Análisis en la variación de esfuerzos efectivos para distintas geometrías de ... · 2018-12-05 · Análisis en la variación de esfuerzos efectivos para distintas geometrías

Análisis en la variación de esfuerzos

efectivos para distintas geometrías de

taludes por efectos de �ltraciones de agua

por

Sebastián Camacho Orozco

Andrés Francisco Garzón González

Trabajo de grado presentado a la

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Civil

Ponti�cia Universidad Javeriana

como requisito parcial para optar al título de

Ingenieros Civiles

Bogotá, Colombia, Diciembre 9 de 2014.

Aprobado por

Doctor Alfonso Mariano Ramos Cañón.

Instituto Geofísico Ponti�cia Universidad Javeriana.

Asesor 1

Doctor Jorge Alberto Escobar Vargas.

Departamento de Ingeniería Civil Ponti�cia Universidad Javeriana.

Asesor 2

Joan Manuel Larrahondo


Jurado 1

Camilo Torres


Jurado 2

Aprobado en Bogotá, el día 01 de Diciembre de 2014.

Prefacio de los autores

El presente trabajo de grado desarrolla un aporte en el área de la geotecnia y en la

modelación de los elementos �nitos en el software Abaqus para mostrar varios factores o

pesos geomorfológicos que condicionan la susceptibilidad a deslizamientos en taludes.

Queremos agradecer a los doctores Alfonso Mariano Ramos Cañón y Jorge Alberto Es-

cobar Vargas por el tiempo dedicado y sus aportes para la realización del presente trabajo.

Además a todos los ingenieros y profesores que aportaron en nosotros un grano de arena

para nuestra continua formación moral y profesional.

Finalmente, queremos dedicar este trabajo a nuestros padres, familiares y a Dios por la

con�anza y el apoyo incondicional brindado en esta etapa de nuestras vidas.

Sebastián Camacho Orozco & Andrés Francisco Garzón González.

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Descripción del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Herramientas computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Marco de referencia 4

2.1. Marco teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1. Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2. Elastoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3. Flujo en medio poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.4. Suelos saturados y parcialmente saturados . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Marco de antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Modelación computacional 35

3.1. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1. Geometría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.2. Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Propiedades del modelo constitutivo elasto plástico. . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Modelo succión-humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1. Control del enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.2. Re�namiento de enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.3. Veri�cación del enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Resultados 49

4.1. Esfuerzos totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2. Esfuerzos efectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1. Variación de los contornos de los esfuerzos efectivos . . . . . . . . . . 52

4.2.2. Indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones . . . . . . 65

iv

Índice general v

5. Análisis y discusiones de resultados 74

5.1. Variación de los contornos de esfuerzos y deformaciones por corte . . . . . . 74

5.2. Variación de los indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones . 76

5.3. Valores de estabilidad para grados de susceptibilidad frente a deslizamiento 81

6. Conclusiones 85

7. Resumen y perspectivas 87

7.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2. Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Bibliography 89

Índice de �guras

2.1. Estado de esfuerzos tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Super�cie de �uencia Von Mises-Tresca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Endurecimiento y ablandamiento en la super�cie de �uencia. . . . . . . . . . 9

2.4. Tipos de relación de esfuerzo-deformación en modelos elasto-plásticos. . . . 9

2.5. Criterio de falla de Mohr Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6. Super�cie de �uencia del modelo constitutivo Mohr Coulomb en el software

Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7. (a) Plano Meridional (b) Plano Desviador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.8. Ensayo edométrico realizado en el software Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . 16

2.9. Plano Meridional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.10. Super�cie del potencial plástico del modelo constitutivo Mohr Coulomb en

el software Abaqus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.11. Control de la excentricidad desviadora (e) en el plano Desviador. . . . . . . 18

2.12. Variación de la presión de con�namiento (Ensayo triaxial). . . . . . . . . . . 19

2.13. Evolución de la cohesión de material en un ensayo elemental tipo edométrico. 20

2.14. Opción para insertar varias cohesiones en Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.15. Variación de la deformación plástica en un ensayo elemental tipo edométrico. 21

2.16. Opción para insertar varias deformaciones plásticas para el endurecimiento

isotrópico en modelo Morh Coulomb en Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.17. Flujo estacionario no viscoso e incompresible. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.18. De�nición de pérdida de cabeza y gradiente hidráulico. . . . . . . . . . . . . 24

2.19. Zona de suelos saturados y parcialmente saturados. . . . . . . . . . . . . . . 26

2.20. Curva característica de succión en el suelo donde se encuentra las diferentes

etapas de saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.21. Efecto de la histéresis por procesos de humedecimiento y secado. . . . . . . 30

2.22. (a) Esquema conceptual de la histéresis en la curva característica, (b) Efecto

del ángulo de contacto, y (c) Efecto ink bottle como mecánismo potencial de

la histéresis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.23. Esfuerzos que actúan en la fase sólida y líquida en un suelo saturado. . . . . 31

vi

Índice de �guras vii

2.24. Variación en planta (A) Curvaturas convexas, divergencia del �ujo y (B)

Curvaturas cóncavas, convergencia del �ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.25. Nueve posibles formas de taludes en tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . 33

2.26. Vectores de fuerza en (A) Per�l recto; (B) Per�l convexo; (C) Per�l cóncavo;

(D) Per�l convexo-cóncavo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1. Nueve posibles combinaciones de geoformas en taludes de tres dimensiones. 35

3.2. Dimensiones de�nidas del talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Análisis paramétrico en las longitudes de la corona y pata del talud. . . . . 37

3.4. Condiciones iniciales del talud en Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5. Comparación de los esfuerzos iniciales obtenidos por Abaqus con la literatura. 39

3.6. Condiciones de frontera del �ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7. Curva característica en estado de humedecimiento según Van Genuchten

(1980)s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8. Mapa conceptual para la conformación del enmallado. . . . . . . . . . . . . 42

3.9. Formas de los elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.10. Técnicas de enmallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.11. Isolíneas de esfuerzos cortantes (τ12) en una malla gruesa. . . . . . . . . . . 44

3.12. Isolíneas de esfuerzos cortantes (τ12) en una malla re�nada . . . . . . . . . . 44

3.13. Opciones de tendencia en el re�namiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.14. Criterio de tamaño y forma de los elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.15. Metodología de diseño del enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.16. Malla de�nitiva en el modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.17. Datos estadísticos del criterio de selección de la malla en el modelo 1. . . . . 48

4.1. Ubicación de las líneas de análsis en la componente (Y)) . . . . . . . . . . . 49

4.2. Distribución de esfuerzos totales bajo la corona del talud en el plano (XY)

(profundidad 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3. Distribución de esfuerzos totales en pendiente del talud en el plano (XY)

(profundidad 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4. Contornos de los esfuerzos totales geostáticos (σ22) . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5. Distribución del nivel de saturación en modelos rectos en planta. . . . . . . 53

4.6. Distribución del máximo esfuerzo efectivos en modelos rectos en planta. . . 54

4.7. Distribución del nivel de saturación en modelos convexos en planta. . . . . . 54

4.8. Distribución del máximo esfuerzo efectivos principal en modelos convexos en

planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.9. Distribución del nivel de saturación en modelos cóncavos en planta. . . . . . 55

4.10. Distribución del máximo esfuerzo efectivos principal en modelos cóncavos en

planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

viii Índice de �guras

4.11. Comportamiento de las direcciones de las líneas de �ujo en distintas geofor-

mas en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.12. Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación recta

en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.13. Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación con-

vexa en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.14. Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación cón-

cava en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.15. Localización de las líneas de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.16. Variación de los esfuerzos efectivos principales horizontales σ11 en la super-

�cie de la cara y pata del talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60





4.19. Variación de las deformaciones máximas axiales ε en la super�cie de la cara

y pata del talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.20. Variación de las presiones de poros uw en la super�cie de la cara y pata del

talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.21. Ubicación de las líneas de análisis respecto la profundidad (componente (Y)) 63

4.22. Distribución de los esfuerzos cortantes (τ12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.23. Distribución de deformaciones cortantes (ε12) . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.24. Escarpes en modelos concavos (modelo 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.25. áreas de los contornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.26. Indicadores de concentraciones de esfuerzos y deformaciones en cada modelo 67

4.27. Histogramas de análisis de frecuencia de esfuerzos Von Mises J2 de los modelos. 69

4.28. Histogramas de análisis de frecuencia de esfuerzos efectivos máximos σ′maxde los modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.29. Histogramas de análisis de frecuencia de deformaciones axiales máximas εmaxde los modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1. Variación porcentual de los esfuerzos máximos al corte (τ12). . . . . . . . . . 75

5.2. Variación porcentual de las deformaciones cortantes (ε12). . . . . . . . . . . 76

5.3. Variación porcentual de los esfuerzos efectivos máximos (σ′max) (kPa). . . . 78

5.4. Variación porcentual de los esfuerzos Von Mises (J2) (kPa) . . . . . . . . . . 79

5.5. Variación porcentual de ladeformación axial máxima (εmax). . . . . . . . . . 79

5.6. Variación porcentual de los esfuerzos efectivos máximos(σ′max) (kPa) calcu-

lado por medio del análisis de frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Índice de tablas

3.1. Dimensiones de�nidas del talud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Propiedades índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Parámetros de resistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Parámetros de van Genuchten de una arena limosa. . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5. Valores de la curva característica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6. Valores de la curva característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1. Indicadores de concentraciones de esfuerzos y deformaciones . . . . . . . . . 67

4.2. Parámetros estadísticos en el esfuerzos Von Mises (J2) (kPa) . . . . . . . . . 73

4.3. Parámetros estadísticos en el esfuerzos efectivo máximo (kPa) . . . . . . . . 73

4.4. Parámetros estadísticos en la deformación máxima axial (%) . . . . . . . . 73

5.1. Valores de esfuerzos cortantes (τ12) con su respectiva variación porcentual

hallados por los contornos de esfuerzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2. Valores de deformaciones cortantes ε12 con su respectiva variación porcentual

hallados por los contornos de deformación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3. Valores de esfuerzos efectivos máximos (σ′max) con su respectiva variación

porcentual hallados por medio de los indicadores de concentración de esfuerzo. 77

5.4. Valores de esfuerzos Von Mises (J2) con su respectiva variación porcentual

hallados por medio de los indicadores de concentración de esfuerzo. . . . . . 77

5.5. Valores deformación axial máxima (εmax) con su respectiva variación por-

centual hallados por medio de los indicadores de concentración de deformación. 78

5.6. Valores de esfuerzos efectivos máximos (σ′max) con su respectiva variación

porcentual hallados por medio del análisis de frecuencia. . . . . . . . . . . . 80

5.7. Valores de estabilidad del factor geomorfológico en taludes de dos dimensiones 81

5.8. Valores de estabilidad en términos de los esfuerzos cortantes (τ12). . . . . . 82

5.9. Valores de estabilidad en términos de deformaciones cortantes (ε12) . . . . . 82

5.10. Valores de estabilidad en términos esfuerzos efectivos máximos (σ′max). . . . 83

5.11. Valores de estabilidad en términos del esfuerzo Von Mises (J2) . . . . . . . . 83

5.12. Valores de estabilidad en términos de deformación axial máxima (εmax). . . 83

ix

Índice de tablas

5.13. Valores propuestos de estabilidad en términos de los esfuerzos cortantes (τ12). 84

1

Capítulo 1

Introducción

Los continuos deslizamientos dejan importantes pérdidas económicas, vidas humanas y

daños en la infraestructura impidiendo el desarrollo de una región. En Colombia, las zo-

nas más propensas a deslizamientos se encuentran en la cadena montañosa de la cordillera

de los Andes debido a sus condiciones topográ�cas, geológicas e hidrológicas (Boroschek

and Domb, 2007). Estos deslizamientos ocupan el 16% de la super�cie nacional, es decir

19'137,239 hectáreas aproximadamente (Mantilla et al., 2001). Cabe resaltar que en los úl-

timos 30 años se han registrado cerca de 28.258 muertes y más de 2,300 millones de dólares

en pérdidas a causa de estos eventos (Cardona et al., 2004). Para mitigar los deslizamientos,

se debe partir de la interpretación y el conocimiento de los factores geológicos, geotécnicos,

geomorfológicos e hidrogeológicos de la zona de estudio con el �n de relacionarlos con las

causas que contribuyen y detonan el movimiento, dando como resultado la identi�cación

del mecanismo de falla asociado a unas consecuencias del evento (Rodríguez, 2014).

Varios autores han investigado cómo la geomorfología condiciona la estabilidad de los

taludes. Reid and Iverson (1992) establecen varias condiciones de frontera en taludes de dos

dimensiones donde se a�rma la in�uencia de la geomorfología en la respuesta hidrológica

y la variación de los esfuerzos efectivos en el cuerpo del talud, mostrando la concentración

de líneas de corriente y de esfuerzos para diferentes tipos de geoformas propuestas en el

artículo de Dietrich and Perron (2006).

Las investigaciones sobre los factores asociados a las condiciones geomorfológicas co-

mo describe Carvajal (2004), se dividen en tres términos: morfogenéticos, morfométricos y

morfodinámicos.

El presente trabajo contribuye al entendimiento de la in�uencia de la geomorfología en

la estabilidad de un talud, con el �n de observar las variaciones de los esfuerzos efectivos

1

Capítulo 1. Introducción

en 9 distintas geometrías combinando su vista en planta y per�l en tres dimensiones de

una manera morfométrica estandarizando medidas de altura, curvatura, longitud, forma y

pendiente en cada una de las distintas geometrías (Carvajal, 2004) a través de un análisis

de elementos �nitos.

Para llevarlo a cabo, el trabajo está dividido en dos partes. La primera parte es la

conformación de los taludes en su condición geostática seleccionando parámetros de re-

sistencia y propiedades indicativas del suelo que especi�can su peso unitario, relación de

vacíos, saturación y porosidad. Además, unas condiciones de drenaje bajo un coe�ciente

de permeabilidad especí�co y posicionamiento del nivel freático (Carvajal, 2004). Para ello

se de�ne un modelo constitutivo elasto-plástico (propuesto por Mohr-Coulomb) que per-

mita relacionar esfuerzos y deformaciones tanto plásticas como elásticas. La segunda parte

consiste en la modelación con presencia del nivel freático en cada talud, por medio de las

ecuaciones de Darcy y Bernoulli para observar la incidencia de la geometría del talud res-

pecto a la variación de esfuerzos, los cuales dependen de la trayectoria del �ujo de agua en

el cuerpo del talud.

1.1. Objetivos

General

Determinar la in�uencia de la geometría de un talud en la generación de esfuerzos

efectivos debido a la �ltración.

Especí�cos

Calcular las distribuciones de esfuerzos totales en el cuerpo del talud para cada geo-

metría.

Calcular la distribución de presión de poros en el cuerpo del talud con cada geometría.

1.2. Descripción del documento

El presente trabajo de grado está constituido por 7 capítulos que logran abordar la

problemática cumpliendo con los objetivos propuestos.

El primer capítulo presenta la introducción del problema abordando la importancia del

proyecto, el segundo capítulo contiene la teoría y las formulaciones matemáticas utilizadas

en el trabajo explicando el modelo constitutivo, la teoría de la elasticidad y la plasticidad.

Por último, la teoría acerca del �ujo en medios porosos teniendo en cuenta suelos saturados

2

1.3. Herramientas computacionales

y parcialmente saturados.

En el capítulo 4 se describe el procedimiento que se llevo a cabo para conformar los

taludes en tres dimensiones en el programa Abaqus y las consideraciones que se tuvieron

en cuenta.

Los últimos capítulos presentan los resultados obtenidos, los análisis y discusiones del

trabajo llegando a unas conclusiones y perspectivas del trabajo.

1.3. Herramientas computacionales

Para el desarrollo del presente trabajo se utilizó el software Abaqus CAE (siendo CAE

acrónimo de Complete Abaqus Environment), el cual utiliza el método de elementos �nitos

que permite la aproximación de soluciones de problemas físicos partiendo de un modelo

constitutivo. En este caso se seleccionó un modelo constitutivo elasto-plástico.

Para la realización del preprocesamiento se de�ne la condiciones de contorno de las 9

geometrías, conformación del enmallado y la asignación de las propiedades de la modelación

constitutiva. El postprocesamiento es la visualización de los resultados a través de contornos

o isolíneas que representan el estado de esfuerzos y deformaciones del talud.

3

Capítulo 2

Marco de referencia

2.1. Marco teórico

Los modelos constitutivos son formulaciones matemáticas que buscan explicar diferen-

tes procesos físicos como los esfuerzos y las deformaciones que se presentan en la mecánica

de materiales. Por ejemplo, los geomateriales que están sometidos a cargas y descargas por

causa de excavaciones, cargas repetidas de trá�co, por procesos constructivos y en la esta-

bilidad de taludes causando esfuerzos y deformaciones inelásticas y anisotrópicas en el suelo.

Para explicar el comportamiento de los materiales se han creado distintass relaciones

constitutivas que intentan aproximarse al comportamiento real del suelo como la elasticidad,

la plasticidad, la elasto plasticidad y la visco elasticidad. En este proyecto se seleccionó un

modelo elasto-plástico Mohr Coulomb implementado en un análisis de elementos �nitos en

el software Abaqus CAE (Simulia, 2002).

2.1.1. Elasticidad

La elasticidad perfecta está asociada a la recuperación de la forma inicial en que se

encuentra un material después de ser sometido a esfuerzos a tensión y compresión. Las in-

vestigaciones sobre la teoría de la elasticidad se desarrollan por la ley que aportó el cientí�co

Robert Hooke siendo uno de los pioneros en observar y analizar el comportamiento elástico

de los materiales. Hooke sometió un resorte a distintas fuerzas axiales que generaban un

desplazamiento y así, observó que los desplazamientos son directamente proporcionales a

las fuerzas sometidas generando una relación lineal entre ellos.

Los esfuerzos y deformaciones para aplicaciones geotécnicas se deben establecer por

medio de tensores que representan el estado de esfuerzos y deformaciones del material en sus

tres direcciones. La ecuación 2.1 es el tensor de esfuerzos que expresa los esfuerzos normales,

4

2.1. Marco teórico

es decir los aplicados perpendicularmente en cada una de las caras del paralelepípedo. Los

esfuerzos cortantes son los esfuerzos aplicados tangencialmente en cada una de las caras

del paralelepípedo como se observa en la Figura 2.1 (Helwany, 2007), (Starovoitov and

Naghiyev, 2012).

σ11 τ12 τ13

τ21 σ22 τ23

τ31 τ32 σ33

(2.1)

Figura 2.1: Estado de esfuerzos tridimensional.(Helwany, 2007)

Se considera el geomaterial con un comportamiento lineal elástico e isotrópico. La re-

lación esfuerzo-deformación está de�nida por el módulo de Elasticidad (E ), la relación de

Poisson (ν) y el módulo de Cortante (G) para esfuerzos axiales (σ) y cortantes (τ) someti-

dos en el cuerpo, donde el módulo Cortante (G) está en función de (E ) y (ν) de�nida como

(2G = E/(1 + ν)) y se observa en la ecuación 2.2 (Helwany, 2007):

ε11

ε22

ε33

ε12

ε13

ε23

=

1/E −ν/E −ν/E 0 0 0

−ν/E 1/E −ν/E 0 0 0

−ν/E −ν/E 1/E 0 0 0

0 0 0 1/2G 0 0

0 0 0 0 1/2G 0

0 0 0 0 0 1/2G

·

σ11

σ22

σ33

τ12

τ13

τ23

(2.2)

5

Capítulo 2. Marco de referencia

2.1.2. Elastoplasticidad

Cuando un material está sometido a una carga y sus deformaciones son recuperables,

se considera que el material se encuentra en su rango elástico. Por otro lado, sí las defor-

maciones son irreversibles y permanentes, el material se encuentra en su rango plástico. La

ley de Hooke no permite estimar dichas deformaciones plásticas (Helwany, 2007). Para ello,

es necesario utilizar la teoría de la plasticidad y modelos elasto-plásticos formulados en la

mecánica del medio continuo. Los modelos elasto-plásticos se centran en tres formulaciones

para relacionar esfuerzos y deformaciones tanto elásticas como plásticas.

Ley de �uencia: Establece un criterio para de�nir el estado elástico o plástico en

que se encuentra el material por medio de una función, la cual está de�nida por los

estados e invariantes de esfuerzos.

Ley de �ujo: Establece la magnitud y dirección de las deformaciones en una plas-

ticidad asociada y no asociada. Lo anterior indica normalidad o no normalidad, res-

pectivamente.

Ley de endurecimiento: De�ne el comportamiento ductil o frágil del material al

momento de un incremento de carga.

Según la ley de �uencia, todo estado de esfuerzos de una masa de suelo se encuentra dentro

o sobre una super�cie llamada la Super�cie de Fluencia. La super�cie se representa con los

esfuerzos principales del tensor de esfuerzos (σI , σII , σIII). Cuando los estados de esfuerzos

principales están dentro de la super�cie sin tocarla, el material se encuentra en su rango

elástico, en cambio si algún estado de esfuerzo está sobre la super�cie de �uencia, el material

tiende a �uir generando deformaciones plásticas. En la Figura 2.2 se puede observar que

el estado de esfuerzos en el punto (P* ) está en su rango elástico, en cambio el punto (P)

está en su rango plástico.

Figura 2.2: Super�cie de �uencia Von Mises-Tresca.(Ramos, 2014)

6

2.1. Marco teórico

Las super�cies de �uencia son formulaciones matemáticas que varían dependiendo el

modelo constitutivo estudiado. Estas formulaciones están en función de los estados de es-

fuerzos, como lo es la función de �uencia del criterio de falla Mohr Coulomb (Pietruszczak,

2010) que sale en la ecuación 2.3.

F =1

2· (σ1 − σ3) +

1

2(σ1 + σ3) · sinφ− c · cosφ (2.3)

donde

c = Cohesión del material.

φ = Ángulo de fricción del material.

σ3= Esfuerzo principal mayor.

σ1= Esfuerzo principal menor.

La función de �uencia da un resultado numérico, el cual de�ne, si el material está en

su estado elástico o plástico. Cuando la función es menor a cero, indica que el material se

encuentra en un rango elástico como se observa en la ecuación 2.4 y si es igual a cero,

indica que el material está en su rango plástico presente en la ecuación 2.5.

F (σij) < 0 (2.4)

F (σij) = 0 (2.5)

El tensor de esfuerzos se puede descomponer en dos partes: el tensor desviador (Sij), el

cual está ubicado en la línea NP de la super�cie de �uencia de la Figura 2.2 representado

de forma tensorial en la ecuación 2.6 y el tensor hidrostático, donde (p) es el esfuerzo

hidrostático presentado en la ecuación 2.6 (Helwany, 2007). Estas variables son importantes

en la mecánica del medio continuo ya que por un lado, el tensor desviador es aquel que

le permite al material �uir de un estado elástico a plástico. El esfuerzo hidrostático (p)

es conocido como la presión de con�namiento en que está sometido el material. La línea

ON de la Figura 2.2 es el eje hidrostático de la Super�cie de Fluencia el cual indica una

igualdad de los esfuerzos principales.σ11 τ12 τ13

τ21 σ22 τ23

τ31 τ32 σ33

=

S11 τ12 τ13

τ21 S22 τ23

τ31 τ32 S33

+

p 0 0

0 p 0

0 0 p

(2.6)

7


donde

p =J13

=σ11 + σ22 + σ33

3(2.7)

Las super�cies de �uencia se encuentran también en función de invariantes de esfuerzos,

donde los esfuerzos no varían al momento de un cambio de base en estado de esfuerzos.

Existen tres invariantes de esfuerzos (I1,I2,I3) que están en las ecuaciones 2.8, 2.9 y 2.10

respectivamente y otras tres, llamadas invariantes desviadoras (J1,J2,J3) que están en las

ecuaciones 2.11, 2.12 y 2.13 respectivamente (Helwany, 2007).

I1 = σ11 + σ22 + σ33 (2.8)

[I2

]=

[S11 τ12

τ21 S22

]+

[S22 τ23

τ32 S33

]+

[S11 τ13

τ31 S33

](2.9)

[I3

]=

σ11 τ12 τ13

τ21 σ22 τ23

τ31 τ32 σ33

(2.10)

J1 = I1 (2.11)

J2 =1

2· (I21 − 2I2) (2.12)

J3 =1

3· (I31 − 3I1I2 + 3I3) (2.13)

Por medio de las invariantes de esfuerzos se permite conformar super�cies de �uencia

que puedan aumentar o disminuir su forma. En un modelo elasto-plástico perfecto cuando

el estado de esfuerzos se encuentra sobre la super�cie, se genera �ujo y deformaciones

plásticas, pero la super�cie no evoluciona como se observa en la Figura 2.4, grá�ca B. En

un modelo elasto-plástico el cual le permita al material endurecerse y ablandarse por medio

de una ley de endurecimiento logrando un aumento y disminución en la forma, como se

observa en la Figura 2.4, grá�cas C y D. El modelo constitutivo utilizado en este proyecto

genera un endurecimiento isotrópico, es decir que en cualquier punto, la super�cie aumenta

en una misma proporción. En la Figura 2.3 se observa cómo evoluciona y disminuye la

super�cie de �uencia.

8

2.1. Marco teórico

Figura 2.3: Endurecimiento y ablandamiento en la super�cie de �uencia.(Minna, 2009)

Figura 2.4: Tipos de relación de esfuerzo-deformación en modelos elasto-plásticos.(Minna, 2009)

En términos de deformaciones, existen tensores de deformaciones e invariantes de de-

formación. El tensor de deformaciones se compone de deformaciones axiales (ε11, ε22, ε33),

y cortantes (ε12, ε21, ε31). Las deformaciones volumétricas (εv) son la suma de las defor-

maciones axiales (Helwany, 2007). Las deformaciones elásticas y plásticas en un modelo

elasto-plástico, están formuladas de manera incremental (ε̇) con el �n de aproximarse a un

comportamiento no lineal como se muestra en la Figura 2.4 y en la ecuación 2.15.

ε11 ε12 ε13

ε21 ε22 ε23

ε31 ε32 ε33

=

E11 ε12 ε13

ε21 E22 ε23

ε31 ε32 E33

+

εv/3 0 0

0 εv/3 0

0 0 εv/3

(2.14)

ε̇ = ε̇e + ε̇p (2.15)

9


La ley de �ujo en la teoría de la plasticidad ocurre al momento en que los estados

de esfuerzo se localizan sobre la super�cie de �uencia. Por medio de la ecuación 2.16 se

proporciona la magnitud y la dirección de los incrementos en las deformaciones plásticas

causadas por los incrementos de esfuerzos (Helwany, 2007).

ε̇p = λ · ∂G∂σ

(2.16)

El multiplicador plástico (λ), de�ne la magnitud de las deformaciones plásticas y el tipo

de comportamiento del material que de�ne, sí λ = 0, se establece un comportamiento neta-

mente elástico y para λ >0, se establece un comportamiento plástico (Leal et al., 2009). El

gradiente de la función (G) y el tensor de esfuerzos de�ne la dirección de las deformaciones

plásticas, donde la función (G) conforma una nueva super�cie, llamada potencial plástico.

Cuando la super�cie de �uencia y el potencial plástico son iguales, se genera una plasti-

cidad asociada estableciendo la ley de normalidad donde la dirección de las deformaciones

plásticas son normales a la super�cie de potencial plástico (Rodríguez, 2014).

En la ecuación 2.17 se de�ne la función del potencial plástico en un modelo constitutivo

Mohr Coulomb en una plasticidad no asociada (Leal et al., 2009).

G =1

2· (σ1 − σ3) +

1

2· (σ1 − σ3) · sinψ (2.17)

donde

ψ= Ángulo de dilatancia.

σ3= Esfuerzo principal mayor.

σ1= Esfuerzo principal menor.

2.1.2.1. Elastoplasticidad (Mohr Coulomb - Abaqus CAE)

El criterio de falla de Mohr Coulomb es un modelo constitutivo elasto-plástico el cual

está controlado por las leyes de �uencia, �ujo y endurecimiento.

Las formulaciones matemáticas del modelo constitutivo Mohr Coulomb están condicio-

nadas por las variables de estado, las cuales dependen del estado de esfuerzos y deformacio-

nes del material y los parámetros de estado. En este caso las variables de estado equivalen

a los esfuerzos principales y los parámetros a la cohesión (c) y el ángulo de fricción interno

del material (φ) (Ramos, 2014). Dichos parámetros y variables de estado logran conformar

una línea recta llamada la envolvente de �uencia en el plano (τ−σ), la cual es tangente al

10

2.1. Marco teórico

circulo de Mohr, como se evidencia en la Figura 2.5. Todo estado de esfuerzos tiende a

�uir de un estado elástico a uno plástico al momento que se encuentre sobre la envolvente

de �uencia, la cual representa la super�cie de �uencia vista en un plano (τ -σ) (Simulia,

2002). La formulación matemática de la envolvente de �uencia esta dada por la ecuación

2.18. De la ecuación 2.19 a la 2.24 se logra conformar la ecuación general del criterio de

falla Mohr Coulomb, presente en la ecuación 2.25 (Prada Sarmiento, 2013).

τ = c+ σn · tanφ (2.18)

donde

c= Cohesión del material.

τ= Esfuerzo Cortante.

σn = Esfuerzo normal.

φ = Ángulo de fricción.

Figura 2.5: Criterio de falla de Mohr Coulomb(NPTEL, 2000)

sinφ =R

(c · cotφ+ P )(2.19)

donde

P =(σ1 + σ3)

2(2.20)

11


R =(σ1 − σ3)

2(2.21)

se despeja la variable R (radio del circulo de Mohr).

R =c · cosφ

sinφ· sinφ+ p · sinφ (2.22)

R = c · cosφ+ p · sinφ (2.23)

La ecuación queda en términos de los esfuerzos principales.

(σ1 − σ3)2

= c · cosφ+(σ1 + σ3)

2· sinφ (2.24)

formando la ecuación general del criterio de falla Mohr coulomb.

[σmax − σmin

2]− [

σmax − σmin2

] · sin(φ)− c · cos(φ) = 0 (2.25)

El modelo constitutivo Mohr Coulomb que implementa el programa Abaqus tiene algu-

nos requerimientos y características que son importantes al momento de estudiar y utilizar

el modelo frente algún problema geotécnico (Hibbit, 1996). Estas características son:

Solo considera cargas monotónicas.

Los esfuerzos y deformaciones no dependen del tiempo.

El modelo tiene un rango netamente elástico, donde las deformaciones son recupera-

bles y un rango plástico, donde las deformaciones no son recuperables.

El material estudiado debe ser isotrópico.

La plasticidad también puede estar in�uenciada del esfuerzo medio del tensor de

esfuerzos.

El material se endurece y se ablanda isotrópicamente. El modelo no utiliza una ecua-

ción que controle el endurecimiento del material, sino que esta es controlada por el

usuario al asignarle la evolución de la cohesión con la deformación plástica.

El modelo tiene una plasticidad no asociada, donde la función de �uencia (F ) no es

igual a la función del potencial plástico (G).

La cohesión tiene dos funciones, la primera en la función de �uencia donde es el pará-

metro de resistencia del material, conocido por el modelo constitutivo Mohr Coulomb

12

2.1. Marco teórico

tradicional. La segunda en la función del potencial plástico, donde controla el esfuer-

zo de �uencia al momento que se genera deformaciones plásticas llamado (Cohesion

yield stress).

La formulación del criterio de falla de Mohr Coulomb que desarrolla Abaqus está en

función de tres invariantes de esfuerzos y parámetros de estado presentes en la ecuación

2.26. La ley de �uencia del modelo Mohr Coulomb está asociada a la función de �uencia,

conformando una super�cie de �uencia ubicada en las coordenadas Haigh-Westergaard, es

decir en términos de los esfuerzos principales como se muestra en la Figura 2.6. En la

Figura 2.7 se observa la envolvente de �uencia de Mohr Coulomb en el Plano Meridional

y la super�cie de �uencia en el Plano Desviador, donde la forma hexagonal de la super�cie

depende principalmente del ángulo de fricción (Hibbit, 1996).

F = Rmc · q − p · tanφ− c (2.26)

donde

F = Función de �uencia .

Rmc = Es una medida de la forma de la super�cie que está en función de ángulo de

Lode (θ) y el ángulo de fricción interno del material (φ) que está en la ecuación 2.27.

q = Es la segunda invariante de esfuerzos, donde Abaqus la nombra como el esfuerzo

equivalente Von Mises presente en la ecuación 2.31.

p = Esfuerzo hidrostático siendo la primera invariante de esfuerzos que esta en la

ecuación 2.29.

c = Cohesión del material.

φ = Ángulo de fricción interno del material.

Rmc(θ, φ) =1

(√

3 · cosφ)· sin(θ +

Π

3) +

1

3· cos(θ +

Π

3) · tanφ (2.27)

cos(3θ) =r3

q3(2.28)

donde

θ = Es el ángulo entre la trayectoria de esfuerzos del material y el esfuerzo principal

presente en la ecuación 2.28.

r = Es la tercera invariante de esfuerzos presente en la ecuación 2.32.

13


p =−(σ11 + σ22 + σ33)

3(2.29)

La invariante de esfuerzo equivalente Von Mises (q) y la tercera invariante (r), están

en función del esfuerzo desviador (Sij). En la ecuación 2.30 se expresa las variables en

términos de los tensores de esfuerzos.

σ = S− pI (2.30)

q =

√9

2· (S : S) (2.31)

r = [9

2· (S · S : S)]

13 (2.32)

Figura 2.6: Super�cie de �uencia del modelo constitutivo Mohr Coulomb en el softwareAbaqus.

Este modelo constitutivo se caracteriza por tener una plasticidad no asociada donde no

hay una igualdad entre la función de �uencia (F ) y del potencial plástico (G). La función

14

2.1. Marco teórico

Figura 2.7: (a) Plano Meridional (b) Plano Desviador.Hibbit (1996)

del potencial plástico de la ecuación 2.33 de�ne la dirección de las deformaciones plásticas

que son perpendiculares a la super�cie del potencial plástico como se observa en la Figura

2.10.

G =√

(E · c2 · tanψ))2 + (Rmw · q)− p · tanψ (2.33)

donde

E= Es la excentricidad meridional la cual controla la forma de la función (G) en el

plano meridional (Rwm-q) y se aproxima a la línea asintótica que se observa en la

Figura 2.9. El software Abaqus de�ne por defecto el parámetro (E=0.1). El plano me-

ridional representa un corte de la super�cie del potencial plástico, donde la dirección

de las deformaciones plásticas están perpendicular a la super�cie.

c2= Es la cohesión que controla el punto de �ujo del material (Cohesión yield Stress).

En la Figura 2.8 se observa una relación de esfuerzo-deformación de un ensayo elemen-

tal edométrico realizado en Abaqus. Se compararon diferentes simulaciones variando

la cohesión (sólo se insertó una sóla cohesión en cada simulación), para observar cómo

in�uía el esfuerzo de �uencia con diferente cohesión, donde se evidencia un aumento

del punto de �uencia a mayor magnitud de la cohesión. Este es un ensayo por de-

formación controlada y los parámetros de material fueron los siguientes (Helwany,

2007):( σ22 y ε22 es el esfuerzo y deformación vertical en la dirección y)

Carga 2.5% de deformación (0.0025 m)

Módulo de Elasticidad = 30000 kPa

Módulo de Poisson = 0.333

φ = 30◦

15


ψ = 5◦

Cohesion yield stress (Primer ensayo) = 5 kPa

Cohesion yield stress (Segundo ensayo) = 25 kPa

Cohesion yield stress (Tercer ensayo) = 50 kPa

Cohesion yield stress (Cuarto ensayo) = 100 kPa

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

σ22

[Kpa

]

ε22[%]

c = 5 kPac = 25 kPac = 50 kPa c = 100 kPa

Figura 2.8: Ensayo edométrico realizado en el software Abaqus.

ψ = Es el ángulo de dilatancia, el cual relaciona la tasa de deformación volumétrica y

cortante en el rango plástico, diferente al ángulo de fricción debido a que se selecciona

la regla �ujo no asociada (Houlsby, 1991).

Rmw = Es la función elíptica presentada por (Menetrey and Willam, 1995) que brinda

la forma cóncava a la función del potencial plástico por medio del ángulo del Lode (θ)

y la variable (e), llamada excentricidad desviadora. La variable (e) permite suavizar

la función que rige la supericie de potencial plástico de la Figura 2.11.

e =(3− sinφ)

(3 + sinφ)(2.34)

Rmc[Π

3, φ] =

(3− sinφ)

(6 · cosφ)(2.35)

16

2.1. Marco teórico

Rmw =(4(1− e2) · (cos θ)2 + (2e− 1)2))

(2(1− e2) · (cos θ) + (2e− 1) ·√

(4(1− e2) · (cos θ)2 + (5e2 − 4e)))·Rmc(

Π

3, φ)

(2.36)

Figura 2.9: Plano Meridional.(Hibbit, 1996)

Figura 2.10: Super�cie del potencial plástico del modelo constitutivo Mohr Coulomb en elsoftware Abaqus

17


Figura 2.11: Control de la excentricidad desviadora (e) en el plano Desviador.Hibbit (1996)

La ley de endurecimiento del modelo es controlado por el parámetro de la cohesión, la

presión de con�namiento y el nivel de carga del ensayo.

En un ensayo elemental triaxial realizado en el software Abaqus se observa cómo in-

�uye la presión de con�namiento (σ11) en el endurecimiento del material estableciendo 3

presiones de con�namiento (100 - 200 - 300 kPa). Con una presión de con�namiento de 300

kPa, el material llega a un esfuerzo máximo de 800 kPa llegando a un estado crítico a una

deformación de 10.5% en comparación con las otras curvas, presentando un ablandamiento

en el material como se observa 2.12. Se realizaron 3 ensayos triaxiales con las siguientes

condiciones y parámetros del material:

Carga 10% de deformación (0.01 m)



φ = 25◦

ψ = 5◦

Cohesión = 35 kPa

Presión de con�namiento (σ1) (Primer ensayo) = 100 kPa

Presión de con�namiento (σ1) (Segundo ensayo) = 200 kPa

Presión de con�namiento (σ1) (Tercer ensayo) = 300 kPa

18

2.1. Marco teórico

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0.015 0.03 0.045 0.06 0.075 0.09 0.105

σ22

[kP

a]

ε22[%]

σ11 kPaσ11 kPaσ11 kPa

Figura 2.12: Variación de la presión de con�namiento (Ensayo triaxial).

También se realizó un ensayo elemental tipo edométrico en Abaqus donde se evaluó la

evolución del la cohesión para observar cómo se endurecía el material. Cuando el usuario

le inserta una sola cohesión, el comportamiento mecánico del material es elasto-plástico

perfecto. Por otro lado, si el usuario le inserta dos o más cohesiones al material como se

presenta en la Figura 2.14, donde se observa un endurecimiento, el cual está condicionado

principalmente por la cohesión y no por una ecuación que controle el tamaño de la super�cie.

En el ensayo edométrico se establecieron las siguientes propiedades y parámetros del

material:

Carga 2.5% de deformación (0.0025 m)



φ = 30◦

ψ = 5◦

Cohesion yield stress (primer ensayo) = 25 kPa

Cohesion yield stress (segundo ensayo) = 25 - 27 kPa

Cohesion yield stress (tercer ensayo) = 25 - 30 kPa

19


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

σ22

[kP

a]

ε22[%]

c = 25 kPac = 25−27 kPac = 25−30 kPa

Figura 2.13: Evolución de la cohesión de material en un ensayo elemental tipo edométrico.

Figura 2.14: Opción para insertar varias cohesiones en Abaqus.

La deformación plástica es la segunda variable que inserta el usuario para de�nir un

endurecimiento (Abs Plastic Strain). Cuando se de�ne solo una cohesión, la deformación

plástica es inicialmente cero donde el material llega a un punto de �uencia sin generar

deformaciones plásticas. Cuando se inserta una segunda cohesión, ya la deformación plástica

20

2.1. Marco teórico

no es cero, el usuario debe insertar un porcentaje de deformación plástica el cual depende

del nivel de carga y los parámetros del material como se ve en la Figura 2.16. Al variar la

deformación plástica observando la Figura 2.15 se puede concluir:

Con una deformación plástica de 10% y un carga que proporciona 2.5% de defor-

mación (Ensayo con deformación controlada), el material no falla con el nivel de car-

ga programada evidenciando un material dúctil proporcionando altas deformaciones

plásticas.

Con una deformación plástica menor al 7% y una carga que proporciona 2.5% de

deformación (Ensayo con deformación controlada), el material falla llegando al estado

crítico observando un comportamiento frágil.

0

20

40

60

80

100

120

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

σ22

[kP

a]

ε22[%]

ε22 = 10 %ε22 = 5 %

ε22 = 2.5 %

Figura 2.15: Variación de la deformación plástica en un ensayo elemental tipo edométrico.

El endurecimiento y ablandamiento del material depende principalmente de la cohesión,

la presión de con�namiento y el nivel de carga del ensayo. Los parámetros de resistencia y

la presión de con�namiento controlan el esfuerzo al que puede llegar el material generando

deformaciones plásticas. El parámetro controla el porcentaje de deformación plástica que

llega el material dependiendo el nivel de carga establecida.

21


Figura 2.16: Opción para insertar varias deformaciones plásticas para el endurecimientoisotrópico en modelo Morh Coulomb en Abaqus.

2.1.3. Flujo en medio poroso

Para determinar la in�uencia de la geometría respecto la variación de los esfuerzos efec-

tivos debido a la �ltración de agua, es necesario conocer los principios físicos del �ujo de

agua en un medio poroso en su estado saturado y parcialmente saturado.

El �ujo de agua a través de un medio poroso consiste en la facilidad de �ltración y tra-

yectoria del �uido a través de un medio, que según las propiedades del medio tanto físicas

como geométricas conllevan a unos comportamientos en la dirección y distribución de las

líneas del �ujo. Para ello, se debe tener en cuenta los siguientes conceptos:

Permeabilidad y �ltración

La permeabilidad y la �ltración dependen de la porosidad del suelo que permite deter-

minar la tasa de �ltración del �ujo. Además, debe existir una diferencia de energías de la

lámina de agua entre dos puntos en el volumen de control para que el �ujo �uya. La per-

meabilidad del suelo se mide a partir de una constante de permeabilidad (K ) para calcular

a qué tasa de velocidad se �ltra el �ujo en el medio poroso (Helwany, 2007).

22

2.1. Marco teórico

Ecuación de Bernoulli

Esta ecuación permite calcular la cabeza total de energía (h) en un determinado punto.

La cabeza total es la suma de los tres siguientes términos, todos en unidades de longitud

(Helwany, 2007):

Cabeza de presión (hp)= Es la relación de la presión del agua (u) y el peso unitario

del agua (γw).

Cabeza de elevación (he)= Es la altura desde un punto de referencia o datum.

Cabeza de velocidad (hv)= Es la energía que está dada por v2/2g donde v es la

velocidad con la que pasa el �ujo a través del suelo y g es la magnitud de la aceleración

de la gravedad.

h = hp + he + hv =u

γw+ ZA +

v2

2g(2.37)

La ecuación 2.37 se cumple para estados de �ujo estacionarios no viscosos e incompre-

sibles. En la Figura 2.17 se explica de manera ilustrativa el concepto de la ecuación de

Bernoulli:

Figura 2.17: Flujo estacionario no viscoso e incompresible.

El �ujo del agua a través del suelo tiene velocidades muy pequeñas, por lo tanto el

término de la velocidad se considera cero y la ecuación de Bernoulli se reduce a:

h = hp + he =u

γw+ ZA (2.38)

23


Gradiente Hidráulico

Para que se presente �ltración del �ujo a través del suelo es necesario que exista una

diferencia de altura de lámina de agua entre el punto de inicio y el �nal del volumen de

control. Por ende, en términos de energías, la cabeza inicial en la sección aguas arriba debe

ser mayor a la que se presenta en la sección de aguas abajo. La diferencia de energías es la

pérdida de la cabeza total (∆h) entre dos secciones que hacen parte del dominio del sistema

llamado gradiente hidráulico (i), es decir la pérdida de energía de cabeza total por unidad

de longitud y su magnitud es adimensional (Helwany, 2007).

Figura 2.18: De�nición de pérdida de cabeza y gradiente hidráulico.(Helwany, 2007)

En la Figura 2.18 se presenta una explicación ilustrativa de lo que signi�ca el gradiente

hidráulico. Se observa una presa que contiene un embalse aguas arriba en la sección A

del volumen de control que tiene un determinado dominio de longitud (LAB). El nivel de

energía aguas abajo en la sección B es menor a la de la sección A debido a las pérdidas

de energías ocacionadas por el coe�ciente de permeabilidad en la trayectoria del �ujo por

debajo de la presa. Por consiguiente, el gradiente hidráulico está dado por las pérdidas

de energía (∆h) que se presentan a lo largo del dominio (LA−B) y matemáticamente se

representa como (Helwany, 2007):

iA−B =(uA/γw + ZA)− (uB/γw + ZB)

LA−B(2.39)

24

2.1. Marco teórico

Ley de Darcy

Con la Ley de Darcy se calcula la velocidad con la que se �ltra el agua a través del

suelo, debido a bajas velocidades �uye en estado un laminar (Helwany, 2007).

Darcy propuso que la velocidad con que �uye un �ujo es directamente proporcional

al gradiente hidráulico, por lo tanto la constante que permite relacionar la velocidad y el

gradiente hidráulico es el coe�ciente de permeabilidad (K ), que es afectado por la gradación

de las partículas presentes en el suelo (Helwany, 2007) y se representa en la siguiente

ecuación:

Q = K · iA−B ·A (2.40)

donde

Q= Es el caudal del �ujo a través del medio poroso.

iA−B= El gradiente hidráulico.

A= Es el área de la sección transversal por donde pasa el �ujo.

2.1.4. Suelos saturados y parcialmente saturados

Hoy en día existe un buen entendimiento en el comportamiento de los suelos saturados

implementados en modelos constitutivos que permiten relacionar estados de esfuerzo y de-

formación. A diferencia de los suelos parcialmente saturados donde hay mayor escazes en

su entendimiento (Barrera Bucio et al., 2002).

El descubrimiento hecho por Terzagui sobre la ley de esfuerzos efectivos permiten ex-

plicar el comportamiento de los suelos saturados. Existen un sinfín de condiciones en las

que el suelo no alcanza la saturación dando comportamientos que están relacionados con el

grado de saturación y esfuerzos de succión (Barrera Bucio et al., 2002).

Antes de 1965 se realizaron investigaciones con el �n de observar la validez de los esfuer-

zos efectivos en suelos no saturados (Barrera Bucio et al., 2002) que referencia a (Bishop,

1959 y Aitchison, 1960). Entre 1965 a 1987, se consideró usar dos variables de estado de

esfuerzo. La primera es el esfuerzo neto (esfuerzo total menos presión de poros de aire) y la

segunda el esfuerzo de succión (presión de aire de poros menos la presión de agua de poros)

(Barrera Bucio et al., 2002) que referencia a (Matyas y Radhakrisnha, 1968 y Fredlund,

1979). "Desde 1987, se ha investigado el comportamiento en los suelos no saturados en tér-

minos del estado crítico y trataton de investigar el límite elástico de los suelos no saturados

25


cuando el suelo es sometido a un ciclo de carga y descarga" (Barrera Bucio et al., 2002)

que referencia a (Alonso, et al 1990). Consecuencia a que se comience a enlazar el com-

portamiento del cambio de volumen y esfuerzo cortante debido a cambios en los grados de

saturación del suelo desarrollados en modelos elasto-plásticos (Barrera Bucio et al., 2002).

2.1.4.1. Suelos parcialmente saturados

Los suelos parcialmente saturados se caracterizan por tener presiones negativas debido a

la presión que ejerce el agua en los poros dependiendo del grado de saturación que contenga

el suelo. Estas condiciones de suelo están conformadas por cuatro fases (Fredlund, 2000):

Sólida.

Líquida.

Gaseosa.

Zona de dos fases o membrana contráctil.

Figura 2.19: Zona de suelos saturados y parcialmente saturados.(Meza Ochoa, 2012)

En la Figura 2.19 se presentan los estados del suelo dependiendo de las fases menciona-

das anteriormente. Los estados de los suelos que se encuentran por debajo del nivel freático

se consideran saturados, es decir que los espacios vacíos están ocupados completamente

de agua. De acuerdo a las leyes de la hidráulica, el agua en los poros se encuentra una

presión positiva de igual magnitud en todas las direcciones conocida como presión de poros

26

2.1. Marco teórico

(Meza Ochoa, 2012).

"Los suelos que se encuentran por encima del nivel freático pueden estar en estado seco

o parcialmente saturado. La zona de suelo seco se encuentra más cerca de la super�cie del

terreno y la mayor parte de sus vacíos están llenos de aire con la posible existencia de una

fase líquida pero en estado discontinuo, el grado de saturación del suelo seco es del 0%"

(Meza Ochoa, 2012).

Los suelos que están cercanos al nivel freático se localizan en la franja capilar que se

caracterizan por contener una gran cantidad de agua en sus vacíos, con la posibilidad de

encontrarse una fase gaseosa en estado discontinuo con presencia de burbujas de aire gene-

rando un grado de saturación cercano al 100%. El agua ocupada en los vacíos se encuentra

a presión negativa y se rige el proceso de la capilaridad permitiendo que el líquido ascienda

en contra de la gravedad. Esta altura depende de la tensión super�cial debido al desbalance

de fuerzas intermoleculares del líquido en la capa contráctil por la fuerza de adhesión entre

el líquido y el material de contacto, conformando así la franja capilar (Meza Ochoa, 2012).

Entre la zona del suelo seco y la franja capilar existe una zona intermedia llamada

capa contráctil que corresponde al suelo parcialmente saturado donde el agua y el aire

ocupan los poros. El grado de saturación se encuentra entre el 20% y el 80% y su presión

de poros es negativa debido a la diferencia de presión entre la zona de dos fases, es decir

la presión de agua y aire en los poros (Meza Ochoa, 2012) que referencia a (Fredlund, 2000).

El comportamiento en la zona contráctil es controlada bajo la relación del esfuerzo de

succión con el contenido volumétrico de agua representada por la curva característica o

curva de retención de humedad (Meza Ochoa, 2012).

Curva Característica o Curva de Retención de humedad

La curva característica de succión es importante en el estudio de los suelos parcialmente

saturados en distintos campos de la ciencia del suelo como en la física, la agronomía y la

agricultura (Fredlund, 2000).

La forma de la curva característica se debe a la interacción del suelo y el agua que

depende de la distribución y el tamaño de los poros que hagan parte de la matriz del suelo

(Fredlund and Xing, 1994). Generalmente, se cuanti�ca en términos de la humedad gravi-

métrica (w) que es la relación de la masa del agua y el suelo y el grado de saturación (Sr)

o la humedad volumétrica (θ) que indica el porcentaje de vacíos llenos con agua (Fredlund

27


and Xing, 1994).

Figura 2.20: Curva característica de succión en el suelo donde se encuentra las diferentesetapas de saturación

Meza Ochoa (2012)

La Figura 2.20 relaciona la succión matricial y el contenido volumétrico de agua del

suelo en escala logarítmica y aritmética respectivamente. Como se puede observar, se mues-

tran las etapas de saturación cuando un suelo inicialmente seco comienza a saturarse por

la entrada de agua en los poros, disminuyendo el esfuerzo de succión (Fredlund, 2000) las

cuales son:

Etapa residual de saturación.

Etapa de transición.

Etapa de efecto de Borde.

La etapa de saturación residual corresponde al contenido de agua donde la fase líquida

deja de ser continua y los poros están ocupados principalmente por aire. La etapa de tran-

sición presenta el aumento de contenido de agua disminuyéndose el contenido de aire en los

poros donde se encuentra la zona de dos fases o zona contráctil. El cambio de pendiente

indica el paso a la etapa de borde donde se da la salida total de aire en los poros, alcanzando

28

2.1. Marco teórico

su saturación (Meza Ochoa, 2012).

Existen ecuaciones analíticas que relacionan el contenido volumétrico de agua con la

succión logrando conformar la curva característica. Las ecuaciones están en función de

parámetros, los cuales dependen de la gradación y clasi�cación textural del suelo. En este

trabajo se empleó la ecuación formulada por van Genuchten, donde el software Abaqus

permite insertar la curva de retención de humedad por medio la opción Sorption - Tabular.

El software de�ne el grado de saturación o desecación en función de la succión por medio de

una tabulación (Simulia, 2002). La ecuación de van Genuchten se presenta a continuación:

Θ = [1

1 + (ρψ)n]m (2.41)

Θ =(θ − θr)(θs − θr)

= [1

1 + (αψm)n]m (2.42)

donde

Θ= Es el contenido normalizado de agua y es adimencional.

θs y θr= Es el contenido saturado y residual volumétrico de agua respectivamente,

ambos adimensionales.

(ρ = a, n,m), son distintos parámetros del suelo que dependen directamente de la

forma de la gradación clasi�cación textural del suelo.

(m = 1− 1n), donde (0 < m > 1).

ψ= Es la succión de agua en el suelo en kPa.

El suelo está en procesos constantes de humedecimiento y secado debido a las variacio-

nes hidrológicas presentes en su entorno, generando curvas características de secado y de

humedecimiento, las cuales son distintas debido al proceso de histéresis como se observa

en la Figura 2.21. La curva de secado se produce por el efecto de la succión produciendo

un grado de desaturación, en cambio la curva de humedecimiento humecta gradualmente

el suelo. La curva de secado y humedecimiento di�eren por tener distintas magnitudes de

succión a mismos grados de saturación por el proceso de histéresis (Tuller and Or, 2004).

29


Figura 2.21: Efecto de la histéresis por procesos de humedecimiento y secado.

Proceso de histéresis

La histéresis en la curva característica está relacionada por las siguientes causas que se

presentan en la Figura 2.22:

Figura 2.22: (a) Esquema conceptual de la histéresis en la curva característica, (b) Efectodel ángulo de contacto, y (c) Efecto ink bottle como mecánismo potencial de la histéresis.

(Tuller and Or, 2004)

30

2.1. Marco teórico

Efecto ink bottle: Los procesos de humedecimiento y secado controlan los ángulos

de los meniscos capilares en los poros, causando diferentes grados de saturación como

se observa en la Figura 2.22 indicador c) (Albers, 2014).

Efecto gota de lluvia: Es el ángulo de contacto entre el agua y la textura del suelo

que in�uye en la forma de la gota variando el procedimiento de humedecimiento y

secado en la Figura 2.22 indicador b) (Albers, 2014).

2.1.4.2. Suelos saturados

Las zonas tropicales se caracterizan por tener altos porcentajes de saturación y de hume-

dad ocasionando suelos saturados con niveles freáticos en la super�cie. Los suelos saturados

tienen dos fases, la primera fase es la sólida que está compuesta por los granos de la matriz

del suelo y la segunda fase es la líquida que es la presión intersticial de agua. Terzaghi (1936)

propuso el principio de los esfuerzos efectivos de�nidos como la diferencia de los esfuerzos

totales y la presión del agua, considerándola en un estado estacionario (Illa Camós et al.,

2009).

Para demostrar el principio de los esfuerzos efectivos en suelos saturados presente en

la Figura 2.23, Terzaghi (1936) considera una masa de suelo donde actúan los esfuerzos

principales (σ11,σ22,σ33) (Xu and Xie, 2011). Partiendo de un corte transversal de un plano

con un área (A) compuesta por la fase sólida del suelo representada en el área (As,i) y la

fase líquida representada en el área (Aw). En la fase sólida actúan los esfuerzos principales

(σs,j) y en la fase líquida actúa la presión de poros (uw) (Xu and Xie, 2011). Estas se

relacionan en la ecuación 2.43:

Figura 2.23: Esfuerzos que actúan en la fase sólida y líquida en un suelo saturado.(Xu and Xie, 2011)

31


σA =∑

(σs,i − uw)As,i + uw(ΣAs,i+Aw) (2.43)

como (ΣAs,i +Aw = A), la ecuación 2.43 queda:

σ =

∑(σs,i − uw)As,i

A+ uw (2.44)

de�niendo los esfuerzos efectivos (σ′):

σ′ =

∑(σs,i − uw)As,i

A(2.45)

entonces el esfuerzo total es:

σ = σ′ + uw (2.46)

2.2. Marco de antecedentes

Los estudios realizados respecto a la in�uencia de la geomorfología en un talud, se han

basado en análisis cualitativos describiendo la trayectoria de las líneas de �ujo de agua

causantes de la variación en los esfuerzos efectivos debido a contornos que varían en planta

o en per�l.

Uno de los estudios son los realizados por Anderson and Kemp (1987) y Collison (1996),

los cuales modelaron la respuesta hidrológica considerando presiones de poros positivas y

negativas debido a la in�ltración con el �n de relacionarlos con movimientos super�ciales

en distintas variaciones de la geoforma del talud en per�l.

Leopold and Leopold (1995) menciona la in�uencia de los contornos curvos en los talu-

des, donde contornos convexos vistos en planta generan trayectorias de �ujo sobre el talud

de manera divergente a medida que el �ujo avanza sobre el cuerpo como se observa en la

Figura 2.24 indicador A, argumentando que la presión de poros no afecta de manera signi-

�cativa los esfuerzos efectivos. En cambio, en contornos cóncavos vistos en planta las líneas

de �ujo convergen a medida que avanzan por el cuerpo del talud causando una concentra-

ción como se presencia en la Figura 2.24 indicador B, generando el aumento de la presión

de poros haciéndolos más susceptibles a fallar por corte. Además, las concentraciones de

las líneas de �ujo causan mayor erosión.

Leopold and Leopold (1995), además propone nueve tipos de geometrías en tres dimen-

siones que varían tanto en per�l como en planta con la combinación de contornos rectos,

convexos y cóncavos como se muestran en la Figura 2.25. Estas geometrías se forman a par-

32

2.2. Marco de antecedentes

Figura 2.24: Variación en planta (A) Curvaturas convexas, divergencia del �ujo y (B) Cur-vaturas cóncavas, convergencia del �ujo.

(?)

tir de movimientos del terreno o por procesos de meteorización. Los taludes con geoforma

convexa se forman por reptación. Las geoformas cóncavas se forman debido a deslizamientos

antecedentes y procesos erosivos.

Figura 2.25: Nueve posibles formas de taludes en tres dimensiones.(Wysocki et al., 2000)

Iverson and Reid (1992) evalúan la trayectoria de �ujo y la variación de esfuerzos efec-

tivos en distintos escenarios de taludes con distintas propiedades físicas como la pendiente,

la litología, la porosidad, la relación de Poisson, la permeabilidad y la geoforma en per�l

donde utilizaron códigos por elementos �nitos en dos dimensiones basados en principios

físicos elásticos y elasto-plásticos para calcular esfuerzos efectivos bajo el principio de falla

Mohr Coulomb in�uenciados por el �ujo en per�les rectos, cóncavos, convexos y la transi-

33


ción entre cóncavos y convexos.

En la Figura 2.26 se presentan los resultados donde la geoforma recta (A) presenta un

comportamiento constante en la dirección de las líneas de �ujo en toda la super�cie, mien-

tras que en la geoforma convexa y cóncava (geoforma B y C, respectivamente) presentan

alta concentración de líneas de �ujo en la pata del talud (Reid and Iverson, 1992).

Figura 2.26: Vectores de fuerza en (A) Per�l recto; (B) Per�l convexo; (C) Per�l cóncavo;(D) Per�l convexo-cóncavo.

(Reid and Iverson, 1992)

Por último, Brunsden (1999) invita a tener en cuenta el factor geomorfológico en tres

dimensiones uniendo contornos tanto en planta como per�l para la realización de modelos

de taludes para observar con mayor detalle la in�uencia del �ujo en el tensor de esfuerzos.

34

Capítulo 3

Modelación computacional

Con el �n de conocer la variación de los esfuerzos efectivos en distintas geometrías de

taludes, se utilizó el software Abaqus donde se realizó un análisis por elementos �nitos para

poder interpretar y observar la in�uencia de la geomorfología en el estado de esfuerzos y

deformaciónes en taludes de tres dimensiones. Se simularon 18 modelos de taludes con las 9

geoformas establecidas por ?. Los primeros 9 modelos se analizaron en términos de esfuerzos

totales y los otros 9 en términos de esfuerzos efectivos. En la Figura 3.1 se observan las 9

geoformas analizadas:

Figura 3.1: Nueve posibles combinaciones de geoformas en taludes de tres dimensiones.

35

Capítulo 3. Modelación computacional

3.1. Condiciones de contorno

3.1.1. Geometría.

En la Figura 3.2 se representan las dimensiones de�nidas para los 18 modelos, donde

se varió la forma en planta y per�l de cada uno de los modelos presentes en la Figura 3.1:

Figura 3.2: Dimensiones de�nidas del talud.

Tabla 3.1: Dimensiones de�nidas del talud

H (m) y (m) x (m) β (◦) Fc Fp25 6.75 45 26.56 1.8 1.6

La altura del talud se de�nió según Jiménez Téllez and Viáfara Morales (2011) y Ho

(2014) donde establecían alturas entre 15 y 30 metros. Se seleccionó un ángulo de incli-

nación β del terreno dependiendo el material utilizado, en este caso un suelo arenoso con

contenido de limos. Keller and Sherar (2003) propone rangos de pendientes dependiendo la

litología del talud.

La distancia entre el centro de la elipse y el centro de la profundidad del talud presente

en la Figura 3.2 es de�nida por la constante (y) donde se estableció una concavidad

pronunciada para observar la in�uencia de la geoforma en cada talud. Los parámetros que

dimensionan la corona y la pata del talud se hallaron por medio de un análisis paramétrico

variando el largo de las dos distancias por medio de los factores Fc y Fp respectivamente,

hasta el punto en que los estados de esfuerzos no fueran afectados por las restricciones

laterales en los costados del talud en la componente X. En la Figura 3.3 se observa la

in�uencia de la distancia de la corona y la pata del talud en el esfuerzo cortante evaluado

36


en el plano XY según la Figura 3.2, con el �n de de�nir la dimensión adecuada a la

geometría.

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

0 5 10 15 20 25 30

Pro

fund

idad

[m]

τ12 [Kpa]

0.6H0.8H

H1.2H1.4H1.6H1.8H

2H

(a) Corona del talud.

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40P

rofu

ndid

ad [m

]

τ12 [Kpa]

0.4H0.6H0.8H

H1.2H1.4H1.6H

(b) Pata del talud.

Figura 3.3: Análisis paramétrico en las longitudes de la corona y pata del talud.

Se escogió un rango de factores Fc y Fp como se muestra en la Figura 3.3 para variar

la dimensión H de la corona y la pata del talud con el �n de lograr una convergencia en la

variación de los esfuerzos cortantes τ12 respecto la profundidad (componente Y) del talud.

Se de�nieron factores de 1.8 para la corona y 1.6 para la pata del talud donde se presenta

la convergencia.

3.1.2. Cargas

3.1.2.1. Condición geostática.

La condición de reposo está formulada por las ecuaciones de equilibrio las cuales están

gobernadas bajo las fuerzas de cuerpo ejercidas por la acción de la gravedad, en donde no

existen desplazamientos laterales en el suelo permitiendo una condición inicial de esfuerzos

al momento de analizar un problema geotécnico.

La condición inicial de esfuerzos es obtenida bajo la relación de esfuerzos y deforma-

ciones desarrollada en un análisis de elementos �nitos, a diferencia de la condición incial

de esfuerzos obtenida por el coe�ciente de presión de tierras en reposo (K0) calculado por

medio de ecuaciones empíricas. El coe�ciente de presión de tierras en reposo (K0) depende

37


principalmente de la historia de carga y los parámetros de estado del suelo como la rela-

ción de vacíos, la densidad relativa y el contenido de humedad (Michalowski, 2005). Jaky

(1944) propone una ecuación empírica para determinar el coe�ciente de presión de tierras

en reposo en un terreno sin inclinación (ecuación 3.1). Por otra parte Kézdi (1979) sugirió

modi�car la ecuación de Jaky (1944) para ajustarla a terrenos inclinados (ecuación 3.2),

donde (β) es el ángulo de inclinación del talud.

K0 = 1− sinφ (3.1)

K0 =1− sinφ

1 + sinβ(3.2)

El software Abaqus establece la condición geostática en el módulo de cargas llamada

Geostatic, donde el usuario introduce la fuerza gravitacional a la geometría establecida. La

condición inicial de esfuerzos dependerá del peso unitario del material y la geometría del

talud. En términos de condiciones de frontera se estableció una restricción en los desplaza-

mientos de los nodos en la componente (X) para las caras frontales, en la componente (Y)

para la base del talud y en la componente (Z) para las caras laterales como se observa en

la Figura 3.4.

(a) Geometría inicial. (b) Condición inicial de esfuerzos geostáticos.

Figura 3.4: Condiciones iniciales del talud en Abaqus.

Para mostrar la condición inicial de esfuerzos geostáticos en cada talud, se presenta la

relación entre la profundidad y el esfuerzo horizontal en la componente (X) y (Z) (σ11,σ33).

Por lo anterior, se comparó con los estados de esfuerzos iniciales determinados por las

ecuaciones empíricas propuestas por (Jaky, 1944) y (Kézdi, 1979), con el �n de observar

la diferencia entre el coe�ciente de presión de tierras determinado por Abaqus y por las

ecuaciones empíricas. Se analizaron los estados de esfuerzos iniciales en la corona y cara del

talud.

38


Se concluye que las dos curvas con y sin inclinación del terreno, el esfuerzo horizontal en

la componente (X) (σ11) se aproxima a la curva teórica determinada por las ecuaciones

empíricas en comparación del esfuerzo horizontal en la componente (Z) (σ33). Los esfuerzos

horizontales teóricos se determinaron por medio de la ecuación 3.3 y el modelo analizado

fue el número dos según la Figura 3.1.

σh = k0 · σv (3.3)

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

−50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Pro

fund

idad

[m]

Esfuerzo horizontal [kPa]

σ11 (Abaqus)σ33 (Abaqus)

σh (teórico)

(a) Esfuerzos horizontales (σ11 σ33) sin inclinación.

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Pro

fund

idad

[m]

Esfuerzo horizontal [kPa]

σ11 (Abaqus)σ33 (Abaqus)

σh (teórico)

(b) Esfuerzos horizontales (σ11 σ33) con inclinación.

Figura 3.5: Comparación de los esfuerzos iniciales obtenidos por Abaqus con la literatura.

3.1.2.2. Condición de �ujo.

Los taludes conformados tienen dos interfaces, la primera es la zona de saturación par-

cial arriba del nivel freático condicionado por la curva característica del suelo explicada en

el capítulo 2 de la sección 2.1.4.1 en el marco de referencia. Los parámetros para la elabo-

ración de la curva característica se explican en la sección 3.3. Una segunda zona saturada

donde el �ujo está regido por la ley de Darcy.

Para lograr la conformación de las líneas de �ujo a lo largo del talud, en el módulo cargas

(Soil) se estableció dos alturas piezométricas en los costados frontales del plano (YZ) del

talud generando una diferencia de energías. De esta forma se establece �ujo estacionario en

el cuerpo del talud. En la Figura 3.6 se observa el escenario de las condiciones de frontera

39


para simular el �ujo a lo largo de la componente (X) del talud.

Figura 3.6: Condiciones de frontera del �ujo.

3.2. Propiedades del modelo constitutivo elasto plástico.

En torno a la explicación del marco teórico acerca del modelo constitutivo elasto plás-

tico se seleccionaron propiedades físicas, mecánicas e hidráulicas de un suelo arenoso con

contenidos de limos con el �n de tener un suelo de alta permeabilidad para disminuir el

tiempo computacional en la modelación del �ujo y un suelo cohesivo donde la cohesión

controla el endurecimiento del material.

En el módulo de propiedades del software, el usuario de�ne la densidad del material

(opción General - Density), los parámetros elásticos y plásticos (opción Mechanical - Elas-

ticity - Plasticity Mohr Coulomb) y �nalmente las propiedades hidráulicas (opción Pore

�uid - Permeability - Sorption).

Las propiedades índices y parámetros de resistencia del suelo homogéneo fueron esta-

blecidas por medio de fuentes bibliográ�cas. Las propiedades índices se de�nieron con base

a valores típicos de propiedades mecánicas para arenas limosas propuestos por Norm (1975)

y Puri et al. (1994), presentes en la Tabla 3.2. El peso unitario seco (γd) y el grado de

saturación inicial del suelo (Sr) se calcularon por medio de las ecuaciones de relaciones de

fase presentes en las ecuaciones 3.4 y 3.5.

Tabla 3.2: Propiedades índices

γ (kN/m3) γd (kN/m3) Contenido de humedad (w) (%) Relación de vacíos (e)19 15.8 20 0.85

Grado de saturación (Sr) Permeabilidad (k)(m/s) Gravedad especí�ca (Gs)62.8% 0.0001 2.67

40

3.3. Modelo succión-humedad

γd =γ

1 + w(3.4)

Sr =w ·Gse

(3.5)

Asimismo se de�nieron los parámetros del modelo constitutivo elasto-plástico de Morh

Coulomb con base a valores típicos de arenas limosa (Bowles, 1988), (Norm, 1975) y (Puri

et al., 1994) como se observa en la Tabla 3.3:

Tabla 3.3: Parámetros de resistencia.

Ángulo de fricción (φ◦) Ángulo de dilatancia (ψ◦) Cohesión (kPa)34 5 25

3.3. Modelo succión-humedad

Para establecer la condición de saturación parcial se construyó la curva característica con

la ecuación análítica propuesta por Van Genuchten (1980) (ecuación 2.41). Los parámetros

que constituyen la ecuación de Van Genuchten se establecieron para rangos de parámetros

de una arena limosa (Yang and You, 2013). En la Tabla 3.5 se presenta los valores que se

tomaron para establecer la condición de saturación parcial.

Tabla 3.4: Parámetros de van Genuchten de una arena limosa.

ρ (m−1) m n3.1 1.27 0.213

Tabla 3.5: Valores de la curva característica.

Succión (kPa) Grado de saturación1000 0.114500 0.137100 0.2120 1

41


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 300 600 900 1200 1500

Gra

do d

e sa

tura

ción

Succión [Kpa]

Figura 3.7: Curva característica en estado de humedecimiento según Van Genuchten (1980)s.

3.4. Enmallado

Los elementos �nitos son métodos numéricos (FEM) para la solución de problemas in-

genieriles que por medio de ecuaciones algebraicas y diferenciales operan principios físicos

de equilibrio de fuerzas, leyes de la termodinámica, la conservación de la masa y la energía.

El concepto físico en la interpretación del método se basa en la subdivisión del modelo

matemático en elementos continuos unidos por nodos para conformar mallas que dependen

principalmente de la geometría establecida (Xu, 2008). En la Figura 3.8 se presenta el

procedimiento utilizado para la conformación del enmallado en cada uno de los modelos:

Figura 3.8: Mapa conceptual para la conformación del enmallado.

42

3.4. Enmallado

3.4.1. Control del enmallado

Se seleccionó una forma triangular (tetraedros 3D) en el elemento y una técnica libre

debido a la complejidad de la geometría, evidenciando concavidades que no se adaptaban

a las formas cuadradas ni técnicas estructuradas. En las Figuras 3.9 y 3.10 se observa

los tipos de formas ((a) 2D y (b) 3D) de los elementos y un ejemplo de la aplicación entre

la técnicas nombradas en la Figura 3.8. La asignación del tipo de elemento depende del

problema planteado, en este caso se seleccionó el elemento (Stress 3D) para el análisis

en términos de esfuerzos totales y en esfuerzos efectivos se seleccionó el elemento (Pore

�uid/Stress).

(a) 1D Y 2D. (b) 3D.

Figura 3.9: Formas de los elementos.(Simulia, 2002)

(a) Libre (b) Estructurada. (c) Geometrías circulares.

Figura 3.10: Técnicas de enmallado.(Simulia, 2002)

43


3.4.2. Re�namiento de enmallado

El re�namiento en el enmallado logra una mayor interpolación de los resultados gene-

rando isolíneas adaptables y re�nadas a la geometría. En las Figuras 3.11 y 3.12 se observa

la diferencia de la tendencia de las isolíneas de los esfuerzos cortantes entre una malla gruesa

y una re�nada, evidenciando la calidad en los resultados en las mallas re�nadas.

Figura 3.11: Isolíneas de esfuerzos cortantes (τ12) en una malla gruesa.

Figura 3.12: Isolíneas de esfuerzos cortantes (τ12) en una malla re�nada

En las zonas de mayor interés como la cara del talud (vista en planta el plano (XZ)) se

discretizó la distancia entre nodos proporcionando un mayor re�namiento. Es recomenda-

ble re�nar las zonas de interés y no de un mismo tamaño en toda la geometría, debido al

tiempo y memoria computacional que el procedimiento requiere.

El software Abaqus re�na por medio de particiones en la geometría o condiciones en los

números de nodos y elementos ubicados en los bordes de la geometría como se observa en

la Figura 3.13 (tendencia doble, simple y constante):

44

3.4. Enmallado

Figura 3.13: Opciones de tendencia en el re�namiento(Simulia, 2002)

3.4.3. Veri�cación del enmallado

La calidad en los resultados no solo depende del re�namiento de la malla, si no tam-

bién de la forma, angularidad y adaptabilidad del elemento a la geometría. El software con

la opción (Verify mesh) veri�ca la forma y el tamaño de los elementos a través de datos

estadísticos mostrando el porcentaje de elementos que no cumplen con las condiciones de

tamaño y angularidad impuestas por el usuario.

La prueba de veri�cación en Abaqus está divida en la forma (Shape metrics) y tamaño

(Size metrics) del elemento. En la forma se veri�can varios aspectos, el primero son los

ángulos máximos y mínimos entre nodos los cuales son introducidos por el usuario. Es ideal

tener ángulos mayores de 90◦ en elementos cuadrados y ángulos de 60◦ en elementos trian-

gulares, aunque en geometrías irregulares no es sencillo que cumpla en todos sus elementos

(Escobar, 2014). La segunda veri�cación es la forma ideal del elemento al adaptarse a la

geometría, hallando un factor de forma (Shape factor), el cual funciona en elementos trian-

gulares donde se relaciona el área o volumen del elemento diseñado con respecto a un área

o volumen de un triángulo equilátero. Entre más cercana es la relación a uno, la forma es

óptima a la geometría (Simulia, 2002).

La última veri�cación de la forma es la relación entre el largo y ancho del elemento. Esta

indica la proporción entre la aristas del elemento. Es recomendable no utilizar elementos

esbeltos con relaciones mayores a 10 como se presenta en la Figura 3.14 (Xu, 2008). En la

Tabla 3.6 se observa los límites de los factores que inciden en la calidad de la forma del

elemento propuestos en el manual de Abaqus (Simulia, 2002).

45


Figura 3.14: Criterio de tamaño y forma de los elementos.(Xu, 2008)

En cuanto al tamaño del elemento se veri�ca la longitud de sus bordes, siendo importante

en la distribución de los elementos para lograr un acoplamiento entre la malla y la geometría.

En el manual de Abaqus de�nen un factor (Geometric deviation factor), el cual establece

sí algún elemento no está acoplado a la geometría (Simulia, 2002).

Tabla 3.6: Valores de la curva característica

Criterio de selección Cuadriláteros Triángulo Hexaedros TetraedrosFactor de forma - 0.01 - 0.0001

Ángulo mínimo (◦) 10 5 10 5Ángulo máximo (◦) 160 170 160 170Relación entre aristas 10 10 10 10

El diseño del enmallado para las 9 geometrías propuestas fue el siguiente:

Los segmentos de color rojo representan las dimensiones de la geometría.

Las �echas de color blanco ilustran la tendencia simple y doble de las distancias entre

los nodos en dirección a la �echa.

Los segmentos de color naranja y negro representan una tendencia constante.

Las zonas de mayor re�namiento se localizan en la cara del talud en el plano (XZ) y a

lo largo de la variación del nivel freático, con el �n de obtener resultados de calidad. Para

garantizar que se cumplieron los criterios de selección de los elementos, se presenta los datos

estádisticos del modelo 1 en la Figura 3.17.

46

3.4. Enmallado

Figura 3.15: Metodología de diseño del enmallado

Figura 3.16: Malla de�nitiva en el modelo 1

47


Figura 3.17: Datos estadísticos del criterio de selección de la malla en el modelo 1.

La Figura 3.17 indica el porcentaje de nodos que no cumplen con los criterios de

selección para elementos tetraédricos presentes en la Tabla 3.6, mostrando que el 0% de

los nodos no cumplen con ángulos menores de 15◦, el 0% a ángulos mayores de 100◦, el 0%

a la relación entre aristas menores de 10 y el 0% menores a 0.0001 de 328,601 elementos

que componen el modelo.

48

Capítulo 4

Resultados

4.1. Esfuerzos totales

En términos de esfuerzos totales se evaluó la in�uencia de la geometría en el estado

inicial de esfuerzos en cada talud. Se estudió la relación de esfuerzos contra profundidad en

la componente (Y) en dos zonas establecidas (profundidad uno - profundidad dos) (Figura

4.1). Con el objeto de evidenciar la variablidad de los esfuerzos debido a la pendiente del

talud.

Sin duda existe una diferencia en la distribución de los esfuerzos geostáticos en la profun-

didad de cada geometría. En la profundidad uno se evidencia la relación que existe entre la

geometría del talud y la tendencia de la curva de los esfuerzos geostáticos (Figuras 4.2 y

4.3). En la profundidad 1 los modelos 4, 5 y 6 (Figuras 3.1 sección y 3.1) presentan una

distribución en los esfuerzos con una tendencia de forma convexa. Los modelos 7, 8 9 gene-

ran una distribución de esfuerzos con tendencias cóncavas y los modelos 1, 2, 3 presentan

tendencias rectas. En cambio, en la profundidad dos no se logra observar dicha tendencia

posiblemente por causa de la rotación de los esfuerzos debido al cambio de pendiente.

Figura 4.1: Ubicación de las líneas de análsis en la componente (Y))

En la Figura 4.2 los esfuerzos σ22 y σ33 evidencian la in�uencia de la variación de las

geoformas en per�l repecto a los esfuerzos, más no in�uye su variación en planta ya que para

49

Capítulo 4. Resultados

mismas variaciones de geoformas en per�l (recto, convexo, cóncavo) se presentan igualdades

en los esfuerzos (σ22 y σ33) a una misma profunidad. En cambio, para σ11 (Figura 4.2)

los modelos con misma geoforma en per�l se observa que cierta profunidad no se evidencia

una igualdad en los esfuerzos.

−50

−40

−30

−20

−10

0

−100 0 100 200 300 400

Pro

fund

idad

[m]

Esfuerzo σ11 [Kpa]

Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9

(a) σ11

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

−100 0 100 200 300 400 500

Pro

fund

idad

[m]

Esfuerzo σ33 [Kpa]


(b) σ33

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

0 150 300 450 600 750 900 1050

Pro

fund

idad

[m]

Esfuerzo σ22 [Kpa]


(c) σ22

Figura 4.2: Distribución de esfuerzos totales bajo la corona del talud en el plano (XY)(profundidad 1)

50

4.1. Esfuerzos totales

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

−100 0 100 200 300 400

Pro

fund

idad

[m]

Esfuerzo σ11 [Kpa]


(a) σ11

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

0 100 200 300 400 500

Pro

fund

idad

[m]

Esfuerzo σ33 [Kpa]


(b) σ33

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Pro

fund

idad

[m]

Esfuerzo σ22 [Kpa]


(c) σ22

Figura 4.3: Distribución de esfuerzos totales en pendiente del talud en el plano (XY) (pro-fundidad 2)

En la Figura 4.4 se ilustra la variación de los contornos que representan la condición

inicial de esfuerzos en los modelos 1, 5 y 9. Donde se evidencia la in�uencia de la geometría

en la dirección de los contornos condicionando la orientación de los estados de esfuerzos

del talud, siendo los modelos 1 y 2, dos veces mayores en la magnitud de esfuerzos (σ22)

51


respecto el modelo 9.

La Figura 4.4 presenta la convención de esfuerzos a compresión con signo negativo. En

este trabajo de investigación, en la parte de análisis se decidió cambiar la convención donde

signos negativos representan esfuerzos a tensión y signos posivos a compresión.

(a) Modelo 1 (b) Modelo 5

(c) Modelo 9

Figura 4.4: Contornos de los esfuerzos totales geostáticos (σ22)

4.2. Esfuerzos efectivos

Para analizar la variación de esfuerzos y deformaciones debido a la morfometría del

talud se realizaron 3 tipos de resultados:

Variación de los contornos en planta y per�l de los esfuerzos efectivos y grados de

saturación.

Variación del tensor de esfuerzos y deformaciones en diferentes zonas del talud.

Cálculo de indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones.

4.2.1. Variación de los contornos de los esfuerzos efectivos

En la variación de los contornos se desea mostrar la distribución del tensor de esfuerzos,

los esfuerzos máximos efectivos de lo esfuerzos principales, la deformación máxima y los

grados de saturación en planta y per�l de los nueve modelos.

En los modelos 1, 2 y 3 con misma geoforma recta en planta se presenta saturación antes de

llegar a la pata, comprendiendo un volumen considerable afectando los esfuerzos efectivos

por causa de las condiciones de frontera establecidas en la Figura 3.6 y por la continuidad

52


uniforme a lo largo de la componente (Z) (Figura 4.5). En las zonas de saturación se re�ejan

los menores esfuerzos efectivos principales hasta el punto de presentar tensión (Figura 4.6).

Para los modelos 4, 5 y 6 con misma geoforma convexa en planta se presenta saturación

en los extremos y saturación parcial en la parte interna en el plano (XZ) del talud. La va-

riación del grado de saturación tiende a una forma divergente a lo largo de la componente

(Z) hasta llegar a saturarse (Figura 4.7). En el plano (XZ) los esfuerzos efectivos a tensión

conforman un área mínima en los extremos del talud (Figura 4.8).

Para los modelos 7, 8 y 9 con misma geoforma cóncava en planta se presenta de manera

distinta a los modelos 4, 5 y 6. La saturación se genera en el interior y la saturación parcial

en la parte exterior en el plano (XZ) del talud. La variación del grado de saturación tiende

a una forma convergente a lo largo de la componente (Z) hasta llegar a saturarse (Figura

4.9). En el plano (XZ) los esfuerzos efectivos a tensión conforman un área signi�cativa en

en el interior del talud (Figura 4.10).


(c) Modelo 3

Figura 4.5: Distribución del nivel de saturación en modelos rectos en planta.

53



(c) Modelo 3

Figura 4.6: Distribución del máximo esfuerzo efectivos en modelos rectos en planta.


(c) Modelo 6

Figura 4.7: Distribución del nivel de saturación en modelos convexos en planta.

54



(c) Modelo 6

Figura 4.8: Distribución del máximo esfuerzo efectivos principal en modelos convexos enplanta.


(c) Modelo 9

Figura 4.9: Distribución del nivel de saturación en modelos cóncavos en planta.

55



(c) Modelo 9

Figura 4.10: Distribución del máximo esfuerzo efectivos principal en modelos cóncavos enplanta.

La distribución del nivel de saturación dependen de la dirección de la trayectoria del

�ujo de agua generadas por la variación de las geoformas en planta. Las geoformas rectas

en planta causan direcciones de �ujo paralelas con la componente (X), las formas convexas

obligan a tomar direcciones divergentes impidiendo la concentración de las líneas de �ujo y

las cóncavas hacen tomar direcciones convergentes causando la concentración de las líneas

de �ujo generando un comportamiento a tensión de los esfuerzos efectivos como se presenta

en la Figura 4.11.

Figura 4.11: Comportamiento de las direcciones de las líneas de �ujo en distintas geoformasen planta.

56


La distribución de esfuerzos cortantes (τ12) se evalúa en la vista per�l en la cara lateral

del plano (XY), observando gran in�uencia de la geometría en la concentración de esfuerzos

cortantes.

Los modelos 2, 5 y 8 son más susceptibles a la falla por corte debido a que presentan

per�les convexos por la presencia de concentraciones de esfuerzos cortantes en la pata

del talud. En las formas cóncavas como los modelos 3 y 6 no se concentran los esfuerzos

cortantes en el soporte del talud a excepción del modelo 9 que presenta concentraciones

de esfuerzo en la parte superior e inferior de la cara y pata del talud respectivamente ya

que este tipo de per�les representan un talud deslizado, presentando disminución en la

concentración de esfuerzos cortantes del talud como se muestran en las Figuras 4.12, 4.13

y 4.14. En términos de ordenes de magnitud, las concentraciones de esfuerzos cortantes

en los modelos convexos en per�l son aproximadamente 2.5 veces más susceptibles a fallar

por corte con relación a los modelos cóncavos por causa de la concentración de esfuerzos

en la pata del talud y modelos 1, 4 y 7 con geoformas rectas en per�l tienden a ser más

susceptibles a la falla que los modelos cóncavos.


(c) Modelo 3

Figura 4.12: Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación rectaen planta.

57



(c) Modelo 6

Figura 4.13: Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación con-vexa en planta.


(c) Modelo 9

Figura 4.14: Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación cóncavaen planta.

La representación del tensor de esfuerzos en cada talud se realizó por medio de los es-

tados de esfuerzos y deformaciones frente líneas de análisis ubicadas en el extremo y centro

de cada talud como se observa en la Figura 4.15. La ubicación de las líneas de análisis se

58


de�nieron con base en la variación que se presenta en los esfuerzos debido a la divergencia y

convergencia del régimen de �ujo en cada tipo de variación de geoformas en planta eviden-

ciados en la Figura 4.11. En las dos líneas de análisis de�nidas se analizaron los esfuerzos

principales (σ11, σ22, σ33), deformaciones máximas y la distribución de presiones de poros.

Figura 4.15: Localización de las líneas de análisis

En la variación del estado de esfuerzos efectivos y deformaciones máximas a lo largo

de la línea del centro del talud (Figura 4.15), los modelos 7, 8 y 9 con variación cóncava

en planta presentan una disminución en los esfuerzos efectivos por causa de la saturación,

consecuencia de la concentración del �ujo en la pata del talud. A diferencia de los modelos

4, 5 y 6 con variación convexa en planta que presentan un aumento del esfuerzo efectivo

consecuencia del estado parcialmente saturado ocasionado por la divergencia de las líneas

de �ujo presentes en las Figuras 4.16, 4.17 y 4.18 indicadores (a).

En la línea del extremo del talud (Figura 4.15) se generan aumentos de los esfuerzos

principales efectivos en los modelos 7, 8 y 9 con geoforma cóncava en planta por causa del

efecto de la concentración del agua en el interior de la pata del talud y una disminución

de los esfuerzos efectivos. Los modelos 4, 5 y 6 con variación convexa en planta presentan

disminución de los esfuerzos efectivos debido a la divergencia de líneas de �ujo presentes

en las Figuras 4.16, 4.17 y 4.18 indicadores (b).

Los modelos 1, 2 y 3 con geoformas rectas en planta están en estado saturado debido

que las direcciones de �ujo son paralelas a lo largo de la componente (X) en toda la zona

de la pata del talud como se observa en la Figura 4.11 ocasionando comportamientos a

tensión de los esfuerzos efectivos principales en las líneas de análisis exterior y central en

la super�cie del talud (Figura 4.15).

59


−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

σ11

[Kpa

]

Línea de análisis (centro)


(a) Línea de análisis en el centro del talud

−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100σ 1

1 [K

pa]

Línea de análisis (extremo)


(b) Línea de análisis en el extremo del talud

Figura 4.16: Variación de los esfuerzos efectivos principales horizontales σ11 en la super�ciede la cara y pata del talud.

−40−30−20−10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100 110 120 130

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

σ 22

[Kpa

]




−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

σ 22

[Kpa

]





60


−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

σ 33

[Kpa

]




−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100σ 3

3 [K

pa]





Las deformaciones máximas axiales se presentaron en los modelos 2 y 8 en la zona de

estudio de�nida (inicio el pata del talud), proporcionando deformaciones del orden del 3 al

5% aproximadamente (Figura 4.19). El modelo 2 con forma recta en per�l y convexa en

planta no presentan variación en las deformaciones axiales máximas para los dos escenarios

(línea centro extremo). El modelo 8 con forma cóncava en per�l y convexa en planta presenta

hasta 11 veces más la variabilidad de la deformación máxima en la línea de análisis central

respecto la línea exterior y en el modelo 2 con forma recta en per�l y convexa en planta

hasta 1.5 veces más en la línea exterior con relación a la línea central.

61


−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

εm

ax




−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ε

max




Figura 4.19: Variación de las deformaciones máximas axiales ε en la super�cie de la cara ypata del talud.

Las zonas con bajos esfuerzos principales efectivos coinciden con el aumento de las pre-

siones de poros como se observa en la Figura 4.20. En los modelos 7, 8 y 9 con geoforma

cóncava en planta no hay presencia de �ujo en la línea de análisis exterior, en cambio en la

línea de análisis central se evidencia un aumento en la presiones de poros por la concentra-

ción de líneas de �ujo. En los modelos 4, 5 y 6 con geoforma convexa en planta se presenta

lo contrario, en la línea de análisis central no hay presencia de �ujo y en la línea de análisis

exterior hay un aumento en la presión de poros.

62


−280

−240

−200

−160

−120

−80

−40

0

40

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Pre

sión

de

poro

s [K

pa]


Modelos 1Modelos 2Modelos 3Modelos 4Modelos 5Modelos 6Modelos 7Modelos 8Modelos 9


−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100P

resi

ón d

e po

ros

[Kpa

]Línea de análisis (extremo)

Modelos 1Modelos 2Modelos 3Modelos 4Modelos 5Modelos 6Modelos 7Modelos 8Modelos 9


Figura 4.20: Variación de las presiones de poros uw en la super�cie de la cara y pata deltalud.

Para analizar los esfuerzos y deformaciones por corte (τ12) en cada una de la geometrías

se realizaron líneas de análisis relacionando la profundidad respecto a esfuerzos deforma-

ciones por corte de�niendo dos profundidades como se observa en la Figura 4.21 con el �n

de observar su variabilidad en cada una de las geometrías.

Figura 4.21: Ubicación de las líneas de análisis respecto la profundidad (componente (Y))

Los modelos 2, 5 y 8 con contornos cóncavos en per�l presentan los mayores esfuerzos

cortantes en la pata del talud evidenciando esfuerzos al corte (τ12) hasta 14 veces mayo-

res a los esfuerzos cortantes presentes en la parte superior de la corona (Figura 4.22). A

comparación de modelos 3, 6 y 9 con contornos convexos en per�l se experimentan mayores

63


esfuerzos cortantes en la parte superior del talud evidenciando esfuerzos al corte (τ12) hasta

6 veces más en comparación a los esfuerzos cortantes presentes en la pata del talud (Figura

4.22).

Asimismo se realizaron grá�cas de deformación por corte (ε12) en las profundidades

de�nidas de la Figura 4.21 presentando variabilidad de hasta 80 veces mayores como en el

modelo 2 Figura 4.23. Donde los modelos convexos en per�l sufren mayores deformaciones

en la profunidad uno, en cambio en la profundidad dos se presentan las mayores deforma-

ciones en modelos cóncavos.

Los mayores esfuerzos cortantes y deformaciones por corte se establecen en las geome-

trías con transiciones de concavidad en la parte superior de la cara del talud del orden de

43.22 kPa y 0.7% respectivamente representando un escarpe como se observa en la Figura

4.24.

−25

−20

−15

−10

−5

0

−10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Pro

fund

idad

[m]

τ12 [Kpa]


(a) Profundidad unos lo largo de la pata del talud.

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35

Pro

fund

idad

[m]

τ12 [Kpa]


(b) Profundidad dos a lo lardo de la corona del talud.

Figura 4.22: Distribución de los esfuerzos cortantes (τ12)

64


−25

−20

−15

−10

−5

0

−0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Pro

fund

idad

[m]

ε12


(a) Profundidad unos lo largo de la pata del talud.

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

−0.004 −0.002 0 0.002 0.004 0.006P

rofu

ndid

ad [m

] ε12


(b) Profundidad unos lo largo de la corona del talud.

Figura 4.23: Distribución de deformaciones cortantes (ε12)

(a) Esfuerzos cortantes (τ12) (b) Deformaciones cortantes (ε12)

Figura 4.24: Escarpes en modelos concavos (modelo 6)

4.2.2. Indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones

A través de un análisis cuantitativo se hallaron indicadores de concentraciones de es-

fuerzos Von Mises (J2), esfuerzos efectivos y deformaciones máximas en la zona de estudio

del talud (Figura 4.15) por medio de una relación de áreas que conforman los contornos

65


de esfuerzos y una análisis de frecuencias. Los indicadores representan todo el tensor de

esfuerzos y deformaciones presentando diferencias entre los modelos con el �n de establecer

un grado de suceptibilidad en el factor de geomorfológico del talud.

Se realizó una relación de áreas de los contornos para hallar un esfuerzo y deformación

equivalente o un indicador de de esfuerzos, el cual represente el tensor de esfuerzos y defor-

maciones en la cara y pata del talud (Figura 4.15). Se calcularon las áreas de los contornos

de cada uno de los modelos (Figura 4.25) aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 . En la Tabla

4.1 se observa los indicadores de concentración de esfuerzos en cada geometría. En la Figu-

ra 4.26 se representa la in�uencia de la geometría en cada unas de las variables analizadas

(esfuerzos efectivos, esfuerzos Von Mises y deformaciones máximas).

σeq =∑i=1

ai,σ · σi,atotal

(4.1)

εeq =∑i=1

ai,σ · εiatotal

(4.2)

donde

ai: El área de los contornos.

σi: Esfuerzo máximo y mínimo que establece cada contorno.

εi: Deformación máxima que establece cada contorno.

atotal: Área total de todos de los contornos de la zona de estudio.

σeq: Indicador de concentración de esfuerzos Von mises y esfuerzos efectivos.

εeq: Indicador de concentración de deformaciones.

(a) Contorno del esfuerzos máximo en Abaqus (b) Área del contorno color amarillo claro

Figura 4.25: áreas de los contornos

66


Tabla 4.1: Indicadores de concentraciones de esfuerzos y deformaciones

Modelos Esfuerzo desviador (J2) (kPa) Esfuerzo efectivo (kPa) Deformación máxima (%)1 58.221 -7.385 0.6912 49.141 2.119 1.6083 41.160 -17.013 1.1284 73.600 20.810 0.1575 81.400 24.026 2.4646 79.923 17.680 0.1727 72.268 -0.058 2.9968 0.513 0.231 0.6789 74.117 -8.279 0.893

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−20

0

20

40

60

80

100

Modelo

Esf

uerz

o (K

Pa)

1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Def

orm

ació

n (%

)

Esfuerzo efectivo mínimoEsfuerzo Von Mises

Deformación máxima

Figura 4.26: Indicadores de concentraciones de esfuerzos y deformaciones en cada modelo

Para la realización de los indicadores de frecuencia de esfuerzos Von Mises J2, esfuerzos

efectivos máximos σ′max y deformaciones axiales máximas εmax se hizo la recolección de

datos en toda la super�cie de la cara y pata del talud de cada uno de los modelos con el

�n de de observar los rangos más frecuentes de cada indicador en la super�cie del talud.

Las consideraciones tomadas en cuenta para la realización de los histogramas del análisis

de frecuencia fueron:

67


Para de�nir el número de las marcas de clase de cada indicador se utilizó la siguiente

ecuación (Kottegoda and Rosso, 1997):

nc = 1 + 3,3 · log10(n) (4.3)

donde

nc, es el número de marcas de clases. n, es el número de datos obtenidos en la super�cie

del talud de cada indicador.

Para el rango existente entre las marcas de clase (nc) de cada indicador se utilizó la

siguiente ecuación (Kottegoda and Rosso, 1997):

lnc =(max(indicador)−min(indicador))

nc(4.4)

donde

lnc, es el rango entre marcas de clase de cada indicardor. max y min, es el dato mayor

y menor de todos los datos obtenidos por indicador respectivamente.

La frecuencia relativa que es el porcentaje de los números existentes entre marcas

de clases por el número total de los datos de la serie de indicadores. La sumatoria

de todas las frecuencias relativas obtenidas debe ser igual a 1. Se utilizó la siguiente

ecuación (Kottegoda and Rosso, 1997):

fnci =ndatosnci

n(4.5)

donde

fnci, es frecuencia relativa para cada marca de clase. ndatosnci, es el número de datos

presentes en la marca de clase nci.

A continuación se presentan en las Figuras 4.27, 4.28 y 4.29 todos los resultados

obtenidos del análisis de frecuencia de los modelos por cada indicador (esfuerzos Von Mises

J2, esfuerzos efectivos máximos σ′max y deformaciones axiales máximas εmax):

68


0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Fre

cuen

cia

rela

tiva

−14

.542 0

14.5

42

29.0

84

43.6

26

58.1

68

72.7

1

87.2

51

101.

793

116.

335

130.

877

145.

419

Modelo 1

Modelo 4

Modelo 7

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

(a) Modelos 1, 4 y 7.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Fre

cuen

cia

rela

tiva

−18

.227 0

18.2

27

36.4

54

54.6

81

72.9

08

91.1

35

109.

362

127.

589

145.

816

164.

043

182.

27

Modelo 2

Modelo 5

Modelo 8

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

(b) Modelos 2, 5 y 8.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Fre

cuen

cia

rela

tiva

−16

.582 0

16.5

82

33.1

65

49.7

47

66.3

29

82.9

12

99.4

94

116.

077

132.

659

149.

241

165.

824

Modelo 3

Modelo 6

Modelo 9

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

(c) Modelos 3, 6 y 9.

Figura 4.27: Histogramas de análisis de frecuencia de esfuerzos Von Mises J2 de los modelos.

69


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Fre

cuen

cia

rela

tiva

−7.

978 0

7.97

8

15.9

55

23.9

33

31.9

11

39.8

89

47.8

66

55.8

44

63.8

22

71.8

79.7

77

Modelo 1

Modelo 4

Modelo 7

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30


0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Fre

cuen

cia

rela

tiva

−9.

44 0

9.44

18.8

79

28.3

19

37.7

59

47.1

99

56.6

38

66.0

78

75.5

18

84.9

58

94.3

97

Modelo 2

Modelo 5

Modelo 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Fre

cuen

cia

rela

tiva

−7.

747 0

7.74

7

15.4

93

23.2

4

30.9

87

38.7

33

46.4

8

54.2

26

61.9

73

69.7

2

77.4

66

Modelo 3

Modelo 6

Modelo 9

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30


Figura 4.28: Histogramas de análisis de frecuencia de esfuerzos efectivos máximos σ′max delos modelos.

70


0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fre

cuen

cia

rela

tiva

0

0.29

4

0.58

8

0.88

3

1.17

7

1.47

1

1.76

5

2.05

9

2.35

4

2.64

8

2.94

2

3.23

6

Modelo 1

Modelo 4

Modelo 7

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Fre

cuen

cia

rela

tiva

0

0.29

4

0.58

8

0.88

3

1.17

7

1.47

1

1.76

5

2.05

9

2.35

4

2.64

8

2.94

2

3.23

6

Modelo 2

Modelo 5

Modelo 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Fre

cuen

cia

rela

tiva

0

0.29

4

0.58

8

0.88

3

1.17

7

1.47

1

1.76

5

2.05

9

2.35

4

2.64

8

2.94

2

3.23

6

Modelo 3

Modelo 6

Modelo 9

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


Figura 4.29: Histogramas de análisis de frecuencia de deformaciones axiales máximas εmaxde los modelos.

71


También se realizó el cálculo de los siguientes parámetros estadísticos de los datos

obtenidos de los indicadores de esfuerzos Von Mises J2, esfuerzos efectivos máximos σ′maxy deformaciones axiales máximas εmax presentes en las Tablas 4.2, 4.3 y 4.4 asumiendo

normalidad el objetivo de:

Primer momento (Media µ): Muestra la tendencia central de la distribución donde

xi es cada uno de los valores obtenidos con el �n de conocer la el valor del indicador

promedio que tiene la super�cie de cada modelo y se calcula de la siguiente manera

(Kottegoda and Rosso, 1997):

µ =1

n·n∑xi (4.6)

Mediana: Permite conocer el número central del tamaño de la muestra obtenidos de

cada indicador. Se obtiene con la organización de los datos de forma descendente con

el objetivo de ubicar la posición central del número total de datos teniendo en cuenta

que si el tamaño de números de datos es impar, se toma el valor central pero si es par

se toman las dos posiciones centrales y se dividen entre dos (Kottegoda and Rosso,

1997).

Desviación estándar Sx: Permite conocer la desviación existente entre los datos ob-

tenidos por indicador respecto su media y se calcula con la siguiente ecuación (Kot-

tegoda and Rosso, 1997):

Sx =

√1

n·n∑

(xi − µ)2 (4.7)

Coe�ciente de variación V : Tiene el �n de conocer que tan diferentes están los valores

sobre la super�cie del talud para cada indicador. Su cálculo es la relación entre de

desviación estándar Sx y la media µ arrojando un porcentaje entre estos.

Sx =

√1

n·n∑

(xi − µ)2 (4.8)

72


Tabla 4.2: Parámetros estadísticos en el esfuerzos Von Mises (J2) (kPa)

Modelos Media Mediana Máximo Mínimo Desviación estándar Coe�ciente de variación1 29.982 18.532 85.534 0.390 22.662 0.7552 33.985 31.495 87.438 2.892 19.347 0.5693 26.046 18.358 87.680 0.870 21.687 0.8324 65.696 67.795 124.304 10.837 35.402 0.5395 71.309 78.864 201.507 4.219 39.767 0.5576 72.562 75.205 121.790 10.057 29.490 0.4067 53.170 28.555 160.352 6.9644 44.146 0.8308 74.137 47.146 184.619 1.010 56.112 0.7569 79.210 58.205 183.213 0.8066 54.035 0.682

Tabla 4.3: Parámetros estadísticos en el esfuerzos efectivo máximo (kPa)

Modelos Media Mediana Máximo Mínimo Desviación estándar Coe�ciente de variación1 -4.140 -8.713 26.866 -36.890 20.634 4.9842 4.502 3.982 35.726 -35.852 24.026 5.3363 -5.948 -9.283 31.150 -36.694 21.947 3.6894 24.926 28.856 50.864 -19.081 14.341 0.5755 27.277 30.967 67.189 -19.096 16.154 0.5926 23.207 28.071 48.484 -18.638 14.670 0.6327 10.144 13.320 41.013 -34.049 17.440 1.7198 17.461 20.803 44.147 -36.647 17.976 1.0299 3.097 2.095 37.836 -36.728 19.266 6.219

Tabla 4.4: Parámetros estadísticos en la deformación máxima axial (%)

Modelos Media Mediana Máximo Mínimo Desviación estándar Coe�ciente de variación1 0.619 0.785 3.236 0.003 0.636 1.0272 0.603 0.095 7.390 0.002 0.951 1.5763 0.542 0.488 1.630 0.004 0.536 0.9874 0.1466 0.128 1.050 0.047 0.175 1.1955 0.193 0.154 2.210 0.081 0.274 1.4186 0.157 0.136 0.605 0.0507 0.127 0.8127 0.419 0.090 2.996 0.0295 0.564 1.3458 0.513 0.231 5.633 0.064 0.722 1.4059 0.801 0.674 2.916 0.005 0.698 0.870

73

Capítulo 5

Análisis y discusiones de resultados

Este capítulo presenta el análisis y discusión de los resultados obtenidos del post-

procesamiento por medio de elementos �nitos. Se analizó la variación porcentual de los

esfuerzos y deformaciones en la cara y pata del talud Figura 4.15. Los contornos en los

esfuerzos y deformaciones por corte (τ12, ε12) se analizaron por medio de diagramas de

barras, los indicadores de concentración de esfuerzo en el procedmiento de los esfuerzos

equivalentes por medio de relaciones de áreas se analizaron las variables de esfuerzos efec-

tivos máximos (σ′mximo), el esfuerzo Von Mises (j2) y las deformaciones axiales máximas

por medio de diagramas de barras en cada una de las geometrías. En el análisis de fre-

cuencia de los indicadores se analizaron por medio de histogramas con base a un análisis

estadísticos con el �n de observar la variación porcentual en cada una de las variables. Por

último se proponen valores de estabilidad para calcular grados de susceptibilidad debido al

factor geomorfológico. Se calcularon por medio de la variación porcentual presentadas en

los histogramas y diagramas de barras.

5.1. Variación de los contornos de esfuerzos y deformaciones

por corte

Partiendo de los contornos que están en las Figuras 4.12, 4.13 y 4.14 del capítulo

4. Se presentan los esfuerzos máximos cortantes y la variación porcentual que existe entre

cada uno de los modelos (Tabla 5.1) y en la grá�ca de la Figura 5.1, considerando que el

esfuerzo máximo entre todos los modelos es del 100%. Se observa que los modelos convexos

en planta y per�l son el doble de susceptibles a fallar por corte, donde el modelo 2 alcanza

a presentar una variación porcentual en esfuerzos cortantes analizado en el plano (XY).

En la Tabla 5.2 se presenta los valores de las variaciones de las deformaciones por

corte evaluadas en el plano (XY) de los 9 modelos. De manera ilustrativa se representa

74

5.1. Variación de los contornos de esfuerzos y deformaciones por corte

el diagrama de barras en la Figura 5.2 donde se evidencia nuevamente gran variación de

las deformaciones en modelos con geometría convexa en per�l y planta (modelos 2 y 8),

logrando evidenciar una relación entre esfuerzos y deformaciones por corte.

Tabla 5.1: Valores de esfuerzos cortantes (τ12) con su respectiva variación porcentual halla-dos por los contornos de esfuerzo.

Modelo (Planta-Per�l) Esfuerzos cortantes(kPa) Variación porcentual1. Recto-Recto 50.630 56.4%2. Recto-Convexo 89.790 100.0%3. Recto-Cóncavo 33.010 36.8%4. Convexo-Recto 43.830 48.8%5. Convexo-Convexo 87.140 97.0%6. Convexo-Cóncavo 43.220 48.1%7. Cóncavo-Recto 42.200 47.0%8. Cóncavo-Convexo 84.670 94.3%9. Cóncavo-Cóncavo 36.220 40.3%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modelos

Esf

uerz

os a

l cor

te τ

12 [%

]

020

4060

8010

0

Figura 5.1: Variación porcentual de los esfuerzos máximos al corte (τ12).

75

Capítulo 5. Análisis y discusiones de resultados

Tabla 5.2: Valores de deformaciones cortantes ε12 con su respectiva variación porcentualhallados por los contornos de deformación.

Modelo (Planta-Per�l) Deformaciones cortantes ε12 (kPa) Variación porcentual%1. Recto-Recto 3.06 33.3%2. Recto-Convexo 9.17 100.0%3. Recto-Cóncavo 0.86 9.3%4. Convexo-Recto 0.91 9.9%5. Convexo-Convexo 2.51 27.4%6. Convexo-Cóncavo 0.62 6.8%7. Cóncavo-Recto 4.46 48.6%8. Cóncavo-Convexo 7.51 89.9%9. Cóncavo-Cóncavo 2.17 23.7%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modelos

Def

orm

ació

n al

cor

te ε

12 [%

]

020

4060

8010

0

Figura 5.2: Variación porcentual de las deformaciones cortantes (ε12).

5.2. Variación de los indicadores de concentración de esfuer-

zos y deformaciones

En las Tablas ( 5.3, 5.4 y 5.5) y Figuras ( 5.3, 5.4 y 5.5) se presentan la variación por-

centual de los indicadores de concentración de esfuerzos (esfuerzo efectivo máximo, esfuerzo

Von Mises y deformaciones máximas) calculados por el procedimiento de las relaciones de

76

5.2. Variación de los indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones

áreas explicado en el capítulo anterior. En términos de esfuerzos efectivos se observa la

gran variación porcentual en los modelos rectos y cóncavos en per�l, debido a las zonas

de convergencia del �ujo donde disminuyen los esfuerzos efectivos. En modelos convexos se

presenta un bajo porcentaje por causa del efecto de divergencia del �ujo.

En los esfuerzos de Von Mises los modelos que varían su forma en planta (modelos 4, 5, 6,

7, 8, 9) presentan las mayores variaciones en comparación de los modelos rectos en planta

(modelos 1, 2, 3).

La mayor variación en las deformaciones axiales se presenta nuevamente en el modelo 5

con geoforma cóncava en planta y per�l como se evidenció en los resultados de las líneas

de análisis en la Figura 4.19.

Tabla 5.3: Valores de esfuerzos efectivos máximos (σ′max) con su respectiva variación por-centual hallados por medio de los indicadores de concentración de esfuerzo.

Modelo (Planta-Per�l) Esfuerzos efectivos máximos (σmax) (kPa) Variación porcentual%1. Recto-Recto -7.39 85.0%2. Recto-Convexo 2.12 70.6%3. Recto-Cóncavo -17.01 100%4. Convexo-Recto 20.81 41.9%5. Convexo-Convexo 24.03 36.9%6. Convexo-Cóncavo 17.68 46.7%7. Cóncavo-Recto -0.06 73.9%8. Cóncavo-Convexo 8.56 60.7%9. Cóncavo-Cóncavo -8.28 86.6%

Tabla 5.4: Valores de esfuerzos Von Mises (J2) con su respectiva variación porcentual ha-llados por medio de los indicadores de concentración de esfuerzo.

Modelo (Planta-Per�l) Esfuerzos Von Mises (J2) (kPa) Variación porcentual%1. Recto-Recto 58.22 71.5%2. Recto-Convexo 49.14 60.4%3. Recto-Cóncavo 41.16 50.6%4. Convexo-Recto 73.60 90.4%5. Convexo-Convexo 81.40 100%6. Convexo-Cóncavo 79.92 98.2%7. Cóncavo-Recto 72.27 88.8%8. Cóncavo-Convexo 72.91 90.8%9. Cóncavo-Cóncavo 74.12 91.1%

77


Tabla 5.5: Valores deformación axial máxima (εmax) con su respectiva variación porcentualhallados por medio de los indicadores de concentración de deformación.

Modelo (Planta-Per�l) Deformación axial máxima (εmax)% Variación porcentual%1. Recto-Recto 0.01 28.1%2. Recto-Convexo 0.02 65.3%3. Recto-Cóncavo 0.01 45.8%4. Convexo-Recto 0.002 6.4%5. Convexo-Convexo 0.02 100%6. Convexo-Cóncavo 0.002 7.0%7. Cóncavo-Recto 0.01 27.5%8. Cóncavo-Convexo 0.01 32.9%9. Cóncavo-Cóncavo 0.01 36.6%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modelos

Indi

cado

res

de e

sfue

rzos

efe

ctiv

os m

ínim

os

σ"m

in [%

]

020

4060

8010

0

Figura 5.3: Variación porcentual de los esfuerzos efectivos máximos (σ′max) (kPa).

78

5.2. Variación de los indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modelos

Indi

cado

res

de e

sfue

rzos

des

viad

ores

Von

Mis

es J

2 [%

]

020

4060

8010

0

Figura 5.4: Variación porcentual de los esfuerzos Von Mises (J2) (kPa) .

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modelos

Indi

cado

res

de d

efor

mac

ione

s m

áxim

as ε

max

[%]

020

4060

8010

0

Figura 5.5: Variación porcentual de ladeformación axial máxima (εmax).

79


Las variaciones porcentuales en el análisis de frecuencias son cercanas a las calculadas

por las relaciones de área, lo cual genera comportamientos similares de los taludes en las

diferentes condiciones analizadas. En la Tabla 5.6 y Figura 5.6 se observa resultados

similares en comparación de la Tabla 5.3 y Figura 5.3 calculados por las relaciones de

área.

Tabla 5.6: Valores de esfuerzos efectivos máximos (σ′max) con su respectiva variación por-centual hallados por medio del análisis de frecuencia.

Modelo (Planta-Per�l) Esfuerzos efectivos máximos (σmax) (kPa) Variación porcentual%1. Recto-Recto -4.14 97.0%2. Recto-Convexo 4.50 82.7%3. Recto-Cóncavo -5.95 100.0%4. Convexo-Recto 24.93 49.0%5. Convexo-Convexo 27.28 45.1%6. Convexo-Cóncavo 23.21 51.8%7. Cóncavo-Recto 10.14 73.4%8. Cóncavo-Convexo 17.46 61.3%9. Cóncavo-Cóncavo 3.10 85.1%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modelos

Aná

lisis

de

frec

uenc

ia d

e es

fuer

zos

efec

tivos

mín

imos

σ"

min [%

]

020

4060

8010

0

Figura 5.6: Variación porcentual de los esfuerzos efectivos máximos(σ′max) (kPa) calculadopor medio del análisis de frecuencia.

80

5.3. Valores de estabilidad para grados de susceptibilidad frente a deslizamiento

5.3. Valores de estabilidad para grados de susceptibilidad fren-

te a deslizamiento

El primer acercamiento para estudiar la amenaza en una zona vulnerable por causa de

un evento amenazante se lleva a cabo en el cálculo de grados de susceptibilidad del terreno.

El mapa de amenaza de la ciudad de Bogotá se realizó por medio de la técnica de mapeo

llamada sistema semicuantitativo de estabilidad (SES) siguiendo las etapas presentadas a

continuación (INGEOCIM, 1998):

Identi�cación de la zona de estudio.

Implementación modelo de evaluación.

Evaluación de susceptibilidad.

Evaluación de agentes detonantes.

Evaluación de amenaza por movimientos en masa.

En la etapa de evaluación de la susceptibilidad se tiene en cuenta los factores asocidados

a la estabilidad del terreno divididos en factores condicionantes, contribuyentes y detonan-

tes al movimiento. El documento INGEOCIM (1998) evaluó los grados de susceptibilidad

frente a deslizamientos de�niendo parámetros de análisis en términos de litología, geomor-

fología y hidrologeología de diferentes localidades de la ciudad de Bogotá.

El sistema semicuantitativo de estabilidad (SES) implementado en el mapa de amenaza

de Bogotá evaluó el factor geomorfológico teniendo en cuenta la pendiente promedio y

la forma del talud en un per�l longitudinal. En la Tabla 5.7 se presentan los valores

de estabilidad propuestos por INGEOCIM (1998) de�nidos por medio de metodologías

heurísticas para calcular grados de susceptibilidad debido a la geomorfología, donde la

suma ponderada de los valores representa el grado de susceptibilidad del terreno.

Tabla 5.7: Valores de estabilidad del factor geomorfológico en taludes de dos dimensiones

Forma en per�l longitudinal Valor de estabilidadConvexo 26Rectilíneo 25Cóncavo 22

Este trabajo de investigación propone valores de estabilidad cuantitativos de diferentes

taludes que varían su geoforma en planta y per�l. Los valores se calcularon por medio de

un análisis por elementos �nitos y una relación constitutiva elasto-plástica acoplado con

81


�ujo. Se calcularon valores de estabilidad por diferentes procedimientos para analizar la

variación de los esfuerzos debido a la geomorfología. La primera es el análisis de la varia-

ción de los esfuerzos efectivos por medio de los contornos o isolíneas. La segunda es por

medio de indicadores de esfuerzos que representan el tensor de esfuerzos. La escala propues-

ta para los valores de estabilidad es de 0 a 1, donde 1 se considera una mayor susceptibilidad.

Se seleccionaron los valores porcentuales de los diferentes análisis realizados en la sec-

ciones 5.1 y 5.2. En las siguientes tablas se presentan los valores de estabilidad propuestos

para los dos análisis realizados. Se propusieron valores de estabilidad en función de los es-

fuerzos (esfuerzos cortantes, deformaciones cortantes, esfuerzos efectivos máximos, esfuerzos

Von Mises y deformaciones axiales máximas.

Tabla 5.8: Valores de estabilidad en términos de los esfuerzos cortantes (τ12).

Modelo (Planta-Per�l) Valores de estabilidad1. Recto-Recto 0.5642. Recto-Convexo 1.0003. Recto-Cóncavo 0.3684. Convexo-Recto 0.4885. Convexo-Convexo 0.9706. Convexo-Cóncavo 0.4817. Cóncavo-Recto 0.4708. Cóncavo-Convexo 0.9439. Cóncavo-Cóncavo 0.403

Tabla 5.9: Valores de estabilidad en términos de deformaciones cortantes (ε12) .


82

5.3. Valores de estabilidad para grados de susceptibilidad frente a deslizamiento

Tabla 5.10: Valores de estabilidad en términos esfuerzos efectivos máximos (σ′max).


Tabla 5.11: Valores de estabilidad en términos del esfuerzo Von Mises (J2)


Tabla 5.12: Valores de estabilidad en términos de deformación axial máxima (εmax).


83


Con los valores de estabilidad mostrados entre las Tablas 5.8- 5.12 donde muestran todos

los parámetros asociados a los comportamientos físicos de cada geomorfología de talud, se

decidió proponer como únicos valores de estabilidad los presentes en la tabla 5.8 debido

que los esfuerzos cortantes (τ12) son los que condicionan a tener mayor susceptibilidad a

fallar presentándose en la siguiente Tabla 5.13:

Tabla 5.13: Valores propuestos de estabilidad en términos de los esfuerzos cortantes (τ12).


Para �nalizar, se observa una relación entre la metodología semicuantitativa propuesto

por INGEOCIM (1998) y el análisis cuantitativo por medio de elementos �nitos donde las

geoformas con per�l convexo presentan altos valores de estabilidad generando más suscep-

tibilidad al movimiento. La diferencia entre la metodología semicuantitativa propuesto por

INGEOCIM (1998) y el análisis cuantitativo por medio de elementos �nitos son que las

geoformas con per�l recto tienen valores de susceptibilidad cercanos a las geoformas en

per�l convexo, acercándose más a los valores de estabilidad con per�l cóncavo.

84

Capítulo 6

Conclusiones

A partir de los resultados obtenidos, se pueden derivar las siguientes conclusiones:

Considerando los diferentes resultados obtenidos se identi�caron dos condiciones crí-

ticas en el análisis del problema. La disminución de los esfuerzos efectivos principales

y el aumento en la concentración de esfuerzos cortantes. Dando como resultado ma-

yores susceptibilidades en las geoformas convexas en fallar por corte. En cambio, en

geoformas con contornos cóncavos y rectos se evidencia una pérdida súbita de los

esfuerzos efectivos debido a la concentración causada por la convergencia de las líneas

del �ujo de agua.

Las geoformas que presentan transiciones de concavidades como en planta o per�l pre-

sentan altas concentraciones de esfuerzos cortantes en la pata del talud ocasionando

un aumento en la susceptibilidad de posibles fallas progresivas.

Los resultados de los indicadores obtenidos por el método de las relaciones de área

tienen como ventaja la no dependencia del re�namiento de la malla debido a que la

formulación matemática calcula el centroide del indicador.

La transición de concavidades de las geoformas en planta son considerados los modelos

más susceptibles frente algún tipo de movimiento, donde la transición de la forma

convexa en per�l y cóncava en planta experimenta altas concentraciones de esfuerzos

cortantes y disminución de los esfuerzos efectivos, presentando las dos condiciones

críticas establecidas. Por otro lado la forma cóncava en per�l y convexa en planta

presenta los menores esfuerzos efectivos principales.

Los indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones re�ejan la in�uencia

marcada del factor geomorfológico en el nivel de susceptibilidad del talud. Permitiendo

de�nir valores de estabilidad de esfuerzos y deformaciones en las diferentes geoformas,

85

Capítulo 6. Conclusiones

con el �n de poder elaborar mapas de susceptibilidad con metodologías válidas y

objetivas.

Los valores de estabilidad propuestos se calcularon por medio de un análisis en elemen-

tos �nitos, el cual permite utilizar modelos constitutivos elasto-plásticos y modelos

de �ujo con el �n de análizar la in�uencia del factor geomorfológico en el tensor de

esfuerzos y deformaciones en cada geoforma de taludes.

86

Capítulo 7

Resumen y perspectivas

7.1. Resumen

Con el trabajo presentado se logró entender la in�uencia del factor geomorfológico en

la respuesta hidrológica en 9 distintas formas de taludes de tres dimensiones, analizan-

do el tensor de esfuerzos y deformaciones en un modelo constitutivo elasto-plástico Mohr

Coulomb. Se empleó el software Abaqus que emplea el método de elementos de �nitos para

analizar la variación de los esfuerzos efectivos debido a los efectos de la �ltración de agua,

con el �n de calcular indicadores de esfuerzos Von Mises, esfuerzos efectivos máximos y de-

formaciones axiales máximas en la super�cie comprendida entre la cara y la pata del talud

los cuales pueden aportar al momento de la asignación de factores o pesos para calcular la

susceptibilidad del factor geomorfológico de un talud.

7.2. Perspectivas

Varias preguntas quedan abiertas tras la �nalización de esta investigación donde se de-

jaron de tener en cuenta varias consideraciones importantes en la estabilidad del talud.

La consideración de la estrati�cación y el �ujo transitorio condicionan el estado de es-

fuerzos y deformaciones. Referente a lo anterior cabe preguntarse cuánto cambiarían los

pesos del factor geomorfológico respecto el estado de esfuerzos y deformaciones en cada

geometría teniendo en cuenta una estrati�cación y el �ujo transitorio. ¾Se llegaría a resul-

tados lógicos y convincentes como los obtenidos en el presente trabajo, teniendo en cuenta

dichas consideraciones?.

Los valores de estabilidad propuestos podrían acoplarse en un diseño probabilístico de la

susceptibilidad disminuyendo la incertidumbre con la que hoy en día se calculan. El cálculo

87

Capítulo 7. Resumen y perspectivas

de nuevos valores de estabilidad para zonas claves que determinen un comportamiento

crítico in�uyendo en la susceptibilidad del talud, podrían agregarse nuevas restricciones o

proponer nuevas metodologías en que puedan usarse y así tener mayor con�abilidad para

elaboración de mapas de susceptibilidad. Por último, qué tanto afectaría los resultados, sí

no se consideran restricciones laterales en cualquier plano de las caras del talud, como se

realizó en el presente trabajo. Todas las consideraciones y preguntas por resolver se de-

berían tener en cuenta en su continuidad para tener mayor entendimiento en la incidencia

de la �ltración de agua en el tensor de esfuerzos debido a geoformas del talud.

88

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