ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE LAJES NERVURADAS PRÉ ... · ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE LAJES NERVURADAS PRÉ-FABRICADAS COM VIGOTA TIPO TRILHO PROTENDIDA NA CONDIÇÃO BIAPOIADA E

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE LAJES NERVURADAS PRÉ-FABRICADAS

COM VIGOTA TIPO TRILHO PROTENDIDA NA CONDIÇÃO BIAPOIADA E

CONTÍNUA

Luiz Carlos França e Silva 1

Silvandro Ferreira de Siqueira Júnior 2

RESUMO

No presente trabalho serão apresentados o dimensionamento e a verificação

de uma laje pré-fabricada com vigota tipo trilho protendida na condição biapoiada e

contínua.

Os procedimentos de dimensionamento e verificação foram baseados nas

normas NBR 6118 (2014) “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento” e NBR

14859 (2002) “Laje pré-fabricada – Requisitos parte 1: Lajes unidirecionais” além da

norma espanhola EF-96 (2002) “Instrucción para el Projecto y la Ejecución de Forjados

Unidireccionales de Hormigón Armado e Pretensado”. Os critérios de projeto para

esse tipo de sistema estrutural como dimensões mínimas, especificações de materiais

e limites de tensões serão expostos ao longo do trabalho, os quais serão aplicados a

uma laje típica com vãos e carregamentos relativamente comuns. O Vão adotado para

a análise na condição biapoiada será de 5,00 metros e para a condição contínua,

duplos de também 5,00 metros.

Depois de dimensionada a área de aço efetiva necessária para a vigota iniciou-

se as verificações em relação ao estado limite de serviço. Foram realizadas as

verificações relativas ao ELS-F (estado limite de formação de fissuras), ELS-D (estado

limite de descompressão) e a vigota na sua fase de construção. Todas essas

verificações foram realizadas para a condição biapoiada e contínua e para o máximo

e mínimo momento fletor atuante na peça. As verificações nos estados limites de

serviço de formação de fissuras, descompressão da seção transversal e fase

construtiva foram verificadas chegando à conclusão de que a peça na condição

contínua é mais eficiente. Isso se deve principalmente ao fato de o apoio intermediário

diminuir significativamente os momentos fletores nos vãos e consequentemente as

tensões na seção transversal.

Palavras-chave: Lajes pré-fabricadas. Concreto protendido. Dimensionamento

estrutural. Vigotas protendidas.

ABSTRACT

In the present work will be presented the sizing and verification of a

prefabricated slab with prestressed rail type in two-supported and continuos condition.

The design and verification procedures were based on Brazilian’s NBR 6118

(2014) “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento” and NBR 14859 (2002)

“Laje pré-fabricada – Requisitos parte 1: Lajes unidirecionais” in addition to Spanish

Standard EF-96 (2002) “Instrucción para el Projecto y la Ejecución de Forjados

Unidireccionales de Hormigón Armado e Pretensado”. Design criteria for this type of

structural system such as minimum dimensions, material specifications and stress

limits will be exposed throughout the work, which will be applied to a typical slab with

relatively common spans and loads. The Gap adopted for the analysis in the two-

supported condition will be 5.00 meters and for the continuous condition, doubles will

also be 5.00 meters.

After dimensioning the effective steel area required for the raft, the checks on

the service limit state began. Checks for ELS-F (Crack Formation Limit State), ELS-D

(Decompression Limit State), and the design in its construction phase have been

carried out. All these checks were performed for the two-supported and continuous

condition and for the maximum and minimum bending moment acting on the part. The

limit state checks for crack formation, cross-section decompression, and construction

phase were verified to the conclusion that the part in the continuous condition is more

efficient. This is mainly due to the fact that the intermediate support significantly

reduces the bending moments in the spans and consequently the tensions in the cross

section.

Keywords: Prefabricated slabs. Prestressed concrete. Structural sizing. Prestressed rib. ________________________

¹ SILVA, Luiz Carlos França; Bacharel em Engenharia Civil pela Universidade Católica de Pernambuco

e Especialista em Estruturas de Concreto e Fundações, Universidade Estadual Paulista, Brasil.

[email protected]

² SIQUEIRA Jr., Silvandro Ferreira; Engenheiro Civil, Centro Universitário dos Guararapes, UNIFG,

Brasil.

[email protected]

mailto:[email protected]

3

INTRODUÇÃO

Nos edifícios de pequeno e médio porte é cada vez maior a importância dada

a versatilidade dos espaços interiores, sempre impostos pela concepção estrutural

que por sua vez depende sempre do binômio “vão-carga”. Como consequência tem-

se aparecido soluções estruturais mais eficientes que exploram as vantagens da

protensão no concreto aumentando a resistência dos materiais o que permite maiores

vãos.

O trabalho está organizado em três tópicos. No primeiro são apresentados os

conceitos básicos e algumas definições necessárias a esse tipo de sistema estrutural,

ressaltando principalmente as suas vantagens e desvantagens. No item seguinte e

com grande relevância é apresentado o dimensionamento da armadura de protensão

necessária para essa laje na condição biapoiada. De fundamental importância, este

pode ser aplicado para outros casos de vãos e carregamentos. No último item e com

maior relevância são apresentados os critérios de verificação para ambas as

condições. As verificações são feitas em relação aos maiores esforços nos quais a

peça está solicitada, caracterizando e discutindo seus respectivos resultados.

1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

As lajes pré-fabricadas já são bastante difundidas no Brasil, tendo sua principal

aplicação em obras de pequeno porte e prédios de poucos pavimentos. A partir do

projeto arquitetônico essas lajes são fabricadas com o tamanho desejado, sendo

comumente usadas para vencer vãos de 5,00 metros, o que vem sendo ultrapassado

conforme a adoção da técnica de protensão nas vigotas, conforme apresentado nesse

trabalho.

CAMPOSINHOS; NEVES (2005) definem esse tipo de sistema como

constituídos por nervuras pré-fabricadas (vigotas) dispostas paralelamente, sobre as

quais se apoiam unidades de aligeiramento (elementos de enchimento) em

abobadilhas ou blocos de cofragem (bloco de concreto, cerâmico ou de isopor), sendo

o conjunto solidarizado por um enchimento de betão (concreto) complementar com

função resistente. Seu esquema é apresentado conforme (figura 01).

4

Figura 01: Ligação da vigota penetrando no apoio.

Fonte: CAMPOSINHOS; NEVES. (2005).

Se tratando de algumas desvantagens desse sistema podemos citar DROPPA

Jr. (1999);

• em geral, não possuem um comportamento monolítico com o restante

da estrutura, o que pode ser inconveniente sob o ponto de vista do

contraventamento da edificação;

• as vigotas protendidas, dependendo do vão final da laje podem resultar

em elementos relativamente pesados, dificultando seu manuseio

durante a montagem.

Algumas das principais vantagens que caracterizam esse sistema e que entre

outras, comuns à pré-fabricação, são consideradas determinantes, de acordo com

CAMPOSINOS E NEVES (2005) são:

• o recurso a sistemas pré-fabricados contribui decisivamente para o

aumento da qualidade, implicando ações de racionalização e

mecanização e promovendo o aumento da competitividade;

• a produção das unidades pré-fabricadas é sempre feita em instalações

industriais e protegidas de condições climáticas, facilitando o controle

dos resíduos, da emissão de poluentes e de níveis de ruído, aspectos

ambientais que são difíceis de atender quando os mesmos componentes

são realizados em obra;

• a rigor a dimensão das peças produzidas é superior, permitindo uma

economia substancial no consumo dos materiais, designadamente nas

espessuras de recobrimento das armaduras;

5

• o transporte das peças pré-fabricadas, vigotas e elementos de

enchimento é simples e fácil, recorrendo a veículos de dimensões

correntes;

• os componentes pré-fabricados realizam o papel das formas para o

concreto complementar de enchimento;

• a montagem dos elementos pré-fabricados é fácil e rápida exigindo

escoramento relativamente reduzido;

• o sistema é tecnologicamente pouco exigente e é adaptável à mão-de-

obra pouco especializada.

2. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL

Neste item, apresenta-se em exemplo de cálculo de lajes formadas por

vigotas tipo trilho protendidas. Com o objetivo de mostrar o comportamento da laje

quando essa passa da situação simplesmente apoiada para a condição contínua,

será apresentado o roteiro de cálculo para ambas condições e suas respectivas

conclusões. Abaixo na (figura 02), apresenta-se ambas as situações.

Figura 02: Esquema da laje com vão simples e duplo (m).

Fonte: Elaborado pelos autores.

A primeira etapa no dimensionamento desse sistema é a determinação das

propriedades dos materiais. No Brasil, as estruturas em concreto armado e protendido

são regidas pela NBR 6118 (2014) “Projeto de estruturas de concreto –

Procedimento”, que em seu item 6, que trata das diretrizes de durabilidades das

6

estruturas de concreto e o item 8 que trata das propriedades dos materiais,

trabalhando simultaneamente apresentam os critérios necessários para suas

especificações. Abaixo segue as características dos materiais adotadas para o

dimensionamento em questão.

✓ Classe de agressividade ambiental: CAA III;

✓ Cobrimento nominal mínimo: Cmín = 1,5 cm;

✓ Resistência característica à compressão do concreto pré-fabricado: fck,pré = 40 Mpa;

✓ Resistência à compressão do concreto no ato da compressão (10 dias): fck,j = 25 Mpa;

✓ Resistência caracterísca à compressão da capa de concreto: fck,cap = 20 Mpa;

✓ Coeficiente de minoração da resistência do concreto: γc = 1,4;

✓ Resistência de cálculo à compressão do concreto: fcd =fck

γc;

✓ fcd,pré = 28,27 Mpa ; fcd,j = 17,85 Mpa ; fcd,cap = 14,28 Mpa;

✓ Resistência média a tração do concreto: fct,m = 0,30 fck2/3;

✓ fct,m,pré = 3,50 Mpa ; fct,m,j = 2,56 Mpa ; fct,m,cap = 2,20 Mpa;

✓ Resistência característica a tração inferior fctk,inf = 0,7 fct,m e superior fctk,sup = 1,3 fct,m;

✓ fctk,inf,pré = 2,45 Mpa ; fctk,inf,j = 1,79 Mpa ; fctk,inf,cap = 1,54 Mpa;

✓ fctk,sup,pré = 4,55 Mpa ; fctk,sup,j = 3,32 Mpa ; fctk,sup,cap = 2,86 Mpa;

✓ Módulo de elasticidade secante: Ecs = αi αE 5600 √fck ,

✓ αi = 0,90(C40), 0,86(C25), 0,85(C20); αE= 1,0;

✓ Ecs,pré = 31.875,75 Mpa ; Ecs,j = 24.080,00 Mpa ; Ecs,cap = 21.287,36 Mpa;

✓ Peso específico: γc = 25 kN/m²;

✓ Armadura ativa CP 175 (RN – Relaxação Normal);

✓ Fio de aço para protensão com de ϕ = 5 mm (adotado inicialmente);

✓ Resistência característica à tração da armadura ativa: fptk = 1750 Mpa;

✓ Resistência característica ao escoamento da armadura ativa (0,85fptk): fpyk = 1490 Mpa;

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✓ Módulo de elasticidade da armadura ativa: Ep = 200.000 Mpa;

✓ Armadura de continuidade passiva em aço CA50;

✓ Resistência à tração da armadura passiva: fyk = 500 Mpa;

✓ Coeficiente de minoração da resistência do aço: γs = 1,15;

✓ Resistência de cálculo à tração da armadura passiva: fyd =fyk

ys∴ fyd = 434,78 Mpa;

✓ Módulo de elasticidade da armadura passiva: Es = 210.000 Mpa;

Para a definição das dimensões da seção transversal foram consultados os

itens 13.2.4.2 da NBR 6118 (2014) “Projeto de estruturas de concreto - procedimento”

e a norma NBR 14859-1 (2002) “Laje pré-fabricada – Requisitos Parte 1: Lajes

unidirecionais”, que apresenta as diretrizes para o projeto de lajes nervuradas com

vigotas protendidas. Vale ressaltar que está define laje pré-fabricada em concreto

protendido como laje com seção usualmente em forma de um “T” invertido, com

armadura ativa pré-tensionada totalmente englobada pelo concreto da vigota. O

intereixo (i) mínimo para a vigota protendida é de 40 cm. Abaixo segue as dimensões

da seção transversal da laje (figura 03) e da vigota protendida (figura 04) para o

dimensionamento em questão.

Laje:

✓ Altura total: h = 0,13 m;

✓ Espessura da capa de concreto: hf = 0,05 m;

✓ Altura do elemento de enchimento: he = 0,08 m;

✓ Intereixo entre vigotas: i = 0,40 m;

✓ Bloco cerâmico: H8x27x30x20 (0,33 kN/m²);

✓ Vãos simples e duplos: 𝑙 = 5,00 m;

8

Figura 03: Seção transversal laje pré-fabricada (cm).


Vigota Protendida:

✓ Largura da vigota: bv = 0,13 m;

✓ Largura da alma da seção: bw = 0,05 m;

✓ Altura da vigota: hv = 0,10 m;

✓ Aba de encaixe horizontal: aeh = 0,04 m;

✓ Aba de encaixe vertical: aev = 0,035 e 0,03 m;

✓ Área da seção transversal da vigota: Avp = 7,60 10−3 m²;

✓ Momento de inércia da vigota: Ivp = 6,34 10−6 m4;

✓ Centro de gravidade: borda inferior: Yi,vp = 0,038 m e superior: Ys,vp = 0,062 m;

✓ Módulo de resistência à flexão: borda inferior: Wi,vp = 1,66 10−4m3 ; superior: Ws,vp =

1,02 10−4m3;

Figura 04: Seção transversal da vigota protendida


Os carregamentos foram determinados com base na NBR 6120 (2019), que

trata das cargas de cálculo de estruturas de edificações. Abaixo segue seu

levantamento.

✓ Peso próprio da vigota: g1 = Avp γc ∴ g1 = 7,60 10−3m² 25 kN/m3 ∴ g1 = 0,19 kN/m;

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✓ Capa de concreto: g2 = Ac,cap γc ∴ g2 = (0,40 0,05)m² 25 kN/m3 ∴ g2 = 0,50 kN/m;

✓ Material de enchimento (0,33 kN/m²) : g3 = 0,40 m 0,33 kN/m2 ∴ g3 = 0,13 kN/m;

✓ Revestimento e contra piso (1,5 kN/m²): g4 = 0,40 m 1,5 kN/m2 ∴ g4 = 0,60 kN/m;

✓ Carga acidental (2,5 kN/m²): q = 0,40 m 2,5 kN/m2 ∴ q = 1,00 kN/m;

✓ Sobrecarga de execução (1,0 kN/m²): qe = 0,40 m 1,0 kN/m2 ∴ qe = 0,40 kN/m;

Em relação ao estado limite último devido a ação do momento fletor as peças

de concreto protendido são dotadas das mesmas hipóteses básicas da teoria de

cálculo do concreto armado, porém como a armadura ativa sempre estará com uma

deformação inicial chamada de “pré-alongamento”, diferente do concreto armado

onde as deformações específicas do aço e do concreto são nulas. No

dimensionamento do concreto armado de uma maneira geral, é usual determinar a

armadura de longitudinal de flexão no ELU e depois verificar as condições de serviço.

No concreto protendido além dessa mesma metodologia é comum dimensionar a

armadura para atender a um estado limite (estado limite de fissuração ou deformação)

e depois verificar se há ou não ruptura (Quadro 01). Logo as peças de concreto

protendido diferenciam-se das peças em concreto armado por ser necessário a

realização de verificações e imposições de limites de tensões. A determinação da

armadura de protensão descrita a seguir segue o roteiro presente no livro “Estruturas

em Concreto Protendido” do autor Roberto Chust de Carvalho.

Quadro 01: Verificações para a determinação da quantidade da armadura longitudinal

Fonte: CARVALHO, (2014).

10

O momento fletor solicitante na nervura foi determinado considerando a mesma

como uma viga simplesmente apoiada, visto que se faz necessário que tenhamos a

mesa quantidade de armadura longitudinal para ambas as condições. Abaixo segue a

sua determinação.

Carregamento na nervura: p = ∑g1 + g2 + g3 + g4 + q = 2,42 kN/m;

Coeficiente de majoração de esforços: γf = 1,4;

Momento fletor de projeto: Md = γfp l2

8∴ Md = 1,4 2,42 kN/m (5,00 m)

2 8⁄ = 10,48 kNm

A definição da seção transversal de cálculo deve seguir os critérios de

geometria para seção “T”, conforme item 14.6.2.2 da NBR 6118 (2014) “Projeto de

estruturas de concreto - procedimento”.

Largura da mesa colaborante: bf = bw + 2 b1 = 5 cm + 2 . 15 cm = 35cm

b1 ≤ {0,10 a = 0,10 l = 0,10 500 cm = 50 cm (a = l, viga biapoiada)

0,50 b2 = 0,50 30 cm = 15cm

b2 = 40 cm − 10 cm = 30cm (largura entre faces da nervura)

Figura 05: Seção transversal de cálculo (cm).


Altura útil da seção: d = h − 0,017 m = 0,13 m − 0,017 m = 0,113 m. (0,017 m

= 0,015 m de cobrimento nominal mais a metade do diâmetro armadura longitudinal).

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KMD =Md

bf d2 fcd∴ KMD =

10,58 kNm

0,35 m (0,113 m)2 28,27 103kN/m²∴

KMD ≅ 0,08 {KX = 0,123KZ = 0,950εS = 10 ‰

Pela tabela 2.10 KMD 0,08 → KX = 0,123, com isso x = KX d ∴ x =

0,123 . 0,113 m ∴ x = 0,013 m

Como x = 0,013 m < hf = 0,05 m, a hipótese inicial é válida. A linha neutra

passa na mesa, logo a seção é retangular.

A determinação da tensão inicial na armadura de protensão devido a força Pi,

a tensão inicial de protensão que sai do aparelho de tração σpi deve ser limitada ao

menor dos valores abaixo.

σpi ≤ {0,77 fptk = 0,77 1750 Mpa = 1347,50 Mpa

0,90 fpyk = 0,90 1490 Mpa = 1341,00 Mpa

Logo a tensão inicial de protensão σpi = 1341,00 Mpa

As perdas de protensão serão estimadas conforme a proposta da norma

inglesa EN – 15037-1, apresentado no item perdas de protensão. Como a tensão

inicial de protensão foi dada por 0,90 fpyk, as perdas finais de protensão serão

estimadas em 22 %.

σp∞ = σpi (1 − ∆σ∞) ∴ σp∞ = 1341,00 Mpa (1 − 0,22) ∴ σp∞ = 1045,98 Mpa

A tensão final na armadura de protensão é dada em função da sua deformação

total εt = εp + εs. A deformação εs já foi determinada anteriormente. A deformação εp

e tensão final na armadura de protensão σp∞ a são obtidos por interpolação linear na

tabela de tensões em aços de protensão publicada por Vasconcelos (1980) e

apresentada no item tensão na armadura de protensão.

6,794 − 5,25

εp − 5,25=

1264 − 1025

1045,98 − 1025∴ εp = 0,185 + 5,25 ∴ εp = 5,43‰

εt = εp + εs ∴ εt = 5,43 ‰+ 10 ‰ ∴ εt = 15,43 ‰

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17,5 − 15

15,43 − 15=1397 − 1388

σpd − 1388∴ σpd = 0,00071 + 1388 ∴ σpd = 1388 Mpa

A armadura de protensão fica sendo dada por:

Ap =Md

KZ d σpd∴ Ap =

10,58kN/m

0,950 0,113m 1388 103kN/m²∴

Ap = {7,10 10−5m²

ou0,71 cm²

{

ϕ = 5 mm

Apϕ = 0,19 cm²

n = 4 fiosAp,efe = 0,76 cm²

Abaixo na figura, é apresentado o detalhe final da vigota protendida.

Figura 06: Seção transversal da vigota e alojamento das barras (cm).


3. CARACTERÍSITCAS GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO COMPOSTA

Na determinação das características geométricas considerando a seção

composta, é necessário realizar a homogeneização da seção. As dimensões

horizontais devem ser reduzidas por meio de um fator α dado pela relação entre o

módulo de elasticidade do concreto da capa com o concreto da vigota no caso da laje,

e para a vigota a relação entre módulo de elasticidade do aço e do seu respectivo

concreto.

Para a laje pré-fabricada o fator α para esse caso é dado por:

α1 =Ecs,cap

Ecs,pré∴ α1 =

21.287,36 Mpa

31.875,75 Mpa∴ α1 = 0,66

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A seção transversal de cálculo para a seção homogeneizada e suas respectivas

características geométricas são:

Figura 07: Seção transversal de cálculo homogeneizada (cm).


✓ Área da seção transversal: ALH = 7,24 10−3 m²;

✓ Momento de inércia: ILH = 3,11 10−5 m4;

✓ Centro de gravidade: borda inferior: Yi,LH = 0,074 m e superior: Ys,LH = 0,055 m;

✓ Módulos de resistência à flexão:

✓ Borda inferior: Wi,LH = 4,20 10−4m3 e borda superior: Ws,LH = 5,65 10−4m3;

Para a vigota protendida o fator α para esse caso é dado por:

α2 =Es

Ecs,pré∴ α2 =

210.000 Mpa

31.875,75 Mpa∴ α2 = 6,58

As características geométricas para a seção homogeneizada da vigota são:

✓ Área de armadura protendida: Ap = 7,10 10−5m²;

✓ Área líquida de concreto: ACVP = AVP − AP ∴ ACVP = 7,52 10−3 m²;

✓ Área da seção homogeneizada da vigota: AHVP = ACVP + α2AP ∴ AHVP = 7,98 10−3 m2;

✓ Centro de gravidade de Ap: borda inferior: Yi,Ap = 0,0325 m e superior: Ys,Ap = 0,0675 m;

✓ Centro de gravidade em relação a seção líquida de concreto:

✓ Borda inferior: Yi,CVP =Yi,VP AVP – Yi,Ap Ap

ACVP∴ Yi,CVP = 0,038 m;

14

✓ Borda superior: Ys,CVP = 0,062 m;

✓ Centro de gravidade em relação a seção homogeneizada:

✓ Borda inferior: Yi,HVP =Yi,Cvp Acvp+α2 Yi,Ap Ap

AHVP∴ Yi,HVP = 0,037 m;

✓ Borda superior: Ys,HVP = 0,063 m;

✓ Momento de inércia da armadura protendida: IAP = 3,33 10−8 m4;

✓ Momento de inércia da seção líquida de concreto: Icvp = IVP − IAP ∴ IC = 6,30 10−6 m4;

✓ Momento de inércia da seção homogeneizada: IHVP=ICVP + α2IAp ∴ IHVP = 6,51 10−6 m4;

✓ Módulos de resistência à flexão em relação a seção líquida de concreto:

✓ Borda inferior: Wi,CVP = 1,657 10−4 m3 e superior: Ws,CVP = 1,016 10−4 m3;

✓ Módulos de resistência à flexão em relação a seção homogeneizada:

✓ Borda inferior: Wi,HVP = 1,759 10−4 m3 e superior: Ws,HVP = 1,033 10−4m3;

Logo a excentricidade ep da armadura protendida, estando essa abaixo do

centroide da seção, em relação a área líquida de concreto é dada por:

ep = Yi,CVP − Yi,Ap ∴ ep = 0,038 m − 0,0325 m ∴ ep = −0,0055 m (0,55 cm)

4. VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES

4.1 Verificação das Tensões em Vazio

Essa verificação é caracterizada pela protensão máxima que estará atuando

na vigota (tensão de protensão no tempo zero – após decorridas as perdas iniciais),

pelo carregamento mínimo (apenas o peso próprio da viga) e considerando o concreto

com resistência fck,j.

Considerando os critérios da NBR 6118 (2014), temos conforme abordado

anteriormente os seguintes limites:

{limite de tração: − 1,2 fct,m,j = − 3.070,00 kN/m²

limite de compressão: + 0,7fck,j = + 17.500,00 kN/m²

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Antes de determinar as tensões normais na seção transversal da vigota é

necessário conhecer o valor da força normal de protensão que ocorre imediatamente

após a liberação da protensão ainda na pista de concretagem. As perdas imediatas

devidas ao escorregamento dos fios na ancoragem, relaxação inicial da armadura,

retração inicial e deformação imediata do concreto serão estimadas em 5% do valor

da tensão inicial de protensão.

σto = 0,95 1341,00 Mpa ∴ σto = 1273,95 Mpa

Com o valor dessa tensão determinamos a força normal “NP” dada por:

NP = σto Ap,efe ∴ NP = 1273,95 103 kN/m2 0,76 10−4m² ∴ NP = 96,82 kN

Conforme apresentado no item “verificações” as tensões normais na seção

transversal das peças serão determinadas com base nas equações clássicas da

resistência dos materiais.

σs =Np

ACVP−Np ep

Ws,CVP±

M

Ws,CVP

σi =Np

ACVP+Np ep

Wi,CVP∓

M

Wi,CVP

O diagrama de estado de carga e de momentos fletores para a situação em

vazio (apenas peso próprio) está apresentado na figura 08.

Figura 08: Estado de carga e diagrama de momentos fletores (kNm/m).


16

Assim as tensões na borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:

σs =96,82 kN

7,52 10−3 m²−96,82 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3+

0,59 kN/m

1,016 10−4 m3∴ σs = +13.440,84 kN/m²

σi =96,82 kN

7,52 10−3 m²+96,82 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3−

0,59 kN/m

1,657 10−4 m3∴ σi = +12.528,04 kN/m²

Com os valores acima é possível perceber que os limites (− 3.070,00 kN/m²) e

(+ 17.500,00 kN/m²) não são ultrapassados pelas tensões (+13.440,84 kN/m²) e

(+12.528,04 kN/m²) no estado em vazio, como isso pode-se afirmar que a peça está

verificada no ato de sua protensão.

4.2 Verificações nos Estados Limites de Serviço

As verificações de tensões no tempo infinito (após decorridas todas as perdas

de protensão) tem o objetivo de verificar as tensões perante o carregamento total e

acidental parcial, considerando a resistência característica do concreto. Para a classe

de agressividade III, por meio de tabela, extraída da NBR 6118 (2014), a protensão

pode ser classificada como limitada ou completa, ficando a critério do projetista o nível

a ser considerado. Para esse trabalho será considerado o nível de protensão limitada.

Devendo ser verificada as condições representadas na tabela 01.

Tabela 01: Condições a serem verificadas.

Fonte: adaptado da NBR 6118 (2014).

Cada verificação será realizada para a laje na condição biapoiada e na

condição contínua. Abaixo quadro com os respectivos valores de momento fletor

17

característico para a vigota na condição biapoiada e contínua. Os valores dos

momentos fletores estão apresentados na tabela 02 abaixo.

Tabela 02: Quadro de carregamentos e momentos fletores.


4.3 Verificação no ELS-F (Estado Limite de Formação de Fissuras)

A NBR 6118 (2014) em seu item 17.3.1 estabelece que o valor da tensão de

tração a ser usada na verificação ligada à fissuração é o valor de fctj,inf e a relação

entre a tensão de tração na flexão e a tração direta é dada por meio do coeficiente α,

apresentado no item estado limite de serviço. Considerando os critérios da norma,

temos os seguintes limites:

{limite de tração: − α (1,5) fctk,inf = − 3.675,00 kN/m²

limite de compressão: + 0,7fck = + 28.000,00 kN/m²

Por se tratar de uma verificação em serviço, para a determinação da força de

protensão “NP” deve-se utilizar a tensão no tempo infinito σp∞ = 1045,98 Mpa. Com o

valor dessa tensão determinamos a força normal “NP” dada por:

18

NP = σt∞ Ap,efe ∴ NP = 1045,98 103 kN/m2 0,76 10−4m² ∴ NP = 79,49 kN

A combinação a ser utilizada é a combinação frequente de serviço. Supondo

que no local haja a predominância de pesos de equipamentos que permaneçam fixos

por longos períodos de tempo ou elevada concentração de pessoas (a exemplo de

edifícios comerciais, escritórios, etc.), o coeficiente ψ1 = 0,6 e ψ2 = 0,4 .O esforço de

projeto conforme item 11.8.2.4 da NBR 6118 (2014) que trata das combinações usuais

é dada por:

Fd,serviço =∑Fgik + ψ1 Fq1k +∑ ψ2j Fqjk

Nas combinações frequentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada

com seu valor frequente ψ1 Fq1 e todas as demais ações variáveis que venham a

existir são tomadas com seus valores quase permanentes ψ2 Fqj. Para o nosso caso

o momento fletor de projeto é dado por:

M =∑Mg + (ψ1Mq)

Para a vigota na condição biapoiada com o vão 𝑙=5,00 metros, teremos dois

valores de momento fletor. Um para os esforços de flexão que atuam antes da

solidarização dos concretos "M1" e outro para os esforços de flexão que atuam após

a solidarização do concreto "M2". Para a situação de momento mínimo a carga

acidental q é considerada inexistente.

M1 =∑(Mg1 +Mg2 +Mg3)kNm ∴ M1 = 2,56 kNm

M2 =∑(Mg4 + ψ1 Mq )kNm ∴ M2 = 3,75 kNm




19

σs =Np

ACVP−Np ep

Ws,CVP±

M1

Ws,HVP±

M2

Ws,LH

σi =Np

ACVP+Np ep

Wi,CVP∓

M1

Wi,HVP∓

M2

Wi,LH


Situação de momento máximo:

σs =79,49 kN

7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3+

2,56 kNm

1,033 10−4 m3+3,75 kNm

5,65 10−4 m3∴

σs = +37.686,73 kN/m²

σi =79,49 kN

7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3−2,56 kNm

1,759 10−4 m3−3,75 kNm

4,20 10−4 m3∴

σi = −10.273,34 kN/m²


(+ 28.000,00 kN/m²) são ultrapassados pelas tensões (−10.273,34 kN/m²) e

(+37.686,73 kN/m²) no estado em serviço de verificação de formação de fissuras para

a situação de máximo momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura em uso. Com

isso pode-se afirmar que a peça não está verificada em relação a fissuração na

condição biapoiada com vão de 5,00 metros.

Situação de momento mínimo:

σs =79,49 kN

7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3+

2,56 kNm

1,033 10−4 m3+1,88 kNm

5,65 10−4 m3∴

σsσs = +34.376,99 kN/m²

σi =79,49 kN

7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3−2,56 kNm

1,759 10−4 m3−1,88 kNm

4,20 10−4 m3∴

σi = −5.820,96 kN/m²

20




a situação de mínimo momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura sem a

sobrecarga acidental. Com isso pode-se afirmar que a peça não está verificada em

relação a fissuração na condição biapoiada com vão de 5,00 metros.

Para a vigota na condição contínua com vãos duplos de 𝑙=5,00 metros, nesse

caso também teremos dois valores de momento fletor. Um para os esforços de flexão

que atuam antes da solidarização dos concretos "M1" e outro para os esforços de

flexão que atuam após a solidarização do concreto "M2". Para a situação de momento

mínimo a carga acidental q é considerada inexistente.

M1 =∑(Mg1 +Mg2 +Mg3)kNm ∴ M1 = 1,44 kNm

M2 =∑(Mg4 + ψ1 Mq )kNm ∴ M2 = 2,10 kNm



σs =79,49 kN

7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3+

1,44 kNm

1,033 10−4 m3+2,10 kNm

5,65 10−4 m3∴

σs = +23.924,17 kN/m²

σi =79,49 kN

7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3−1,44 kNm

1,759 10−4 m3−2,10 kNm

4,20 10−4 m3∴

σi = −217,37 kN/m²


(+ 28.000,00 kN/m²) não são ultrapassados pelas tensões (−217,37 kN/m²) e

(+23.924,17 kN/m²) no estado em serviço de verificação de formação de fissuras

para a situação de máximo momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura em uso.

21

Com isso pode-se afirmar que a peça está verificada em relação a fissuração na

condição contínua com vãos duplos de 5,00 metros.


σs =79,49 kN

7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3+

1,44 kNm

1,033 10−4 m3+1,05 kNm

5,65 10−4 m3∴

σs = +22.065,76 kN/m²

σi =79,49 kN

7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3−1,44 kNm

1,759 10−4 m3−1,05 kNm

4,20 10−4 m3∴

σi = −2.522,48 kN/m²




a situação de mínimo momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura sem a

sobrecarga acidental. Com isso pode-se afirmar que a peça está verificada em relação

a fissuração na condição contínua com vãos duplos de 5,00 metros.

4.4 . Verificação no ELS-D (Estado Limite de Descompressão)

O estado limite de descompressão de acordo com o item 3.2 da NBR 6118

(2014) é definido como o estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal

a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da seção.

Considerando os critérios da norma, temos os seguintes limites:

{limite de tração: σ = 0

limite de compressão: + 0,7fck = + 28.000,00 kN/m²

22

Por se tratar de uma verificação em serviço a força de protensão “NP” a ser

utilizada é a dada pela tensão no tempo infinito σp∞ = 1045,98 Mpa conforme o item

anterior, sendo NP = 79,49 kN.

A combinação a ser utilizada é a combinação quase permanente de serviço.

Supondo que no local haja a predominância de pesos de equipamentos que

permaneçam fixos por longos períodos de tempo ou elevada concentração de

pessoas (a exemplo de edifícios comerciais, escritórios, etc.), o coeficiente ψ1 =

0,6 e ψ2 = 0,4 .O esforço de projeto conforme tabela 2.14 extraída da NBR 6118

(2014) é dado por:

Fd,serviço =∑Fgik +∑ ψ2j Fqjk

Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações são tomadas

com seus valores quase permanentes ψ2 Fqj. Para o nosso caso o momento fletor de

projeto é dado por:

M =∑Mg + (ψ2Mq)

Para a vigota na condição biapoiada com o vão 𝑙=5,00 metros, teremos dois

valores de momento fletor. Um para os esforços de flexão que atuam antes da

solidarização dos concretos "M1" e outro para os esforços de flexão que atuam após

a solidarização do concreto "M2". Para a situação de momento mínimo a carga

acidental q é considerada inexistente.

M1 =∑(Mg1 +Mg2 +Mg3)kNm ∴ M1 = 2,56 kNm

M2 =∑(Mg4 + ψ2 Mq )kNm ∴ M2 = 3,13 kNm




23

σs =Np

ACVP−Np ep

Ws,CVP±

M1

Ws,HVP±

M2

Ws,LH

σi =Np

ACVP+Np ep

Wi,CVP∓

M1

Wi,HVP∓

M2

Wi,LH



σs =79,49 kN

7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3+

2,56 kNm

1,033 10−4 m3+3,13 kNm

5,65 10−4 m3∴

σs = +36.589,38 kN/m²

σi =79,49 kN

7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3−2,56 kNm

1,759 10−4 m3−3,13 kNm

4,20 10−4 m3∴

σi = −8.797,15 kN/m²

Com os valores acima é possível perceber que os limites (σ = 0) e


(+36.589,38 kN/m²) no estado limite de descompressão para a situação de máximo

momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura em uso. Com isso pode-se afirmar

que a peça não está verificada em relação a descompressão na condição biapoiada

com vão de 5,00 metros, pois há tensões de tração na seção transversal.


σs =79,49 kN

7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3+

2,56 kNm

1,033 10−4 m3+1,88 kNm

5,65 10−4 m3∴

σs = +34.376,99 kN/m²

σi =79,49 kN

7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3−2,56 kNm

1,759 10−4 m3−1,88 kNm

4,20 10−4 m3∴

24

σi = −5.820,96 kN/m²



(+34.376,99 kN/m²) no estado limite de descompressão para a situação de mínimo

momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura sem sobrecarga acidental. Com isso

pode-se afirmar que a peça não está verificada em relação a descompressão na

condição biapoiada com vão de 5,00 metros, pois há tensões de tração na seção

transversal.

Para a vigota na condição contínua com vãos duplos de 𝑙=5,00 metros, nesse

caso também teremos dois valores de momento fletor. Um para os esforços de flexão

que atuam antes da solidarização dos concretos "M1" e outro para os esforços de

flexão que atuam após a solidarização do concreto "M2". Para a situação de momento

mínimo a carga acidental q é considerada inexistente.

M1 =∑(Mg1 +Mg2 +Mg3)kNm ∴ M1 = 1,44 kNm

M2 =∑(Mg4 + ψ1 Mq )kNm ∴ M2 = 1,75 kNm



σs =79,49 kN

7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3+

1,44 kNm

1,033 10−4 m3+1,75 kNm

5,65 10−4 m3∴

σs = +23.304,70 kN/m²

σi =79,49 kN

7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3−1,44 kNm

1,759 10−4 m3−1,75 kNm

4,20 10−4 m3∴

σi = +855,81 kN/m²

25


(+ 28.000,00 kN/m²) não são ultrapassados pelas tensões (+855,81 kN/m²) e

(+23.304,70 kN/m²) no estado limite de descompressão para a situação de máximo

momento fletor atuante, ou seja, com a estrutura em uso. Com isso pode-se afirmar

que a peça está verificada em relação a descompressão na condição contínua com

vãos duplos de 5,00 metros, pois não há tensões de tração na seção transversal.


σs =79,49 kN

7,52 10−3 m2−79,49 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3+

1,44 kNm

1,033 10−4 m3+1,05 kNm

5,65 10−4 m3∴

σs = +22.065,76 kN/m²

σi =79,49 kN

7,52 10−3 m2+79,49 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3−1,44 kNm

1,759 10−4 m3−1,05 kNm

4,20 10−4 m3∴

σi = −2.522,48 kN/m²

Com os valores acima é possível perceber que o limite (σ = 0) é ultrapassado

pela tensão (−2.522,48 kN/m²) na borda inferior no estado limite de descompressão

para a situação de mínimo momento fletor atuante, ou seja, há tensões de tração na

seção transversal. Em relação ao limite (+ 28.000,00 kN/m²), esse é respeitado pela

tensão (+22.065,76 kN/m²) não havendo tensões de tração na borda superior. Com

isso pode-se afirmar que a peça não está verificada em relação a descompressão na

condição contínua com vãos duplos de 5,00 metros, pois não há tensões de tração na

seção transversal.

4.5 . Verificação da Vigota Durante a Fase de Construção

Durante essa fase a vigota deve ser capaz de absorver os seguintes

carregamentos; peso próprio, peso do concreto moldado no local, peso do material de

enchimento e principalmente o peso da sobrecarga de execução que conforme a

26

norma espanhola já apresentada anteriormente deve ser de 1kN/m². Além disso o

coeficiente de segurança global γf não pode ser menor que 1,2. As verificações para

a fase de construção serão realizadas considerando a força de protensão P0, sendo o

mais correto utilizar a força considerando as perdas de protensão até a fase de

execução da laje. O valor dessa força já foi determinado anteriormente na verificação

do estado em vazio, sendo: NP = 96,82 kN.

Para os limites de tensões, levando em consideração estar a favor da

segurança serão considerados os mesmos da verificação em vazio, sendo dados por:

{limite de tração: − 1,2 fct,m,j = − 3.070,00 kN/m²

limite de compressão: + 0,7fck,j = + 17.500,00 kN/m²

Conforme a recomendação de CARVALHO (2017) o espaçamento máximo

entre escoras deve ser de no máximo 2 metros o que condiz também com as

recomendações emitidas por ALMEIDA (1998) e, onde se utiliza a relação de vãos

para escoramento de 0,4l – 0,2l – 0,4l. A tabela abaixo apresenta os valores de

momentos fletores máximo. Os valores dos momentos fletores para ambas as

condições estão na tabela 03 abaixo.

Tabela 03: Quadro de carregamentos e momentos fletores na fase construtiva.





27

σs =Np

ACVP−Np ep

Ws,CVP±

M

Ws,HVP

σi =Np

ACVP+Np ep

Wi,CVP∓

M

Wi,HVP

Para a vigota na condição biapoiada com o vão 𝑙=5,00 metros, as tensões na

borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:

σs =96,82 kN

7,52 10−3 m2−96,82 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3−1,2 0,39 kNm

1,033 10−4 m3∴ σs = +3.103,26 kN/m²

σi =96,82 kN

7,52 10−3 m2+96,82 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3+1,2 0,39 kNm

1,759 10−4 m3∴ σi = +18.749,30 kN/m²



(+18.749,30 kN/m²). Com isso pode-se afirmar que a peça está verificada em relação

a fase construtiva na condição biapoiada com vão de 5,00 metros e duas linhas de

escoramento.

Para a vigota na condição contínua com vãos duplos de 𝑙=5,00 metros, as

tensões na borda superior e inferior da viga ficam sendo dadas por:

σs =96,82 kN

7,52 10−3 m2−96,82 kN 0,0055 m

1,016 10−4 m3−1,2 0,42 kNm

1,033 10−4 m3∴ σs = +2.754,76 kN/m²

σi =96,82 kN

7,52 10−3 m2+96,82 kN 0,0055 m

1,657 10−4 m3+1,2 0,42 kNm

1,759 10−4 m3∴ σi = +18.953,30 kN/m²



(+18.953,30 kN/m²). Com isso pode-se afirmar que a peça está verificada em relação

a fase construtiva na condição contínua com vãos duplos de 5,00 metros e duas linhas

de escoramento em cada vão.

28

CONCLUSÃO

Neste trabalho procurou-se fazer uma avaliação do comportamento estrutural

de lajes pré-fabricadas formadas por vigotas tipo trilho protendidas mediantes os

critérios de projeto propostos pelas principais normas técnicas relativas ao assunto.

Esse estudo foi realizado por meio da comparação entre uma laje na condição

biapoiada e outra na condição contínua. Os vãos utilizados foram simples e duplos de

5,00 metros.

O dimensionamento de uma laje usual com carregamentos e vãos

relativamente usuais foi realizado com base nos critérios apresentados e iniciou-se as

verificações necessárias em relação aos estados limites de serviço. Foram realizadas

as verificações relativas ao ELS-F (estado limite de formação de fissuras), ELS-D

(estado limite de descompressão) e fase de construção. Todas essas verificações

foram realizadas para a condição biapoiada e contínua e para o máximo e o mínimo

momento fletor em toda a peça. A partir disso, fez-se a análise teoria dos resultados

das tensões normais atuantes na seção transversal mais solicitada, chegando às

seguintes conclusões:

✓ Para a verificação da vigota isolada no estado em vazio com vão de 5,00

metros não há problemas em relação aos limites de tensões normais de

tração e compressão impostos pela norma.

✓ Em relação ao estado limite de formação de fissuras, a vigota biapoiada

com vão de 5,00 metros apresentou valores que ultrapassaram os limites

estabelecidos de tensões normais, tanto para a situação de máximo como

para a situação de mínimo momento fletor. Esse problema pode ser

resolvido de algumas maneiras, como por exemplo: a) Utilizar armadura

passiva para controlar as tensões de tração existentes. b) Diminuir a

armadura de protensão de modo que não haja tensão ou que seu valor seja

limitado. c) Utilizar armadura de protensão na zona tracionada. d) Aumentar

o fck do concreto. Para a vigota na condição contínua, com vãos duplos de

5,00 metros, na seção mais solicitada as tensões normais não

ultrapassaram os limites estabelecidos pela norma, o que garante que

nessa condição não há possibilidade de formação de fissuras. Isso pode se

29

dá ao fato de uma melhor redistribuição dos momentos fletores ao longo da

peça.

✓ Para o estado limite de descompressão a vigota biapoiada com vão de 5,00

metros também apresentou valores que ultrapassaram os limites

estabelecidos de tensões normais, tanto para a situação de máximo como

para a situação de mínimo momento fletor. Esse problema pode ser

resolvido com um aumento do fck do concreto. Para a vigota na condição

contínua, com vãos duplos de 5,00 metros, na seção mais solicitada apenas

na situação de momento fletor mínimo temos a existência de tensões de

tração, porém não muito elevadas que podem ser corrigidas com o emprego

de armadura passiva.

✓ Em relação a verificação na fase construtiva ambas as vigotas atenderam

os limites de tensões estabelecidos. Não apresentando tensões normais de

tração ou compressão excessivas, para o caso de utilização de duas linhas

de escoras.

Uma verificação prévia realizada com a diminuição da armadura de protensão

e uma nova verificação pode ser feita para diminuir as tensões normais na seção

transversal da vigota biapoiada. Porém seria necessário também uma verificação de

sua segurança em relação ao estado limite último de solicitações normais e

tangenciais. A elaboração de um quadro com os vãos máximos possíveis de serem

atingidos respeitando os critérios dos estados limites de serviços e últimos também

pode ser apresentado. Uma outra verificação que pode ser realizada e não menos

importante que poderia ser feita diz respeito a verificação de transporte e montagem

da viga, tendo em vista que se trata de um elemento pré-fabricado que irá ser

produzido em um outro local diferente de sua utilização.

30

REFERÊNCIAS

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Estruturas de Concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2014a. 238 p.

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fabricada - Requisitos. Parte 1 - Lajes Unidirecionais. Rio de Janeiro, 2002. 16 p.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: Ações para o

cálculo de Estrutura de edificações - Procedimento. Rio de Janeiro, 2019. 66 p.

CARVALHO, Roberto Chust. Estruturas em Concreto Protendido: Pré-tração - Pós

tração - Cálculo e detalhamento. 2 ed, Pini, 2017. 448 p.

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CAMPOSINHOS, Rui de Souza; NEVES, Afonso Serra. Lajes Aligeiradas com

Vigotas Pré-Tensionadas. Porto: Feup Edições, 2005. 273 p.

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Ejecución de Forjados Unidireccionales de Hormigón Armado e Pretensado.

DROPPA JUNIOR, A. Análise estrutural de lajes formadas por elementos pré-

moldados tipo vigota com armação treliçada. Dissertação (Mestrado). Escola de

Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, SP. 1999.

MERLIN, Andrei José. Momentos Fletores Negativos nos Apoios de Lajes

Formadas por Vigotas de Concreto Protendido. 2002. 156 f. Dissertação

(Mestrado) - Curso de Engenharia Civil, Engenharia de Estruturas, Escola de

Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, São Carlos, 2002.

VASCONCELOS, Augusto Carlos de. Manual Prático para a Correta Utilização dos

Aços no Concreto Protendido: Em obediência as normas atualizadas. Ltc, 1980. 64

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ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE LAJES NERVURADAS PRÉ ... · ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE LAJES NERVURADAS PRÉ-FABRICADAS COM VIGOTA TIPO TRILHO PROTENDIDA NA CONDIÇÃO BIAPOIADA E