne de la gomtrie, en page 1 de

ce blog, nous avons prsent le connecteur logique "et" (synthtique) comme unoprateur "entrant" ou "fermant", et son antagoniste, le connecteur "ni..., ni..."comme un oprateur "ouvrant". Pas de contradiction ici nanmoins. Le "et" dont ils'agit ici est bien le "et" analytiqueet ouvrant("un homme et un chien se rendaientau march"), auquel s'oppose, comme son complment, un "ni..., ni..." synthtique,et fermant, dsignant un objet qui n'a aucune des deux proprits en question, ouqui, la rigueur, les possde "l'une et l'autre la fois", sur le mode de l'indistinction.Pour des raisons naturelles, dont l'explication nous entranerait trop loin, le systmephonologique des consonnes utilise, prcisment, les fonctions des connecteurslogiques au reboursde celles qui sont les leurs dans la logique prdicative.(4) Cette notion d'approche, ou d'approximation perceptive peut, premire vue,apparatre paradoxale; mais elle ne l'est que si l'on ne considre la perception quecomme un fait absolument passif, calqu sur la rigidit du schma psychologiquemoderne : metteur - rcepteur, ce qu'elle ne peut tre en aucune manire dansl'ordre phnomnologique qui est celui de la couleur; puisqu'on peut poser enprincipe qu'un sujet n'a, a priori, aucune chance particulire de rencontrer dans sonchamp de perception du vert, du rose, de l'orange, s'il n'a, auparavant, activenquelque manire le "tenseur" ou "l'attracteur" capable de motiver et de guiderunesemblable "rencontre", et dont le foyer ne consiste que dans l'ide abstraite de lacouleur, dans son concept mme.(5) Prcisons que nous ne parlons l que du continuum tonal absolument pur et apriori, indpendamment des systmes d'units discrtes que l'on peut dfinir l'intrieur de lui; car, une fois mathmatiquement qualifi, l'axe monodimensionnelde ce continuum devra ncessairement adopter la forme de l'hlice (ou de l'"escalierhlicodal"), afin d'exprimer la rcurrence priodique des rapports harmoniques qu'ilcontient.

Dcembre 2013

Rfrence :Gustave Guillaume :Essai de mcanique intuitionnelle - t. 1, Espace ettemps en pense commune et dans les structures de langue, Presses del'universit Laval, Qubec, 2007.

5/24/2018 ANNEXES

47/51

5/24/2018 ANNEXES

48/51

Hirocls : Commentaire sur les vers dor des pythagoriciens, GuyTrdaniel, 2006.

Hippase de Mtaponte :Fragments, inLes prsocratiques, La pliade,Gallimard, 1988.

Jamblique : Vie de Pythagore, Les belles lettres, 2011.Protreptique, Lesbelles lettres, 2003.

Nicomaque de Grase :Introduction arithmtique, Vrin, 1978.Manueld'harmonique, Remacle.Org (Internet)

Numnius :Fragments, Les belles lettres, 1973.

Platon : uvres compltes, Tome 2, La pliade, Gallimard, 1950. Time, pp.449-455; Thtte, pp. 85-92 ;Epinomis, pp. 1133-1163 ; Lettres,pp. 1164-1240

Philolaos :Fragments, inLes prsocratiques, La pliade, Gallimard, 1988.

Jean Philopon : On Aristotle's Physics, London Cornell University Press,1993.

Philostrate : Vie d'Apollonios de Tyane, Romans grecs et latins, La pliade,Gallimard.

Plutarque :Isis et Osiris, Guy Trdaniel, 2001. (Traduction et notesdeMario Meunier).

Porphyre : Vie de Pythagore, Les belles lettres, 2003.Lantre desnymphes,Remacle.Org (internet)

Proclus :A commentary on the first book of Euclides Elements, PrincetonUniversity Press, 1970.

Michel Psellos :Fragments, Remacle. Org (internet)

Pseudo-Jamblique : Thologoumnes arithmtiques, De Falco, 1922.

Pseudo-Plutarque : Opinions des philosophes, The Jesuit University of NewYork.

Pseudo-Time :L'me du monde & de la nature, Remacle. Org (internet).

Speusippe :Fragment sur la Dcade, in Les prsocratiques, La pliade,Gallimard, 1988.

5/24/2018 ANNEXES

49/51

Thon de Smyrne :Exposition des connaissances mathmatiques utilespour la lecture de Platon, Remacle.Org(Internet)

Thophraste : Opinions des physiciens, in Colli. La sagesse grecque vol. 2pp. 245-259.

Vitruve :De l'architecture, Remacle. Org.

Sources modernes :

DArcy Thompson :Forme et croissance, Seuil, 1994.

Enrico Barazzetti :L'espace symbolique, Arch, 1997.

Benjamin Barras :Les polydres rguliers, Scribd (internet), 2002.

Janine Bertier : Introduction, traduction et commentaire de l'Introductionarithmtiquede Nicomaque de Grase, Vrin, 1978.

August Boeckh :Philolaos des Pythagoreers Lehren,Berlin, 1819.

Jean Borella :Histoire et thorie du symbole, l'ge d'Homme, 2004.

Pierre Boyanc :Note sur la ttractys, inL'antiquit Classique, 1951.

Jean-Pierre Brach :La symbolique des nombres, PUF, Que sais-je? 1994.

Pierre Brmaud :Le dossier Pythagore, Ellipses, 2010.

Luc Brisson :Le Mme et l'Autre dans la structure ontologique du Time dePlaton, Klincksieck, 1974.

Lon Brunschwicg :Les tapes de la philosophie mathmatique, A.Blanchard, 1993.

Walter Burkert :Platon oder Pythagoras, Hermes, 1960.

Maurice Caveing : La figure et le nombre, Recherches sur les premiresmathmatiques des Grecs, Presses universitaires du Septentrion, 1997.

5/24/2018 ANNEXES

50/51

Jacques Chailley :Limbroglio des modes, A. Leduc, 1977. avec J. Viret :Lesymbolisme de la gamme, La revue Musicale, 1988.

Anthelme-Edouard Chaignet :Pythagore et la philosophiepythagoricienne, Elibron Classics, 2005.

Marius Cleyet-Michaud :Le nombre d'or, PUF, Que sais-je? 1973.

Giorgio Colli :La sagesse grecque, LEclat, 1991.

Armand Delatte :Etudes sur la littrature pythagoricienne, SlatkineReprints, 1999.

Lucien Grardin :Le mystre des nombres, Dangles, 1986.

Gilles-Gaston Granger :Formes, oprations, objets, Vrin, 1994.

Ren Gunon :Les principes du calcul infinitsimal, Gallimard, 1946.

Charles H. Kahn :Pythagoras and the pythagoreans, a brief history,Hackett Publishing, 2001.

Peter Kingsley :Empdocle et la tradition pythagoricienne, Les BellesLettres, 2010.

Paul Kucharski :Etude sur la Doctrine Pythagoricienne de la Ttrade, LesBelles Lettres, 1952.

Leonard de Pise (Leonardo Fibonacci) :Liber Abbaci(publi par BaldassareBoncompagni, Florence, 1854).

Mario Livio : The golden ratio, Broadway, 2002.

Jean-Franois Mattei :Pythagore et les pythagoriciens, PUF, Que sais-je?1993.

Paul-Henri Michel :De Pythagore Euclide, Contribution l'histoire desmathmatiques pr-euclidiennes, Les Belles Lettres, 1957.

Georges Mourier :Les ondes en Physique : de Pythagore nos jours,Ellipses, 2002.

Jean-Luc Prilli :Symmetria et rationalit harmonique, originepythagoricienne de la notion grecque de symtrie, Lharmattan, 2008.

Guillaume Postel :Des admirables secrets des nombres platoniciens,traduction J-P Brach et A. Faivre, Vrin, 2001.

5/24/2018 ANNEXES

51/51

Arturo Reghini :Les nombres sacrs dans la Tradition PythagoricienneMaonnique, Arch, 1981.

Maryvonne Spiesser :Histoire de moyennes, les moyennes (ou mdits)arithmtique, gomtrique et harmonique dans la Grce antique, Mmoirede DEA d'histoire des sciences, IREM de Toulouse, 1997.

Arpad Szabo :Laube des mathmatiques grecques, Vrin, 2000.

Thomas Szlezak :Le plaisir de lire Platon, Editions du Cerf, 1996.

Paul Tannery :La gomtrie grecque, Gautier-Villars, 1887.

Ren Taton :La science antique et mdivale, dition Quadrige, PUF, 1994

Maria Timpanaro-Cardini :I Pitagorici. Testimonianze e frammenti,Florence, 1964.

B-L Van der Waerden : Geometry and Algebra in ancient civilizations,Springer, 2002.

Pierre Warcollier :Les corps platoniciens, Villard de Honnecourt N14,1987.

Hermann Weyl :Symtrie et mathmatiques modernes, Flammarion, 1964.

Paolo Zellini : Gnomon, Una indagine sul numero, Adelphi, 1999.