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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I
2Mrenf – JtJ 2018
Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques
A.1 Limites de fonctions trigonométriques
Théorème des deux gendarmes
Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l’une f est "prise en sandwich" entre les deux autres. Si g et h ont la même limite lorsque x tend vers a, alors f doit avoir cette même limite. Ainsi :
• soit l'intervalle ]b ; c[ contenant a; • soit h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈ ]b ; c[ \ {a}.
Si limx→a
g(x) = limx→a
h(x) = L , alors limx→a
f (x) = L
On acceptera ce théorème sans preuve
Exercice A6.1 :
Soit f une fonction telle que pour tout x on ait x2 + x − 3 ≤ f (x) ≤ 2x2 − 3x +1 .
a) Déterminer limx→2
f (x)
b) Qu’en est-il si x2 + x − 3 ≤ f (x) ≤ 2x2 − 3x + 3
Remarque : Le théorème des deux gendarmes est un outil très souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions trigonométriques. Observons ceci sur un exemple :
Exemple : À l’aide du théorème des deux gendarmes, montrer que limx→ 0
x⋅ sin1x
⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 0.
x
y
y = f (x)
y = g(x)
y = h(x)
a
L
II ANNEXE CHAPITRE 6
2Mrenf – JtJ 2018
Exercice A6.2 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer limx→ 0
x 2 ⋅ sin1x 2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
Indications : -1 ≤ sin(angle) ≤ 1, puis constater que x 2⋅ sin1x 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ est comprise entre deux paraboles.
Exercice A6.3 :
On considère le quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
• En comparant les aires des triangles OIM et OIT avec celle du secteur circulaire OIM, montrer que :
sin(x) ≤ x ≤ tan(x) si 0 < x < π/2
• En déduire que : cos(x) ≤ sin(x)x
≤ 1
• Puis montrer que limx→0+
sin(x)x
• Comment adapter cette preuve pour le calcul de limx→0−
sin(x)x ?
Exercice A6.3 bis :
Que devient le raisonnement précédent si l’angle x est en degré et alors que vaut limx→0°
sin(x)x
?
Exercice A6.4 :
Sachant que limx→0
sin(x)x
=1, en déduire les limites suivantes :
a) limx→0
sin(2x)x
b) limx→0
sin(3x)
sin(2x) c) lim
x→0 tan(x)x
d) limx→a
2sin
x − a2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
x − a
Exercice A6.5 :
Calculer, si elles existent, les limites suivantes :
a) limx→0
cos(x)x
b) limx→0
1− cos2(x)x⋅ tan(x)
c) limx→0
1− cos(x)
sin(x)( )2
Exercice A6.6 :
En amplifiant les fractions par 1 + cos(x), montrer que
a) limx→0
1− cos(x)
x= 0 b) lim
x→0 1− cos(x)
x2 =1
2
Exercice A6.7 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer :
a) limx→+∞
sin(x)x
b) limx→+∞
e−x ⋅ sin(x) c) limx→+∞
2x + cos(x)x +1
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES III
2Mrenf – JtJ 2018
A.2 Les preuves des règles de dérivation des fonctions trigonométriques
Les règles de dérivation des fonctions trigo :
8ème règle : Si f (x) = sin(x) ⇒ …………………..
9ème règle : Si f (x) = cos(x) ⇒ …………………..
10ème règle : Si f (x) = tan(x) ⇒ ………………….. ou …………………..
Exercice A6.8: Voici la preuve de la 8ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter
• ′ f (a) = limx→a
f (x) − ...................− .........
= limx→a
.........− ...................− .........
Truc : on utilise la formule de soustraction d’angle (Formulaire page 31)
′ f (a) = limx→a
2 ⋅ cos
..........
..........
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⋅ sin
..........
..........
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
x − a = lim
x→a cos
..........
..........
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2 ⋅ sin....................
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
x − a
= limx→a
cos....................
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
sin....................
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
..........
..........
= limx→a
cos....................
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⋅ lim
x→a sin
..........
..........
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
..........
..........
= cos2a
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅1= cos(a)
En changeant la variable de a en x, on obtient bien : ′ f (x) = ...............
Reprendre cette preuve en utilisant la définition équivalente de dérivée vue dans l'annexe du chapitre 4:
′f (x) = limΔx→0
f (x + Δx)− f (x)
Δx
Exercice A6.9: Démontrer les 2 dernières règles de dérivation.
IV ANNEXE CHAPITRE 6
2Mrenf – JtJ 2018
A.3 Les fonctions trigonométriques réciproques
Introduction (à compléter)
Nous avons vu dans le chapitre 1 que pour définir la fonction réciproque
…… d’une fonction f, il faut que celle-ci soit ……………, c’est-à-dire:
• que si a ≠ b dans l’ensemble de ………… de f, alors f (a)...... f (b) .
• tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont atteints.
On peut alors résumer ceci par :
y = f (x) ⇔ x = ………
On a les propriétés suivantes :
(1) l’ensemble de définition de rf = …………………………………
(2) l’ensemble image de rf = …………………………………
(3) f rf (x)( ) = ...... pour tout x ∈ ……
(4) rf f (x)( ) = ...... pour tout x ∈ ……
(5) les graphes de rf et f sont …………… l’un de l’autre par rapport à
la droite d’équation …………
• La fonction arcsinus, notée arcsin (ou sin-1), est définie par : […… ; ……] → […… : ……] x arcsin(x)
⇒
De même, on peut définir :
• La fonction arccosinus, notée arccos (ou cos-1), est définie par : [ -1 ; 1 ] → […… : ……] x arccos(x)
⇒
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES V
2Mrenf – JtJ 2018
Introduction (à compléter)
• La fonction arctangente, notée arctan (ou tan-1), est définie par : IR → ]…… : ……[ x arctan(x)
Exemple : Déterminer : sin sin−11
2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ , cos−1 cos
5π4( )( ) et sin−1 sin
2π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Exercice A6.10 : Déterminer sans calculatrice :
a) cos cos−11
2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ b) sin−1 sin
4π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
c) cos−1 cos−5π6
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ d) tan−1 tan
7π4
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
VI ANNEXE CHAPITRE 6
2Mrenf – JtJ 2018
A.4 Les dérivées des fonctions réciproques Exercice A6.11 : On considère la fonction f : IR + → IR + définie par f (x) = x2 + 3
et le point P(1 ; f (1)).
a) Déterminer rf .
b) Tracer simultanément le graphe de f, celui de rf ainsi que le point P.
c) Calculer la dérivée de f et celle de rf .
d) Calculer ′ f (1) et rf( )′ f (1)( ) , puis représenter ces valeurs sur le
graphique.
e) Que constatez-vous ?
f) Cette constatation reste-t-elle vrai pour la fonction f définie par:
f (x) = x + 2x − 4
pour x ∈[−2, 5 ; 2, 5] et le point P(2 ; f (2))
Dont on propose ci-dessous une représentation graphique :
g) En déduire r f( )′(0).
x−2 −1 1 2
y
−2
−1
1
2
f
r f
P
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES VII
2Mrenf – JtJ 2018
Théorème : Dérivée d’une fonction réciproque
Si f est dérivable sur un intervalle I et si ′ f ne s’annule pas sur I alors :
• f possède une fonction inverse rf dérivable en tout point (f (x) ; x) où x ∈ I.
• rf( )′(x) =1
′ f r f (x)( )
Justification :
VIII ANNEXE CHAPITRE 6
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Exemple : Soit la fonction f définie sur IR+ par f (x) = x2 .
Déterminer la dérivée de sa réciproque rf a) À l’aide de la formule ci-dessus. b) À l’aide du calcul « traditionnel », comparer.
Exercice A6.12 : Effectuer la même démarche pour les fonctions f définies par :
a) f (x) =x 3
4 et rf (x) = 4x
3
b) f (x) = mx (m ≠ 0) et rf (x) = ..........
Les règles de dérivation des fonctions trigo inverses:
15ème règle : Si f (x) = sin−1(x) ⇒ ′ f (x) =1
1− x2
16ème règle : Si f (x) = cos−1(x) ⇒ ′ f (x) =−1
1− x2
17ème règle : Si f (x) = tan−1(x) ⇒ ′ f (x) =1
1+ x2
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES IX
2Mrenf – JtJ 2018
Exercice A6.13: Voici la preuve de la 15ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter :
Posons f (x) = sin(x) et ainsi rf (x) = ...........
r f( )′(x) = 1
..................=
1cos(..................)
= 1
1− sin2 (............)=
1....................
Précisons qu'il s'agit de considérer f : […… ; ……] → [… : …]
Exercice A6.14: Démontrer la 16ème règle ci-dessus: Exercice A6.15: Dériver les fonctions f suivantes:
a) f (x) = sin−1 2x +1( ) b) f (x) = cos−11x⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
avec x > 0
c) f (x) =1
sin−1 x( )
Exercice A6.16: a) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’équation
y = tan(x) au point P(π/4 ; 1).
b) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’équation y = tan−1(x) au point P’(1 ; π/4).
Exercice A6.17: Soit la fonction bijective f définie par f (x) = x 5 + 2x 3 + x −1
a) Déterminer f (1) et ′ f (1) .
b) Déterminer rf (3) et rf( )′(3).