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Análisis de parámetros de influencia en la
definición de trayectorias 4D
Entregable 1 2018 (E1 2018): Desarrollo del
modelo de sistemas multi-estado (MSS)
aplicado a trayectorias 4D
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 I
Hoja de Identificación del documento
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado aplicado a trayectorias 4D
Código: N/A
Fecha: Junio 2018
Fichero: N/A
Autor: A. Rodríguez Sanz y D. Álvarez Álvarez.
Revisor: F. Gómez Comendador
Aprobado: N/A
Versiones:
Numero Fecha Autor Comentarios
01 Álvaro Rodríguez Sanz
David Álvarez Álvarez
Alejandro Rodríguez
Rodrigo Gómez
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 II
Resumen Ejecutivo
El actual enfoque funcional de la gestión del tráfico aéreo (ATM) está cambiando. Tanto
SESAR (Single European Sky ATM Research) como NEXTGEN (Next Generation Air
Transportation System) apoyan la aplicación de la trayectoria de cuatro dimensiones (4D)
dentro de sus conceptos operativos. Aparte de las tres dimensiones espaciales clásicas,
el "tiempo" se integra ahora como una cuarta dimensión adicional, que restringirá los
vuelos de los aviones sobre los waypoints indicados a lo largo de la trayectoria. Las
trayectorias 4D pueden entenderse como sistemas multi-estado (MSS) complejos que
dependen de las condiciones ambientales, internas y de uso. Un análisis de fiabilidad de
los waypoints y las ventanas de tiempo que describen la trayectoria 4D puede permitir a
los operadores aéreos y a los proveedores de servicios de tráfico aéreo establecer
indicadores de rendimiento y métricas de cumplimiento. Este trabajo desarrolla un modelo
para evaluar el potencial 'mal funcionamiento' de una trayectoria 4D, basado en la teoría
de la fiabilidad de los Sistema Multi-estado (MSS). Esta es una extensión natural de la
evaluación de estado binario clásica: las trayectorias presentan diferentes niveles de
rendimiento y varios modos de fallo (un rango de degradación). La evaluación de la
fiabilidad operacional, que se logra con los métodos de simulación de Monte Carlo y
procesos aleatorios (Markov), ofrece un marco para predecir cuán probable es que la
trayectoria entre en un estado degradado. Los parámetros que caracterizan la trayectoria
4D nos permiten definir un "vector de estado" que evoluciona con el tiempo y puede ser
aplicado para evaluar el progreso de la trayectoria 4D. Se utiliza este análisis para
cuantificar el nivel de variabilidad de la trayectoria en 4D y proponer medidas correctivas
para resolver posibles degradaciones de la trayectoria o situaciones no planificadas. La
metodología se valida a través de un estudio de caso práctico. La principal contribución
de este trabajo es proporcionar una metodología para evaluar la robustez de las
trayectorias 4D y tratar su perturbación, que es una piedra angular en la sincronización del
tráfico y la resolución de conflictos. Los resultados iniciales indican que la teoría MSS
proporciona un enfoque prometedor para la evaluación de la fiabilidad de las trayectorias
4D.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 III
Índice
1 Introducción ........................................................................................................................... 1
2 Pasos previos ........................................................................................................................ 3
3 Estado del arte ....................................................................................................................... 7
4 Desarrollo teórico ................................................................................................................. 11
4.1 Sistemas multi-estado: principales definiciones y propiedades ................................... 11
4.2 Modelo genérico de MSS ............................................................................................. 13
4.3 Procesos estocásticos ................................................................................................. 16
4.4 Cadenas de Markov ..................................................................................................... 17
5 Análisis de fiabilidad de la trayectoria 4D ............................................................................ 20
5.1 Análisis de los datos .................................................................................................... 21
5.2 Planteamiento inicial del modelo .................................................................................. 22
5.3 Modelo de 3 estados .................................................................................................... 25
5.4 Modelo de 4 estados: estado de control ...................................................................... 29
6 Explotación del modelo ........................................................................................................ 32
6.1 Funcionalidades MSS y Cadenas de Markov .............................................................. 32
6.2 Aplicación del modelo de 3 estados a la fase crucero ................................................. 35
6.3 Aplicación del modelo de 4 estados a la fase crucero ................................................. 38
7 Conclusiones ....................................................................................................................... 43
8 Trabajos futuros ................................................................................................................... 46
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 IV
9 Bibliografía ........................................................................................................................... 48
ANEXO I: DISTRIBUCIÓN DE ESTADOS Y Matrices de transición ............................................ 50
ANEXO Ii: Código MATLAB ......................................................................................................... 56
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 V
Índice de figuras
Figura 1: Tramos de la fase crucero .............................................................................................................................. 5
Figura 2: Ejemplificación de cadenas de Markov ........................................................................................................... 9
Figura 3: Esquema de sistema Multi-Estado ............................................................................................................... 11
Figura 4: Enfoques sistemas Multi-Estado ................................................................................................................... 12
Figura 5: Fiabilidad de un sistema. Enfoques .............................................................................................................. 13
Figura 6: Ejemplo cadenas de Markov ......................................................................................................................... 19
Figura 7: Enfoque de fiabilidad en trayectorias 4D ...................................................................................................... 20
Figura 8: Distribuciones iniciales de los parámetros .................................................................................................... 21
Figura 9: Intervalos de los estados asociados a una distribución normal .................................................................... 23
Figura 10: Esquema explicativo del cálculo de los intervalos en MATLAB .................................................................. 24
Figura 11´: Análisis causal. Intensidad de las relaciones entre los parámetros de e influencia en la trayectoria 4D .. 25
Figura 12: Distribución de las tasas de rendimiento en el modelo de 3 estados ......................................................... 26
Figura 13: Evolución del rendimiento medio instantáneo en el modelo de 3 estados ................................................. 36
Figura 14. Evolución de la deficiencia media instantánea en el modelo de 3 estados ................................................ 37
Figura 15. Evolución de la disponibilidad media instantánea en el modelo de 3 estados ........................................... 37
Figura 16. Evolución de la fiabilidad media instantánea en el modelo de 3 estados ................................................... 38
Figura 17. Evolución del rendimiento medio instantáneo en el modelo de 4 estados ................................................. 40
Figura 18. Evolución de la deficiencia media instantánea en el modelo de 4 estados ................................................ 40
Figura 19. Evolución de la disponibilidad media instantánea en el modelo de 4 estados ........................................... 41
Figura 20. Evolución de la fiabilidad media instantánea en el modelo de 4 estados ................................................... 42
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 VI
Índice de tablas
Tabla 1: Intervalos de las tasas de rendimiento del modelo de 3 estados en función de la distribución normal ......... 26
Tabla 2. (a) Matriz de transición de la velocidad; (b) Matriz de transición dl empuje; (c) Matriz de transición del alcance;
(d) Matriz de transición de la temperatura; (e) Matriz de transición de la masa .......................................................... 27
Tabla 3: Bloques de parámetros definidos en el sistema ............................................................................................ 28
Tabla 4: Matriz de transición global del sistema para el modelo de 3 estados ............................................................ 28
Tabla 5: Distribución de las tasas de rendimiento en el modelo de 4 estados ............................................................ 29
Tabla 6: Intervalos de las tasas de rendimiento del modelo de 4 estados en función de la distribución normal ......... 29
Tabla 7. (a) Matriz de transición de la velocidad; (b) Matriz de transición dl empuje; (c) Matriz de transición del alcance;
(d) Matriz de transición de la temperatura; (e) Matriz de transición de la masa .......................................................... 31
Tabla 8. Matriz de transición global del sistema para el modelo de 4 estados ............................................................ 31
Tabla 9: Resultados estacionarios modelo 3 estados .................................................................................................. 35
Tabla 10. Resultados estacionarios modelo 4 estados ................................................................................................ 39
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 VII
HOJA INTENCIONADAMENTE EN BLANCO
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 1
1 INTRODUCCIÓN
En el modelo de predicción de una trayectoria 4D se hace necesario llevar a cabo un método que
permita cuantificar su degradación. En el control de tráfico aéreo es de vital importancia garantizar
unos altos niveles de seguridad y eficiencia, y más aún en lo que se refiere a trayectorias 4D, ya
que en ellas se les exige a los usuarios de las aeronaves cumplir con unos tiempos determinados
lo más exactos posible. Por lo tanto, si se conoce cómo es y cómo evoluciona la degradación que
podría sufrir la trayectoria, uno de los beneficios inmediatos es que ayudaría a mejorar la predicción
y permitiría llevar a cabo un mejor pronóstico y proceso de toma de decisiones.
En definitiva, se debe comprobar que la trayectoria tiene un alto grado de fiabilidad; es decir, que
posee una alta probabilidad de que tenga un buen funcionamiento cumpliendo con las restricciones
que se le establecen en un momento determinado. Es por ello por lo que, se va a realizar un
correspondiente análisis de fiabilidad a través de diferentes metodologías como lo son las cadenas
de Markov y sistemas multi-estado.
En este análisis, es conveniente recalcar que el rendimiento de un sistema y, por consiguiente, su
fiabilidad, se ve afectado por gran cantidad de variables. No obstante, no todas esas variables
poseen la misma influencia en la tasa de rendimiento del sistema. Descubrir qué variables son las
que más importancia tienen será uno de los objetivos primordiales para que el análisis de fiabilidad
sea satisfactorio.
Además, se debe tener en cuenta que no sólo se debe conocer únicamente cómo es la
degradación que se sufre y a qué es debida, sino también ser capaz de aplicar las medidas
correctivas necesarias para solucionarla. Es decir, realizar un estudio predictivo tratando de evitar
que no ocurra la degradación y realizar un estudio correctivo para que, en caso de producirse,
estar capacitados para poder solucionarla.
Como se ha mencionado anteriormente, una de las metodologías que se usa es la relacionada
con las cadenas de Markov. En ellas, se definen unos estados para el sistema, y cada uno de ellos
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 2
depende únicamente del estado inmediatamente anterior. Su aplicación resulta muy útil para
analizar la fiabilidad si además se combina con la metodología de sistemas multi-estado. Esto
permite dividir el sistema en diferentes sub-operaciones donde cada estado tendrá su propia tasa
de rendimiento, y será posible llevar a cabo un mejor estudio de la incertidumbre que pudiera
existir.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 3
2 PASOS PREVIOS
En este punto se va a poner de manifiesto un breve resumen de los pasos previos que han
acontecido al desarrollo del presente Entregable, con la idea de poner de manifiesto en qué lugar
se encuentra el proyecto y sea más fácil la unión con la siguiente fase del proyecto.
El proyecto está sumergido dentro del programa SESAR, dentro del cual, el desarrollo de las
trayectorias 4D se entiende como una parte fundamental para la implantación del concepto
operacional. Así pues, los objetivos que se establecieron para el desarrollo del proyecto consistían
en:
- Identificar y acotar los parámetros de influencia en el seguimiento de una trayectoria 4D
- Aplicar un modelo causal que permita conocer como variará la trayectoria al modificar
estos parámetros
- Definir una ventana de tiempo en la que se va a encontrar la aeronave a su paso por cada
WP
El primer paso consistió en la modelización del escenario completo en que se encontraría la
supuesta trayectoria 4D, siendo por tanto necesario modelizar tanto la aeronave como todo el
entorno que la rodea.
La modelización de la aeronave se realizó a través del uso de la metodología BADA, en la cual se
identifican y caracterizan los parámetros de interés de un amplio abanico de aeronaves. El modelo
de aeronave elegido fue el Boeing 733-900 ER, por ser una aeronave muy utilizada, de corto-
medio alcance y que alberga los sistemas y las performances más actuales.
Para el caso de la trayectoria, se identificaron, definieron y caracterizaron los parámetros globales
de influencia y la relación teórica entre ellos (propios de la aeronave, propios del escenario y
relativos a los factores humanos).
El bloque de parámetros propios de la aeronave se estructuró en otros tres bloques; las
características de la aeronave (aceleración máxima, ángulos, coeficiente de empuje coeficientes
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
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de velocidad mínima y coeficiente de reducción de potencia), los procedimientos de la aeronave
(velocidad de crucero, ratio de ascenso, factor de carga, etc.) y las prestaciones de ésta (tipo de
motor, masa máxima, altitud máxima operativa, superficie alar, coeficiente de resistencia, etc.)
Por otra parte, el modelo dinámico permite calcular las fuerzas que actúan sobre el avión, es decir,
la sustentación, resistencia, empuje y peso, junto con el consumo de combustible y la variación de
la masa. Para la obtención de todos los parámetros citados se atendió a las ecuaciones de la
mecánica de vuelo junto con lo descrito en el modelo BADA.
Uniendo estos dos bloques se tenía perfectamente modelizado todo los relacionado con la
aeronave.
Solo falta, por tanto, modelizar el entorno en el que se desarrollar la trayectoria 4D propuesto, el
cual consiste en definir un modelo atmosférico, el cual se adapta a las expresiones de la Atmósfera
Estándar Internacional (ISA). Con este modelo se toman unos valores constantes, como podrían
ser el gradiente de temperatura, la gravedad, el coeficiente adiabático del aire, y a partir de una
altura, se calcula la temperatura, presión y densidad a dicha altitud.
Una vez modelizado tanto el escenario como la propia aeronave, el siguiente paso era desarrollar
mediante la herramienta MATLAB la trayectoria. Para ello se tomaron algunas hipótesis:
- La trayectoria solo se extiende a la fase de crucero, existiendo un cambio de nivel entre
los niveles de vuelo FL360 y FL380
- Modelo de Tierra plana, sin rotación y considerada como un sistema de referencia inercial,
cuya aceleración gravitatoria es constante y de valor 9,82 m/s2
- La aeronave es considerada como una masa puntual con tres grados de libertad, actuando
todas las fuerzas sobre el centro de masas
- El vuelo se realiza a Mach constante
- Motor tipo turbo fan, con configuración en todo momento “non-idle rating”
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 5
- La variación de la masa de la aeronave está dada solamente por el consumo de
combustible
Se definían cuatro puntos de control a lo largo de la trayectoria
• El punto en el que acaba el primer tramo de vuelo establecido y empieza el ascenso
(Waypoint 1).
• El punto en el que acaba el ascenso y comienza el segundo tramo a vuelo establecido
(Waypoint 2).
• El punto en el que acaba el segundo tramo de vuelo establecido y empieza la fase de
descenso (Waypoint 3).
• El punto en el que acaba la fase de descenso y empieza el tercer y último tramo de vuelo
establecido (Waypoint 4).
Figura 1: Tramos de la fase crucero
Para el siguiente paso se realizó un estudio de la sensibilidad del resultado ante la variabilidad de
parámetros empleando técnicas de Simulación de Montecarlo. Su aplicación consiste en asignar
valores aleatorios a los diferentes parámetros que se emplean en el estudio. De esta manera,
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 6
haciendo que los parámetros varíen estocásticamente se logra evaluar todas las posibles
variaciones que pueden sufrir los mismos, y, por tanto, los cambios en la trayectoria que esto
conlleva.
Los parámetros pueden variar una distribución normal donde la media es el valor típico,
permitiendo así que los parámetros tengan valores coherentes dentro de su carácter estocástico.
De este modo, variando los parámetros, se realizaron 10.000 simulaciones. Obteniendo un
abanico muy amplio de las múltiples combinaciones que podrían ocurrir en la realidad.
Posteriormente, se llevó a cabo un análisis de sensibilidad y de las relaciones causales entre los
parámetros de manera que permitiera mejorar la predictibilidad y reducir la incertidumbre. El
objetivo que se persigue es determinar cuánto afectan las variaciones de los parámetros a los
resultados del modelo y de alguna manera, saber identificar si el modelo puede estar siendo sobre
parametrizado. Para desarrollar este análisis se aplicaron redes bayesianas a través del software
GeNIe, mediante el cual se representa cada parámetro como un nodo y se discretizan sus posibles
valores que pudiera tener en intervalos, denominándose cada intervalo como un estado y con una
probabilidad de ocurrencia asignada de acuerdo a los resultados obtenidos en la simulación.
Este análisis de sensibilidad se desarrolló en los dos casos de estudio del proyecto: aquel en el
que se fijaba la posición como parámetro para obtener una ventana de tiempo; y, aquel en el que
se fijaba el tiempo como parámetro obteniendo una ventana de posición. En ambos se llegó a las
mismas conclusiones, y es que los factores que tienen una mayor influencia son la velocidad y el
nivel de vuelo en el que se encuentra la aeronave. Por tanto, resulta obvio que se debe centrar en
mejorar la modelización de la velocidad y altitud para obtener una ventana de tiempo más verídica,
teniendo en cuenta además que el viento es un factor directamente relacionado con estos
parámetros y que debe llevarse a cabo un estudio detallado de su modelización.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 7
3 ESTADO DEL ARTE
Un paso crítico en el diseño y el desarrollo de nuevas herramientas para la gestión del tránsito
aéreo es la estimación de los beneficios que suponen la aplicación de esa herramienta dentro del
escenario correspondiente. En ese contexto, el modelo de Markov obtiene beneficios en la
estimación, en la reducción la incertidumbre y consiguiendo una rápida evaluación de diferentes
escenarios operacionales.
Muchos estudios se centran en modelos de fiabilidad que solo tienen dos estados posibles:
perfecto funcionamiento o fallo completo. Sin embargo, los sistemas reales están compuestos por
componentes que tienen diferentes niveles de funcionamiento. Estos sistemas, son los que se
denominaran sistemas multi-estado.
Los conceptos básicos en la teoría de los sistemas multi-estado se introdujeron a mediados de los
años 70. Extendiendo los resultados de esos trabajos por Natving [1], Block and Savits [2]y Hudson
and Kapur . Estudios más actuales en el campo de los sistemas multi-estado pueden encontrarse
en Lisnianski and Levitin [3], [4] y Natvig [5], [6]
Una aplicación directa en el estudio de sistemas multi-estado son las cadenas de Markov, las
cuales son un tipo especial de proceso estocástico discreto en las que la probabilidad de que
ocurra un evento depende solamente del evento inmediatamente anterior, característica conocida
como propiedad de Markov. Dichas cadenas se usan para predecir la fiabilidad del ATCAS [7] (Air
Traffic Control Automatic System); definiendo la fiabilidad como la habilidad de acabar una tarea
en unas condiciones dadas y en unos períodos concretos.
Un punto interesante que estudiar acerca de las cadenas de Markov es sobre los beneficios que
trae su aplicación en las tecnologías del tráfico aéreo. También, complementándose con las
simulaciones de Monte Carlo, ayudan a estimar el rango de beneficio de las incertidumbres en los
parámetros del modelo y el rendimiento tecnológico exacto.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 8
Se ha de tener en cuenta que el rendimiento y fiabilidad de un sistema se ve afectado por múltiples
factores, cuya importancia o influencia no es la misma para todos ellos sobre el sistema, sino que
se pueden clasificar de menor a mayor grado.
El proceso típico de estimación de beneficios, que se viene haciendo en estudios previos, puede
incorporar los siguientes pasos:
- En primer lugar, se identifica un déficit del sistema a través de una combinación de
revisión operacional y análisis de las mediciones de desempeño.
- A continuación, se define un conjunto potencial de beneficios, que incluye el alcance de
las operaciones que se ven afectadas por el déficit y los factores externos (por ejemplo, el
clima) que contribuyen al déficit.
- Se propone una capacidad del sistema que aborda el fallo proporcionando automatización,
soporte de decisiones y procedimientos que permitan a los proveedores y operadores de
servicios de tránsito aéreo tomar mejores decisiones e implementarlas de manera más
eficiente.
- Se debe evaluar la probabilidad de que la capacidad propuesta logre abordar el déficit y
que los beneficios potenciales se puedan estimar descontando el tamaño de los beneficios
reunidos por la eficacia anticipada de la solución.
- Finalmente, la metodología de estimación de beneficios debe identificar los aspectos de
la capacidad propuesta que son más críticos para lograr los beneficios esperados, y los
requisitos de guía para la exactitud, precisión y puntualidad de los datos y pronósticos
incorporados en la capacidad propuesta.
Los beneficios resultantes ayudarían a determinar la necesidad de exigir un alto grado de exactitud
en el pronóstico antes de poder tomar y aplicar las decisiones.
Concretamente, en el mundo de la aviación existen variedad de aproximaciones que pueden
usarse para estimar los beneficios potenciales: modelos de espera (predominantemente se usan
en predecir y analizar retrasos en el sistema), extrapolación desde la observación (basándose en
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 9
la detallada observación de las decisiones que se toman durante las operaciones usando un
prototipo de capacidad propuesto) y las simulaciones (usadas también para estimar la mejora de
las operaciones a través de un prototipo de capacidad).
En definitiva, para las cadenas de Markov se definen unos estados. Dentro del ámbito del control
de tráfico aéreo la elección de los estados está basada en tratar diferentes fases de vuelo las
cuales implican cambios relevantes durante la toma de decisiones. Un ejemplo sería el de la
siguiente figura donde los γ representan la probabilidad de la transición entre los estados.
Figura 2: Ejemplificación de cadenas de Markov
Otra aplicación de la utilización de los sistemas multi-estado en el mundo del tráfico aéreo es su
uso como modelo de simulación en operaciones turnaround [8]. La operación turnaround de una
aeronave se define como el procedimiento para proporcionar los servicios requeridos (como el
catering, la limpieza de la cabina y carga de combustible) a una aeronave con el fin de estar lista
para llevar a cabo otro vuelo. La operación turnaround de un avión se puede dividir en sub-
operaciones, las cuales pueden ser muy numerosas y además llevarse a cabo simultáneamente.
Por tanto, un correcto modelo para simular estas operaciones debe ser capaz de modelizar las
incertidumbres que pudieran producir una demora en la operación turnaround del avión.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 10
Es por esto que el modelo de Markov aparece como una buena opción de simular esta operación,
ya que dicho modelo es capaz de simular el comportamiento estocástico de transición entre las
principales actividades del turnaround y posibles actividades de interrupción debidas a pasajeros
o servicios de tierra.
SISTEMAS MMS
Por lo general, están compuestos por elementos que a su vez pueden ser considerados como
sistemas multi-estado. El comportamiento de los sistemas multi-estado está caracterizado por su
evolución en el espacio entre estados. El conjunto completo de posibles estados del sistema se
puede dividir en dos subconjuntos que corresponden al funcionamiento aceptable e inaceptable
del sistema.
Esta metodología, en realidad, es aplicable a prácticamente todo sistema técnico, ya que éstos se
caracterizan por poder realizar sus funciones con varios niveles de eficiencia denominados tasas
de rendimiento.
En particular, se utilizarán los sistemas multi-estado para analizar la fiabilidad de las trayectorias
4D en la navegación aérea; ya que éstas pueden sufrir una degradación que puede ser debida a
distintos factores. Por lo tanto, se buscará conseguir mediante esta metodología combinada con
las cadenas de Markov un análisis de fiabilidad que permita saber cómo y con qué probabilidad
una trayectoria 4D se degrada. Además, en caso de degradarse habrá que conseguir aplicar las
medidas necesarias para corregirla.
Si se quiere analizar el comportamiento de un sistema multi-estado hay que conocer las
características de sus elementos; donde cada uno de los cuales tiene diferentes estados con una
tasa de rendimiento asociada que es una variable aleatoria en cualquier instante de tiempo.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 11
4 DESARROLLO TEÓRICO
4.1 Sistemas multi-estado: principales definiciones y propiedades
Todo sistema técnico está diseñado para desempeñar sus funciones en un determinado medio o
entorno. Muchos sistemas pueden llevar a cabo sus funciones con varios niveles de eficiencia que
usualmente se denominan tasas de rendimiento. Un sistema que tiene un número finito de tasas
de rendimiento se denomina sistema multi-estado (MSS) [9].
Figura 3: Esquema de sistema Multi-Estado
Normalmente, un sistema multi-estado está compuesto de elementos que a su vez pueden ser
considerados como sistemas multi-estado, Figura 3. Un elemento es una entidad del sistema que
no tiene más sub-divisiones. Esto no implica que el elemento no pueda estar constituido por partes,
pero significa que, en un estudio de fiabilidad, estas se tomarán como un conjunto a la hora de
realizar el estudio.
1 2 3
1 2 3
1 2
𝜆1,2 𝜆2,3
𝜆1,3
𝜆1,2 𝜆2,3
𝜆1,3
𝜆1,2
Elemento 3
Elemento 1
Elemento 2
Sistema
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Fecha: junio de 2018 12
Figura 4: Enfoques sistemas Multi-Estado
Actualmente, un sistema binario es el caso más simplificado de MSS con dos estados: funciona o
no funciona.
Existen diferentes situaciones en las que los sistemas deben ser considerados sistemas multi-
estado, como:
1. Un sistema que consista en diferentes unidades que tenga un efecto acumulativo sobre el
rendimiento completo de del sistema tiene que ser considerado un sistema multi-estado.
Ciertamente, la tasa de rendimiento del sistema depende de la disponibilidad de sus
unidades, ya que un número diferente de unidades disponibles puede proporcionar
diferentes niveles de rendimiento.
2. La tasa de rendimiento de los elementos que componen un sistema puede variar como
resultado de su deterioración (fatiga, fallos parciales) o por causa de las condiciones
ambientales. Fallos de elementos pueden conducir a la degradación del rendimiento del
sistema completo
Las tasas de rendimiento de los elementos van desde el perfecto funcionamiento hasta el fallo
completo, Figura 5. Los fallos que pueden conducir a una reducción del rendimiento de un
elemento se denominan fallos parciales. Después de un fallo parcial, los elementos continúan
operando con un rendimiento reducido, y después de un fallo total, los elementos se inhabilitan y
no cumplen con su función [6].
Sistemas Binarios
Sistemas Multi-estado
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 13
Figura 5: Fiabilidad de un sistema. Enfoques [9]
4.2 Modelo genérico de MSS
Para analizar el comportamiento de un sistema multi-estado uno tiene que saber las características
de sus elementos. Cada componente del sistema j tiene kj estados diferentes correspondientes a
las tasas de rendimiento, representado el conjunto [10]:
𝒈𝑗 = {𝒈𝑗1, 𝒈𝑗2, … , 𝒈𝑗𝑘𝑗} (1)
Donde:
𝒈𝑗𝑖 es la tasa de rendimiento del elemento j en el estado i,
𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑘𝑗} (2)
La tasa de rendimiento Gj del elemento j en cualquier instante de tiempo es una variable aleatoria
que toma sus valores de gj : G𝑗 ∈ g𝑗
Las probabilidades asociadas a los diferentes estados (tasas de rendimiento) del elemento del
sistema j pueden se representadas por el conjunto
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 14
𝒑𝑗 = {𝒑𝑗1(𝑡), 𝒑𝑗2(𝑡), … , 𝒑𝑗𝑘𝑗(𝑡)} (3)
Donde
𝒑𝑗𝑖 = 𝑃𝑟{G𝑗𝑖 ∈ g𝑗𝑖} (4)
Como en el caso de los sistemas binarios, las probabilidades de estado de los sistemas binarios,
las probabilidades de estados de los elementos del MSS pueden interpretarse como las
probabilidades de estado durante un tiempo fijo de tarea, las probabilidades de estado en un
momento determinado, o las disponibilidades (en el caso de elementos binarios)
Tenga en cuenta que, dado que los estados de los elementos componen el grupo completo de
eventos mutuamente excluyentes (lo que significa que el elemento siempre puede estar en uno y
solo en uno de los estados kj
∑ 𝑝𝑗𝑖
𝑘𝑗
𝑖=0
= 1 (5)
La expresión (4) define la ‘probability mass finction’ (pmf) o distribución de probabilidad para una
variable aleatoria discreta Gj La colección de pares 𝒑𝑗𝑖 , g𝑗𝑖 , 𝑖 = 0,1, … , 𝑘𝑗 − 1 , determina
completamente la distribución de probabilidad de rendimiento (PD) del elemento j.
Observe que el comportamiento de los elementos binarios (elementos con solo fracasos totales)
también se puede representar por la distribución de rendimiento. En efecto, considerar un
elemento binario i con un rendimiento nominal (tasa de rendimiento que corresponde a un estado
completamente operable) g* y la probabilidad de que el elemento está en el estado completamente
operable p. Suponiendo que la tasa de rendimiento del elemento en un estado de fallo completo
es cero, se obtiene su PD de la siguiente forma:
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 15
𝑔𝑖 = {0, 𝑔 ∗}, 𝑝𝑖 = {1 − 𝑝, 𝑝} (6)
Las PD se pueden representar gráficamente en forma de curvas acumulativas. En esta
representación, cada valor de rendimiento x corresponde a la probabilidad de que el elemento
proporciona una tasa de rendimiento que no es menos que este nivel:
𝑃𝑟{G𝑗 ≥ 𝑥} (7)
Para la comparación, los gráficos que representan el PD del elemento i binario y el elemento j con
cinco estados diferentes se presentan en la siguiente figura. Observe que el PD discreto
acumulado es siempre una función decreciente.
Cuando el MSS consta de n elementos, sus tasas de rendimiento se determinan de forma
inequívoca por las tasas de rendimiento de estos elementos. En cada momento, los elementos del
sistema tienen ciertas tasas de rendimiento correspondientes a sus estados. El estado de todo el
sistema está determinado por los estados de sus elementos. Se supone que todo el sistema tiene
K diferentes estados y que gi es toda la tasa de rendimiento del sistema en el estado de i
(𝑖 ∈ {0, … , 𝐾 − 1}). La tasa de rendimiento de SMS es una variable aleatoria que toma valores
del conjunto {𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑘−1}.
𝐿𝑛 = {𝒈11, … , 𝒈1𝑘1}𝑥{𝒈21, … , 𝒈2𝑘2
}𝑥 … 𝑥{𝒈𝑛1, … , 𝒈𝑛𝑘𝑛} (8)
es el espacio de posibles combinaciones de tasas de rendimiento para todos los elementos del
sistema y 𝑀 = {𝒈1, … , 𝒈𝑘} es el espacio de valores posibles la tasa de rendimiento para todo el
sistema. Al transformar ∅(𝐺1, … , 𝐺𝑛): 𝐿𝑛 → 𝑀, que mapea el espacio de las tasas de
rendimiento del elemento en el espacio de las tasas de rendimiento del sistema. Tener en cuenta
que la función de la estructura del SMS es una extensión de una función de estructura binaria. La
única diferencia está en la definición de los espacios de estado: la función de estructura binaria se
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asigna {0, 1}𝑛 → {0,1},mientras que en los MSS uno se ocupa de espacios mucho más
complejos.
Ahora se puede definir un modelo genérico de sistema multi-estado. Este modelo debe incluir los
procesos estocásticos de rendimiento:
G𝑗(𝑡), 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (9)
para cada elemento j del sistema, y la función estructura del sistema que produce el proceso
estocástico corresponde con el output de rendimiento del sistema completo:
G(𝑡) = ∅(𝐺1(𝑡), … , 𝐺𝑛(𝑡)) (10)
4.3 Procesos estocásticos
La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas que
evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo con unas leyes no determinísticas,
esto es, de carácter aleatorio [10].
La forma habitual de describir la evolución del sistema es mediante sucesiones o colecciones de
variables aleatorias. De esta manera, se puede estudiar cómo evoluciona una variable aleatoria a
lo largo del tiempo. Por ejemplo, el número de personas que espera ante una ventanilla de un
banco en un instante t de tiempo; el precio de las acciones de una empresa a lo largo de un año;
el número de parados en el sector de hostelería a lo largo de un año.
La primera idea básica es identificar un proceso estocástico con una sucesión de variable aleatoria
{𝑋𝑛, 𝑛 ∈ ℕ} donde el subíndice indica el instante de tiempo (o espacio) correspondiente. Esta
idea inicial se puede generalizar fácilmente, permitiendo que los instantes de tiempo en los que se
definen las variables aleatorias sean continuos. Así, se podrá hablar de una colección o familia de
variable aleatoria {𝑋𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ}, que da una idea más exacta de lo que es un proceso estocástico.
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Se tenía que una variable aleatoria 𝑋(𝑠) es una función que va desde un espacio muestral S a la
recta real, de manera que a cada punto s ∈ S del espacio muestral se le puede asociar un número
de la recta real.
De este modo, la probabilidad de cada suceso de S se puede trasladar a la probabilidad de que
un valor de X (Variable aleatoria) caiga en un cierto intervalo o conjunto de números reales. Si a
todo esto se le añade una dimensión temporal, se obtiene un proceso estocástico.
Una propiedad de especial importancia que poseen los caminos aleatorios (procesos
estocásticos), es que sus valores en el n - ésimo paso solo dependen de los valores en el
(n−1)−ésimo paso, y no de los anteriores. Esta propiedad conocida como propiedad markoviana
es de gran importancia en el estudio de estos procesos, y en el estudio general de la teoría de
procesos estocásticos.
4.4 Cadenas de Markov
En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Markov o modelo de Markov a un tipo
especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento
depende solamente del evento inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria
recibe el nombre de propiedad de Markov.
En matemáticas se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la propiedad de
Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente
resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.
Una cadena de Márkov es una secuencia X1, X2, X3... de variables aleatorias. El dominio de estas
variables es llamado espacio estado; el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Si la
distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una función de Xn por sí
sola, entonces:
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𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑥𝑛+1|𝑋𝑛 = 𝑥𝑛 , 𝑋𝑛−1 = 𝑥𝑛−1, … , 𝑋2 = 𝑥2, 𝑋1 = 𝑥1) = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑥𝑛+1|𝑋𝑛 = 𝑥𝑛) (11)
Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la propiedad de
Markov. Intuitivamente, se interpreta esta ecuación como que, dado el “presente “del proceso, el
“futuro” es independiente del “pasado”. Es decir, una cadena de Markov es una sucesión de
variable aleatoria que “ven el pasado a través del ´último suceso”.
La probabilidad de pasar del estado 𝑋𝑛−1 = 𝑖 al estado 𝑋𝑛 = 𝑗 viene dado por 𝛾𝑖,𝑗, donde n
representa el número de transiciones. Las probabilidades de pasar de un estado a otro se pueden
representar de forma conjunta mediante la matriz de transición P.
𝑷 = (
𝛾1,1 𝛾1,2 ⋯ 𝛾1,𝑘
𝛾2,1 𝛾2,2 ⋯ 𝛾2,𝑘
⋮ ⋮ ⋯ ⋮𝛾𝑘,1 𝛾𝑘,2 ⋯ 𝛾𝑘,𝑘
)
(12)
La probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado particular dada n transiciones viene
dada por el vector:
𝜋𝑛𝑇 = [𝜋1,𝑛 𝜋2,𝑛 ⋯ 𝜋𝑘,𝑛] (13)
Siendo 𝜋𝑘,𝑛 la probabilidad de que el parámetro se encuentre en el estado k en la transición n.
Las probabilidades de cada transición n se pueden encontrar de forma iterativa de la siguiente
forma:
𝜋𝑛𝑇 = 𝜋𝑛−1
𝑇 𝑷 (14)
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Figura 6: Ejemplo cadenas de Markov
La evolución aleatoria de una cadena de Markov queda completamente determinada por su matriz
de transición P y su distribución de densidad inicial x0. Por lo tanto, el estudio de las cadenas de
Markov es reducible al estudio algebraico de las propiedades de las matrices de transición.
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5 ANÁLISIS DE FIABILIDAD DE LA TRAYECTORIA 4D
En este apartado se describe todo el proceso del análisis de fiabilidad de la trayectoria 4D, desde
el análisis de los datos, pasando por los diferentes planteamientos realizados para finalmente
llegar a los dos modelos que se utilizarán para evaluar la fase crucero de la que se disponen datos.
Como se ha mencionado anteriormente la fiabilidad se define como:
“Probabilidad de que un bien funcione adecuadamente durante un período determinado bajo condiciones operativas específicas”
Si se aplica la definición al caso de estudio del proyecto Figura 7, las trayectorias 4D, se puede
identificar el bien como la trayectoria 4D en sí, el periodo como la fase crucero, aunque luego se
ampliaría a otras fases de vuelo de la aeronave, y, por último, las condiciones operativas
específicas como las incertidumbres del escenario planteado, la variación de la masa inicial, el
viento (velocidad), etc.
Figura 7: Enfoque de fiabilidad en trayectorias 4D
Bien • Trayectoria 4D
Periodo • Fase Crucero
Condiciones operativas
• Incertidumbres del escenario planteado
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5.1 Análisis de los datos
Antes de plantear cualquier modelo conviene revisar el tipo de datos que proporciona la Simulación
de Monte Carlo realizada en anteriores fases del proyecto. Esto ayuda a elegir el tipo de modelo
de análisis le conviene más al sistema (Trayectorias 4D).
El modelo de Monte Carlo es un método no determinista que proporciona soluciones aproximadas
a una gran variedad de problemas matemáticos, ya sean estocásticos o deterministas. En este
caso se ha utilizado para resolver un problema determinista como es el de la trayectoria 4D de una
aeronave. Este modelo de trayectoria relaciona unas variables de entrada, desarrollando las
ecuaciones ofrecidas por BADA 4, con unas variables de salida. La explotación no determinista de
este modelo de trayectoria es la que proporciona los datos para el análisis de fiabilidad.
Aunque en el modelo inicial de trayectoria es determinista los resultados de Monte Carlo y por
tanto los datos utilizados en el modelo de fiabilidad, son no deterministas. Si se hace la
comprobación de la forma de los datos que se tienen inicialmente, se comprueba que se aproximan
a una distribución normal Figura 8. Con estos resultados, el planteamiento de los intervalos se
hará teniendo en cuenta una distribución normal.
Figura 8: Distribuciones iniciales de los parámetros
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5.2 Planteamiento inicial del modelo
En la fase inicial del estudio de fiabilidad se plantea un vector estado con todos los componentes
de los que se tienen datos, obtenidos de la Simulación de Monte Carlo.
𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10}
𝑥1 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑥2 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
𝑥3 = 𝑀𝑎𝑠𝑎
𝑥4 = 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑥5 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑥6 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒
𝑥7 = 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒
𝑥8 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑥9 = 𝐴𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑥10 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
Se plantea en un momento inicial incluir todos los parámetros anteriores, que definirían así
completamente la trayectoria 4D. En el desarrollo del modelo se verá que, finalmente, se opta por
reducir el número de parámetros que se incluyen como elementos del sistema. Para la elección
de los mismo se utilizará el análisis de causalidad de entregables anteriores.
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La herramienta que se utiliza para desarrollar el modelo de Markov fue el software de MATLAB.
MATLAB permite crear y determinar cadenas Markov. Además, MATLAB calcula los límites de
confianza para P utilizando una aproximación normal a la distribución de la estimación [11]:
�̂� + �̂�𝑞 (15)
donde q es el cuantil Pth de una distribución normal con media cero y desviación estándar 1. Los
límites calculados dan aproximadamente el nivel de confianza deseado cuando se estima μ, σ, a
OPTIMO
ACEPTABLE
ACEPTABLE
DEGRADADO
DEGRADADO
Figura 9: Intervalos de los estados asociados a una distribución normal
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partir de muestras grandes, pero en muestras más pequeñas otros métodos de cálculo de los
límites de confianza pueden ser más precisos.
Figura 10: Esquema explicativo del cálculo de los intervalos en MATLAB
La función inversa normal se define en términos de la función de densidad acumulativa normal
(cdf) como:
𝑥 = 𝐹−1(𝑝|𝜇, 𝜎) = {𝑥: 𝐹(𝑥|𝜇, 𝜎) = 𝑝} (16)
Donde
𝑝 = 𝐹(𝑥|𝜇, 𝜎) =1
𝜎 √2𝜋 ∫ 𝑒
−(𝑡−𝜇)2
2𝜎2 𝑑𝑡𝑥
−∞
(17)
El resultado, x, es la solución de la ecuación integral (17), donde se introduce como entrada la
probabilidad deseada, p.
Se han utilizado trayectorias 4D simuladas para estimar μ y σ. μ se obtiene a partir del modelo
determinista de la trayectoria, obteniendo un valor de μ para cada instante de tiempo y para cada
parámetro de estudio. En cuanto al valor de σ, la desviación estándar se considera en el instante
inicial. Por lo tanto, el instante inicial se toma como punto de referencia para estudiar la
degradación de la trayectoria en el tiempo. Una vez calculados μ y σ, se definen los intervalos
correspondientes a cada uno de los estados en los que se ha dividido la trayectoria.
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5.3 Modelo de 3 estados
El estudio previo, planteado en al apartado anterior, con todos los parámetros de influencia
utilizados en entregables anteriores, distaba mucho de conseguir un modelo óptimo para el análisis
de la trayectoria. Por ello, se planteó reducir el número de variables que afectan al vector estado.
Para plantear esta reducción de parámetros se utilizó el análisis de causalidad y sensibilidad
realizado en el Entregable 4 (2017).
Figura 11´: Análisis causal. Intensidad de las relaciones entre los parámetros de e influencia en la
trayectoria 4D
Con la red causal, Figura 11, realizada se determinó que los parámetros que se iban a utilizar
como elementos del modelo son: Masa, Empuje, Velocidad, Alcance y Temperatura. En el caso
de la temperatura, esta sustituye a la altitud al tener distribuciones de datos más estables y
teniendo en cuenta que se está trabajando con atmósfera estándar ISA.
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El siguiente paso es establecer los ratios o tasas de rendimiento. En este modelo se utilizó la
siguiente distribución:
[
𝑂𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝐷𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜] ⟹ [
𝐺1
𝐺2
𝐺3
] = [100%50%0%
]
Figura 12: Distribución de las tasas de rendimiento en el modelo de 3 estados
Cada una de las tasas de rendimiento tiene un intervalo asociado a la distribución normal, tal y
como se explicó en el apartado anterior. En este caso de modelo de 3 estados la Tabla 1.
Tabla 1: Intervalos de las tasas de rendimiento del modelo de 3 estados en función de la distribución
normal
Estado Intervalo
Óptimo 68,3 %
Aceptable 27,3 %
Degradado 4,4 %
Una vez definidos los intervalos se calculan las matrices de transición del sistema. Para ello se
utiliza el código MATLAB mostrado en los Anexos del documento. A continuación, en la Tabla 2,
se muestran los resultados de las matrices de transición para los parámetros de estudio elegidos:
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Óptimo Aceptable Degradado
Óptimo 0.9740 0.0260 0
Aceptable 0.0319 0.9447 0.0234
Degradado 0 0.0147 0.9853
(a)
Óptimo Aceptable Degradado
Óptimo 0.9891 0.0099 0.0010
Aceptable 0.0376 0.9355 0.0269
Degradado 0.0023 0.0161 0.9816
(b)
Óptimo Aceptable Degradado
Óptimo 0.9951 0.0049 0.0000
Aceptable 0.0021 0.9916 0.0062
Degradado 0.0000 0.0001 0.9999
(c)
Óptimo Aceptable Degradado
Óptimo 0.9738 0.0262 0.0000
Aceptable 0.0324 0.9437 0.0239
Degradado 0.0000 0.0152 0.9848
(d)
Óptimo Aceptable Degradado
Óptimo 0.9853 0.0147 0.0000
Aceptable 0.0144 0.9702 0.0154
Degradado 0.0000 0.0014 0.9986
(e)
Tabla 2. (a) Matriz de transición de la velocidad; (b) Matriz de transición dl empuje; (c) Matriz de transición
del alcance; (d) Matriz de transición de la temperatura; (e) Matriz de transición de la masa
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Los resultados obtenidos son similares para los cinco parámetros. Estos resultados indican que la
degradación de los elementos del sistema se produce de forma progresiva, donde el estado más
probable es el actual.
Para la generación de la matriz global del sistema se han tenido en cuenta los cinco parámetros.
Como mostraba el análisis de causalidad y sensibilidad, hay parámetros que influyen más y otros
menos en la trayectoria. Por lo tanto, se definen dos bloques funcionales, uno fundamental y otro
no fundamental. Si los parámetros del bloque fundamental se encuentran degradados, la
trayectoria está degradada. En el caso contrario se aplicarán una serie de prioridades. Las
prioridades entre los distintos bloques están recogidas en los Anexos del documento. La
distribución, Tabla 3, de los elementos en los bloques es la siguiente:
Tabla 3: Bloques de parámetros definidos en el sistema
Bloque fundamental Bloque no fundamental
Velocidad Temperatura
Alcance Empuje
- Masa
Los resultados obtenidos para la matriz global del sistema, Tabla 4, para el caso del modelo de 3
estados son los siguientes:
Tabla 4: Matriz de transición global del sistema para el modelo de 3 estados
Óptimo Aceptable Degradado
Óptimo 0.9283 0.0708 0.0009
Aceptable 0.0169 0.9518 0.0313
Degradado 0.0000 0.0071 0.9928
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5.4 Modelo de 4 estados: estado de control
En este caso, basándose en los resultados obtenidos en el Modelo de 3 estados, se considera la
posibilidad de añadir un cuarto estado. Este cuarto estado está entre el estado ‘Aceptable’ y el
‘Degradado’. Se denomina estado ‘Control’ porque sería el momento en el que el operador debería
tomar acciones correctoras de la trayectoria si no quiere llegar a la degradación de la trayectoria
4D. Además, en la aplicación de los modelos con los diferentes indicadores, el indicador de
disponibilidad y el de fiabilidad quedan delimitados de una forma más concluyente. El estado de
control no tendría denominación ni de correcto ni de incorrecto, sería un estado neutro. La
distribución de las tasas de rendimiento para el modelo de 4 estados es la siguiente:
Tabla 5: Distribución de las tasas de rendimiento en el modelo de 4 estados
[
𝑂𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝐷𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜
] ⟹ [
𝐺1
𝐺2
𝐺3
𝐺4
] = [
100%50%25%0%
]
Los intervalos de las diferentes tasas de rendimientos asociados, Tabla 6, a una distribución
normal son los siguientes:
Tabla 6: Intervalos de las tasas de rendimiento del modelo de 4 estados en función de la distribución
normal
Estado Intervalo
Óptimo 60 %
Aceptable 26 %
Control 10 %
Degradado 4%
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Los resultados de las matrices de transición de los diferentes parámetros para el modelo de 4
estados se recogen a continuación, Tabla 7:
Óptimo Aceptable Control Degradado
Óptimo 0.9685 0.0315 0.0000 0.0000
Aceptable 0.0487 0.9089 0.0424 0.0000
Control 0.0000 0.0559 0.8971 0.0470
Degradado 0.0000 0.0000 0.0147 0.9853
(a)
Óptimo Aceptable Control Degradado
Óptimo 0.9876 0.0114 0.0000 0.0009
Aceptable 0.0531 0.9041 0.0408 0.0020
Control 0.0000 0.0665 0.8767 0.0567
Degradado 0.0021 0.0006 0.0157 0.9816
(b)
Óptimo Aceptable Control Degradado
Óptimo 0.9945 0.0055 0.0000 0.0000
Aceptable 0.0035 0.9871 0.0094 0.0000
Control 0.0000 0.0034 0.9845 0.0120
Degradado 0.0000 0.0000 0.0001 0.9999
(c)
Óptimo Aceptable Control Degradado
Óptimo 0.9682 0.0318 0.0000 0.0000
Aceptable 0.0499 0.9072 0.0430 0.0000
Control 0.0000 0.0563 0.8959 0.0478
Degradado 0.0000 0.0000 0.0152 0.9848
(d)
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Fecha: junio de 2018 31
Óptimo Aceptable Control Degradado
Óptimo 0.9821 0.0179 0.0000 0.0000
Aceptable 0.0238 0.9501 0.0261 0.0000
Control 0.0000 0.0255 0.9448 0.0297
Degradado 0.0000 0.0000 0.0014 0.9986
(e)
Tabla 7. (a) Matriz de transición de la velocidad; (b) Matriz de transición dl empuje; (c) Matriz de transición
del alcance; (d) Matriz de transición de la temperatura; (e) Matriz de transición de la masa
En el caso de la matriz de transición global y, como se explicó en el anterior apartado lo de los
bloques funcionales del sistema, se muestran a continuación en la Tabla 8:
Tabla 8. Matriz de transición global del sistema para el modelo de 4 estados
Óptimo Aceptable Control Degradado
Óptimo 0.8169 0.1809 0.0022 0.0000
Aceptable 0.0047 0.9460 0.0460 0.0033
Control 0.0000 0.0376 0.9087 0.0537
Degradado 0.0000 0.0003 0.0088 0.9910
Finalmente, con los resultados de las diferentes matrices de transición globales obtenidas, tanto
para el modelo de 3 estados como para el modelo de 4 estados, se realizará la explotación de los
modelos. Esta parte se describe en el siguiente apartado.
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6 EXPLOTACIÓN DEL MODELO
En este apartado se exponen las diferentes funcionalidades de los sistemas Multi-estado para
analizar la trayectoria 4D. Primero, se definen varios indicadores que permiten realizar la
evaluación del sistema. Por último, se muestran los diferentes resultados obtenidos con las
matrices de transición que se incluyen en el apartado anterior. Se muestra por un lado la aplicación
del modelo de 3 estados y por otro la de 4 estados.
6.1 Funcionalidades MSS y Cadenas de Markov
Se dice que una cadena Markov es irreducible si es posible llegar a cualquier estado desde
cualquier estado. Un estado i tiene el período k si algún retorno al estado i debe ocurrir en múltiplos
de pasos de tiempo k. Si 𝑘 = 1, entonces se dice que el estado es aperiódico. De lo contrario
(𝑘 < 1), se dice que el estado es periódico con el período k. Una cadena de Markov es aperiódica
si cada estado es aperiódico. Una cadena irreductible de Márkov sólo necesita un estado
aperiódico para implicar que todos los estados son aperiódicos [9].
La distribución estacionaria π (estado estacionario o a largo plazo, n→∞), no cambia con el
tiempo:
𝜋 = 𝜋𝑇
𝑇∞ = lim𝑛→∞
𝑇𝑛 (18)
Según el teorema de Perron-Frobenius, las cadenas ergódicas de Markov tienen distribuciones
limitantes únicas. Es decir, tienen distribuciones estacionarias únicas a las que convergen todas
las distribuciones iniciales.
Además, una cadena Markov se denomina cadena ergódica si es posible pasar de un estado a
otro (no necesariamente en un solo movimiento), por lo que es irreducible y aperiódica. Esta
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Fecha: junio de 2018 33
condición es equivalente a que todos los nodos de la cadena sean ergódicos (recurrentes,
aperiódicos y positivos). Es el caso de la matriz de transición estudiada.
Se utilizan varios indicadores para describir el rendimiento del sistema: Rendimiento medio
instantáneo, Deficiencia media instantánea, Disponibilidad media instantánea, Fiabilidad media
instantánea.
Rendimiento medio instantáneo Et
Para obtener los indicadores que caracterizan la calidad de salida media del SMS, se puede utilizar
la expectativa de calidad de funcionamiento. El valor medio de la calidad de funcionamiento de la
salida instantánea del SMS en el tiempo t se determina de la manera siguiente:
𝐸𝑡 = ∑ 𝑔𝑘𝑝𝑘(𝑡)
𝑡
𝑘=1
(19)
Siendo N el número total de estados, 𝑔𝑘 es la tasa de rendimiento asociada con el estado k y 𝑝𝑘(t)
es la probabilidad de que el sistema esté en el estado k en el momento t. El rendimiento esperado
en estado estacionario también puede obtenerse sustituyendo en la fórmula los valores de
distribución estacionarios. De hecho, el valor del rendimiento medio en estado estacionario es la
asintótica del rendimiento instantáneo medio.
Deficiencia media instantánea Dt
La deficiencia o desviación instantánea media se define como un promedio ponderado entre la
probabilidad del sistema que se encuentra en cada estado y los niveles de servicio asociados a
estos estados. Una media ponderada del valor de una variable aleatoria en la que la función de
probabilidad proporciona ponderaciones puede entenderse como el valor esperado. En caso de
que la diferencia sea negativa, la media se pondera con un cero. Esto se debe a que en esos
casos el sistema está satisfaciendo la demanda esperada y el objetivo del índice es evaluar los
casos en los que el sistema no está satisfaciendo la demanda.
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Fecha: junio de 2018 34
𝐷𝑡 = ∑ 𝑝𝑖(𝑡) max(𝑤 − 𝑔𝑖; 0)
𝑁
𝑖=1
(20)
Donde 𝑝𝑖(𝑡) es la probabilidad de que el sistema esté en el estado i en el momento t-ésimo, w
es la demanda esperada y 𝑔𝑖 es el nivel de rendimiento asociado al estado i.
Disponibilidad media instantánea At
Otro parámetro para evaluar el rendimiento del sistema es la disponibilidad instantánea. Se define
como la suma de las probabilidades de los estados aceptables:
𝐴𝑡 = ∑ 𝑝𝑖(𝑡)
𝐾
𝑖=1
(21)
Donde K es el número de estados aceptables y 𝑝𝑖(𝑡) es la probabilidad de que el sistema esté en
el estado i en el tiempo n.
Fiabilidad media instantánea R
La fiabilidad de un sistema (R) se define como la capacidad del sistema para permanecer en
estados aceptables durante el período de funcionamiento.
𝑅 = 1 − ∑ 𝑝𝑗(𝑡)
𝑖
𝑗=1
(22)
Donde i es el número de estados inaceptables.
Una vez definidos y desarrollados los diferentes indicadores de rendimiento que se utilizan en el
análisis de fiabilidad se aplican a los dos modelos. Los resultados de la aplicación se muestran a
continuación.
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Fecha: junio de 2018 35
6.2 Aplicación del modelo de 3 estados a la fase crucero
A continuación, se exponen los resultados de los diferentes indicadores aplicados al modelo de 3
estados. La siguiente tabla recoge los valores de los indicadores en el estado estacionario del
modelo de fiabilidad de 3 estados. En este caso de análisis el estado estacionario se alcanza a los
310 segundos (aproximadamente 5 minutos). En este punto es necesario recordar que las
simulaciones empleadas para evaluar el progreso de la trayectoria no contemplan ninguna medida
correctora (ni a través del piloto ni mediante indicaciones de los servicios de navegación aérea).
Por lo tanto, se analiza un problema de “degradación libre”.
En las siguientes líneas de habla de estados correctos y estados incorrectos. El estado correcto
aglutina a su vez el estado óptimo y el estado aceptable, quedando para el incorrecto el estado
degradado.
Tabla 9: Resultados estacionarios modelo 3 estados
Indicador Valor
Et 13.09 %
Dt 39 %
At 0.23
R 0.23
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 36
Estos resultados del estado estacionario tienen asociadas unas gráficas que muestran su
evolución con el tiempo.
La Figura 13 muestra la evolución temporal (segundos) del rendimiento medio instantáneo.
Figura 13: Evolución del rendimiento medio instantáneo en el modelo de 3 estados
Atendiendo a la Figura 13, el sistema inicialmente se encuentra funcionando con una tasa de
rendimiento del 100% que evoluciona hasta el estado estacionario del 13.09 % (degradación de la
trayectoria).
En la Figura 14 se muestra la evolución temporal (segundos) de la deficiencia media. Este
indicador muestra la evolución de la degradación de la trayectoria. Empezando por un estado
definido como óptimo que satisface la demanda esperada, evoluciona a un estado degradado e
inaceptable. Esto confirma el indicador de rendimiento.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 37
Figura 14. Evolución de la deficiencia media instantánea en el modelo de 3 estados
La figura 15 muestra la evolución temporal (segundos) de la disponibilidad media instantánea,
mientras que la Figura 16 representa la evolución de la fiabilidad media instantánea.
Figura 15. Evolución de la disponibilidad media instantánea en el modelo de 3 estados
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 38
Figura 16. Evolución de la fiabilidad media instantánea en el modelo de 3 estados
La Figura 15 y 16 muestran en el caso del modelo de 3 estados el mismo resultado siendo el
cálculo distinto. Esto es debido a que solo se definen estados aceptables o no aceptables, no se
considera un estado neutro. Las gráficas muestran la probabilidad de que el sistema se encuentre
en un estado correcto (óptimo o aceptable) o no se encuentren en un estado incorrecto, en este
caso coincidentes
6.3 Aplicación del modelo de 4 estados a la fase crucero
A continuación, se exponen los resultados de los diferentes indicadores aplicados al modelo de 3
estados. La Tabla 10 recoge los valores de los indicadores en el estado estacionario del modelo
de fiabilidad de 3 estados. En este caso de análisis el estado estacionario se alcanza a los 323
segundos (aproximadamente 5 minutos y medio). Recuérdese que el problema planteado
considera una “degradación libre” (no se han contemplado medidas correctoras en las
simulaciones del progreso de la trayectoria).
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 39
En este caso, los estados correctos e incorrectos tendían la misma correspondencia. El único
cambio que se añade es el estado neutro, que no pertenece a ninguno de los dos. Esto permitirá
obtener la gráfica y el valor de la disponibilidad.
Tabla 10. Resultados estacionarios modelo 4 estados
Indicador Valor
Et 8.33 %
Dt 41.80 %
At 0.11
R 0.23
Las gráficas de evolución asociadas a los diferentes indicadores de rendimiento se muestran a
continuación.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 40
Figura 17. Evolución del rendimiento medio instantáneo en el modelo de 4 estados
En este caso la Figura 17, que muestra la evolución del rendimiento, se reduce desde el 100%
hasta un nivel del 8.33%. este valor es ligeramente inferior al del anterior modelo de 3 estados.
Figura 18. Evolución de la deficiencia media instantánea en el modelo de 4 estados
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 41
La figura 18, de evolución de deficiencia del sistema, sigue la tendencia de la Figura 17 con
respecto a la reducción de rendimiento. En este caso se aprecia también un aumento de la
deficiencia.
Figura 19. Evolución de la disponibilidad media instantánea en el modelo de 4 estados
En las Figuras 19 y 20 se encuentran las mayores diferencias comparando los dos modelos. En
este caso de modelo de 4 estados las dos gráficas son distintas al definir una tasa de rendimiento
como neutra. La Figura 19 correspondería a la probabilidad de que el sistema no estuviera en
estado incorrecto. La Figura 20 mostraría la evolución de la probabilidad de estar en un estado
correcto.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 42
Figura 20. Evolución de la fiabilidad media instantánea en el modelo de 4 estados
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 43
7 CONCLUSIONES
Las trayectorias 4D y su concepto asociado de Operaciones Basadas en Trayectoria (TBO)
requieren alta precisión y fiabilidad en la predicción de trayectorias. En la primera etapa del estudio,
se definió un modelo de predicción de la trayectoria en 4D y se estudiaron las influencias de
diferentes parámetros en la estimación de los puntos de control. Este modelo y una técnica de
Monte Carlo permiten realizar 10.000 simulaciones y evaluar, a través de la información obtenida
de dichas simulaciones, la fiabilidad de las trayectorias. Se desarrolló un análisis de fiabilidad
utilizando la teoría de sistemas multi-estado y el modelo de cadenas de Markov. En primer lugar,
se definió la trayectoria como un sistema multi-estado, compuesto por los parámetros de influencia
que se identificaron en el modelo de trayectoria de 4D. En este modelo multi-estado no se
consideraron todos los parámetros de influencia, con la ayuda del análisis causal realizado en la
primera parte del estudio, se eligieron aquellos parámetros con mayor influencia en la trayectoria:
masa, velocidad, empuje, rango y temperatura. Además, el análisis causal permitió definir
diferentes bloques o elementos de estudio. Los índices de rendimiento que se definieron fueron:
óptimo, aceptable y degradado. Posteriormente, se utilizó el enfoque de la cadena de Markov para
definir la transición entre los diferentes estados (tiempos instantáneos) del sistema. Las matrices
de transición mostraron que la probabilidad de permanecer en el estado actual es de alrededor del
97% (una media teniendo en cuenta los diferentes elementos del sistema), pero con una clara
tendencia al estado degradado a medida que pasa el tiempo. Este resultado coincide con el
obtenido en las simulaciones: se produce una degradación en el tiempo a medida que aumenta la
distancia recorrida por la aeronave. Para el modelo global, con el fin de definir la matriz de
transición global, se introdujeron dos bloques funcionales de parámetros: fundamentales y no
fundamentales. El bloque fundamental es el más restrictivo, se degrada este el estado de
trayectoria se degrada. En el otro caso, los demás parámetros se tienen en cuenta para el cálculo
de la matriz de transición global. Se definió como el estado correcto el que impone el estado óptimo
y aceptable, siendo el estado degradado el incorrecto. A continuación, también se obtienen otros
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 44
resultados de la matriz de transición global. El análisis de fiabilidad mostró la evolución del sistema
en el tiempo. Con este análisis, se halló una enorme degradación hacia un estado incorrecto. En
primer lugar, en el modelo de 3 estados, la probabilidad de estar en un estado correcto es del
21,98% En segundo lugar, la relación media de rendimiento en la distribución estacionaria es del
43,35%, por debajo del estado aceptable. Finalmente, el tiempo para alcanzar este estado
estacionario es de 310 segundos (aproximadamente 5 minutos). En el modelo de 4 estados los
resultados obtenidos son similares. El objetivo del modelo de 4 estados es dar un valor añadido al
de 3 estados en lo que se refiere a la actualización de trayectoria. La inclusión de un estado neutro
permite separar la disponibilidad de la fiabilidad, teniendo así los dos indicadores. Los 5 minutos,
aproximadamente, que se obtienen como tiempo de actualización de trayectoria difieren de los 20-
30 minutos esperados (según el modelo predictivo inicial desarrollado y atendiendo a las primeras
estimaciones del concepto operacional de SESAR [12]). Esta divergencia se analizará en el
siguiente apartado del informe, donde se tratarán los trabajos futuros. En conclusión, de forma
generalizada para los dos modelos y enfoques, durante el vuelo la aeronave sufre perturbaciones
que causan una gran degradación de la trayectoria. Por lo tanto, es necesario tomar las medidas
adecuadas para alcanzar los objetivos acordados en el marco del concepto de TBO.
Este estudio se ha realizado siguiendo un problema de “degradación libre”. Es decir, no se han
considerado medidas correctoras intermedias (ni por parte del piloto ni por parte de los servicios
de navegación aérea). Esto implica que la trayectoria evoluciona “libremente” hacia el estado más
probable, que en este caso ha resultado ser un estado categorizado como “degradado”. Esto pone
de manifiesto la necesidad de implementar medidas correctoras a lo largo del progreso de la
trayectoria, con el objetivo de conseguir mantener los parámetros analizados (parámetros de
influencia) dentro de unos límites aceptables. Así mismo, la forma de definir el estado “aceptable”
para dichos parámetros y para la trayectoria global, marcará la necesidad de implementar las
medidas correctoras (y monitorizar el desarrollo de la trayectoria) de forma más o menos continua
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 45
y espaciada (pues varían los resultados referentes a la eficiencia y al tiempo entre lo que se
consideran “fallos”).
La principal contribución de este trabajo es el desarrollo de una herramienta para evaluar la
fiabilidad de las trayectorias 4D. Una fiabilidad asociada a la degradación de la trayectoria. Puede
ser útil para el operador de vuelo para predecir y gestionar sus trayectorias 4D, así como para el
proveedor de servicios de navegación aérea de cara a conocer posibles desviaciones frente a la
evolución esperada (escenarios ‘what-if’ de progresión respecto al estado inicial). Es decir, el
modelo permite evaluar, a través de diferentes parámetros de vuelo, la evolución de la degradación
de la trayectoria. Con esta información, el operador de vuelo y el proveedor de servicios de
navegación aérea pueden realizar actualizaciones de trayectoria en el momento adecuado, para
ayudar a la gestión de desviaciones y a la predictibilidad de la trayectoria 4D.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 46
8 TRABAJOS FUTUROS
Los resultados iniciales indican que la teoría MSS proporciona un enfoque prometedor para la
evaluación de la fiabilidad de las trayectorias 4D. Aunque, por otro lado, los tiempos obtenidos en
cada uno de los modelos de estudio difieren de los tiempos de actualización esperados
(resultantes del modelo predictivo inicial y atendiendo a las primeras estimaciones del concepto
operacional de SESAR [12]), fijados en torno a los 20-30 min.
La base de los modelos de fiabilidad planteados se ha desarrollado de una forma analíticamente
correcta, desde la elección de los estados y la forma de evaluarlos cuantitativamente hasta el
desarrollo de los indicadores de rendimiento, disponibilidad y fiabilidad del sistema. La divergencia
respecto a los valores esperados se encuentra en el enfoque temporal, desde el punto de vista de
los ciclos de trabajo del sistema y, por ello, del modelo.
Una vez obtenidos los resultados de tiempo se revisó la bibliografía consultada inicialmente y se
constató que el número de ciclos utilizados en los modelos es muy elevado. El alto número de
ciclos, que no tiene importancia en la teoría de sistemas multi-estado, sí lo puede tener en el
enfoque que se le da a esta teoría a la hora de evaluar un sistema. En el caso de este proyecto,
donde se eligieron las cadenas de Markov por sus funcionalidades y facilidad de análisis, una de
las limitaciones teóricas puede ser el número de ciclos. Cuando tiende a infinito (un número
elevado de ciclos) puede no reflejar completamente el comportamiento real del sistema que se
quiere analizar o evaluar. Por lo tanto, las cadenas de Markov son idealmente efectivas para
evaluar número bajo de ciclos (40-50). Para un número mayor de ciclos, pueden introducir
divergencias en el resultado. Es decir, para evaluar un tramo/segmento de trayectoria (como es el
caso del problema analizado hasta el momento), el enfoque temporal adoptado es válido, pero
para evaluar trayectorias completas, se debe revisar el enfoque temporal.
Por lo tanto, como trabajos futuros se propone revisar el modelo de cadenas de Markov,
enfocándolo en minutos para así conseguir en torno a 40 ciclos de trabajo. Se debería estimar la
evolución del sistema en minutos para obtener de nuevo las matrices de transición asociadas a
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 47
cada uno de los elementos del sistema y finalmente la matriz de transición global. Además de
cambiar el enfoque temporal en los ciclos de trabajo, se propone consultar otras aproximaciones
en la evaluación de los sistemas multi-estado.
Por otro lado, cuando se resuelva la problemática temporal de los modelos, el siguiente paso será
mejorar y profundizar los diferentes elementos del sistema. Se pueden considerar otros enfoques
para la distribución de bloques de elementos o parámetros. Otro punto importante sería identificar
las acciones potenciales en los diferentes parámetros para mejorar la fiabilidad del sistema global.
Igualmente, dada la alta dependencia de los resultados a la fijación de los estados (categorización
en óptimo, aceptable y degradado), será necesario buscar una solución de compromiso entre los
“valores objetivo” (fijación de estados mediante valores basados en prestaciones deseadas) y
“valores estadísticos” (fijación de estados mediante resultados históricos). Esto marcará la
necesidad de implementar las medidas correctoras (y monitorizar el desarrollo de la trayectoria)
de forma más o menos continua y espaciada (pues varían los resultados referentes a la eficiencia
y al tiempo entre lo que se consideran “fallos”).
Por último, para acercarse más fielmente a la realidad, se requiere más investigación para
extender el modelo a etapas de trayectoria más complejas (como el vuelo en evolución) y así
obtener un estudio de fiabilidad para toda la trayectoria 4D.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 48
9 BIBLIOGRAFÍA
Referencia
bibliográfica Descripción
[1] B. Natvig and A. Streller, “THE STEADY STATE BEHAVIOUR OF
MULTISTATE MONOTONE SYSTEMS.”
[2] A. Lisnianski, “Extended block diagram method for a multi-state system reliability
assessment,” Reliab. Eng. Syst. Saf., vol. 92, no. 12, pp. 1601–1607, 2007.
[3] A. Lisnianski and G. Levitin, Multi-State System Reliability: Assessment,
Optimization and Applications, 1st ed. Singapore: World Scientific, 2003.
[4] A. Lisnianski, I. Frenkel, and Y. Ding, Multi-state system reliability analysis
and optimization for engineers and industrial managers. 2010.
[5] B. Natvig, “MULTI-STATE RELIABILITY THEORY,” System, no. 1, pp. 1–
11, 2007.
[6] B. Natvig, Multistate Systems Reliability with Applications, Wiley Seri. John
Wiley & Sons, 2011
[7]
X. Wang and W. Liu, “Research on Air Traffic Control Automatic System
Software Reliability Based on Markov Chain,” Phys. Procedia, vol. 24, pp.
1601–1606, 2012
[8]
C. L. Wu and R. E. Caves, “Modelling and simulation of aircraft turnaround
operations at airports,” Transp. Plan. Technol., vol. 27, no. 1, pp. 25–46,
2004.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 49
[9] A. Lisniansky and G. Levitin, Multi-state system reliability: assessment,
optimization and applications, World Science. Twarda, 2003.
[10] T. Aven and U. Jensen, Stochastic models in reliability. 1999.
[11] M. Evans, N. Hastings, and B. Peacock, Statistical Distributions, vol. 2, no.
4. 2000.
[12] SESAR (2014) SESAR Concept of Operations Step 2 Edition 2014 (Ed.
01.01.00). Brussels: SESAR Joint Undertaking.
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 50
ANEXO I: DISTRIBUCIÓN DE ESTADOS Y MATRICES DE TRANSICIÓN
MODELO DE 3 ESTADOS
BLOQUE FUNDAMENTAL
Estado de la Velocidad Estado del Alcance Estado Bloque Fundamental
ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO
ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE
ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE
ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE
DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO
DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO
ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO
ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 51
BLOQUE NO FUNDAMENTAL
Estado de la
masa
Estado de la
temperatura
Estado del
empuje
Estado Bloque no
Fundamental ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO
ÓPTIMO ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO
ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO ÓPTIMO
ACEPTABLE ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO
ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE
ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE
ACEPTABLE ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE
ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE
ACEPTABLE ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO
ACEPTABLE DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO
DEGRADADO ACEPTABLE ACEPTABLE DEGRADADO
ÓPTIMO ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO
ÓPTIMO DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO
DEGRADADO ÓPTIMO ÓPTIMO DEGRADADO
ÓPTIMO ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO
ÓPTIMO DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO
ACEPTABLE ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO ÓPTIMO ACEPTABLE DEGRADADO
ACEPTABLE DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO
DEGRADADO ACEPTABLE ÓPTIMO DEGRADADO
ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO
ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 52
BLOQUE NO FUNDAMENTAL
DEGRADADO DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO
DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO
BLOQUE GLOBAL
Estado Fundamental Estado no Fundamental Estado Bloque Global
ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO
ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO
ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE
ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE
ÓPTIMO DEGRADADO ACEPTABLE
DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO
DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO
ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 53
MODELO DE 4 ESTADOS
BLOQUE FUNDAMENTAL
Estado de la Velocidad Estado del Alcance Estado Bloque Fundamental
ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO
ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE
ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE
ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE
CONTROL ÓPTIMO CONTROL
CONTROL ACEPTABLE CONTROL
ÓPTIMO CONTROL CONTROL
ACEPTABLE CONTROL CONTROL
CONTROL CONTROL CONTROL
DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO
DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO
ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO
ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO
CONTROL DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO CONTROL DEGRADADO
DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 54
BLOQUE NO FUNDAMENTAL
Estado de la masa Estado de la
temperatura
Estado del empuje Estado Bloque no
Fundamental
ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO
ÓPTIMO ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO
ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO ÓPTIMO
ACEPTABLE ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO
ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE
ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE
ACEPTABLE ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE
ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE
CONTROL ÓPTIMO ÓPTIMO ACEPTABLE
CONTROL ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE
CONTROL ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE
ACEPTABLE ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO
ACEPTABLE DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO
DEGRADADO ACEPTABLE ACEPTABLE DEGRADADO
ÓPTIMO ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO
ÓPTIMO DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO
DEGRADADO ÓPTIMO ÓPTIMO DEGRADADO
ÓPTIMO ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO
ÓPTIMO DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO
ACEPTABLE ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO ÓPTIMO ACEPTABLE DEGRADADO
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 55
BLOQUE NO FUNDAMENTAL
ACEPTABLE DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO
DEGRADADO ACEPTABLE ÓPTIMO DEGRADADO
ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO
ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO
DEGRADADO DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO
DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 56
ANEXO II: CÓDIGO MATLAB
Main Modelo 3 estados
%% CARGA DE DATOS
load('alcancec.mat'), load('n_alcance.mat')
load('altitudc.mat'), load('n_altitud.mat')
load('consumofuelc.mat'), load('n_consumofuel.mat')
load('densidadc.mat'), load('n_densidad.mat')
load('empujec.mat'), load('n_empuje.mat')
load('masac.mat'), load('n_masa.mat')
load('presionc.mat'), load('n_presion.mat')
load('resistenciac.mat'), load('n_resistencia.mat')
load('sustentacionc.mat'), load('n_sustentacion.mat')
load('temperaturac.mat'), load('n_temperatura.mat')
load('velocidadc.mat'), load('n_velocidad.mat')
n=2400; %tiempo de las simulaciones
Nsim=2600; %numero de simulaciones
%% CALCULO DE SIGMA DE LAS DIFERENTES VARIABLES
sigmDc=std(Dc(:,1));
sigmFc=std(Fc(:,1));
sigmHc=std(Hc(:,1));
sigmLc=std(Lc(:,1));
sigmPc=std(Pc(:,1));
sigmRoc=std(Roc(:,1));
sigmTc=std(Tc(:,1));
sigmThc=std(Thc(:,1));
sigmVc=std(Vc(:,1));
sigmMc=std(Mc(:,1));
sigmxc=std(xc(:,1));
%% DEFINICION DE INTERVALOS
%Los intervalos correspondientes a cada uno de los estados se definen
% a partir de la distribucion normal en cada punto. La mu de cada instante
% corresponde al valor de cada variable en el modelo determinista. La sigma
% que será constante para todos los instantes de la simulacion, se toma la
% del instante inicial, estableciendo así un punto de comparacion
%Asignacion de probabilidades, sigma1 y sigma2 para definir intervalos
P1=.8415;
P2=.978;
XL=ones(4,n);
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 57
XM=ones(4,n);
XD=ones(4,n);
XF=ones(4,n);
XH=ones(4,n);
XP=ones(4,n);
XRo=ones(4,n);
XT=ones(4,n);
XTh=ones(4,n);
XV=ones(4,n);
Xx=ones(4,n);
for i=1:n
XL(1,i) = norminv(P1,muL(i),sigmLc);
XL(2,i) = 2*muL(i) - XL(1,i);
XL(3,i) = norminv(P2,muL(i),sigmLc);
XL(4,i) = 2*muL(i) - XL(3,i);
XM(1,i) = norminv(P1,muM(i),sigmMc);
XM(2,i) = 2*muM(i) - XM(1,i);
XM(3,i) = norminv(P2,muM(i),sigmMc);
XM(4,i) = 2*muM(i) - XM(3,i);
XD(1,i) = norminv(P1,muD(i),sigmDc);
XD(2,i) = 2*muD(i) - XD(1,i);
XD(3,i) = norminv(P2,muD(i),sigmDc);
XD(4,i) = 2*muD(i) - XD(3,i);
XF(1,i) = norminv(P1,muF(i),sigmFc);
XF(2,i) = 2*muF(i) - XF(1,i);
XF(3,i) = norminv(P2,muF(i),sigmFc);
XF(4,i) = 2*muF(i) - XF(3,i);
XH(1,i) = norminv(P1,muH(i),sigmHc);
XH(2,i) = 2*muH(i) - XH(1,i);
XH(3,i) = norminv(P2,muH(i),sigmHc);
XH(4,i) = 2*muH(i) - XH(3,i);
XP(1,i) = norminv(P1,muP(i),sigmPc);
XP(2,i) = 2*muP(i) - XP(1,i);
XP(3,i) = norminv(P2,muP(i),sigmPc);
XP(4,i) = 2*muP(i) - XP(3,i);
XRo(1,i) = norminv(P1,muRo(i),sigmRoc);
XRo(2,i) = 2*muRo(i) - XRo(1,i);
XRo(3,i) = norminv(P2,muRo(i),sigmRoc);
XRo(4,i) = 2*muRo(i) - XRo(3,i);
XT(1,i) = norminv(P1,muT(i),sigmTc);
XT(2,i) = 2*muT(i) - XT(1,i);
XT(3,i) = norminv(P2,muT(i),sigmTc);
XT(4,i) = 2*muT(i) - XT(3,i);
XTh(1,i) = norminv(P1,muTh(i),sigmThc);
XTh(2,i) = 2*muTh(i) - XTh(1,i);
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 58
XTh(3,i) = norminv(P2,muTh(i),sigmThc);
XTh(4,i) = 2*muTh(i) - XTh(3,i);
XV(1,i) = norminv(P1,muV(i),sigmVc);
XV(2,i) = 2*muV(i) - XV(1,i);
XV(3,i) = norminv(P2,muV(i),sigmVc);
XV(4,i) = 2*muV(i) - XV(3,i);
Xx(1,i) = norminv(P1,mux(i),sigmxc);
Xx(2,i) = 2*mux(i) - Xx(1,i);
Xx(3,i) = norminv(P2,mux(i),sigmxc);
Xx(4,i) = 2*mux(i) - Xx(3,i);
end
%% DEFINICION DE LOS ESTADOS
%Se aplica la funcion estados a cada uno de de los vectores
estL=estados3(Lc,XL,n,Nsim);
estD=estados3(Dc,XD,n,Nsim);
estF=estados3(Fc,XF,n,Nsim);
estH=estados3(Hc,XH,n,Nsim);
estP=estados3(Pc,XP,n,Nsim);
estRo=estados3(Roc,XRo,n,Nsim);
estT=estados3(Tc,XT,n,Nsim);
estTh=estados3(Thc,XTh,n,Nsim);
estX=estados3(xc,Xx,n,Nsim);
estV=estados3(Vc,XV,n,Nsim);
estM=estados3(Mc,XM,n,Nsim);
%% ANALISIS DE LAS MATRICES DE ESTADO
transL=cuenta(estL,n,Nsim);
transD=cuenta(estD,n,Nsim);
transF=cuenta(estF,n,Nsim);
transH=cuenta(estH,n,Nsim);
transP=cuenta(estP,n,Nsim);
transRo=cuenta(estRo,n,Nsim);
transT=cuenta(estT,n,Nsim);
transTh=cuenta(estTh,n,Nsim);
transX=cuenta(estX,n,Nsim);
transV=cuenta(estV,n,Nsim);
transM=cuenta(estM,n,Nsim);
%% ESTADO GLOBAL OPCION 2
estG1=estGlobal3(estV,estT,estTh,estX,estM);
transG1=cuenta(estG1,n,Nsim);
%%
Q=transG1-eye(size(transG1));
%%
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 59
%%%%%%%%REPRESENTACION CADENA DE MARKOV%%%%%%%%%%
mc = dtmc(transG1);
figure(1)
graphplot(mc,'ColorEdges',true,'ColorNodes',true)
%%
%%%%PROPIEDADES CADENA DE MARKOV%%%%
%Distribucion estacionaria y mix time
[xFix,tFix] = asymptotics(mc);
disp('Estado estable')
disp(xFix)
%Ergodicidad
tf = isergodic(mc);
if tf==true
disp('La cadena es ergodica')
end
figure(3)
eigplot(mc)
%%
%%%%SIMULACION DE ESTADOS%%%%
X=simulate(mc,20);
figure(4)
simplot(mc,X,'Type','graph','Framerate',0.5)
%%%%MEAN STEADY STATE PERFORMANCE AND DEFICIENCY%%%%
g=[100 50 0]; %Niveles de rendimiento (performance)
Et=sum(g.*xFix);
%Nivel de demanda (performance esperada)
w=50;
Dt=sum(xFix.*bsxfun(@max,w-g,0));
%ultimo estado considerado aceptable
k=2;
At=sum(xFix(1:k));
%%
%%%%MEAN INSTANTANEOUS PERFORMANCE%%%%
%generar distintos p
%Numero de transG1es que se van a realizar
N=2400;
%Estado en el que se encuentra el sistema inicialmente
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 60
p0=[1 0 0]; %Se empieza en el estado 1 "0 fallos"
p=zeros(N,length(transG1));
p(1,:)=p0;
for i=2:N
p(i,:)=p(i-1,:)*transG1;
end
%Establecer cuanto tarda en llegar al estado estacionario
err=0.0001; % error en la estimacion del estado estacionario
e=p-xFix;
comp=err*ones(1,length(transG1(:,1)));
C=bsxfun(@gt,comp,abs(e));
idx=find(all(C,2),1);
disp('Numero de operaciones que tarda el sistema en alcanzar la distribucion
estacionaria')
disp(idx)
error=abs(e(idx,:))./xFix;
disp('Error maximo en la estimacion en porcentaje')
disp(max(error)*100)
E=sum(p.*g,2);
figure(5)
plot(E)
title('Mean instantaneous performance')
xlabel('Time (s)')
disp('Valor del rendimiento medio para la distribucion estacionaria')
disp(Et)
%%%%MEAN INSTANTANEOUS PERFORMANCE DEFICIENCY
D=sum(p.*bsxfun(@max,w-g,0),2);
figure(6)
plot(D)
title('Mean instantaneous deficiency')
xlabel('Time (s)')
disp('Valor de la deficiencia media para la distribución estacionaria')
disp(Dt)
%%%%INSTANTANEOUS AVAILABILITY%%%%
%ultimo estado que se considera aceptable
k=2;
A=sum(p(:,1:k),2);
%%
figure(7)
plot(A)
title('Mean instantaneous availability')
xlabel('Time (s)')
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 61
disp('Valor de la disponibilidad media para la distribucion estacionaria')
disp(1-At)
%%
%Fiabilidad estado estacionario
R1fix = 1 - xFix(2);
%Funcion de fiabilidad
R1 = 1 - p(:,3);
figure(8)
plot(R1)
title('Mean instantaneous reliability')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Reliability')
Función estados modelo 3 estados
function [est] = estados(A,B,C,D)
%Asigna un estado(1,2,3) comparando cada valor del vector con
%los intervalos previamente calculados
% A - Variable a analizar (L,V,D...)
% B - Vector de intervalos para comparar A
% C - Tiempo de trayectoria
% D - Número de simulaciones
est=zeros(D,C);
for i=1:C
for j=1:D
if (A(j,i)<B(1,i)) && (A(j,i)>B(2,i))
est(j,i)=1;
elseif (A(j,i)<B(3,i)) && (A(j,i)>B(4,i))
est(j,i)= 2;
else
est(j,i)=3;
end
end
end
end
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 62
Función cuenta modelo 3 estados
function [transicion]=cuenta(A,C,F)
cuenta = zeros(3,3);
%cuenta el numero de transiciones
for i=1:F-1
for j=1:C-1
cuenta(A(i,j),A(i,j+1))= cuenta(A(i,j),A(i,j+1)) + 1;
end
end
total=sum(cuenta,2); %Suma de las filas (Veces que he estado en el
estado de la fila)
transicion= bsxfun(@rdivide,cuenta,total);
Función estados modelo 4 estados
function [est] = estados(A,B,C,D)
%Asigna un estado(1,2,3) comparando cada valor del vector con
%los intervalos previamente calculados
% n=length(A(1,:));
% Nsim=length(A);
est=zeros(D,C);
for i=1:C
for j=1:D
if (A(j,i)<B(1,i)) && (A(j,i)>B(2,i))
est(j,i)=1;
elseif (A(j,i)<B(3,i)) && (A(j,i)>B(4,i))
est(j,i)= 2;
elseif (A(j,i)<B(5,i)) && (A(j,i)>B(6,i))
est(j,i)=3;
else
est(j,i)=4;
end
end
end
end
Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D
Fecha: junio de 2018 63
Función cuenta modelo 4 estados
function [transicion]=cuenta(A,C,F)
cuenta = zeros(4,4);
%cuenta el numero de transiciones
for i=1:F-1
for j=1:C-1
cuenta(A(i,j),A(i,j+1))= cuenta(A(i,j),A(i,j+1)) + 1;
end
end
total=sum(cuenta,2); %Suma de las filas (Veces que he estado en el estado de
la fila)
transicion= bsxfun(@rdivide,cuenta,total);
end