NGULO ENTRE MANECILLAS

La medida del ngulo girado por el HORARIO a partir de una hora exacta, es igual a la MITAD del nmero que representa la cantidad de minutos que marca el MINUTERO1. NGULO GIRADO POR EL HORARIO2. NGULO GIRADO POR EL MINUTEROLa medida del ngulo girado por el MINUTERO, a partir de una hora exacta, es igual a la DCIMA parte del nmero que representa la cantidad de segundos que marca el SEGUNDERO.

NGULO ENTRE MANECILLASPROPIEDADES DE BOTTO

EJERCICIO 1Halle la medida del ngulo formado por el horario y minutero de un reloj a las dos horas 20 minutosResolucin:12123410Ahora faltan 20 para las tres y entre las tresy las cuatro hay 30,por lo tanto:= 20 + 30 = 502030Como el minutero marca 20,el horario ha girado a partirde las dos: 10.( mitad de 20)

EJERCICIO 2Halle la medida del ngulo formado por el horario y minutero de un reloj a las tres horas 38 minutos.Resolucin:121234Ahora faltan 11 para las cuatro y entre las cuatro y las siete hay 90,Ahora tres divisiones mas de 6 cada una.1930Como el minutero marca 38,el horario ha girado a partirde las tres: 19.( mitad de 38)56789303066611= 11 + 90 + 18 =119Por lo tanto

EJERCICIO 3Halle la medida del ngulo formado por el horario y minutero de un reloj a la una y 49 minutos.Resolucin:121234Luego el ngulo entre lasmanecillas es:Como el minutero marca 49,el horario ha girado a partirde la una: 24,5.( mitad de 49)56789= 24,5 + 90 + 6 1011624.5303030= 120,5 = 12030

EJERCICIO 4Halle la medida del ngulo formado por el horario y minutero de un reloj a las seis horas con 52 minutos.Resolucin:121234Ahora faltan 4 para las siete y entre las siete y las diez hay 90,Ahora tres divisiones mas de 6 cada una.30Como el minutero marca 52,el horario ha girado a partirde las seis: 26.( mitad de 52)5678926664= 4 + 90 + 12 = 106Por lo tanto10113030

Calcule la medida del ngulo formado por el horario y minutero de un reloj a las diez horas con 12 minutos.Resolucin:121234Ahora faltan 24 para las once;Entonces la medida del ngulo ser:

30Como el minutero marca 12,el horario ha girado a partirde las diez: 6.( mitad de 12)567896= 24 + 90 + 12 =126101130302466EJERCICIO 5

A partir de las doce, a qu hora el horario y minutero de un reloj forman un ngulo de 120Resolucin:121234Si x es la cantidad de minutos que marca el minutero; (x/2) ser el ngulo girado por el horario a partir de las doce y (6x) el ngulo girado por el minutero tambin a partir de las doce.Luego: 5678911EJERCICIO 6(6x)(x/2)1206x x/2 = 12011x/2 = 120X = 21,72Ahora convertimos 0,72 minutos a segundosmultiplicando 60 por 0,72. 60(0,72) = 43,2segundos, y finalmente las hora es:12h21m43,2s

A partir de las tres, a qu hora el horario y minutero de un reloj forman un ngulo de 150Resolucin:121234Si x es la cantidad de minutos que marca el minutero; entonces (x/2) es el ngulo girado por el horario a partir de las tres y (6x) el ngulo girado por el minutero a partir de las doce.Luego: 5678911EJERCICIO 7(6x)(x/2)1506x x/2 = 150+9011x/2 = 240X = 43,63Ahora convertimos 0,63 minutos a segundosmultiplicando 60 por 0,63 resultando 37,8segundos, y finalmente las hora es:03h43m37,8s90

EJERCICIO 8121234567891011150(6x)(x/2)Entre las cinco y las seis, en cuntos minutos el minutero se superpone con el horario.ResolucinComo sabemos la hora de partida es la CINCO, entonces el minutero ha girado (6x) hasta que se superpone con el horario y este ha girado (x/2), a partir de las cincoEntonces:x = 27,27 min

121234567891011210(6x)(x/2)Entre las siete y las ocho, en cuntos minutos el minutero se superpone con el horario.EJERCICIO 9ResolucinSegn el grfico: 6x x/2 = 210 11x = 420 x = 38,1818.. Entonces entre la 7 y las 8las menecillas se superponenen 38,1818... minutos o en 38m10,8s

11x = 60HMANECILLAS SUPERPUESTASFcilmente se deduce de los dos problemas anteriores que la frmula que relaciona el nmero de minutos x y el de las horas H desde donde parten es:Por ejemplo si quiero saber en cuntos minutos el minuterose superpone con el horario entre las dos y las tres. H ser igual a 2, luego x = 120/11 = 10,9090.....minutos o 10 minutos con 54 segundos.Entre las cuatro y las cinco. H es igual a 4, luego 11x= 60(4)osea x = 240/11 = 21,8181....minutosEs obvio que: H es mayor que 1 y menor que 11

MANECILLAS EN SENTIDO CONTRARIO121234567891011180(6x)(x/2)30Segn el grfico: 30 + x/2 + 180 = 6x 11x = 420 x = 38,2727...EJERCICIO 10A partir de la una, en cuntos minutos, el horario y minuterode un reloj se encuentran en sentidos contrarios.Resolucin

121234567891011(x/2)(6x)6x + 90 x/2 = 4(30) 11x = 30 x = 5,4545....En cuntos minutos, a partir de las cuatro y por primera vez, las manecillas de un reloj forman un ngulo de 90?ResolucinPROBLEMA 11

121234567891011(6x)PROBLEMA 12A partir de las cuatro, a qu hora, por segunda vez las manecillas de un reloj forman un ngulo recto.(x/2)120Resolucin: 6x = 90 + x/2 + 12011x = 420 x = 38,1818....

121234567891011PROBLEMA 13

RESOLUCIN PROBLEMA 13121234567891011(x/2)(6x)x/2 = 360 6x13x/2 = 360x/2 = 360/13 = 360/13