Universidad Autónoma de Baja California Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería Análisis y síntesis de redes

M.C. Laura Jiménez Beristáin Alumna: Beltrán Delgadillo Ana Cristal

Fecha: Diciembre 2002

1. Obtenga la función se transferencia H(s)=V2(s)/ V1(s) del circuito mostrado y

verifique si es estable;

V1(s) V2(s)

1 ohm 1 ohm

1 f

V1(s) V2(s)

1 1

2s1/s

x

x

Re

Im

2s+1 se simplifica en serie, y esta serie en paralelo con 1/s:

Za = 12

12/112

)/1)(12(2 +++

=++

+ss

sssss

Divisor de voltaje para obtener voltaje en el paralelo Za en función de V1

1232

121)232)(12(

)12)(12(

121212

112

12

Vss

sVssss

sss

sssss

Vss

s

Vx sss

s

s

s

s

+++

=++++

+++=

++++++

+++

=

Hacer otro divisor para obtener V2

( )1

1)2/3(1

2322

)12)(232(1)2)(12(

12

2)1232

12(2 V

sssV

sss

sssVss

s

sVss

s

V sss

s

++=

++=

++++

=+++

+

=

12/312

++=

sss

VV

s

Verificar si es estable viendo donde están ubicados sus polos

2/)47(

43

2

449

23

j±−=−±−

x

x

Re

Im

Polos en lado negativo real, si es estable.

2. Obtenga la función de transferencia H(s)=V2(s)/ V1(s) del circuito dado y determine para que valores K de ganancia del amplificador el circuito es:

1

1

1

1 K

V1(s)V2(s)1/5

1

1

V1(s)V2(s)1/5

1/s

1/s

Vx KVxJ1

J2

J3

A) Absolutamente estable B) Marginalmente estable C) Inestable Tenemos 3 corrientes de malla, ahora verificamos J1 + J2+ J3+(1/s)J1=V1 J1(1+(1/s))+J2 + J3=V1 J1 + J2+ J3+ J2=V1- KVx J1 + 2J2 +J3=V1- KVx J1+J2+J3+((1/s)+(1/5))J3=V1

Vx= (J3)(1/5), por lo tanto J3=5Vx Entonces J1(1+(1/s))+J2+5Vx=V1 J1+2J2+Vx(5+K)=V1 J1+J2+Vx(5+(5/s)+1) Resolver por matrices

1)/10()/()/12(1)/1(

111)/5(511215211)/1(151)/1(1

11111211211)/1(111)/1(1

2 ++−=

+++

++

++

=ssKs

Vs

sK

ssVV

sVs

Vx

10)12(1

)1012(1

)1012)(/1(1

/10121

222 +−+=

++−=

++−=

++−=

sKssV

sKsssV

sKsssV

ssKVVx

V2=kV

V2=10)12(

12 +−+ sKs

sV K

(V2/V1)= 10)12(2 +−+ sKs

Ks

Si k<12 es estable

10210

10)1012(10

22 ++=

+−+ sss

sss

312

4042 j±−=−±− , como los polos están en la parte negativa del eje real se dice que

es estable Si K=12 es marginalmente estable, ya que los polos se encuentran en el eje imaginario

10,10

1210

122,122 js

ss

ss

±=+

=+

Si K<12 es inestable

10315

10)1512(15

22 +−=

+−+ sss

sss , polos en la parte real positiva.

)2/)31(()2/3(2

4093 j±=−±

3. Determine si son Hurwitz los siguientes polinomios a) 836 234 ++++ ssss

m(s)= 86 24 ++ ss =(s2+4)(s2+2) , s1,2=+-j2, s2,3=+- raíz de j2 n(s)= ss 33 + = s(s2+3) , s4,5= 3j± si n(s)>m(s)

ss 33 + | 86 24 ++ ss | s

83 2 +s | ss 33 + |(1/3)s (1/3)s | 83 2 +s | 9s 8|(1/3)s|(/24)s 0 Re-2=cte. Todos coeficientes positivos por lo tanto Es un polinomio estrictamente Hurwitz

b) 232 234 ++++ ssss Coeficientes reales y positivos distintos de cero

sssnsssm

3)(22)(

3

24

+=

++=

Realizar división continuada

ss 33 + | 22 24 ++ ss | s -s4- 3s2

-s2+2 Residuo negativo, no es Hurwitz c) 2525526132 23456 ++++++ + ssssss m(s)= 2552132 246 +++ sss n(s)= sss 2535 ++

sss 2535 ++ | 2552132 246 +++ sss | 2s 252 24 ++ ss | sss 2535 ++ | s 4s3 4s3| 252 24 ++ ss | (1/4)s 2s2+25|4s3| -50s Es negativo por lo que ya no es Hurwitz d) 6854 234 ++++ ssss m(s)= 65 24 ++ ss =(s2+3) (s2+2), s1,2= más menos j raíz de 2 s2,3=más menos jota raíz de tres n(s)= ss 84 3 + =4s(s2+2), s=0 s= menos raíz de dos

ss 84 3 + | 65 24 ++ ss |(1/4)s 3s2+6| ss 84 3 + |(4/3)s w(s)= s2+2 s1,2= más menos j raíz de 2 Hurwitz modificado e) 412171583 23456 ++++++ + ssssss

Es completo, todos signos positivos m(s)= 4178 246 +++ sss n(s) = sss 1253 35 ++ +

División continuada

sss 1253 35 ++ + | 4178 246 +++ sss | (1/3)*s 4133 24 ++ ss | sss 1253 35 ++ + | s s8s2 3 + | 4133 24 ++ ss | (3/2)s s2+4| s8s2 3 + |2s 0 Este es un polinomio Hurwitz modificado W(s)=s2+4 Factor multiplicativo, Raíces en s1,2=+j2 y –j2, por lo que son simples. 4. Determine si las siguientes funciones son funciones reales positivas:

a) 48

6)( 2 +++

=ss

ssF

m1=6 n1=s m2=s2+4 n2=8s P(s)+Q(s)= 6+s + 482 ++ ss = s2+9s+10 m(s)=s2+10 n(s)=9s 9s| s2+10|(1/9)s 10|9s|(9/10)s

0 Si es Hurwitz m1=6 m2=8s

n1=s n2=8s A(w^2)=m1m2-n1n2=6s2-8s2+24 Cuando s=jw A(w^2)=2w2+24>=0 Por lo que si es una función real positiva

b) 12

4)( 2 +++

=ss

ssF

polos: (s+1)(s+1) repetidos Hay que comprobar P(s)=Q(s)=s+4+s^2+2s+1=s^2+3s+5 m(s)=s^2+5 n(s)=3s 3s|s^2+5|s/3 5|3s| (3/5)s 0 m1=4 m2=s^2+1 n1=s n2=2s A(w^2)=4s^2+4+2s^2 S=jw -2w^2+4>=0, por lo tanto no es FRP w^2<=2

c) 4695)( 2

2

++++

=sssssF

ceros

2115 j±− polos ( 206 ±− )/2

P(s)+Q(s)= 131124695 222 ++=+++++ ssssss

132)( 2 += ssm ssn 11)( =

Verificar si es hurwitz 11s | 132 2 +s | (2/11)s 13 | 11 s | (11/13)s 0 Si es Hurwitz

921 += sm 42

2 += sm sn 51 = sn 51 =

A(w^2)= )9( 2 +s )4( 2 +s - )5( s (6s) A(w^2)= 3617303613 24224 +−=−++ sssss Sustituir s por jw S2(s2-17)+36 -w2(-w2-17)+36 w4+17w2+36 Todos valores positivos, A(w^2) >0 para todo valor de w, si es FRP

d) 43252)( 2

2

++++

=sssssF

ceros= 241 j±−

polos= 2

73 j±−

P(s)+Q(s)= 295243252 222 ++=+++++ ssssss m(s)=2s2+29 n(s)=5s Dividir para ver si es Hurwitz 5s | 2s2+29 | (2/5)s 29| 5s| (5/29)s

0 Si es Estrictamente Hurwitz

2521 += sm 42

2 += sm sn 21 = sn 32 =

A(w^2) = )25( 2 +s )4( 2 +s - )3( s )2( s A(w^2)= 100)23(10023 2224 ++=++ ssss

Sustituir s por jw A(w^2) = -(w^2)((-w^2)+23)+100= w^4-23w^2+100= w^2(w^2-23)+100 Cuando w^2 sea menor que 23 y la suma sea negativa y menor de 100, A(w^2) será menor que cero, por lo que no es una FRP

e) 122

2)( 23

23

−−+−+

=sss

sssF

Faltan coeficientes Se divide entre s-1 s-1| 223 −+ ss | 222 ++ ss s-1| 122 23 −−+ sss | 132 ++ ss

)1(13)1(22)( 2

2

−++−++

=sssssssF

P(s)+Q(s)= 3521322 222 ++=+++++ ssssss m= 2s^2+3 n=5s Determinar si es Hurwitz 5s|2s2+3|(2/5)s 3 |5s| (5/3)s 0 Si es estrictamente Hurwitz

221 += sm 12

2 += sm sn 21 = sn 32 =

A(w^2)=( )22 +s )1( 2 +s -3s*2s = s4-3s2+2 =(s2-1)(s2-2) Evaluar para s=jw (-w2-1)(-w2-2)=(w2+1)(w2+2), Entonces A(w^2) si será mayor que cero para toda w, por lo que si es FRP 2.10 1. Obtenga La impedancia de salida del siguiente circuito LC dado y verifique las

propiedades de una función LC

ssss

ss

s 123/1

2)13(+

++

+

1 1

2 3

f,h

Z(s)

=15

/15262

3

++++

sssss

Z(s)= ssss+

++3

24

5176

Verificar propiedades: 1. si es polinomio par sobre impar 2. Verificar si numerador y denominador son Hurwitz 6s^4+7s^2+1 derivada 24s3+14^s

sssss246|176|1424 243 +++

ssss748|1424|1

27 32 ++

10049|1

27|)7/50( 2 sss +

1|(50/7)s|(50/7)s 0 Si es Hurwitz Y el otro? 5s^3+s derivada 15s^2+1

ssss )15/5(|5|115 32 ++ sss )2/45(|115|)3/2( 2 +

0

)3/2(|)3/2(|1 ss

Tambien es Hurwitz, Polo en el origen, y están alternados.

2. Obtenga la admitancia del circuito LC dado y verifique las propiedades de una

función LC

f,h

Y(s)

1

11

1/2 1/3

ss

s

sss

sss

233

3

))(3( 2

+

+=

++

+

2

32

23

6103

2/332

ss

ss

ssss

s +

++=

++

++

)23(

)23

10(3)( 2

24

ss

sssY

+

++=

Algunas de las propiedades: 1. Es polinomio par sobre impar 2. El más cercano al origen es un polo 3.Mas alta y mas baja potencia no difieren en mas de 1 Polos y ceros simples Polos : s=0 S= 2/3j± 3. Sintetize cuatro redes (2 de Foster y 2 de Cauer) que presenten la impedancia dada

)10)(6()8)(3(10)( 22

22

++++

=ssssssZ

Impedancia LC 1a. De Foster

102

62

24,3

22,10

++

++=

sK

sK

sKZLC

)10)(6()8)(3(10

22

22

0 ++++

=ssssK | s=0 =4

)6)(6()8)(3(10

2

22

2,1 jsssssK−+++

= | s =-jraiz de 6 = 5/4

)6)(6()8)(3(10

22

22

2, jsssssK−+++

= | =7/4

104

14

64

104

22 ++

++=

sssZLC

1/4 f10/24

4/10 f

14/4 f 14/40 h

2a. de Foster

240110106016

)8)(3(10)10)(6()( 24

35

22

22

++++

=++++

=ss

sssssssssY

Es función impropia

Y(s)=101

82

32

22

++

+ sks

sks

K1= 100/21|)8)(3(

)10)(6(1.032

22

=+−++

−= jssjssss

K2= 25/1|)3)(8(

)10)(6(1.082

22

=+−++

−= jssjssss

100/42 h25/2 h

7/50 f 1/100 f

1. De cauer

Y(s)=24011010

601624

35

++++ss

sss

24011010 24 ++ ss | sss 6016 35 ++ |(s/10) Y=sC

5s3+36s| 24011010 24 ++ ss |2s Z=sL 38s2+240|5s3+36s|(5s/38) Y sC (84s/19)| 38s2+240| (361/42) Z sL 240| (84s/19)|(7/380)s Y=sC

1/10

2

5/38

361/42

7/380

2. de Cauer

Y(s)= 42

53

101102401660

sssss

++++

42 10110240 ss ++ |60+16s3+s5| (1/4)s

-(23/2)s^3-(3/2)s^5 Los signos son negativos para continuar hay que usar Z(s)

Z(s)= 53

42

166010110240sssss

++++

531660 sss ++ | 42 10110240 ss ++ |(4/s) Z1= (1/sc)

46s2+6s4| 531660 sss ++ |(60/46s) Y2= (1/sL) (188/23)s3+s5|46s2+6s4|| (529/94s) Z3=(1/sc) (35s4/94)| (188/23)s3+s5|(17672/8055s) Y4=1/sL s5|(35s4/94)|(35/94s) Z5=(1/sc)

1/4

46/60

94/529

805/17672

94/35

4. Obtenga la impedancia del circuito RC dado y verifique las propiedades de una función ZRC

4 3

1 1/2 Z(s)

)1(323

123

)1)(23(

++

=++

+

sss

ss

ss Capacitor (1/2) en serie con resistencias 3 ohms, y este arreglo

en paralelo con capacitor 1

)1(321512

)1(3)1(12234

)1(323)(

2

+++

=+

+++=+

++

=ssss

sssss

ssssZ

Hay un polo en el origen, los polos y ceros en el eje real negativo, alternados Polos S=0 S=-1 Ceros S= -0.304 y –2.196 expansión en fracciones parciales

++=

1)3/1( 10

sK

sKZRC

5. Obtenga la admitancia del circuito RL mostrado y verifique las propiedades de una

función YRL

1 1

1

1/3 1/2 Y(s)

323

/311)1)(/31(

++

=++

+ss

ss

Y(s)=)32(

6103/2132

3 2

+++

=++++

sssss

ss

Verificar propiedades Polos: s=0, s=-1.5 Ceros s= -0.78, s=-2.54

Más cercano al origen es un polo, polos y ceros están en el eje real negativo, están alternados. 6. Sintetize cuatro redes (2 de Foster y 2 de Cauer) que presenten la impedancia dada

)6()9)(3(2)(

+++

=sssssZ

sssssZ6

54242)( 2

2

+++

=

Polo en el origen entonces es impedancia RC 1. forma de Foster

61

++=sK

sKoZRC

96/54|6

)9)(3(20 ==

+++

= =ssssKo

36/18|)9)(3(261 ==

++= −=ss

ssK

F(s) = 9/s + 9/(s+6)

1/9 f

0.5

1/3 f

2. de foster cercano al origen 0, alternados

92

3/ 1

++

++=

sK

sK

sKosYRC se recurre al artificio de dividir entre s

0|)9)(3(2

)6(00 =

+++

= −=sssssK

25.0|)9(2)6(

31 =++

= −=sssssK

25.0|)3(2)6(

92 =++

= −=sssssK

((1/4)s)/(s+3) +((1/4)s)/(s+9)

Yrc

4 4

1/121/36

1. de Cauer

sssssZ6

54242)( 2

2

+++

=

ss 62 + | 54242 2 ++ ss | 2 Z1=R

12s+54| ss 62 + | (1/12)s Y2= sC (3/2)s| 12s+54 | 8 Z3=R3 54|(3/2)s|(1/36)s Y4=sC 0 Segunda de Cauer

2

2

622454)(

sssssZ

+++

=

26 ss + | 222454 ss ++ |9 (1/s) Z1= 1/sC

15s+2s2| 26 ss + | 6/15 Y2=1/R (1/5)s2|15s+2s2| 75(1/s) Z3= 1/sC 2s2|(1/5)s2| 1/10 Y4=1/R

1/9

15/6

1/75

10

7. Obtenga la impedancia del circuito RL mostrado y verifique las propiedades de una

función ZRL

4

2

5

3

Z(s)

39

)103

23(20

29320122

453)4)(53()(

22

+

++=+

++

=+++

+=

s

ss

sss

sssssZ

Verificar propiedades: Polo s=-1/3 Ceros por formula general se obtiene s=-0.238, s=-1.262 Están en el eje real negativo y estan alternados, lo mas cercano al origen es un cero 8. Obtenga la admitancia del circuito RC mostrado y verifique las propiedades de una

función YRC

1

1 1 1 2 Y(s)

1233

122121

112)1)(12()(

2

+

++=++

++

=++++

+=

s

sss

sss

sssY

polos s=-1 ceros por formula general se obtuvo: s=-0.633, s=-2.36 Propiedades: En el eje real negativo, alternados, más cerca del origen hay un cero. 9. Sintetize cuatro redes (2 de Foster y 2 de Cauer) que presenten la impedancia dada

)20)(6()10(3)(

+++

=ss

sssZ

En el origen hay un cero, es impedancia RL 1. de foster

sKo

ssK

ssKZRL +

++

+=

20621

sssssssZ

)20)(6()10(3/)(

+++

=

Ko=0

K1= 21/18|)20()10(3

6=++

−=sssss

K2= 7/15|)6()10(3

20=++

−=sssss

sss

ssZRL

020

)7/15(6

)21/18(+

++

+=

18/21 15/7Z(s)

1/7 3/28

Segunda de foster

No se puede con impedancia, debe usarse la admitancia

F(s)= 10+

+sk

sko

Ko=((0.33)(s+6)(s+20))/(s+10)= 4 K=((0.33)(s+6)(s+20))/s =4/3 Y(s)= 4/s+ (4/3)/(s+10)

1/4 h

4/3 h

15/2

Y(s)

primera de Cauer Con la impedancia nos dan residuos negativos, tendrá que usarse la admitancia

30312026)( 2

2

+++

=ssssY

303 2 +s | 120262 ++ ss |(1/3) Y1=1/R 16s+20| 303 2 +s |(3/16)s Z2=sL (105/4)s|16s+20| (64/105) Y3=1/R 20 |(105/4) s |(21/16)s Z4=sL

3105/64

3/16 21/16

h, ohms

segunda de Cauer

2

2

33026120)(sssssY

+++

=

2330 ss + | 226120 ss ++ | 4(1/s) Y=1/sL

14s+s2| 2330 ss + |(30/14) Z=R (6/7)s2|14s+s2| (49/(3s) Y=1/sL

s2|(6/7)s2| 6/7 Z=R 0

1/4 h

30/14 ohm

3/49 h

6/7 ohm

10. Sintetize una red cuya impedancia sea:

465)(

2

+++

=ssssZ

Lo mas cercano al origen es un cero, no estan intercalados, lo que lleva a pensar que es RLC Se intenta resolver S+4|s2+5s+6|s+1 2 F(s)= s+1+(2/(s+4))

1h 1 ohm

1/2 f

1/2 ohm

11. Sintetize una red cuya admitancia sea:

1324)( 2

2

++++

=sssssY

ceros: s=-3.4 s=-0.58 polos: s=-0.3819 s= -2.618 por formula general

Lo mas cercano al origen es un polo, estan intercalados S2 + 3s +1 |s2 + 4s + 2 |1 S+2

Y(s)=1+)6.2)(3819.0(

2++

+ss

s

K1= 2763.0|)3819.0(

2618.2 =

++

−−=sss

K2= 7236.0|)618.2(

23819.0 =

++

−−−=sss

618.27236.0

3819.02763.01)(

++

++=

sssY

1 ohm

1.38 3.61

3.6 h 1.38 h

12. Sintetize una red cuya impedancia sea:

)3)(2)(1(39126)(

234

+++++++

=sssssssssZ

No obtuve resultados, por metodos de Cauer, ni de Foster