ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE UM BANCO EXPRESSO

ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE

UM BANCO EXPRESSO

Ingrid Braz de Sousa

[email protected]

Jessika Selba

[email protected]

Maria Luisa Alves Freitas

[email protected]

Natan Magalhães

[email protected]

Williane de Oliveira Silva Soares

[email protected]

O presente artigo realiza análise do sistema de filas de um Banco,

localizado no Município de Sumé, aplicando teoria das filas. O

objetivo principal é analisar a situação atual com relação ao

atendimento de clientes e propor melhorias. Para isso, foi feita visita in

loco para a coleta de dados e posteriormente o tratamento dos

mesmos, com a ajuda de um software estatístico.

Palavras-chave: Simulação, Teoria das Filas, Pesquisa Operacional

XXXVIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO “A Engenharia de Produção e suas contribuições para o desenvolvimento do Brasil”

Maceió, Alagoas, Brasil, 16 a 19 de outubro de 2018.


Maceió, Alagoas, Brasil, 16 a 19 de outubro de 2018. .

2

1. Introdução

As empresas atuais buscam por métodos de reduzir e otimizar o tempo, isso se deve a vida

contemporânea agitada que exige rapidez e agilidade em operações cotidianas, envolvem o

congestionamento de filas, como o pagamento de contas, a ida ao mercado ou até mesmo a

parada para um lanche na padaria. Mediante a isso, o estudo de filas reflete a qualidade do

atendimento das organizações, as mantendo competitivas no mercado.

A teoria das filas, segundo Andrade (2000) é um método utilizado para minimizar o

congestionamento de fila. Essa teoria tem por finalidade equilíbrio entre a satisfação do

cliente e a rentabilidade do provedor do serviço.

O artigo em questão tem o intuito de avaliar um sistema de filas de um banco, localizado no

município de Sumé-PB. A empresa presta o atendimento expresso há 5 anos, com um único

guichê em funcionamento e 1(um) atendente, com serviços de pagamento, saques, depósitos e

aberturas de conta.

2. Referencial teórico

2.1. Teoria das filas

A teoria das filas é um método analítico que auxilia a modelagem de sistemas, através de

formulas matemáticas. A abordagem matemática de filas se iniciou no século XX (1980) em

Copenhague, Dinamarca, com A. K. Erlang, considerado o pai de teoria das filas quando

trabalhava em uma companhia telefônica estudando o problema de redimensionamento de

centrais telefônicas (PRADO 2009).

A teoria das filas se expandiu para outros problemas de filas a partir da 2ª Guerra Mundial e

apesar da grande utilização desse conceito diversos problemas não tem solução adequada

devido a complexidade matemática.

Taha (2008) afirma que o estudo de fila descreve o processo de quantificação de tempo em

uma fila, a fim de reduzir custos inerentes ao tempo de espera em um sistema. A teoria de

filas possibilita a identificação do layout adequado para o sistema.



3

2.2. Características de uma fila

Processo de chegada dos clientes:

O processo de chegada do cliente é especificado frequentemente pelo tempo entre chegadas

(λ) por uma dada unidade de tempo (IC) ou o tempo médio entre chegadas sucessivas. As

variáveis apresentadas por este processo podem ser determinísticas (exatamente conhecido)

ou aleatórias, nas quais as probabilidades são conhecidas presumivelmente. Esse método

depende do número de clientes já presentes no sistema ou pode ser estabelecido

independentemente.

Clientes e Tamanho da População:

De acordo com o tamanho da população que fornece os clientes, esta pode ser considerada

finita ou infinita. Na população finita, o número de cliente na fila afeta a quantidade de

clientes fora do sistema, complicando analiticamente, em qualquer tempo. Já para a população

infinita, os cálculos são mais simples e essa presunção é adotada quando o tamanho da

população é um número fixo relativamente grande e é assumida geralmente quando não se

estabelece nada em contrário.

Disciplina da Fila:

Trata-se da regra que define qual o próximo a ser atendido, normamalmente o primeiro da fila

é atendido ou, de uma maneira mais ampla, o “primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido”

(em inglês, diz-se FIFO: First In First Out). Outras disciplinas podem existir, tais como

“último a chegar primeiro a ser atendido” (em inglês diz-se LIFO: Last In First Out), serviço

por ordem de prioridade, serviço randômico, etc (PRADO, 2004).

Número de canais de serviços:

Refere-se ao número de servidores em paralelo que prestam serviços simultâneos aos clientes.

Um sistema de filas pode apresentar um ou múltiplos canais de atendimento, operando

independentemente um do outro. Nesse último caso, pode-se ter uma fila única ou uma fila

para cada canal. (BORGES et al., 2010)

Capacidade de Armazenamento do Sistema:



4

A Capacidade do Sistema é o número máximo de usuários, tanto aqueles sendo atendidos

quanto aqueles na(s) fila(s), permitidos no estabelecimento de prestação de serviços ao

mesmo tempo. Sempre que um usuário chega a um estabelecimento, que já está lotado, ele é

impedido de entrar, sendo obrigado a deixar o estabelecimento sem ter sido atendido. Um

sistema que não tenha limite no número permitido de usuários dentro do estabelecimento tem

uma capacidade infinita. Um sistema com um limite tem capacidade limitada (BRONSON,

1985 apud SILVA & MAGALHÃES, 2005).

Etapas do Serviço:

A estrutura do sistema é um outro fator que tem muita influência no funcionamento de um

sistema de filas. Diz respeito ao seu arranjo, definindo se a fila é única ou múltipla, se há um

ou mais canais de atendimento e se o atendimento ocorre em apenas uma etapa ou em série (o

cliente, ao ser atendido por um canal de atendimento, passa para outro para ter concluído o

serviço pretendido). O sistema de filas pode ter várias estruturas e cada uma delas vai exigir

um tratamento analítico diferente (VIANA, 2003 apud RABELO, 2007).

A divisão dos modelos de filas podem se basear no número de canais e fases. O número de

canais apresenta o número de linhas que existem em um sistema; segundo este critério, os

sistemas de fila podem ser classificados em simples ou multicanais. O número de fases se

refere ao número de instalações de serviço através das quais um elemento pode passar antes

de se completar o serviço; segundo este critério, os sistemas de fila podem ser classificados

em simples ou multifásicos. (WATSON, 1981 apud GAVIRA, 2003). A Figura 1 mostra as

situações de fila de espera:

Figura 1 – Situações de um fila de espera



5

Fonte: (BUFFA, 1972)

2.3. Notação de Kendall

O professor David George Kendall, criou, em 1953, uma notação para sistemas de filas, atualmente muito utilizada

(TEIXEIRA, 2004), pode ser descrito da seguinte forma:

A = distribuição dos intervalos entre chegadas (Processo de Chegadas);

B = distribuição do tempo de serviço;

c = quantidade de atendentes;

K = capacidade máxima do sistema (Tamanho da Fila);

m = tamanho da população que fornece clientes;

Z = disciplina da fila.

Os valos de A e B dependem do tipo distribuição.



6

2.4. Modelos de filas (MM1)

Segundo Prado (2009), este modelo representa chegadas e atendimentos marcovianos com um

único atendente. Este estudo considera os casos de população infinita e finita. Na figura 2

podemos ver a representação desse modelo, nela o retângulo tracejado representa o sistema

que esta sendo analisado, ao qual chegam clientes que recebam algum atendimento e, então,

desocupam o sistema.

Figura 2 – Representação do modelo de Fila M/M/1

Fonte: adaptado de Prado (2009)

As principais variáveis randômicas são tratadas pelas fórmulas da Figura 3:

Figura 3 – Fórmulas para as variáveis

randômicas

Fonte: adaptado de Prado (2009)



7

A taxa de utilização é a relação entre o ritmo médio de chegada e o ritmo de atendimento:

Sistemas estáveis exigem menor que ou < 1.

3. Metodologia

O trabalho se dividiu em três partes:

1. Modelagem dos dados de entrada;

a. Coleta de dados:

i. Coletar tempo entre chegada de cliente na fila

ii. Tempo de atendimento (n= 100 – 200)

b. Tratamento

c. Inferência

2. Aplicação de um modelo de Filas;

3. Relatório de projeto.

A primeira etapa da modelagem, coleta de dados, corresponde ao chamado processo e

amostragem. Uma amostra, segundo Medina e Chwif (2010), é um conjunto de valores,

retirada da população de interesse, utilizada para representar a população no estudo

estatístico. Garantindo assim uma amostra muito representativa do fenômeno. A coleta de

dados contou com duas visitas in loco em dias diferente da semana para garantir a

aleatoriedade da amostra. No trabalho de campo, para coletar o tempo entre chegada de

cliente na fila foi realizado o seguinte procedimento: foi marcada uma linha imaginária na

entrada, indicando que, quando um cliente ultrapassá-la, é o momento de anotar o tempo atual

do cronômetro, zerá-lo e dispará-lo novamente para a chegada do próximo cliente. Para

coletar o tempo de atendimento ligou-se o cronômetro no momento em que o cliente chega ao

balcão, para no momento que termina seu atendimento, é anotado e inicia-se com a chegada

do próximo consumidor.



8

O banco presta atendimento durante a semana de 07:30h ás 12:00h e de 13:30h ás 17:30 e no

sábado de 7:30h ás 12:30h, para coleta dos dados foram feitas duas visitas, uma na primeira

segunda feira do mês de Fevereiro, dia 05/02/2018, das 7:30h as 10:00h coletando um total de

60 amostras, e no dia 06/02/2018 das 14:00h as 17:00h foram coletadas as demais amostras,

totalizando na quantidade de 105 amostras. Contudo a análise coletada não condiz com a

realidade diária do Banco, visto que tratava-se da primeira semana do mês a qual são feitos os

pagamentos dos clientes.

Na segunda etapa, a de tratamento de dados, são utilizadas técnicas para apresentar os dados

levantados, identificar as possíveis falhas nos valores amostrado, fazendo assim que acresça o

nosso conhecimento sobre o caso em estudo. Já na terceira etapa, inferência, usa-se cálculo

estatístico para identificar o comportamento da população a partir da amostra. Com resultado

tem-se o modelo probabilístico que será incorporado ao modelo de filas. Em seguida, para o

tratamento e inferência dos dados utilizou-se o software Minitab versão 18 por Minitab Inc.,

com o intuito de verificar o comportamento dos dados, através da plotagem de gráficos como:

gráfico de dispersão e histograma. Além de calcular as estatísticas descritivas da amostra para

inferência de informações relevantes.

3.1. Tempo de atendimento

3.1.1 Dados estatísticos

O atendimento leva em média 1min e 45s, com o tempo máximo de 5min e 28s e o tempo

mínimo de 15segundos, como podemos ver na Tabela 1. Observou que tempo máximo de

atendimento acontece, pois o cliente em questão possui mais de um pagamento a ser feito. O

tempo mínimo encontrado ocorre devido à utilização do serviço de informação, como dúvidas

sobre pagamentos, se há dinheiro em caixa (diferente do serviço do banco, o caixa só é

abastecido através do pagamento dos clientes), se o sistema esta habilitado para uso (muitas

vezes ocorre do sistema falhar), entre outras.

Tabela 1 – Dados estatísticos do tempo de atendimento

Variáveis Tempos de atendimento (h)

Média 0,07294



9

Desvio Padrão 0,04758

Variância 0,00226

Coeficiente de Variação 65,24

Mínimo 0,01060

Q1 0,03421

Mediana 0,06328

Q3 0,10502

Máximo 0,022785

Amplitude 0,21725

Moda 0,117755

N de moda 2

Assimetria 0,92

Fonte: Autoria própria (2018)

3.1.2. Histograma

O histograma mostra que o intervalo com o maior número de clientes (vinte clientes) possui

uma duração de atendimento de 35 a 55 segundos, apesar da media de tempo de atendimento

ser 1min e 45seg., como mostra na Figura 4 a seguir:

Figura 4 – Histograma do tempo de atendimento



10

5:05:004:25:003:45:003:05:002:25:001 :45:001 :05:000:25:00

20

1 5

1 0

5

0

Tempo de atendimento

Fre

qu

ên

cia

Histograma de Tempo de atendimento

Fonte: autoria própria com o auxílio do Minitab (2018)

3.1.3. Boxplot

A partir do gráfico Boxplot como apresentado na Figura 5, observou-se que o tempo de

atendimento médio é de 1min e 29s e a maioria dos dados estão entre 48s e 2min e 30s,

entretanto existem atendimentos tão reduzidos de 15s e tão elevados como de 4min e 30s.

Destaca-se ainda a presença de um outlier com tempo de 5min e 28s, entretanto a presença do

mesmo não possui significância elevada, pois é menor que 5% da amostra. A média é outlier

de 1min e 45s.

Figura 5- Boxplot de tempo de atendimento



11

5:30:005:24:005:1 8:005:1 2:005:06:005:00:004:54:004:48:004:42:004:36:004:30:004:24:004:1 8:004:1 2:004:06:004:00:003:54:003:48:003:42:003:36:003:30:003:24:003:1 8:003:1 2:003:06:003:00:002:54:002:48:002:42:002:36:002:30:002:24:002:1 8:002:1 2:002:06:002:00:001 :54:001 :48:001 :42:001 :36:001 :30:001 :24:001 :1 8:001 :1 2:001 :06:001 :00:000:54:000:48:000:42:000:36:000:30:000:24:000:1 8:00

Tem

po

de a

ten

dim

en

to

Boxplot de Tempo de atendimento


3.1.4. Gráfico de Dispersão

Como mostra na Figura 6, foi plotado o gráfico de Dispersão. Os dados de Dispersão não

revelam nenhuma relação entre o tempo de espera e o tempo de chegada de modelo para

ajustar melhor os seus dados e possui força de relação mais fraca, ou seja, conforme o tempo

de chegada aumenta o tempo de atendimento diminui. Logo, o intervalo de tempo de

atendimento não é constante, o que comprova a aleatoriedade dos dados. Para a interpretação

desses dados foi retirado o outlier, como se pode ver na Figura 7, segundo indicação do

software.

Figura 6 – Gráfico de Dispersão



12

5:004:003:002:001 :000:00

5:00

4:00

3:00

2:00

1 :00

0:00

Tempo de atendimento 1

Tem

po

de a

ten

dim

en

to

Gráfico de Dispersão de Tempo de atendim versus Tempo de atendim

Fonte: autoria própria com o auxílio do Minitab (2018).

Figura 7 – Gráfico de Dispersão sem outlier

5:004:003:002:001 :000:00

5:00

4:00

3:00

2:00

1 :00

0:00

C6

TA

(se

m o

utl

ier)

Gráfico de Dispersão de TA (sem outlier) versus C6


3.2. Tempo de chegada entre os clientes

3.2.1. Dados estatístico



13

Com a análise dos dados estáticos (Tabela 2), foi possível obter a média da amostra: 1min e

32s, com o tempo de chegada mínimo de 1s e 3 milésimos e o tempo de chegada máximo de

6min e 15s.

Tabela 2 - Dados estatísticos do tempo de chegada

Variáveis Tempos de chegada (h)

Média 0,06440

Desvio Padrão 0,06154

Variância 0,00379

Coeficiente de Variação 95,55

Mínimo 0,00073

Q1 0,01789

Mediana 0,04486

Q3 0,08921

Máximo 0,026104

Amplitude 0,26031

Moda 0

N de moda 0

Assimetria 1,39

Fonte: autoria própria (2018)

3.2.2. Histograma

Observou-se entre os intervalos de tempo de chegada, que os tempos de 1 a 31s apresentam a

maior taxa de frequência de 30 clientes.



14

Figura 9 – Histograma de tempo de chegada

6:1 6:005:1 6:004:1 6:003:1 6:002:1 6:001 :1 6:000:1 6:00

30

25

20

1 5

1 0

5

0

Tempo de Chegada

Fre

qu

ên

cia

Histograma de Tempo de Chegada


3.2.3. Boxplot

Notou-se no gráfico Boxplot (Figura 10), que a média encontrada é de aproximadamente 1min

e 5s e a maioria dos dados estão entre 2min e 8s e 27s, entretanto existem chegadas reduzidas

de, aproximadamente, 1s e chegadas altas com 4min e 23s.

Ressaltou-se ainda, a presença de 4 outliers com tempos de 4min e 55s, 5min e 30s, 5min e

47s, 6min e 4seg e 6min e 15s. Todavia a presença de outlier não tem significância elevada,

pois é menor que 5% da amostra.

A média com outlier é 1min e 32s e sem outliers é de 1min e 20s, o que comprova a

insignificância dos outliers.



15

Figura 10 – Boxplot de tempo de chegada

6:20:006:1 0:006:00:005:50:005:40:005:30:005:20:005:1 0:005:00:004:50:004:40:004:30:004:20:004:1 0:004:00:003:50:003:40:003:30:003:20:003:1 0:003:00:002:50:002:40:002:30:002:20:002:1 0:002:00:001 :50:001 :40:001 :30:001 :20:001 :1 0:001 :00:000:50:000:40:000:30:000:20:000:1 0:000:00:00

Tem

po

de C

heg

ad

a

Boxplot de Tempo de Chegada


3.2.4. Gráfico de Dispersão

Foram plotados dois gráficos de Dispersão, com (Figura 12) e sem (Figura 13) outlier. Os

dados de dispersão na revelam nenhuma relação, possuindo forças de relação mais fracas, de

acordo com as instruções do Minitab, logo o intervalo de tempo entre as chegadas não é

constante, o que comprova a aleatoriedade dos dados.

Figura 11 – Gráfico de Dispersão com outlier



16

6:005:004:003:002:001 :000:00

6:00

5:00

4:00

3:00

2:00

1 :00

0:00

Tempo de Chegada 1

Tem

po

de C

heg

ad

a

Gráfico de Dispersão de Tempo de Chegada versus Tempo de Chegada 1

Fonte: Autoria própria com o auxílio do Minitab (2018).

4. Relação ao teste de normalidade

Medina e Chwif (2010) afirma que para verificar se a distribuição é estatisticamente adequada

para representar os dados coletados. Tem-se o teste de aderência para testar a validade ou não

das seguintes hipóteses:

H0: O modelo é adequado pra representar a distribuição da população

H1: O modelo não é adequado pra representar a distribuição da população

Sabe-se que uma distribuição normal apresenta os mesmos valores para media, moda e

mediana. Entretanto foi observado no teste de normalidade de Anderson-Darling com o apoio

do Minitab que o intervalo de confiança entre a média e a mediana não são próximos.

Além disso, o valor de p é menor que 0,005, sabendo-se que “o valor de p aceite para estudos

de proveniência é 0,05” (Barbeau et al., 2009) correspondendo a um intervalo de confiança de

95% e neste caso:

Se p>0,05, é pouco provável que as duas amostras sejam de populações diferentes;

Se p<0,05, é provável que as duas amostras sejam de populações diferentes.

Então pode-se afirmar que os dados não aderem ao modelo de distribuição normal.



17

Figura 12 – Teste de normalidade de Anderson-Darling

1o. Quartil 25555

Mediana 64560

3o Quartil 138160

Máximo 375540

76710 1 1 1718

51 108 80617

79213 104226

A-Quadrado 4,60

Valor-p <0,005

Média 94214

DesvPad 90005

Variância 8100811627

Assimetria 1 ,31 161

Curtose 1 ,17737

N 104

Mínimo 1030

Teste de normalidade de Anderson-Darling

Intervalo de 95% de Confiança para Média

Intervalo de 95% de Confiança para Mediana

Intervalo de 95% de Confiança para DesvPad

3750003000002250001 50000750000

Mediana

Média

1 200001 05000900007500060000

Intervalos de 95% de Confiança

Relatório Resumo para C1


O teste de Kolmogorov-Sminorv foi efetuado com o auxílio do Microsoft Excel 2010 (Anexo

2). Visto que o D máximo é maior que o D crítico para os níveis de significância, os

resultados também rejeitaram a hipótese de que os dados aderem à distribuição Gama e a

distribuição Logarítmica Normal.

4. Resultados e discussões

Com a análise do sistema de filas do caixa do banco, observou-se que a fila é classificada por

MM1, também conhecida por Modelo de Poisson, e possui população infinita. Com esse

modelo pode-se calcular o Número Médio de Clientes na Fila, Número Médio de Cliente no

Sistema, Tempo Médio durante o qual o Cliente fica na fila, Tempo Médio durante o qual o

Cliente fica no Sistema, Probabilidade de existirem n Clientes no Sistema.

A taxa de utilização demonstra a probabilidade de haver utilização do sistema por um cliente,

a mesma pode ser considerada alta, pois a cada 100 pessoas que chegam no estabelecimento,

aproximadamente 89 pessoas tem que esperar em uma fila.



18

O número médio de clientes é aproximadamente 7 pessoas, o que comprova o valor da taxa de

utilização e interfere na comodidade do consumidor.

O número médio de clientes usufruindo o sistema é de aproximadamente 8 pessoas, 1 pessoa

no atendimento e 7 na fila.

Uma pessoa em média passa 104 minutos aguardando o atendimento, isso se dá devido à falta

de dinheiro no caixa ou a pausas do atendente em função das necessidades fisiológicas do

mesmo. Além disso, algumas pessoas que não possuem grande habilidade na leitura e

identificação dos boletos e extratos comprometem a agilidade do sistema.

O tempo médio de duração de um cliente no sistema é de aproximadamente de 118 minutos, o

que demostra que o processo de atendimento dura cerca de 14 minutos por pessoa, isso se dá

devido a falta de dinheiro no caixa, surge assim um novo critério de atendimento, o sistema

deixa de ser FIFO (do inglês First In, First Out, que significa “o primeiro que entra, é o

primeiro a sair”), a partir desse momento, as pessoas que necessitam de saque passam a

esperar mais do que as que necessitam fazer depósitos, o que aumenta consideravelmente o

tempo médio de espera, aumentando também o tempo no qual o cliente fica no sistema todo.

Demonstra a probabilidade de 11,7% de existir pessoas na fila de acordo com o número

médio de clientes na fila.



19

Mediante os resultados obtidos, nota-se que existe a probabilidade de 11,7% de formação de

fila, podendo ser evitada ou reduzida com a existência de um segundo caixa. Além disso,

recomenda-se a implantação de um quadro informativo contendo avisos das operações

realizadas no caixa e se o sistema está funcionando, evitando pausas desnecessárias do

operador a fim de sanar dúvidas dos clientes e contra fluxo. Logo, as aplicações do

conhecimento de teoria das filas e dessas novas medidas refletem no melhoramento do

sistema.

5. Considerações finais

Com base no estudo, que retrata um sistema de filas cotidiano, sabe-se que para analisar uma

fila de um sistema qualquer, é necessário não apenas entender a mesma, mas promover

soluções de melhorias para tal sistema, a aplicação da simulação é a melhor alternativa, visto

que é possível projetar diversos cenários futuros antes de alterar o sistema físico ou real.

Em uma visão futura há uma simulação de um sistema em função do fluxo do banco em

função do dia. Tendo em vista há necessidade da coleta de dados em dias aleatórios durante o

mês, em que o número de caixas em funcionamento em cada fila é calculado a partir da

demanda diária. Por ser natural haver maior fluxo de clientes em alguns períodos do que em

outros, este estudo torna-se bastante viável para empresas que desejam elaborar

planejamentos mais aprofundados como, por exemplo, como a adoção do sistema kanban a

fim de sinalizar o funcionamento ou não do sistema.

Tendo em vista as analises do sistema deste banco observou-se a necessidade de ajustes que

podem aperfeiçoar o atendimento e o funcionamento do mesmo. Por isso a importância de

análises periódicas do funcionamento de empresas que prestam serviços e possuem filas.

Assim é sugerido a contratação de um novo funcionário para a operação de um sistema

simultâneo ao atual, não exclusivos, otimizando o tempo de espera na fila.

REFERÊNCIAS



20

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ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE UM BANCO EXPRESSO