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Anillos de Ehrhart - CINVESTAV...Anillos de Ehrhart Rafael Heraclio Villarreal Rodr´ıguez Departamento de Matematicas´ CINVESTAV-IPN, Mexico´ XLVII Congreso Nacional Sociedad Matematica

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Text of Anillos de Ehrhart - CINVESTAV...Anillos de Ehrhart Rafael Heraclio Villarreal Rodr´ıguez...

  • Anillos de Ehrhart

    Rafael Heraclio Villarreal Rodrı́guez

    Departamento de MatemáticasCINVESTAV-IPN, México

    XLVII Congreso NacionalSociedad Matemática Mexicana

    Area de ÁlgebraDurango, Dgo., 26–31 Octubre, 2014.

  • Bosquejo de la Plática

    Politopos Enteros

    Función y Polinomio de Ehrhart

    Ley de Reciprocidad

    Volumen de Politopos Enteros

    Los Politopos aparecen en Programación Entera,Geometrı́a Algebraica y Variedades Tóricas

    Anillo de Ehrhart y Politopos Enteros

  • Politopos

    Sea A = {v1, . . . , vq} un conjunto de vectores en Zn y sea

    conv(A) :=

    { q∑i=1

    aivi

    ∣∣∣∣∣ ai ∈ R+;q∑

    i=1

    ai = 1

    }

    la envoltura convexa de A en Rn.

    DefiniciónAl conjunto conv(A) se le llama un politopo entero en Rn.Usaremos P para denotar a un politopo entero:

    P := conv(A)

  • Politopo Entero P en R3:

    P = conv(v1, . . . , v5)

    tv4 = (0,0,0)tv3 = (0,3,0) tv2 = (3,0,0)

    tv1 = (1,1,3)

    t v5 = (1,1,−3)

    \\\\\\\

    �������

    �������

    \\\\\\\

    p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

    pppppppppppppppppp

    pppppppp

  • Politopo Entero P en R2:

    -

    6

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y

    0 1 2 3 4 5 6 xAAAAA

    �����JJJJJJJ�

    ��

    ����

    sss s

    s

    s

  • Sea P un politopo. Entonces tenemos que:P es convexo. Es decir dados x , y ∈ P se tiene que

    tx + (1− t)y ∈ P ∀0 ≤ t ≤ 1

    P es compacto. Esto es P es cerrado y acotado.

    Conjuntos Convexos Compactos

    Politopos

  • Sea H un hiperplano afı́n de Rn definido por:

    a1x1 + · · ·+ anxn = b1,

    y sean H+ y H− los semiespacios definidos por:

    a1x1 + · · ·+ anxn ≥ b1a1x1 + · · ·+ anxn ≤ b1

    DefiniciónUna cara propia de un politopo P ⊂ Rn es un subconjunto∅ 6= F ⊂ P tal que

    (a) F = P ∩ H, P 6⊂ H,(b) P ⊂ H+ o bién P ⊂ H−.

    Las caras impropias son P y ∅.

  • Teorema (Celosı́a de Caras “Face Lattice”)

    Sea P un politopo. Se tiene lo siguiente:

    Si F es una cara de P, entonces F es también unpolitopo y sólo hay un número finito de caras de P.

    Si F1 y F2 son caras de P, entonces F1 ∩ F2 estambién cara de P.

  • TeoremaSi P es un politopo =⇒ P es el conjunto de soluciones deun sistema de desigualdades lineales:

    a11x1 + · · · + a1nxn ≤ b1...

    ......

    ...am1x1 + · · · + amnxn ≤ bm

    El recı́proco es cierto si P is acotado.

    Este sistema de desigualdades se escribe en formamatricial como

    Ax ≤ b,

    con A = (aij), x = (x1, . . . , xn)> y b = (b1, . . . ,bm)>.

  • Politopos y Programación Lineal

    Algunos problemas en Investigación de Operaciones sereducen a un problema de programación lineal:

    Maximizar c1x1 + · · ·+ cnxn (ci ∈ R)

    Sujeto a a11x1 + · · · + a1nxn ≤ b1...

    ......

    ...am1x1 + · · · + amnxn ≤ bm

  • Politopos en Geometrı́a Algebraica

    Sea f = f (x1, . . . , xn) =∑

    a∈Nn caxa un polinomio en

    C[x1, . . . , xn], donde ca ∈ C, xa = xa11 · · · xann . El politopo deNewton es el politopo entero:

    PN(f ) = conv({a ∈ Nn | ca 6= 0})

    Teorema (Bernstein-Kushnirenko-Khovanskii)Si hay sólo un número finito de soluciones en (C∗)n delsistema

    f1 = · · · = fn = 0,

    con f1, . . . , fn polinomios, entonces el número desoluciones es acotado por arriba por el “volumenmezclado” de PN(f1), . . . ,PN(fn).

  • Definición (La dimensión de un politopo P)Sea afı́n(P) la envoltura afı́n de P:

    afı́n(P) :=

    { q∑i=1

    aivi

    ∣∣∣∣∣ ai ∈ R,q∑

    i=1

    ai = 1

    }

    Notar que podemos escribir

    afı́n(P) = x0 + V ,

    donde V es un subespacio vectorial de Rn.

    La dimensión de P se define como:

    dim(P) := dimR(V ).

  • Una cara F = {x0} de dimensión cero se llama vértice, yuna cara de dimensión dim(P)− 1 se llama careta.

    DefiniciónEl f -vector de un politopo P es:

    f (P) = (f0, f1, . . . , fd−1),

    donde d = dim(P) y fi es el número de caras de P dedimensión i .

  • Ejemplo

    uv4uv3 uv2

    uv1

    uv5

    \\\\\\\

    �������

    �������

    \\\\\\\

    p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

    pppppppppppppppppp

    pppppppp

    f0 = 5 (vértices)

    f1 = 9 (caras de dim=1)

    f2 = 6 (caras de dim=2)

    f (P) = (5,9,6)

    Fórmula de Euler:f0 − f1 + f2 = 1 + (−1)3−1

    = 2

  • Función de Ehrhart

    Consideremos un politopo entero:

    P = conv(v1, . . . , vq) ⊂ Rn,

    La función de Ehrhart de P se define como la funciónnumérica E : N→ N dada por:

    E(i) = |Zn ∩ iP|,

    donde iP = {ix | x ∈ P},|Zn ∩ iP| = número de puntos en Zn ∩ iP.

  • Polinomio de Ehrhart

    TeoremaExiste un único polinomio

    EP(x) = cdxd + · · ·+ c1x + c0 ∈ Q[x ]

    de grado d = dim(P) tal que

    E(i) = EP(i) (∀ i ≥ 0)

    DefiniciónEl polinomio EP(x) se llama el polinomio de Ehrhart de P.

  • Cuadrado unitario

    Sea P = conv((0,0), (0,1), (1,0), (1,1))

    Puntos enteros de 4P

    -

    6

    1

    2

    3

    4

    0 1 2 3 4

    s ss s s sss ss s

    sss s

    ss s ss s ssss s

    |Z2 ∩ 4P| = 25, EP(x) = (x + 1)2

  • Politopo entero P:

    -

    6

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y

    0 1 2 3 4 5 6 xAAAA

    ����JJJJJJ��

    ����

    s ss s s sss s sssss ss

    s

    Polinomio de Ehrhart: EP(x) = 12x2 + 3x + 1,Área o volumen de P es 12,Número de puntos enteros en la frontera de P es 6.

  • TeoremaEl volumen relativo de P es:

    vol(P) = limi→∞

    |Zn ∩ iP|id

    ,

    donde d = dim(P). Además d !vol(P) es un entero,llamado el volumen normalizado de P.

    ∴ vol(P) es el término lı́der cd del polinomio de Ehrhart:

    vol(P) = limi→∞

    |Zn ∩ iP|id

    = limi→∞

    EP(i)id

    = limi→∞

    cd id + cd−1id−1 + · · ·+ c0id

    = cd .

  • ObservaciónSi EP(x) = cdxd + · · ·+ c1x + c0 =⇒ cd−1 ≥ 0 y c0 = 1.Esto se prueba usando la ley de reciprocidad que vieneenseguida.

    Problema AbiertoLos coefficientes c0, c1, . . . , cd son no-negativos si losvertices de P tienen entradas en {0,1}.

  • Puntos interiores de P

    Sea P ⊂ Rn un politopo entero y sea

    E+(i) = |Zn ∩ int(iP)|, i = 1,2, . . .

    int(iP) = interior relativo de iP.

    Teorema (Ley de Reciprocidad de Ehrhart)

    E+(i) = (−1)dEP(−i) ∀ i ≥ 1

  • TeoremaSupongamos P ⊂ R2 y dim(P) = 2. Entonces elpolinomio de Ehrhart de P se escribe como:

    EP(x) = area(P)x2 +|Z2 ∩ ∂P|

    2x + 1,

    donde ∂P es la frontera de P.

    DemostraciónEscribiendo P = int(P) ∪ ∂(P) y EP(x) = c2x2 + c1x + c0obtenemos por la ley de reciprocidad:

    |∂(P) ∩ Z2| = |P ∩ Z2| − |int(P) ∩ Z2|= EP(1)− E+(1)= EP(1)− EP(−1)= (c2 + c1 + c0)− (c2 − c1 + c0) = 2c1. 2

  • Theorem (Fórmula de Pick)

    |Z2 ∩ P| = area(P) + |Z2 ∩ ∂P|

    2+ 1

    DemostraciónHaciendo x = 1 en la fórmula:

    EP(x) = area(P)x2 +|Z2 ∩ ∂P|

    2x + 1

    obtenemos la fórmula de Pick. 2

  • -

    6

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Politopo entero Py

    0 1 2 3 4 5 6 xAAAA

    ����J

    JJJJJ��

    ��

    ��

    s ss s s sss s sssss ss

    s|Z2 ∩ P| = 16|Z2 ∩ ∂P| = 6

    Enseguida ilustraremos con este ejemplo

    la Fórmula de Pick, el polinomio de Ehrhart, yla Ley de Reciprocidad.

  • Fórmula de Pick:

    |Z2 ∩ P| = area(P) + |Z2 ∩ ∂P|

    2+ 1.

    Polinomio de Ehrhart:

    EP(x) = area(P)x2 +|Z2 ∩ ∂P|

    2x + 1 = 12x2 + 3x + 1.

    Ley de Reciprocidad de Ehrhart:

    E+(1) = (−1)2EP(−1) = 10.

  • Enseguida vamos a relacionar

    POLITOPOS ENTEROScon

    ANILLOS DE EHRHART

    Sea K un campo, por ejemplo K = R, y sea

    R = K [x1, . . . , xn]

    un anillo de polinomios con coeficientes en K .

    Hay una correspondencia entre monomios y vectores:

    Nn ←→ Monomios de R

    a = (a1, . . . ,an) ←→ xa := xa11 · · · xann .

  • Consideremos un politopo entero

    P = conv(v1, . . . , vq) ⊂ Rn,

    donde vi ∈ Nn. En esta correspondencia tenemos:

    A = {v1, . . . , vq} ←→ F = {xv1 , . . . , xvq}.

    Asociados a P tenemos el subanillo monomial

    K [Ft ] = K [{xv1t , . . . , xvq t}] ⊂ R[t ]

    de R[t ] generado por Ft sobre K , donde t es una nuevavariable, y el anillo de Ehrhart

    A(P) = K [{xαt i |α ∈ Zn ∩ iP}] ⊂ R[t ]

  • Anillos normales y cerradura entera

    DefiniciónSea A un dominio entero y KA su campo de cocientes.

    Un elemento z ∈ KA se dice que es entero sobre A siexiste un polinomio mónico:

    0 6= f (x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0,

    con ai ∈ A, n ≥ 1 y f (z) = 0.

    La cerradura entera A de A, es el subanillo de todoslos z ∈ KA que son enteros sobre A.

    Si A = A decimos que A es normal .

  • Propiedades del anillo de Ehrhart

    A(P) es un anillo normal,

    A(P) = K [xγ1tb1 , . . . , xγr tbr ],

    K [Ft ] ⊂ A(P) es una extensión entera,

    K [Ft ] = A(P)⇐⇒ A(P) está contenido en el campode cocientes de K [Ft ].

    ObservaciónLa normalidad de A(P) implica que la función y elpolinomio de Ehrhart son iguales para todo i ≥ 0.

  • El anillo de Ehrhart es un anillo graduado:

    A(P) =∞⊕

    i=0

    A(P)i ,

    donde la componente de grado i es:

    A(P)i =∑

    α∈Zn∩iP

    Kxαt i ,

    Notar que la función de Hilbert de A(P):

    E(i) = dimK A(P)i = |Zn ∩ iP|

    es igual a la función de Ehrhart de P.

  • La serie de Hilbert de A(P) es:

    F (A(P), x) =∞∑

    i=0

    |Zn ∩ iP|x i ,

    esta serie es llamada la serie de Ehrhart de P.

    Por el famoso teorema de Hilbert-Serre dicha serie esuna función racional:

    F (A(P), x) = h0 + h1x + · · ·+ hsxs

    (1− x)d+1,

    con h0 + h1 + · · ·+ hs 6= 0 y d = dim(P).

  • Propiedades de la serie de Ehrhart:

    s < d + 1; pues A(P) es normal.

    hi ≥ 0 para todo i .

    h0 + h1 + · · ·+ hs = d !vol(P).

    La ley de reciprocidad para politopos se prueba usandoseries de Hilbert y propiedades algebraicas de A(P).

    El estudio de series de Hilbert ha sido útil en la soluciónde problemas combinatorios y para calcular invariantesde anillos graduados que ocurren en geometrı́aalgebraica.

  • Anillo y Serie de Ehrhart:

    A(P) = K [x32 t , x1x2x33 t , t , x31 t , x1x2x−33 t , x21 t , . . .]

    F (A(P), x) = 1 + 12x + 36x2 + 5x3

    (1− x)4

    EP(x) = 1 + 3/2 x + 9/2 x2 + 9x3

    tv4 = (0,0,0)tv3 = (0,3,0) tv2 = (3,0,0)

    tv1 = (1,1,3)

    t v5 = (1,1,−3)\\\\\\

    ������

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    \\\\\\

    p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ppppppppppppppppppp

    pppppppp

  • Cuadrado unitario:

    Sea P = conv((0,0), (0,1), (1,0), (1,1))

    Puntos enteros de 4P

    -

    6

    1

    2

    3

    4

    0 1 2 3 4

    s ss s s sss ss s

    sss s

    ss s ss s ssss s |Z2 ∩ 4P| = 25

    EP(x) = (x + 1)2

    vol(P) = 1

    E+(r) = EP(−r)

    A(P) = K [Ft ]

    F (A(P), x) =∞∑

    i=0

    |Z2 ∩ iP|x i = 1 + x(1− x)3

  • Usando que v1, . . . , vq están en P, obtenemos:

    K [Ft ] = K [xv1t , . . . , xvq t ] ⊂ A(P).

    Puesto que A(P) = A(P), tomando cerraduras enterasobtenemos:

    K [Ft ] ⊂ A(P).

    Vamos a presentar condiciones para que ocurra laigualdad

    K [Ft ] = A(P).

    Esta igualdad es útil para calcular el “grado” de unavariedad tórica algebraica afı́n o proyectiva.

  • NotaciónSea B una matriz entera de rango r . El maximo comúndivisor de todos los menores (=subdeterminates) no cerode B de orden r se denota por ∆r (B).

    TeoremaSea B la matriz:

    B =(

    v1 · · · vq1 · · · 1

    ).

    Entonces K [Ft ] = A(P)⇐⇒ ∆r (B) = 1, con r = rango(B).

  • Variedades Tóricas

    Sea K = C el campo de los números complejos.

    Una variedad tórica afı́n V es el conjunto de soluciones

    V = V (f1, . . . , fs) ⊂ Cn

    de un sistema de ecuaciones f1 = · · · = fs = 0, con fi unbinomio.

  • EjemploSean f = t1t2 − t3t4 y V (f ) la variedad definida por f :

    V (f ) = {(a1,a2,a3,a4) ∈ C4 |a1a2 = a3a4}.

    El “ideal anulador” I(V (f )) de V (f ) es igual a (f ).

    El anillo de coordenadas de V (f ) es:

    C[t1, t2, t3, t4]/(t1t2 − t3t4) ' K [x1x2t , x2x3t , x3x4t , x1x4t ].

    Poniendo K [Ft ] = K [x1x2t , x2x3t , x3x4t , x1x4t ], y usandoel último teorema, tenemos que:

    K [Ft ] = A(P),

    con P = conv((1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1), (1,0,0,1)).

  • Tenemos lo siguiente:

    El grado de la variedad V (f ) es el volumennormalizado de P,

    El polinomio de Ehrhart de P es:

    EP(x) = x2 + 2x + 1,

    dim(P) = 2,

    grado de V (f )=grado(f )=2,

    2 = 2!vol(P).

  • FIN