ANÁLISIS CRÍTICO DE LAS DEFINICIONES DE DESEQUILIBRIO DE TENSIONES, DADAS POR LAS NORMAS INTERNACIONALES

DIEGO FANDIÑO GUTIERREZ

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE

FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERIA ELÉCTRICA

SANTIAGO DE CALI 2008

ANÁLISIS CRÍTICO DE LAS DEFINICIONES DE DESEQUILIBRIO DE TENSIONES, DADAS POR LAS NORMAS INTERNACIONALES

DIEGO FANDIÑO GUTIERREZ

Trabajo de Grado para optar al título de Ingeniero Electricista

Director ENRIQUE CIRO QUISPE OQUEÑA

M.Sc.E.E.

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE INGENIERIA ELÉCTRICA SANTIAGO DE CALI

2008

Nota de aceptación:

Aprobado por el comité de Grado En cumplimiento con los requisitos Exigidos por la Universidad Autónoma de Occidente Para optar al Título de Ingeniero Eléctrico

Msc. ENRIQUE CIRO QUISPE O. ________________________________

Docente Director

Ing. Rosaura Castrillón ________________________________

Jurado

Santiago de Cali, Febrero 06 de 2008

CONTENIDO

Pág.

RESUMEN 10

INTRODUCCIÓN 11

1. DEFINICIONES PARA DESEQUILIBRIO DE TENSIÓN 12

1.1. DEFINICIÓN NEMA 12

1.2. DEFINICIÓN IEEE 13

1.3. DEFINICIÓN IEC 13

1.3.1 Factor de desequilibrio ƒu 14

1.3.2 Determinación aproximada 14

1.4. DEFINICIÓN DEL FACTOR COMPLEJO DE DESEQUILIBRIO DE TENSIÓN 15

1.5. CÁLCULO DEL DESEQUILIBRIO, APLICANDO LAS DEFINICIONES NORMALIZADAS 15 1.5.1 Usando la definición NEMA 15 1.5.2 Usando la definición IEEE 16 1.5.3 Usando la definición IEC 17 1.5.4 Usando la definición del Factor Complejo de Desequilibrio de Tensión ó Índice Oliveira-Wang 17 1.5.5 Comparación de los resultados de los ejemplos de cada definición 17

2. ANÁISIS DEFINICIÓN NEMA 19

2.1. PLANTEAMIENTO DE EJEMPLO PARA ANÁLISIS 19

3. ANÁLISIS DEFINICIÓN IEEE 28

3.1. PLANTEAMIENTO DE EJEMPLO PARA ANÁLISIS 29

3.2. ANÁLISIS DE VALORES PARA EL PORCENTAJE DE DESEQUILIBRIO 30

3.2.1. Usando un sistema de potencia trifásico con neutro flotante 30

3.2.2. Usando un plano tridimensional con los valores de las tensiones de fase en los tres ejes del espacio 31 3.3. ANÁLISIS DE VALORES PARA EL FACTOR DE DESEQUILIBRIO 32

4. ANÁLISIS DEFINICIÓN IEC 35

4.1 PLANTEAMIENTO DE EJEMPLO PARA ANÁLISIS 35

5. ANÁLISIS DEFINICIÓN DEL FACTOR COMPLEJO 41

5.1. PLANTEAMIENTO DE EJEMPLO PARA ANÁLISIS 41

5.2. ANÁLISIS DE VALORES PARA EL FACTOR COMPLEJO 43

6. CONCLUSIONES 44

7. RECOMNDACIONES 47

BIBLIOGRAFIA 48

ANEXOS 49

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Comparación resultados de ejemplos definición de desequilibrio 18

Tabla 2. Valores de tensiones en puntos que se alejan radialmente del eje de simetría, cuando el equilibrio es 220 V. 21

Tabla 3. Valores de datos para el ejemplo explicativo NEMA 24

Tabla 4. Valores de tensiones desequilibradas igualmente según la figura 5 25

Tabla 5. Tensiones de fase, para un mismo caso de tensiones de línea a línea 29

Tabla 6. Iguales tensiones de línea, para diferentes tensiones de fase 30

Tabla 7. Desequilibrio de tensión un sistema trifásico con neutro flotante 30

Tabla 8. Valores encontrados para el ejemplo norma IEC 39

Tabla 9. Valores parea el análisis de la definición del Factor Complejo 41

LISTA DE FIGURAS

Pág Figura 1. Diagrama Fasorial de Tensiones Trifásicas Desequilibradas 16

Figura 2. Ejes tridimensionales para todas las posibilidades de módulos de las tensiones en un sistema trifásico de potencia 19 Figura 3. Vista del eje de simetría en el plano tridimensional de referencia para el análisis de la norma NEMA (Vab= Vbc= Vca) 20 Figura 4. Puntos a distinto % de desequilibrio NEMA 21

Figura 5. Vista de la superficie cónica, donde cualquier punto sobre ella entrega tensiones con un desequilibrio del 8.2 % 22 Figura 6. Secciones perpendiculares al plano de simetría 23

Figura 7. Variación de dos de las tensiones de línea a línea 26

Figura 8. Casos de estudio ejemplo Análisis IEEE 28

Figura 9. Aumento lineal del % de desequilibrio (2) moviendo radialmente el neutro desde el circuncentro del triangulo formado por las tensiones de línea 31 Figura 10. Sistema trifásico de tres vectores de fase desequilibrados, descompuesto en componentes de secuencia positiva (directa), negativa (inversa) y cero (homopolar) 33 Figura 11. Espacio o plano de referencia para el análisis de la norma IEC 35

Figura 12. Simetría de magnitud de las tensiones de línea a línea, implica simetría de ángulo de desfase 36 Figura 13. Vista del eje de simetría en el plano tridimensional de referencia para el análisis de la norma IEC (Vab= Vbc= Vca) 37 Figura 14. Ejemplo demostrativo para norma IEC 38

Figura 15. Superficies cónicas formadas por los puntos que tienen un mismo factor de desequilibrio ƒu 40

Figura 16. Triangulo cerrado para todas las tensiones de línea 42

Figura 17. Planos donde el ángulo del Factor Complejo de Desequilibrio es igual al calcular en cualquier punto del plano 43 Figura 18. Línea con puntos que poseen un mismo Factor Complejo de Desequilibrio 44

LISTA DE ANEXOS

Pág.

Anexo A. determinación de las componentes de secuencia de tensión sin el uso de matemática compleja 49 Anexo B. Equivalencia entre la definición ieee e iec de factor de desequilibrio 51

RESUMEN Este trabajo de grado presenta un análisis crítico de las definiciones para la estimación del desequilibrio de tensión en sistemas trifásicos de potencia. Se muestran ejemplos y gráficos, que permiten claramente, establecer distribuciones geométricas características de las posibilidades o puntos que indican diferentes situaciones para valores de magnitud y ángulo de las tensiones del sistema, que tienden hacia un mismo valor de índice de desequilibrio (según sea la definición estudiada). Por lo tanto, se mostraran varias situaciones donde con diferentes casos se calcula un mismo valor de desequilibrio de tensión. Es así como se reforzaran o se mostraran fortalezas en cada una de las definiciones; también las incoherencias o la falta de exactitud para la descripción del fenómeno se estudiará, concluyendo en recomendar el Factor Complejo de Desequilibrio como la definición que describe de una forma más acertada el fenómeno de desequilibrio de tensión. También se recomienda una nueva definición que involucre magnitudes, ángulos y tensión nominal de trabajo ya que esta última no se tiene en cuenta en ninguna definición.

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INTRODUCCIÓN En los sistemas trifásicos de potencia, se consideran desequilibradas las tensiones, cuando las magnitudes de sus componentes fundamentales de fase o de línea son asimétricas, también si los ángulos de desfase entre esas tensiones no son iguales ó si se presentan ambas condiciones; a este fenómeno se le denomina desequilibrio de tensión y está caracterizado por un parámetro o índice, el cual indica que tan desequilibrada se encuentra la red. Es importante su estimación y control cuando se procede en la reglamentación de los sistemas eléctricos de potencia ya que por encima de ciertos límites, produce aumentos considerables en las pérdidas del sistema eléctrico de potencia. Existen varias normas internacionales, donde se encuentran metodologías definidas para la estimación del índice de desequilibrio de tensión. Sin embargo cada una de ellas plantea un tratamiento matemático diferente de las variables necesarias para el cálculo. Para tal fin se tiene la definición suministrada por la IEEE (The Institute of Electrical and Electronics Engineers), la establecida por NEMA (National Electrical Manufacturers Association), la planteada por IEC (International Electrotechnical Commission) y una ultima definición propuesta recientemente. Este trabajo, direcciona sus esfuerzos, realizando un análisis crítico entre las definiciones para la estimación de los índices de desequilibrio de tensión en sistemas trifásicos de potencia, suministradas por las normas internacionales. La idea fundamental del trabajo es mostrar cual de las actuales normas internacionales, sería la más adecuada para calcular el índice de desequilibrio de tensión y también qué posibles debilidades de generalización en los casos de desequilibrio (en magnitud, fase o ambas) tienen éstas normas al estimar el índice, teniendo presente que cada una de ellas difiere respecto a las otras en cuanto a los factores o variables usadas para el cálculo y su tratamiento matemático. Inquietudes importantes podrían salir de este trabajo, debido a las implicaciones del cálculo o estimación del índice en los estudios de calidad que en el mundo entero, comunidad local y universitaria se desarrollan actualmente ya que el fenómeno de desequilibrio de tensión es uno de los más comunes en los sistemas trifásico de potencia.

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1. DEFINICIONES PARA DESEQUILIBRIO DE TENSIÓN Existen tres definiciones para la estimación del desequilibrio de tensión estandarizadas internacionalmente por: NEMA (National Electrical Manufacturers Association), IEEE (The Institute of Electrical and Electronics Engineers), y la IEC (International Electrotechnical Commission), respectivamente y una cuarta propuesta recientemente por Oliveira y Wang . Las diferentes definiciones se describen en orden para entender las implicaciones de sus usos, concluir posteriormente en otros capítulos, cual de las cuatro definiciones es la más adecuada para estimar el índice o la cantidad de desequilibrio de tensión y conocer los puntos débiles de cada una de las definiciones a la hora de la estimación de este parámetro. 1.1. DEFINICIÓN NEMA La norma NEMA MG-1 de 1993 “Motores y Generadores”, entre otros aspectos, define una ecuación para estimar que tan desequilibrada se encuentra la tensión en un sistema trifásico de potencia, utilizando solamente, las medidas de los módulos correspondientes a las tres tensiones de línea a línea del sistema (valores efectivos o rms); presentando así, operaciones matemáticas reales, sin ningún cálculo fasorial o en el plano complejo, entregando un resultado en términos de “Porcentaje de Desequilibrio de Tensión”. El desequilibrio de tensión en porcentaje es definido así: Cien, multiplicado por un cociente, donde el denominador es el promedio de las tensiones de línea y el numerador es la magnitud absoluta de la máxima diferencia entre el valor promedio de las tensiones de línea y la tensión de línea. Así:

Promedio TensiónPromedio Tensión la de

Tensión de Máxima Desviacion

x 100Tensión de rioDesequilib de Porcentaje = (1)

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1.2. DEFINICIÓN IEEE En este caso se da, un tratamiento de “Medición del Desequilibrio de Tensión de Fase”. Suministrada por la norma IEEE Std 141-1993 , “Prácticas Recomendadas por IEEE, para la Distribución de la Potencia Eléctrica en Plantas Industriales”. Esta normativa entrega el siguiente procedimiento: El método simple de expresar el desequilibrio de la tensión de fase, es hacer una medición de cada una de ellas:

100 Promedio

Promedio del Desviación MáximarioDesequilib de Porcentaje x= (2)

La cantidad de desequilibrio de tensión se expresa mejor en componentes simétricas como la componente negativa de secuencia de tensión de fase sobre la componente positiva de secuencia de tensión:

Tensión de Positiva SecuenciaTensión de Negativa Secuencia

Tensión de rioDesequilib de Factor = (3)

Donde

Tensión de Positiva Secuencia =pV

Y

Tensión de Negativa Secuencia =nV . IEEE entrega dos ecuaciones, en las cuales se utilizan las medidas de las magnitudes de las tensiones de fase como se ve arriba, para entregar un valor aproximado (2). Pero también aquí se indica que la utilización de las componentes de tensión de secuencia negativa y positiva expresan mejor el valor del desequilibrio de la tensión (3). 1.3. DEFINICIÓN IEC La norma internacional IEC 60034 de 2006 “Maquinas Eléctricas Rotativas”, específicamente en la parte 26, trata los efectos del desequilibrio de tensión en el

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desempeño de los motores trifásicos de inducción de jaula, plantea el cálculo del Factor de Desequilibrio de las tensiones de línea y entrega dos anexos, donde se dan herramientas matemáticas y también una ecuación aproximada de la definición para calcular la magnitud del desequilibrio. 1.3.1. Factor de desequilibrio ƒ u. Este se define como el cociente de la componente de tensión de línea de secuencia negativa, sobre la componente de tensión de línea de secuencia positiva:

p

n

UU=uƒ (4)

Donde Un es el valor rms de la componente de secuencia negativa de la tensión suministrada; Up es el valor rms de la componente de secuencia positiva de la tensión suministrada. 1.3.2. Determinación aproximada. Para propósitos prácticos, la siguiente ecuación simplificada puede ser usada, para la determinación de la magnitud del desequilibrio ƒ’u:

,'max

promedio

promediou V

VVf

−= (5)

Donde Vmax es el valor rms mayor de, las tensiones Vab, Vbc y Vca. Vpromedio es el valor rms promedio de las tres tensiones. NOTA: Una relación matemática correcta entre los factores ƒu y ƒ’u no existe. El factor según la determinación aproximada, solamente es una aproximación a la realidad física. Aunque normalmente debajo del 3%, en circunstancias inusuales, el factor de desequilibrio ƒu puede ser hasta 14% más alto que el valor aproximado

uf ' .

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1.4. DEFINICIÓN DEL FACTOR COMPLEJO DE DESEQUILIBRIO DE TENSIÓN Ó ÍNDICE OLIVEIRA-WANG Esta definición de desequilibrio de tensión es propuesta por Oliveira y Wang. Se conoce como “Complex Voltage Unbalance Factor” (CVUF) y está caracterizada por

p

n

U

UCVUF = (6)

Básicamente se tiene la misma definición del Factor de desequilibrio ƒu planteada por IEC, la única diferencia radica en que se incluyen los fasores de frecuencia, con ángulos y amplitudes, por lo tanto

θθθ

∠=∠∠

==p

n

pP

nnn

U

U

U

U

pU

UCVUF (7)

1.5. CÁLCULO DEL DESEQUILIBRIO, APLICANDO LAS DEFINICIONES NORMALIZADAS 1.5.1. Usando la definición NEMA. Se tienen tres tensiones de línea a línea desequilibradas, Vab= 460V, Vbc= 467V y Vca= 450V (ver figura 1); que alimentan una maquina de inducción. El valor promedio de las magnitudes es: (460+467+450)/3= 459V y la desviación máxima del valor promedio es

459450 − = 9V, así, aplicando (1), el porcentaje de Desequilibrio de Tensión dado

por NEMA es: 100*(9/459)= 1.96%. La norma indica que los valores de tensión pueden ser medidos directamente con un voltímetro.

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Figura 1. Diagrama Fasorial de Tensiones Trifásicas Desequilibradas

1.5.2. Usando la definición IEEE. Un sistema trifásico de potencia tetrafilar con neutro tiene los siguientes valores de tensiones de fase (De línea a neutro); Va= 258.06V, Vb= 272.79V y Vc= 264.09V; (ver figura 1). En primera instancia se aplica la ecuación correspondiente al “porcentaje de desequilibrio” (2). El valor promedio de las tensiones es: (258.06V+272.79V+264.09V)/3= 264.98V. La desviación máxima del promedio: V81.7V98.264V79.272 =− y el porcentaje de

desequilibrio que plantea IEEE: (7.81V/264.98V)*100= 2.95%. Para estimar el “Factor de Desequilibrio de Tensión” (3), se asume que los módulos usados arriba, en la primer parte del ejemplo, fueron medidos de los siguientes fasores de tensión línea a neutro:

º04.119V09.264V y º09.120V79.272V ,º0V06.258V c ∠=−∠=∠= ba (Ver Figura 1.), y aplicando Fortescue se tienen las componentes de secuencia positiva y negativa para este grupo de fasores asimétricos º35.0V976.264 −∠=pV y

º12.144V686.5 ∠=nV , así el Factor de Desequilibrio de Tensión es:

0215.0264.9765.686

Tensión de rioDesequilib de Factor == , para tener esta cantidad

como un porcentaje 0.0215*100= 2.15 %

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1.5.3. Usando la definición IEC. Considerando que los módulos de las tensiones de línea a línea rms, usados en el ejemplo de la definición NEMA, fueron medidos de los siguientes favores.

º13.149V450V y º05.91V467V ,º87.30V460V ca ∠=−∠=∠= bcab (Ver Figura 1.), aplicando Fortescue se calculan las componentes de secuencia positiva y negativa para este grupo de fasores asimétricos, correspondientes a las tensiones de línea a línea, Up= º65.2995.458 ∠ , Un= º13.11485.9 ∠ . Aplicando (4) se obtiene un factor de desequilibrio= (9.85/458.95)= 0.0215. Para expresarlo como porcentaje 0.0215*100= 2.15%. Para aplicar la estimación aproximada, entregada por IEC, Vmax= 467V, Vpromedio= (460V+467V+450V)/3= 459V, Aplicando (5) se calcula la magnitud aproximada del desequilibrio: (467-459)/459= 0.0174. Para expresarlo como porcentaje 0.0174*100= 1.74%. 1.5.4. Usando la definición del Factor Complejo de Desequilibrio de Tensión ó Índice Oliveira-Wang. El anterior ejemplo basa su cálculo en los módulos de las tensiones de línea a línea rms de un sistema trifásico, medidas de los siguientes fasores:

º13.149V450V y º05.91V467V ,º87.30V460V ca ∠=−∠=∠= bcab (Ver Figura 1.), aplicando Fortescue se calculan las componentes de secuencia positiva y negativa para este grupo de fasores asimétricos: Up= º65.2995.458 ∠ , Un= º13.11485.9 ∠ . Aplicando (6), se obtiene el factor de desequilibrio= (9.85/458.95)∠ (114.13º-29.65º)= 0.0215∠ 84.48º. Para expresarlo como porcentaje 0.0215*100∠ 84.48º = 2.15% ∠ 84.48º. 1.5.5. Comparación de los resultados de los ejemplos de cada definición. A continuación se hará un paralelo con los resultados obtenidos en los respectivos ejemplos aplicativos, teniendo en cuenta que el gráfico de la figura 1, fue usado para la medición de las tensiones necesarias en los cálculos de los ejemplos.

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Cuadro 1. Comparación resultados de ejemplos definición de desequilibrio

NEMA IEEE IEC Oliveira-Wang % desequilibrio de tensión

% de desequilibrio

Factor de desequilibrio de tensión

Factor de desequilibrio

Magnitud aproximada del desequilibrio

Factor complejo de desequilibrio de tensión (CVUF)

Definición Ejemplo 1.96% 2.95% 2.15% 2.15% 1.74% 2.15%∠ 84.48º

º04.119V09.264V y º09.120V79.272V ,º0V06.258V c ∠=−∠=∠= ba

º13.149V450V y º05.91V467V ,º87.30V460V ca ∠=−∠=∠= bcab Componentes de secuencia positiva y negativa de las tensiones de Línea a Línea Un= º16.11484.9 ∠ Up= º65.2995.458 ∠ Componentes de secuencia positiva y negativa de las tensiones de Línea a Neutro Un= º13.11469.5 ∠ Up= º35.097.264 −∠

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2. ANÁLISIS DEFINICIÓN NEMA 2.1. PLANTEAMIENTO DE EJEMPLO PARA ANÁLISIS Se tienen los tres ejes tridimensionales cartesianos, indicando respectivamente las magnitudes rms de las tensiones de línea a línea Vab Vbc Vca de un sistema trifásico de potencia. Éste espacio tridimensional representa todas las posibilidades para las tres tensiones y cada punto en el, es una de ellas (Ver Figura 2). Figura 2. Ejes tridimensionales para todas las posibilidades de módulos de las tensiones en un sistema trifásico de potencia

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Considerando la definición para estimar el Porcentaje de desequilibrio planteada por NEMA (1), en donde se compara la desviación máxima del promedio de tensión de línea respecto a ese mismo valor promedio; se observa que la figura 3 muestra todos los casos (puntos) donde las tres tensiones de línea a línea son iguales (La línea recta en donde todo punto Vab= Vbc= Vca) y donde también el Porcentaje de Desequilibrio planteada por NEMA (1) al ser calculado siempre será 0%. Esto indica que la línea recta que se encuentra a 45º de todos los ejes de tensión, forma un Eje de Simetría , donde ningún punto (o estado de las magnitudes de tensión de línea del sistema) sobre ese eje se encuentra en condición de desequilibrio. Figura 3. Vista del eje de simetría en el plano tridimensional de referencia para el análisis de la norma NEMA (V ab= Vbc= Vca)

Alrededor del Eje de Simetría y cerca de el, pero por fuera de este, se tendrán los puntos (o estados de las magnitudes de tensión de línea del sistema) con valores

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de desequilibrio pequeños y a medida que el punto que indica las magnitudes de las tensiones de línea a línea del sistema trifásico se aleja radialmente de ese Eje de Simetría , el porcentaje calculado para el punto se incrementará (ver cuadro 2 y figura 4). Figura 4. Puntos a distinto % de desequilibrio NEMA

Cuadro 2. Valores de tensiones en puntos que se alejan radialmente del eje de simetría, cuando el equilibrio es 220 V.

PUNTO Vab Vbc Vcd % de desequilibrio

A 202.8278 202.8278 244.2852 12.7 B 204.2588 204.2588 242.2615 11.6 C 205.6898 205.6898 240.2377 10.6 D 207.1208 207.1208 238.2139 9.5 E 208.5518 208.5518 236.1902 8.4 F 220.0000 220.0000 220.0000 0.0%

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En el espacio definido por los tres ejes tridimensionales Vab, Vbc y Vca, existen infinitos puntos que indican infinitas condiciones o estados de los valores de las tres tensiones de línea a línea del sistema (magnitudes), que tienden a un mismo valor de desequilibrio calculado a partir de la definición planteada por NEMA. Estos puntos (o estados de las magnitudes de tensión de línea del sistema) forman una superficie cónica tridimensional alrededor del eje de simetría, en la cual el desequilibrio calculado para cualquier punto sobre ella (excepto sobre la base del cono) siempre tiende a un mismo valor (ver figura 5). En el caso de la figura, el desequilibrio calculado equivalente al 8.2 % es representado por cualquier punto sobre esta superficie exceptuando la base del cono. Figura 5. Vista de la superficie cónica, donde cualquier punto sobre ella entrega tensiones con un desequilibrio del 8.2 %

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A continuación se mostrará un ejemplo más detallado, analizando tres secciones del cono, perpendiculares al eje de simetría: En tres puntos distintos a lo largo del eje de simetría con 0% de desequilibrio, se trazan secciones perpendiculares en los puntos: Ψ (Vab= 220V, Vbc= 220V, Vca= 220V) φ (Vab= 200V, Vbc= 200V, Vca= 200V) Φ (Vab= 180V, Vbc= 180V, Vca= 180V) En cada uno de los puntos anteriores como centro, las secciones del cono, perpendiculares al eje de simetría, tienen radios: r= 28.62V para Ψ. r’= 26.02V para φ. r’’ = 23.42V para Φ. Como se muestra en la figura 6: Figura 6. Secciones perpendiculares al plano de simetría

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Encontrando las coordenadas de los puntos y calculando los porcentajes de desequilibrio, se obtiene la siguiente información: Cuadro 3. Valores de datos para el ejemplo explicativo NEMA

Para tensión de equilibrio a 220v y radio del punto de equilibrio ”ψ” r = 28.62V

punto Vab Vbc Vcd % desequilibrio de tensión

A 205.6898 205.6898 240.2377 10.60 B 195.5709 224.1914 234.3102 10.29 C 199.7623 240.2377 220.0000 9.2 D 215.8086 244.4291 205.6898 10.1 E 234.3102 234.3102 199.7623 10.3 F 244.4291 215.8086 205.6898 10.1 G 240.2377 199.7623 220.0000 9.2 H 224.1914 195.5709 234.3102 10.29

Para tensión de equilibrio a 200v y radio del punto de equilibrio ”φ” r’ = 26.02 V

punto Vab Vbc Vcd % desequilibrio de tensión

I 186.9926 186.9926 218.4001 10.60 J 177.7935 203.8124 213.0114 10.29 K 181.6039 218.4001 200.0020 9.2 L 196.1916 222.2105 186.9926 10.1 M 213.0114 213.0114 181.6039 10.3 N 222.2105 196.1916 186.9926 10.1 O 218.4001 181.6039 200.0020 9.2 P 203.8124 177.7935 213.0114 10.29

Para tensión de equilibrio a 180v y radio del punto de equilibrio ”Φ” r’’ = 23.42 V

punto Vab Vbc Vcd % desequilibrio de tensión

Q 168.2954 168.2954 196.5625 10.6 R 160.0161 183.4334 191.7126 10.29 S 163.4455 196.5625 180.0040 9.2 T 176.5746 199.9919 168.2954 10.1 U 191.7126 191.7126 163.4455 10.3 V 199.9919 176.5746 168.2954 10.1 W 196.5625 163.4455 180.0040 9.2 X 183.4334 160.0161 191.7126 10.29

Los puntos A, B, C, D, E, F, G y H en promedio tendrían 10% de desequilibrio calculado respecto a el punto ψ (220V, 220V, 220V) y se encuentran a un radio

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desde este de r= 28.62V. Los puntos I, J, K, L, M, N, O y P; también en promedio tendrán 10% de desequilibrio pero respecto a el punto de trabajo de equilibrio φ (200V, 200V, 200V) y se encuentran a un radio desde este de r'= 26.02V. Así mismo los puntos Q, R, S T, U, V, W y X en promedio tendrían 10% de desequilibrio respecto al punto Φ (180V, 180V, 180V) y se encuentran a un radio desde este de r" = 23.42V. Considerando las secciones mostradas en el ejemplo anterior; cuando estas cortan el eje de simetría más cerca del origen (puntos Vab=Vbc=Vca cada vez menores), se permitirá un radio de desviación r, r’ ó r” cada vez más pequeño (alrededor del eje de simetría y perpendicular a este) para encontrar una circunferencia en el plano, donde cualquier punto (Vab, Vbc, Vca) sobre esta representa una condición de las magnitudes de las tensiones de línea con un mismo porcentaje de desequilibrio (ver figura 6 y cuadro 3). Cada % de desequilibrio forma aproximadamente una superficie cónica (ver figura 5), donde cualquier punto sobre ella (Vab, Vbc, Vca) presenta un mismo % de desequilibrio calculado por la definición que suministra NEMA. La superficie de los puntos que tienden al mismo valor de % de desequilibrio calculado, se acerca a la forma de un cono como se nota en la figura 6 ya que para valores cercanos al origen del eje de simetría, desviaciones pequeñas de este indican porcentajes de desequilibrio elevados y a medida que se hacen muestreos alejándose del origen del eje de simetría, la desviación de este debe ser mayor para obtener esos mismos índices. Otra figura representa un caso donde se ha dejado fijo uno de los tres valores de desequilibrio y se ve por una interpolación la forma del desequilibrio alrededor del punto de simetría (Ver figura 7). Diferentes e infinitos casos de desequilibrio entregan el mismo porcentaje establecido por NEMA. En la figura 5, el último gráfico muestra una región curva que cumple un valor de 8.2% en todos sus puntos, pasando por estados donde el promedio es inferior a la condición de equilibrio (caída de tensión) y en otros casos el promedio excede el caso de equilibrio (sobre tensión) Para esta grafica se ha hecho el siguiente cálculo (Ver cuadro 4) que indica los valores y resultado del % de desequilibrio NEMA. Cuadro 4. Valores de tensiones desequilibradas igualmente según la figura 5

Vab Vbc Vca % de desequilibrio 220 220 220 0% 220 249.6 249.6 8.2% 220 228.77 254.05 8.3% 220 204.59 239.71 8.2% 220 194.35 221.38 8.2%

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220 194.85 194.85 8.2% 220 220.68 194.11 8.2% 220 239.71 204.59 8.2% 220 254.98 231.73 8.2%

Figura 7. Variación de dos de las tensiones de línea a línea.

27

La definición NEMA asume que las tensiones promedio son siempre iguales a los valores de tensiones nominales del sistema eléctrico de potencia, el cual es 220V para los sistemas trifásicos usados como ejemplos.

28

3. ANÁLISIS DEFINICIÓN IEEE Figura 8. Casos de estudio ejemplo Análisis IEEE

29

3.1. PLANTEAMIENTO DE EJEMPLO PARA ANÁLISIS Un sistema trifásico de potencia con neutro flotante se usa para el siguiente análisis. Teniendo un triángulo asimétrico fijo de vértices ABC, formado por las tensiones de línea a línea, el único punto geométrico donde se puede ubicar el neutro, para que haya simetría entre las magnitudes de las tensiones de línea a neutro, es el circuncentro del triángulo (ver figura 8a). Con centro en el punto ubicado anteriormente, se traza una circunferencia de 20V de radio, para ubicar el neutro sobre ella, en dos puntos distintos (ver figuras 8b y 8c). El proceso se repite ampliando el radio de la circunferencia a 30V (ver figuras 8d y 8e); 50V (ver figuras 8f y 8g) y 60V (ver figuras 8h y 8i). Al hacer las mediciones de los casos y calcular, se obtuvieron los siguientes resultados. Cuadro 5. Tensiones de fase, para un mismo caso de tensiones de línea a línea

Figura Va Vb Vc

8(a) º0127∠ º240127∠ º1.113127∠

8(b) º142.774.113 −∠ º026.12241.146 −∠ º924.12197.120 ∠

8(c) º617.342.108 ∠ º585.12895.131 −∠ º027.11942.141 ∠

8(d) º339.1106.103 −∠ º850.12217.156 −∠ º615.12611.119 ∠

8(e) º928.534.99 ∠ º597.13247.135 −∠ º547.12112.149 ∠

8(f) º096.2123.98 −∠ º222.12477.175 −∠ º279.13686.117 ∠

8(g) º064.1282.81 ∠ º946.13934.144 −∠ º864.12525.165 ∠

8(h) º64.2662.94 −∠ º799.12461.185 −∠ º118.14151.118 ∠

8(i) º203.1654.73 ∠ º267.14358.149 −∠ º716.12761.173 ∠

Up de las tensiones de fase a neutro

Un de las tensiones de fase a neutro

º3.2795.126 −∠ º55.146095.5 ∠

30

Cuadro 6. Iguales tensiones de línea, para diferentes tensiones de fase 3.2. ANÁLISIS DE VALORES PARA EL PORCENTAJE DE DESEQUILIBRIO 3.2.1. Usando un sistema de potencia trifásico con neutro flotante. En éste análisis, de las dos ecuaciones planteadas por la IEEE [2] para la estimación del desequilibrio de tensión de fase, tendremos valores fijos en las definiciones: NEMA de % de desequilibrio de tensión (1), IEEE factor de desequilibrio de tensión (3), IEC factor de desequilibrio (4) e IEC magnitud aproximada del desequilibrio (5); sólo se presentarán cambios en las magnitudes y ángulos de las tensiones medidas del neutro a las líneas, sin cambios en las tensiones de línea a línea (Neutro Flotante), así variarán los valores para la definición IEEE de porcentaje de desequilibrio (2). Cuadro 7. Desequilibrio de tensión un sistema trifásico con neutro flotante

Figura Vab Vbc Vca R 8(a) º3097.219 ∠ º45.9321.227 −∠ º55.14693.211 ∠ 0V 8(b) º3097.219 ∠ º45.9321.227 −∠ º55.14693.211 ∠ 20V 8(c) º3097.219 ∠ º45.9321.227 −∠ º55.14693.211 ∠ 20V 8(d) º3097.219 ∠ º45.9321.227 −∠ º55.14693.211 ∠ 30V 8(e) º3097.219 ∠ º45.9321.227 −∠ º55.14693.211 ∠ 30V 8(f) º3097.219 ∠ º45.9321.227 −∠ º55.14693.211 ∠ 50V 8(g) º3097.219 ∠ º45.9321.227 −∠ º55.14693.211 ∠ 50V 8(h) º3097.219 ∠ º45.9321.227 −∠ º55.14693.211 ∠ 60V 8(i) º3097.219 ∠ º45.9321.227 −∠ º55.14693.211 ∠ 60V

Up de las tensiones de línea a línea

Un de las tensiones de línea a línea

º70.27615.219 ∠ º547.116823.8 ∠

Donde R= Radio en voltios desde la ubicación del neutro hasta el circuncentro del triangulo de las tensiones de línea a

línea.

NEMA IEEE IEC

Figura

% desequilibrio de tensión

(1)

% de desequilibrio

(2)

Factor de desequilibrio de tensión

(3)

Factor de desequilibrio

(4)

Magnitud aproximada

del desequilibrio

(5) 8(a) 3.54% 0% 4% 4% 3.41% 8(b) 3.54% 15.247% 4% 4% 3.41% 8(c) 3.54% 14.806% 4% 4% 3.41% 8(d) 3.54% 22.27% 4% 4% 3.41% 8(e) 3.54% 22.37% 4% 4% 3.41% 8(f) 3.54% 34.566% 4% 4% 3.41% 8(g) 3.54% 37.288% 4% 4% 3.41% 8(h) 3.54% 39.65% 4% 4% 3.41% 8(i) 3.54% 44.39% 4% 4% 3.41%

31

El circuncentro del triangulo formado por las tensiones de línea a línea, como punto neutro del sistema trifásico de potencia, es una referencia de 0% para “el porcentaje de desequilibrio” (2) dado por IEEE y según los resultados del cuadro 7, al alejarse el neutro de ese punto, se inicia un incremento lineal del porcentaje de desequilibrio” (2) en función del radio que separa al neutro del circuncentro (figura 9). Eso quiere decir que tendrán igual % de desequilibrio (2), todos los sistemas trifásicos de tensiones de línea a neutro que resulten de ubicar sobre cualquier punto de la circunferencia de radio R desde el circuncentro el punto neutro. A continuación se observa la gráfica que indica el aumento lineal del porcentaje de desequilibrio (2), a medida que modifico la posición del neutro del sistema de forma radial, desde el circuncentro donde el porcentaje de desequilibrio (2) es 0%. Figura 9. Aumento lineal del % de desequilibrio (2) moviendo radial mente el neutro desde el circuncentro del triangulo formado por las tensiones de línea

3.2.2. Usando un plano tridimensional con los valores de las tensiones de fase en los tres ejes del espacio. Se aplica el mismo marco de referencia utilizado para el análisis de la norma NEMA. Tres ejes perpendiculares de la

32

tensiones de fase Va, Vb y Vc definen el primer octante del espacio (todos los valores positivos) y a continuación se analizará el Factor de Desequilibrio planteado por la IEEE (2), teniendo en cuenta que la ecuación es completamente análoga a la definición NEMA (1) ya que la única diferencia radica en que la definición NEMA trabaja con las tensiones de línea y la del Factor de Desequilibrio IEEE con las de fase. Así y basado en lo planteado en el capitulo 2 de este trabajo, se definen aproximadamente una superficie cónica (ver figura 5), donde cualquier punto sobre ella (Va, Vb, Vc) presenta un mismo % de Desequilibrio calculado por la definición que suministra IEEE. La superficie de los puntos que tienden al mismo valor de % de desequilibrio calculado, se acerca a la forma de un cono como se nota en la figura 6 ya que para valores cercanos al origen del eje de simetría, desviaciones pequeñas de este indican porcentajes de desequilibrio elevados y a medida que se hacen muestreos alejándose del origen del eje de simetría, la desviación de este debe ser mayor para obtener esos mismos índices. 3.3. ANÁLISIS DE VALORES PARA EL FACTOR DE DESEQUILIBRIO Los infinitos grupos de fasores de tensiones de fase que pueden formarse al mover solamente la posición del neutro, poseen las mismas componentes de secuencia negativa y positiva de tensión de fase (ver cuadro 5 y figura 8), así el valor calculado para el Factor de Desequilibrio IEE (3) en cualquiera de estos casos será el mismo (ver cuadro 7). El valor del Factor de Desequilibrio IEEE (3) será siempre igual valor del Factor de Desequilibrio IEC (4) para un sistema trifásico de potencia con neutro, debido a que el cociente de la componente de secuencia negativa sobre la componente de secuencia positiva será igual si se hace con las tensiones de línea o con las de fase (ver figura 8, cuadros 5, 6, 7). Ya que se puede expresar las componentes de secuencia de tensión de línea en términos de las componentes de secuencia de tensión de fase, se observa el porque de la igualdad de los factores IEEE e IEC:

33

Figura 10. Sistema trifásico de tres vectores de fase desequilibrados, descompuesto en componentes de secuencia positiva (directa), negativa (inversa) y cero (homopolar)

Hallando las componentes de secuencia, en un sistema trifásico de potencia desequilibrado con neutro, el subíndice “d” hace referencia a la componente de secuencia directa ó positiva, el subíndice “i” hace referencia a la componente de secuencia inversa ó negativa y el subíndice “h” se refiere a la componente homopolar ó de secuencia cero. Las componentes de secuencia positiva y negativa de tensión de fase seria:

( )32

21fase 31

VaaVVVi ++= ( )322

1fase 31

aVVaVVd ++=

Las tensiones de línea ó de línea a neutro se calcularían:

2112 VVV −= 3223 VVV −= 1331 VVV −= Así las componentes de secuencia positiva y negativa de tensión de línea seria:

( )312

2312línea 31

VaaVVVi ++= ( )31232

12línea 31

aVVaVVd ++=

34

Rescribiendo los valores de tensión de línea a sus equivalentes en tensión de fase

( ))()(31

132

3221línea VVaVVaVVVi −+−+−=

Distribuyendo y organizando

( ))(31

3212

32

21línea aVVVaVaaVVVi ++−++=

Aplicando propiedades del operador a

( ))(31

32

212

32

21línea VaaVVaVaaVVVi ++−++=

fase 2

fase línea iii VaVV −= fase 2

línea )1( ii VaV −=

fase línea º303 ii VV ∠= (8) De forma análoga con las componente de secuencia directa de línea

fase línea º303 dd VV −∠= (9) Ahora, ya que en magnitud, la única diferencia entre las componentes de secuencia negativa y positiva de fase y de línea es el factor 3 , al hacer los cocientes para el Factor de Desequilibrio planteado por IEEE (3) y el mismo factor de desequilibrio pero planteado por IEC (4) el resultado en magnitud para ambos, siempre será el mismo (ver cuadro 7) al cancelarse 3 en el cociente.

35

4. ANÁLISIS DEFINICIÓN IEC 4.1. PLANTEAMIENTO DE EJEMPLO PARA ANÁLISIS Se plantea una situación similar a la que se tuvo en cuenta para el análisis de la norma NEMA en el capitulo 1. El espacio con los tres ejes tridimensionales cartesianos, donde cada uno de ellos indica el valor respectivo de las tensiones de línea a línea Vab, Vbc y Vca en un sistema trifásico de potencia (ver figura11). Los infinitos puntos, de coordenadas (Vab, Vbc, Vca) en el primer octante del espacio (todos los valores positivos en las 3 coordenadas), representan las infinitas condiciones en que se pueden tener las magnitudes de tensiones de línea a línea en un sistema trifásico de potencia en un momento cualquiera. Figura 11. Espacio o plano de referencia para el análisis de la norma IEC .

36

Teniendo en cuenta la definición de desequilibrio planteada por IEC 60034 de 2006 “Maquinas Eléctricas Rotativas”, específicamente en la parte 26 donde se halla un Factor de desequilibrio ƒu calculado como el cociente de la componente de tensión de línea de secuencia negativa (magnitud), sobre la componente de tensión de línea de secuencia positiva (magnitud) (ver ecuación 4) en los puntos donde el valor de las tres coordenadas son iguales (Vab= Vbc= Vca), el valor calculado de este factor ƒu es 0% ya que la magnitud de la componente de secuencia negativa de las tensiones de línea a línea, que es el numerador del factor ƒu calculado, será cero solamente cuando las tres tensiones de línea a línea son iguales, debido a que una igualdad de magnitud de estas tensiones, implícitamente estará indicando una igualdad de ángulo de desfase entre ellas (ver figura 12) y esta condición es el perfecto equilibrio de tensión de línea a línea, donde el cálculo muestra que la componente de tensión de secuencia negativa es 0 V ∠ 0º y así el cociente que se tiene para calcular el factor ƒu tendrá en el denominador cero siempre que se cumpla la condición Vab= Vbc= Vca (ver figura 13). Figura 12. Simetría de magnitud de las tensiones de línea a línea, implica simetría de ángulo de desfase

37

Figura 13. Vista del eje de simetría en el plano tridimensional de referencia para el análisis de la norma IEC (V ab= Vbc= Vca)

El mismo ejemplo utilizado para analizar la norma NEMA será usado para los cálculos con la definición IEC. Teniendo tres puntos distintos a lo largo del eje de simetría con 0% de factor ƒu de desequilibrio:

38

Ψ en: Vab= 220V, Vbc= 220V, Vca= 220V φ en: Vab= 200V, Vbc= 200V, Vca= 200V Φ en: Vab= 180V, Vbc= 180V, Vca= 180V En cada uno de ellos como centro, se trazan circunferencia sobre el plano perpendicular al eje de simetría, de radios: r= 12.88 V para Ψ. r’= 11.71 V para φ. r’’ = 10.54 V para Φ. Como se muestra en la figura 14: Figura 14. Ejemplo demostrativo para norma IEC

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Encontrando las coordenadas de los puntos y calculando los porcentajes de desequilibrio se obtiene la siguiente información: Cuadro 8. Valores encontrados para el ejemplo norma IEC

Para tensión de equilibrio a 220v y radio del punto de equilibrio ”ψ” r = 12.88 V

punto Vab Vbc Vcd Factor de desequilibrio de tensión

A 213.5604 213.5604 229.1070 4.79 B 209.0069 221.8861 226.4396 4.73 C 210.8930 229.1070 220.0000 4.79 D 218.1139 230.9931 213.5604 4.77 E 226.4396 226.4396 210.8930 4.63 F 230.9931 218.1139 213.5604 4.77 G 229.1070 210.8930 220.0000 4.79 H 221.8861 209.0069 226.4396 4.73

Para tensión de equilibrio a 200v y radio del punto de equilibrio ”φ” r’ = 11.71 V

punto Vab Vbc Vcd Factor de desequilibrio de tensión

I 194.1478 194.1478 208.2811 4.79 J 190.0082 201.7167 205.8562 4.73 K 191.7229 208.2811 200.0020 4.79 L 198.2873 209.9958 194.1478 4.77 M 205.8562 205.8562 191.7229 4.63 N 209.9958 198.2873 194.1478 4.77 O 208.2811 191.7229 200.0020 4.79 P 201.7167 190.0082 205.8562 4.73

Para tensión de equilibrio a 180v y radio del punto de equilibrio ”Φ” r’’ = 10.54 V

punto Vab Vbc Vcd Factor de desequilibrio de

tensión

Q 174.7351 174.7351 187.4553 4.79 R 171.0095 181.5472 185.2729 4.73 S 172.5527 187.4553 180.0040 4.79 T 178.4608 188.9985 174.7351 4.77 U 185.2729 185.2729 172.5527 4.63 V 188.9985 178.4608 174.7351 4.77 W 187.4553 172.5527 180.0040 4.79 X 181.5472 171.0095 185.2729 4.73

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El cálculo de los factores de desequilibrio ƒu en los puntos del anterior ejemplo, deja claro que el factor propuesto por IEC es más preciso con el concepto planteado en este trabajo de la superficie tridimensional cónica que cumple con un mismo índice de desequilibrio (ver figura 15 y cuadro 8) propuesto en el capitulo 2. Figura 15. Superficies cónicas formadas por los puntos que tienen un mismo factor de desequilibrio ƒ u

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5. ANÁLISIS DEFINICIÓN DEL FACTOR COMPLEJO 5.1. PLANTEAMIENTO DE EJEMPLO PARA ANÁLISIS Se tomarán los valores y la graficas del ejemplo planteado en la definición IEC para el caso de estudio con el Factor complejo de Desequilibrio. Cuadro 9. Valores parea el análisis de la definición del Factor Complejo Para tensión de equilibrio a 220v y radio del punto de equilibrio ”ψ” r = 12.88 V punto Vab Vbc Vcd Factor

complejo A 213.5604∠ 0º 213.5604∠ 244.88º 229.1070∠ 122.44 4.79∠ -120 B 209.0069∠ 0º 221.8861∠ 243.32 226.4396∠ 118.89 4.73∠ -164.93 C 210.8930∠ 0º 229.1070∠ 239.83 220.0000∠ 115.80 4.79∠ 149.32 D 218.1139∠ 0º 230.9931∠ 236.70 213.5604∠ 115.31 4.77∠ 105.87 E 226.4396∠ 0º 226.4396∠ 235.51 210.8930∠ 117.75 4.63∠ 60.04 F 230.9931∠ 0º 218.1139∠ 236.70 213.5604∠ 121.39 4.77∠ 14.13 G 229.1070∠ 0º 210.8930∠ 239.83 220.0000∠ 124.03 4.79∠ -29.32 H 221.8861∠ 0º 209.0069∠ 243.32 226.4396∠ 124.44 4.73∠ -75.03

Para tensión de equilibrio a 200v y radio del punto de equilibrio ”φ” r’ = 11.71 V punto Vab Vbc Vcd Factor complejo

I 194.1478∠ 0º 194.1478∠ 244.88 208.2811∠ 122.44 4.79∠ -120 J 190.0082∠ 0º 201.7167∠ 243.32 205.8562∠ 118.89 4.73∠ -164.93 K 191.7229∠ 0º 208.2811∠ 239.83 200.0020∠ 115.80 4.79∠ 149.32 L 198.2873∠ 0º 209.9958∠ 236.70 194.1478∠ 115.31 4.77∠ 105.87 M 205.8562∠ 0º 205.8562∠ 235.51 191.7229∠ 117.75 4.63∠ 60.04 N 209.9958∠ 0º 198.2873∠ 236.70 194.1478∠ 121.39 4.77∠ 14.13 O 208.2811∠ 0º 191.7229∠ 239.83 200.0020∠ 124.03 4.79∠ -29.32 P 201.7167∠ 0º 190.0082∠ 243.32 205.8562∠ 124.44 4.73∠ -75.03

Para tensión de equilibrio a 180v y radio del punto de equilibrio ”Φ” r’’ = 10.54 V punto Vab Vbc Vcd Factor complejo

Q 174.7351∠ 0º 174.7351∠ 244.88 187.4553∠ 122.44 4.79∠ -120 R 171.0095∠ 0º 181.5472∠ 243.32 185.2729∠ 118.89 4.73∠ -164.93 S 172.5527∠ 0º 187.4553∠ 239.83 180.0040∠ 115.80 4.79∠ 149.32 T 178.4608∠ 0º 188.9985∠ 236.70 174.7351∠ 115.31 4.77∠ 105.87 U 185.2729∠ 0º 185.2729∠ 235.51 172.5527∠ 117.75 4.63∠ 60.04 V 188.9985∠ 0º 178.4608∠ 236.70 174.7351∠ 121.39 4.77∠ 14.13 W 187.4553∠ 0º 172.5527∠ 239.83 180.0040∠ 124.03 4.79∠ -29.32 X 181.5472∠ 0º 171.0095∠ 243.32 185.2729∠ 124.44 4.73∠ -75.03

42

Con las magnitudes de las tensiones de línea y dando como referencia de desfase en el fasor Vab un ángulo de 0º se obtienen los ángulos de los fasores Vbc y Vca. El conocer los valores de las tensiones de línea, conlleva de forma implícita a tener las componentes angulares de desfase entre las tensiones ya que estas cumplen la condición de suma fasorial entre ellas igual a cero, formando un triangulo: Figura 16. Triangulo cerrado para todas las tensiones de línea

Así:

º0∠= abab VV Por teorema del coseno

bcV =

−++∠ −

bcab

caabbcbc VV

VVVV

2cosº180

2221

caV =

−+−∠ −

caab

bccaabca VV

VVVV

2cosº180

2221

43

5.2. ANÁLISIS DE VALORES PARA EL FACTOR COMPLEJO El factor complejo merece el mismo análisis en cuanto a magnitud que el Factor de Desequilibrio planteado por IEC (4), Es decir que en magnitud la superficie de los puntos que tienden al mismo valor de % de desequilibrio calculado, se acerca a la forma de un cono, pero la diferencia radica en que se incluyen los fasores de frecuencia, con ángulos y amplitudes. Según el cuadro 9, Al hacer la operación del factor complejo de desequilibrio, se forman planos radiales al Eje de Simetría donde los puntos o estados de los valores de las tres tensiones de línea a línea del sistema que se encuentren en ese plano (excluyendo al Eje de simetría) poseen igual ángulo de desfase en el resultado de su correspondiente Factor de Desequilibrio complejo (ver figura 17) Figura 17. Planos donde el ángulo del Factor Complejo de Desequilibrio es igual al calcular en cualquier punto del plano

44

Lo anterior indica que los puntos que pasan por la recta resultante de cortar la superficie del cono donde la magnitud del Factor de Desequilibrio Complejo es igual con el plano donde el ángulo resultante del cálculo del Factor Complejo es igual, poseen un mismo Factor Complejo de desequilibrio en magnitud y ángulo (ver figura 18). Figura 18. Línea con puntos que poseen un mismo Factor Complejo de Desequilibrio

45

6. CONCLUSIONES Midiendo con un voltímetro las magnitudes rms de las tensiones de línea, es posible obtener los ángulos de desfase entre los fasores de estas. Un grupo de 3 tensiones de línea, puede generar infinitos grupos de 3 tensiones de fase, dependiendo de la posición del neutro. Así es imposible determinar las tensiones de fase, partiendo de las tensiones de línea. Por lo tanto el Porcentaje de Desequilibrio IEEE (2) no es una aproximación del Factor de Desequilibrio IEEE (3) ya que el Porcentaje de Desequilibrio de tensión de fase IEEE (2), depende únicamente de las magnitudes de las tensiones de fase del sistema trifásico de potencia. Mientras que el Factor de Desequilibrio de tensión de fase IEEE (3), depende solamente de las magnitudes de la tensión de línea del sistema trifásico de potencia. Las magnitudes de las componentes de secuencia negativa y positiva de tensión de fase son equivalentes a 3 veces las componentes de secuencia negativa y positiva de tensión de línea, para cualquier sistema trifásico de tensión con neutro sin importar donde se encuentre ubicado este y como afecte las magnitudes y ángulos de las tensiones de fase. La definición de Porcentaje de Desequilibrio planteada por la norma NEMA (1) es una aproximación aceptable al Factor de Desequilibrio de tensión de línea suministrado por IEC (4) y al Factor de Desequilibrio de tensión de fase que entrega la norma IEEE (3). El desequilibrio de tensión en un sistema trifásico de potencia con neutro, se puede calcular por la definición de Factor de Desequilibrio planteada por la IEEE (3) que utiliza las componentes de secuencia negativa y positiva de tensión de fase ó con la definición de Factor de Desequilibrio plantea da por IEC (4) que utiliza componentes de secuencia negativa y positiva de tensión de línea; obteniendo el mismo resultado (ver anexo B). El Factor de Desequilibrio IEEE (3) e IEC (4) caracterizan el desequilibrio de las tensiones de línea únicamente en magnitud (cono) mientras que el Factor de

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Desequilibrio Complejo caracteriza el desequilibrio en magnitud (cono) y ángulo (planos). El Porcentaje de Desequilibrio IEEE (2) no puede modelar el desequilibro de las tensiones de línea, ni ser comparado con ninguna otra definición analizada en este trabajo ya que ésta definición puede variar, dependiendo de las magnitudes de las tensiones de fase del sistema y es la única definición que depende de estas. En todas las definiciones estudiadas existen infinitas condiciones o estados de los valores de las tres tensiones del sistema, que tienden a un mismo valor de desequilibrio calculado. Pero geométricamente, la definición que modela mejor la condición de desequilibrio de tensión es la planteada en el Factor Complejo de Desequilibrio. Ya que esta sólo deja como una variable abierta el valor nominal de tensión del sistema.

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7. RECOMENDACIONES Las aproximaciones planteadas en el anexo A, para encontrar las componentes de secuencia positiva y negativa de tensión, son exclusivas para trabajar con tensiones de línea ya que ya dichas tensiones deben sumar fasorialmente cero y esta es una condición en la aproximación. Por el contrario lo anterior no es una condición en las tensiones de fase. Así con las ecuaciones del anexo A de este trabajo y con la facilidad actual de programar una calculadora científica, es recomendable el uso de la definición IEC de factor de desequilibrio para trabajos en campo ya que esta describe mejor el fenómeno que la definición NEMA.

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BIBLIOGRAFÍA DE OLIVERA, S. E. M. Operation of Tree-Phase Induction Motors connected to One-Phase Supply, IEEE Trans. Energy Conversion, vol. 5, no. 4. Washington: 1990. 977 p. IEEE. Recommended Practice for Electric Power Distribution for Industrial Plants. Washington: 1993. 854 p. IEC 60034-26. International Electrotechnical Commission, International Standard Electrical Machines part: 26 Effects of unbalanced voltages on the performance of three-phase cage induction motors. Washington: 2006. 1285 p . JOZEF, A. L; GHIJSELEN, Alex P.M; BOSSCHE. Exact Voltage Unbalance Assessment Without Phase Measurements. IEEE Transactions on Power Systems, vol. 20, no. 1. Washington: 2005, 80 p. NEMA, Motors and Generators, NEMA standar MG1-1993. New York: 1993. 1120 p. WANG, Y, J. Analysis Of Effects of Tree-Phase Voltage Unbalance om Induction Motors with Emphasis on the Angle of the Complex Voltage Unbalance Factor. IEEE Trans. Energy Conversion, vol. 37, no. 1. Washington: 2001. 654 p.

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ANEXOS

Anexo A. Determinación de las componentes de secuencia de tensión sin el uso de matemática compleja

Cuando es necesario el cálculo de las componentes simétricas de las tensiones de línea a línea, algunos autores (Jozef A. L. Ghijselen, Alex P.M. Bossche) e inclusive la misma norma IEC 60034-26 de 2006, presentan opciones alternas a Fortescue, que facilitan las matemáticas ya que solamente son necesarios los módulos rms de las tensiones y las operaciones se hacen con reales omitiendo cálculos en el plano fasorial. La norma IEC 60034-26 de 2006, en el anexo A plantea que, si únicamente se conocen los valores rms de las tensiones, las componentes simétricas pueden ser calculadas a partir de las siguientes ecuaciones, las cuales tienen únicamente cantidades reales.

,3

cos23

1121

22

21

−−+= πϕUUUUUn (6)

( ),cos2 121

2nnnp UUUUU ϕ−+= (7)

Donde 23

23

121 πϕϕ −

−

=n

nU

senUUarcsen (8)

−+=

21

23

22

21

1 2arccos

UU

UUUϕ (9)

Jozef A. L. Ghijselen, Alex P.M. Bossche suministra una expresión analítica (usando únicamente matemática real) para los resultados del procedimiento gráfico, entregando Up y Un

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23

4 22 sm

p

AA

U+

= 2

3

4 22 sm

n

AA

U−

= (10)

2mA es la raíz media de los lados del triangulo ABC

3

2222 CABCABm

VVVA

++= (11)

2sA Es la superficie del triangulo ABC

))()((2

CABCABs VpVpVppA −−−= (12)

El cual puede ser calculado usando p, el cual es un perímetro medio del triangulo ABC

2CABCAB VVV

p++

= (13)

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Anexo B. Equivalencia entre la definición IEEE e IEC de factor de desequilibrio

Las normas IEEE e IEC definen un Factor de Desequilibrio de tensión como la componente de secuencia de tensión negativa sobre la componente de tensión de secuencia positiva, la única diferencia es que la norma IEEE deduce estas componentes a partir de las tensiones de fase y la norma IEC a partir de las tensiones de línea. En el capitulo 3 de este trabajo se demuestra que

fase línea º303 ii VV ∠= (8) De forma análoga con las componente de secuencia directa de línea

fase línea º303 dd VV −∠= (9) Planteando el cálculo del Factor de Desequilibrio NEMA (4):

p

n

UU=uƒ (4)

Donde Un es el valor rms de la componente de secuencia negativa de la tensión suministrada; Up es el valor rms de la componente de secuencia positiva de la tensión suministrada. Y teniendo en cuenta que línea in VU = y línea dp VU =

fase

fase

fase

fase

línea

línea u

3

3ƒ

d

i

d

i

p

i

V

V

V

V

VV ===

Ahora con el Factor de Desequilibrio IEEE (3)

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Tensión de Positiva SecuenciaTensión de Negativa Secuencia

Tensión de rioDesequilib de Factor = (3)

Donde

Tensión de Positiva Secuencia =pV de Fase fase dV= .

Y

Tensión de Negativa Secuencia =nV de Fase fase iV= Así en magnitud

fase

fase Tensión de rioDesequilib de Factor

d

i

V

V=