Anhang 1: Matrizenalgebra978-3-662-10590... · 2017. 8. 25. · Anhang 1: Matrizenalgebra Der Anhang 1 enthält die elementaren Grundlagen der Matrizenalgebra, soweit diese für das

Anhang 1: Matrizenalgebra

Der Anhang 1 enthält die elementaren Grundlagen der Matrizenalgebra, soweit diese für das Verständnis des behandelten Stoffes und das selbständige Operieren mit Matrizen und Vektoren erforderlich sind. Ergänzende und vertiefende Infor-mationen finden sich in der unter A 1.6 aufgeführten Literatur.

Al.l Bezeichnungen und Definitionen

Matrizen: Jedes rechteckige Feld von Symbolen, Zahlen, Funktionen oder auch Matrizen, auf das gleiche mathematische Operationen angewendet werden dürfen, wird als Matrix bezeichnet. Dieses Feld wird in m Zeilen und n Spalten geordnet, in eine rechteckige Klammer eingefaßt und durch ein Symbol abgekürzt:

all a12 ali aln az1 azz azi a2n

a = a(mxn) = a;1 a;z a;i ain

= [a;J. (A 1.1)

aml am2 amj amn

Die Elemente aii der Matrix a tragen zur Identifizierung den Zeilenindex i = 1 ( 1 )m und den Spaltenindexj = 1(1)n. Zeilen und Spalten heißen gemeinsam Reihen. Die Angabe (m x n) nennt man Ordnung von a.

Zeilenmatrizen (Zeilenvektoren): Jede Matrix mit m = 1 wird als Zeilenmatrix oder Zeile bezeichnet:

(A 1.2)

Spaltenmatrizen (Spaltenvektoren): Jede Matrix mit n = 1 wird als Spaltenmatrix oder Spalte bezeichnet:

Al.l Bezeichnungen und Definitionen 307

a = a(mx 1) = (A1.3)

Nullmatrix: Eine Matrix, deren sämtliche Elemente den Wert Null annehmen, wird als Nullmatrix bezeichnet und mit 0 abgekürzt.

Untermatrizen und Hypermatrizen: Jede Matrix kann in Untermatrizen zerlegt werden. Ihre Darstellung in diesen Untermatrizen bezeichnet man als Hypermatrix. Ein Beispiel ist:

(A 1.4)

Quadratische Matrizen: Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl m = n wer-den als quadratisch bezeichnet; sie besitzen die gleichen Anzahlen von Zeilen- und Spaltenelementen sowie die Ordnung m = n

all a12 ali alm a21 a22 a2i a2m

a = a(m) = ail ai2 aii aim

am1 am2 ami amm

Die Elemente aii bezeichnet man als Hauptdiagonale, ihre Summe als Spur: m

sp(a) = L aii . i = 1

(A1.5)

(A 1.6)

Quadratische Matrizen zeichnen sich durch einige Besonderheiten aus, die im folgenden behandelt werden sollen.

Regularität: Die Funktion

det(a) = (Al.7)

308 Anhang 1: Matrizenalgebra

einer quadratischen Matrix a wird als deren Determinante bezeichnet. Ist det(a) i= 0, so heißt a regulär, sonst singulär. In einer regulären Matrix sind alle Zeilen bzw. Spalten voneinander linear unabhängig. In einer singulären Matrix können bis zu r* ~ m Zeilen bzw. Spalten voneinander linear abhängig sein; die Zahl r = m - r* bezeichnet man dann als Rang von a, die Zahl r* als Rangabfall.

Symmetrie und Antimetrie: Jede quadratische Matrix mit

aii = aii heißt symmetrisch,

aii = - aii heißt antimetrisch (schiefsymmetrisch).

Jede quadratische Matrix a läßt sich additiv in eine symmetrische und eme antimetrische Teilmatrix zerlegen; Beispiel:

a = as + a. = [ ~ ~ J = [ ~ ~ J + [ _ ~ ~ l Definitheit: Symmetrische Matrizen a mit einer für beliebiges x i= 0 geltenden quadratischen Form (siehe (Al.14))

Q(x)=xT·a·x>O, Vxi=O (A1.8)

heißen positiv definit, in diesem Fall ist a gleichzeitig regulär. Gilt Q ~ 0, so ist a positiv semi-definit und singulär.

Diagonalmatrizen: Jede quadratische Matrix d mit der Eigenschaft: dii i= 0 für i = j, dii = 0 für i i= j heißt Diagonalmatrix:

du 0 0 0 0 d22 0 0

d = diag [dJ = 0 0 dii 0

= rdu d22 ... dii .. . dmmJ.

0 0 0 dmm (A1.9)

Jede Diagonalmatrix mit d11 = d22 = ... dii = ... dmm = d heißt Skalarmatrix. Jede Skalarmatrix mit d = 1 heißt Einheitsmatrix oder Einsmatrix der Ordnung m und wird mit I abgekürzt:

0 ... 0 [10 ... 0] I= bo . =rtt ... tJ. (Al.lO)

Bandmatrizen: Jede quadratische Matrix, deren nichtverschwindende Glieder um die Hauptdiagonale gruppiert sind, heißt Bandmatrix:

Al.2 Rechenregeln 309

bll b12 0 0 0 b21 b22 b23 0 0

b= 0 b32 b33 0 0

(Al.ll)

0 0 0 bm-1,m-1 bm-1,m 0 0 0 bm,m-1 bm,m

Dreiecksmatrizen: Jede quadratische Matrix, deren sämtliche Elemente auf einer Seite jenseits der Hauptdiagonalen verschwinden, heißt Dreiecksmatrix. Man un-terscheidet obere (rechte) und untere (linke) Dreiecksmatrizen:

(A1.12)

Für die Determinanten von Dreiecksmatrizen gilt:

det(r) = rll·r22· ... rmm' det(l) = 111·122· ... lmm. (Al.13)

A1.2 Rechenregeln

Transposition: Vertauscht man bei einer (m x n)-Matrix a alle Zeilen und Spalten, so gewinnt man die transponierte (n x m)-Matrix aT:

all a21 aml

["" . ., .... ] a12 an am2 a21 a22 ... a2n aT = (Al.14) a = . . . ' aml am2 amn

aln a2n amn

Das Transponieren entspricht einem Spiegeln aller Elemente an der Hauptdiago-nalen; daher gilt:

(aT)T = aT = aT =

a für alle Matrizen, a für symmetrische (quadratische) Matrizen,

- a für antimetrische (quadratische) Matrizen.

Addition und Subtraktion: Zwei Matrizen gleicher Ordnung werden addiert (sub-trahiert), indem alle Elemente gleicher Position addiert (subtrahiert) werden:

C(m X n) = a(m X n) + b(m X n) erfordert Cjj = aij + bij für alle i,j , C(m X n) = a(m X n) - b(m X n) erfordert Cij = aij - bij für alle i,j .


Definiert man die Nullmatrix als Differenz zweier gleicher Matrizen:

a=b-> a-b=O, (A 1.15)

so folgt aus obiger Beziehung, daß zwei Matrizen gerade dann gleich sind, wenn sie gleiche Ordnung besitzen und alle Elemente gleicher Position identisch sind. Die Addition von Matrizen ist

kommutativ: sowie assoziativ:

a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) . (A1.16)

Skalierung: Bei der Multiplikation einer Matrix a mit einem Skalar A. wird jedes Element dieser Matrix mit dem Skalar multipliziert:

r A.a11 A.a12 ... A.aln ]

1 _ • _ Aa21 A.a22 ... A.a2n ~~.a- aA- . . . . . . . . . .

A.aml ).am2 ... ),amn

(Al.l7)

Multiplikationzweier Matrizen: Das Produkt einer Matrixader Ordnung (m x n) mit einer Matrix b der Ordnung (n x p) ist durch eine Matrix c der Ordnung (m x p) definiert, für deren Elemente

n

cii = L air bri für i = 1(1 )m, j = 1(1 )p (A 1.18) r= 1

gilt. Das Matrizenprodukt existiert daher nur, wenn die Spaltenzahl von a der Zeilenzahl von b entspricht. Die angegebene Definitionsgleichung läßt sich beson-ders anschaulich mit Hilfe des Multiplikationsschemas von FALK in einen Berech-nungsalgorithmus übersetzen:

-t-- p --t--

Beispiel:

[ 2 0 - 1] [ 7 1 3 -2 5

6

6 1~ J (A1.19)

Das Matrizenprodukt einer Zeile mit einer Spalte ergibt somit em einzelnes Element, einen Skalar. Die Matrizenmultiplikation verhält sich:

assoziativ: (a·b)·c = a·(b·c),

distributiv: a·(b + c) = a·b + a·c, aber nicht kommutativ: a · b of. b · a .

Außerdem gilt:

l·a = a·l = a, (a·b· ... c·d)T = dT·cT· ... bT·aT. (Al.20)

Al.3 Normen und Konditionsmaße 311

Inversion: Jede reguläre (quadratische) Matrixader Ordnung n besitzt genau eine reguläre (quadratische) Inverse a - 1 der Ordnung n, für welche gilt:

(A1.21)

Zur Berechnung der Inversen a - 1 interpretiert man a · a - 1 = a · x = I als Kurz-schreibweise für n lineare Gleichungssysteme (siehe Tafel 1.8) und bestimmt x = a- 1 durch spaltenweise Lösung. Für Inverse gelten folgende Rechenregeln:

(ar)- 1 =(a- 1 )r, (a·b· ... c·d}- 1 =d- 1 ·c- 1 • ... b- 1 ·a- 1 . (A1.22)

Pseudo-Inversion: Rechteckmatrizen a der Ordnung (m x n) besitzen rechte oder linke Pseudo-Inversen (Halbinversen) a*, a** mit folgenden Eigenschaften:

Rechtsinverse a* gemäß a(m X n). a(';. X m) = I(m X m) existiert, sofern a zeilenregulär mit m < n, Linksinverse a** gemäß a;';,*x m). a(m X n) = I(n X n) existiert, sofern a spaltenregulär mit m > n.

Der Prozeß der Pseudo-Inversion ist mehrdeutig; zur eindeutigen Lösung sind Zusatzbedingungen erforderlich [A1.2].

Orthogonalität: Jede reelle quadratische Matrix a, deren Produkt mit ihrer Transponierten die Einheitsmatrix ergibt, heißt orthogonal:

Für orthogonale Matrizen gilt: det(a) = ± 1.

Ähnlichkeitstransformation: Die beiden durch die Transformation

b* = a- 1 • b·a

(Al.23)

(A 1.24)

verbundenen Matrizen b, b* werden als zueinander ähnlich bezeichnet; für sie gilt: det(b*) = det(b).

Kongruenztransformation: Die beiden durch die Transformation

b**=ar·b·a (A1.25)

verbundenen Matrizen b, b** werden als zueinander kongruent bezeichnet. Kon-gruenztransformierte Matrizen entstehen im Zusammenhang mit kontragredienten Transformationen von Spalten, durch welche die Invarianz der Skalarprodukte dieser Spalten beschrieben wird. Beispiel: P = a r · s ist kontragredient zu v = a ·V, deshalb: W = vr ·s = yr ·ar ·s = yr · P.

A1.3 Normen und Konditionsmaße

Zur Abschätzung relativer Fehler von Matrixoperationen dienen Normen von Vektoren, d.h. von Zeilen oder Spalten, und von Matrizen sowie Konditionsmaße.


Als Norm definiert man dabei eine den in a vereinigten Elementen zugeordnete Zahl II a II, die ein Maß der Größe von a darstellt.

Vektornormen: Folgende Normen eines Vektors v der Ordnung m sind ge-bräuchlich:

Summennorm, i= 1

Euklidische Norm, Spektralnorm,

llvllw = maxlvil, i = l(l)m Maximumnorm. (Al.26)

Matrixnormen: Vektor- und Matrixnormen sind miteinander verträglich, wenn für sie die Dreiecksungleichung

lla·vll ~ lla II · llvll (A1.27)

erfüllt ist. Folgende Matrixnormen sind gebräuchlich:

m

llall 1 = max L laiil ,j = l(l)n Spaltensummennorm, i= 1

Euklidische Norm, Spektralnorm

n

llalloo = max L laiil, i = l(l)m Zeilensummennorm. j=l

(A 1.28)

Konditionsmaße: Schlecht konditionierte (instabile) Lösungsverfahren vergrößern relative Fehler der Eingabedaten in die Ausgabedaten hinein. Ein Maß zur Beurtei-lung der Lösungsqualität eines Algorithmus bilden Konditionszahlen der betei-ligten Matrizen. Beispielsweise gilt für eine quadratische, reguläre Matrix a:

cond (a)H = i01 (J

1 aG Y /tdet (a)l HADAMARosche Konditionszahl,

(A 1.29)

Diese Konditionszahlen liegen numerisch zwischen 1 (optimale Kondition) und 0 (Instabilität), dabei bezieht sich der Index p auf die weiter oben aufgeführten Normen. Im Abschnitt 1.3.6 waren zu (A1.29) reziproke Konditionsmaße k = [ cond (a)]- 1 verwendet worden, weil diese die Fehler der dort behandelten Gleichungsauflösung in natürlicherer Weise beschrieben.

A1.4 Lineare Gleichungssysteme

Gegeben sei das System von m linearen Gleichungen

a·x = b (At.30)

Al.4 Lineare Gleichungssysteme 313

mit der Koeffizientenmatrix a


Jeder Black-Box-Anwender sollte Techniken kennen, um die Stabilität des von ihm verwendeten Lösungsalgorithmus beurteilen zu können. Besonders bei sich ver-größernder Ordnungmund schlechter Konditionierung von a können Rundungs-fehler die Lösung unbrauchbar werden lassen. Ein besonders scharfer Genauigkeits-test basiert auf der folgenden, quadratischen und regulären Matrix m-ter Ordnung:

m+2 I 0 --- -- 0 0

2m+ 2 2 2m+ 2

1 0 0 0 --

2 2

0 0 0 2 2

a= 0 0 2

0 0 (A1.32)

1 0 0 0 0 --

2

2m+ 2 0 0 0

m+2

2 2m+ 2

deren exakte Inverse lautet:

m m -1 m-2 m-3 2 m -1 m m- 1 m-2 3 2

a-1 = m-2 m-1 m m-1 4 3 (A1.33)

2 3 4 5 m m- 1 2 3 4 m-1 m

Hieraus lassen sich gemäß den Angaben der Tafel 1.8 genau m lineare Testsysteme herleiten, sofern man nicht die gesamte Inversion testen will (kann).

A1.5 Eigenwertaufgaben

Wir unterscheiden die allgemeine Eigenwertaufgabe

a·x = A.b·x: (a- Ab)·x = 0 bzw.

y T • a = A.y T • b: y T • ( a - A. b) = 0

sowie die spezielle Eigenwertaufgabe (b = I)

a·x = A.x:

YT ·a = A.·yT:

(a- A.l)·x = 0 bzw.

yT·(a-A-1)=0.

(A1.34)

(A1.35)

Al.S Eigenwertaufgaben 315

Hierin bezeichnen:

• a eine beliebige quadratische Matrix der Ordnung m, • beinebeliebige quadratische Matrix der Ordnung m. Im Fall b =1= I muß a oder

b regulär sein, um das allgemeine Eigenwertproblem durch Multiplikation mit der existierenden Inversen in ein spezielles Eigenwertproblem transformieren zu können, beispielsweise

(Al.36)

• x m Rechtseigenvektoren (m x 1), • y m Linkseigenvektoren (m x 1 ), beide als Lösungsvektoren ihrer jeweiligen

Eigenwertaufgabe. • A m Skalare, die sog. Eigenwerte als Lösung der charakteristischen Polynome

det (a - ),b) = 0 bzw. det (a - Al) = 0 , (A1.37)

den Lösungsbedingungen der jeweiligen Eigenwertprobleme.

Die spezielle Eigenwertaufgabe

(a- Al)·x = 0 bzw. yT·(a- U) = 0 (A 1.38)

besitzt m Eigenwerte Am als Wurzeln ihres charakteristischen Polynoms. Jedem Eigenwert Am ist mit der Vielfachheit seines Auftretens ein Eigenvektor xm zugeord-net, der bis auf seine Länge bestimmt ist. Es gelten folgende Sätze:

• a besitzt gerade r Eigenwerte =I= 0, wenn r den Rang von a bezeichnet. • a besitzt nur dann wenigstens einen Eigenwert A = 0, wenn det(a) = 0 gilt. • Die Anzahl der Nulleigenwerte von a stimmt mit deren Rangabfall überein. • Zu verschiedenen Eigenwerten gehörende Eigenvektoren sind linear unab-

hängig. • Zu einem einfachen (p-fachen) Eigenwert gibt es genau einen (mindestens einen,

jedoch höchstens p) linear unabhängigen Eigenvektor (unabhängige Eigenvekto-ren).

m m

• Es gilt: sp(a) = L aii = L Ai, det(a) = ),1 • A2 • A3 • ... Am . (Al.39) i= 1 i= 1

• Rechts- und Linkseigenvektoren verschiedener Eigenwerte Ai =I= Ak sind zueinan-der orthogonal: xT · Yk = 0 .

• Rechts- und Linkseigenvektoren regulärer Matrizen lassen sich orthonormieren: xT ·yk = bik (bik: KRONECKER Delta).

Spezielle Eigenwertprobleme symmetrischer Matrizen spielen eine wichtige Sonder-rolle; für sie gilt:

• Sämtliche Eigenwerte sind reell. • Für positive Definitheit von a sind alle Eigenwerte positiv. • Rechts- und Linkseigenvektoren des gleichen Eigenwerts sind identisch.

Ordnet man in diesem Fall sämtliche m Eigenwerte Ai in der Diagonalmatrix J. an, der Modalmatrix, sämtliche Eigenvektoren xm in korrespondierender Reihenfolge


1ll u:

(A 1.40)

so transformiert sich das ursprüngliche Eigenwertproblem in:

(Al.41)

Unter Voraussetzung ortbonarmierter Eigenvektoren u T • u = I entsteht hieraus durch Linksmultiplikation mit uT:

(A 1.42)

Durch diese Kongruenztransformation wird a in eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen überführt, was als Eigenrichtungs- oder Hauptachsentransformation bezeichnet wird.

Als Beispiel transformieren wir die Nachgiebigkeitsbeziehung (2.40) eines ebe-nen, dehnstarren Stabelementes auf die Hauptachsen:

[ r JP [ [ 2 1 JP [ M JP r: = 6El 1 2 . M: Das Eigenwertproblem

(fP- ).l)·x = ([~ ~]- ). [~ ~]}x = 0 führt über die Lösungsbedingung

- 12- .lc det(fP-).1)= 1 auf die beiden Lösungen:

1 ' I = A 2 - 4). + 3 = 0 2-.A

(A 1.43)

At=3:xt=fCl A2=1:x2=f[-~l u=f[~ -~l Damit lautet die Transformation von f P in ihre Eigenrichtungen:

0 JP I [3 OJP A2 = 6EI 0 1

(A 1.44)

Die Matrix fP* beschreibt das Nachgiebigkeitsverhalten des Elementes für die neuen Variablen

(A 1.45)

d.h. für symmetrische und antimetrische Stabendvariablen.

Al.6 Literatur 317

Literatur

A 1.1. Zurmühl, R.: Matrizen und ihre technischen Anwendungen, 4. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1964.

Al.2. Zurmühl, R., Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen für Angewandte Mathematiker, Physiker und Ingenieure, Teil I und 2, 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1984.

Al.3. Engeln-Müllges, G., Reutter, F.: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit Standard-FüRTRAN 77-Programmen, 6. Auflage. B.l. Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1988.

Al.4. Ayers, F.: Matrices. Schaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, New York 1962. Al.5. Hersehe!, F.G.: Methoden der lngenieurmathematik. Beitrag im Stahlbau Handbuch, Band 1, 2.

Auflage. Stahlbau-Verlags-GmbH, Köln 1982. Al.6. Törnig, W.: Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker, Band 1 und 2. Springer-

Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1979. Al.7. Björk, A., Dahlquist, G.: Numerische Methoden. Verlag R. Oldenbourg, München 1979. Al.8. Stoer, J. und Stoer, J., Bulirsch, R.: Einführung in die Numerische Mathematik I und II, 2.

Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1976.

Anhang 2: Matrizencodes

A2.1 Allgemeine Erläuterungen

Matrizencodes oder Matrizeninterpretationssysteme [A2.1, A2.2, A2.3] führen Matrizenoperationen in Computern aus. Sie bestehen aus Operationsfolgen der linearen Algebra und Strukturmechanik. Eine einzelne Operation transformiert einen oder mehrere zu benennende Matrixoperanden in eine Ergebnismatrix, zumeist unter Angabe zusätzlicher Steuerparameter.

Jede Matrizenoperation wird in einem zugehörigen Programm-Modul durch Aufruf seines Namens und der Namen der Operanden (sowie durch Nennung eventueller Steuerparameter) aktiviert. Daher bilden die Modulnamen gleichzeitig die syntaktischen Elemente einer dem Code zugeordneten symbolischen Sprache; die Aneinanderreihung dieser Namen ergibt das Programm. Ein zentraler Ver-waltungsmodul identifiziert Operatoren und Operanden, er organisiert die ge-wünschten Zuordnungen, verwaltet den Arbeitsspeicher und spürt logische Fehler auf [A2.4, A2.6].

Die Verknüpfung der erwähnten Sprachelemente zu einem individuellen Ab-laufschema, dem Programm, ergibt sich unmittelbar aus dem strukturmechani-schen Algorithmus: die Modulaktivierung erfolgt im Sinne eines interpretativ arbeitenden Übersetzungsvorganges. Jeder Modul besitzt datentechnisch nur einen Ein- und Ausgang; Modulverknüpfungen erfüllen alle Eigenschaften eines struktu-rierten Algorithmus [A2.5]. Der von uns in diesem Buch für die Darstellung einiger Grundalgorithmen verwendete Matrizencode MSD-micro [A2.7] wurde in FORTRAN 77 codiert und baut auf dem Hilfsmittel der Precompilertechnik auf. MSD-micro ist auf allen Mikrocomputern mit den Compilerversionen ~ 3.30 von MS-FORTRAN lauffähig.

A2.2 Operationsanweisungen in MSD-micro

Im folgenden werden die in diesem Buch aufgeführten sowie weitere Anweisungen von MSD-micro in einer Kurzform erläutert. Zur Erhöhung der Übersichtlichkeit wurde auf die Angabe aller Steuerparameter verzichtet; der hieran interessierte Leser sei auf [A2.7] verwiesen.

A2.2 Operationsanweisungen in MSD-micro 319

Systemanweisungen: START Löschen des Arbeitsspeichers LOAD Einlesen einer Matrix in den Arbeitsspeicher PRINT Ausdrucken einer Matrix STOP Beendigen eines Programmlaufs

Algebraische Matrizenoperationen: ADD Additionzweier Matrizen SUB Subtraktion einer Matrix von einer anderen TRANS Transponieren einer Matrix MAMUL Multiplikation zweier Matrizen SCALE Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar ZERO Bildung einer Nullmatrix DUPL Duplizieren einer Matrix EXRC Zeilen- und Spaltentausch in einer Matrix

Untermatrizenoperationen: DELRC Bildung einer Untermatrix durch Löschen von Zeilen und Spalten

STOSM ADDSM RMVB SELECT

einer Matrix Abspeichern einer Untermatrix in einer Matrix Addition einer Untermatrix in eine Matrix Extrahieren einer Untermatrix aus einer Matrix Aussondern von Elementen aus einer Spalte

Gleichungslöser: SOLVE Lösung eines linearen Gleichungssystems INVERT Inversion einer nichtsingulären Matrix PSINV Bildung der Halbinversen einer zeilenregulären Rechteckmatrix CHOLl Dreieckszerlegung einer Matrix nach CHOLESKY CHOL2 Lösung eines linearen Gleichungssystems nach Dreieckszerlegung

durch Vorwärtseinsetzen CHOL3 wie vor, jedoch durch Rückwärtseinsetzen

Stabstatikoperationen: ADDSTF Einbau von Element-Steifigkeitsmatrizen in eine Gesamt-Steifig-

FORMF FORMK CONDEN ROTA TE

ELSTIF

keitsmatrix Bildung einer Element-Flexibilitätsmatrix Bildung einer Element-Steifigkeitsmatrix Kondensation einer Steifigkeitsmatrix Berechnung der Drehtransformationsmatrix c< eines Elementes aus den Element-Knotenbeziehungen und den Knotenkoordinaten Berechnung von k: aus den Elementdaten, den Element-Knotenbe-ziehungen und den Knotenkoordinaten

320 Anhang 2: Matrizencodes

Literatur

A2.1. Wilson, E.L.: SMIS-Symbolic Matrix Interpretive System. University of California, Berkeley, Department of Civil Engineering, Division SESM, Report No. 73-3, 1973

A2.2. Hahn, W., Mohr, K.: APL/PCXA, Erweiterung der IEEE-Arithmetik für technisch-wissenschaft-liches Rechnen. C. Hanser Verlag, München 1988

A2.3. Wilson, E.L.: CAL 78-Computer Analysis Language. University ofCalifornia, Berkeley, Depart-ment of Civi1 Engineering, Division SESM, Report No. 79-1, 1979

A2.4. Krätzig, W.B., Metz, H., Schmid, G., Weber, B.: Miss-SMIS; Ein Matrizeninterpretationssystem der Strukturmechanik für Praxis, rorschung und Lehre. Techn.-wiss. Mitteilungen Nr. 77-5 des IKIB, Ruhr-Universität Bochum 1977

A2.5. Mills, H.D.: Mathematical foundation for structured programming. Report No. FSC 72-6012, IBM Federal Systems Division, GaithersburgjMaryland 1972

A2.6. Krätzig, W.B., Weber, B.: Modulare Programmsysteme als alternatives DV-Konzept in der Statik und Dynamik der Tragwerke. Die Bautechnik 60 (1983), H.3, S. 92-97

A2.7. Weber, B. et al.: MSD-micro; Matrizencode der Statik und Dynamik auf Mikrocomputern. Benutzerhandbuch 6.04, Institut für Statik und Dynamik, Ruhr-Universität Bochum 1988

Anhang 3: Berechnung einer hölzernen Fachwerkbrücke

Im folgenden soll die bereits im Anhang 6 von Tragwerke 1 analysierte statisch bestimmte Fachwerkbrücke mittels der in diesem Band behandelten Matrizen-methoden berechnet werden, zunächst nach dem Kraftgrößen-, danach nach dem Weggrößenverfahren. Tafel 3.1 wiederholt einleitend die baustatische Skizze die-ses Tragwerks.

Auf derselben Tafel folgt sodann die Numerierung der Knotenlasten und der Stabkräfte als Teil der Diskretisierung unmittelbar in den Knotenkraftsystemen, aus welchen sich die Knotengleichgewichtsbedingungen aufstellen lassen, die un-mittelbar in die Matrixbeziehung P = g · s auf Tafel A3.2 eingebaut werden. Durch Inversion der quadratischen Matrixgentsteht hieraus die Gleichgewichts-transformation s = b · P als Grundlage von Zustands- und Einflußgrößeninfor-mationen gemäß Bild 2.24. Beispielhafte Anwendungen hierzu finden sich auf Tafel A3.3. Zunächst werden dort die Stabkräfte infolge des Lastvektors P der ständigen Lasten ermittelt, sodann die Stabkräfte infolge P12 = 1 als reine Spalteninformation von b. Die im unteren Tafelteil dargestellten Stabkraftein-flußlinien lassen sich aus den 8., 10., 12., 14 und 16. Werten der 1., 5. und 12. Zeile von b konstruieren.

Auf Tafel A3.4 findet der Leser sodann die Nachgiebigkeitsmatrix f aller Stabelemente, die sich aus den 1/EA-Werten der Einzelstäbe aufbaut. Aus f entsteht in bekannter Weise durch Kongruenztransformation mit b die Ge-samt-Nachgiebigkeitsmatrix F = bT · f · b, die auf Tafel A3.5 wiedergegeben ist. Es folgen in Tafel A3.6 einige Auswertungen des Informationsinhaltes von F, so die Ermittlung der Mittendurchbiegung des Fachwerks unter ständigen Lasten P oder die Konstruktion seiner Durchbiegungseinflußlinien aus den 8., 10., 12., 14. und 16. Werten der 10., 12. bzw. 15. Zeile von F. Damit ist die Berechnung des Fachwerksträgers nach dem Kraftgrößenverfahren abge-schlossen.

Die Analyse nach dem Weggrößenverfahren beginnt auf Tafel A3.7 mit dem Aufbau der kinematischen Transformationsmatrix a, am einfachsten zei-lenweise durch Bestimmung der Stablängungen u"' aus den in Stabrichtung verlaufenden Komponenten der Knotenfreiheitsgrade an den jeweiligen Stab-enden. Im Rückvergleich bestätigt sich natürlich a = gT auf Tafel A3.2. Mittels a entsteht nun durch Kongruenztransformation mit der auf Tafel A3.8 wieder-gegebenen Steifigkeitsmatrix k aller Stabelemente die Gesamt-Steifigkeitsmatrix K der Tafel A3.9, die zur Inversen F- 1 identisch ist. Deutlich erkennt man dort

322 Anhang 3: Berechnung einer hölzernen Fachwerkbrücke

die schwach besetzte, schwach gebänderte Struktur von K, Folge der zur Er-zielung einer Bandstruktur ungünstigen zeilenweisen Durchnumerierung der Knotenfreiheitsgrade des Tragwerks.

Es sei abschließend betont, daß die Ergebnisse dieses Beispiels auf 6 signifi-kante Stellen genau berechnet wurden und in den Tafeln auflesbare Länge gerun-det wiedergegeben sind.

Anhang 3: Berechnung einer hölzernen Fachwerkbrücke 323

Tafel A3.l. Baustatische Skizze und Knotenkraftsysteme des Fachwerkträgers

1. Baustatische Skizze:

5.20 5.20 5.20

20.80

2. Berechnung nach dem Kraftgrößenverfahren 2.1 Tragwerksgleichgewicht

Knotenkraftsysteme

0.800

~0.600 1 .000~

Q - 36.870"

p1

---p;

----

-p;-

-p;-~

~·

----p

;-Pa

_fl

__

l =

P

1o

----p;-

;-p;

;-p;

;-p;

;-p1

5

P1

s p

;;-

10

11

13

14

15

16

12

I I

I -

-1.0

00

0.80

0 -0

.600

-1

.000

1.

000

-1.0

00

0.80

0 -0

.80

0

-0.6

00

-1.0

00 -

0.6

00

1.

000

-0.8

00

-1.0

00

-0.

600

rtJ8

00

-1

.000

0.

600

-1.0

00

-0.8

00

1.00

0 -1

.000

0.

800

1.00

0 0.

600

-0.6

00

1.00

0 -1

.000

1.

000

0.8

00

1.

000

-1.0

00

-0.8

00

0.6

00

1.

000

-0.6

00

0.80

0 I

1.00

0 I

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Anhang 3: Berechnung einer hölzernen Fachwerkbrücke 325

Tafel A3.3. Auswertung der Gleichgewichtstransformation

2.2 Auswertung der Gleichgewichtstransformation

Stabkräfte infolge ständiger Lasten s = b • P : Aus dem Lastvektor (siehe Tragwerke 1, Tafel A.6.1)

p =[ 0.00 1 0.00 1 0.00 1 0.00 l 0.00 1 0.00 1 0.00 1 17.00 1 0.00 i 34.00 l T

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folgt durch Multiplikation mit b :

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Stabkräfte infolge P12 = 1, s = b12:

Diese Stabkräfte finden sich als 12. Spalte 1),2 der Gleichgewichtstransformations-matrix b; sie entsprechen den Stabkräften der Tafel A.6.3 in Tragwerke 1 und lauten:

s =[o 6667j-o 6667j-o.B333j o.sooo,-o.B333 j 1.ooooj-O.B333j o.soooj-o.B333j o.6667j

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328 Anhang 3: Berechnung einer hölzernen Fachwerkbrücke

Tafel A3.6. Auswertung der Gesamt-Nachgicbigkcitsmatrix F

2.4 Anwendung der Gesamt - Nachgiebigkeilsbeziehung

Mittendurchbiegung V12 infolge ständigen Lasten P (siehe 2.2) : EA V"~ 0.975 · 1700 + 16.683 · 34.00 + 34.233 · 34.00 + 16.830 · 34.00

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Anhang 4: Berechnung des stählernen Binders eines Ausstellungspavillons

In diesem Anhang erfolgt die Berechnung des Binders eines Messepavillons nach der direkten Steifigkeitsmethode. Gemäß Tafel A4.1 besteht der Binder aus der schrägstehenden linken Kragstütze, an welche im Knoten 2 ein als Halbrahmen gestalteter Dachbinder durch ein Vollgelenk angeschlossen ist. Der Dachbinder ist mittig über ein Zugband an der Kragstützenspitze aufgehängt.

Alle erforderlichen Achsabmessungen und Steifigkeiten der einzelnen Bau-elemente finden sich in Tafel A4.1. Der Binderabstand wurde zu 6,00 m gewählt. Die eingetragene Last von 25,00 kN/m beschreibt das Bindereigengewicht, das Gewicht der Dachhaut aus Stahlleichtbetondielen mit Wärmedämmung, Dampf-sperre sowie der Foliendachhaut nebst Kiesschüttung, außerdem das Gewicht einer untergehängten Leichtbaudecke.

Im unteren Teil von Tafel A4.1 findet der Leser die Tragwerksdiskretisierung, d. h. die Definition aller Knotenpunkte, Knotenfreiheitsgrade und Elemente. Wegen des Halbgelenkes im Knoten 2 wurden dort die beiden Absolutdrehungen V6 und V19 eingeführt, letztere am linken Ende des Elements 4.

Im ersten Berechnungsschritt werden die globalen Elementsteifigkeitsmatri-zen k~ gemäß Bild 3.53 sowie die globalen Volleinspannkraftgrößen S"g e gemäß Tafel 3.11 ermittelt; sie sind in den Tafeln A4.2 und A4.3 neben ihren Elementen wiedergegeben. Zu ihrer Ermittlung wurde Schubstarrheit vorausgesetzt ( tJ> = 0). Nach Aufstellung der Inzidenzverknüpfungen im unteren Teil von Tafel A4.3 werden sodann die einzelnen Elementsteifigkeiten (Volleinspannkraftgrößen) zum Aufbau der Gesamt-Steifigkeitsmatrix K (Elementlastspalte P ) positions-gemäß in eine quadra~ische Nullmatrix (Nullspalte) der Ordnun~ 19 eingemischt. Dieser Einbau ist für k~ auf Tafel A4.4, für den zweiten Schritt k: auf Tafel A4.5 wiedergegeben. Die weiteren Einmischungsschritte wurden unterdrückt; als Ergebnis findet sich die Gesamt-Steifigkeitsmatrix K aller Freiheitsgrade auf Tafel A4.6.

In Tafel A4.7 schließlich findet der Leser die reduzierte Gesamt-Steifigkeits-beziehung der aktiven Freiheitsgrade, welche aus derjenigen der Tafel A4.6 durch Streichung aller den gefesselten Freiheitsgraden fit , Vz' v3, vl6, VI 7 zugeord-neten Zeilen und Spalten entstand (3.148). Dieses System wird gelöst; der Lösungsvektor V findet sich im unteren Teil von Tafel A4.7. Aus V werden schließlich mittels der Inzidenzverknüpfung den einzelnen Stabelementen ihre globalen Stabendfreiheitsgrade v~ zugeordnet, aus welchen sodann über (3.161) die globalen Stabendkraftgrößen s~ bestimmt werden, die dann durch Drehtrans-

Anhang 4: Berechnung des stählernen Binders eines Ausstellungspavillons 333

formation (3.160) in die lokalen Richtungen überführt werden. Durch die im Abschnitt 3.5.2 beschriebene Nachlaufberechnung nach dem Übertragungs-verfahren wurden schließlich die auf Tafel A4.8 dargestellten Schnittgrößen-Zustandslinien ermittelt.

Abschließend sei noch einmal betont, daß selbstverständlich alle diese Schritte gemäß Tafel 3.13 computer-intern ablaufen: Dieser Anhang macht somit unserer Anschauungswelt durch ein Fenster wichtige Einzelschritte des Gesamtprozesses sichtbar.

334 Anhang 4: Berechnung des stählernen Binders eines Ausstellungspavillons

Tafel A4.1. Baustatische Skizze und Diskretisierung

1 . Baustatische Skizze:

2. Definition der globalen Freiheitsgrade und Elemente:

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... 7

18

Stab 1. 2:

EI s 12.00•105kNm2

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Zugband (Stab 3 ):

EA = 18.00 · t05kN

Stab 4, 5, 6: EI = 2.40 ·105kNm2

EA = 6.00 · 105kN

AJie Abmess~en tn m

13

16


Tafel A4.2. Globale Elementsteifigkeitsmatrizen der Elemente 1 bis 3

3. Globale Elementsteifigkeitsbeziehungen: 59 = k9 -v9 +59 : Element 1:

Element 2:

Element 3:

sin a ~ 0.9363

cos a = 0.3511

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.2846 2.8100 . 8100 -7.7243 .9235 -0.3463

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cos a = 0.3511

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sin2 a - 0.8767

cos2a = 0.1233

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sin a =-08480 cos a = 0.5300

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.5717 .3573 .5717

sin2 a = 0.7191

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336 Anhang 4: Berechnung des stählernen Binders eines Ausstellungspavillons

Tafel A4.3. Globale Elementsteifigkeitsmatrizen und Volleinspannkraftgrößen der Elemente 4 bis 6 sowie Inzidenzverknüpfungen

Element 4 und 5:

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Element 6:

sin a = · 1.0000 sin2 a = 1.0000

cos a = 0.0000 cos 2a = 0.0000

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4. lnzidenzverknüpfungen:

Die Elementfreiheitsgrade 1 2 3 4 5 6 entsprechen folgenden globalen Freiheitsgraden beim Element 1: 1 2 3 4 5 6

Element 2: 4 5 6 7 8 9 Element 3: 7 8 10 11 Element 4: 4 5 19 10 11 12 Element 5: 10 11 12 13 14 15 Element 6: 13 14 15 16 17 18

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Tafel A4.8. Schnittgrößenzustandslinien für N, Q, M

7. Abschließende Ergebnisdarstellung Schnittgrößenverläufe

N[kN]

Q[kN]

M[kNm]

Namenverzeichnis

CASTIGLIANO, ALBERTO

DIRICHLET, PETER ÜUSTAV LEJEUNE

ENGESSER, fRIEDRICH

ÜAUSS, KARL fRIEDRICH

GEHLER, WILL!

HERMITE, CHARLES

JORDAN, CAMILLE

LAGRANGE, JOSEPH LOUIS COMTE DE

MANN, LUDWIG

MAXWELL, JAMES CLERK

MOHR, ÜTTO CHRISTIAN

ÜSTENFELD, ASGER S.

LORD RA YLEIGH

RITZ, WAL THER

SEIDEL, PHILIPP LUDWIG

SOUTHWELL, SIR RICHARD V. ZURMÜHL, RUDOLF

30 231 197 33 197 236 154 231 198 9 197 198 232 232 219 220 114

Sachverzeichnis

Abbruchfehler, 300 Abzählkriterium, 3 Äußere Kinematcn, 61, 191, 160 Akkumulationsfehler, 300 Auflagergrößen, 62, 94, 100, 160 Aufpunkt, 46, 51, 207 Ausgabephase, 282 Automatie Structure Cutter, !54

Bandmatrix, 308 Bandstruktur, 294 Bandweiten-Optimierung, 295 Basis, rechtshändige kartesische

globale, 58, !59 lokale, 59, 159

Berechnungsphase eines Programmsystems, 282 Biegelinienermittlung, 44, 101, 126

Definitheil von Matrizen, 308 Deformationsmethode, 198 Diagonaldominanz, 212 Direkte Steifigkeitsmethode, 260

Algorithmus, 285 Tragwerksmodell, 272

Diskontinuität, 7 Diskretisiertes Tragwerksmodell

direkte Steifigkeitsmethode, 275 Kraftgrößenverfahren, 91 Weggrößenverfahren, 177 Weggrößenverfahren mit vollständigen inneren

Variablen, 245 Drehtransformation

ebener Stabelemente, 71, 266 räumlicher Stabelemente, 73, 270

DrehungsanteiL 221 Drehungsfaktor, 221 Drehwinkelverfahren, 197

Algorithmus, 203 I terationstechniken, 217

Dreiecksmatrix, 309 Dynamische Verträglichkeitsmatrix, 92

Eigenspannungen, 12 Eigenwertaufgabe, 141, 314

Einflußinformationen von b, 100, 126 Einflußlinien

Ermittlung, 44. 203 für Kraftgrößen, 47, 50. 101, 126 für statisch Unbestimmte. 53 für Weggrößen, 44. 102, 126

Eingabefehler, 299 Eingabephase, 282 Einheitszustände, 7, II. 112

Gruppen, 137 kompakte, 154 verallgemeinerte, 135

Einmischvorgang, 265, 277 Einzelverformungen, 39, 101 Elastizitätsgleichungen, 10, 26, 113

Lösungskontrollen, 15 Lösungsstabilität, 37

Elastizitätsmatrix, 26, 29 Element-

Knotenbeziehungen, 283 Nachgiebigkeitsbeziehung, 77 Nachgiebigkeitsmatrix, 79 Steifigkeitsbcziehung, 162, 243 Steifigkeitsdaten, 283 Steifigkeitsmatrix, 163, 195, 240

Eliminationsverfahren, 33 Energiesatz, 87 Ergänzungszustand, 12 Ergebniszuverlässigkeit, 299 Extremalsatz von CASTIGLIANO, 30

Fehlerdiagnose, 15 Fchlermöglichkeiten, 299 Feld-Übertragungsbeziehung, 288 Festhaltekraftgrößen, 167

globale, 265 unabhängige, 170, 234 vollständige, 236, 254

Festigkeit, 2 Flexibilitätsmatrix

aller Elemente, 81 eines Elementes, 79 Gesamt-, 92

344 Sachverzeichnis

Formänderungsarbeit, 40 Fortleitungszabl, 226 Freiheitsgrade

aktive, 110 innere, 297 Koppel-, 297 reduzierte, 132 wesentliche, 60 zusätzliche kinematische, 111

Gesamt-Nachgiebigkeitsbeziehung, 92, 112 Steifigkeitsbeziehung, 179, 245 Übertragungsgleichung, 292

Gleichgewicht Formulierungsvarianten, 93 Kontrollen, 15

Gleichgewichtsmatrix, 66, 92 Gleichgewichtstransformation, 6S, 90, 176 Globale Elementsteifigkeiten, 265 Globale Volleinspannkraftgrößen, 265 Gruppen von Einzelwirkungen, 137

Hauptsysteme automatische Wahl, 149 kinematisch bestimmte, 172 statisch bestimmte, 7, 110 statisch unbestimmte, 48, 144 unterschiedliche, 137

lnzidenzmatrix, 72, 263 Inzidenztabelle, 276, 283 Innere Zwangsbedingungen, 132 Iterationstechniken beim Drehwinkelverfahren,

217 Iterationsvorschrift nach GAUSS-SEIDEL, 219

Kinematische Bestimmtheit, 172 Bindungen, 4 Ermittlung der Lagerreaktionen, 261 Formfunktionen, 231 Freiheitsgrade, wesentliche, 60 Kette, zwangsläufige, 214 Kompatibilität, 169 Verträglichkeitsmatrix, 172 Zulässigkeit, 235

Knoten-drehwinkel, 75, 199 gleichgewichtsbedingungcn, 3, 65 gleichungcn, 202, 209 lasten, 61

Knotenpunkt, 58, 159 Knoten-

steifigkeit, 211 weggrößen, 75, 160 zusatzlasten, 83, 183 übertragungsbeziehung, 288

Konditionsmaß, 38 Konformität, 232

Kongruenztransformation, 92, 142, 179, 311 Kontinuitätsbedingung, 10 Kontragredienz, 72, 90, 174 Kopplung von Freiheitsgraden, 135 Kraftgrößen

äußere, 61, 160 innere, 65, 76, 160

Kraftgrößenverfahren reduzierter Algorithmus, 119 Standardalgorithmus, 115, 122

Lagcrreak tionen, 62, 94 Lagerungsbedingungen, 2S3 Lastgruppenverfahren, 138 Lastvektor, 290 Lastzustand, 7, II, 112

verallgemeinerter, 135

Makroelementtechnik, 297 Matrix

der /iik-Zahlen, 35 der o" -Zahlen, 29 Norm, 312 quadratische, 307 symmetrische, 308

Matrizencodes, 123, 183, 31 S Modalmatrix, 315 Momentenausgleichsverfahren

von CROSS, 225 von KANI, 220

Nachgiebigkeit, 161 Nachgiebigkeitsmatrix, 29

aller Elemente, 81 eines Elementes, 79 Gesamtstruktur, 92

Nebenbedingungen, 4, 65 Netzgleichung, 213 Normen von Vektoren und Matrizen, 315

Orthogonalisierungsverfahren, 141 Orthogonalität

der Drehtransformationsmatrizen, 267 der Einheitszustände, 16, 41. 140 von Matrizen, 71,311

Orthonormierungsbedingung, 142

Parallelschaltung von Elementen, 165 Positive Definitheil

der Element-Flexibilitätsmatrix, 79 der Element-Steifigkeitsmatrix, 163

Postprocessing, 282 Potential, 230

konjugiertes, 130 Preprocessing, 282 Prinzip

der virtuellen Kraftgrößen, 39, 87 der virtuellen Weggrüßen, 87, 175

Programm-alterung, 300 fehler, 299 system, 292

Pseudo-Inversion, 153, 311

Quadratische Matrix, 307

RA YLEIGH-RITZ-Verfahren, 232, 238 Reduktionssatz, 40, 125 Reduzierte Element-Steifigkeitsmatrix, 163 Regularität, 307

der Element-Nachgiebigkeit, 79 der Element-Steifigkeit, 163

Reihenschaltung von Elementen, 79, 165 Relaxationsfaktoren, 220 Relaxationsverfahren, 219 Riegelverschiebungsfreiheitsgrad, 214 Rundungsfehler, 300

Schnittgrößen-Approximationen, 132 Zustandslinien, 7, 100

Schnittuferklaffung, 7, II Schubweichheit, 80, 165 Sekundärstruktur, 83, 184 Semi-Definitheit der vollständigen Stabsteifigkeit,

239 Singularität

der Gesamt-Steifigkeitsmatrix, 260 der vollständigen Elementsteifigkeit, 239

Stabdrehwinkel, 75, 199 Stabeinwirkungen, 82, 167, 250 Stabelement, 58, 80, 159, 166, 242

nichtprismatisches, 190 Stabendkraftgrößen, 63

abhängige, 63 globale, 71, 266 unabhängige, 65, 160 vollständige, 69

Stabendmomentenbeziehungen, 199 Stabendtangentenwinkel, 75 Stabendverformungen, 84, 88

lastabhängige, 84 temperaturbedingte, 85

Stabendweggrößen, 73 abhängige, 76 globale, 266 vollständige, 74 unabhängige. 76, 160

Stabilität, 2 Stablängung, 75 Stabsteifigkeit, 200 Standard-Kraftgrößcnalgorithmus, 115 Standard-Weggrößenalgorithmus, 181, 183 Starrkörperbedingung, 232 Statische Unbestimmtheit, 2, 110 Statische Zulässigkeit. 131 Statisch-geometrische (kinematische) Analogie,

90. 176

Sachverzeichnis 345

Statisch Überzählige, 7, 110 Statisch Unbestimmte, 7 Steifigkeit, 2, 161

eines Gelenkstabes, 200 eines Normalstabes, 200

Steifigkeitsmatrix aller Elemente, 166, 244 eines Elementes, 163 Gesamt-, 179 globale, 268 reduzierte, 163, 233 vollständige, 236, 242

Substrukturen Methode der, 297 starre, 135

Trägerrost, 97, 103 Tragstruktur, I Tragwerke mit

unverschieblichem Knotennetz, 201 verschieblichem Knotennetz, 212

Tragwerksmodell, I diskretisiertes, 58, 91, 159, 177, 245,275

Transformation Gleichgewichts-, 65, 176 kinematische, 86, 172

Transposition, 309

Übertragungsverfahren, 286 Ungleichgewichtsmomente, 218 Untermatrix, 307

Vektornorm, 312 Verformungskompatibilität, 90, 169, 176 Verformungskontrollen, 15 Verschiebungsfeldapproximation, 232 Verschiebungsgleichung, 213 Verteilungszahl, 277 Volleinspan nk raftgrößen

globale, 265 unabhängige, 168 vollständige, 236, 254

Volleinspannmomente, 200, 219, 226 Vollständigkeit. 232 Vorzeichenkonvention Il, 163

Wechselwirkungsenergie, 76, 81, 91, 161 Weggrößen

äußere, 59, 160 innere, 73, 76, 80

Zeilendefizit von g, 110 Zustandsgrößen

äußere, 59, 160 innere, 63, 73, 160

Zustandsinformationen von b, 100, 126 Zwangskraftzustand, 12

Anteil der Stabendkraftgrößen, 113 Zwangsläufige kinematische Kette, 214

Springer-Verlag und Umwelt

Als internationaler wissenschaftlicher Ver-log sind wir uns unserer besonderen Verpflich-

tung der Umwelt gegenüber bewußt und be-

ziehen umweltorientierte Grundsätze 1 n

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Das für dieses Buch verwendete Papier ist aus chlorfrei bzw. chlorarm herge-

stelltem Zellstoff gefertigt und im pH-Wert

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Das Werk enthält zahlreiche durchgerechnete Beispiele, die das

Verständnis des Stoffes erleichtern.

Springer Pn'isändl~rungen vorbehalten

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Anhang 1: Matrizenalgebra978-3-662-10590... · 2017. 8. 25. · Anhang 1: Matrizenalgebra Der Anhang 1 enthält die elementaren Grundlagen der Matrizenalgebra, soweit diese für das