Embed Size (px)
Citation preview
ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
JEODEZİK AĞLARIN DENGELENMESİNDE HEDEF
PROGRAMLAMA TEKNİĞİ
Mustafa ŞİMŞEK
İSTATİSTİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2008
Her hakkı saklıdır
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
JEODEZİK AĞLARIN DENGELENMESİNDE HEDEF
PROGRAMLAMA TEKNİĞİ
Mustafa ŞİMŞEK
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK
Bu çalışmada; en küçük kareler yöntemine göre dengeleme probleminin normal
denklemlerinin, hedef programlama problemi biçiminde modellenerek dengeleme
bilinmeyenlerinin çözümü amaçlanmıştır. Bu nedenle öncelikle en küçük kareler
yöntemine göre dolaylı ölçüler dengelemesi incelenmiştir. Sonra hedef programlama,
klasik regresyon ve regresyonda ortalama mutlak sapmaların minimizasyonu problemi
(MINMAD regresyon) incelenmiştir. Daha sonra MINMAD regresyonuna doğrusal
programlama yaklaşımı ele alınmış ve böylece en küçük karelerle dengelemenin normal
denklemleri hedef programlama problemi biçimine dönüştürülmüştür.
Teorik alt yapısı oluşturulan yöntem, nivelman ağı için kullanılarak Bölüm 5.2’de bir
uygulama yapılmıştır. Uygulamada; nivelman ağı, en küçük kareler yöntemine göre
dengelendikten sonra dengelemenin normal denklemleri hedef programlama tekniğiyle
çözülmüş ve her iki yöntemin sonuçları karşılaştırılmıştır.
Aralık 2008, 63 sayfa
Anahtar Kelimeler: En küçük kareler, jeodezik ağ dengelemesi, hedef programlama,
regresyon, MINMAD regresyon
ii
ABSTRACT
Master Thesis
GOAL PROGRAMMING TECHNIQUE IN GEODETIC NETWORK
ADJUSTMENT
Mustafa ŞİMŞEK
Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Statistics
Supervisor: Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK
In this study; it was aimed to solve the unknowns of adjustment by modeling the normal
equations of least-squares adjustment problem by modeling in goal programming. In
this respect, first parametric adjustment of least-squares was analyzed then; classical
regression and the Minimum Mean Absolute Deviations (MINMAD) method of
regression were investigated in goal programming setting. Afterwards, a linear
programming approach to MINMAD regression was applied and normal equations of
least-squares adjustment were transformed into a problem of goal programming.
After developing the theoretical grounds, the method was used for a leveling network
and was applied in Chapter 5.2. In the application, after adjusting the leveling network
by least squares, the normal equations of the adjustment was also solved by goal
programming and the results of both methods were compared.
December 2008, 63 pages
Key Words: The least squares, geodetic network adjustment, goal programming,
regression, MINMAD regression
iii
TEŞEKKÜR Çalışmalarımda bilgi, öneri ve her türlü yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen
danışman hocam sayın Prof.Dr. Fikri ÖZTÜRK’e (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi),
eğitimim ve çalışmalarımda sınırsız desteğini gördüğüm İstatistik Bölümü Başkan
Yardımcısı Prof.Dr. Fahrettin ARSLAN’a (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi),
yazılı-sözlü desteğini esirgemeyen Prof.Dr. Yılmaz AKDİ’ye (Ankara Üniversitesi Fen
Fakültesi), ayrıca eğitimim ve çalışmalarım süresince büyük fedakârlıklarda bulunarak
beni destekleyen eşim Ülkü ile çocuklarım Berksan, Dilara ve Ulukan’a en derin
duygularla teşekkür ederim.
Mustafa ŞİMŞEK
Ankara, Aralık 2008
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET............................................................................................................................. i
ABSTRACT.................................................................................................................. ii
TEŞEKKÜR................................................................................................................. iii
SİMGELER DİZİNİ................................................................................................... vi
ŞEKİL DİZİNİ............................................................................................................ vii
ÇİZELGELER DİZİNİ.............................................................................................. viii
1. GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR.................................................................... 1
1.1 Giriş........................................................................................................................... 1
1.2 Önceki Çalışmalar................................................................................................... 3
2. DENGELEME HESABININ KONUSU VE ANA İLKELERİ .......................... 9
2.1 En Küçük Kareler Yöntemi.................................................................................... 9
2.2 Dengeleme Hesabının Türleri................................................................................ 11
2.2.1 Dolaysız (Direkt) ölçüler dengelemesi............................................................... 12
2.2.2 Dolaylı (Endirekt) ölçüler dengelemesi............................................................. 15
2.2.2.1 Bilinmeyenlerin seçimi..................................................................................... 15
2.2.2.2 Düzeltme denklemlerinin kurulması ve doğrusallaştırılması...................... 16
2.2.2.3 Normal denklemlerinin kurulması ve çözümü.............................................. 19
3. HEDEF PROGRAMLAMA.................................................................................. 25
3.1 Hedef Programlama Bileşenleri............................................................................ 27
3.2 Hedef Programlamanın Matematiksel Modeli.................................................... 28
3.3 Hedef Programlama Türleri.................................................................................. 30
4. REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ......................................................................... 35
4.1 Klasik Regresyon.................................................................................................... 35
4.2 Regresyonda Ortalama Mutlak Sapmaların Minimizasyonu............................ 36
4.2.1 MINMAD regresyonuna doğrusal programlama yaklaşımı........................... 37
5. EN KÜÇÜK KARELERLE DENGELEME PROBLEMİNİN NORMAL
DENKLEMLERİNİN HEDEF PROGRAMLAMA PROBLEMİ OLARAK
MODELLENMESİ VE DENGELEME BİLİNMEYENLERİNİN
TAHMİNİ…........................................................................................................... 41
v
5.1 En Küçük Karelerle Dengeleme Probleminin Normal Denklemlerinin
Hedef Programlama Problemi Olarak Modellenmesi..................................... 41
5.2 Sayısal Uygulama................................................................................................. 44
5.2.1 En küçük kareler yöntemine göre dengeleme................................................... 46
5.2.2 Dengeleme probleminin hedef programlama ile çözümü................................ 53
5.3 Tartışma ve Sonuç............................................................................................... 55
KAYNAKLAR.............................................................................................................. 58
ÖZGEÇMİŞ.................................................................................................................. 61
vi
SİMGELER DİZİNİ
ABD Amerika Birleşik Devletleri
GPS Global Positioning System
GLONASS Global Navigation Satellite System
IRNSS Indian Regional Navigational Satellite System
MINMAD Ortalama mutlak sapmanın minimizasyonu (Minimizing mean absolute
deviation)
ϕ Enlem
λ Boylam
h Yükseklik
vii
ŞEKİL DİZİNİ
Şekil 5.1 Uygulama alanı olarak seçilen Nivelman ağı………………………………45
viii
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 3.1 Hedef programlamada hedef türleri .......................................................... 30
Çizelge 5.1 Nivelman ölçüleri (Öztürk ve Şerbetçi 1989)............................................ 45
Çizelge 5.2 Ağ noktalarının yaklaşık yükseklikleri...................................................... 46
Çizelge 5.3 Sayısal düzeltme denklemleri………………………………………….... 49
1
1. GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR
1.1 Giriş
Yeryüzünün bir modeli olan haritaların yapımı için fiziksel yeryüzünde yapılan ölçüler
bir ağ yaklaşımı ile ele alınır. Haritalar çeşitli yöntemlerle yapılabilir; ancak, bir
haritanın yapım yöntemi ne olursa olsun, yapım için öncelikli olarak sabit noktalar ağı
olarak bilinen ağlara ihtiyaç vardır. Bu ağlar jeodezik ağ olarak adlandırılmaktadır.
Jeodezik ağlar belli kurallara göre yeryüzünde işaretlenmiş noktalardan oluşur. Kontrol
noktaları adı verilen ağ noktaları doğrultu, uzaklık, nivelman, gravite, uydu v.b. ölçüleri
ile birbirine bağlanır. Geometrik ve fiziksel ölçü büyüklükleri matematiksel modeller
yardımıyla değerlendirilerek kontrol noktalarının koordinatları, yükseklikleri, gravite
değerleri ve bunların duyarlıkları belirlenir. Bu değerlendirme işlemi yaygın olarak en
küçük kareler yöntemine göre dengeleme biçiminde yapılmaktadır. Jeodezik ağlar, tek
boyutlu ağlar (nivelman ağları = yükseklik ağları, gravite ağları), iki boyutlu ağlar
(genel olarak x, y koordinatları) ve üç boyutlu ağlar (genel olarak x, y, z koordinatları
ya da h,,λϕ (enlem, boylam, yükseklik) koordinatları) olarak bilinmektedir (Demirel
1987a,b).
İlkel insanların gittikleri ya da gidecekleri yeri herhangi bir şekilde kaydetmek, çizmek
gereksinimiyle başlayan haritacılık alanındaki bilinen ilk harita MÖ 3800 yılına aittir.
Bu harita Harran (Urfa) civarında Nuzi’de (Kerkük-Yorgantepe) bir kil tablet üzerine
çizili olarak bulunmuştur (Şerbetçi 2003).
İnsanoğlunun gittiği yerlerden kaybolmadan geri gelebilme temel düşüncesiyle başlayan
haritacılığın ve haritacının bu gün mühendislik çalışmalarında büyük katkısı vardır.
Büyük mühendislik projelerinde haritacısız bir çalışma düşünülemez. Örneğin, 1899
yılında hizmete giren ve 19.8 km uzunluğunda olan Alp dağlarının altındaki Simplon
tünelinin iki tarafından yapılan çalışma ile tünel ekseninin 20 cm lik bir hata ile
birleştirilmesi haritacılık açısından o yılların teknolojisi ile gerçekleştirilen çok güzel ve
örnek bir uygulamadır (Şerbetçi 2003).
2
Geometrik ya da fiziksel büyüklüklerin ölçülmesi sonucunda elde edilen ölçüler hata ile
yüklüdür. Söz konusu hatalar, ölçme işini yapanların duyu organlarının algılarının
sınırlı olmasından, teknolojik olarak ne kadar gelişmiş olursa olsun kullanılan ölçü
aletlerinin ölçme inceliklerinin kısıtlı olmasından ya da fiziksel çevre koşullarından
kaynaklanabilir. Bu nedenle, uygulamaya yönelik bir problemin çözümü için yalnızca
gerekli sayıda ölçü ile yetinilmeyip gereğinden fazla sayıda ölçü yapılır. Ölçüler
arasındaki çelişkileri giderebilmek ve ölçülerle bilinmeyenler arasındaki fonksiyonel
ilişkileri kesin olarak sağlayabilmek için dengeleme hesabı yapılır. Dengeleme hesabı
sonucunda ölçülere düzeltmeler eklenir. Böylece ölçülerin ve bilinmeyenlerin kesin
değerleri hesaplanabildiği gibi sözü edilen büyüklüklerin ya da bunlardan birkaçının
fonksiyonlarının duyarlıkları da belirlenebilmektedir (Öztürk 1987).
Dengeleme sonucunda elde edilen dengeli (kesin) değerlerin duyarlıkları ilk ölçülerin
duyarlıklarından daha yüksektir. Dengeleme hesabının bir başka yararı da sözü edilen
bu daha duyarlı sonuçların elde edilmesidir. Ancak, dengeli değerlerin duyarlığı ilk
ölçülerin duyarlıklarına bağlı olduğundan buradaki duyarlık kazancı ölçülerin
duyarlıkları ile sınırlıdır. Dengeleme hesabı hiçbir zaman kötü ölçülerden iyi sonuçlar
elde etme aracı olarak düşünülemez (Öztürk 1987).
Dengeleme hesabı yapabilmek için iki önemli ön koşul vardır.
1. Ölçülerin sayısı gereğinden fazla olmalıdır.
2. Yapılan ölçülerin önsel duyarlıkları aşağı yukarı kestirilebilmelidir.
Fazla ölçü yoksa dengeleme hesabı uygulanmaz. Bilinmeyenler cebirsel denklem
çözümü yoluyla hesaplanır. Yalnız yeterince ölçünün söz konusu olduğu durumlarda
ölçülerin duyarlıkları biliniyorsa, bilinmeyenlerin duyarlıkları “Hata Yayılma Kuralı”
uygulanarak kestirilebilir.
3
Hedef programlamada birden fazla amaç aynı anda modellenebildiği için, jeodezik
ağların en küçük karelerle dengelenmesi probleminde oluşturulan normal denklemlerin
her biri bir amaç olarak alınabilir.
Bu çalışmada jeodezik ağların dengeleme probleminin normal denklemlerini hedef
programlama tekniği kullanarak çözmek amaçlanmıştır.
Çalışmanın İkinci Bölümünde dengeleme hesabının konusu ve ana ilkeleri verilecektir.
Bu kapsamda en küçük kareler yöntemi, dolaysız ve dolaylı ölçüler dengelemesi
tanıtılacaktır.
Üçüncü Bölümde, hedef programlama kavramı incelenerek hedef programlamanın
matematiksel yapısı ve türleri verilecektir.
Dördüncü Bölümde, kısaca klasik regresyon bağıntıları verildikten sonra regresyonda
ortalama mutlak sapmaların minimizasyonu (MINMAD regresyon) ele alınacak ve
MINMAD regresyonun doğrusal programlama ile çözümü incelenecektir.
Beşinci Bölümde, en küçük karelerle dengeleme probleminin normal denklemleri hedef
programlama problemi olarak modellenecek ve bu model bir nivelman ağında
kullanılarak uygulama yapılacaktır. Uygulamada, öncelikle nivelman ağı en küçük
kareler yöntemine göre dengelenerek çözüm elde edildikten sonra nivelman ağının
normal denklemleri hedef programlama problemi olarak çözülecek ve her iki yöntemin
sonucu karşılaştırılacaktır.
1.2 Önceki Çalışmalar
En küçük kareler yöntemi ilk kez 19. yüzyılın başlarında Alman bilim adamlarından
Carl Friedrich Gauss ve Fransız bilgini A. M. Legendre tarafından bulunmuştur. Bu iki
bilim adamı, birbirlerinden habersiz olarak buldukları en küçük kareler yöntemini aynı
4
yıllarda uygulamışlardır. Gauss, 1794 yılında uygulamaya başladığı en küçük kareler
yönteminin ilk başarılı sonucunu 1802 yılında almıştır. O yıllarda İtalyan
astronomlarından Joseph Piazzi, Ceres gezegenini keşfetmiş ve 41 gün süreyle bu küçük
gezegenin yörüngesinin ancak 9º lik bölümünü gözleyebilmiştir. Piazzi birkaç ay sonra
gözlemlerini yayımlayınca, zamanın ünlü astronomları ve bu arada Göttingen’li genç
Dr. Gauss gezegenin yörüngesini belirlemeye çalışmışlardır. Gauss’un en küçük kareler
yöntemine göre hesapladığı yörünge elemanlarını kullanan Gotha’lı astronom Von Zach
gezegeni tekrar gözlemeyi başarmıştır (Ulsoy 1974, Öztürk 1987).
En küçük kareler yöntemi önceleri astronomik ölçülerin dengelenmesi için kullanılmış,
hemen ardından da jeodezik ölçülerin dengelenmesi için uygulanmıştır. Gauss ve F. W.
Bessel en küçük kareler yöntemini jeodezik problemlere uygulayan ilk bilim
adamlarıdır.
Dengeleme problemi, “bilinmeyenlerin sayısından daha fazla sayıda denklemlerle bu
denklemlerden hiç birini tercih veya terk etmeden, bilinmeyenlerin en uygun değerlerini
bulmaktır” şeklinde ifade edilebilir. Bu kapsamda, en küçük kareler yönteminin mucidi
Gauss’un 1830 yılında Bessel’e yazmış olduğu “Nirengi ağımı hiç bir tercih ve terkte
bulunmaksızın dikkatle dengelemeye tabi tuttum” sözleri dikkate değerdir (Ulsoy
1974).
En küçük kareler yöntemine ait ilk esaslar, Gauss tarafından 1794 yılında, 17 yaşında
bir üniversite öğrencisi iken bulunmuştur. Takriben aynı yıllarda Legendre tarafından
aynı yöntem bulunmuş ve Gauss’tan önce 1806 yılında yayımlanmıştır. Fakat Gauss’un
o zamanlara ait mektuplarından en küçük kareler yöntemini Legendre’den önce
kullanmakta olduğu tespit edilmiştir (Ulsoy 1974).
En küçük kareler yöntemi ile ilgili yayınlar olarak aşağıdaki eserler sayılabilir (Öztürk
1987):
5
* 1806 yılında Legendre’nin en küçük kareler yöntemi konusundaki ilk kitabı
yayımlanmış, daha sonra 1810 yılında ikinci baskısı yapılmıştır.
* 1809, 1821, 1823, 1826 yıllarında Gauss, en küçük kareler yöntemi konusunda
bir dizi makale yayımlamıştır.
* 1843 yılında Gauss’un öğrencisi, Maarburg’da profesör olan Chr. L.
Gerling’in “Uygulamalı Geometride Dengeleme Hesabı ya da En Küçük Kareler
Yöntemi” adlı kitabı yayımlandıktan sonra, söz konusu yöntem yaygın kullanım alanı
bulmuştur.
* 1850 yılında Baden Harita Dairesi başmühendisi Rheiner en küçük kareler
yöntemini, 10 yıl boyunca yapılan sayısız I. Derece nirengi ağı açılarının dengelenmesi
için uygulamıştır.
* Yöntemin II. ve daha düşük dereceli nirengi ağlarına uygulanması, 19.
yüzyılın sonlarında bir başka Gauss olan, Prusya Kadastro Dairesi Organizatörü
Friedrich Güstav Gauss’un “En Küçük Kareler Yöntemi” adlı kitabı yayımlandıktan
sonra gerçekleşmiştir. O günden beri jeodezinin her dalında vazgeçilmez bir yöntem
olarak uygulanmaktadır.
* 1907 yılında F. R. Helmert, Gauss’un en küçük kareler yöntemini geliştirilmiş
biçimiyle yayımlamıştır.
* 1924 yılında F. R. Helmert, “Korelasyonlu” ölçüler için “En Küçük Kareler
Yöntemine Göre Dengeleme Hesabı” kitabını yayımlamıştır.
* 1950’li yıllarda “Matris Gösterimi” dengeleme hesabına uygulandıktan sonra
“Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi”nin bağıntıları daha kısa ve öz biçimde
açıklanabilir duruma gelmiştir. Bu gelişmelerin öncülüğünü Danimarkalı H. Jensen ve
E. Andersen, İsveçli A. Bjerhammar ve Belçikalı R. Marchant yapmışlardır.
* 1952 yılında Alman bilim adamı E. Gotthardt’ın “Dengeleme Hesabının
Temel Bağıntılarının Matris Gösterimi ile Çıkarılması” adlı çalışması yayımlandıktan
sonra “Matris Gösterimi ile Dengeleme Hesabı” jeodezide hak ettiği önemi kazanmıştır.
6
* 1956 yılında Hollandalı J. M. Tienstra korelasyonlu ölçüler için
“Genelleştirilmiş En Küçük Kareler İlkesi”ni matris gösterimi ile elde etmiş ve “Normal
Dağılmış Ölçülerle Dengeleme Kuramı” adlı kitabını yayımlamıştır.
Matris cebri ile büyük boyutlu sayısal problemler çok kısa ve açık bir biçimde
tanımlanabilmekte, karmaşık hesaplama yöntemleri kolaylıkla açıklanıp
uygulanabilmektedir. Başlangıçta elde bulunan verilerle ara hesaplama işlemleri ve
kesin sonuçlar arasındaki ilişkiler rahatlıkla kurulabilmekte, klasik gösterimde karmaşık
işlemlerle ulaşılan denetim bağıntıları kolayca çıkarılabilmektedir. Bilgisayarlar
aracılığı ile doğru ve hızlı hesap yapma olanakları çok yaygınlaşmış olup matris
cebrinin temel işlemleri de paket programlar biçimine dönüştürülmüştür. Söz konusu
programlardan yararlanarak uygulamalı matematik, hata kuramı, jeodezik ağların
dengelenmesi, koordinat dönüşümü ve fotogrametrinin diğer dallarında karşılaşılan
dengeleme problemlerinin tümü matris cebri kullanılarak rahatlıkla programlanmakta ve
çözülebilmektedir (Öztürk 1987).
1960’lı yıllarda, dengeleme hesabının hata kuramı ve matematik istatistiğe dayanan
kavramlarına önem verilmiştir. Bunun sonucunda, veriler arasında fiziksel ve cebirsel
korelasyonlar göz önüne alınarak sonuçların duyarlıkları, korelasyonları ve
güvenirlikleri daha gerçekçi bir biçimde ortaya konulabilir duruma gelmiştir. Bu
konudaki yayınlardan (Wolf 1968,1975,1979), (Grossmann 1969), (Meissl 1969), (Rao-
Mitra 1971), (Pelzer 1971,1978,1980), (Schmitt 1978,1979), (Grafarend 1980), (Koch
1980), (Welsch 1980) örnek olarak sayılabilir (Öztürk 1987).
Jeodezik ağların geliştirilmesi ve iyileştirilmesi, 1980’li ve 1990’lı yıllarda bilgisayar
teknolojisindeki baş döndürücü hız ve uydu tekniklerinin uygulamaya girmesiyle çok
büyük bir ivme kazanmıştır. Bu gelişmeler sayesinde geleneksel biçimde iki boyutlu
olarak oluşturulan nirengi ağları üç boyutlu, hatta zaman değişkeni ile dört boyutlu
olarak oluşturulmaya başlanmıştır. Bu gün uydu sistemleri kapsamında GPS (Global
Positioning System), GLONASS (Global Navigation Satellite System) ve GALILEO
sistemi sayılabilir. Bu sistemler ve oluşturulacak daha başka yeni uydu sistemleri
7
jeodezik ağların gelecekte kullanımına hizmet edecektir. Bu gün faaliyette olan ve kısa
bir zaman içinde faaliyete girecek olan sistemler hakkında çok özet bilgiler aşağıda
verilmiştir.
GPS, uydu sistemleri içinde tam aktif olarak çalışan tek sistemdir. Amerikan Deniz ve
Hava Kuvvetlerinde yürütülen iki ayrı proje birleştirilerek GPS oluşturulmuş ve 1980’li
yıllardan itibaren etkin olarak kullanılmaya başlanmıştır. Sistem başlangıçta 21 aktif ve
3 yedek olmak üzere 24 adet uydudan oluşacak şekilde tasarlanmıştır. İlk test uydusu
1978 yılında fırlatılmıştır. Sistemde Mart 2008 itibariyle 31 uydu aktif olarak
çalışmaktadır. GPS ile konum, hız, yön ve zaman belirlenebilmektedir.
GLONASS, 1976 yılında eski Sovyetler Birliği tarafından geliştirilmeye başlanmış ve
1991 de bitirilmesi hedeflenmiştir. Sovyetler Birliğinin dağılmasıyla sistemin sahibi
Rusya Federasyonu olmuştur. 12 Ekim 1982 tarihinden başlamak üzere sistemin
tamamlandığı 1995 yılına kadar sisteme çok sayıda uydu ilave edilmiştir. Ancak Rus
ekonomisindeki kötüleşmeye bağlı olarak sistem bakımsız kalmıştır. 2001 yılından
itibaren sistem iyileştirilmeye başlanmış ve Hindistan’ın da projeye ortak olmasıyla
sistemin 2011 yılında tam faal olması beklenmektedir. 21 aktif ve 3 yedek olmak üzere
24 uydu olarak planlan sistemde Mart 2008 itibariyle 16 uydu aktif olarak faaliyettedir.
Sistem eş anlı konum ve hız belirlemek amacıyla tasarlanmıştır.
GALILEO, Avrupa Birliği tarafından ABD’nin GPS ve Rusya’nın GLONASS
sistemine alternatif olarak geliştirilen bir sistemdir. Toplam 30 adet uydudan oluşması
tasarlanan Galileo sisteminin ilk uydusu 2005 yılında fırlatılmıştır. Sistemin 2010
yılında tamamlanması öngörülmektedir. Galileo tasarısı, 1999 yılında Almanya, Fransa,
İtalya ve İngiltere tarafından önerilen dört farklı taslağın değerlendirilmesiyle
başlamıştır. 2003 yılında Avrupa Birliği ve Avrupa Uzay Ajansı tasarıyı resmi olarak
üstlenmiştir.
Tamamen benzer amaçlarla fakat farklı ülkeler tarafından tasarlanan sistemlere de
Hindistan tarafından oluşturulan ve 2012 yılında aktif hale gelmesi beklenen
8
IRNSS (Indian Regional Navigational Satellite System) ile Çin tarafından geliştirilen ve
hâlihazırda 5 uydusu ile faal durumda olan BEIDOU-II (COMPASS) örnek olarak
verilebilir.
9
2. DENGELEME HESABININ KONUSU VE ANA İLKELERİ 2.1 En Küçük Kareler Yöntemi Bir büyüklük için yapılan ölçülerin rastgele hatalarla yüklü olmaları nedeniyle,
büyüklüğün gerçek değerini vermeleri beklenemez. Ölçülen büyüklüğün gerçek değeri
genellikle bilinmediği için, ölçülerden amaç, gerçek değere yaklaşık bir değer
bulmaktır. Bir büyüklük için tek bir ölçü yapılmışsa (örneğin, iki nokta arasındaki
uzunluk bir defa ölçülmüşse) ya da bir problemin çözümü için yeteri sayıda ölçü
yapılmışsa (örneğin, problem düzlem bir üçgenin iç açılarını belirlemek olduğunda
yalnızca iki açı ölçülmüşse), başka bir seçenek olmadığı için, büyüklüklerin gerçek
değerlerine yaklaşık değerler, yeterli sayıda yapılan ölçü değerleridir. Buna karşılık
yeterinden fazla ölçü yapılmışsa (örneğin, iki nokta arasındaki uzunluk birden fazla
ölçülmüşse ya da düzlem bir üçgenin üç açısı da ölçülmüşse), gerçek değerler yerine
alınacak yaklaşık değerler için değişik seçenekler vardır. Örneğin bir uzunluk için
yapılan ölçülerin her biri gerçek değere yaklaşık değer olarak alınabilir ya da tüm
ölçülerden yararlanılarak, ölçü değerlerinin dışında bir değer bulunabilir. Bununla
beraber ölçülerin gerçek değerlerine yaklaşık değer olarak alınacak değerlerin şu
özellikleri taşıması istenir (Aksoy 1981):
(1) Yaklaşık değer gerçek değere ölçülerin her birinden daha yakın olmalı, yani
standart sapması, ölçülerinkinden daha küçük olmalıdır.
(2) Gerçek değerlerin sağladığı tüm teorik ilişkileri sağlamalıdır (örneğin, düzlem
bir üçgenin iç açılarının gerçek değerlerinin toplamı 180º dir. Bu gerçek değerler
için bulunacak yaklaşık değerlerin toplamı da 180º olmalıdır).
Gerçek değerler için 2’nci koşulu sağlayacak yaklaşık değerlerin bulunmasına
“Ölçülerin Dengelenmesi” denir (Aksoy 1981). Dengeleme sonucu bulunan değerlere
kesin değer denir.
10
Dengeleme hesabının amacı; gereğinden fazla sayıda yapılmış ölçülerden hiç birini
seçip ayıklamaksızın, bilinmeyenlerin en uygun değerlerini belirlemek, ölçülerin, kesin
değerlerin ya da bunların fonksiyonlarının duyarlıklarını ve güvenirliklerini saptamaktır.
Bu amaca ulaşabilmek için uygulanan ilke, Gauss’un “En Küçük Kareler
İlkesi”dir (Ulsoy 1974, Öztürk ve Şerbetçi 1989).
Bir büyüklüğün gerçek değeri X , gerçek değere yaklaşık değer (kesin değer) x ile
gösterilsin. Bu büyüklük için yapılan ölçü iL ve ölçünün gerçek düzeltmesi
iε+
(gerçek hata iε− ) ile
iiLX ε+= (2.1)
olacaktır. Beklenen değeri sıfır olan gerçek düzeltme iε için dengeleme hesabıyla
bulunacak bir iV değeri ile
ii VLx += (2.2)
olur. Burada iV , “düzeltme değeri” ya da kısaca “düzeltme” olarak bilinir.
Yaklaşık değerlerin 1’inci koşulu sağlaması için, yani standart sapmasının en küçük
olması için dengeleme ile bulunacak iV düzeltmelerinin
[ ] =PVV minimum (2.3) koşulunu sağlaması gerekir (Aksoy 1981). Burada niPi ,,2,1( K= ölçü sayısı),
ölçülerin ağırlığıdır. (2.3) bağıntısı en küçük kareler olarak bilinmektedir.
Gerçek değerlere yaklaşık değer bulmak üzere ölçüler için (2.3) bağıntısı ile ifade edilen
koşulu sağlayacak iV düzeltmelerinin bulunmasına “Ölçülerin En Küçük Kareler
Yöntemine Göre Dengelenmesi” denir ve düzeltmelerin bu yöntemle hesaplanmasından
sonra (2.2) eşitliğiyle bulunacak yaklaşık değer “Ölçünün Kesin Değeri” ya da
“Ölçünün Dengelenmiş Değeri” ya da “En Olasılıklı Değer” adını alır (Aksoy 1981).
11
2.2 Dengeleme Hesabının Türleri Dengeleme hesabı, ölçülerin bağımsız ya da korelasyonlu olmasına göre “Bağımsız
Ölçüler Dengelemesi” ya da “Korelasyonlu Ölçüler Dengelemesi” olarak tanımlanır.
Ölçüler için (2.3) bağıntısı ile verilen minimum koşulunu sağlayacak düzeltmelerin “en
küçük kareler yöntemine göre dengeleme” ile hesaplanmasında değişik çözüm yolları
vardır. Bunlar;
a. Dolaysız (direk) ölçüler dengelemesi,
b. Dolaylı (en direk) ölçüler dengelemesi,
c. Koşullu (şartlı) ölçüler dengelemesi,
ç. Koşul denklemli dolaylı ölçüler dengelemesi,
d. Bilinmeyenli, koşullu ölçüler dengelemesi
adları altında sıralanabilir. Burada sadece dolaysız ve dolaylı ölçüler dengelemesine
ilişkin teorik temeller verilecektir. Diğer dengeleme türleri birçok kaynakta (örneğin,
Ulsoy 1974,1980, Wolf 1975, Öztürk ve Şerbetçi 1992) bulunabilir.
Bir problemin çözümü için yapılan ölçüler nLLL ,,, 21 K , bu ölçülere ilişkin düzeltmeler
nVVV ,,, 21 K ile gösterilir ve bu ölçülerden yararlanarak belirlenmesi istenen u sayıda
bilinmeyen uzyx ,,,, K olarak tanımlanırsa, ölçülerin dengeli değerleri ile
bilinmeyenler arasındaki ilişkiler
Ölçü + Düzeltmesi = Bilinmeyenlerin fonksiyonu
genel bağıntısı ile
niuzyxVL iii ,,2,1,),,,( KK ==+ φ (2.4)
biçiminde gösterilebilir (Öztürk ve Şerbetçi 1989). Burada ),( 11 VL +
)(,),( 22 nn VLVL ++ K biçimindeki terimler “Dengeli Ölçüler” ya da “Ölçülerin
Kesin Değeri” olarak adlandırılır ve
niVLL iii ,,2,1,ˆ L=+= (2.5)
12
şeklinde gösterilebilir. Fonksiyonel Model: Ölçülerle bilinmeyenler arasındaki geometrik ve fiziksel ilişkileri
gösteren fonksiyonlardır. (2.4) bağıntısıyla tanımlanan bu fonksiyonlara “Deterministik
Model” de denilmektedir (Öztürk 1987).
Stokastik Model: Ölçülerin duyarlıkları (standart sapmaları ve ağırlıkları) ve
aralarındaki korelasyonlar konusunda, dengelemeden önce elde bulunan bilgilere
stokastik model denir (Öztürk 1987).
Fonksiyonel ve stokastik modeller dengeleme hesabının temelini oluştururlar. Söz
konusu modeller dengelemeden önce kurulurlar.
Bir dengeleme probleminde :n ölçülerin sayısı, :u bilinmeyen sayısı (tek anlamlı
çözüm için gerekli ölçü sayısı) olmak üzere unf −= fazla ölçü sayısı olarak
tanımlanır. Bu duruma göre:
un > ya da 0>f ise fazla ölçü vardır. Ölçüler dengelenerek kesin değerler
bulunur.
un = ya da 0=f ise problemin tek anlamlı çözümü olup bu çözüm denklem
çözümü yolu ile elde edilir.
un < ya da 0<f ise problemin tek anlamlı çözümü için yeterli ölçü yoktur.
Varsayımlara dayalı çözümler bulunabilir.
2.2.1 Dolaysız (Direkt) ölçüler dengelemesi Aranan büyüklüğün doğrudan ölçüldüğü durumlarda elde edilen ölçüler dolaysız ölçüler
yöntemi ile dengelenirler. Aynı bir büyüklüğün belirlenmesi için yapılan; duyarlıkları
farklı, bağımsız ve dolaysız ölçüler nLLL ,,, 21 K , bunların ağırlıkları nPPP ,,, 21 K
13
olsun. Bu ölçülerin en küçük kareler yöntemi ile dengelenmesi sonucunda hesaplanacak
düzeltmeleri nVVV K,, 21 ve ölçülen büyüklüğün kesin değeri x ile gösterilsin. Ölçülerle
bilinmeyenin kesin değeri arasındaki fonksiyonel ilişkiler
Ölçü + Düzeltmesi = Bilinmeyenin kesin değeri
genel ifadesi kullanılarak, Fonksiyonel Model (Düzeltme Denklemleri),
ii
ii
LxV
xVL
−=
=+ (2.6)
bağıntısı ile kurulabilir (Öztürk 1987). x için 0x gibi bir yaklaşık değer ve yeni bir
bilinmeyen dx (küçültülmüş bilinmeyen) seçilerek
dxxx += 0 (2.7)
ile
ii LxdxV −+= 0
ve burada
ii lLx −=−0 (2.8)
tanımı yapılarak Dengelemenin Fonksiyonel Modeli (Düzeltme Denklemleri) için
ii ldxV −= (2.9)
bağıntısı elde edilir. il− , “küçültülmüş ölçüler ya da ötelenmiş ölçüler” olarak
bilinir. Küçültülmüş ölçülerin ağırlıkları da iP olur ve bunlar
nPPP ,,, 21 K (2.10)
şeklinde dengelemenin stokastik modelini oluştururlar.
(2.9) eşitliği ile verilen fonksiyonel model ile (2.10) eşitliği ile verilen stokastik model
14
Düzeltme Denklemi Ağırlık
ii ldxV −= iP (2.11)
biçiminde yazılarak dengelemenin “Matematik Model”i oluşturulur (Öztürk 1987).
(2.11) bağıntılarında her iki tarafın karesi alınıp, ilgili ağırlıklarla çarpıldıktan sonra
toplamları oluşturulursa
[ ] [ ] [ ] [ ]PllPldxPdxPVV +−= 22 (2.12) elde edilir. Dengelemenin amaç fonksiyonu (2.3) bağıntısı ile verilen minimum
koşuludur.
En küçük kareler yöntemine göre amaç fonksiyonunun minimum olması için,
fonksiyonun bilinmeyene göre birinci türevi sıfır olmalıdır. (2.12) eşitliğinin dx ’e göre
türevi alınıp sıfıra eşitlenerek
[ ] [ ] [ ] 022 =−=∂
∂lPdxP
dx
PVV
[ ] [ ] 0=− PldxP (2.13) biçiminde normal denklem ve
[ ][ ]P
Pldx = (2.14)
olarak dengeleme bilinmeyeni (küçültülmüş bilinmeyen) bulunur. Dengeleme
bilinmeyeni bulunduktan sonra (2.7) bağıntısı ile bilinmeyenin kesin değeri ve (2.9)
bağıntısı ile de düzeltmeler hesaplanır.
(2.11) bağıntılarında eşitliklerin her iki tarafı ilgili ağırlıklarla )( iP çarpıldıktan sonra
bunların toplamları oluşturulursa
[ ] [ ] [ ]PlPdxPV −= (2.15)
15
elde edilir. Burada dx için (2.14) deki değeri yerine konursa düzeltmelerin ağırlıklı
toplamı için
[ ] 0=PV (2.16) elde edilir.
Ölçülerin ağırlıkları 1 ise dengelemenin stokastik modeli
121 ==== nPPP L (2.17)
biçimindedir. Bu durumda (2.3) bağıntısı ile verilen amaç fonksiyonu
[ ] =VV minimum (2.18) biçimini alır. Böylece (2.14) bağıntısına benzer olarak dengeleme bilinmeyeni
[ ]n
ldx = (2.19)
aritmetik ortalama şeklinde elde edilir (Wolf 1975, Aksoy 1981, Öztürk 1987).
(2.16) bağıntısı için de
[ ] 0=V (2.20) geçerli olur.
2.2.2 Dolaylı (Endirekt) ölçüler dengelemesi
2.2.2.1 Bilinmeyenlerin seçimi
Bir dengeleme probleminin çözümü için birden fazla bilinmeyenin birlikte belirlenmesi
gerekiyorsa ya da aranan büyüklükler doğrudan ölçülemiyorsa ve yapılan ölçülerin
sayısı da bilinmeyenlerin sayısından fazla ise “Dolaylı Ölçüler Dengelemesi” söz
konusudur. Çoğu kez bilinmeyenler doğrudan ölçülmeyip onların fonksiyonları olan
16
diğer büyüklükler ölçülür. Örneğin, nokta kestirme problemlerinde istenenler,
kestirilecek noktanın koordinatlarıdır. Buna karşılık koordinatlar değil de doğrultu
açıları ölçülür ve bu doğrultular yardımıyla noktaların koordinatları olan bilinmeyenler
hesaplanırlar. Dolaylı ölçüler dengelemesinde ilk aşama bilinmeyenlerin seçimidir.
Bilinmeyenlerin sayısı, problemin geometrik anlamda çözümü ya da çizimi için gerekli
ölçü sayısı kadardır. Hangi büyüklüklerin bilinmeyen olarak seçilmesi gerektiği, çoğu
kez önceden bilinir. Nokta kestirmelerinde kestirilecek noktanın koordinatları, nivelman
ağlarında noktaların yükseklikleri ya da yükseklik farkları, gravite ağlarında noktaların
gravite değerleri bilinmeyen olarak seçilir (Öztürk ve Şerbetçi 1989).
Bilinmeyenler, düzeltme denklemlerinin kolayca kurulmasını sağlayacak biçimde
seçilmelidir. Uygun durumlarda, ölçülen büyüklüklerden gerekli ölçü sayısı kadarı,
doğrudan bilinmeyenler olarak ele alınabilir. Bilinmeyenlerin aşağıdaki özellikleri
taşıması istenir (Aksoy 1981):
- Ölçülerin tümünün kesin değerleri bilinmeyenlere dayalı olarak hesaplanabilmelidir
(örneğin, düzlem bir üçgende üç bilinmeyen olarak üç açının seçilmesi halinde,
kenarların kesin değerlerini bu bilinmeyenlerin bir fonksiyonu olarak ifade etmek
olanağı yoktur).
- Bilinmeyenler bağımsız olmalıdır. Yani bir bilinmeyen, diğerlerine dayalı olarak
hesaplanamamalıdır.
- Standart sapması istenen büyüklüğün bilinmeyen olarak seçimi, bu isteğin
karşılanmasını kolaylaştırır.
- Bilinmeyenler fonksiyonel modelin kolay kurulmasına uygun olmalıdır.
2.2.2.2 Düzeltme denklemlerinin kurulması ve doğrusallaştırılması
Bir problemin çözümü için n sayıda ölçü yapılmış ve bu ölçü sayısı problemin
geometrik anlamda çözümü ya da çizimi için gerekli olan ölçü sayısından (u ) fazla ise,
söz konusu problemi dolaylı ölçüler yöntemi ile dengeleyebilmek için her ölçüye ilişkin
17
bir düzeltme denklemi yazılır. Problemin çözümü için yapılan; duyarlıkları farklı,
bağımsız ve dolaylı ölçüler nLLL ,,, 21 K , bunların ağırlıkları ,,,, 21 nPPP K dengeleme
sonucunda hesaplanacak düzeltmeleri nVVV K,, 21 olsun ve bilinmeyenlerin kesin
değerleri uzyx K,,, ile gösterilsin. Bu durumda düzeltme denklemleri,
Ölçü + Düzeltmesi = Bilinmeyenlerin fonksiyonu
kuralına göre (2.4) bağıntısı yardımıyla kurulur. Bu şekilde oluşturulan denklemlere
“İlk Düzeltme Denklemleri” denir (Aksoy 1981, Öztürk ve Şerbetçi 1989). Ölçülerle
bilinmeyenler arasındaki fonksiyonel ilişkileri içeren bu düzeltme denklemleri
genellikle doğrusal değildir.
Doğrusal olmayan ilk düzeltme denklemlerinin doğrusallaştırılması için bilinmeyenlerin
yaklaşık değerleri ),,,( 000 Kzyx gereklidir. Bu değerler, ölçülerden bir bölümü ile bir
ön hesaplama yapılarak elde edilebilir. Örneğin, bir nivelman ağı dengelemesinde
noktaların yaklaşık yükseklikleri, yapılan nivelman ölçüleri yardımıyla elde edilebilir.
Bunun gibi bir nirengi ağı dengelemesinde de yeni noktaların yaklaşık koordinatları,
bilinen noktalardan koordinat taşıma yoluyla üretilir. Bu durumda, ),,,( 000 Kzyx
bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri ve K,,, dzdydx yeni bilinmeyenler (küçültülmüş
bilinmeyenler) olmak üzere kesin değerler (dengeli değerler) için
MMM
dzzz
dyyy
dxxx
+=
+=
+=
0
0
0
(2.21)
bağıntıları göz önüne alınırsa (Ulsoy 1974), dengeli ölçülerle bilinmeyenlerin kesin
değerleri arasında kurulan ve (2.4) bağıntısıyla verilen ilk düzeltme denklemleri
nidzzdyydxxVL iii KK ,2,1,),,,( 000 =+++=+ φ
biçimini alır. Bu bağıntı
terimlerdereceliüstdzz
dyy
dxx
zyxVL iii
iii ++∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=+ LK 000000 )()()(),,,(
φφφφ (2.22)
18
biçiminde Taylor serisine açılır. Bilinmeyenler için yeterli büyüklükte yaklaşık
değerlerin seçildiği durumlarda 2’nci ve daha yüksek dereceden terimlerin etkisi göz
ardı edilebileceğinden (Aksoy 1981), (2.22) bağıntısı
LK +∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=+ dz
zdy
ydx
xzyxVL iii
iii 000000 )()()(),,,(φφφ
φ (2.23)
biçimini alır. Bu bağıntıdaki sıfır alt simgesi, yaklaşık değerlerin kullanılacağı anlamına
gelir. Burada
K,)(,)(,)( 000 i
i
i
i
i
i cz
by
ax
=∂
∂=
∂
∂=
∂
∂ φφφ (2.24)
iii lLzyx −=−),,,( 000 Kφ (2.25)
kısaltmaları kullanılarak, Doğrusallaştırılmış Düzeltme Denklemleri
iiiii ldzcdybdxaV −+++= K (2.26)
biçiminde elde edilir (Wolf 1975,1979). Buradaki ),,2,1( nili L=− terimi (2.9)
bağıntısındakine benzer biçimde “küçültülmüş ölçüler” olarak adlandırılır (Şimşek
1988). Dolaylı ölçüler dengelemesinde her ölçü için bir düzeltme denklemi yazılır ve
her düzeltme denkleminde yalnızca bir düzeltme bulunur. Küçültülmüş il− ölçülerinin
ağırlıkları da iP olur ve bu ağırlıklar
nPPP ,,, 21 K (2.27)
biçiminde dengelemenin stokastik modelini meydana getirir.
(2.26) ve (2.27) bağıntıları
Düzeltme Denklemi Ağırlık
iiiii ldzcdybdxaV −+++= K iP (2.28)
biçiminde dengelemenin matematik modelini oluşturur (Öztürk ve Şerbetçi 1989).
19
İlk düzeltme denklemlerinin doğrusal fonksiyonlardan oluştuğu nivelman ağlarının
dengelenmesi, bir istasyon noktasında ölçülen açıların dengelemesi gibi durumlarda
denklemlerin Taylor serisine açılmaları gerekmediğinden yaklaşık değerlerin seçilmesi
zorunlu değildir. Ancak böyle durumlarda da yaklaşık değerler seçilerek küçük
terimlerle )( il− çalışmak sayısal çözümleme açısından hesap kolaylığı sağlar.
2.2.2.3 Normal denklemlerin kurulması ve çözümü
Ölçü sayısı bilinmeyen sayısından fazla )( un > olan bir dengeleme probleminin
çözümü için, (2.28) bağıntısı ile ifade edilen matematiksel model, n tane ölçü için açık
bir şekilde
Düzeltme Denklemleri Ağırlık
nnnnnn PdzcdybdxaV
PdzcdybdxaV
PdzcdybdxaV
lL
MM
lL
lL
−+++=
−+++=
−+++=
222222
111111
(2.29)
biçiminde yazılabilir (Öztürk ve Şerbetçi 1989). Denklem sayısı ( n ), bilinmeyen
sayısından (u ) fazla olan ve (2.29) ile ifade edilen sistemin tek anlamlı çözümünün elde
edilebilmesi için Gauss’un
[ ] =PVV minimum
en küçük kareler ilkesi uygulanır. (2.29) eşitliklerinde her iki tarafın karesi alınıp
ağırlıklar )( iP ile çarpıldıktan sonra toplamları oluşturulur ve [ ] [ ]PabPba = ,
[ ] [ ]PalPla = , [ ] [ ]PacPca = , [ ] [ ] L,PbcPcb = olduğu dikkate alınarak
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ]Pll
dzPcldzPcc
dyPbldydzPbcdyPbb
dxPaldxdzPacdxdyPabdxPaaPVV
+
−++
−+++
−+++=
2
22
222
2
2
2
L
L
L
(2.30)
20
elde edilir. Bu eşitlikte değişkenlere göre kısmi türevler alınır
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]PcldzPccdyPcbdxPacz
PVV
PbldzPbcdyPbbdxPaby
PVV
PaldzPacdyPabdxPaax
PVV
2222
2222
2222
−+++=∂
∂
−+++=∂
∂
−+++=∂
∂
L
L
L
(2.31)
ve en küçük kareler ilkesi için sıfıra eşitlenerek
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
M
M
L
L
L
0
0
0
=−+++
=−+++
=−+++
PcldzPccdyPbcdxPac
PbldzPbcdyPbbdxPab
PaldzPacdyPabdxPaa
(2.32)
normal denklemleri elde edilir (Wolf 1975, Öztürk ve Şerbetçi 1989). Normal
denklemlerdeki [ ] [ ] [ ] K,,, PacPabPaa gibi terimler “Normal Denklem
Katsayıları”, [ ] [ ] [ ]PclPblPal −−− ,, “Sabit Terimler = Yalın Terimler” olarak
adlandırılır. Normal denklemler aşağıdaki özellikleri taşırlar (Öztürk ve Şerbetçi 1989):
* Normal denklemler simetrik, doğrusal denklem takımlarıdır. Söz konusu
denklemlerin sayısı, bilinmeyenlerin sayısı kadardır.
* Normal denklemlerdeki kareli katsayılar ( [ ] [ ] [ ] L,,, PccPbbPaa ) her
zaman (+) işaretlidir. Simetrik katsayılar ([ ] [ ] L,, PacPab ) bazen (+) bazen (-) işaretli
olurlar.
* Normal denklemler yaygın olarak bilinen denklem çözüm yollarıyla
çözülebilir. Örneğin, bilinmeyenler birer birer yok edilerek “Modernleştirilmiş Gauss
Algoritması”, “Cholesky Yöntemi” gibi simetrik doğrusal denklem takımlarının çözümü
yöntemleriyle indirgenerek çözülebileceği gibi (Aksoy 1981, Öztürk 1987) matrislerle
de çözülebilir (Ulsoy 1980). Bilinmeyenlerden birkaçının indirgenmesinden sonra elde
edilecek yeni denklemler de normal denklem özelliklerini taşır (Ulsoy 1974).
21
(2.29) düzeltme denklemlerinin her iki tarafı sırayla ),,,,( 2211 nnaPaPaP K
),,,( 2211 nnbPbPbP K ve ),,,( 2211 nncPcPcP K ile çarpılır ve taraf tarafa toplamları
oluşturulursa
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
M
M
L
L
L
PcldzPccdyPbcdxPacPcV
PbldzPbcdyPbbdxPabPbV
PaldzPacdyPabdxPaaPaV
−+++=
−+++=
−+++=
(2.33)
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerin sağ tarafları (2.32) eşitlikleri ile verilen normal
denklemlere eşit olduklarından
[ ] [ ] [ ] L,0,0,0 === PcVPbVPaV (2.34) bağıntıları bulunur.
Benzer şekilde (2.29) düzeltme denklemlerinin her iki tarafı sırayla
),,,( 2211 nnVPVPVP K ile çarpılır ve sütunlar halinde taraf tarafa toplanırsa
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]PlVdzPcVdyPbVdxPaVPVV −+++= L (2.35) elde edilir. Bu bağıntıda (2.34) eşitlikleri göz önüne alınarak
[ ] [ ]PlVPVV −= (2.36) bulunur. (2.29) düzeltme denklemlerinin her iki tarafı bir kez de
),,( 2211 nnlPlPlP −−− K ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]PlldzPcldyPbldxPalPlV ++−−−=− L (2.37)
elde edilir. (2.36) eşitliği göz önüne alınarak yeniden düzenleme yapılırsa
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] L−−−−= dzPcldyPbldxPalPllPVV (2.38)
22
denetim bağıntısı elde edilir (Öztürk ve Şerbetçi 1989).
Normal denklemlerin çözümünden elde edilen dengeleme bilinmeyenleri
),,,( Kdzdydx , bilinmeyenler için seçilmiş yaklaşık değerlere ),,,( 000 Lzyx ilave
edilerek (2.21) bağıntıları ile bilinmeyenlerin kesin değerleri hesaplanır. Ayrıca,
dengeleme bilinmeyenleri ),,,( Kdzdydx , (2.29) eşitliklerinde de yerine konarak
düzeltmeler elde edilir. Hesaplanan düzeltmeler ölçü değerlerine eklenerek (2.5)
bağıntısı yardımıyla dengeli ölçüler bulunur. (2.36) ve (2.38) bağıntıları ile de denetim
işlemi yapılır.
Düzeltmeler hesaplandıktan sonra birim ağırlıklı ölçünün (ağırlığı 1=P olan bir
ölçünün) standart sapmasının sonsal değeri
un
PVV
−±=
][σ̂ (2.39)
ve ağırlığı iP olan bir ölçünün standart sapması
i
iP
σσ
ˆˆ ±= (2.40)
bağıntılarından hesaplanır (Wolf 1975).
Dengeleme modeli matrislerle ifade edilerek programlama tekniği açısından çok
kullanışlı hale getirilebilir. Bu nedenle;
)1( ∗nl küçültülmüş ölçüler vektörü,
)( unA ∗ düzeltme denklemleri katsayılar matrisi,
)1( ∗ux küçültülmüş bilinmeyenler vektörü,
)( nnC ∗ ölçülerin varyans-kovaryans matrisi,
)( nnP ∗ ölçülerin ağırlık matrisi,
)( nnQ ∗ ölçülerin ağırlık katsayıları (kofaktörler) matrisi,
23
20σ önsel varyans,
olmak üzere, (2.28) bağıntısı ile verilen dengelemenin matematik modeli
12
0, −=−= PClAxV σ (2.41)
biçiminde tanımlanabilir (Demirel 1987a, Ayan 1992, Şimşek 1992,1997a). Burada
=
nV
V
V
VM
2
1
,
=
nl
l
l
lM
2
1
,
=
du
dy
dx
xM
,
=
L
M
L
L
nnn cba
cba
cba
A222
111
,
=
nP
P
P
P
L
MOM
L
L
000
000
000
2
1
(2.42)
biçiminde (Ulsoy 1980) olup yeniden ifadeyle
−
=
nnnnn l
l
l
du
dy
dx
cba
cba
cba
V
V
V
MM
L
M
L
L
M
2
1
222
111
2
1
* (2.43)
olarak yazılabilir.
=PVVT
minimum koşulunu öngören en küçük kareler yöntemi ile çözüm eşitlikleri
elde edilir. Bu kapsamda (2.32) eşitlikleri ile verilen normal denklemler en genel
biçimde
0=− PlAPAxATT (2.44)
olarak ifade edilebilir.
PAANT= ve PlAn
T= (2.45) kısa gösterimleri ile normal denklemler
0=− nxN (2.46)
24
şeklini alır. Burada ,N normal denklemler matrisi; ,n yalın terimler vektörüdür.
Buradan bilinmeyenler vektörü
nNx1−= (2.47)
ile çözülür (Şimşek 1988,1995,1997a,b).
(2.36) ve (2.38) denetim bağıntıları matrislerle gösterilecek olursa sırayla
PlVPVVTT −= (2.48)
ve
PAxlPllPVVTTT −= (2.49)
biçimini alır (Öztürk ve Şerbetçi 1989).
x vektörü hesaplandıktan sonra bilinmeyenlerin yaklaşık değerleriyle ),,( 000 Lzyx
toplanarak bilinmeyenlerin kesin değerleri hesaplanır. (2.43) bağıntısı ile düzeltmeler
vektörü V bulunur. Düzeltmeler ve ölçüler yardımıyla dengelenmiş (düzeltilmiş)
ölçüler vektörü L̂
VLL +=ˆ (2.50) biçiminde hesaplanır (Mikhail 1976, Şimşek 1992). Düzeltmelerin hesabından sonra
birim ağırlıklı ölçüye ilişkin sonsal standart sapma
un
PVVT
−=σ̂ (2.51)
olarak elde edilir (Şimşek 1992,1997a,b).
25
3. HEDEF PROGRAMLAMA
Kazancı maksimum ya da maliyeti minimum yapmak gibi tek ölçütle ölçülebilen
amaçlar doğrusal programlama ile sağlanabilmektedir. Bununla beraber çoklu ilişki ve
işlemler ve beklentilerin rol oynadığı günümüz global iş dünyasında tek hedeften ziyade
bir çok hedefin birlikte gerçekleştirilmesi istenmektedir. Diğer bir ifade ile tek ölçüt
yerine çoklu ölçütlere gereksinim duyulmaktadır. Arzulanan hedeflerin tümünün tam
olarak gerçekleştirilmesi zor olup çok büyük bir olasılıkla da bu hedefler birbirleriyle
çelişmektedir. Bundan dolayı ilgili problemdeki öncelik durumunu en iyi sağlayan
uzlaşık çözüm kümesine erişilmeye çalışılır. Bu tür çözüme ise çok amaçlı karar verme
tekniklerinden biri olan hedef programlama ile ulaşmak mümkündür. Diğer bir ifade ile
hedef programlama, çelişen hedefler için en optimal çözümden ziyade problemin
doyuma ulaşmasını sağlar (Öztürk 2004).
Hedef programlamada, öncelikle ilgili hedefler ve bu hedefler için kabul edilen
öncelikler belirlenir. Genel olarak hedefler sıralanır ve her öncelik seviyesindeki
hedeflere ağırlıklar verilir (Turanlı ve Köse 2005). Bu ağırlıklar sayısal değerler
olabildiği gibi kodlar biçiminde de olabilir. Çözüm aşamasında, önceliği en yüksek
hedef önce olmak üzere yüksek öncelikli hedeften düşük öncelikli hedefe doğru
hedefler doyurularak sonuca gidilir. Kısıtlara bağlı olarak, hedef programlama,
hedeflerden oluşacak sapmaları minimum yapar. Sapmalar, her hedeften negatif ve
pozitif sapma olarak iki yönde temsil edilir. Ayrıca değişkenlerin aynı birimde olma
zorunluluğu yoktur. Hedef programlamada amaç, hedeflerden oluşacak sapmaların
minimum yapılmasıdır.
Hedef programlamanın temel düşüncesi, orijinali çok amaçlı olan problemi tek amaçlı
probleme dönüştürmektir. Tek amaçlı probleme dönüşen modeldeki fonksiyona Erişim
Fonksiyonu denir. Ayrıca modelin sonucuna da Etkin Çözüm adı verilir. Çünkü
problemin tüm çelişen amaçlarına uygun çözüm bulunmayabilir.
26
Hedef programlama, doğrusal programlamada olduğu gibi bir amaç fonksiyonunu
optimize etmek yerine, amaç fonksiyonlarıyla birlikte tüm kısıtları birer hedef gibi
düşünüp, tüm hedeflere ilişkin sapma değişkenlerini minimum yapmayı hedefleyen bir
tekniktir. Hedef programlamada, minimum yapılmaya çalışılan sapmalar doğrusal
programlamanın simpleks algoritmasındaki aylak değişkenler olarak görülür (Atan
2008).
Hedef programlama; insan gücü planlaması, kaynak planlaması, üretim planlaması,
akademik kaynak kullanımı, finans işlemleri, ulaştırma problemi, program seçimi, bütçe
planlama, öğrenci başarısının kestirimi ve benzer birçok alanda kullanılabilir.
Hedef programlama aşağıdaki varsayımlara dayanmaktadır:
* Doğrusallık varsayımı: Amaç fonksiyonları ve kısıtlar doğrusaldır. * Toplanabilirlik varsayımı: Girdiler toplamı = her bir işlemin girdi toplamı * Sınırlılık varsayımı: Kullanılan kaynaklar sınırlıdır. * Amaçlara öncelik verilmesi varsayımı: Amaçların önemine göre amaçlara
öncelik verilir. Dolayısıyla çözüm aşamasında her bir amaç ya da amaç grupları için
belirlenen önceliklerin sağlanması gerekir.
* Karar değişkenlerinin negatif olmaması varsayımı: Karar değişkenleri negatif
olamazlar.
Hedef programlamanın,
a. Doğrusal hedef programlama
b. Doğrusal olmayan hedef programlama
c. Tam sayılı hedef programlama
ç. Stokastik hedef programlama
27
gibi çeşitleri olmakla beraber bu çalışmada doğrusal hedef programlama üzerinde
durulacaktır.
3.1 Hedef Programlama Bileşenleri Karar Değişkenleri: Tipik olarak ),...,2,1( njx j = ile gösterilir. Üretilecek ürün
miktarı, j inci yatırıma yapılacak para miktarı, çalıştırılacak işçi sayısı, üretim için girdi
miktarı vb. değişkenler olup alınacak kararları tam olarak tanımlamalıdır. Bu
değişkenler, ayrıca kısıtları sağlamalıdır (Öztürk 2004).
Sapma Değişkenleri: Hedeflerin altında veya üstünde gerçekleşen faaliyetlerin
miktarını belirleyen değişkenler olup genellikle +id ve −
id sembolleriyle gösterilir.
Sapma değişkenleri negatif değer alamazlar. Aynı anda bir hedefin hem altında hem de
üstünde olunamayacağından bu değişkenlerden bir tanesi mutlaka sıfır değerini alır.
Hedef kısıtlayıcılarına bağlı olarak sapma değişkenleri istenen ya da istenmeyen
değişkenler olarak da isimlendirilir (Öztürk 2004):
Hedef kısıtlayıcısı ≥ biçiminde ise +id istenen değişken, −
id ise istenmeyen
sapma değişkenidir.
Hedef kısıtlayıcısı ≤ biçiminde ise −id istenen değişken, +
id ise istenmeyen
sapma değişkenidir.
Hedef kısıtlayıcısı = biçiminde ise +id ve −
id istenmeyen sapma
değişkenleridir.
Sistem kısıtlayıcısı (Teknolojik Kısıtlayıcı, Yapısal Kısıtlayıcı): Probleme özgü
geliştirilen hedef programlamada tam olarak sağlanması gereken ve hiçbir sapmaya izin
verilmeyen kısıtlayıcılardır. Bu kısıtlayıcılar hedefin dışında kalan ( ≥ ; ≤ ; =)
biçimindeki kısıtlayıcılardır. Örneğin, 555 21 ≤+ xx ise karar değişkenleri olan 1x ve
28
2x ye ilişkin çözüm değerleri kesin olarak bu eşitsizliği sağlamalıdır. Sistem
kısıtlayıcısı ancak zaman içinde veya problemin yeniden modellenmesi durumunda
değişebilir.
Hedef Kısıtlayıcıları: Karar vericinin ulaşmayı istediği veya gerekli gördüğü
hedeflerdir. Bu kısıtlayıcılar sistem kısıtlayıcılarına göre daha esnektir. Ayrıca
hedeflenen değere hedef kısıtlayıcısı ile ulaşılmaya çalışılır. Önemli olan hedef
kısıtlayıcısının iyi belirlenmesi ve hedef programlama modelinde yer almasıdır (Öztürk
2004).
Amaç Fonksiyonu: Herhangi bir doğrusal programlama probleminde, karar verici
karar değişkenlerinin bazı fonksiyonunu maksimum yapmak (genellikle kârı veya geliri)
ya da minimum yapmak (genellikle maliyetleri) ister. Maksimize ya da minimize edilen
fonksiyona amaç fonksiyonu denir.
Hedef programlamada amaç fonksiyonunun (Erişim Fonksiyonu) optimal değeri, sistem
ve hedef kısıtlayıcılarının belirlediği çözüm alanı içinde aranır. Sapma değişkenleri hem
amaç fonksiyonunda hem de hedef kısıtlayıcılarında bulunur.
3.2 Hedef Programlamanın Matematiksel Modeli Genel bir hedef programlama modeli,
),(),(),( 22221111+−+−+− +++= mmmm ddPWddPWddPWMinZ L (3.1)
jjjj bddxg =−+ +−)( , nj ,,2,1 K= (3.2)
iiii bddxf =−+ +−)( , mi ,,2,1 K= (3.3)
biçiminde, n tane kısıt ve m tane amaç fonksiyonu ile ifade edilebilir (Gülenç ve
Karabulut 2005, Turanlı ve Köse 2005). (3.1) eşitliği hedef programlama probleminin
erişim fonksiyonunu göstermektedir.
29
(3.1)-(3.3) bağıntılarında;
:,,, 21 mPPP K Ağırlıklar
:)(xg Kısıt fonksiyonları
:)(xf Amaç fonksiyonları
:jb j inci kısıtın hedef değeri (sağ yan değeri)
:ib i inci amaç fonksiyonunun hedef değeri (sağ yan değeri)
:−jd j inci kısıttan negatif sapma
:+jd j inci kısıttan pozitif sapma
:−id i inci amaç fonksiyonundan negatif sapma
:+id i inci amaç fonksiyonundan pozitif sapma
:,,, 21 nWWW K Öncelikler (her bir amaç fonksiyonunun önceliği) olup
mWWW >>>>>> K21 (3.4)
biçimindedir. 1W ilk öncelik ve mW son önceliktir.
(3.1) eşitliğinde çok sayıda fonksiyon olduğundan, bunlara artık amaç fonksiyonu değil
“Erişim fonksiyonu” denir.
Genel olarak, ),,,( 21 nxxxx K= karar değişkenlerine ilişkin bir fonksiyon olarak i inci
amaç fonksiyonunun matematiksel ifadesi )(xf i ve hedef değeri ib olmak üzere
ii bxf ≤)( (3.5a)
ii bxf ≥)( (3.5b)
ii bxf =)( (3.5c)
30
biçiminde 3 olası hedef yazılabilir.
(3.5) bağıntılarından herhangi biri, negatif bir sapma −id ilave edilerek ve pozitif bir
sapma +id çıkarılarak hedef programlama şekline getirilebilir. Bu durum Çizelge 3.1’de
özetlenmiştir: Çizelge 3.1 Hedef programlamada hedef türleri
(3.5a) bağıntısının sağlanması için pozitif sapma +id ,
(3.5b) bağıntısının sağlanması için negatif sapma −id ve
(3.5c) bağıntısının sağlanması için negatif ve pozitif sapmaların her ikisinin ),( +−ii dd
de minimize edilmesi gerekir (Ignizio 1982,1989).
Hedef programlama probleminin çözümü için Simpleks yönteminin özelliklerine
dayandırılmış değiştirilmiş Simpleks yöntemi kullanılır. Bu yöntemde;
- Karar değişkenleri belirlenir.
- Karar vericinin isteklerini, koşullarını ve genel koşulları sağlayan ilgili fonksiyonlar
ilgili kısıtlamalarıyla oluşturulup çözüme gidilir.
3.3 Hedef Programlama Türleri Hedef programlama, geliştirilen amaç fonksiyonunun yapısına bağlı olarak
Hedef türü Hedef programlama biçimi Minimize edilecek sapma
değişkeni
ii bxf ≤)( iiii bddxf =−+ +−)( +
id
ii bxf ≥)( iiii bddxf =−+ +−)( −
id
ii bxf =)( iiii bddxf =−+ +−)( −
id + +id
(3.6)
31
a. Tek hedefli modeller
b. Eşit öncelikli (ağırlıklı) çok hedefli modeller
c. Çelişmeyen çok hedefli ve öncelikli modeller ç. Çelişik çok hedefli modeller d. Çok hedefli ağırlıklı (çelişik) öncelikli modeller
biçiminde sınıflandırılabilir (Öztürk 2004). Tanım 3.1. Tek hedefli model : (3.1) bağıntısında ,1,1 11 == PW ve
0...,0... 22 ====== nm PPWW ise bu tek hedefli bir model olup erişim
fonksiyonunun yapısı
−= 1dZMin (3.7)
biçimindedir. Ele alınan problemin tek hedefi olduğundan, karar vericinin isteği bu
hedefe ulaşmaktır. Tek hedefli problem, hedef programlama problemlerinin en basitidir.
Tanım 3.2. Eşit öncelikli (ağırlıklı) çok hedefli modeller: (3.1) bağıntısında
1...21 ==== mWWW ve 1...21 ==== nPPP ise bu eşit öncelikli çok hedefli bir
modeli tanımlamakta olup erişim fonksiyonunun yapısı
−+−+ ++++= nddddMinZ ...321 (3.8)
biçimindedir. Bu biçimde erişim fonksiyonunun anlamlı olabilmesi, sapma
değişkenlerinin aynı birimde olmasına bağlıdır. Örneğin, (3.8) eşitliği ile ifade edilen
erişim fonksiyonunun anlamlı olabilmesi, sapma değişkenlerinin aynı ölçü birimiyle
değerlendirilmesini gerektirir. Yoksa erişim fonksiyonunun değerinin bir anlamı olmaz.
Böylesi durumlarda, erişim fonksiyonunun yorumlanabilmesi için her bir sapma
değişkeninin ayrı ayrı ele alınarak yorumlanması gerekir. Bu olumsuz durumdan
sakınmak için yapılması gereken işlem, sapma değişkenlerinin ölçü birim farklılığını
giderecek her bir değişkene farklı ağırlık verilmesidir (Öztürk 2004).
32
Tanım 3.3. Çelişmeyen çok hedefli ve öncelikli modeller: Öncelikli hedef
programlama yönteminde, erişim fonksiyonunu (amaç fonksiyonunu) oluşturmak için
ulaşılması istenen hedeflerin hiyerarşik bir yapıda verilmesi gerekir. Karar verici,
hedeflerini en önemliden (1 inci hedef) daha az önemliye doğru sıralar (Ignizio 1989,
Winston 1991). Sıralama sayısal olabileceği gibi sözel de olabilir. Birinci öncelikli
hedef tam olarak gerçekleştirilmeden ikinci öncelikli hedefe geçilmez. İkinci öncelikli
hedef gerçekleştirilmeden de üçüncü öncelikli hedefe geçilmez ve işleme bu şekilde
devam edilir. Bu modelde 1...21 ==== nPPP biçiminde ağırlıklar eşit ve
W1 >> W2 ≥ W3 >> ...>> Wm (3.9) biçiminde öncelikler farklıdır. Burada W1 hedefinin W2 hedefinden çok önemli olduğu,
W2 hedefinin W3 hedefinden önemli olduğu ve W3 hedefini izleyen tüm hedeflerin aynı
düzeyde öneme sahip olduğu belirtilmektedir. Bir başka deyişle, W1 hedefinde istenilen
sonuç alınmadan W2 hedefinin, W2 hedefinde istenilen sonuç alınmadan W3 hedefinin
gerçekleştirilmesine çalışılmaz. W3 hedefini izleyen tüm hedefler için aynı koşullar
geçerlidir (Öztürk 2004).
Hedeflerin önceliklerinin sıralanması, hedefler arasındaki ilişkilere verilen ağırlıkla da
yapılabilir. Çünkü W1 >> Wm gösterimi, ilgili sapma değişkenlerinin k>0 olma
koşuluyla, bir sayı ile çarpılacağı anlamını taşımaktadır. Ancak bu çarpılacak sayı ne
kadar büyük olursa olsun, W1’in önemi W2’den her zaman daha fazla olacaktır.
Öncelikli hedef programlamanın erişim fonksiyonu
K+++= +−+332211 dWdWdWZMin (3.10)
biçiminde yazılabilir.
Hedef programlama problemlerinde önceliklerin ifade edilmesinde kullanılabilen bir
başka durum da, negatif sapma değişkeninin pozitif sapma değişkeninden daha önemli
olması durumudur. Bunun için
33
K++= +−1211 dWdWZMin (3.11)
örnek olarak yazılabilir. Bu durum, ilk bakışta biraz karmaşık görülebilmektedir. Bunun
nedeni, W2’nin genellikle, ikinci hedefe ilişkin sapma değişkenin katsayısı şeklinde
kullanılmasıdır.
Sonuç olarak, hedeflerin tümünde istenilen düzeyde bir doyuma her zaman
ulaşılmayabilir. Önemli olan, karar vericinin istediği öncelikli hedeflerden başlanarak
istenilen doyumlara ulaşılmaya çalışılmasıdır. Hedeflerin öncelikleri değiştirilebileceği
gibi bu değişikliklerin çözüm üzerindeki etkileri de belirlenebilir (Öztürk 2004).
Tanım 3.4. Çelişik çok hedefli modeller: Bu gruptaki problemlerin erişim
fonksiyonundaki sapma değişkenlerine ağırlık verilir. Genellikle, böyle bir yaklaşım,
eşit öncelikli (ağırlıklı) çok hedefli problemlerin sapma değişkenlerinin ölçü birimleri
farklı olduğunda tercih edilir. Ayrıca, karar verici hedeflere verdiği önemi belirtmek
için de ağırlıklandırma yoluna başvurabilir (Öztürk 2004). Bu modelin erişim
fonksiyonunun yapısı
)( 541342312++−−− ++++= ddWdWdWdWZMin (3.12)
biçimindedir. Çelişik olması, W1 hedefinde iki tane ara hedef olmasındandır. Tanım 3.5. Çok hedefli ağırlıklı (çelişik) öncelikli modeller: Bazı hedef programlama
problemlerinde aynı hedefe ilişkin iki veya daha fazla sapma değişkeni, aynı öncelik
düzeyinde amaç fonksiyonunda yer alabilir. Böyle bir durumda, sapma değişkenlerinin
önceliği aynı ise (yani Wi ise), bu sapma değişkenlerde ağırlıklar kullanılarak hangi
sapmanın daha önemli olduğu belirlenir.
Örneğin, erişim fonksiyonu;
−+−−+ ++++= 4433332211 2 dWdWdWdWdWZMin (3.13)
34
biçiminde verildiğinde 3 üncü hedefin negatif sapmalı değişkeni, pozitif sapmalı
değişkeninden 2 kat daha önemli olduğu anlaşılır. Böyle bir durum, birden fazla hedefin
aynı öncelik düzeyinde bulunmasında da söz konusu olabilir.
Örneğin, erişim fonksiyonu;
)25423( 554432211+−+−+−− ++++++= ddddddWdWZMin (3.14)
olsun. Bu erişim fonksiyonunda, 2 nci değişkenden 5 inci değişkene kadar olan sapmalı
değişkenler aynı öncelik düzeyli fakat aralarında önem farklılığı vardır. Ağırlıklar ile
belirtilen önem farklılığına göre, ikinci öncelikli hedef değişkenlerinin önem sırası
+++−−− = 453245 ,,,, dveddddd biçimindedir (Öztürk 2004).
35
4. REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ 4.1 Klasik Regresyon Genel olarak, bir Y bağımlı değişkeninin mXXX ,...,, 21 gibi m bağımsız değişkenden
etkilendiği ya da aralarında doğrusal bir ilişkinin varlığı kabul edilirse çoklu doğrusal
regresyon denklemi,
εββββ +++++= mm XXXY ....22110 (4.1)
ya da
εββ ++= ∑=
m
j
jj XY1
0
biçiminde gösterilir (Arthanari and Dodge 1981, Milton and Arnold 1990). Burada jβ
değerleri regresyon katsayıları ve ε ölçü hatalarıdır. (4.1) eşitliği matris gösterimi ile
εβ +Χ=Υ (4.2)
olarak yazılabilir (Arthanari and Dodge 1981, Johnson and Wichern 1992). (4.2)
bağıntısında,
t
n
t
m
t
nyy ),...,(,),...,,(,),...,( 1101 εεεββββ ===Υ
=Χ
mnnn
m
m
xxx
xxx
xxx
,...,,,1
,...,,,1
,...,,,1
11
22212
12111
MM (4.3)
biçimindedir. (4.3) bağıntısında,
)1(: ∗nY boyutlu bağımlı değişken için ölçülerin vektörü,
)]1([: +∗ mnX boyutlu bağımsız değişkenlere ilişkin matris,
:ijx j’ inci değişkenin i’ inci ölçü değeri, ),...,2,1;,...,2,1( mjni ==
]1)1[(: ∗+mβ boyutlu regresyon katsayıları vektörü,
36
)1(: ∗nε boyutlu hata vektörüdür.
En küçük kareler yöntemi ile, ölçü hatalarının kareleri toplamını minimum yapan en
uygun katsayılar vektörü (en küçük kareler kestiricisi) ( β̂ ) belirlenir.
)()(min ββεεβ
Χ−ΥΧ−Υ= tt (4.4)
(4.4) bağıntısının çözülmesi ile en uygun vektör β̂ ,
ΥΧΧΧ= − tt 1)(β̂ (4.5)
olarak elde edilir (Slowiński 1998, Özdamar 2004). (4.2) eşitliğinin (4.5) eşitliğinde
yerine konmasıyla,
εββ tt ΧΧΧ+= −1)(ˆ (4.6) elde edilir. Genellikle, ε vektörünün rasgele bir vektör olduğu varsayılır ve
Ι==Ε 2)(,0)( σεε V (4.7) ile tanımlanır. Burada, )(εΕ beklenen değer vektörü sıfıra eşittir. I birim matris, )(εV
ise bir kovaryans matrisi ve 2σ varyanstır (Slowiński 1998).
4.2 Regresyonda Ortalama Mutlak Sapmaların Minimizasyonu
En küçük kareler kestiricisinin veri kümesindeki uç değerlerden çok etkilenmesi gibi
dezavantajlarından dolayı doğrusal regresyonda minimum ortalama mutlak sapma
(MINMAD) kestiricileri tercih edilebilmektedir (Eminkahyagil 1997).
Basit doğrusal regresyon için
εββ ++= XY 10 (4.8)
37
modelinde ),,2,1(, niYX ii K= ölçü değerleri olmak üzere oβ ve 1β katsayılarının
tahmin edilebilmesi için,
∑=
−−n
i
ii XYn 1
10
1ββ (4.9)
ifadesinin minimize edilmesi gerekir. Bu bağıntı bağımlı değişkenin ölçülen ve tahmin
edilen değerlerinden ortalama mutlak sapma olarak bilinir. (4.9) bağıntısının
minimizasyonu,
∑=
−−n
i
ii XY1
10 ββ (4.10)
biçiminde ifade edilen mutlak sapmaların toplamının minimizasyonu ile
aynıdır (Arthanari and Dodge 1981). Çok boyutlu doğrusal regresyon ifadesinde ölçü
sayısı n ve değişken sayısı p olmak üzere (4.10) bağıntısı
∑ ∑= =
−n
i
j
p
j
iji XY1 1
β (4.11)
biçiminde tanımlanır. β nın tahmin edilebilmesi için bu ifadenin minimize edilmesi
gerektiğinden
∑ ∑= =
−n
i
j
p
j
iji XYMin1 1
β (4.12)
yazılabilir (Eminkahyagil 1997).
4.2.1 MINMAD regresyonuna doğrusal programlama yaklaşımı
Bir regresyon probleminde amaç tahmin edilen β değerlerinin en iyilenmesidir. β
değerleri tahmin edilirken doğrusal programlama teknikleri kullanılabilir. β ile ilgili
olarak ∑ diMin probleminde,
38
id i , inci ölçüye ilişkin iY değişkeninin ölçülmüş ve kestirim değerleri arasındaki fark
olmak üzere,
)( 10 iii XYd ββ +−= (4.13)
olarak tanımlanır. Bu problem, ortalama mutlak sapmaların minimizasyonu ya da 1L
norm minimum problemi olarak bilinir. Bu durumda, β ya göre ∑ id nin
minimizasyonu problemi,
∑ idMin
YdX =+β (4.14)
β,d işareti belirtilmemiş
biçiminde ifade edilebilir (Arthanari and Dodge 1981).
(4.14) probleminin çözülebilmesi için d ve β ’nın işaretinin belirli hale getirilmesi
gerekir. Herhangi bir değişken jθ olsun. Bu değişken +, 0, - değerlerini alabiliyorsa
buna işareti belirtilmemiş değişken denir. Böylesi bir değişken, negatif olmayan iki
değişkenin farkı biçiminde tanımlanarak işareti belirli hale getirilebilir.
0'',' ≥jj θθ koşuluyla jjj ''' θθθ −= biçiminde yazılabilir. Burada,
jj ''' θθ > ise 0>jθ
jj ''' θθ = ise 0=jθ
jj ''' θθ < ise 0<jθ
olur.
),,2,1(,0, 212 njdd jj L=≥− olmak üzere jji ddd 212 −= − alınarak id ’nin
işareti belirli hale getirilebilir. Ayrıca jji ddd 212 += − ile problem yeniden
39
( )∑∑ +− jj ddMin 212
YddX jj =−+ − 212β (4.15)
β işareti belirtilmemiş
0, 212 ≥− jj dd
şeklinde ifade edilebilir (Arthanari and Dodge 1981). Burada, X bilinen sabitler matrisi
(bağımsız değişkenler); Y bağımlı değişken vektörü; β tahmin edilecek bilinmeyenler
vektörü; 12 −jd ve jd 2 j inci ölçü için sırayla negatif ve pozitif sapmadır.
(4.15) bağıntılarında YddX jj =−+ − 212β genel eşitliği ile verilen regresyon
denklemi,
nnnnn Yddxx
Yddxx
Yddxx
=−++++
=−++++
=−++++
− 2)12(22110
2432222110
1211221110
L
MM
L
L
βββ
βββ
βββ
(4.16)
( iβ ’lerin işareti belirtilmemiş)
açık biçimde yazılabilir Burada ,0, 212 ≥− ii uu (i = 1,2,…,p) olmak üzere
iii uu 2121 −= −−β alınarak
M
652
431
210
uu
uu
uu
−=
−=
−=
β
β
β
(4.17)
iβ ’lerin işareti belirli hale getirilebilir. Bu durumda bilinmeyen her bir β için iki
bilinmeyen tanımlanmış olur. Buna göre (4.16) bağıntıları yeniden yazılırsa
nnnnn Yddxuuxuuuu
Yddxuuxuuuu
Yddxuuxuuuu
=−++−+−+−
=−++−+−+−
=−++−+−+−
− 2)12(26514321
2432265214321
1211265114321
)()()(
)()()(
)()()(
L
MM
L
L
(4.18)
40
biçimini alır. (4.18) bağıntılarında sağ yan “=” biçiminde olduğundan (3.6) bağıntısı
gereği (4.15) problemindeki ∑ ∑+= ii ddZMin 21 erişim fonksiyonu
nn ddddddZMin 2)12(4321 ++++++= −L
biçimini alır. Bu durumda (4.15) problemi
nn ddddddMinZ 2)12(4321 ++++++= −L
nnnnn Yddxuuxuuuu
Yddxuuxuuuu
Yddxuuxuuuu
=−++−+−+−
=−++−+−+−
=−++−+−+−
− 2)12(26514321
2432265214321
1211265114321
)()()(
)()()(
)()()(
L
MM
L
L
(4.19)
),,2,1(,0, 212 njdd jj L=≥−
),,2,1(,0, 212 piuu ii L=≥−
yapısını alır.
41
5. EN KÜÇÜK KARELERLE DENGELEME PROBLEMİNİN NORMAL
DENKLEMLERİNİN HEDEF PROGRAMLAMA PROBLEMİ OLARAK
MODELLENMESİ VE DENGELEME BİLİNMEYENLERİNİN TAHMİNİ
5.1 En Küçük Karelerle Dengeleme Probleminin Normal Denklemlerinin Hedef
Programlama Problemi Olarak Modellenmesi
Bu çalışmanın amacı, jeodezik ağların en küçük karelerle dengelenmesindeki normal
denklemlerin hedef programlama problemi biçiminde modellenerek çözümlenmesidir.
Normal denklemler (2.44) ya da (2.46) eşitlikleriyle verilmektedir. Bu denklem
sistemlerindeki her bir denklem gerçekleşmesi beklenen birer hedef olup sağ yan tarafı
“=” biçimindedir. Bu nedenle, (3.6) bağıntıları gereği her bir denklemde negatif ( −
id )
ve pozitif ( +
id ) sapma değerlerinin her ikisinin birlikte minimum yapılması
amaçlanabilir.
Genel olarak (2.32) ve (2.44) bağıntılarındaki küçültülmüş bilinmeyenler vektörü
T
mdzdzdzdzZ ][ 321 L= biçiminde yeniden tanımlanıp (2.44) normal
denklemleri m tane bilinmeyen için
=
−
0
0
0
0
][
][
][
][
*
][][][][
][][][][
][][][][
][][][][
3
2
1
MMM
L
MM
L
L
L
Pml
Pcl
Pbl
Pal
dz
dz
dz
dz
PmmPmcPmbPma
PcmPccPcbPca
PbmPbcPbbPba
PamPacPabPaa
m
(5.1)
biçiminde yazılabilir. Bu normal denklemler [ ] [ ]PabPba = , [ ] [ ]PacPca = , [ ] [ ]PbcPcb =
ve benzeri olduğu dikkate alınarak açık bir şekilde
42
0][][][][][
0][][][][][
0][][][][][
0][][][][][
321
321
321
321
=−++++
=−++++
=−++++
=−++++
PmldzPmmdzPcmdzPbmdzPam
PcldzPcmdzPccdzPbcdzPac
PbldzPbmdzPbcdzPbbdzPab
PaldzPamdzPacdzPabdzPaa
m
m
m
m
L
MM
L
L
L
(5.2)
yeniden yazılabilir.
Bir dengeleme probleminde amaç, tahmin edilen bilinmeyenlerin en iyilenmesidir. Bu
bilinmeyenlerin tahmininde doğrusal programlama yöntemleri kullanılabilir. Bu nedenle
en küçük karelerle dengeleme modeli için (5.2) bağıntısıyla verilen normal
denklemlerdeki bilinmeyenler vektörü ( Z ), regresyondaki bilinmeyen katsayılar
vektörü olan β ’ya karşılık gelmektedir. Bu nedenle Bölüm 4.2.1’deki MINMAD
regresyonu için kullanılan doğrusal programlama yaklaşımı bu normal denklemlerin
çözümü için de uygulanabilir. Normal denklemlerin m tane bilinmeyen genel durumu
için, (4.14) problemine yapılan işlemlere benzer işlem yapılabilir. Bu durumda (5.2)
bağıntısıyla verilen normal denklemler
][][][][][
][][][][][
][][][][][
][][][][][
321
321
321
321
PmlddzPmmdzPcmdzPbmdzPam
PclddzPcmdzPccdzPbcdzPac
PblddzPbmdzPbcdzPbbdzPab
PalddzPamdzPacdzPabdzPaa
dMin
m
m
m
m
i
=+++++
=+++++
=+++++
=+++++
∑
L
MM
L
L
L
(5.3)
ddzdzdzdz m ,,...,,, 321 işareti belirtilmemiş
biçiminde ifade edilebilir. Problemin çözülebilmesi için mdzdzdzdz ,...,,, 321 ve d ’nin
işaretinin belirli hale getirilmesi gerekir. Bu amaçla Bölüm 4.2.1’deki yaklaşımlar
43
kullanılabilir. Böylece (5.3) bağıntısı (4.15) bağıntısına benzer biçimde
0, 212 ≥− jj dd , ( j = 1,2,…,m) olmak üzere d ’nin işareti belirli hale getirilerek
( )
][][][][][
][][][][][
][][][][][
][][][][][
212321
65321
43321
21321
21
PmldddzPmmdzPcmdzPbmdzPam
PcldddzPcmdzPccdzPbcdzPac
PbldddzPbmdzPbcdzPbbdzPab
PaldddzPamdzPacdzPabdzPaa
ddMin
jjm
m
m
m
ii
=−+++++
=−+++++
=−+++++
=−+++++
+
−
∑∑
L
MM
L
L
L
(5.4)
mdzdzdzdz ,...,,, 321 işareti belirtilmemiş
),,2,1(,0, 212 mjdd jj L=≥−
şeklinde ifade edilebilir. Burada 21 dved , birinci normal denklemden sırayla negatif
ve pozitif yöndeki sapmayı ifade etmektedir. Benzer biçimde 43 dved , ikinci normal
denklemden negatif ve pozitif sapmaları; jj dved 212 − ise m ’inci normal denklemden
negatif ve pozitif yöndeki sapmaları ifade etmektedir.
mdzdzdzdz ,...,,, 321 bilinmeyenlerinin işaretlerinin belirli hale getirilebilmesi için
de ),,2,1(,0, 212 miuu ii L=≥− olmak üzere iii uudz 212 −= − biçiminde
iim uudz
uudz
uudz
212
432
211
−=
−=
−=
−
M (5.5)
alınabilir. Bu durumda bilinmeyen her idz ),,2,1( mi L= için 2 adet bilinmeyen
tanımlanmış olur ve (5.3) bağıntılarıyla verilen problem
44
][)]([)(][)(][
][)]([)(][)(][
][)]([)(][)(][
][)]([)(][)(][
2122124321
652124321
432124321
212124321
2124321
PmldduuPmmuuPbmuuPam
PcldduuPcmuuPbcuuPac
PbldduuPbmuuPbbuuPab
PaldduuPamuuPabuuPaa
ddddddZMin
jjii
ii
ii
ii
jj
=−+−++−+−
=−+−++−+−
=−+−++−+−
=−+−++−+−
++++++=
−−
−
−
−
−
L
MM
L
L
L
L
0, 212 ≥− ii uu ve 0, 212 ≥− jj dd , ),,2,1,( mji L=
biçimini alır. Böylece en küçük karelerle dengeleme probleminin normal denklemleri
hedef programlama problemi olarak modellenmiş olmaktadır. Bu problemin çözümü
sonucunda hesaplanan u bilinmeyenleri yardımıyla (5.5) bağıntısından
mdzdzdzdz ,...,,, 321 dengeleme bilinmeyenleri elde edilir.
5.2 Sayısal Uygulama
Jeodezik ağların dengelenmesi en küçük kareler yöntemiyle yapılmaktadır. Bu yöntemin
esasları Bölüm 2’de verilmiş ve normal denklemlerin hedef programlama yöntemi ile
nasıl çözüleceği Bölüm 5.1’de incelenmiştir. Bu bölümde en küçük kareler yöntemine
göre ve ayrıca teorik temelleri Bölüm 5.1’de verilen modele ilişkin sayısal uygulama
yapılmıştır. Uygulamada, en küçük kareler yöntemi ile dengeleme için MATLAB paket
programı ve Bölüm 5.1’de verilen hedef programlama probleminin çözümü için ise
WinQSB paket programı kullanılmıştır.
Uygulama için jeodezik ağ olarak, yapısı Şekil 5.1’de verilen bir nivelman ağı
seçilmiştir. Şekil 5.1’de 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 rakamlarıyla arazideki noktalar
gösterilmiştir. Ağda 6 numaralı noktanın yüksekliği mH 327.1256 = olarak bilinmekte
olup diğer noktaların yüksekliklerinin dengeli olarak bulunması istenmektedir. Bu
amaçla nivelman ağına ilişkin ölçüler Çizelge 5.1’de verilmiştir. Ölçüler
(5.6)
45
(Öztürk ve Şerbetçi 1989)’dan alınmıştır. Şekil 5.1’deki oklar ölçü yönünü
göstermektedir (örneğin, 1h ölçüsü 2 noktasından 1 noktasına doğru yapılmış; yani 1
noktasının yüksekliği 2 noktasının yüksekliğinden daha büyüktür).
Çizelge 5.1 Nivelman ölçüleri (Öztürk ve Şerbetçi 1989)
Ölçü No Başlangıç
Noktası Bitiş
Noktası Ölçü
hij (m) Yol
Sij (km) 1 2 1 18.156 0.444 2 4 2 46.789 0.437 3 3 4 44.978 0.640 4 3 5 19.568 0.362 5 8 5 13.893 0.3434 6 8 7 1.772 0.379 7 7 9 62.944 0.985 8 9 1 39.553 0.783 9 10 1 42.090 0.497
10 10 2 23.929 0.862 11 6 10 9.502 0.404 12 7 10 60.404 0.758 13 10 9 2.541 0.283 14 6 2 33.434 0.820 15 4 6 13.360 0.456 16 5 6 38.775 0.288 17 7 6 50.898 0.646
h15
h14 h10
h16
h12 h7
h6
h4
h3
h8
h1
h2
h5
h13
h17
h9
h11
7
10
6
1
2
4
3
5
8
9
Şekil 5.1 Uygulama alanı olarak seçilen Nivelman ağı
46
5.2.1 En küçük kareler yöntemine göre dengeleme
Şekil 5.1’deki nivelman ağında nokta yükseklikleri )( iH bilinmeyenler olarak
seçilmiştir.
Dengeleme işlemine başlamadan önce noktaların yaklaşık yüksekliklerinin ( 0
H )
hesaplanması gerekmektedir. Bu amaçla, ölçüler yardımıyla nivelman ağının tüm
noktalarının (6 numaralı nokta hariç) yaklaşık yükseklikleri hesaplanarak Çizelge 5.2
verilmiştir. Çizelgede ayrıca hangi noktanın yüksekliği hangi ölçü yardımıyla
hesaplandığı da görülmektedir.
Çizelge 5.2 Ağ noktalarının yaklaşık yükseklikleri
Nokta No. )(0mH Noktaların yaklaşık yüksekliklerinin ölçüler yardımıyla ifadesi
1
2
3
4
5
7
8
9
10
176.919
158.761
66.989
111.967
86.552
74.429
72.657
137.366
134.829 8
01
09
9010
01
607
08
304
03
116010
17607
16605
15604
14602
hHH
hHH
hHH
hHH
hHH
hHH
hHH
hHH
hHH
−=
+=
−=
−=
+=
−=
−=
−=
+=
Ölçü + Düzeltmesi = Bilinmeyenlerin fonksiyonu
şeklinde düşünülerek (2.4) bağıntısına göre kurulacak ilk düzeltme denklemleri,
47
761717
561616
461515
621414
1091313
7101212
6101111
1021010
10199
9188
7977
8766
8555
3544
3433
4222
2111
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
HHVh
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
−=+
biçimindedir. Görüldüğü gibi, bu denklemler doğrusal denklemler olup Taylor serisine
açılarak (2.23) bağıntısına göre doğrusallaştırılmasına gerek yoktur. Bu denklemlerde
iV düzeltmeleri yalnız bırakılırsa denklemler
M
3433
4222
2111
HHhV
HHhV
HHhV
−+−=
−+−=
−+−=
(5.8)
biçiminde yeniden yazılabilir. Bir noktanın yüksekliği )( iH , yaklaşık bir değer )( 0iH
ve küçültülmüş bir bilinmeyen )( idh seçilerek (2.21) bağıntısına göre
iii dhHH += 0 şeklinde tanımlanabilir. Bu durumda (2.25) ve (2.26) bağıntılarına göre
elde edilecek düzeltme denklemleri,
(5.7)
48
07617717
05616516
04615415
06
0214214
010
091310913
07
0101210712
06
010111011
010
021010210
010
0191019
09
018918
07
097977
08
076876
08
055855
03
054534
03
043433
04
022422
02
011211
HHhdhV
HHhdhV
HHhdhV
HHhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
HHhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
HHhdhdhV
il
−+−−=
−+−−=
−+−−=
−+−=
−+−−=
−+−+−=
−+−=
−+−−=
−+−−=
−+−−=
−+−+−=
−+−−=
−+−−=
−+−+−=
−+−+−=
−+−−=
−+−−=
− 44 844 76
biçimini alır. Nivelman ağlarında dengeleme bilinmeyenleri olarak küçültülmüş
bilinmeyenler uidhi ,,2,1, L= sembolüyle ifade edilir. Burada ölçülerin ve noktaların
yaklaşık yüksekliklerinin yerine konmasıyla (2.28) bağıntısına göre sayısal olarak elde
edilen düzeltme denklemleri ağırlıklarıyla birlikte Çizelge 5.3’de verilmiştir. Nivelman
ölçülerinde ağırlıklar ( iP ) nivelman yolunun (km cinsinden) tersi alınarak
hesaplanmıştır. Böylece dengelemenin matematik modeli oluşturulmuştur.
(5.9)
49
Çizelge 5.3 Sayısal düzeltme denklemleri
iV 1dh 2dh 3dh 4dh 5dh 7dh 8dh 9dh 10dh )(mmli− iP
1V 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 2 2.252
2V 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 5 2.288
3V 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1.563
4V 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 -5 2.762
5V 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 2 2.912
6V 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 2.638
7V 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 -7 1.015
8V 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1.277
9V 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2.012
10V 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 3 1.160
11V 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2.475
12V 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 -4 1.319
13V 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -4 3.534
14V 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1.219
15V 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 2.193
16V 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 3.472
17V 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1.548
50
Dengelemenin matematiksel modelini matrislerle ifade edebilmek için (2.42)
bağıntısına göre
,
0
0
0
0
4.0
4.0
0
3.0-
0
0
7.0
0
2.0-
5.0
0
5.0-
2.0-
,,
000-100000
0000-10000
00000-1000
000000010
-110000000
100-100000
100000000
-100000010
-100000001
0-10000001
010-100000
00-1100000
00-1010000
000010-100
000001-100
00000-1010
0000000-11
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=
=
= l
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
VA
=
=
10
9
8
7
5
4
3
2
1
,
1.548
3.472
2.193
1.219
3.534
1.319
2.475
1.160
2.012
1.277
1.015
2.638
2.912
2.762
1.563
2.288
2.252
dh
dh
dh
dh
dh
dh
dh
dh
dh
xPdiagonal
biçiminde tanımlamalar yapılır. (2.45) bağıntısına göre hesaplanacak normal
denklemler matrisi )(N ve yalın terimler vektörü )(n ,
(5.10)
51
,
10.500 3.534- 0 1.319- 0 0 0 1.160- 2.012-
3.534- 5.826 0 1.015- 0 0 0 0 1.277-
0 0 5.550 2.638- 2.912- 0 0 0 0
1.319- 1.015- 2.638- 6.520 0 0 0 0 0
0 0 2.912- 0 9.146 0 2.762- 0 0
0 0 0 0 0 6.044 1.563- 2.288- 0
0 0 0 0 2.762- 1.563- 4.325 0 0
1.160- 0 0 0 0 2.288- 0 6.919 2.252-
2.012- 1.277- 0 0 0 0 0 2.252- 5.541
=N
=
5.380 -
21.241
5.824
12.381 -
7.986
11.440
13.810 -
10.416 -
4.504-
n
olur. Buradan (2.47) bağıntısına göre çözüm vektörü (dengeleme bilinmeyenleri)
mm biriminde
−
−
−
−
=
=
0.3428
5920.3
0.7202
.97900
0.2596
0.6533
2.7912
1.3674
0.4163
10
9
8
7
5
4
3
2
1
dh
dh
dh
dh
dh
dh
dh
dh
dh
x (5.12)
olarak elde edilmiştir. Sonra (2.43) bağıntısından düzeltmeler vektörü mm biriminde
(5.11)
52
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
0.9790
0.2596
0.6533
1.3674
0.7508
2.6782
0.3428
1.2898
0.7591
4.0083
2.4290
1.6992
1.5393
.94921
3.4445
2.9793
2.9511
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
ve (2.50) bağıntısından dengeli ölçüler m biriminde
=
=+=
50.8990
38.7747
13.3593
33.4326
2.5402
60.4013
9.5023
23.9303
42.0892
39.5490
62.9416
1.7703
13.8945
19.5661
44.9814
46.7920
18.1590
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
ˆ
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
VLL
(5.13)
(5.14)
53
elde edilmiştir. Noktaların dengeli yükseklikleri m biriminde (2.21) bağıntısından
iii dhHH += 0 ile
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
134.82934
137.36959
72.65772
74.42802
125.32700H
86.55226
111.96765
66.98621
158.75963
176.91858
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
H
H
H
H
H
H
H
H
H
(5.15)
olarak hesaplanır. Düzeltmeler bulunduktan sonra
27483.129 mmPVV
T = (5.16) olarak hesaplanmıştır. Ayrıca (2.48) ve (2.49) denetim bağıntıları ile de
27483.129 mmPVV
T = (5.17) olarak elde edilmiştir. Bu denetim işlemleri, hesapta bir hata olmadığını göstermektedir.
(2.51) bağıntısından sonsal standart sapma
mmun
PVVT
03.4917
7483.129ˆ =
−=
−=σ (5.18)
bulunmuştur. 5.2.2 Dengeleme probleminin hedef programlama ile çözümü
En küçük karelerle dengelemenin normal denklemlerinin her biri gerçekleşmesi gereken
bir hedeftir. Bu nedenle normal denklemler (5.3) bağıntısı yardımıyla hedef
programlama problemi biçiminde ifade edilebilir. (5.3) bağıntısında genel olarak ifade
54
edilen bilinmeyenler vektörü, nivelman ağlarının dengelemesinde yaygın olarak
kullanılan gösterimi ile TdhdhdhdhdhdhdhdhdhZ ][ 1098754321=
biçiminde seçilmiştir. Bu bilinmeyenler için (5.5) bağıntısına benzer olarak
L432211 , uudhuudh −=−= ve benzeri biçimde gösterim kullanılarak (5.6)
bağıntıları yardımıyla (5.11) normal denklemleri
181716151413121110987654321 ddddddddddddddddddZMin +++++++++++++++++=
5.541 (u1-u2) - 2.252(u3-u4) + 0 (u5-u6) + 0 (u7-u8)+ 0 (u9-u10) + 0 (u11-u12) + 0 (u13-u14) - 1.277 (u15-u16) - 2.012 (u17-u18) + d1 – d2 = -4.504
-2.252(u1-u2) + 6.919(u3-u4) + 0 (u5-u6) - 2.288(u7-u8)+ 0 (u9-u10) + 0 (u11-u12) + 0 (u13-u14) + 0 (u15-u16) - 1.160 (u17-u18) + d3 – d4 = -10.416
0 (u1-u2) + 0 (u3-u4) + 4.325(u5-u6) - 1.563(u7-u8) - 2.762 (u9-u10) + 0 (u11-u12) + 0 (u13-u14) + 0 (u15-u16) + 0 (u17-u18) + d5 – d6 = -13.810
0 (u1-u2) - 2.288(u3-u4) - 1.563(u5-u6) + 6.044(u7-u8)+ 0 (u9-u10) + 0 (u11-u12) + 0 (u13-u14) + 0 (u15-u16) + 0 (u17-u18) + d7 – d8 = 11.440
0 (u1-u2) + 0 (u3-u4) - 2.762(u5-u6) + 0 (u7-u8)+ 9.146(u9-u10) + 0 (u11-u12) - 2.912(u13-u14) + 0 (u15-u16) + 0 (u17-u18) + d9 – d10 = 7.986
0 (u1-u2) + 0 (u3-u4) + 0 (u5-u6) + 0 (u7-u8)+ 0 (u9-u10) + 6.520(u11-u12) - 2.638(u13-u14) - 1.015 (u15-u16) - 1.319 (u17-u18)+ d11 – d12 = -12.381
0 (u1-u2) + 0 (u3-u4) + 0 (u5-u6) + 0 (u7-u8) - 2.912 (u9-u10) - 2.638 (u11-u12) + 5.550(u13-u14) + 0 (u15-u16) + 0 (u17-u18) + d13 – d14 = 5.824
-1.277(u1-u2)+ 0 (u3-u4) + 0 (u5-u6) + 0 (u7-u8) + 0 (u9-u10) - 1.015 (u11-u12) + 0 (u13-u14) + 5.826(u15-u16) - 3.534 (u17-u18) + d15 – d16 = 21.241
-2.012(u1-u2) - 1.160(u3-u4) + 0 (u5-u6) + 0 (u7-u8) + 0 (u9-u10) - 1.319 (u11-u12) + 0 (u13-u14) - 3.534 (u15-u16) + 10.500(u17-u18) + d17 – d18 = -5.380
biçiminde hedef programlama problemi olarak ifade edilebilirler. Bu problem WinQSB
programıyla çözülerek
u1 = 0 , u2 = 0.4163 , u3 =0, u4 = 1.3674, u5 = 0, u6 = 2.7912,
u7 = 0, u8 =0, u9 = 0.2596, u10 =0, u11 =0, u12 = 0.9790,
u13 = 0.7202, u14 =0, u15 = 3.5920, u16 =0, u17 = 0.3428, u18 = 0
d1 = d2 = d3 = d4 = d5 = d6 = d7 = d8 = d9 = d10 = d11 = d12 = d13 = d14 = d15
= d16 = d17 =d18 =0
olarak hesaplanmıştır. Hesaplanan bu büyüklükler ve (5.5) bağıntısı yardımıyla
bilinmeyenler mm biriminde
(5.20)
(5.19)
55
3428.0
5920.3
7202.0
9790.0
2596.0
6533.0
7912.2
3674.1
4163.0
181710
16159
14138
12117
1095
874
653
432
211
=−=
=−=
=−=
−=−=
=−=
=−=
−=−=
−=−=
−=−=
uudh
uudh
uudh
uudh
uudh
uudh
uudh
uudh
uudh
(5.21)
olarak elde edilmiştir. )9,,2,1;9,,2,1(212 LL ==−= − jiddd jji biçiminde
hesaplanan sapma değişkenlerinin hepsinin sıfır çıkması, hedef olarak ön görülen her
bir normal denklemden pozitif ve negatif yönde hiçbir sapma olmadığını
göstermektedir.
Küçültülmüş bilinmeyenler hesaplandıktan sonra (2.43) bağıntısı ya da (2.26) bağıntısı
ile genel olarak verilen doğrusallaştırılmış düzeltme denklemleri yardımıyla düzeltmeler
hesaplanmış ve (5.13) bağıntısı ile verilen değerler bulunmuştur. Sonra (2.50) bağıntısı
ile dengeli (kesin) ölçüler hesaplanmış ve (5.14) bağıntısı ile verilen değerler elde
edilmiştir. Ağ noktalarının dengeli yükseklikleri iii dhHH += 0 eşitliğiyle
hesaplanarak (5.15) bağıntısıyla verilen değerler bulunmuştur. Ayrıca (2.48) ve (2.49)
bağıntılarına göre denetim işlemleri yapılmış ve (5.17) bağıntısı ile verilen değer
bulunmuştur.
5.3 Tartışma ve Sonuç
Bu çalışmada jeodejik ağların en küçük karelerle dengelenmesi kapsamında 10 noktalı
bir nivelman ağı ele alınmış ve en küçük karelerle dengeleme problemi hedef
programlama tekniği açısından incelenerek bir uygulama yapılmıştır.
Nivelman ağı önce en küçük karelerle dengelenmiş ve sonra dengelemenin normal
denklemler matrisi hedef programlama problemi olarak modellenerek dengeleme
56
bilinmeyenleri ve dengelemeden beklenen diğer büyüklükler (düzeltmeler, dengeli
ölçüler, noktaların dengeli yükseklikleri) hesaplanmıştır. Ayrıca kontrol denetimleri de
yapılmıştır.
Uygulamada, öncelikle ölçüleri verilen nivelman ağı en küçük kareler yöntemiyle
MATLAB programı kullanılarak dengelenmiş ve hesap sonuçları (5.12)-(5.18)
eşitlikleriyle verilmiştir.
Çalışmada, normal denklemlerin hedef programlama problemi şeklinde modellenerek
çözümü amaçlandığından (5.11) bağıntısı ile verilen normal denklemler (5.19) bağıntısı
ile hedef programlama problemi olarak ifade edilerek bilinmeyenler
),,,,( 181721 uuuu L ve hedef olarak ön görülen normal denklemlerden negatif ve
pozitif sapmalar ),,,,( 181721 dddd L bulunmuş ve (5.20) bağıntısı ile verilmiştir.
Hesaplanan bu bilinmeyenler (5.5) bağıntılarında kullanılarak esas dengeleme
bilinmeyenleri elde edilmiş ve (5.21) bağıntıları ile verilmiştir. Daha sonra
dengelemeden beklenen diğer büyüklükler hesaplanmıştır.
Yapılan uygulama ile aşağıdaki sonuçlara varılmıştır:
� Farklı iki yöntemin sonucunda elde edilen (5.12) ve (5.21) bağıntıları
incelendiğinde bilinmeyenlerin aynı büyüklükler olduğu görülmektedir.
Böylece, çalışmadan amaçlanan en küçük kareler yöntemiyle dengelemenin
normal denklemlerinin hedef programlama problemi olarak çözümü
gerçekleşmiş olmaktadır.
� Bilinmeyenler elde edildikten sonra, iki farklı yoldan ölçülere gelecek
düzeltmeler )( iV , dengeli ölçüler ),ˆ( iL ağ noktalarının dengeli yükseklikleri
)( iH ve sonsal standart sapma )ˆ(σ hesaplanmış ve aynı değerler bulunmuştur.
Böylece en küçük kareler yöntemi ile dengeleme yapmaksızın istenilen
sonuçların elde edilebileceği görülmüştür.
57
� En küçük kareler kestiricileri, veri kümesindeki uyuşumsuz ölçülere (aykırı
ölçülere) karşı duyarlı olup bu tür ölçülerden etkilenmektedirler. Bu nedenle bir
tercih olarak kullanılabilecek MINMAD kestiricileri ile, jeodezik ağların en
küçük kareler yöntemine göre dengelenmesine alternatif bir çözüm yöntemi elde
edilmiştir.
58
KAYNAKLAR
Aksoy, A. 1981. Harita Yüksek Teknik Okulu Dengeleme Ders Notları (yayınlanmadı). Ankara.
Arthanari, T.S. and Dodge, Y. 1981. Mathematical Programming in Statistics. John
Wileyl&Sons, 413 p.,New York-Chichester-Brisbane-Toronto. Atan, M. 2008. Çok Amaçlı Hedef Programlama İle Optimal Portföy
Seçim Modelinin İmkb 100 Endeksine Uygulanması. http://muratatan.info/academic/bulletin/31.pdf
Demirel, H. 1987a. Nirengi Ağlarının dengelenmesi ve Sonuçlarının Test Edilmesi.
Harita Dergisi, Sayı: 98. Demirel, H. 1987b. S-Transformasyonu ve Deformasyon analizi. Türkiye I. Harita
Bilimsel ve teknik Kurultayı. 23-27 şubat 1987, Ankara.
Eminkahyagil, G. 1997. Hedef Programlama ve Bir Uygulama. Yüksek Lisans Tezi . Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 66 s., Ankara.
Ignizio, J.P. 1982. Linear Programming in Single-&Multiple-Objective Systems.
Prencitice-Hall, Inc., 506 p., Englewood Cliffs, N.J. 07632. Ignizio, J.P. 1989. Introduction to Linear Goal Programming (Second Printing). SAGE
Publications, Inc., 96 p., 2111 West Hillcrest Drive Newbury Park, California 91320.
Johnson, R.A. and Wichern, D.W. 1992. Applied Multivariate Statistical Analysis
(Third edition). Prentice-Hall International, 642 p.
Mikhail, E. M. 1976. Observations and Least Squares. Harper&Row Publishers. New York, Hagerstown, San Francisco, London.
Milton, J.S. and Arnold, J.C. 1990. Introduction to Probability and Statistics., Principles
and Applications for Engineering and the Computing Sciences. Second Edition. McGraw-Hill Publishing Company, 700 p., USA.
Özdamar, K. 2004. Paket Programlar ile İstatistiksel Veri Analizi-2 (Çok değişkenli Analizler). Yenilenmiş 5. Baskı. Kaan Kitabevi 528 s., Eskişehir. Öztürk, A. 2004. Yöneylem Araştırması. Ekin Kitabevi, 729 s., Bursa. Öztürk, E. 1987. Dengeleme Hesabı, Cilt I. Karadeniz Teknik Üniversitesi
Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Genel Yayın No:119, Fakülte Yayın No:38. Karadeniz Teknik Üniversitesi Basımevi. Trabzon.
59
Öztürk, E. ve Şerbetçi, M. 1989. Dengeleme Hesabı, Cilt II. Karadeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Genel Yayın No:144, Fakülte Yayın No:40. Karadeniz Teknik Üniversitesi Basımevi. Trabzon.
Öztürk, E. ve Şerbetçi, M. 1992. Dengeleme Hesabı, Cilt III. Karadeniz Teknik
Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Genel Yayın No:144, Fakülte Yayın No:40. Karadeniz Teknik Üniversitesi Basımevi. Trabzon.
Slowiński, R. (Ed.) 1998. Fuzzy Sets in Decision Analysis, Operations Research and
Statistics. Kluwer Academic Publishers. 101 Philip Drive, Assinippi Park, 453 p., Norwell, Massachusetts 02061 USA.
Şerbetçi, M. 2003. Haritacılık Bilimi Tarihi. Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi
Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Bölümü. Ünversite Yayın No:YTÜ.İN.DK-03.0689/Fakülte Yayın No:İN.JFM-03.001. Yıldız Teknik Üniversitesi Basım-Yayın Merkezi. İstanbul.
Şimşek, M. 1988. Nirengi Ağlarında Sıklaştırma Modelleri ve İstatistik Testler.
Yüksek Lisans Tezi . Yıldız Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. 109 s. İstanbul. Şimşek, M. 1992. Jeodezik Ağlarda Uyuşumsuz Ölçülerin Belirlenmesi. Harita
Dergisi, Sayı:108, s. 18-33. Ankara. Şimşek, M. 1995. Uydu Tekniklerinin Ağ Sıklaştırmasında Kullanılabilirliği Üzerine
Bir Araştırma. Doktora Tezi. Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. 117 s. İstanbul.
Şimşek, M. 1997a. Nirengi Ağlarının Yersel Ölçülerle Dengelenmesi İçin Program
Tasarımı ve Bir Örnek. Harita ve Kadastro Mühendisliği, Sayı: 82, s.51-66. Ankara.
Şimşek, M. 1997b. Kondisyonu Bozuk Normal Denklemler Matrisinin
Kondisyonunun Düzeltilmesi ve Dengeleme Sonuçlarındaki Etkileri. Harita ve Kadastro Mühendisliği, Sayı: 82, s.103-117. Ankara.
Turanlı, M. ve Köse, A. 2005. Doğrusal Hedef Programlama Yöntemi ile Türkiye’deki
Sigorta Şirketlerinin Performanslarının Değerlendirilmesi. İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi. Yıl: 4, Sayı: 7, s.19-39.
Ulsoy, E. 1974. Dengeleme Hesabı, (En küçük kareler metodu). Genişletilmiş İkinci
Baskı. İstanbul Devlet Mühendislik ve Mimarlık Akademisi Yayınları, Sayı:87. İnkılap ve Aka Basımevi. İstanbul.
Ulsoy, E. 1980. Pratik Matris Hesabı ve Dengeleme Hesabına Uygulanması. İstanbul
Devlet Mühendislik ve Mimarlık Akademisi Yayınları, Sayı:91. Özarkadaş Matbaası. İstanbul.
60
Wolf, H. 1975. Ausgleichungs Rechnung. Formeln zur Praktischen Anwendung. Ferd. Dümmlers Verlag. Bonn.
Wolf, H. 1979. Ausgleichungs Rechnung II. Aufgaben und Beispiele zur Praktischen
Anwendung. Ferd. Dümmlers Verlag. Bonn.
Winston, W.L. 1991. Operations Research, Applications and Algorithms (Second edition). PWS-Kent Publishing Company, 1256 p., Boston (USA).
61
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Mustafa ŞİMŞEK
Doğum Yeri : Giresun
Doğum tarihi : 01.10.1957
Medeni Hali : Evli
Yabancı Dil : İngilizce, Almanca
Eğitim Durumu: İlkokul :Meşeliyatak Köyü İlkokulu (23.5.1970)-Dereli/Giresun
Ortaokul :Dereli Ortaokulu (1.7.1973)- Dereli/Giresun
Lise :Kuleli Askeri Lisesi (21.5.1976)-İstanbul
Lisans :Kara Harp Okulu (30 Ağustos 1980)-Ankara
Harita Yüksek Teknik Okulu (Ekim 1982)-Ankara
Yüksek Lisans :Yıldız Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Jeodezi ve Fotogrametri
Mühendisliği Anabilim Dalı (Ekim 1986-Temmuz 1988)-İstanbul
Doktora :Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Jeodezi ve
Fotogrametri Mühendisliği Anabilim Dalı (Ekim 1988-Ocak 1995)-
İstanbul
Yüksek Lisans:Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı
(Şubat 2007-Aralık 2008)-Ankara
Çalıştığı Kurumlar: Harita Genel Komutanlığı :Eylül 1980-Aralık 1986
3 üncü Kolordu Komutanlığı : Aralık 1986-Ekim 1988
Harita Genel Komutanlığı : Ekim 1988-Haziran 2000
Milli Savunma Bakanlığı : Haziran 2000-Haziran 2003
Harita Genel Komutanlığı : Haziran 2003-Devam
62
Yayınları:
• Şimşek, M. 1988. Nirengi Ağlarında Sıklaştırma Modelleri ve İstatistik Testler. Yüksek Lisans Tezi. Yıldız Üniversitesi, İstanbul.
• Şimşek, M. 1988. Jeodezik Ağ Sıklaştırma Modelleri (Özet). Yayınlanmadı.
• Şimşek, M. 1989. Jeodezik Ağ Sıklaştırma Modelleri ve Ülke Ağlarına
Uygulanabilirliği. Seminer. Harita Genel Komutanlığı. 15.02.1989, Ankara. Yayınlanmadı.
• Şimşek, M. 1992. Jeodezik Ağlarda Uyuşumsuz Ölçülerin Belirlenmesi. Harita
Dergisi, Sayı:108, S. 18-33.
• Ayhan M.E. ve Şimşek, M. 1993. GPS Koordinatları ve Karşılıklı Başucu Açı Ölçüleri ile Kırılma Katsayısı Hesabı. Harita Dergisi, Sayı:111, S. 23-42.
• Özaydın, D., Ayhan, M.E., Kınık, İ., Şimşek, M., Demir, C., Lenk, O. 1993.
Ankara GPS Test Ağı (AGTA)'nın Tanıtımı. 4. Harita Kurultayı, S. 320-341, 1-4 Şubat 1993, Ankara.
• Şimşek, M. 1995. Uydu Tekniklerinin Ağ Sıklaştırmasında Kullanılabilirliği
Üzerine Bir Araştırma. Doktora Tezi. Yıldız Teknik Üniversitesi, 20 Ocak 1995, İstanbul.
• Şimşek, M., Yanar, R., Kurttekin, T., Aksoy, Z.N., Ata, M. 1995. Jeodezik Veri
Tabanı (JVT) Faaliyetleri.Türk Haritacılığının Yüzüncü Yılı, Türkiye Ulusal Jeodezi-Jeofizik Birliği ve Türkiye Ulusal Fotogrametri ve Uzaktan Algılama Birliği Kongreleri Bildiri Kitabı, Cilt 4, S. 1354-1363, 1-5 Mayıs 1995, Ankara.
• Şimşek, M. ve Yanar, R. 1995. Haritacılıkta Arşivin Fonksiyonu ve Geleceği.
Türk Haritacılığının Yüzüncü Yılı, Türkiye Ulusal Jeodezi-Jeofizik Birliği ve Türkiye Ulusal Fotogrametri ve Uzaktan Algılama Birliği Kongreleri Bildiri Kitabı, Cilt 4, S. 1472-1478, 1-5 Mayıs 1995, Ankara.
• Şimşek, M., Yanar, R., Aksoy, Z.N., Ata, M. 1996. Temel Jeodezik Ağlar ve
Bilgi Sistemleri. Coğrafi Bilgi Sistemleri Sempozyumu, S. 351-353, 26-27-28 Eylül 1996, İstanbul.
• Şimşek, M. 1997. Nirengi Ağlarının Yersel Ölçülerle Dengelenmesi için
Program Tasarımı ve bir Örnek. Harita ve Kadastro Mühendisliği, Sayı: 82, S. 51-66.
• Şimşek, M. 1997. Kondisyonu Bozuk Normal Denklemler Matrisinin
Kondisyonunun Düzeltilmesi ve Dengeleme Sonuçlarındaki Etkileri. Harita ve Kadastro Mühendisliği, Sayı: 82, S.103-117.
63
• Şimşek, M. ve Demirel, H. 1997. Ağ Sıklaştırmada Modern Teknikler. 6.Harita Kurultayı, S. 239-255, 03-07 Mart 1997, Ankara.
• Şimşek, M. 1998. Nirengi Ağlarında Bağlantı Noktalarının Test Yöntemlerinin
Karşılaştırılması. Harita ve Kadastro Mühendisliği, Sayı :84, S.121-131.
![g: pp ex ookskeyword5406-dovidio5406-dovidio-ch05schaller/SchallerConwayPeavy2010.pdf · [16:03 21/1/2010 5406-dovidio-ch05.tex] Job No: 5406 Dovidio:The Sage Handbook of Prejudice,](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5f1224e8c6aba03d512fda63/g-pp-ex-ookskeyword5406-dovidio5406-dovidio-ch05-schallersch-1603-2112010.jpg)
