Embed Size (px)
Citation preview
ANKARA ÜN·IVERS·ITES·IFEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ
DOKTORA TEZ·I
B·INOM KATSAYILARININ D·IZ·ISEL GENELLEST·IRMELER·I
·Ilker AKKUS
MATEMAT·IK ANAB·IL·IM DALI
ANKARA2011
Her hakk¬ sakl¬d¬r
TEZ ONAYI
·Ilker AKKUS taraf¬ndan haz¬rlanan "B·INOMKATSAYILARININD·IZ·ISELGENELLEST·IRMELER·I " adl¬tez çal¬smas¬ 09/03/2011 tarihinde asa¼g¬dakijüri taraf¬ndan oy çoklu¼gu / oy birli¼gi ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri En-stitüsü Matematik Anabilim Dal¬�nda DOKTORATEZ·I olarak kabul edilmistir.
Dan¬sman: Prof. Dr. Ali Bülent EK·IN
Jüri Üyeleri:
Baskan: Prof. Dr. Adnan TERCANHacettepe Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü
Üye: Prof. Dr. Sait HALICIO¼GLUAnkara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü
Üye: Prof. Dr. Ali Bülent EK·INAnkara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü
Üye: Doç. Dr. Emrah KILIÇTOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü
Üye: Doç. Dr. Erdal GÜNERAnkara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü
Yukar¬daki sonucu onaylar¬m
Prof. Dr. Özer KOLSARICIEnstitü Müdürü
ÖZET
Doktora Tezi
B·INOM KATSAYILARININ D·IZ·ISEL GENELLEST·IRMELER·I
·Ilker AKKUS
Ankara ÜniversitesiFen Bilimleri EnstitüsüMatematik Anabilim Dal¬
Dan¬sman: Prof. Dr. Ali Bülent EK·IN
1999 y¬l¬nda R.S. Melham taraf¬ndan yap¬lan bir çal¬smada, say¬lar teorisinde çok iyibilinen Fibonacci ve Lucas say¬lar¬n¬n kuvvetlerinin toplamlar¬yla ilgili özdesliklerbulundu. Melham bu çal¬smas¬nda yeni özdeslikler elde ederken, Fibonacci ve Lucassay¬lar¬yla ifade edilen ilginç bir konjektür de ortaya att¬.
Bu çal¬smada Melham�¬n ifade etti¼gi bu konjektürü ele ald¬k. Azalan Fibonaccifaktöryellerle ifade edilen konjektürü �bonomialler cinsinden tekrar yazd¬ktan sonraq�toplam a dönüstürdük ve bu q�toplam¬da çevre integrali yard¬m¬yla hesapla-yarak konjektürün ispat¬n¬yapt¬k.
Daha sonra yine bu Melham konjektürünü, Fibonacci ve Lucas say¬lar¬n¬n indis-leri bak¬m¬ndan ele ald¬k. Bu �kir bize r�Fibonomial kavram¬n¬n¬n ortaya ç¬k-mas¬n¬ sa¼glad¬. Böylece Melham konjektürünün bir genellestirilmesini elde ettik.Genellestirdi¼gimiz bu ifadeyi de q�binom katsay¬lar¬yla yeniden ifade ettikten sonrabasit kesirlere ay¬rma yöntemiyle ispat ettik ki asl¬nda bu yöntem birinci ispat yön-teminde kulland¬¼g¬m¬z çevre integralinden daha basit bir metoddur.
Mart 2011 , 23 sayfaAnahtar Kelimeler: Fibonacci say¬lar¬, �bonomyal katsay¬lar, Melham konjek-türü, q�binom katsay¬lar¬, çevre integrali.
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
THE RECURSIVE GENERALIZATION OF THE BINOMIAL COEFFICIENTS
·Ilker AKKUS
Ankara UniversityGraduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Ali Bülent EK·IN
In 1999, R.S. Melham derived families of identities between sums of powers of thewell known Fibonacci and Lucas numbers in number theory. In his work, whilederiving these identities, he conjectured an interesting identity among the Fibonacciand Lucas numbers.
In this thesis, we consider the Melham�s conjecture. After rewriting it by using�bonomial coe¢ cients instead of the "falling Fibonacci factorial", we prove theconjecture by evaluating a certain q�sum using contour integration.
It is natural to consider, the conjecture of Melham by using indices in arithmeticprogression for both, the Fibonacci and the Lucas instance. This idea leads us tointroduce the notion which is called r�Fibonomial. Thus, we give a generalizationof the Melham�s conjecture, and after restating it in terms of Gaussian q�binomialcoe¢ cients, we prove it by using partial fractional decomposition method that iseven simpler than the contour integration given in the earlier proof (although it isessentially equivalent).
March 2011 , 23 pagesKey Words: Fibonacci numbers, �bonomial coe¢ cients, Melham�s conjecture,q�binomial coe¢ cients, contour integration.
ii
TESEKKÜR
Çal¬smalar¬m boyunca beni her zaman destekleyen, motive eden ve konulara farkl¬aç¬lardan bakmam¬sa¼glayan Dan¬sman Hocam Say¬n Prof. Dr. Ali Bülent EK·IN�e(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü), bu konuda çal¬sma f¬rsat¬n¬sunan ve çal¬smalar¬m süresince yak¬n ilgi ve deste¼gini hiç esirgemeyen Say¬n Doç.Dr. Emrah KILIÇ�a (TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Fen Edebiyat Fakül-tesi Matematik Bölümü) en derin sayg¬lar¬m¬ve tesekkürlerimi sunmay¬bir borçbilirim.
Ayr¬ca maddi ve manevi olarak her zaman yan¬mda olan aileme de sayg¬ve sevgi-lerimi sunar¬m.
Herkese tesekkürler!
·Ilker AKKUSAnkara, Mart 2011
iii
·IÇ·INDEK·ILER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TESEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1. G·IR·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. MELHAM KONJEKTÜRÜ VE ·ISPATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 Melham Konjektürü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Melham Konjektürünün ·Ispat¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. MELHAM KONJEKTÜRÜNÜN GENELLEST·IR·ILMES·I 16
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ÖZGEÇM·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
iv
1. G·IR·IS
Say¬lar teorisinin en ilginç konular¬ndan birisi Fibonacci ve Lucas say¬lar¬d¬r. Leonardo
of Pisa (Fibonacci) nin 1202 y¬l¬nda Liber Abaci ismiyle bas¬lan kitab¬nda basit bir
tavsan problemi olarak ele al¬nan bu say¬dizisinin bugüne kadar birçok ilginç özel-
likleri ortaya ç¬kar¬lm¬s ve her geçen gün yeni özellikleri ve di¼ger birçok matematiksel
yap¬larla olan ilgisi de ç¬kar¬lmaya devam edilmektedir.
Binom katsay¬lar¬ve onlar¬n birçok özellikleri de kombinatoryal teori kapsam¬nda
incelenmekte olup son zamanlarda bu katsay¬lar¬n yeni bir genellestirmesi tan¬mlan-
m¬st¬r. Bu yeni genellestirmedeki ana �kir ise n do¼gal say¬s¬n¬n yerine bir dizinin n:
teriminin al¬nmas¬d¬r. Bu dizinin Fibonacci dizisi al¬nmas¬durumunda ise bu yeni
genellestirmenin ad¬na Fibonomyal katsay¬lar ad¬verilmistir ve böylece Fibonacci
dizisinin özelliklerine zenginlik katmaya devam etmektedir. Bu çal¬smam¬zda da
�bonomyal katsay¬lar ve onlar¬n yeni özelliklerini incelemek ve bunlar¬ literatüre
kazand¬rmak oldukça önem arz etmektedir.
Fibonacci ve Lucas say¬lar¬, �bonomyal katsay¬lar ve baz¬ ilginç özdesliklerin ele
al¬nd¬¼g¬ en kapsaml¬ çal¬smalardan birisi V.E. Hoggatt (1967) taraf¬ndan yap¬lan
"Fibonacci Numbers and Generalized Binomial Coe¢ cients" isimli çal¬smad¬r. Bu
konu birçok yazar taraf¬ndan da çal¬s¬lm¬st¬r (Jarden ve Motzkin 1949, Jarden 1958,
Torreto ve Fuchs 1964, Horadam 1965, Gould 1969, Lind 1971, Long 1986, Prodinger
1997, Seibert ve Trojovsky 2005, Trojovsky 2007, Andersen ve Berg 2009). Ancak
bizim çal¬smam¬za temel teskil eden yay¬n R.S. Melham (1999) taraf¬ndan yap¬lan
çal¬smad¬r. Melham bu çal¬smas¬nda Fibonacci ve Lucas say¬lar¬ve de bunlar¬n bi-
nomyal genellestirilmelerini içeren baz¬özdeslikler elde etmis, çal¬smas¬n¬n sonunda
da bunlarla ilgili bir konjektür ortaya atm¬st¬r. Biz bu çal¬smada ilk önce bu konjek-
türü ispat edece¼giz. ·Ispat yolumuz ise üç asamadan olusacak. ·Ilk önce Melham�¬n
konjektürünü �bonomyal katsay¬lar cinsinden yazarak yeniden ifade edece¼giz. ·Ikinci
olarak, elde etti¼gimiz bu yeni ifadeyi q � toplam a dönüstürece¼giz. Son asamada
ise elde edilen bu q� toplam ifadesini çevre integrali yard¬m¬yla hesaplayarak ispat¬
tamamlayaca¼g¬z.
1
Çal¬smam¬zda ikinci olarak ele alaca¼g¬m¬z durum ise bu konjektürün bir genellestir-
ilmesini ifade etmektir. Bunu da ilk defa burada tan¬mlayaca¼g¬m¬z r� Fibonomyal
kavram¬yard¬m¬yla yapaca¼g¬z. Genellestirdi¼gimiz bu ifadeyi de basit kesirlere ay¬rma
yöntemiyle hesaplay¬p ispat¬tamamlayaca¼g¬z.
2
2. TEMEL KAVRAMLAR
Tan¬m 2.1 (Fibonacci Say{s{): Her n > 1 için F0 = 0 ve F1 = 1 olmak üzere
Fn = Fn�1 + Fn�2
yineleme ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glayan Fn say¬s¬na n: F ibonacci say{s{ ad¬verilir.
Tan¬m 2.2 (Lucas Say{s{) : Her n > 1 için L0 = 2 ve L1 = 1 olmak üzere
Ln = Ln�1 + Ln�2
yineleme ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glayan Ln say¬s¬na n: Lucas say{s{ ad¬verilir.
Tan¬m 2.3 (Binet Form�ul�u) : x2 � x � 1 = 0 denkleminin kökleri � ve � olmak
üzere, Fn ve Ln say¬lar¬n¬n Binet formülleri s¬ras¬yla,
Fn =�n � �n
�� � ve Ln = �n + �n
dir.
Simdi, �bonomyal katsay¬tan¬m¬na geçmeden önce, bu tan¬ma temel teskil
eden binom katsay¬s¬ifadesinden biraz söz edelim. Klasik faktöryel tan¬m¬n¬n 0! := 1
olmak üzere n! := n(n� 1) : : : 1 seklinde tan¬mland¬¼g¬n¬biliyoruz. Bundan faydala-
narak, binom say¬lar¬da�n
m
�:=
n(n� 1) : : : 1m(m� 1) : : : 1� (n�m)(n�m� 1) : : : 1 =
n!
m!(n�m)!
biçimde tan¬mlan¬r. Bu�nm
�say¬lar¬n¬n "katsay¬" olarak adland¬r¬lmas¬da, binom
teoreminde (x+ y)n nin aç¬l¬m¬nda
(x+ y)n =
nXr=0
�n
r
�xn�ryr
esitli¼ginden görülece¼gi gibi x; y kuvvetlerinin katsay¬lar¬n¬n binom say¬lar¬olmas¬n-
dand¬r. Binom say¬lar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬özdesliklerden birine örnek vermek gerekirse,
0 < m < n için �n
m
�=
�n� 1m
�+
�n� 1m� 1
�3
yazabiliriz. Hatta binom say¬lar¬için Pascal üçgeninin de
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1...
......
......
......�
n0
� �n1
�: : :
�nm
� �n
m+1
�: : :
�nn�1� �
nn
�oldu¼gunu biliyoruz.
"Genellestirilmis binom" ifadesi de çal¬smam¬z¬n giris k¬sm¬nda bahsetti¼gimiz üzere,
hem faktöryel tan¬m¬nda hem de binom say¬s¬ tan¬m¬nda n tamsay¬s¬ yerine bir
dizinin n: teriminin al¬nmas¬ durumudur. Özel olarak bu diziyi Fibonacci dizisi
al¬rsak s¬ras¬yla, Fibonacci faktöryel ve �bonomyal katsay¬olarak adland¬raca¼g¬m¬z
tan¬mlar¬elde ederiz. Buna göre simdi bu tan¬mlar¬verelim:
Tan¬m 2.4 (Fibonacci Fakt�oryel) : F0! := 1 olmak üzere, her n � 1 için
Fn! := F1F2 : : : Fn
ifadesine n: F ibonacci fakt�oryel denir.
Tan¬m 2.5 (Fibonomyal Katsay{) : Her n � m � 1 için
�n
m
�:=
F1F2 : : : Fn(F1F2 : : : Fn�m) (F1F2 : : : Fm)
=Fn!
Fn�m!Fm!
seklinde tan¬mlanan ifadeye Fibonomyal katsay{ denir.
4
Fibonomyal katsay¬lar¬n Pascal üçgenini de olusturursak:
1
1 1
1 1 1
1 2 2 1
1 3 6 3 1
1 5 15 15 5 1...
......
......
......�
n0
�n1
: : :
�nm
�n
m+1
: : :
�nn�1 �
nn
elde ederiz.
Fibonomyal katsay¬lar ve özellikleri bugüne kadar birçok yazar taraf¬ndan ele al¬-
narak incelenmistir. Biz burada �bonomyal katsay¬larla ilgili olarak birkaç basit
özdesli¼gi verece¼giz. Bu ifadelerden ilki, binomyal katsay¬özdesli¼gine benzer olarak�n
m
�= Fm+1
�n� 1m
�+ Fn�m�1
�n� 1m� 1
�seklinde ifade edilebilir. ·Ikinci olarak ise
2
�n
m
�= Lm
�n� 1m
�+ Ln�m
�n� 1m� 1
�özdesli¼gini verebiliriz.
Fibonomyal katsay¬lar, indisleri bak¬m¬ndan da aritmetik olarak incelenmistir. Örne¼gin,
Fn yerine, k pozitif sabit bir tamsay¬ olmak üzere Fkn al¬n¬rsa, Tan¬m 2.5 deki
ifadeyi genellestirmek mümkün olur. Ancak bu genellestirmeyi vermeden önce yeni
bir tan¬ma ihtiyac¬m¬z oldu¼gundan ilk önce onu verelim:
Tan¬m 2.6 (k � Fibonacci Fakt�oryel) : F (k)0 ! := 1 olmak üzere, sabit bir k � 1
tamsay¬s¬ve her n � 1 için
F (k)n ! := FknFk(n�1) : : : Fk
ifadesine k � Fibonacci fakt�oryel ad¬verilir.5
Dikkat edilirse, bu ifade k = 1 için standart Fibonacci faktöryeli verir. Simdi
art¬k Tan¬m 2.5 in bir genellestirilmesini verebiliriz.
Tan¬m 2.7 (k�Fibonomyal Katsay{) : k � 1 sabit bir tamsay¬ve her n � m � 1
için �n
m
�k
:=FkF2k : : : Fkn�
FkF2k : : : Fk(n�m)��FkF2k : : : Fkm
� = F(k)n !
F(k)n�m!F
(k)m !
seklinde tan¬mlan¬r.�nm
kifadesine k � Fibonomyal katsay{ ad¬verilir.
Yukar¬da verdi¼gimiz �bonomyal özdesliklerin k��bonomyal cinsinden ifadeleride�n
m
�k
= Fkm+1
�n� 1m
�k
+ Fk(n�m)�1
�n� 1m� 1
�k
2
�n
m
�k
= Lkm
�n� 1m
�k
+ Lk(n�m)
�n� 1m� 1
�k
biçimindedir.
Fibonomyaller literatürde daha birçok yerde kars¬m¬za ç¬kmaktad¬r. Buna örnek
olarak da Carlitz in (1965) yapt¬¼g¬çal¬smay¬verebiliriz. Carlitz bu çal¬smas¬nda,
n� n tipinde (i; j) eleman¬
(Pn)ij =
�j � 1
j + i� n� 1
�olan, sa¼ga dayal¬Pn Pascal matrisini ele alarak, bu matrisin elemanlar¬ile �bonomyal
katsay¬lar aras¬ndaki iliskiyi veren ilk çal¬smay¬yapm¬st¬r. Pascal tipli matrislerin
�bonomyallerle olan iliskileri için Cooper ve Kennedy (1995), Stanica (2003), Kilic
vd. (2008), Kilic (2010) çal¬smalar¬n¬da referans olarak verebiliriz.
Tan¬m 2.8 (Azalan Fibonacci Fakt�oryel) : n 6= 0 ve m > 0 olmak üzere (Fn)(m)
ifadesi Fn den baslayarak F0 say¬s¬n¬içermeyecek biçimdem�tane Fibonacci say¬s¬n¬n
çarp¬m¬seklinde tan¬mlan¬r. Burada (Fn)(m) ifadesine azalan Fibonacci fakt�oryel
ad¬verilir. Ayr¬ca (F0)(m) := F�1F�2 : : : F�m ve (F0)(0) := 1 olarak kabul edilir.
Tan¬m 2.8 in daha iyi anlas¬lmas¬bak¬m¬ndan bir örnek vermek gerekirse,
(F6)(5) = F6F5F4F3F2 ve (F3)(5) = F3F2F1F�1F�2 yaz¬labilir.
6
Tan¬m 2.9 (Gaussian q-Binomyal Katsay{) : x ve q reel ya da kompleks say¬lar
ve n > 0 için
(x; q)n := (1� x)(1� xq) : : : (1� xqn�1)
seklinde tan¬mlanmak üzere, Gaussian q�binomyal katsay¬�n
m
�q
:=(q; q)n
(q; q)n�m(q; q)m
biçiminde tan¬mlan¬r (Andrews 1976).
Burada q ! 1 iken�nm
�q!�nm
�olur. Dolay¬s¬yla
�nm
�qsay¬s¬n¬, Gaussian
q�binomyal katsay¬olarak adland¬rmam¬zda buradan gelmektedir. Çünkü biliyoruz
ki, binom teoreminden
(1 + x)n =nXr=0
�n
r
�xr
esitli¼ginin sol taraf¬nda bulunan (1+x)n ifadesinin aç¬l¬m¬nda 0 � r � n olmak üzere
xr nin katsay¬s¬�nr
�say¬lar¬olmaktad¬r. Böylece
�nr
�say¬lar¬na binom katsay¬lar¬ad¬
verilmektedir. Simdi, yukardaki (1 + x)n ifadesini, q kompleks bir de¼gisken olmak
üzere
f(x) := (1 + x)(1 + qx) : : : (1 + qn�1x)
seklinde tan¬mlayarak genisletirsek, f(x) in aç¬l¬m¬n¬
f(x) =nYk=1
(1 + qk�1x) =nXr=0
qr(r�1)=2�n
r
�q
xr
seklinde elde ederiz. Dikkat edecek olursak, bu ifadede 0 � r � n için xr nin
katsay¬lar¬�nr
�qolarak gelmektedir. Sonuç olarak
�nr
�qsay¬lar¬n¬n binomyal katsay¬
olarak adland¬r¬lmas¬da tarihsel bak¬mdan buraya dayanmaktad¬r.
7
3. MELHAM KONJEKTÜRÜ VE ·ISPATI
3.1 Melham Konjektürü
Melham, 1999 y¬l¬nda yapt¬¼g¬çal¬smas¬nda Fibonacci ve Lucas say¬lar¬n¬n kuvvet-
lerinin toplamlar¬na iliskin baz¬özdeslikler vererek, bunlar¬n ispat¬n¬yapm¬st¬r. Bu
özdesliklerden basl¬calar¬; k; n 2 Z olmak üzere
F 2n+k+1 + F2n�k = F2k+1F2n+1
L2n+k+1 + L2n�k = 5F2k+1F2n+1
ve
F3k+1F3n+k+1 + F3k+2F
3n+k � F 3n�2k�1 = F3k+1F3k+2F3n
F3k+1L3n+k+1 + F3k+2L
3n+k � L3n�2k�1 = 5F3k+1F3k+2L3n
ifadeleridir. (Bu tip ifadelerin tümevar¬m yöntemine dayal¬ispatlar¬için Dresel in
(1993) çal¬smas¬n¬önerebiliriz.) Melham, çal¬smas¬n¬n sonunda da bu özdesliklerden
esinlenerek yine Fibonacci ve Lucas say¬lar¬n¬n kuvvetlerinin toplamlar¬na iliskin bir
konjektür ortaya atm¬st¬r. Melham bu konjektürünü iki k¬s¬mda ifade etmistir:
Kestirim 3.1 (Melham Konjekt�ur�u) :
(a) m > 0 ve k;m; n 2 Z içinm�1Xj=0
Fm+1n+k+m�j
(Fm�j�1)(m�1)F(m+1)k+m�j+ (�1)
m(m+3)2
Fm+1n�mkmQj=1
F(m+1)k+j
= F(m+1)(n+m2)
oldu¼gunu gösteriniz.
(b) (a) n¬n Lucas l¬ifadesi ise
m�1Xj=0
Lm+1n+k+m�j
(Fm�j�1)(m�1)F(m+1)k+m�j+ (�1)
m(m+3)2
Lm+1n�mkmQj=1
F(m+1)k+j
=
8><>:5m+12 F(m+1)(n+m
2) ; m tek
5m2 L(m+1)(n+m
2) , m çift
biçimindedir.
8
Konjektürdeki (a) ve (b) ifadelerinin sol tara�ar¬n¬n karmas¬k bir yap¬ya sahip
oldu¼gu asikard¬r. Bu nedenle konjektürün daha iyi anlas¬labilmesi aç¬s¬ndan, (a) daki
ifadeyi k ve m nin özel bir kaç seçimi için yazal¬m. Örne¼gin k = 0 ve m = 1; 2; 3; 4; 5
için Melham konjektüründeki (a) ifadesi s¬ras¬yla,
F 2n + F2n�1 = F1F2n�1
F 3n+1 + F3n � F 3n�1 = F1F2F3n
F 4n+2 + 2F4n+1 � 2F 4n � F 4n�1 = F1F2F3F4n+2
F 5n+3 + 3F5n+2 � 6F 5n+1 � 3F 5n + F 5n�1 = F1F2F3F4F5n+5
F 6n+4 + 5F6n+3 � 15F 6n+2 � 15F 6n+1 + 5F 6n + F 6n�1 = F1F2F3F4F5F6n+9
seklindedir.
Dikkat edilirse yukarda ifade etti¼gimiz esitliklerin sol tara�ar¬nda bulunan Fibonacci
kuvvetlerinin katsay¬lar¬�bonomyal üçgendeki say¬lard¬r. Dolay¬s¬yla bu bize Mel-
ham konjektüründeki (a) ve (b) durumlar¬n¬n sol taraf¬nda bulunan ifadelerin �bon-
omyal katsay¬lar cinsinden yeniden ifade edilebilece¼gini gösterir.
Biz çal¬smam¬zda Melham�¬n bu konjektürünü ispat edece¼giz. Ancak ispat¬ yap-
madan önce konjektürün ifadesi içinde bulunan azalan Fibonacci faktöryeller yerine
�bonomyalleri kullanarak, konjektürümüzü yeni bir formda yazaca¼g¬z. Bu formu
elde etmek için baz¬aritmetik islemler yapmam¬z gerekecek. Melham konjektürünü
istedi¼gimiz formda yazmak için yap¬lacak islemleri yazmak yerine, bu islemleri özetleyen
cümlelerle ifademizi elde edece¼giz. O halde ilk önce Konjektür 3.1.(a) da verilen
ifadeyi ele alal¬m. Bu ifadenin her iki taraf¬n¬mQj=1
F(m+1)k+j ile çarparsak:
m�1Xj=0
Fm+1n+k+m�j
(Fm�j�1)(m�j�1)(F0)jF(m+1)k+m�j
(F(m+1)k+m)(m+1)k+m(F(m+1)k)(m+1)k
+ (�1)m(m+3)
2 Fm+1n�mk =
� mYj=1
F(m+1)k+j
�F(m+1)(n+m
2)
elde ederiz. (F0)j = (�1) j(j+3)2 (Fj)j oldu¼gunu da gözönüne alarak son esitli¼gin sol
taraf¬nda bulununan "toplam" ifadesinin içinde pay ve paydada bulununan azalan
Fibonacci faktöryelleri açarak yeniden düzenlersek iki �bonomyal in çarp¬m¬seklinde
9
bir ifadenin geldi¼gini görürüz. Bu durumda Konjektür 3.1.(a) daki esitlik asa¼g¬daki
forma dönüsür:
Kestirim 3.2 (a0) k;m; n 2 Z olmak üzere
m�1Xj=0
(�1)j(j+3)
2
�(m+ 1)k +m
j
��(m+ 1)k +m� j � 1
m� j � 1
�Fm+1n+k+m�j
+ (�1)m(m+3)
2 Fm+1n�mk =
� mYj=1
F(m+1)k+j
�F(m+1)(n+m
2):
Benzer islemler yap¬larak Konjektür 3.1.(b) de ifade etti¼gimiz esitlik de asa¼g¬daki
forma dönüstürülebilir:
(b0)
(i) m tek ise
m�1Xj=0
(�1)j(j+3)
2
�(m+ 1)k +m
j
��(m+ 1)k +m� j � 1
m� j � 1
�Lm+1n+k+m�j
+ (�1)m(m+3)
2 Lm+1n�mk = 5m+12
� mYj=1
F(m+1)k+j
�F(m+1)(n+m
2);
(ii) m çift ise
m�1Xj=0
(�1)j(j+3)
2
�(m+ 1)k +m
j
��(m+ 1)k +m� j � 1
m� j � 1
�Lm+1n+k+m�j
+ (�1)m(m+3)
2 Lm+1n�mk = 5m2
� mYj=1
F(m+1)k+j
�L(m+1)(n+m
2):
Bu durumda elde etti¼gimiz Konjektür 3.2 deki (a0) ve (b
0) ifadeleri s¬ras¬yla,
Konjektür 3.1 deki (a) ve (b) ifadelerine denktir. Hatta Konjektür 3.2 deki (a0)
ve (b0) ifadeleri amac¬m¬za uygun olarak �bonomyal katsay¬lar içermektedir. ·Ispat
yap¬m¬z¬n amac¬na uygun olmas¬aç¬s¬ndan da son olarak, Konjektür 3.2 ifadesini
q � toplam biçiminde yazaca¼g¬z. Bunun için �; � = 1�p5
2olmak üzere q = �=�
alarak, Fibonacci ve Lucas say¬lar¬n¬n binet formüllerinden
Fn = �n�11� qn
1� q ve Ln = �n(1 + qn)
seklindeki q�formlar¬n¬ kullanaca¼g¬z. Hatta q = �=� ve �� = �1 oldu¼gundan
q = ���2 olup i =p�1 kompleks say¬s¬ da i = �
pq biçiminde ifade edilebilir.
10
Benzer sekilde �bonomyal katsay¬lar¬n q�formunu yazacak olursak�n
m
�=
(�n � �n) : : : (�n�m+1 � �n�m+1)(�m � �m) : : : (�� �)
= �m(n�m)(1� qn) : : : (1� qn�m+1)(1� qm) : : : (1� q)
elde ederiz. Buradan da �n
m
�= �m(n�m)
�n
m
�q
oldu¼gu aç¬kt¬r.
Simdi art¬k Konjektür 3.2 yi kolayl¬kla q�toplam biçiminde ifade edebiliriz. O halde
gerekli aritmetik islemler yap¬l¬rsa Konjektür 3.2 ye denk olan asa¼g¬daki Konjektür
3.3 ü yazabiliriz:
Kestirim 3.3 (a00) k;m; n 2 Z olmak üzere
(1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
�
m�1Xj=0
(�1)jqj(j+1)=2�m� 1j
�q
(1� qn+k+m�j)m+11� q(m+1)k+m�j
=�1� q
(m+1)(2n+m)2
�(q; q)(m+1)k+m(q; q)(m+1)k
� (�1)mqm(m+1)(2k+1)
2 (1� qn�mk)m+1:
(b00) (a00) nün Lucas l¬ifadesi
(i) m tek ise
(1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
�
m�1Xj=0
(�1)jqj(j+1)=2�m� 1j
�q
(1 + qn+k+m�j)m+1
1� q(m+1)k+m�j
=�1� q
(m+1)(2n+m)2
�(q; q)(m+1)k+m(q; q)(m+1)k
� (�1)mqm(m+1)(2k+1)
2 (1 + qn�mk)m+1;
(ii) m çift ise
(1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
�
m�1Xj=0
(�1)jqj(j+1)=2�m� 1j
�q
(1 + qn+k+m�j)m+1
1� q(m+1)k+m�j
=�1 + q
(m+1)(2n+m)2
�(q; q)(m+1)k+m(q; q)(m+1)k
� (�1)mqm(m+1)(2k+1)
2 (1 + qn�mk)m+1
elde edilir.
11
Böylece q�toplam biçiminde yazd¬¼g¬m¬z Konjektür 3.3 ifademiz Melham kon-
jektürüne denk olur. Dolay¬s¬yla bu konjektürü ispat etmemiz halinde Melham�¬n
konjektürünü de ispat etmis oluruz. Bu ispat¬ yapmak için art¬k tek bir teknik
yap¬ya ihtiyac¬m¬z var. Bu teknik yap¬y¬da Helmut Prodinger in (2001) yapm¬s
oldu¼gu bir çal¬smadan faydalanarak tamamlayaca¼g¬z. Prodinger bu çal¬smas¬nda
Rice formülünü ele alarak bu formülün q�versiyonunu ifade etmis ve baz¬uygu-
lamalar¬n¬vermistir. Biz de buradan q � Rice formülünü asa¼g¬daki sekilde ifade
edebiliriz:
Teorem 3.1 (q�Rice Form�ul�u) : q reel yada kompleks bir parametre jqj < 1, f
fonksiyonu q�1; q�2; : : : ; q�n noktalar¬n¬içeren ba¼glant¬l¬aç¬k bir bölgede analitik ve
e¼grisi de q�1; q�2; : : : ; q�n den baska kutup noktas¬içermeyen pozitif yönlendirilmis
kapal¬bir e¼gri olsun. Bu durumdanXk=1
(�1)k�1q(k2)�n
k
�q
f(q�k) =1
2�i
I
(q; q)n(z; q)n+1
f(z)dz
esitli¼gi gerçeklenir (Prodinger 2001).
Bu teorem vas¬tas¬yla da
Resz=q�k(q; q)n(z; q)n+1
= (�1)k�1q(k2)�n
k
�q
esitli¼gini yazabiliriz. Hatta Teorem 3.1 ifadesinde sol tarafta bulunan toplam¬, f(z)
rasyonel bir fonksiyon olmak üzere f(z) (q;q)n(z;q)n+1
ifadesinin fq�1; q�2; : : : ; q�ng kümesi
içinde bulunmayan bütün z kutup noktalar¬na genisletebiliriz. YaninXk=1
(�1)k�1q(k2)�n
k
�q
f(q�k) = (�1)n+1Resz�f(z)
(q; q)n(z; q)n+1
�yazabiliriz.
3.2 Melham Konjektürünün ·Ispat¬
Bu bölümde art¬k Melham konjektürüne denk olan Konjektür 3.3 ifadesini rahatl¬kla
ispatlayabiliriz ki bu ispat¬da çevre integrali vas¬tas¬yla yapaca¼g¬m¬z¬da biliyoruz.
Simdi ilk önce Konjektür 3.3 ün (a00) ifadesini ispat edelim. O halde
S :=m�1Xj=1
(�1)jqj(j+1)=2�m� 1j
�q
(1� qn+k+m�j)m+11� q(m+1)k+m�j
12
seklinde tan¬mlayal¬m. Çevre integralinden
IR =1
2�i
I(q; q)m�1(z; q)m
1
z
(1� zqn+k+m)m+11� zq(m+1)k+m dz
yaz¬labilir. Bu integrali, R yeterince büyük olmak üzere, R yar¬çapl¬bir çember
üzerinden rezidüler yard¬m¬yla hesaplayaca¼g¬z. Kutup noktalar¬ise q�1; : : : ; q�(m�1)
den baska z = 0, z = 1, ve z = q�(m+1)k�m den olusmaktad¬r. Böylece
IR = �S + Resz=0(q; q)m�1(z; q)m
1
z
(1� zqn+k+m)m+11� zq(m+1)k+m
+ Resz=1(q; q)m�1(z; q)m
1
z
(1� zqn+k+m)m+11� zq(m+1)k+m
+ Resz=q�(m+1)k�m(q; q)m�1(z; q)m
1
z
(1� zqn+k+m)m+11� zq(m+1)k+m
elde ederiz. Görüldü¼gü gibi son esitli¼gin sa¼g taraf¬nda üç tane rezidü hesaplamas¬
vard¬r. Dolay¬s¬yla integralimizin de¼geri bu üç rezidüye ba¼gl¬d¬r. Biz bu rezidüler-
den sadece bir tanesini hesaplayaca¼g¬z ki di¼gerleri de benzer sekilde kolayca hesap-
lanabilir. O halde z = 1 noktas¬ndaki rezidüyü hesaplarsak:
Resz=1(q; q)m�1(z; q)m
1
z
(1� zqn+k+m)m+11� zq(m+1)k+m
= limz!1(z � 1)(q; q)m�1
(z; q)m
1
z
(1� zqn+k+m)m+11� zq(m+1)k+m
= � (q; q)m�1(zq; q)m�1
1
z
(1� zqn+k+m)m+11� zq(m+1)k+m
����z=1
= �(1� qn+k+m)m+1
1� q(m+1)k+m
olarak buluruz.
IR integrali için bir yaklas¬m bulacak olursak, jzj yeterince büyük olmak üzere
(q; q)m�1(z; q)m
1
z
(1� zqn+k+m)m+11� zq(m+1)k+m � 1
z
(q; q)m�1
q(m2 )
q(n+k+m)(m+1)
q(m+1)k+m
=1
z(q; q)m�1q
n(m+1)+m(m+1)
2
olur. Sonuç olarak, R!1 için
IR ! (q; q)m�1qn(m+1)+
m(m+1)2
13
oldu¼gu görülür. Böylece
(q; q)m�1qn(m+1)+
m(m+1)2 = �S + (q; q)m�1 �
(1� qn+k+m)m+11� q(m+1)k+m
+ [(z � q�(m+1)k�m)�1] (q; q)m�1(z; q)m
1
z
(1� zqn+k+m)m+11� zq(m+1)k+m
elde ederiz. Dolay¬s¬yla
S = �(q; q)m�1qn(m+1)+m(m+1)
2 + (q; q)m�1 �(1� qn+k+m)m+11� q(m+1)k+m
� (q; q)m�1(q�(m+1)k�m; q)m
(1� qn�mk)m+1
= �(q; q)m�1qn(m+1)+m(m+1)
2 + (q; q)m�1 �(1� qn+k+m)m+11� q(m+1)k+m
� (�1)m(q; q)m�1(q; q)(m+1)kq
m(m+1)k+m(m+1)
2
(q; q)(m+1)k+m(1� qn�mk)m+1
bulunur. Simdi biz
(1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(1� qn+k+m)m+11� q(m+1)k+m
� (1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(q; q)m�1qn(m+1)+
m(m+1)2
+ (1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(q; q)m�1
� (1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(1� qn+k+m)m+11� q(m+1)k+m
� (1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
�
� (�1)m(q; q)m�1(q; q)(m+1)kq
m(m+1)k+m(m+1)
2
(q; q)(m+1)k+m(1� qn�mk)m+1
=�1� q
(m+1)(2n+m)2
�(q; q)(m+1)k+m(q; q)(m+1)k
� (�1)mqm(m+1)(2k+1)
2 (1� qn�mk)m+1
esitli¼gini ispat etmeliyiz. Bu son ifadede baz¬sadelestirmelerek yaparsak
14
� (1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(q; q)m�1qn(m+1)+
m(m+1)2
+ (1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(q; q)m�1
� (1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
�
� (�1)m(q; q)m�1(q; q)(m+1)kq
m(m+1)k+m(m+1)
2
(q; q)(m+1)k+m(1� qn�mk)m+1
= (1� q(m+1)(2n+m)
2 )(q; q)(m+1)k+m(q; q)(m+1)k
� (�1)mqm(m+1)(2k+1)
2 (1� qn�mk)m+1;
buluruz. Bu sekilde sadelestirme islemlerimize devam ederek
� (1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(q; q)m�1qn(m+1)+
m(m+1)2
+ (1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(q; q)m�1
= (1� q(m+1)(2n+m)
2 )(q; q)(m+1)k+m(q; q)(m+1)k
veya
(1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(q; q)m�1
�1� qn(m+1)+
m(m+1)2
�=�1� q
(m+1)(2n+m)2
�(q; q)(m+1)k+m(q; q)(m+1)k
elde ederiz. Nihayetinde esitli¼gimiz
(1� q(m+1)k+m)�(m+ 1)k +m� 1
m� 1
�q
(q; q)m�1 =(q; q)(m+1)k+m(q; q)(m+1)k
haline dönüsür ki, bu esitlikte do¼gru oldu¼gundan ispat¬m¬z tamamlan¬r.
Uyar¬3.1 Bu ispat¬m¬z sadece q = �=� seçimi için de¼gil, q�nun bütün de¼gerleri
için do¼grudur.
Konjektür 3.3 ün (b00) ifadesindeki (i) ve (ii) s¬klar¬da benzer sekilde ispat-
lan¬r. Hatta (i) ve (ii) dekim paritesi farkl¬olsa da ispatlar¬birbirine denktir. Çünkü
(i) ve (ii) nin ispat¬nda yukar¬daki ispat yap¬m¬za benzer olarak tan¬mlayaca¼g¬m¬z
S toplam¬ayn¬d¬r.
15
4. MELHAM KONJEKTÜRÜNÜN GENELLEST·IR·ILMES·I
Melham konjektürün genellestirilmesine geçmeden önce genellestirmeyi yaparken
yararlanaca¼g¬m¬z bir tan¬m¬ifade edelim.
Tan¬m 4.1 (r�Fibonomyal) : m; r � 1 ve m;n; r 2 Z olmak üzere r�Fibonomyal�n
m
�r
:=FnFn�r : : : Fn�r(m�1)
FrF2r : : : Fmr
biçiminde tan¬mlan¬r. Burada�n0
r:= 1 dir (Kilic vd. 2010).
Teorem 4.1 Her m;n ve k tam say¬lar¬için,
(i) r tek ise
m�1Xj=0
(�1)j(j�1)
2
�(m+ 1)k +mr
j
�r
�(m+ 1)k + r(m� j � 1)
m� j � 1
�r
Fm+1n+k+r(m�j)
+ (�1)m(m�1)
2 Fm+1n�mk =
� mYj=1
F(m+1)k+rj
�F(m+1)(n+ rm
2):
(ii) r çift ise
m�1Xj=0
(�1)j�(m+ 1)k +mr
j
�r
�(m+ 1)k + r(m� j � 1)
m� j � 1
�r
Fm+1n+k+r(m�j)
+ (�1)mFm+1n�mk =
� mYj=1
F(m+1)k+rj
�F(m+1)(n+ rm
2):
(iii) (i) nin Lucas ifadesi
m�1Xj=0
(�1)j(j�1)
2
�(m+ 1)k +mr
j
�r
�(m+ 1)k + r(m� j � 1)
m� j � 1
�r
�
Lm+1n+k+r(m�j) + (�1)m(m�1)
2 Lm+1n�mk
=
8>>><>>>:5m+12
�mQj=1
F(m+1)k+rj
�F(m+1)(n+ rm
2) m tek,
5m2
�mQj=1
F(m+1)k+rj
�L(m+1)(n+ rm
2) m çift.
16
(iv) (ii) nin Lucas ifadesi
m�1Xj=0
(�1)j�(m+ 1)k +mr
j
�r
�(m+ 1)k + r(m� j � 1)
m� j � 1
�r
Lm+1n+k+r(m�j)
+ (�1)mLm+1n�mk =
8>>><>>>:5m+12
�mQj=1
F(m+1)k+rj
�F(m+1)(n+ rm
2) m tek,
5m2
�mQj=1
F(m+1)k+rj
�L(m+1)(n+ rm
2) m çift.
·Ispat. ·Ilk önce teoremdeki (i)�(iv) ifadelerini q�binomyaller cinsinden yazmal¬y¬z.
Bu islem yap¬l¬rsa, (i)�(iv) durumlar¬n¬tek bir formülde asa¼g¬daki sekilde ifade ede-
biliriz:
(1� q(m+1)k+rm)(q(m+1)k+r; qr)m�1(qr; qr)m�1
�
m�1Xj=0
(�1)jqrj(j+1)
2
�m� 1j
�qr
(1 + (�1)hqn+k+r(m�j))m+11� q(m+1)k+r(m�j)
=�1� (�1)(h�1)(m+1)q
(m+1)(2n+rm)2
�(q(m+1)k+r; qr)m
� (�1)mqm(m+1)(2k+r)
2 (1 + (�1)hqn�mk)m+1: (4.1)
Burada (4.1) esitli¼ginde h = 1 al¬rsak (i) ve (ii) nin q�notasyonlar¬n¬ ve benzer
sekilde (4.1) esitli¼ginde h = 0 al¬rsak (iii) ve (iv) nin q�notasyonlar¬n¬elde ederiz.
Simdi bu esitliklerin ispat¬için
X :=1
(1� z)(1� zqr) : : : (1� zqr(m�1))
�1 + (�1)hzqn+k+rm
�m+1z(1� zq(m+1)k+rm)
biçimde alal¬m. X ifadesini k¬smi kesirlere ay¬r¬rsak
X =m�1Xj=0
(�1)jqr(j+12 )
(qr; qr)j(qr; qr)m�1�j
�1 + (�1)hqn+k+rm�rj
�m+11� q(m+1)k+rm�rj
1
q�rj(1� zqrj)
+C
1� zq(m+1)k+rm +1
z
elde ederiz. Burada C ifadesi
C =
�1 + (�1)hzqn+k+rm
�m+1z(1� z)(1� zqr) : : : (1� zqr(m�1))
�����z=q�(m+1)k�rm
:
biçimindedir. Hatta bu ifadenin pay ve paydas¬n¬n derecesinin m + 1 oldu¼gunu da
söyleyebiliriz. z !1 iken
X � B
z+O(z�2)
17
dir, yine burada B ifadesi
B =(�1)m
qr(m2 )
�(�1)hqn+k+rm
�m+1�q(m+1)k+rm = (�1)(h+1)(m+1)qn(m+1)+r(
m+12 );
seklindedir. Bu son elde etti¼gimiz esitlik yard¬m¬ylada,
zX =m�1Xj=0
(�1)jqr(j+12 )
(qr; qr)j(qr; qr)m�1�j
�1 + (�1)hqn+k+rm�rj
�m+11� q(m+1)k+rm�rj �
z
q�rj(1� zqrj) +Cz
1� zq(m+1)k+rm + 1;
ve z !1 iken
B =
m�1Xj=0
(�1)j�1qr(j+12 )
(qr; qr)j(qr; qr)m�1�j
�1 + (�1)hqn+k+rm�rj
�m+11� q(m+1)k+rm�rj � C
q(m+1)k+rm+ 1:
bulunur. Böylece
(�1)(h�1)(m+1)qn(m+1)+r(m+12 )(qr; qr)m�1
=m�1Xj=0
(�1)j�1qr(j+12 )�m� 1j
�qr
�1 + (�1)hqn+k+r(m�j)
�m+11� q(m+1)k+r(m�j)
� C � (qr; qr)m�1
q(m+1)k+rm+ (qr; qr)m�1;
elde ederiz. Son ifadede baz¬sadelestirmeler yaparsak
m�1Xj=0
(�1)jqr(j+12 )�m� 1j
�qr
�1 + (�1)hqn+k+r(m�j)
�m+11� q(m+1)k+r(m�j)
= �C � (qr; qr)m�1
q(m+1)k+rm+ (qr; qr)m�1 � (�1)(h�1)(m+1)qn(m+1)+r(
m+12 )(qr; qr)m�1: (4.2)
olur. Simdi de C yi hesaplayal¬m:
C =1
q�(m+1)k�rm� �
1 + (�1)hqn�mk�m+1
(1� q�(m+1)k�rm)(1� q�(m+1)k�rmqr) : : : (1� q�(m+1)k�rmqr(m�1))
=(�1)m
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1q((m+1)k+rm)m�r(
m2 )
q�(m+1)k�rm(1� q(m+1)k+rm)(1� q(m+1)k+rm�r) : : : (1� q(m+1)k+r)
=(�1)m
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1q((m+1)k+rm)(m+1)�r(
m2 )
(1� q(m+1)k+rm)(1� q(m+1)k+rm�r) : : : (1� q(m+1)k+r)
=(�1)m
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1q(m+1)
2k+rm(m+1)�r(m2 )
(q(m+1)k+r; qr)m: (4.3)
18
(4.2) ve (4.3) esitliklerini kullan¬rsak,
m�1Xj=0
(�1)jqr(j+12 )�m� 1j
�qr
�1 + (�1)hqn+k+r(m�j)
�m+11� q(m+1)k+r(m�j)
= �(�1)m(1 + (�1)hqn�mk)m+1q(m+1)mk+r(
m+12 )
(q(m+1)k+r; qr)m� (qr; qr)m�1
+ (qr; qr)m�1 � (�1)(h�1)(m+1)qn(m+1)+r(m+12 )(qr; qr)m�1:
elde ederiz. O halde biz bu son ifadenin (4.1) e denk oldu¼gunu göstermeliyiz. Böylece
amac¬m¬za uygun islemler yaparak
(1� q(m+1)k+rm)(q(m+1)k+r; qr)m�1(qr; qr)m�1
�"�(�1)m
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1q(m+1)mk+r(
m+12 )
(q(m+1)k+r; qr)m� (qr; qr)m�1
+ (qr; qr)m�1 � (�1)(h�1)(m+1)qn(m+1)+r(m+12 )(qr; qr)m�1
#=�1� (�1)(h�1)(m+1)q
(m+1)(2n+rm)2
�(q(m+1)k+r; qr)m
� (�1)mqm(m+1)(2k+r)
2
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1:
buluruz. Asl¬nda su anda bu son özdesli¼gi elde ederek amac¬m¬za ulasm¬s olduk
ancak bunu daha aç¬k olarak göstermek istersek, yine baz¬aritmetik sadelestirmeler
yaparak asa¼g¬daki ifadeyi elde ederiz:
(1� q(m+1)k+rm)(q(m+1)k+r; qr)m�1�"�(�1)m
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1q(m+1)mk+r(
m+12 )
(q(m+1)k+r; qr)m
+ 1� (�1)(h�1)(m+1)qn(m+1)+r(m+12 )
#=�1� (�1)(h�1)(m+1)q
(m+1)(2n+rm)2
�(q(m+1)k+r; qr)m
� (�1)mqm(m+1)(2k+r)
2
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1:
19
Dolay¬s¬yla art¬k ispat etmemiz gereken esitlik bu son ifade oldu. Burada ilk iki
çarpan¬birlestirirsek
(q(m+1)k+r; qr)m�"�(�1)m
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1q(m+1)mk+r(
m+12 )
(q(m+1)k+r; qr)m
+ 1� (�1)(h�1)(m+1)qn(m+1)+r(m+12 )
#=�1� (�1)(h�1)(m+1)q
(m+1)(2n+rm)2
�(q(m+1)k+r; qr)m
� (�1)mqm(m+1)(2k+r)
2
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1;
veya
(�1)m�1�1 + (�1)hqn�mk
�m+1q(m+1)mk+r(
m+12 ) + (q(m+1)k+r; qr)m
� (�1)(h�1)(m+1)qn(m+1)+r(m+12 )(q(m+1)k+r; qr)m
=�1� (�1)(h�1)(m+1)q
(m+1)(2n+rm)2
�(q(m+1)k+r; qr)m
+ (�1)m�1qm(m+1)(2k+r)
2
�1 + (�1)hqn�mk
�m+1;
veya
(q(m+1)k+r; qr)m � (�1)(h+1)(m+1)qn(m+1)+r(m+12 )(q(m+1)k+r; qr)m
=�1� (�1)(h�1)(m+1)q
(m+1)(2n+rm)2
�(q(m+1)k+r; qr)m ,
veya
� (�1)(h�1)(m+1)qn(m+1)+r(m+12 )(q(m+1)k+r; qr)m
= �(�1)(h�1)(m+1)q(m+1)(2n+rm)
2 (q(m+1)k+r; qr)m:
Sonunda esitli¼gin do¼gru oldu¼gunu görürüz ve böylece de (i)�(iv) özdesliklerini ispat
etmis oluruz.
Uyar¬4.1 Bu ispat¬m¬z sadece q = �=� seçimi için de¼gil, q�nun bütün de¼gerleri
için do¼grudur.
20
KAYNAKLAR
Andersen, J.E. and Berg, C 2009. Quantum Hilbert matrices and orthogonal
polynomials. J. Comput. Appl. Math, 233; 723-729.
Andrews, G.E. 1976. The theory of partitions. Encyclopedia of mathematics and
its applications, Vol. 2, Addison-Wesley, Reading, MA.
Cooper, C. and Kennedy, R. 1995. Proof of a result by Jarden by generalizing
a proof by Carlitz. The Fibonacci Quart., 33 (4); 304�310.
Dresel, L.A.G. 1993. Transformations of Fibonacci-Lucas identities. Applications
of Fibonacci Numbers, 5; 169�184.
Gould, H.W. 1969. The bracket function and Fontené�Ward generalized binomial
coe¢ cients with application to Fibonomial coe¢ cients, The Fibonacci
Quart., 7; 23�40.
Hoggatt, V.E. Jr. 1967. Fibonacci numbers and generalized binomial coe¢ cients.
The Fibonacci Quart., 5; 383�400.
Horadam, A.F. 1965. Generating functions for powers of a certain generalized
sequence of numbers. Duke Math. J., 32; 437�446.
Jarden, D. 1958. Recurring sequences. Riveon Lematematika, Jerusalem, Israel.
Jarden, D. and Motzkin, T. 1949. The product of sequences with a common linear
recursion formula of order 2, Riveon Lematematika, 3; 25�27,38.
Kilic, E. 2010. The generalized Fibonomial matrix. European J. Comb., 31;
193-209.
Kilic, E., Akkus, I. and Prodinger, H. 2010. A proof of a conjecture of Melham.
The Fibonacci Quarterly, 48 (3); 241-248.
Kilic, E., Akkus, I. and Prodinger, H. 2010. A generalization of a conjecture of
Melham. Utilitas Mathematica, accepted.
21
Kilic, E., Stanica, G.N. and Stanica, P. 2008. Spectral properties of some
combinatorial matrices, 13th International Conference on Fibonacci
Numbers and Their Applications.
Koshy, T. 2001. Fibonacci and Lucas numbers with applications. John Wiley &
Sons, Inc. USA.
Lind, D.A. 1971. A determinant involving generalized Binomial coe¢ cients. The
Fibonacci Quart. 9 (2); 113�119, 162.
Long, C.T. 1986. Discovering Fibonacci identities. The Fibonacci Quarterly,
24 (2); 160�167.
Melham, R.S. 1999. Families of identities involving sums of powers of the Fibonacci
and Lucas numbers, The Fibonacci Quarterly, 37 (4); 315�319.
Prodinger, H. 1997. On a question of Cooper and Kennedy. The Fibonacci Quart.,
35; 135�136.
Prodinger, H. 2001. Some applications of the q-Rice formula. Random Structures
and Algorithms, 19 (3-4); 552�557.
Seibert, J. and Trojovsky, P. 2005. On some identities for the Fibonomial
coe¢ cients. Math. Slovaca, 55; 9�19.
Stanica, P. 2003. Netted matrices, Int. J. Math. Math. Sci., 39; 2507�2518.
Torretto, R.F. and Fuchs, J.A. 1964. Generalized binomial coe¢ cients, The
Fibonacci Quart., 2; 296�302.
Trojovsky, P. 2007. On some identities for the Fibonomial coe¢ cients via
generating function. Discrete Appl. Math., 155 (15); 2017�2024.
22
ÖZGEÇM·IS
Ad¬Soyad¬: ·Ilker AKKUS
Do¼gum Yeri: Aksaray
Do¼gum Tarihi: 05/08/1978
Medeni Hali: Bekar
Yabanc¬Dili: ·Ingilizce
E¼gitim Durumu (Kurum ve Y¬l):
Lise: Aksaray Ticaret Meslek Lisesi (1993-1996)
Lisans: Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü
(1997-2001)
Yüksek Lisans: K¬r¬kkale Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,
Matematik Anabilim Dal¬(2004-2006)
Çal¬st¬¼g¬Kurum/Kurumlar ve Y¬l:
� Milli E¼gitim Bakanl¬¼g¬,
Matematik Ö¼gretmeni (Eylül 2001 - Haziran 2004)
� K¬r¬kkale Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,
Arast¬rma Görevlisi (Haziran 2004 - Eylül 2007)
� Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dal¬,
Arast¬rma Görevlisi (Ekim 2007 - ...)
Yay¬nlar¬:
� E. Kilic, I. Akkus and H. Prodinger, A Proof of a Conjecture of Melham,
The Fibonacci Quarterly, 48 (2010), no. 3, 241�248.
� E. Kilic, I. Akkus and H. Prodinger, A Generalization of a Conjecture
of Melham, Utilitas Mathematica, accepted.
23
