Análisis Estático y Dinámico de Estructuras Tomás Guendelman Anexo 3: Métodos Tiempo-Historia.Integración "paso a paso"

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Anexo 3: Métodos Tiempo-Historia. Integración "paso a paso" Desde el punto de vista conceptual, existen dos enfoques de los métodos de integración paso a paso: métodos explícitos y métodos implícitos. Los métodos explícitos utilizan la ecuación diferencial del tiempo " "t para predecir una solución en el tiempo " "t t+ ∆ . Para muchas estructuras reales, las cuales contienen elementos rígidos, se requiere un paso de integración pequeño " "∆t con el objetivo de obtener una solución estable (acotada). Por lo tanto, los métodos explícitos son condicionalmente estables respecto del tamaño del paso de tiempo de integración. Los métodos implícitos intentan satisfacer la ecuación diferencial en tiempo " "t a partir de la solución obtenida en el tiempo " "t t+ ∆ . Estos métodos requieren resolver una serie de ecuaciones lineales en cada paso de tiempo; sin embargo, pueden ser usados pasos de integración de tiempos mayores. Los métodos implícitos pueden ser condicionalmente o incondicionalmente estables. Basados en una importante cantidad de experiencias, diversos autores recomiendan utilizar métodos implícitos incondicionalmente estables para determinar la respuesta sísmica de estructuras habituales por integración paso a paso (Wilson, 2001). Diversos métodos de integración paso a paso han sido desarrollados: • Método de Aceleración Lineal • Método de Newmark • Método de Bossak-Newmark • Método de Hilbert, Hughes y Taylor • Método de Houbolt • Método θ-Wilson A continuación se presenta, a modo de ejemplo, el desarrollo del método de Aceleración Lineal. En la literatura se pueden encontrar los algoritmos de los restantes procedimientos.

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METODO DE ACELERACIÓN LINEAL

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tPXXCX =Κ++Μ &&& (1) designando φ τ= − +t t∆ ; en que φ es el tiempo total transcurrido

{ }ttX ∆−

&&

{ }tX&&

{ } { } { } { }τ

∆−

+= ∆−∆−φ t

XXXX ttt

tt

&&&&&&&&

{ }ttX ∆−

&

{ }tX&

{ } { } { } { } { } 2

2τ

∆−

+τ+= ∆−∆−∆−φ t

XXXXX ttt

tttt

&&&&&&&&

{ }ttX ∆−

{ }tX

{ } { } { } { } { } { } 32

62τ

∆−

+τ

+τ+= ∆−∆−∆−∆−φ t

XXXXXX ttt

tttttt

&&&&&&&

t t− ∆ τ

∆t

Para el caso particular t∆=τ ; t=φ ; se tiene: { } { }tt XX &&&& = (2)

{ } { } { } { }22t

Xt

XXX tttttt∆

+∆

+= ∆−∆−&&&&&& (3)

{ } { } { } { } { }63

22 tX

tXtXXX tttttttt

∆+

∆+∆+= ∆−∆−∆−

&&&&& (4)

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Reemplazando (2), (3) y (4) en (1) se tiene:

[ ] [ ] [ ] { } { } [ ] { } { }

[ ] { } { } { }

Μ∆ ∆

Κ∆

Κ ∆∆

∆ ∆

∆ ∆ ∆

+ +

= − +

−

− + +

− −

− − −

tC

tX P C X X

t

X X t Xt

t t t t t t

t t t t t t

2 6 2

3

2

2

&& & &&

& &&

simbólicamente: [ ]{ } { }Μ &&X Pt t= (5)

La expresión (5) permite determinar { }tX&& conocidos { }ttX ∆−

&& ,{ }ttX ∆−& y { }ttX ∆− .

Reemplazando { }&&X t en (3) y (4) se conocen { }tX& y { }tX .

Las condiciones así definidas en t son usadas como valores iniciales para un nuevo intervalo ∆t . El proceso se inicia para t t− =∆ 0 en que { }&&Xο , { }&Xο y { }Xο son conocidos.

Dos observaciones son importantes en el uso de esta técnica:

a) Es el proceso convergente? b) Es el proceso numéricamente estable?

Ambas condiciones guardan relación con la determinación de ∆t . La práctica ha

definido que ambas condiciones se cumplen si ∆Τ

tmin

≈10

en que Tmin es el menor

período de vibración del sistema. La expresión (5) no es, desde un punto de vista computacional, la más práctica, dado que [ ]Κ está presente en { }Pt y requiere por lo tanto ser permanentemente requerida en el proceso. Por otra parte, es muy frecuente que [ ]Μ sea diagonal y que [ ] [ ] [ ]C = +α βΜ Κ

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Para esta situación particular resulta muy eficiente modificar el algoritmo de la siguiente manera: de (4):

{ } { } { } { } { }&& & &&Xt

Xt

Xt

X Xt t t t t t t t= − − −− − −6 6 6

22 2∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ (6)

además: [ ] [ ] [ ]C = +α βΜ Κ (7) cambio de variables: { } { } { }X Y at t= + (8)

reemplazando (8) en (6) y luego en (3) y (4) se tiene:

{ } { } { } { }&&Xt

Yt

at t= + −6 6

2 2∆ ∆Α (9)

{ } { } { } { }&Xt

Yt

at t= + −3 3

∆ ∆Β (10)

en que:

{ } { } { } { }Α∆ ∆∆ ∆ ∆= + +− − −6 6

22tX

tX Xt t t t t t& &&

{ } { } { } { }Β∆

∆∆ ∆ ∆= + +− − −

32

2tX X

tXt t t t t t

& && (11)

Reemplazando (7), (9) y (10) en (1) se tiene:

[ ] [ ] { } [ ]{ }

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }t

2t2

Pat

31

at

3t6

Yt

31

t3

t6

=ΒΚβ−ΒΜα−ΑΜ−Κ

∆β

++

+Μ

∆α

+∆

+

Κ

∆β

++Μ

∆α

+∆

(12)

Se determina { }a de tal modo que [ ]Κ sólo afecte a { }Yt , por lo tanto:

{ } { }at

=+β

β1 3∆

Β (13)

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en está forma se obtiene finalmente: [ ]{ } { }Κ Y Pt t= (14) en que:

[ ] [ ] [ ]Κ∆ ∆

Μ∆

Κ= +

+ +

6 31

32t t t

α β (15)

{ } { } [ ] { } { }P Pt

t tt t= −−+

−

Μ

∆Β Α

63

2

2β α∆

β∆ (16)

con { }Α y { }Β sólo función de las condiciones iniciales del intervalo dadas en (11)

{ } { } { }B

t3

1YX tt

∆β

+

β+= (17)