Análisis derivativo de funciones Cuarto Semestre Presenta: Karen Adriana Bustos Fajardo Clara Luz Lugo Parra Docentes del plantel Xalapa

Tipo de Módulo Básico

Determinación de elementos de funciones

Dibuja esta palomita si la oración que se presenta a continuación es correcta o una cruz es incorrecta.

Una constante es un valor que cambia.

Una variable puede tomar un solo valor

Variable independiente. - Es aquella a la cual se le puede asignar cualquier valor de un conjunto de datos.

Variable dependiente. - Es aquella que como su nombre lo indica, depende de los valores asignados a otra variable denominada independiente.

Las Variable independiente Se representa normalmente por las ultimas letras del alfabeto ( x,y,z).

Unidad 1 1. Aplicación de la derivada con estrategias variacionales. 1.1 Determina la razón del cambio de una variable y lo representa en tablas y gráficas. Actividades según programa de estudios Conalep

Definición de función y relación.

En nuestra vida cotidiana frecuentemente hemos tenido experiencia con correspondencias o relaciones, por ejemplo: En el súper, a cada artículo le corresponde un precio A cada estudiante le corresponde una calificación en el módulo de matemáticas A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números Antes de hablar de función y relación debemos mencionar que estos parten de 2 conjuntos, veamos la definición de conjunto.

DEFINICIÓN BREVE DE CONJUNTO Un conjunto se puede definir como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que conforman el conjunto son llamados elementos de un conjunto.

Por ejemplo: En el salón de clases la maestra decide que trabajaran en parejas Alma con Luis, Alejandro con José y Javier con

Maira.

Alma

Alejandro

Javier

Luis

José

Maira

A B

Dominio Rango

Relación Es la asociación entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B.

Una Función es una relación a la que se le añade la restricción de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del rango. Una Función es una regla de correspondencia que asocia cada elemento del dominio con solo un elemento del rango.

Relación es la correspondencia de un primer conjunto llamado dominio, con un segundo conjunto llamado rango o contradominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del rango.

Dominio Al conjunto “A“ o primer conjunto se le llama dominio

Rango Al conjunto “B “o segundo conjunto se le llama rango

Función Es una asociación entre los elementos del conjunto A y el conjunto B, tal que a cada elemento de A le corresponde un

único elemento de B.

Laura

Paty

Paloma

Chamarra

Abrigo

Sweaters

Juan

Jair

José

Laura

Paty

Paloma

A B A A B

Actividad Determina si las siguientes correspondencias entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B es una función (marcando con una X), explicando el porqué.

A B 1.

Es función

¿Porque?

A B 2.

Es función

¿Porque?

Y 1

Y 2

Y 3

X4

Si No X 1

X 2

X 3

X 4

X 5

Si No X 1

X 2

X 3

X

Y 1

Y 2

Y 3

Dominio y rango.

Recuerda que:

Dominio Al conjunto “A “o primer conjunto se le llama dominio, es decir los valores

“x“, son los elementos que forman el DOMINIO

Rango Al conjunto “B “o segundo conjunto se le llama rango es decir los valores de “y “, son los elementos que forman el RANGO

Ejemplo 1

Si tenemos la función f(x) = {(1,a) (2,b) (3,c)} , encuentra el dominio y el rango.

1 2 3

a b c

Dominio Rango

Ejemplo 2 Si tenemos la función f(x) = x2-1 y los valores de x son 2,4 y 6; encuentra el dominio y el rango. Primer paso: Los valores de “x” es decir los valores del dominio los obtenemos directamente de los datos del ejemplo, entonces el dominio es {2,4,6}. Segundo paso: Los valores de “y” es decir el rango, los obtenemos sustituyendo los valores de x en la función dada, Por lo tanto, el rango es {3,15,35}. Resumiendo:

Dominio Rango

Actividad Si tenemos la función f(x) = 2x+3 y los valores de “x” son 1,2,3,0,-1,-2,-3; encuentra el dominio, rango y grafica la función.

x f(x) = x2-1 y 2 f(2) = (2)2-1 3 4 f(4) = (4)2-1 15 6 f(6) = (6)2-1 35

2 4 6

3

15

35

Clasificación de funciones Existen diferentes criterios para clasificar las funciones: Primer criterio

1. Explícitas 2. Implícitas

Segundo Criterio

Constante Identidad lineal Cuadrática Algebraicas Cúbica Racional Funciones logarítmicas Trascendentes Trigonométricas Exponenciales

Tercer Criterio

1. Crecientes 2. Decrecientes

F(x)=2x

Se trata de una función lineal.

F(x)=5𝒙𝟐+2

Se trata de una función cuadrática.

Ejemplos de graficas de funciones

F(x)=𝒙𝟑

Se trata de una función cúbica.

Actividad Graficar las siguientes funciones y determina de que tipo son: 1. y=x+2

2. y=x2+1

3. y=x3 +1

Recuerda: Si deseas practicar utiliza las fórmulas plasmadas aquí, sólo cambia valores de los ejercicios.

¡Tú puedes!

Unidad 1 1. Aplicación de la derivada con estrategias variacionales 1.2 Analiza la razón del cambio de la variable, de acuerdo con los patrones establecidos en el movimiento lineal. Actividades según programa de estudios Conalep

Cálculo de límites de funciones El límite de una función es el valor al cual se pretende llegar, pero nunca se llega.

Límite una función de forma directa.

Ejemplo: Calcular el límite de la siguiente función f(x)= 3x2 -3 cuanto x= 0

Primer paso: Representas la función en forma de límite lím= 3x2 -3 x 0 Segundo paso: Sustituir el valor de x, por el valor al que tiende lím= 3(0)2 -3 x 0 Tercer paso: Resolver las operaciones que se presenten lím= -3 x 0 Por lo tanto, el límite de la f(x)= 3x2 -3 es igual a lim=-3 x 0

Ejemplo: Calcular el límite de la siguiente función

f(x)= cuando x tiende a 1 Primer paso: Representas la función en forma de límite lím= x 1 Segundo paso: Sustituir el valor de x, por el valor al que tiende lím= ( ) ( )( ) x 1 Tercer paso: Resolver las operaciones que se presenten lím= x 1 lím= lím=0 Por lo tanto el límite de la f(x)= cuando x 1 es igual lím=0

Límite una función por factorización

Ejemplo: Calcular el límite de la siguiente función f(x)= cuando x tiende a 2

Primer paso: Representas la función en forma de límite Lim= X 2 Segundo paso: Sustituir el valor de x, por el valor al que tiende Lim= ( ) ( )( ) X 2 Tercer paso: Resolver las operaciones que se presenten Lim= X 2 Lim= X 2 Lim= NO EXISTE EL LÍMITE X 2 Como se puede notar, no es posible calcular el límite de la función de manera directa. Pero si factorizamos el numerador y el denominador, obtendremos: Cuarto paso: Se factoriza el numerador y el denominador.

Lim= X 2 Lim= ( )( )( ) ( ) X 2 Lim= ( )( )( ) ( ) X 2 Lim= ( )( ) X 2 Quinto paso: Se sustituye en la función factorizada el valor al

que tiende x.

Lim= ( )( ) X 2 Lim= (( ) )( ) X 2 Lim= X 2 Sexto paso: Se simplifica si es posible Lim= X 2 Por lo tanto, el límite de la f(x)= cuando x tiende a 2 es Lim=

Actividad

Calcula el l ímite de las siguientes funciones:

1. f(x)= (3x - 4) x → 1

2. f(x)= x → 3

3.- f(x)= x → 1 4.- f(x)= x2 - 25 = x – 5

Recuerda: Si deseas practicar utiliza las fórmulas plasmadas aquí, sólo cambia valores de los ejercicios.

¡Tú puedes!

Unidad 1 1. Aplicación de la derivada con estrategias variacionales. 1.3 Calcula el comportamiento de los cambios de la variable utilizando métodos numéricos. Actividades según programa de estudios Conalep

Unidad 2 2. Representación de la derivada como función 2.1. Grafica los máximos y mínimos en funciones lineales y no lineales, para localizar los puntos de inflexión. Actividades según programa de estudios Conalep

1

2

3

4

5

Unidad 2 2. Representación de la derivada como función 2.1. Grafica los máximos y mínimos en funciones lineales y no lineales, para localizar los puntos de inflexión. Actividades según programa de estudios Conalep

Recuerda: Si deseas practicar utiliza las fórmulas plasmadas aquí, sólo cambia valores de los ejercicios.

¡Tú puedes!

Unidad 2 2. Representación de la derivada como función 2.2. Calcular la tercera derivada de una función hasta encontrar el punto de inflexión. Actividades según programa de estudios Conalep

Recuerda: Si deseas practicar utiliza las fórmulas plasmadas aquí, sólo cambia valores de los ejercicios.

¡Tú puedes!

Instrucciones: Puedes realizar: Una reflexión de media cuartilla Un collage con recortes Fotos (de tu familia, personas o lo que quieras compartir).

Docente: KAREN ADRIANA BUSTOS FAJARDO