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ANÁLISE DO EFEITO DA PROXIMIDADE
ENTRE NAVIOS
Thiago Nascimento dos Santos
Rio de Janeiro
Agosto de 2017
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Naval e Oceânica, da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Engenheiro Naval
Orientador: Paulo de Tarso Themistocles
Esperança
ANÁLISE DO EFEITO DA PROXIMIDADE ENTRE NAVIOS
Thiago Nascimento dos Santos
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL.
Examinado por:
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
AGOSTO DE 2017
Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperança, D. Sc.
Prof. Claudio Alexis Rodríguez Castillo, D. Sc.
Vinicius Lopes Vileti, Eng.
1
Nascimento dos Santos, Thiago
Análise do Efeito da Proximidade entre Navios/ Thiago
Nascimento dos Santos. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola
Politécnica, 2008.
XI, 38 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Paulo de Tarso Themistocles Esperança
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Naval e Oceânica, 2017.
Referências Bibliográficas: p. 37-38
1. Introdução; 2. Teoria de manobra; 3. Efeito da
Proximidade; 4. Implementação em Simulador de
Manobras; 5. Conclusões
2
Àqueles que tornaram meus sonhos
possíveis, minha mãe Solange, meu
pai Ademir e minha irmã Patricia
3
Agradecimentos
Para chegar até aqui o caminho trilhado foi longo e, por isso, existem inúmeras pessoas a quem
gostaria de agradecer tremendamente, no entanto, o texto ficaria demasiado longo e cansativo e,
por isso, citarei apenas alguns nomes.
Em primeiro lugar tenho uma satisfação enorme de agradecer a minha família. Minha mãe
Solange por fazer dos meus sonhos os dela, meu pai Ademir por garantir meu bem-estar e
sempre oferecer seu apoio e minha irmã Patrícia por não duvidar nunca da minha capacidade.
Não poderia esquecer daqueles familiares, avós, tios e tias, que ofereceram seu apoio e vibraram
a cada conquista minha, mesmo estando longe. Gostaria de deixar representada aqui também,
minha avó Iolanda que, mesmo já não estando aqui para vibrar com mais essa conquista, fez
parte dessa minha caminhada.
Deixo meu muito obrigado àquela que foi minha parceira e me ofereceu seu companheirismo
durante todos esses anos de faculdade, minha namorada Ângela. Aos amigos da república
agradeço o companheirismo nas resenhas, nas jogatinas e, claro, nas festas e comemorações,
vocês foram minha família no Rio de Janeiro.
Em nenhuma hipótese eu poderia deixar de mencionar aquele que me apresentou esse mundo
e me mostrou o caminho da universidade e dos estudos, a meu grande amigo Kleber, um muito
obrigado. Nosso caro amigo Flor não poderia ficar de fora desses agradecimentos, você também
fez parte dessa trilha.
Em nenhum outro trabalho eu poderia encontrar tanto apoio como no desenvolvido aqui na
Implantação de Novas Operações da Petrobras, por isso, gostaria de agradecer enormemente a
equipe da gerência (Igor, Geraldo, Torga, Turella e Blanco) e deixar um obrigado especial ao
Gerente Cmdte Joselito Câmara, que me cobrou como um pai.
Aos professores e técnicos da UFRJ, ofereço minha gratidão pois sei que, mesmo nos momentos
mais turbulentos da faculdade, vocês me ensinaram e orientaram. Deixo meu obrigado especial
ao Professor Paulo de Tarso por ter aceitado ser meu orientador. Também agradeço ao Eng.
Vinicius Vileti por ter sido tão solicito quando precisei.
4
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à POLI/ UFRJ como parte dos requisitos
necessários para obtenção do grau de Engenheiro Naval.
ANÁLISE DO EFEITO DE PROXIMIDADE ENTRE NAVIOS
Thiago Nascimento dos Santos
Agosto/ 2018
Orientador: Paulo de Tarso Themistocles Esperança
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
Este trabalho trata da obtenção dos efeitos de um navio quando em proximidade a um
outro em águas calmas. Objetiva-se obter um modelo que seja compatível com simulador de
manobras para posterior implementação. É feita uma introdução à modelos de manobra e, em
seguida, introduz-se um método para o cálculo do efeito de interação entre navios utilizando teoria
potencial. Os resultados obtidos são comparados qualitativamente com resultados experimentais
presentes em bibliografia.
Palavras chave: Efeitos de proximidade. Águas calmas. Simulador de manobras. Interação entre
navios. Teoria potencial.
5
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Naval Architect and Marine Engineer.
SHIP PROXIMITY EFFECTS ANALYSIS
Thiago Nascimento dos Santos
August/ 2018
Advisor: Paulo de Tarso Themistocles Esperança
Course: Naval Architecture, Ocean and Marine Engineering
This work aims to obtain the ship’s close proximity effect in calm water. The objective is to
obtain a model that is compatible with a simulator of maneuvers for later implementation. An
introduction to maneuver models is made; moreover, a calculation method to interaction effect
between ships based in potential theory is made. The results are qualitatively compared with
experimental results from bibliography.
Key words: Proximity effect. Calm water. Simulator of maneuvers. Interaction effect. Potential
theory.
6
Sumário
Lista de Figuras ............................................................................................................... 7
Lista de Tabelas .................................................................... Error! Bookmark not defined.
Lista de Equações ................................................................ Error! Bookmark not defined.
Capítulo 1: Introdução ..................................................................................................... 8
Capítulo 2: Teoria de manobra ....................................................................................... 9
2.1. Equação do movimento .................................................................................................... 10
2.2. Modelo de manobra .......................................................................................................... 10
2.3. Derivadas hidrodinâmicas ................................................................................................. 13
Capítulo 3: Efeito da Proximidade ................................................................................ 15
3.1. Modelo Potencial de Interação Hidrodinâmica ................................................................ 16
3.2. Validação do modelo potencial ......................................................................................... 22
3.3. Variação da velocidade ..................................................................................................... 26
3.4. Variação da separação transversal .................................................................................... 29
3.5. Variação das dimensões das embarcações ....................................................................... 33
3.6. Embarcação sem movimento ............................................................................................ 34
3.7. Modelo Matemático de Interação .................................................................................... 36
Capítulo 4: Implementação em Simulador de Manobras ............................................ 39
Capítulo 5: Conclusões ................................................................................................. 42
5.1. Trabalhos futuros .............................................................................................................. 43
Referências 44
Apêndice A: Modelo proposto para os navios King George V e RFA Olna ............... 46
7
Lista de Figuras
Figura 1.1: Simulador de manobras Full Mission – TPN USP ..................................................... 8
Figura 2.1: Os seis graus de liberdade da embarcação [2] ......................................................... 9
Figura 2.2: Sistema de coordenadas inercial e solidário ........................................................... 12
Figura 2.3: Exemplo de uma manobra de Curva de Giro típica [5] ............................................ 13
Figura 2.4: Aproamento e ângulo de leme para uma manobra Zig-Zag típica [5] ...................... 14
Figura 3.1: Interação entre campos de pressões, navio – navio e navio – margem [6] ............. 15
Figura 3.2: Sistema de coordenadas inercial e solidário para o navio ultrapassante “A” e para o
ultrapassado “B” ....................................................................................................................... 17
Figura 3.3: Comparação entre forças de sway medidas experimentalmente por [14] e o modelo
potencial de interação ............................................................................................................... 24
Figura 3.4: Comparação entre momentos de yaw medidos experimentalmente por [14] e o
modelo potencial de interação .................................................................................................. 25
Figura 3.5: Forças e momentos atuantes na embarcação durante manobra de ultrapassagem de
acordo com previsão experimental ........................................................................................... 26
Figura 3.6: Efeito da variação da velocidade nas forças de Sway no Navio "B" ........................ 27
Figura 3.7: Efeito da variação da velociade nos momento de Yaw no navio "B" ....................... 27
Figura 3.8: Variação dos picos das forças de Sway e momentos de Yaw com o quadrado da
velocidade de avanço ............................................................................................................... 28
Figura 3.9: Variação dos picos das forças de Sway e momentos de Yaw com o quadrado da
velocidade de avanço - UB constante ....................................................................................... 29
Figura 3.10: Efeito da variação da separação transversal entre navios nas forças de Sway no
navio "B" ................................................................................................................................... 31
Figura 3.11: Efeito da variação da separação transversal entre navios nas forças de Sway no
navio "A" ................................................................................................................................... 31
Figura 3.12: Efeito da variação da separação transversal entre navios nos momentos de Yaw no
navio "B" ................................................................................................................................... 32
Figura 3.13: Efeito da variação da separação transversal entre navios nos momentos de Yaw
no navio "A" .............................................................................................................................. 32
Figura 3.14: Efeito da variação das dimensões nas forças de Sway ......................................... 33
Figura 3.15: Efeito da variação das dimensões nos momentos de Yaw .................................... 34
Figura 3.16: Força de Sway no Navio "B" parado ..................................................................... 35
Figura 3.17: Momentos de Yaw no navio "B" parado ................................................................ 35
Figura 3.18: Comparação entre modelo potencial (YBA e YAB) com o modelo de Lataire (YSS e
YSTBL) ..................................................................................................................................... 37
Figura 3.19: Comparação entre modelo potencial (NBA e NAB) com o modelo de Lataire (NSS e
NSTBL) ..................................................................................................................................... 37
Figura 4.1: Algoritmo para implementação em simulador de manobras .................................... 40
8
Capítulo 1: Introdução
Em 2013 o número total de navios operados pela Petrobras no porto de Suape foi de cerca de
300. Em 2017 o porto operou mais de 800 navios. Além disso, Suape apresenta a mesma
configuração de berços desde 2010 – ano da construção do PGL 3A e PGL 3B [1]. Esse fato
evidencia uma característica mundial: o incremento do número de operações sem,
necessariamente, melhoria expressiva da infraestrutura dos portos.
Esse trabalho se destina a apresentar um modelo matemático da interação entre navios passível
de ser implementado em simulador de manobras em tempo real. A boa representação da física
envolvida nesse problema, ainda que em termos qualitativos, favorece a avaliação computacional
de novas manobras e treinamento de pessoal (oficiais de náutica e práticos). Além disso, o
modelo pode ser utilizado para prever os esforços em cabos de amarração de um navio atracado
devido a um passante ou os movimentos em um navio fundeado.
Introduz-se um modelo de movimentos de uma embarcação só, sem efeitos de interação,
comumente empregado em simuladores de manobra no capítulo 2, e apresenta-se um modelo
com adição do efeito de interação no capítulo 3. Em ambos os modelos são desconsiderados os
efeitos de ondas, vento e corrente em função da simplificação física decorrente. O efeito de
interação será validado qualitativamente com resultados experimentais encontrados na literatura.
No capítulo 4 apresenta-se a adequação do modelo de interação a um simulador de manobras.
Por fim, o capítulo 5 trata das conclusões obtidas e apresenta sugestões para novos trabalhos.
Figura 1.1: Simulador de manobras Full Mission – TPN USP
9
Capítulo 2: Teoria de manobra
O objetivo desse capítulo é apresentar as bases para um modelo de manobra no intuito de
fundamentar o conceito para, posteriormente, apresentar os efeitos de aproximação.
A teoria de manobra é descrita em [2] como o estudo do movimento de um navio em águas
calmas e com velocidade de avanço constante. Como resultado obtém-se um modelo de manobra
sem excitação de ondas e, por consequência, com coeficientes hidrodinâmicos de manobra
constantes. Modelos de manobras com excitação por ondas pressupõem a variação dos
coeficientes hidrodinâmicos em função da frequência de encontro da embarcação e do
aproamento da embarcação em relação às ondas [3], logo trata-se de uma análise mais
complexa, e portanto, não serão tratados nesse trabalho, uma vez que o objetivo é centrar-se no
efeito de aproximação entre navios.
Para explicar os modelos matemáticos de manobra primeiro tem-se que entender os possíveis
movimentos de uma embarcação, são seis: surge (avanço), sway (deriva), heave (afundamento),
roll (jogo), pitch (arfada) e yaw (guinada). Esses movimentos são os graus de liberdade da
embarcação como corpo rígido quando em movimento e a Figura 2.1 exemplifica-os. De acordo
com o modelo matemático desenvolvido para os movimentos da embarcação, esses graus de
liberdade podem possuir acoplamentos entre si ou não.
Figura 2.1: Os seis graus de liberdade da embarcação [2]
10
2.1. Equação do movimento
Tratemos agora das equações que aproximam a física do problema do movimento da
embarcação. O problema é basicamente a segunda lei de Newton, ou seja, a somatória das
forças externas deve se igualar à multiplicação da massa (que não varia no tempo) pela
aceleração, logo temos:
M . v̇ = ∑ Fexternas
(2.1)
Onde “M” representa a matriz de massa do navio e “v̇” é o vetor de acelerações do sistema. Um
exemplo da extrapolação da equação (2.1) para o caso de um navio é, segundo [2]:
𝑴𝑅𝐵�̇� + 𝑪𝑅𝐵(𝝂)𝝂 + 𝑴𝐴�̇�𝑟 + 𝑪𝐴(𝝂𝒓)𝝂𝒓 + 𝑫(𝝂𝒓)𝝂𝒓 + 𝒈(𝜼) + 𝒈𝑜
= 𝝉𝑑𝑖𝑟 + 𝝉𝑤𝑖𝑛𝑑 + 𝝉𝑤𝑎𝑣𝑒 + 𝝉𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 (2.2)
O termo 𝑴𝑹𝑩 é a matriz de inércia do corpo rígido, 𝑪𝑹𝑩 é a matriz de Coriolis-centrípeta que
aparece devido à rotação do referencial solidário ao corpo em relação ao referencial inercial,
fixado à terra. 𝑴𝑨 e 𝑪𝑨 são a matriz de massa adicional e a matriz de Coriolis-centrípeta de massa
adicional, respectivamente, que aparecem devido à aceleração do fluído. 𝒈 e 𝒈𝟎 são os vetores
advindos das forças hidrostáticas atuando no casco. 𝒗 é o vetor de velocidades do corpo e 𝒗𝒓 é
o vetor de velocidades relativas considerando a incidência de uma corrente irrotacional. 𝜼 é o
vetor posição da embarcação em relação ao referencial inercial. 𝑫 é o termo de amortecimento.
𝝉𝒅𝒊𝒓 é o vetor força que surge devido à ação dos equipamentos de direção da embarcação (leme,
impelidores, azimutais), 𝝉𝒘𝒊𝒏𝒅 é o vetor de força devido à ação do vento e 𝝉𝒘𝒂𝒗𝒆 é o vetor força
devido à ação de ondas. 𝝉𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 é o vetor de outras forças que podem estar relacionadas na
física do problema, tal como o efeito de aproximação. “ ̇ ” representa a derivada em relação ao
tempo. Vale ressaltar que os efeitos da corrente são considerados dentro dos termos de
velocidade relativa.
2.2. Modelo de manobra
Os modelos de manobra podem ser divididos em duas classes: modelos holísticos e modelos
modulares. No primeiro, o sistema é completo e fechado, ou seja, todas as variáveis estão
correlacionadas, isso acarreta que, caso haja alguma variação do número de variáveis, o modelo
necessitará ser revisto. Por outro lado, no modelo modular empregado neste trabalho, as
variáveis são tratadas de forma independente facilitando que, por exemplo, efeitos de vento, de
11
onda ou de interação do navio com objetos externos possam ser anexados um a um ao modelo
como uma matriz no lado direito da equação (2.2).
Como tratado no início deste capítulo, o modelo abordado neste trabalho não leva em conta ações
de onda, o que implica em frequência de encontro ωe nula, fato que, por sua vez, leva a
coeficientes hidrodinâmicos de amortecimento e massa adicional constantes. Essa suposição é
válida apenas para movimentos onde o período natural é alto, ou seja, pequenas frequências
naturais. Logo, a aproximação é aplicada apenas para os movimentos de surge, sway e yaw, uma
vez que os movimentos de heave, roll e pitch possuem frequências naturais muito mais elevadas
de acordo com [2].
Devido à ausência de ondas, o termo 𝝉𝑤𝑎𝑣𝑒 também será nulo. Por outro lado, a ausência de
corrente dispensa os termos relativos 𝑣𝑟 da equação (2.2), tornando-os apenas 𝑣.
Ao tratar-se de modelo com três graus de liberdade no plano horizontal (surge, sway e yaw)
linearizado presente em [2], as forças hidrostáticas e de restauração são desprezadas, as força
de Coriolis-Centrípeta são linearizadas e o amortecimento não linear é aproximado por linear.
Além disso, supõe-se uma embarcação simétrica em relação ao plano diametral e que o
referencial solidário está posto de forma que coincida com a posição longitudinal e transversal do
centro de gravidade [4]. Dessa forma, um exemplo de equação para um navio em amnobra, já na
forma matricial, fica:
[
𝑚 − 𝑋�̇� 0 00 𝑚 − 𝑌�̇� 00 0 𝐼𝑧 − 𝑁�̇�
] [�̇��̇��̇�
] + [
−𝑋𝑢 0 0
0 −𝑌𝑣 (𝑚 − 𝑋�̇�)𝑈 − 𝑌𝑟
0 (𝑋�̇� − 𝑌�̇�)𝑈 − 𝑁𝑣 −𝑁𝑟
] [𝑢𝑣𝑟
]
= [
𝜏1
𝜏2
𝜏3
]
𝑙𝑒𝑚𝑒
+ [
𝜏1
𝜏2
𝜏3
]
𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠
(2.3)
A massa da embarcação é representada pela letra 𝑚, 𝐼𝑧 é a inércia de rotação em torno do eixo
𝑧𝑐 no referencial solidário à embarcação, 𝑌�̇� é a derivada hidrodinâmica de massa adicional no
movimento de sway devido à aceleração em sway, 𝑁�̇� é a derivada hidrodinâmica de inércia
adicional no movimento de yaw devido à aceleração em yaw, 𝑋�̇� é a derivada hidrodinâmica de
massa adicional em surge devido à aceleração em surge, 𝑋𝑢 é a derivada hidrodinâmica de
amortecimento em surge. 𝑌𝑣 e 𝑌𝑟 são a derivadas hidrodinâmicas de amortecimento em sway
devido à velocidade em sway e yaw, respectivamente. E 𝑁𝑟 é a derivada hidrodinâmica de
12
amortecimento em sway devido à velocidade em sway. O vetor de aceleração na equação (2.3)
é representado por �̇�, �̇� e �̇� que indicam a aceleração em surge, em sway e yaw, respectivamente.
Analogamente, o vetor de velocidades é representado por 𝑢, 𝑣 e 𝑟.
Todos os coeficientes cruzados, entre surge e outros movimentos, são nulos, logo, não há
acoplamentos do surge e, de fato, quando tratamos da interação entre navios, as forças e
movimentos em sway e yaw são críticos durante a ultrapassagem entre navios devido à atração
e à repulsão durante a aproximação como será visto no Capítulo 3:, logo, os efeitos em surge
serão desprezados nessa análise.
Ademais, o vetor de forças do lado direito da equação (2.3) é formado unicamente pelas forças
de leme como função de seu ângulo. Isso decorre da premissa da ausência de fatores ambientais
na formulação desse trabalho.
A Figura 2.2 ilustra um exemplo de sistemas de coordenadas inercial (𝑋𝐸 e 𝑌𝐸) e solidário (𝑥𝑐 e
𝑦𝑐) para uma embarcação com velocidade de avanço U. Ela trata dos movimentos no plano
horizontal e X, Y e N são as forças de surge, sway e o momento de yaw, respectivamente,
atuantes na embarcação durante seu movimento e φ é o ângulo da embarcação em relação ao
referencial inercial. Notemos que a velocidade de avanço U coincide com o eixo 𝑥𝑐, logo, 𝑢 = U.
Figura 2.2: Sistema de coordenadas inercial e solidário
13
2.3. Derivadas hidrodinâmicas
Para que se entenda mais claramente o problema de manobra, é interessante apresentar
brevemente as derivadas hidrodinâmicas abordadas no item 2.2 e como obtê-las.
As derivadas hidrodinâmicas provêm de um modelo onde a física envolvida no problema não é
detalhada, ou seja, as forças e momentos agindo sobre a embarcação são aproximados por
equações polinomiais. Os coeficientes dessas equações são as chamadas derivadas
hidrodinâmicas.
Existem diferentes maneiras de se obter esses coeficiente, duas delas são:
• Curva de giro: é caracterizada pela imposição de um ângulo fixo de leme a uma
embarcação navegando com velocidade constante à vante. Os resultados são obtidos
medindo-se avanço (Advance), a transferência (Transfer), o diâmetro tático (Tactical
Diameter) e o diâmetro de giro estável (Steady Turning Diameter). A Figura 2.3 ilustra um
exemplo de manobra de curva de giro.
Figura 2.3: Exemplo de uma manobra de Curva de Giro típica [5]
14
• Manobra Zig-Zag: é realizada alternando-se o ângulo de leme (rudder angle)
periodicamente. Primeiramente define-se um ângulo de leme e um aproamento para
guinada. Começando então a manobra de um estado estacionário, é feita a primeira
guinada de leme, a qual é mantida até que o aproamento (heading) chegue ao valor
predeterminado, quando a guinada de leme é dada para o ângulo oposto e o mesmo
procedimento vai se repetindo.
Figura 2.4: Aproamento e ângulo de leme para uma manobra Zig-Zag típica [5]
15
Capítulo 3: Efeito da Proximidade
Ao se movimentar, a embarcação modifica o campo de pressões ao seu redor e isso faz com que
o fluido se desloque em função do movimento dela. Quando a embarcação se aproxima de uma
outra, o campo de pressão da primeira interage com o da segunda, e isso pode ser traduzido em
movimentos como respostas das mesmas (a Figura 3.1 ilustra um exemplo da situação).
Figura 3.1: Interação entre campos de pressões, navio – navio e navio – margem [6]
Trabalhos com tratativas dos efeitos de interação podem ser encontrados em [7], que utilizou o
método das faixas para estimativa das curvas de foças e momentos em um navio ancorado
devido a passagem de um outro navio na proximidade; em [8] que realizou um estudo
experimental de interação e propôs fatores de correção para os resultados obtidos por [7]; em [9]
que, utilizando modelos em escala reduzida, propôs expressões matemáticas empíricas para o
cálculo das forças e momentos entre navios quando em cruzamento em canais e para os picos
de força quando em manobra de ultrapassagem; em [10] que utilizaram distribuição de fontes
tridimensionais para estudar os efeitos da velocidade e da separação transversal entre navios e
em [11] que estudou por meio de modelos, as forças e momentos atuantes em embarcações
quando em proximidade comparando com os valores da equação semi-empírica de [12].
O modelo de manobra apresentado no Capítulo 2: não aborda o efeito de interação entre corpos
e, portanto, neste capítulo estuda-se um modelo para aplicação na ultrapassagem entre navios,
inclusive quando um deles está atracado. Apresentam-se as principais características do modelo
de interação potencial desenvolvido por [13] e utilizado por [3] em seu estudo de manobrabilidade
e seakeeping de dois navios em proximidade. O modelo é validado com os experimentos de [14]
e um estudo da variação da velocidade, da variação da separação transversal entre
16
embarcações, e da variação da dimensão das embarcações é realizado, por estarem entre os
principais parâmetros que influenciam as forças de interação como abordado em [15].
No entanto, o modelo potencial do fenômeno de proximidade despreza os efeitos de viscosidade,
logo, quando esse efeito se torna relevante, o modelo proposto por [13] pode demonstrar-se não
condizente. Em vista disso, é feita uma comparação qualitativa das curvas do modelo potencial
com o modelo obtido por [12], este, por sua vez, propõe uma expressão matemática para
aproximar as curvas de força e momento de dois navios em manobra de aproximação baseado
em mais de dois mil ensaios de modelos em escala, onde existe interação entre camadas limites
das embarcações.
3.1. Modelo Potencial de Interação Hidrodinâmica
O modelo desenvolvido aqui se baseia no trabalho de [3], e serão pontuados alguns pontos
principais. O sistema de coordenadas é o apresentado na Figura 3.2, que difere daquele
apresentado no Capítulo 2:, apresentando forças de sway positivas para bombordo e momento
de yaw positivo com giro para bombordo também. “A” é a embarcação ultrapassante e “B” é a
embarcação ultrapassada. Novamente, o referencial solidário é disposto de forma que coincida
com a posição longitudinal e transversal do centro de gravidade de cada embarcação. 𝜉 é a
distância longitudinal entre os referenciais e 𝜂 é a distância transversal entre os referencias
solidários do navio “A” e do navio “B”.
17
Figura 3.2: Sistema de coordenadas inercial e solidário para o navio ultrapassante “A” e para o
ultrapassado “B”
A relação entre as posições das embarcações, num determinado instante de tempo 𝑡 em relação
ao intante inicial 𝑡 = 0, pode ser expressada por:
𝑥𝐵 + 𝑈𝐵𝑡 = 𝑥𝐴 + 𝑈𝐴𝑡 − 𝜉(0) (3.1)
𝑦𝐵 = 𝑦𝐴 + 𝜂 (3.2)
𝑧𝐵 = 𝑧𝐴 (3.3)
E a distância de separação longitudinal entre embarcações será uma função do tempo, dada por:
𝜉(𝑡) = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 = (𝑈𝐵 − 𝑈𝐴)𝑡 + 𝜉(0) (3.4)
A separação transversal é representada por:
𝜂 = 𝑦𝑏 + 0,5(𝐵𝐴 + 𝐵𝐵) (3.5)
Onde 𝑦𝑏 é a separação entre costados dos navios, 𝐵𝐴 é a boca moldada do navio “A” e 𝐵𝐵 é a
boca moldada do navio “B”.
18
Vale notar que, nesse caso, o corpo é tratado como rígido (sem efeitos de flexão), fino
(comprimento muito maior que a boca e o calado) e duplo (a superfície livre é considerada uma
parede rígida e o navio possui sua imagem espelho refletida em relação à superfície). Além disso
é utilizada a teoria potencial, logo o escoamento é aproximado como incompressível, irrotacional
e não viscoso.
A interação é calculada para forças de sway e momentos de yaw apenas, logo, resulta que as
demais forças e momentos não são tratados. [13] desenvolveram a teoria para águas profundas
(profundidade deve ser grande em relação aos calados das embarcações). Além disso a teoria
contempla navios separados transversalmente por uma distância da ordem de grandeza de seus
comprimentos (far field theory), no entanto, segundo analisado por [3], [16] essa estimativa
continua sendo boa quando a distância transversal é de ordem menor que o comprimento das
embarcações.
Segundo [13], o escoamento em cada corpo duplo pode ser expresso por fontes tridimensionais
distribuídas ao longo do eixo da embarcação. Dessa forma, e baseando-se nas premissas de
corpo delgado e duplo, o potencial de velocidades pode ser expresso por:
𝜙𝑖(𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖) =𝑈𝑖
4𝜋∫
𝑆𝑖′(𝑥)
[(𝑥𝑖 − 𝑥)2 + 𝑟𝑖2]
12
𝑑𝑥𝐿𝑖
(3.6)
Onde 𝑖 = [𝐴, 𝐵], se refere ao navio “A” ou “B” em questão. 𝑈𝑖 é a velocidade de avanço. 𝑆𝑖(𝑥) é a
distribuição de áreas seccionais ao longo do comprimento do navio 𝑖 e 𝑆𝑖′(𝑥) = 𝑑𝑆(𝑥)/𝑑𝑥𝑖 é a sua
derivada em relação ao comprimento do próprio navio em questão, ou seja, a taxa de variação
da boca no caso do calado se manter constante. 𝑟𝑖2 = 𝑦𝑖
2 + 𝑧𝑖2.
Considerando o efeito da proximidade do navio “A” no navio “B”, pode-se escrever o potencial do
escoamento:
Φ(𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵, 𝑡) = −𝑈𝐵𝑥𝐵 + 𝜙𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) + 𝜙𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) + 𝜙𝐵𝐴(𝑥𝐵, 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵, 𝑡) (3.7)
𝑈𝐵 é a velocidade do escoamento uniforme em torno do corpo B na direção −𝑥𝐵. 𝜙𝐴 e 𝜙𝐵 são
dados pela equação (3.6) para cada corpo duplo “A” e “B”. E 𝜙𝐵𝐴 é o potencial de velocidades
que avalia a interação entre os dois corpos.
19
Não deve ter penetrabilidade do escoamento através da superfície do navio “B” e dessa forma,
deve-se garantir que:
𝜕Φ𝐵
𝜕𝒏= 0 (3.8)
Onde 𝒏 é o vetor tangente à área imersa do casco do navio “B”. Portanto, nas proximidades do
navio “B”, segue que:
𝜕𝜙𝐵𝐴
𝜕𝒏= −
𝜕𝜙𝐴
𝜕𝒏 (3.9)
Isso vem do fato de que, por definição, uma vez que os potenciais são avaliados na superfície do
corpo “B”:
𝜕[−𝑈𝐵𝑥𝐵 + 𝜙𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵)]
𝜕𝒏= 0 (3.10)
Pode-se escrever o potencial 𝜙𝐴 em um expansão de Taylor, avaliado em 𝑦𝐵 = 𝑦𝐴 + 𝜂:
𝜙𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) = 𝜙𝐴(𝑥𝐴, −𝜂, 0) + 𝑦𝐵
𝜕𝜙𝐴(𝑥𝐴, −𝜂, 0)
𝜕𝑦𝐴+ 𝑧𝐵
𝜕𝜙𝐴(𝑥𝐴, −𝜂, 0)
𝜕𝑧𝐴+ ⋯ (3.11)
Uma vez que a superfície livre é considerada rígida, o último termo da equação se anula:
𝜕𝜙𝐴(𝑥𝐴, −𝜂, 0)
𝜕𝑧𝐴= 0 (3.12)
Representa-se o termo:
𝜕𝜙𝐴(𝑥𝐴, −𝜂, 0)
𝜕𝑦𝐴= 𝑉(𝑥𝐴) (3.13)
Que é a velocidade do escoamento numa seção transversal posicionada a uma distância 𝑥𝐴 do
referencial solidário do navio “A”, devido à presença deste avaliado na referencial do navio “B”.
Lembrando que os potenciais podem ser escritos na forma da equação (3.6), tem-se:
20
𝑉(𝑥𝐴) =𝑈𝐴𝜂
4𝜋∫
𝑆𝐴′ (𝑥)
[(𝑥𝑖 − 𝑥)2 + 𝜂2]32
𝑑𝑥𝐿𝑖
(3.14)
Para um 𝑥𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, o potencial 𝜙𝐴(𝑥𝐴, −𝜂, 0), terá um valor constante, logo, quando
derivado na área da superfície do navio “B”, resultará nulo, ou seja:
𝜕𝜙𝐴(𝑥𝐴, −𝜂, 0)
𝜕𝒏= 0 (3.15)
Portanto, a equação (3.9) pode ser reescrita como:
𝜕𝜙𝐵𝐴
𝜕𝒏= −𝑉(𝑥𝐴)
𝜕𝑦𝐵
𝜕𝒏 (3.16)
Logo, o potencial no navio “B”, devido a ação do navio “A” é:
𝜙𝐵𝐴 = −𝑉(𝑥𝐴)𝜙𝑐𝐵 (3.17)
E 𝜙𝑐𝐵 é determinado fazendo-se 𝜕𝜙𝑐𝐵/𝜕𝑛 = 𝜕𝑦𝐵/𝜕𝑛, equação que, salvo casos excepcionais:
corpos de revolução, pode apenas ser resolvida numericamente. O potencial “Φ𝐵” se torna:
Φ𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵 , 𝑡) = −𝑈𝐵𝑥𝐵 + 𝜙𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵) + 𝜙𝐴(𝑥𝐴, −𝜂, 0) + 𝑉(𝑥𝐴)[𝑦𝐵 − 𝜙𝑐𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵)] (3.18)
As força de sway 𝑌𝐵𝐴 e o momento de yaw 𝑁𝐵𝐴, atuantes no navio “B” devido a presença do navio
“A”, podem ser calculadas através da integração das pressões ao longo do eixo do navio “B” em
sua superfície molhada. As pressões podem ser obtidas através da equação de Bernoulli:
𝑝 = −𝜌𝜕Φ𝐵
𝜕𝑡−
𝜌
2|∇Φ𝐵|2 +
1
2𝜌𝑈𝐵
2 (3.19)
Levando em conta a simetria da distribuição da pressão ao longo do corpo “B” e utilizando a
conservação de momento do fluido como em [13], a força de sway (𝑌𝐵𝐴) e momento de yaw (𝑁𝐵𝐴)
atuantes no corpo duplo do navio “B” devido ao efeito do navio “A” podem ser escritos como em
[3]:
21
𝑌𝐵𝐴 = ∫𝜕𝑌𝐵𝐴
𝜕𝑥𝐵𝑑𝑥𝐵 = ∫ {𝜌𝑆𝐵𝐷[𝑉(𝑥𝐴)] + 𝜌𝐷[𝑉(𝑥𝐴)𝐴𝐵]}𝑑𝑥𝐵
𝐿𝐵
(3.20)
𝑁𝐵𝐴 = ∫ 𝑥𝐵
𝜕𝑌𝐵𝐴
𝜕𝑥𝐵𝑑𝑥𝐵 = ∫ 𝑥𝐵{𝜌𝑆𝐵𝐷[𝑉(𝑥𝐴)] + 𝜌𝐷[𝑉(𝑥𝐴)𝐴𝐵]}𝑑𝑥𝐵
𝐿𝐵
(3.21)
Nessas equações o termo 𝐴𝐵 é a massa adicional em sway para cada seção 𝑥𝐵, que provém do
efeito de aceleração do fluido pelos corpos – vale ressaltar que esse é um valor constante, uma
vez que trata-se de frequência de encontro nula. 𝐷 = 𝜕/𝜕𝑡 − 𝑈𝐵(𝜕/𝜕𝑥𝐵) é a derivada material no
referencial solidário ao corpo “B”. Com algumas manipulações algébricas, [3] demonstrou que as
forças e momentos atuantes no navio “B” devido a presença do navio “A” podem ser expressas
por:
𝑌𝐵𝐴 = 𝜌𝑈𝐴𝜂
4𝜋∫ {[𝑈𝐴𝑆𝐵
′ (𝑥𝐵) + (𝑈𝐴 − 𝑈𝐵)𝐴𝐵′ (𝑥𝐵)] ∫
𝑆𝐴′ (𝑥𝐴)
[(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 − 𝜉)2 + 𝜂2]32
𝑑𝑥𝐴𝐿𝐴
} 𝑑𝑥𝐵𝐿𝐵
+ 𝜌 𝑈𝐴
2𝜂
4𝜋[𝑆𝐵(𝑥𝐵
𝐴𝐹𝑇) + 𝐴𝐵(𝑥𝐵𝐴𝐹𝑇)] ∫
𝑆𝐴′ (𝑥𝐴)
[(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵𝐴𝐹𝑇 − 𝜉)2 + 𝜂2]
32
𝑑𝑥𝐴𝐿𝐴
(3.22)
𝑁𝐵𝐴 = 𝜌𝑈𝐴𝜂
4𝜋∫ {{𝑈𝐴𝑆𝐵
′ (𝑥𝐵)𝑥𝐵 + (𝑈𝐴 − 𝑈𝐵)𝐴𝐵′ (𝑥𝐵)𝑥𝐵
𝐿𝐵
+ 𝑈𝐴[𝑆𝐵(𝑥𝐵) + 𝐴𝐵(𝑥𝐵)]} ∫𝑆𝐴
′ (𝑥𝐴)
[(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 − 𝜉)2 + 𝜂2]32
𝑑𝑥𝐴𝐿𝐴
} 𝑑𝑥𝐵
− 𝜌 𝑈𝐴
2𝜂
4𝜋[𝑆𝐵(𝑥𝐵
𝐴𝐹𝑇) + 𝐴𝐵(𝑥𝐵𝐴𝐹𝑇)][−𝑥𝐵
𝐴𝐹𝑇] ∫𝑆𝐴
′ (𝑥𝐴)
[(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵𝐴𝐹𝑇 − 𝜉)2 + 𝜂2]
32
𝑑𝑥𝐴𝐿𝐴
(3.23)
O termo 𝐴𝐵′ representa a derivada da massa adicional em 𝑥 do navio “B”. 𝑥𝐵
𝐴𝐹𝑇 é a posição do
extremo de ré da embarcação “B”. De maneira similar, as forças e momentos atuantes no navio
“A” devido a presença do navio ”B” (𝑌𝐴𝐵 e 𝑁𝐴𝐵, respectivamente), podem ser deduzidas pelo
mesmo raciocínio utilizado até aqui, logo, pode ser demonstrado que:
22
𝑌𝐴𝐵 = −𝜌𝑈𝐵𝜂
4𝜋∫ {[𝑈𝐵𝑆𝐴
′ (𝑥𝐴) + (𝑈𝐵 − 𝑈𝐴)𝐴𝐴′ (𝑥𝐴)] ∫
𝑆𝐵′ (𝑥𝐵)
[(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝜉)2 + 𝜂2]32
𝑑𝑥𝐵𝐿𝐵
} 𝑑𝑥𝐴𝐿𝐴
− 𝜌 𝑈𝐵
2𝜂
4𝜋[𝑆𝐴(𝑥𝐴
𝐴𝐹𝑇) + 𝐴𝐴(𝑥𝐴𝐴𝐹𝑇)] ∫
𝑆𝐵′ (𝑥𝐵)
[(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴𝐴𝐹𝑇 + 𝜉)2 + 𝜂2]
32
𝑑𝑥𝐵𝐿𝐵
(3.24)
𝑁𝐵𝐴 = −𝜌𝑈𝐵𝜂
4𝜋∫ {{𝑈𝐵𝑆𝐴
′ (𝑥𝐴)𝑥𝐴 + (𝑈𝐵 − 𝑈𝐴)𝐴𝐴′ (𝑥𝐴)𝑥𝐴
𝐿𝐴
+ 𝑈𝐵[𝑆𝐴(𝑥𝐴) + 𝐴𝐴(𝑥𝐴)]} ∫𝑆𝐴
′ (𝑥𝐴)
[(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝜉)2 + 𝜂2]32
𝑑𝑥𝐵𝐿𝐵
} 𝑑𝑥𝐴
− 𝜌 𝑈𝐵
2𝜂
4𝜋[𝑆𝐴(𝑥𝐴
𝐴𝐹𝑇) + 𝐴𝐴(𝑥𝐴𝐴𝐹𝑇)][𝑥𝐴
𝐴𝐹𝑇] ∫𝑆𝐵
′ (𝑥𝐵)
[(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴𝐴𝐹𝑇 + 𝜉)2 + 𝜂2]
32
𝑑𝑥𝐵𝐿𝐵
(3.25)
O termo 𝐴𝐴′ representa a derivada da massa adicional em 𝑥 do navio “A”. 𝑥𝐴
𝐴𝐹𝑇 é a posição do
extremo de ré da embarcação “A”.
3.2. Validação do modelo potencial
[14] testou modelos do navio King George V (navio “A”) e do RFA Olna (navio “B”), ambos navios
de guerra da marinha britânica [17], [18], em manobras de curso paralelo, como indicado na
Figura 3.2 e em águas calmas. Os modelos foram testados em escala de 1:50 variando-se as
velocidades e a separação transversal 𝜂. Ambos os navios são mantidos a velocidades de avanço
constantes e iguais, variando-se a posição longitudinal relativa 𝜉 entre navios e medindo-se as
força e momentos para −600 𝑝é𝑠(𝑓𝑒𝑒𝑡) < 𝜉 < +600 𝑝é𝑠(𝑓𝑒𝑒𝑡), em cada um dos navios,
considerando-se que o navio “A” ultrapassa “B” em um movimento quase-estático.
As principais características de cada navio são apresentadas na Tabela 3.1Tabela 3.1:
Características das embarcações estudadas por [14]. A distribuições das áreas seccionais de ambos
os navios são aproximadamente parabólicas.
23
Tabela 3.1: Características das embarcações estudadas por [14]
KING GEORGE (A)
R.F.A. OLNA (B)
Comprimento (m) 225,6 172,8
Boca (m) 31,4 21,3
Calado (m) 8,9 9,1
Deslocamento (t) 36890 23570
Área da SMN (m²) 283,4 192,8
U (nós) 10
Os resultados obtidos para separação transversal de 50 pés (15,24 m), 𝜂 = 15,24𝑚 + 0,5𝐵𝐴 +
0,5𝐵𝐵, e velocidade de avanço de 10 nós são comparados com os resultados obtidos através do
modelo potencial de interação hidrodinâmica apresentado. As unidades de medida foram
utilizadas de maneira que as medidas de distância são expressas em pés (feet), as forças em
tonelada por nó quadrado (ton/knot²) e os momentos em tonelada metro por nó quadrado (ton-
m/knot²). YBA e YAB são as forças em sway obtidas através das equações (3.22) e (3.24), YBA-
Experimental e YAB-Experimental são as forças de sway obtidas do experimento de [14].
Analogamente NBA e NAB são os momentos de yaw obtidos através das equações (3.23) e
(3.25), NBA-Experimental e NAB-Experimental são os momentos de Yaw obtidos do experimento
de [14].
24
Figura 3.3: Comparação entre forças de sway medidas experimentalmente por [14] e o modelo potencial
de interação
De acordo com a Figura 3.3 a embarcação que está sendo ultrapassada (“B”) sente uma força
de repulsão quando se aproxima da popa do navio “A”. Ao se acercar da meia nau de “A”, “B”
passa a sofrer uma força de atração que encontra seu máximo aproximadamente quando 𝜉 = 0
feet. Ao se aproximar da proa da embarcação “A”, o RFA Olna passa a sofrer uma força de
repulsão novamente. Os efeitos são opostos no King George V, passando inicialmente por uma
força de atração, em um segundo instante uma força de repulsão e, por fim, uma força de atração
novamente.
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
-600 -400 -200 0 200 400 600
ton
/ K
no
t²
ξ (feet)
YBA YBA - Experimental YAB YAB - Experimental
1 2 3 4 5
25
Figura 3.4: Comparação entre momentos de yaw medidos experimentalmente por [14] e o modelo
potencial de interação
No que se refere ao momento de yaw exposto na Figura 3.4, a tendência durante todo o
movimento é fazer com que a proas e popas dos navios se choquem, passando por um trecho
de momento nulo quando, aproximadamente, 𝜉 = 0 feet. A Figura 3.5 exemplifica por setas o
sentido das forças e dos momentos atuando durante a ultrapassagem da embarcação “B” pela
“A”.
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-600 -400 -200 0 200 400 600
ton
-fe
et
/ K
no
t²
ξ (feet)
NBA NBA - Experimental NAB NAB - Experimental
1 2 3 4 5
26
Figura 3.5: Forças e momentos atuantes na embarcação durante manobra de ultrapassagem de acordo
com previsão experimental
Os resultados obtidos pela formulação de [3], [13] apresentam consonância qualitativa com
resultados encontrados por [14], prevendo bem as posições de máximos e mínimos de ambas as
curvas de força e momento. Por outro lado, do ponto de vista quantitativo, as discrepâncias entre
os picos de força de Sway chegam a 45% e entre os picos de momento de Yaw chegam a 47%.
Essa diferença pode resultar da viscosidade que, nesse problema, não é tratada ou da
aproximação seccional por fontes.
3.3. Variação da velocidade
Uma vez que a formulação apresenta bons resultados qualitativos, pode-se analisar alguns
efeitos nas curvas de forças e momentos proveniente da variação de alguns parâmetros.
Iniciemos o estudo variando a velocidade de ambas as embarcações durante a manobra de
ultrapassagem. Testou-se as velocidades de 5 nós (≅ 2,6 m/s), 10 nós (≅ 5,1 m/s) e 15 nós (≅
7,7 m/s) nas mesma embarcações utilizadas anteriormente, ou seja, King George V (navio “A”) e
o RFA Olna (navio “B”). Ambas as embarcações foram mantidas a mesma velocidade (𝑈𝐴 = 𝑈𝐵)
e as forças alcançadas em Sway e os momentos em Yaw estão reunidos nas Figura 3.6 e Figura
3.7, respectivamente.
27
Figura 3.6: Efeito da variação da velocidade nas forças de Sway no Navio "B"
Figura 3.7: Efeito da variação da velociade nos momento de Yaw no navio "B"
Nota-se que com o incremento da velocidade há, em contrapartida, um incremento das forças e
momentos. De fato, como previsto por [9], a variação das forças e momentos é aproximadamente
linear com o quadrado da velocidade. A Figura 3.8 mostra a variação dos picos das forças e
momentos em função das velocidades ao quadrado.
-600
-400
-200
0
200
400
600
-180 -120 -60 0 60 120 180
KN
ξ - m
YBA - 5 nós YBA - 10 nós YBA - 15 nós
YAB - 5 nós YAB - 10 nós YAB - 15 nós
-40.000
-30.000
-20.000
-10.000
0
10.000
20.000
30.000
40.000
-180 -120 -60 0 60 120 180
KN
-m
ξ - m
NBA - 5 nós NBA - 10 nós NBA - 15 nós
NAB - 5 nós NAB - 10 nós NAB - 15 nós
28
Figura 3.8: Variação dos picos das forças de Sway e momentos de Yaw com o quadrado da velocidade
de avanço
De fato, de acordo com as equações (3.22) a (3.25), ao manter-se a velocidade de ambas as
embarcações constantes, a variação das forças e momentos se dá exatamente com o quadrado
da velocidade.
Por outro lado, quando as embarcações estão em velocidades diferentes, a variação das forças
não, necessariamente, deve variar com o quadrado da velocidade de avanço. A Figura 3.9 mostra
a variação do pico das forças e momentos em função do quadrado da velocidade, dessa vez
mantendo-se constante a velocidade apenas do navio “B” e igual a 5 nós (2,6 m/s). Como pode
ser visto, a condição de variação aproximadamente linear com o quadrado da velocidade continua
sendo boa.
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
0
200
400
600
4 14 24 34 44 54 64
KN
-m
KN
U² (m/s)²
YBA YAB NBA NAB
29
Figura 3.9: Variação dos picos das forças de Sway e momentos de Yaw com o quadrado da velocidade
de avanço - UB constante
3.4. Variação da separação transversal
Quando se deslocam a uma determinada velocidade, uma camada limite é formada ao longo do
casco de ambos os navios devido ao efeito da viscosidade do fluido. Utilizando a aproximação
de placa plana, a espessura da camada limite laminar pode ser calculada pela formulação obtida
em [19], como segue:
𝛿
𝑥=
5
√𝑅𝑒𝑥
(3.26)
No caso de camada limite turbulenta, a espessura pode ser obtida por:
𝛿
𝑥=
0,16
𝑅𝑒𝑥1/7
(3.27)
Onde 𝛿 é a espessura da camada limite, x é a posição do casco relativa à extremidade de vante
do casco (x = 0 na proa) e 𝑅𝑒𝑥 é o número de Reynolds da embarcação para cada posição x,
calculado através de:
𝑅𝑒𝑥=
𝜌𝑈𝑥
𝜇 (3.28)
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
0
200
400
600
4 14 24 34 44 54 64
KN
-m
KN
U² (m/s)²
YBA YAB NBA NAB
30
De acordo com [19], a transição laminar-turbulento da camada limite de uma superfície real é por
volta de 𝑅𝑒 = 5 × 105. Substituindo na equação (3.28) a uma velocidade de 10 nós (5,144 m/s) e
as características para água a 20°C (𝜌 = 0,998 𝑡/𝑚³, 𝜇 = 1,003 × 10−6 𝑚2/𝑠), nota-se que a
transição acontece para 𝑥 ≅ 0,0652 𝑚. Logo, a camada limite preponderante ao longo do casco
é turbulenta.
No caso de camada limite turbulenta, o valor de espessura máxima acontecerá quando x coincidir
com a extremidade de ré do casco. Nesse caso, a espessura será, de acordo com a equação
(3.27), de δ =1,83 m para a embarcação “A” e de 1,46 m para a embarcação “B”. Logo, atentando
ao conservadorismo, para que não haja interação das camadas limites de ambas as
embarcações, as mesmas devem estar afastadas de uma distância superior a 3,29 m
(1,83m+1,46m).
Testou-se o modelo potencial desenvolvido em três diferentes distâncias de separação
transversal (𝑦𝑏): 1,5m, 10m, 15,24m (50 pés) e 30m. A primeira distância contempla uma região
dentro da camada limite e a terceira é a distância utilizada por [14] em seus experimentos. O
intuito é observar o efeito qualitativo da variação da distância de separação. A Figura 3.10 e a
Figura 3.11 mostram o efeito das separação transversal nas forças de Sway. Já a Figura 3.12 e
a Figura 3.13 mostram o efeito da separação nos momentos de Yaw.
31
Figura 3.10: Efeito da variação da separação transversal entre navios nas forças de Sway no navio "B"
Figura 3.11: Efeito da variação da separação transversal entre navios nas forças de Sway no navio "A"
-400
-200
0
200
400
-180 -120 -60 0 60 120 180
Fo
rça
-K
N
Separação Longitudinal entre navios - ξ (m)
YBA - 3m YBA - 10m YBA - 15,24m YBA - 30m
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
-180 -120 -60 0 60 120 180
Fo
rça
-K
N
Separação Longitudinal entre navios - ξ (m)
YAB - 3m YAB - 10m YAB - 15,24m YAB - 30m
32
Figura 3.12: Efeito da variação da separação transversal entre navios nos momentos de Yaw no navio "B"
Figura 3.13: Efeito da variação da separação transversal entre navios nos momentos de Yaw no navio
"A"
-25.000
-20.000
-15.000
-10.000
-5.000
0
5.000
10.000
15.000
20.000
-180 -120 -60 0 60 120 180
Mo
me
nto
KN
-m
Separação Longitudinal entre navios - ξ (m)
NBA - 3m NBA - 10m NBA - 15,24m NBA - 30m
-80.000
-60.000
-40.000
-20.000
0
20.000
40.000
60.000
80.000
-180 -120 -60 0 60 120 180
Mo
me
nto
KN
-m
Separação Longitudinal entre navios - ξ (m)
NAB - 3m NAB - 10m NAB - 15,24m NAB - 30m
33
Observa-se que o incremento na separação transversal reduz a intensidade das forças e
momentos atuantes em ambas as embarcações. Isso se deve a redução do efeito de interação
entre os campos de pressões das embarcações envolvidas.
Pode-se notar das equações (3.22) a (3.25) que, para grandes valores da separação transversal
(𝜂 → ∞), estas deixam de depender deste parâmetro.
Por outro lado, o efeito da interação das camadas será esclarecido em 3.7 com uma comparação
com o modelo de [12], uma vez que os resultados para o modelo potencial já foram obtidos aqui.
3.5. Variação das dimensões das embarcações
No intuito de se estudar o efeito da geometria na força e no momento, variou-se a geometria da
embarcação “B” reduzindo-se através de um fator de escala de 0,5 (YBA_0,5 e NBA_0,5) e
aumentando-se através de um fator de escala de 1,5 (YBA_1,5 e NBA_1,5). Na Figura 3.14 e na
Figura 3.15, os termos YBA_1,0 e NBA_1,0 representam a força de sway e o momento de yaw
no navio B devido a presença do navio “A” sem aplicação de fator de escala. Como anteriormente,
as embarcações são supostas avançando com mesma velocidade igual a 10 nós e uma
separação transversal entre costados de 15,24 m. O efeito do aumento das dimensões foi
estudado apenas no navio “B”, uma vez que no navio “A” o efeito é similar.
Figura 3.14: Efeito da variação das dimensões nas forças de Sway
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-350 -250 -150 -50 50 150 250 350
KN
ξ (m)
YBA_0,5 YBA_1,0 YBA_1,5
34
Figura 3.15: Efeito da variação das dimensões nos momentos de Yaw
Existem duas principais características nas variações dessas curvas em função da geometria. A
primeira é que, com o aumento das características geométricas do navio “B”, ambas, forças e
momentos, aumentam. Por outro lado, há um deslocamento do pico de força em função da
geometria, ou seja, a medida que o navio “A” aumenta de tamanho, o pico de forças e momentos
se desloca para ré do navio “B”, em outras palavras, o navio “B” passa a sentir a presença do
navio “A” mais cedo.
3.6. Embarcação sem movimento
É interessante, também, pontuarmos o caso em que uma das embarcações se encontra parada
(atracada ou fundeada). De acordo com as equações de (3.22) a (3.25), quando uma das
embarcações se encontra sem movimento, a influência desta na segunda embarcação será nula.
Em termos das equações, isso pode ser avaliado fazendo-se 𝑈𝐵 = 0, ou seja, considerando-se o
navio “B” (Olna) parado. As forças e os momentos calculados para o navio “A” (King George V)
estão reunidos na Figura 3.16 e na Figura 3.17, representadas por YBA (UB = 0) e NBA (UB = 0)
respectivamente. Além do mais, uma comparação é realizada com os resultados obtidos
anteriormente para ambos os navios com mesma velocidade de 10 nós. Nesse caso, além de ser
mantida a velocidade, considerou-se a separação transversal de 15,24 m como já mencionado e
sem alteração da geometria dos cascos.
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-350 -250 -150 -50 50 150 250 350
KN
-m
ξ (m)
YAB_0,5 YAB_1,0 YAB_1,5
35
Figura 3.16: Força de Sway no Navio "B" parado
Figura 3.17: Momentos de Yaw no navio "B" parado
Nota-se que houve uma pequena variação na intensidade das forças e momentos agindo sobre
o navio atracado. Comparando-se os picos, tem-se um aumento de cerca de 54KN para a força
uma redução de cerca de 1.050KN-m no caso dos momentos.
-200,0
-100,0
0,0
100,0
200,0
300,0
-180,00 -120,00 -60,00 0,00 60,00 120,00 180,00
KN
ξ (m)
YBA (UB = 0) YBA
-15.000
-10.000
-5.000
0
5.000
10.000
15.000
-180 -120 -60 0 60 120 180
KN
-m
ξ (m)
NBA (UB = 0) NBA
36
Tratemos do navio passante (navio “A”). De acordo com o modelo potencial desenvolvido, as
força e momentos atuantes nesse navio seriam nulas e, obviamente, isso não é condizente com
a realidade. [6] estudou o efeito da passagem de navios próximos a um navio atracado utilizando
resultados de 48 simulações obtidas através do BEM (Boundary Element Method). Ele concluiu
que as forças atuantes no navio passante são, pelo menos, uma ordem de grandeza inferiores
às forças atuantes no navio atracado, fato que colabora para a aproximação potencial utilizada.
3.7. Modelo Matemático de Interação
Uma série de estudos sistemáticos com modelos de duas embarcações navegando a mesma
velocidade foi analisada por [12] no intuito de se obter uma expressão matemática empírica que
se aproximasse do formato da curva de forças e momentos atuantes em uma embarcação
durante uma operação de transferência de carga, ou seja, uma situação tal como a de transbordo
a contrabordo – Ship to ship underway [20]. Nesse tipo de operação é comum que as
embarcações estejam muito próximas umas das outras, onde a interação viscosa é relevante.
Uma comparação do modelo potencial desenvolvido com a estimativa de [12] é realizada no
intuito de se tentar verificar o quanto o modelo potencial é desviado quando há interação viscosa
entre as embarcações. Para tal, aplica-se o modelo de [12] nas embarcações King George e
Olna, supondo separação transversal de 𝑦𝑏 = 1,5𝑚 e velocidade de avanço de 2 m/s (≅ 4 nós).
A Figura 3.18 e a Figura 3.19 reúnem as curvas de forças e momentos respectivamente. O termo
YSS foi empregado para diferenciar a força calculada no navio “B” devido a presença do navio
“A” na estimativa de [12], ou seja, YSS é a estimativa de YBA segundo [12]. Já YSTBL é o
equivalente para a estimativa de YAB. A nomenclatura é análoga para os momentos.
37
Figura 3.18: Comparação entre modelo potencial (YBA e YAB) com o modelo de Lataire (YSS e YSTBL)
Figura 3.19: Comparação entre modelo potencial (NBA e NAB) com o modelo de Lataire (NSS e NSTBL)
O modelo potencial e o matemático de [12] se assemelham bastante, qualitativamente. Vemos
que o formato das curvas de forças de sway são razoavelmente similares e os picos de força em
ambos os modelos acontecem por cerca de ξ = 0. No caso dos momentos, nota-se o mesmo.
Em termos quantitativos, ambos os modelos se desviam bastante no caso de forças de sway. No
entanto, no caso dos momentos de yaw, apresentam uma semelhança mais razoável.
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-180 -120 -60 0 60 120 180
KN
ξ (m)
YBA YAB YSS YSTBL
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-180 -120 -60 0 60 120 180
KN-m
ξ (m)
NBA NAB NSS NSTBL
38
Uma possível explicação para o desvio entre os dois modelos pode ser dada pelo efeito da
interação viscosa entre camadas limites das embarcações presente no modelo de [12] e não
previsto, por definição, no modelo potencial de [13]. Nesse sentido, também nota-se uma
discrepância, representada por um ponto de máximo local próximo a ξ = -30m no modelo
matemático que não é previsto pelo potencial.
Outra explicação para o desvio entre modelos, relativa à diferença de intensidade, pode-se
atribuir ao fato do modelo matemático estar atrelado às características estudadas no experimento
e este, por sua vez, foi conduzido com navios petroleiros das classes VLCC e Aframax. Os navios
King George e Olna são ambos navios de guerra, ou seja, possuem cascos com características
geométricas muito distintas dos petroleiros. Recorda-se também que o modelo potencial usa
como premissa a separação transversal da ordem do comprimento das embarcações (far field)
e, ainda que, como comprovado por [3], ele apresente boa aproximação para separações
transversais de menor ordem, não foram realizados estudos focados para situações onde as
camadas limites dos navios interagem. O autor recomenda uma análise mais profunda, como
trabalho futuro, utilizando um software de simulação computacional para se verificar o
comportamento das curvas para operações quando a proximidade das embarcações contempla
a camada limite delas.
39
Capítulo 4: Implementação em Simulador de
Manobras
A interação entre os navios pode ser acrescentada ao modelo de manobra através de um módulo
[𝐼𝑁𝑇]𝑖 que representa o efeito de interação entre os navios:
[𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑛𝑜𝑏𝑟𝑎] = [𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠]𝑖 + [𝐼𝑁𝑇]𝑖 (4.1)
O índice “𝑖” representa o navio em que as forças, momentos e movimentos são analisados, com
𝑖 = [𝐴, 𝐵], e, dessa forma, teremos duas possíveis possibilidades para o módulo de interação
[𝐼𝑁𝑇]𝑖:
• Avaliação da interação no navio “A”
[𝐼𝑁𝑇]𝐴 = [0
𝑌𝐴𝐵
𝑁𝐴𝐵
] (4.2)
Relembrando que, 𝑌𝐴𝐵 é a força de interação em sway no navio “A” devido a presença do navio
“B”. Analogamente, 𝑁𝐴𝐵 é o momento de interação em yaw no navio “A” devido a presença do
navio “B”.
• Avaliação da interação no navio “B”
[𝐼𝑁𝑇]𝐵 = [0
𝑌𝐵𝐴
𝑁𝐵𝐴
] (4.3)
E 𝑌𝐵𝐴 é a força de interação em sway no navio “B” devido a presença do navio “A” e,
analogamente, 𝑁𝐵𝐴 é o momento de interação em yaw no navio “B” devido a presença do navio
“A”.
Nesse modelo, o escoamento em torno dos corpos é considerado independente dos efeitos de
proximidade, portanto, os efeitos de massa adicional e amortecimento continuam sendo medidos
individualmente para cada navio, de acordo com o apresentado no Capítulo 2:. Esse modelo
possibilita que as forças e momentos de interação sejam anexados como um módulo, logo, o
40
efeito de interação é facilmente anexado à modelos já existentes de manobra exigindo apenas
pequenas correções de referenciais.
A Figura 4.1 ilustra um exemplo de algoritmo para implementação em simulador de manobras
baseado no proposto por [3].
Figura 4.1: Algoritmo para implementação em simulador de manobras
41
Nota-se que as forças externas tais como, vento, onda, controle (leme, impelidores, azimutais,
...) e o efeito de interação entre navios são apenas adicionados ao modelo de manobra, não
exigindo adequação do mesmo ao caso específico. Essa técnica modular permite que o módulo
de interação seja adicionado à modelos, inclusive quando o número de graus de liberdade tratado
é maior do que os três apresentados nesse trabalho. O autor [3], por exemplo, utilizou o modelo
potencial de interação hidrodinâmica utilizando quatro graus de liberdade da embarcação, além
de surge, sway e yaw, utilizou um modelo com roll acoplado.
42
Capítulo 5: Conclusões
A relevância desse trabalho está direcionada ao aumento da segurança na navegação. Como
visto, em função do porte, da velocidade e da separação transversal entre navios, forças atuarão
em ambas embarcações sem que se possa evitá-las. A adequação de simuladores de manobras
já existentes aos efeitos de proximidade garante um potencial aumento da gama de estudos e
treinamento de pessoal especializado tais como, práticos e oficiais de náutica e estes, por sua
vez, garantirão maior segurança na navegação, diminuindo riscos de colisão com outras
embarcações.
O Capítulo 2: tratou de introduzir um modelo de manobra comumente utilizado em simuladores,
numa tratativa com três graus de liberdade (surge, sway e yaw). Foram introduzidas as derivadas
hidrodinâmicas e apresentado meios de se obter essas constantes (considerando frequência de
encontro nula).
No Capítulo 3: o conceito de interação entre navios é abordado. A teoria potencial de aproximação
entre embarcações desenvolvida por Tuck e Newman, 1974 é pontuada em seus principais
aspectos e, por fim, obtém-se as equações 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7 como desenvolvido por Skejic,
2016. O modelo foi validado e concluiu-se que oferece uma boa representação qualitativa do
fenômeno de aproximação. Do ponto de vista qualitativo, ele tem discrepâncias razoáveis que
podem ser atribuídas, principalmente, a possíveis efeitos viscosos.
Um estudo dos efeitos da variação da velocidade das embarcações, da separação transversal
entre elas e das dimensões do navio passante foi realizado.
Notou-se que as forças e momentos tendem, prioritariamente, a aumentar com o quadrado do
aumento da velocidade de avanço, mesmo quando as embarcações possuem velocidades
diferentes.
Em relação a separação transversal, notou-se que as forças e momentos aumentam quando a
separação entre embarcações diminui, fato que já se podia intuir. Como tratava-se de modelo
potencial, utilizou-se uma distância de separação em que, necessariamente, houvesse interação
entre camadas limites de ambas as embarcações. Nessa condição comparou-se os resultados
do modelo potencial com os de Lataire et al, 2012 que, por sua vez, considerava interação viscosa
entre navios. Os resultados do modelo potencial se demonstraram qualitativamente muito bons
no caso das forças e um pouco piores no caso de momentos. Do ponto de vista quantitativo, o
43
modelo potencial se aproxima mais do de Lataire, 2012 quando se trata dos momentos. Os
resultados mostram que a tendência demonstrada pelo modelo potencial é válida mesmo quando
os efeitos viscosos são relevantes.
Por fim, utilizando o conceito modular, demonstrou-se como o efeito de interação pode ser
adicionado a um simulador de manobras. Pontua-se que a implementação desses efeitos em
simuladores aumenta capacidade dos mesmos para representar a física envolvida em cada
problema e a utilização de módulos facilita a implementação em algoritmos de manobra já
existentes.
5.1. Trabalhos futuros
O modelo potencial abordado nesse trabalho utiliza fontes tridimensionais distribuídas ao longo
do eixo das embarcações. É interessante, como estudo futuro, a comparação desse modelo com
outro modelo potencial mais acurado, tal como o método dos painéis com fontes de Rankine que,
por sua vez, considera fontes distribuídas ao longo do casco da embarcação, dividindo-o em
painéis.
Um estudo do limite de atuação do modelo potencial para diferentes tipos de embarcação, dessa
vez, considerando os efeitos de viscosidade, seria de grande interesse. Nesse caso, no algoritmo
apresentado na Figura 4.1, o módulo de interação poderia se dividir em dois módulos atrelados a
uma condição, ou seja:
• Se os efeitos viscosos não são relevantes: utiliza-se modelo potencial;
• Se os efeitos viscosos são relevantes: utiliza-se um modelo mais acurado.
Entre outros possíveis estudos, poderia se acrescentar o efeito do ângulo de aproamento entre
embarcações, o efeito de águas rasas, o efeito de proximidade a um cais e a manobra de
encontro, onde as embarcações estão navegando em direções opostas.
44
Referências
[1] PETROBRAS, “Evolução Suape 2012 - 2018”. 2018.
[2] T. I. Fossen, “HANDBOOK OF MARINE CRAFT HYDRODYNAMICS AND MOTION
CONTROL Vademecum de Navium Motu Contra Aquas et de Motu Gubernando”, 2011.
[3] R. Skejic, “Maneuvering and Seakeeping of a Single Ship and of Two Ships in
Interaction”, Dep. Mar. Technol., 2008.
[4] W.-L. Luo, Z. Zao-Jian, e H.-L. Xiang, “SIMULATION OF SHIP MANOEUVRING IN THE
PROXIMITY OF A PIER BY USING SUPPORT VECTOR MACHINES”, 2011.
[5] M. Bonci, M. Viviani, R. Broglia, e G. Dubbioso, “Method for estimating parameters of
practical ship manoeuvring models based on the combination of RANSE computations
and System Identification”, Appl. Ocean Res., 2015.
[6] G. O. Silva, “Implementação de efeitos de interação hidrodinâmica navio-navio e navio-
margem em simuladores de manobras em tempo real”, USP, 2017.
[7] S. Wang, “Dynamic Effects of Ship Passage on Moored Vessels”, J. Waterw. Harb.
Coast. Eng. Div., vol. 101, no 3, p. 247–258, 1975.
[8] D. Kriebel, “MOORING LOADS DUE TO PARALLEL PASSING SHIPS”, 2007.
[9] K. S. Varyani, R. C. Mcgregor, P. Krishnankutty, e A. Thavalingam, “NEW EMPIRICAL
AND GENERIC MODELS TO PREDICT INTERACTION FORCES FOR SEVERAL SHIPS
IN ENCOUNTER AND OVERTAKING MANOEUVRES IN A CHANNEL”, 2002.
[10] M. C. Fang e G. R. Chen, “The effect of clearance and speed on the relative motions
between two ships advancing in waves”, in Proceedings of the Thirteenth International
Offshore and Polar Engineering Conference, 2003.
[11] A. Miller, “Interaction Forces between Two Ships during Underway Replenishment”, J.
Navig., 2016.
[12] E. Lataire, M. Vantorre, G. Delefortrie, e M. Candries, “Mathematical modelling of forces
acting on ships during lightering operations”, Ocean Eng., 2012.
45
[13] E. O. Tuck e J. N. Newman, “HYDRODYNAMIC INTERACTIONS BETWEEN SHIPS”,
Cambridge, 1974.
[14] R. N. Newton, “Some notes on interaction effects between ships close aboard in deep
water”, in 1st Symposium on Naval Maneuverability, 1960.
[15] B. De Decker, “Ship-Ship Interaction during Lightering Operations”, 2005.
[16] G. W. King, “Unsteady Hydrodynamic Interactions between Ships in Shallow Water”, 6th
Australas. Hydraul. Fluid Mech. Conf., p. 3, 1977.
[17] Wikipédia, “RFA Olna A123”, 2018. [Online]. Available at:
https://en.wikipedia.org/wiki/RFA_Olna_(A123). [Acessado: 01-ago-2018].
[18] Wikipèdia, “HMS King George V”, 2018. [Online]. Available at:
https://pt.wikipedia.org/wiki/HMS_King_George_V. [Acessado: 01-ago-2018].
[19] F. M. White, Mecânica dos Fluídos, 6a. Porto Alegre: AMGH Editora Ltda, 2011.
[20] OCIMF, INTERNATIONAL CHAMBER OF SHIPPING, SIGTTO, e CDI, Ship To Ship
Transfer Guide for Petroleum, Chemicals and Liquefied Gases, First Edition. Witherby
Publishing Group, Ltd, 2013.
46
Apêndice A: Modelo proposto para os navios
King George V e RFA Olna
Para aplicação nas equações de forças e momentos baseadas na teoria potencial de [13], foram
utilizadas aproximações para a geometria dos dois navios King George V e RFA Olna. Essas
aproximações são as mesmas utilizadas por [13] e serão pontuadas nesse apêndice.
Primeiro, as curvas de áreas seccionais de ambas as embarcações foram consideradas
parabólicas. Dessa forma, conhecida a área da seção mestra dos navios, pode se obter a
distribuição de áreas através da equação:
𝑆𝑖(𝑥𝑖) = 𝑆𝑖(0) × (1 − 4𝑥𝑖
2
𝐿𝑖2 )
Onde 𝑖 = [𝐴, 𝐵], 𝑆𝑖(𝑥) é a distribuição de áreas seccionais ao longo do eixo 𝑥𝑖 da embarcação 𝑖
de comprimento 𝐿𝑖 e 𝑆𝑖(0) é área da seção mestra do corpo duplo (recordando da aproximação
utilizada no Capítulo 3:).
O termo relacionado a massa adicional é dado por:
𝐴𝑖(𝑥𝑖) = 𝜋𝑇𝑖2
Onde 𝑇𝑖 é o calaado do navio em questão e a massa adicional por unidade de comprimento é
dada por 𝜌𝐴𝐼(𝑥𝑖). A derivada da distribuição de áreas pode ser obtida diretamente por:
𝑆𝑖′ = −8𝑆𝑖(0)
𝑥𝑖
𝐿𝑖2
No caso da derivada do termo relacionado a massa adicional, uma condição fraca de Kutta é
utilizada para chegar-se a função:
𝐴𝑖′(𝑥𝑖) = −𝜋𝑇𝑖
2𝛿 (𝑥𝑖 −𝐿𝑖
2)
Onde 𝛿 representa a função delta de Dirac. Essa condição é aplicada pois, a massa adicional
salta de constante ao longo do casco para nula avante do mesmo.
Segundo [13], essas aproximações se aproximam bastante da realidade.
