Prof: Toribio Córdova C.

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO

ÁNGULOS DIEDROS

Es la figura geométrica formada por la unión

de sus semiplanos que tienen una recta en

común a la cual se le denomina arista del

ángulo diedro.

Notación:

Ángulo Diedro AB ó

Ángulo Diedro

P - AB - Q

θθθθ: Medida del ángulo

Diedro

� PLANOS PERPENDICULARES

Dos planos son perpendiculares, cuando

determinan diedros que miden 90º.

θθθθ: Medida del

ángulo diedro.

Si θθθθ = 90º

⇒ P Q

Observación.- Dos diedros adyacentes son suplementarios.

� PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE

UN PLANO

Por definición la proyección ortogonal de un

punto sobre un plano es el pie de la

perpendicular trazada de este punto al plano. De

esto se concluye que la proyección ortogonal de

cualquier figura geométrica sobre un plano es la

reunión de las proyecciones

ortogonales de todos sus puntos sobre dicho

plano. Sea 'PP Q ⇒ P’ es la proyección del

punto P sobre el plano Q

Además M es la proyección ortogonal de

L sobre el plano Q.

P Qcara cara

x y θθθθ

B

A

Arista

θ

P

Q

P

αααα θθθθ

Q

α + θ = 180º

P’

θ m

P L

Q

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POLIEDROS

Poliedro es un sólido completamente

limitado por polígonos. El mínimo número de

caras que tiene un poliedro es cuatro.

� ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

Los elementos principales de un poliedro son:

Arista

Cara

Vértice

Diagonal

Caras

Son los polígonos que limitan los poliedros.

Aristas

Son las intersecciones de las caras.

Vértice

Son los puntos donde se encuentran las

aristas-

Ángulos Diedros

Son los formados por dos caras consecutivas.

Ángulos Poliedros

Son los formados en los vértices del

poliedro

Diagonal

Es el segmento que une dos vértices no

situados en la misma cara

� CLASIFICACION 1) Por el número de caras:

- Tetraedro: cuando tiene 4 caras

- Pentaedro: cuando tiene 5 caras

- Hexaedro: cuando tiene 6 caras

- Heptaedro: cuando tiene 7 caras

- Octaedro: cuando tiene 8 caras

2) Según sus características: a. Poliedro Convexo.- Cuando cualquiera

de sus secciones planas es un polígono

convexo, o equivalentemente, si el

segmento que une dos puntos

cualesquiera del poliedro está totalmente

contenido en el poliedro.

b. Poliedro no convexo.- Cuando alguna de

las secciones planas es un polígono

cóncavo. Al trazar una recta secante

corta en más de 2 puntos de intersección

a su superficie poliédrica.

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1 2

3 4

5 6

c. Poliedro Regular.- Cuando todas sus

caras son polígonos regulares e iguales, y

sus ángulos diedros y triedros también

son iguales.

d. Poliedro Irregular.- Cuando sus caras

son polígonos irregulares y desiguales, y

sus angulos poliedros no son todos

iguales.

� TEOREMA DE EULER

En todo poliedro convexo el número de caras

aumentado en el número de vértices es igual

al número de aristas más dos.

Si para un poliedro convexo:

C → número de caras

V → número de vértices

A → número de aristas

Entonces se verifica que:

C + V = A + 2

� POLIEDROS REGULARES

Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son

polígonos regulares iguales entre si:

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A) TETRAEDRO: Sus caras son cuatro regiones triangulares equiláteras.

A

B

C

O

G

Notación: Tetraedro Regular O – ABC Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)

3

6OG

l=

Volumen (V):

12

2V

3l=

Superficie total o Área (A):

3A 2l=

B) HEXAEDRO: Sus caras son seis regiones cuadradas, también se le denomina cubo.

B

A

G

C

E

D

F

H

Notación: Exaedro Regular ABCD – EFGH Diagonal (BH ): 3BH l=

Volumen (V): 3v l= Superficie total o Área (A):

26A l=

C) OCTAEDRO: Sus caras son ocho

regiones triangulares equiláteras.

B C

D A

M

N

Notación: Octaedro Regular M – ABCD – N

Diagonal (MN ): 2MN l=

Volumen (V):

3

2V

3l=

Superficie total o Área (A):

32A 2l=

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D) DODECAEDRO: Sus caras son doce

regiones pentagonales iguales.

Volumen (V):

10

52147

2

5V

3+

=l

Superficie total o Área (A):

5

52515A 2 +

= l

E) ICOSAEDRO: Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras.

a

Volumen (V):

2

537

6

a5V

2+

=

Superficie total o Área (A):

3a5A 2=

1. En un poliedro, la suma del número de

caras, vértices y aristas es 32. Calcule

el número de aristas de dicho poliedro.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

2. Si la arista de un tetraedro regular es

3cm, calcular su altura. a) 3cm b) 63 cm c) 6 cm d) 32 e) 34

3. Calcula el área de un tetraedro regular

cuya arista es 3 cm. a) 3 cm b) 33 cm c) 32 cm d) 34 cm e) 23 cm

4. Calcular el volumen de un tetraedro

regular sabiendo que su área total es

318 cm2.

a) 3 cm3 b)9 cm3 c)12 cm3 d) 29 cm3 e) 1 cm3

5. Calcular la arista de un hexaedro

regular sabiendo que su área total es

18 m2.

a) 3 m b) 32 m c) 33 m d) 34 m e) 35 m

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6. Calcular el volumen de un cubo donde el

área y el volumen son numéricamente

iguales.

a) 196 u3 b) 206 u3 c) 336 u3 d) 366 u3 e) 216 u3

7. La suma de las aristas de un cubo es 72

cm. Calcula el volumen de dicho cubo.

a) 206 cm3 b) 106 cm3 c) 216 cm3 d) 336 cm3 e) 356 cm3

8. Calcular el área total de un octaedro

regular de arista 2cm.

a) 8cm2 b)9cm2 c) 39 cm2 d) 38 cm2 e) 12cm2

9. Calcular el volumen total de un

octaedro regular de arista 3 cm.

a) 29 cm3 b)8cm3 c)9cm3 d) 38 cm3 e) 12cm3

10. Si la arista de un icosaedro regular

mide 43 m, calcula el área de su

superficie.

a) 15m2 b)9m2 c)13m2 d) 6m2 e) 36 m2