1. Introducción 2. Respuesta de sistemas continuos LTI a señales

exponenciales complejas.3. Desarrollo en series de Fourier de señales periódicas4. Transformada de Fourier para señales no periódicas5. Transformada de Fourier para señales periódicas6. Respuesta en frecuencia de sistemas continuos7. Muestreo ideal8. Aplicación de la Transformada de Laplace a los sistemas LTI9. La función del sistema de sistemas continuos10. Sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales de

coeficientes constantes11. Introducción al filtrado

Análisis de Fourier para señales y sistemas de tiempo continuo

1. Introducción (I)

Ejemplo de descomposición de Fourier:Luz blanca que atraviesa un prisma

Introducción (II)

¿Qué hay detrás de una señal? …Diversas componentes de frecuencia y amplitud

Dominio del tiempo (continuo o discreto)

Dominio de la frecuencia

¿Cómo se realiza este análisis en frecuencia?

Introducción (III)

El análisis de Fourier es una de las herramientas más útiles en procesado de señal. Se basa en la descomposición de una señal en términos de un conjunto de funciones base (sinusoides de diferente frecuencia).

Señales continuas (analógicas):Periódicas: Series de Fourier (CTFS).No periódicas: Transformada de Fourier (CTFT).

Señales discretas (digitales):Periódicas: Series de Fourier en tiempo discreto (DTFS)No periódicas: Transformada de Fourier en tiempo discreto

(DTFT)

2. Respuesta de sistemas continuos LTI a señales exponenciales complejas

La salida de un sistema LTI ante una entrada de tipo exponencial compleja es otra exponencial compleja

DondeH(jω0) ≡ H(ω0) ≡ AUTOVALOR ∈ ¢

≡ AUTOFUNCIÓN

0

0 0 0 0

0

0

( )

0

( )

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

j t

j t j t j j t

s j

j t

x t e

y t h t x t h e d e h e d e H s

y t e H j

ω

ω τ ω ω τ ω

ω

ω

τ τ τ τ

ω

∞ ∞− −

=−∞ −∞

=

= = = =

=

∫ ∫

LTIx(t)=ejωt y(t)=H(jω)·ejωt

0j te ω

Supongamos que la entrada es una combinación lineal de exponenciales:

La respuesta es otra combinación lineal de las mismas exponenciales. Esto es considerablemente más sencillo que realizar la convolución. Por ello vamos a estudiar qué tipo de señales se pueden representar mediante combinación lineal de exponenciales complejas.

Respuesta de sistemas LTI a una combinación lineal de exponenciales complejas (I)

1

1

( ) e

( ) ( ) ( ) ( ) e

k

k

Nj t

kk

Nj t

kk

x t a

y t h t x t a h t

ω

ω

=

=

= ⇒

= ∗ = ∗

∑

∑

1 1

( ) ( ) e ek k

N Nj t j t

k k kk k

y t a H j bω ωω= =

= =∑ ∑ H(jωk) ≡ H(ωk) ∈ ¢ak, bk ∈ ¢

Respuesta de sistemas LTI a una combinación lineal de exponenciales complejas (II)

De forma más gráfica, y aplicando la propiedad de linealidad…

Hablaremos de frecuencia (f) y pulsación (ω) indistintamente: ω=2πf

h(t)31 2

1 2 3e e e j tj t j ta a a ωω ω+ + y(t)

h(t)

h(t)

h(t)3

3 e j ta ω

22 e j ta ω

11 e j ta ω

y(t)

33 e j tb ω

22 e j tb ω

11 e j tb ω

Sinusoides complejas y reales

( )cos2

jx jxe ex−+

=

( )sen2

jx jxe exj

−−=

Una señal x(t) es periódica ⇔ ∃T>0 / x(t)=x(t+T), ∀ tEl periodo fundamental T0 es el mínimo T>0 con el que se cumple la condición de periodicidad. Su inverso es la frecuencia fundamental f0=1/T0

La pulsación fundamental es ω0=2π f0. La señal es periódica de periodo fundamental T0

Los armónicos con k entero tienen periodo fundamental T0/|k|.Por ello T0 es periodo común a todos los armónicos. Por lo tanto la señal es periódica de periodo T0

Vamos a comprobar que la señal x(t) periódica de periodo fundamental T0 se puede expresar como el siguiente CTFS:

3. Desarrollo en serie de Fourier de señales periódicas (CTFS)

Ecuación de síntesis, CTFS-1

0e jk tk

ka ω∑

0( ) e jk tk

kx t a ω

∞

=−∞

= ∑

0e jk tωΦ =0e jk tω

Necesitamos conocer los coeficientes ak.En la ecuación de síntesis, multiplicamos ambos lados por e integramos en un periodo y obtenemos:

0 0 0

0 0 0

00

0

( ) ( )

0( )

0 0

( ) e e e

1e

cos( ) sen( ) 0,

, si Como

si

jn t j k n t j k n tk k

k kT T T

Tj k n t

T

x t dt a dt a dt

dt T k ndt

k n t j k n tdt

ω ω ω

ω

ω ω

∞ ∞− − −

=−∞ =−∞

−

= =

= ==

− + − =

∑ ∑∫ ∫ ∫

∫∫

( )

0

0

0

0 0( ) e [ ]

T

jn tk n

kT

k n

x t dt a T k n a Tω δ∞

−

=−∞

⎧⎪ ⇒⎨

≠⎪⎩

= − = ⇒

∫

∑∫

Ecuación de análisis, CTFS

CTFS. Cálculo de los coeficientes

0

00

1 ( ) e jn tn

T

a x t dtT

ω−= ∫

0e jn tω−

El cálculo de los coeficientes mediante la ecuación de análisis es posible siempre que no ocurra alguna de las situaciones siguientes:

Señal no absolutamente integrable sobre un periodoSeñal con infinitas oscilaciones en un periodoSeñal con infinitas discontinuidades en un periodo

x(t)

−T 0 T 2T 3T 4T t

Condiciones de existencia del CTFS

−T 0 T 2T 3T t

−T 0 T 2T 3T t

Consideraciones sobre el CTFS

El CTFS es una combinación lineal de sinusoides complejas armónicamente relacionadasEn el caso de señales periódicas reales a veces se usan otras expresiones para la serie de Fourier. Por ej.:

Para un sistema LTI, la respuesta a una señal periódica es otra señal periódica con los mismos armónicos que la señal de excitación, pero cambiando sus amplitudes y fases

h(t){ }ka

y(t)x(t)

{ } { }0( )k kb a H kω=

( ) ( )[ ]∑∞

=

++=1

000 sencos)(k

kk tktktx ωβωαα

CTFS de las funciones seno y coseno

( ) 0 00 1 1

1 1 1 1( ) sen ;2 2 2 2

j t j tx t t e e a aj j j j

ω ωω −−

−= = − = =

( ) 0 00 1 1

1 1 1 1( ) cos ;2 2 2 2

j t j tx t t e e a aω ωω −−= = + = =

|ak|

1−1

k

1/2

k

1−1

π/2

-π/2

|ak|

1−1 k

k

∠ak

1/2

1−1

∠ak

Propiedad

Supongamos que x(t) es real x(t)=x*(t)

Luego, si la señal es real, los coeficientes de la serie de Fourier verifican:

Los coeficientes poseen antisimetría conjugada, o lo que es lo mismo, son hermíticos

** * *( ) e e ( ) e ek k k kj t j t j t j t

k k k kk k k k

x t a a x t a aω ω ω ω−−

⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

*k ka a−=

CTFS. Ejemplo (I)

)()( ;2||0

||1)( 0

01

1 txTtxTtTTt

tx =+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<<<

=

Los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier son:0 0 1

0 0 0

0 1

10 0 1 0 1

1

1

1

2

0 0 00 2

0 0 0 0

0 110 0

0 0

1 1 1( )e ( ) e e

1 e 2 e e2

sen( )21 1 ;

T T Tjk t jk t jk t

kT T

Tjk t jk T jk T

k

T

T

kT

a x t dt x t dt dtT T T

aT jk k T j

k TTa dt aT T k

ω ω ω

ω ω ω

ω ω

ωπ

− − −

− −

− −

−

≠−

= = = ⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

= = =

∫ ∫ ∫

∫

−Τ0 −T1 T1 T0 /2 T0 2T0 t

x(t)1

CTFS. Ejemplo (I)

T1/T0=1/16−8ω 0

0

ω8 0

akT

0

ω

T1/T0=1/8

0

4ω0

akT0

ω

−4ω0

Conforme aumenta T0,

aumenta el número de componentes

espectrales

Representamos T0 ak para ver la CTFS de un tren de pulsos de distinto periodo:

T1/T0=1/4−2ω0

0

2 0

akT0

ω

ω

Interpretación del CTFS (I)

Interpretación del CTFS (II)

Cualquier función periódica puede ser representada por la suma de senos y cosenos de diferentes amplitudes y frecuencias

CTFS. Fenómeno de Gibbs

xN(t)

t

N=1

xN(t)

t

N=3

xN(t)

t

N=7

xN(t)

t

N=19

xN(t)

t

N=101

xN(t)

t

N=∞

Fenómeno de Gibbs

4. Transformada de Fourier (CTFT) de señales no periódicas.

Dada una señal x(t) se define su transformada de Fourier como:

Es una particularización de la TL en el eje s=jωPara que exista, s=jω tiene que estar dentro de la ROCX

La CTFT de la señal x(t) existirá siempre que se cumplan unas condiciones similares a las de existencia de la CTFS:

x(t) debe ser absolutamente integrablex(t) debe tener un nº finito de oscilaciones en cualquier intervalo finito x(t) debe tener un nº finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito

{ }( ) ( )s j

X TL x tω

ω=

=

∫∞

∞−

−≡ dttxX tjωω e)()(

Dada una señal de duración finita x(t), realizamos una extensión periódica

Expresamos la señal periódica mediante su CTFS

0

00

0 0

( ) e

1 2( ) e

con

y

jk tk

k

jk tk

T

x t a

πa x t dt ωT T

ω

ω

∞

=−∞

−

=

= =

∑

∫

%

%

T1 T2 t

x(t)

T1 T2 t

T0

Relación de la CTFT con los coeficientes del CTFS (I)

( ) x t%

( )x t%

( )x t%

En el intervalo T1 ≤ t ≤ T2, se cumple de modo que

Los coeficientes ak de la extensión periódica son muestras equiespaciadas de la función X(ω)

Relación de la CTFT con los coeficientes del CTFS (II)

( ) ( ) x t x t=%

0

0 0 0

00

2

0 0 02

1 1 1( ) e ( ) e ( ) e T

jk t jk t jk tk T

T

a x t dt x t dt x t dtT T T

ω ω ω∞

− − −

−∞

= = =∫ ∫ ∫% %

0

0

1 ( ) e

( ) ( ) e

jk tk

j t

a x t dtT

X x t dt

ω

ωω

∞−

−∞

∞ −

−∞

⎫= ⎪

⎪⇒⎬

≡ ⇒⎪⎪⎭

∫

∫

Como

00

1 ( )ka XkT

ωω ω

==

Si hacemos T0→∞, ω0 → 0, ⇒la suma tiende a una integral ω0 → dω, kω0 → ω,y la extensión periódica tiende a la señal original:

Ec. de síntesis, CTFT-1

Ec. de análisis, CTFT

1( ) ( ) ( )2

j tx t x t X e dωω ωπ

∞

−∞= = ∫%

Transformada inversa de Fourier

1( ) ( )2

( ) ( )

j t

j t

x t X e d

X x t e dt

ω

ω

ω ωπ

ω

∞

−∞

∞ −

−∞

=

=

∫

∫

0 0 00 0 0

0

1( ) e ( ) e ( ) e1 2

jk t jk t jk tk

k k k

x t a X k X kT

ω ω ωω ω ωπ

∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= = =∑ ∑ ∑%

Ejemplo

,( )

0,A t T

x tt T

<⎧= ⎨ >⎩

si | | si | |

Si realizamos una extensión periódica de periodo T0, los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de la extensión periódica son los calculados anteriormente para una onda cuadrada:

0 0

0 0

00

sen( ) sen( )2

( )

sen( )( ) 2

k

k

k T k Ta A Ak k T

Aa XkT

TX A

ω ωπ ω

ωω ω

ωωω

= =

= ⇒=

=

A

−T T t

x(t)

2AT

ω

−2π/T π/T π/T 2π/T

X(ω)

Interpretación gráfica de la relación CTFS-CTFT

ω

0 ω

0 ω

0 ω

x(t)

( )x t%

T0→∞

T0

T0

T0

Frecuencias negativasUna sinusoide puede describirse matemáticamente de varias formas:

( ) ( )00

2x cos costt A A tTπ ω

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠( ) ( )0x cost A tω= −

( ) ( ) ( )1 0 2 0 1 2x cos cos ,t A t A t A A Aω ω= + − + =

( )0 0

x2

j t j te et Aω ω−+

=

Y se puede representar de otras formas distintas …Así pues, podríamos considerar que la frecuencia sea positiva o negativa.Desde el punto de vista del análisis de señal, no importa

Señal Transformada )(tx )(ωX

ax(t)+by(t) aX(ω)+bY(ω)

x(t−t0) 0 ( )j te Xω ω−

0 ( )j te x tω )( 0ωω −X

x*(t) )(* ω−X

x(−t) )( ω−X

x(at) ( )1| |

X aa

ω

)()( tytx ∗ )()( ωω YX

)()( tytx 1( ) ( )2

X Yω ωπ

∗

dttdx )( )(ωωXj

Propiedades de la CTFT (I)

Señal Transformada

∫ ∞−

tdx ττ )( )()0()( ωδπ

ωω X

jX

+

)(ttx ωω ddXj )(

( ) x t real

{ } { }{ } { }

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−∠=∠−=

−−=−=

−=

)()()()(

)(Im)(Im)(Re)(Re

)()( *

ωωωω

ωωωω

ωω

XXXX

XXXX

XX

Relación de Parseval para señales no periódicas ∫∫

−∞

∞−

∞

∞−= ωω

πdXdttx 22

)(21)(

( ) ( ) ( ):

( ) 2 ( )

TF j t

TF

g t f g t e dtDualidad

f t g

ωω

π ω

∞ −

−∞

⎧ ←⎯→ =⎪⎨⎪ ←⎯→ −⎩

∫

Propiedades de la CTFT (I)

∠X( f )

∠ X( f )

Desplazamiento en t

Desplazamiento en el tiempo

( ) ( ) 020

j ftTFx t t X f e π−− ←⎯→

( ) ( ) 00

j tTFx t t X e ωω −− ←⎯→

Modulación

|X1(ω)|

|X2(ω)|

(1/2π)|X1(ω)*X2(ω)|

Dualidad

X1(ω)

X2(ω)

El principio de “incertidumbre”

Las propiedades de escalado en el tiempo y en frecuencia nos indican que si una señal se expande en uno cualquiera de los dominios, t o ω (f), inevitablemente se comprime en el dominio complementario.

( )2

222 2t

fe eπ π

⎛ ⎞− ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ←⎯→TF

2 2t fe eπ π− −←⎯→TF

Contenido en frecuencia

Paso Bajo Paso Alto

Paso Banda

{ }

0

0

0

( ) ( ) e ( ) e 1

( ) 1( ) e

Como

Por desplazamiento

j t

TF

j tTF

TF t t dt t dt

tt t

ω

ω

δ δ δ

δ

δ

∞ ∞−

−∞ −∞

−

= = =

←⎯→ ⇒

− ←⎯→ ⇒

∫ ∫

002 ( )Por dualidad j t TFe ω πδ ω ω←⎯→ −

00

-

( ) 2 ( )Por linealidad jk t TFk k

k k

x t a e a kω π δ ω ω∞ ∞

= ∞ =−∞

= ←⎯→ −∑ ∑

Calculamos la transformada de un impulso y de una exponencial:

Como cualquier señal periódica la podemos desarrollar en serie de Fourier

0 0 02 ( )T T x tω π=Donde , siendo el periodo fundamental de

5. Transformada de Fourier para señales periódicas (I)

∑∞

−∞=

−=k

kT

X )(2)( 0ωωδπω

0/ 2 / 2

/ 2 / 2

1 1 1( )e ( )T Tjk t

k T Tk

a t kT dt t dtT T T

ωδ δ∞

−

− −=−∞

= − = = ⇒∑∫ ∫

La CTFS del tren de impulsos tiene como coeficientes:

) ( )(k

x t t kTδ∞

=−∞

= −∑

Para su demostración partimos de un tren de impulsos:

−3T −2T −T 0 T 2T 3T t

1

x(t)

2π/T

4 2 2 40 T T T T

π π π π ω− −

X(ω)

CTFT para señales periódicas (II)

Señal Transformada ( )tδ 1

( )u t ( )1j

πδ ωω

+

)( 0tt −δ 0e j tω−

{ }e ( ); Re 0 at u t a− > ωja +1

{ }e ( ); Re 0 att u t a− > ( )21

ωja +

{ }1

e ( ); Re 0( 1)!

n

att u t an

−− >

− ( )nja ω+

1

⎩⎨⎧

>≤

=1

1

,0 ,1

)(TtTt

tx 12sen( )Tωω

senWttπ ⎩

⎨⎧

><

=WW

Xωω

ω ,0 ,1

)(

Pares transformados (señales no periódicas)

Pares transformados (señales periódicas)Señal Transformada

0e jk tk

ka ω

∞

=−∞∑ ( )∑

∞

−∞=

−k

k ka 02 ωωδπ

0e jk tω )(2 0ωωπδ −

0cos( )tω ( ) ( )[ ]00 ωωδωωδπ ++−

0sen )( tω ( ) ( )0 0jπ δ ω ω δ ω ω− − +⎡ ⎤⎣ ⎦

1)( =tx ( )ωπδ2

∑∞

−∞=

−k

kTt )(δ ∑∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

k Tk

Tπωδπ 22

)()(2 ,0

,1)(

0

01

1

txTtxTtTTt

tx

=+⎩⎨⎧

≤<<

= 22

00∑

∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

k Tk

Tπωδπ

Pares de CTFT de señales típicas

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80 100 120050

100150200250300

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.10.2

0.30.40.5

0 50 100 150 200 2500123456

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

-100 -50 0 50 1000123456

0 50 100 150 200 25005

1015202530

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.20.4

0.60.8

1

0 20 40 60 80 100 120010203040506070

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1

0

1

2

f = 8 Hz SR = 256 HzT2 = 0.5 s

Seno Delta

Gausiana Gausiana

Sinc Cuadrada

Exponencial Lorentz

Sin. Amort. Lorentz

CTFT de las funciones seno y coseno

( ) ( ) ( )0 0

0 0 0( ) sen ( )2 2

j t j te ex t t Xj j j

ω ω πω ω δ ω ω δ ω ω−

= = − ←⎯→ = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦TF

( ) ( ) ( )0 0

0 0 0( ) cos ( )2 2

j t j te ex t t Xω ω

ω ω π δ ω ω δ ω ω−

= = + ←⎯→ = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦TF

|X(ω)|

−ω0∠ X(ω)

ω0ω

ω

π

ω0

−ω0

π/2

−π/2

|X(ω)|

∠ X(ω)ω0−ω0

ω

ω

π

ω0−ω0

6. Respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo continuo (I)

Dado un sistema LTI con respuesta al impulso h(t), se define la respuesta en frecuencia del sistema H(ω) como:

( ) ( ) e j tH h t dtωω∞ −

−∞= ∫

h(t)H(ω)

x(t) y(t)=x(t)∗h(t)

X(ω) Y(ω)=X(ω)·H(ω) )()()(

ωωω

XYH =

La respuesta en frecuencia representa el conjunto de autovaloresdel sistema para las autofunciones del tipo:

0 00( ) e ( ) ( ) ej t j tx t y t Hω ωω− −= ⇒ =

0( ) e j tx t ω−=

Dado que H(ω) es una función compleja de variable real, es necesario conocer su módulo y su fase. El módulo y la fase de la respuesta en frecuencia serán:

El módulo o amplitud de la respuesta en frecuencia (o respuesta en amplitud) representa la ganancia del sistema a cada pulsación ω o componente espectralLa fase de la respuesta en frecuencia (o respuesta en fase)representa el desfase introducido por el sistema a cada pulsación ωo componente espectral La respuesta en frecuencia de un sistema LTI existirá si y sólo si el sistema es estable.

Respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo continuo (II)

)()()(y )()(

)( ωωωωω

ω XYHXY

H ∠−∠=∠=