ANEJO 1: MUELLE DE LA ENERGÍA

Albert Llanos Sánchez

100

ANEJO 1: MUELLE DE LA ENERGÍA

1. INTRODUCCIÓN

En este apartado se estudia un caso real de refuerzo de vigas mediante el uso

de materiales compuestos. El problema en cuestión pretende reflejar globalmente las ideas

expuestas en la presente tesina y, además, aportar un ejemplo actual y real del uso de este

tipo de materiales en Ingeniería Civil.

Los datos necesarios para la realización del siguiente estudio han sido

facilitados por Acciona Infraestructuras, la empresa encargada de redactar el informe de

diseño del refuerzo para la reparación de la estructura objeto de estudio.

2. ANTECEDENTES

Este ejemplo está basado en el proyecto de urbanización del muelle de

L’Energia en Barcelona. Se trata de un puente recto de dos vanos de 15+15 metros de longitud

aproximada.

El paso tiene 9,10 metros de ancho y está resuelto mediante un tablero

formado por 17 vigas prefabricadas de 0,72 m de canto junto con una losa armada de 0,25 m

de espesor. El tablero descansa sobre estribos en sus extremos y sobre un soporte corrido

central.

Fig. 102 Puente de la energía

Vigas compuestas laminadas. Teoría de Timoshenko

101

Cada viga prefabricada se encuentra pretensada mediante 84 cables 2φ2,5, en la

siguiente figura se describe las características geométricas de la pieza:

Fig. 103 Características de la sección

Cada cordón tiene un área de 4,91 mm2 con lo que el área de pretensado es:

�� = 84 · 2 · 4,91 = 824,88 �� (73)

Los materiales empleados en el cálculo de la estructura han sido los siguientes:

� Hormigón in situ: HA-25 (fck = 25 N/mm2)

� Hormigón en vigas pretensadas: HA-35 (fck = 35 N/mm2)

� Acero pretensado: Y 1860 S (fyk = 1670 N/mm2)

En cuanto a los coeficientes adoptados son, según el informe de cálculo:

� γc = 1,76 (Hormigón)

� γs = 1,15 (Acero)

� γfc = 1,2 (Lámina)

Por otro lado, necesitaremos las tensiones admisibles a compresión y tracción del

hormigón:

σ�.�� = 0,6 · f��

σ�.�� = 0.30 · f�� /� (74)


102

� .!"#(MPa) �$.!"#(MPa)

HA-25 15 2,56

HA-35 21 3,21

Tabla 15 Tensión a tracción y compresión admisible según el tipo de hormigón

Se consideran las siguientes hipótesis de carga teniendo en cuenta la sección tipo

mostrada a continuación:

Fig. 104 Sección tipo del puente de la energía

� Peso específico del hormigón armado o pretensado: 25KN/m3

� Peso específico de la mezcla bituminosa: 23KN/m3

� Pretil de hormigón: 10,35 KN/m

� Solado zona peatonal: 23KN/m3

� Sobrecarga repartida debida al tráfico: 4KN/m2

� Sobrecarga puntual debida al tráfico: 600KN

Se conoce que la viga más solicitada se encuentra bajo el pretil de borde, cuya ley de

momento flector es:

Fig. 105 Envolvente de momentos en la viga más solicitada


103

� Momento solicitante máximo = 857,29 KN/m

Las vigas que componen el puente de la energía deben reforzarse debido a la

posibilidad de que se hayan cortado algunos de los cables de armado de la estructura, se

desconoce el número exacto de cables cortados por eso se harán distintas hipótesis.

3. REFUERZO CON MATERIALES COMPUESTOS

El refuerzo se plantea con objeto de compensar la eventual pérdida de armado y

obtener un momento flector resistente superior al de la sección original. El refuerzo de las

vigas se realizará mediante adhesión de materiales compuestos armados a base de fibra de

carbono. La geometría de las láminas que se utilizarán y los datos técnicos de ésta son:

Ancho (mm) Espesor(mm)

50 1.2

80 1.2

100 1.2

Tabla 16 Dimensiones de las láminas

Característica Unidades Valor

Densidad g/cm3 1,6

Volumen de

fibra

% 70

Módulo de

elasticidad medio

GPa 170

Resistencia a

tracción media:

MPa 3100

Elongación a

rotura media

% 1,9

Tabla 17 Propiedades de la lámina de fibra de carbono


104

4. ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Hipótesis en el análisis de la estructura

El análisis se va a centrar en la viga más solicitada teniendo en cuenta la proporción de

losa que afecta a ésta. El pretensado se va a modelar como una capa de acero rectangular de

las mismas características y con el mismo centroide y la misma área que la totalidad del

pretensado original.

Fig. 106 Sección estructura muelle de la energía

Para calcular la viga con la teoría de Timoshenko para vigas compuestas tenemos que

separar la sección de la pieza en distintas capas. Se observa en la figura anterior cómo se han

eliminado los retranqueos en la viga tomando un valor medio del espesor, de manera que

tanto las alas como el alma tengan sección rectangular. A continuación se describen las

propiedades de cada capa:


105

CAPA YOUNG(N/mm2) POISSON DENSIDAD

(N/m3)

ESPESOR

(mm)

ANCHO

(mm)

1 29778,88 0,2 0 33,71 320

2 200000 0,3 0 2,58 320

3 29778,88 0,2 0 68,61 320

4 29778,88 0,2 0 505 120

5 29778,88 0,2 0 110 440

6 27264,04 0,2 0 250 540

Tabla 18 Características de la sección dividida en capas

En la tabla anterior se observa como se ha tomado densidad nula ya que el peso propio

de la estructura ya está incluido en la carga exterior.

Finalmente tenemos la sección de la estructura divida en capas de manera que

estamos en disposición de analizarla como viga compuesta de Timoshenko.

Fig. 107 Viga en TCB


106

Fig. 108 Zoom de la viga donde se distinguen las capas

Fuerza de pretensado

Cómo se desconoce la fuerza a la que se tesaron los cables, vamos a seguir el siguiente

proceso con tal de obtener dicha fuerza. Vamos a cargar la viga con una carga uniformemente

repartida que produzca un momento máximo de 857,29 KNm en la sección central de la

estructura, ya que es éste el esfuerzo debido a las cargas externas a la que se ve sometida la

viga. A continuación, se estudiarán las tensiones en las fibras extremas de la estructura y se

observará si superan los valores admisibles. Si los superan, se calculará la fuerza de pretensado

necesaria para conseguir que esta tensión sea adecuada.

La carga uniformemente repartida que produce un momento de 857,29KNm en el

centro de la viga es:

M = ql 8 (75)

) = 8Ml = 8 · 857,29

15 = *+, ,- ./# (76)

Cargamos la viga compuesta por las distintas capas, incluido el acero que simula el

pretensado, pero con los cables sin tesar.


107

Se ha discretizado la viga mediante una malla de 1876 nodos, los cuales se consideran

suficientes para obtener resultados óptimos.

Fig. 109 Condiciones de contorno

Fig. 110 Tensiones en la viga


108

En la imagen anterior las tensiones a tracción son positivas y las de compresión

negativas. Se observa que las tensiones máximas tanto a compresión cómo a tracción en la

sección más solicitada superan los valores admisibles. Hay que tener en cuenta que la tensión

a compresión se produce en el hormigón HA-25 y la de tracción en el HA-35.

σ�0�1 = 20,56 MPa > 15 567

σ89�� = 12,02 MPa > 3,21 567

Hemos llegado a la conclusión que ya preveíamos, se necesita pretensar la sección

para disminuir las tensiones en las fibras extremas. Dimensionaremos la fuerza de pretensado

para la condición más restrictiva, es decir, que la tensión en la fibra inferior de la sección sea

3,21 MPa.

σ = MI · (z − z=) (77)

dónde σ es la tensión normal, M el momento producido, I la inercia de la sección, z es la

coordenada vertical de la fibra y z= es la coordenada vertical del centro de gravedad.

Teniendo en cuenta que el momento que solicita la sección es el momento debido a

las cargas más el momento debido al pretensado la ecuación quedaría de la siguiente manera:

3210 = 857,29 − Mp0,02398 · 0,610 (78)

dónde las unidades que se han utilizado son KN y m. No hay que olvidar que la inercia de la

sección se ha calculado despreciando el acero, realmente tendríamos que tenerlo en cuenta

haciendo uso del coeficiente de equivalencia n = @A@B . Sin embargo, realizando esta

simplificación no nos desviamos en exceso de la solución exacta y nos facilita la comparación

con el modelo numérico.

Realizando el cálculo anterior el momento de pretensado necesario es:

Mp = 731,10 KNm (79)


109

Por tanto, la fuerza de pretensado se puede obtener dividiendo este momento

entre la excentricidad e:

P = Mpe = 731,10

0,610 − 0,07 = 1353,89 KN (80)

Vamos a verificar que esta fuerza no es superior al límite elástico del acero de

pretensar Y1860S.

fG1 = 1670 MPa

σH = PAH = 1353,89 · 10�

824,88 = 1641,32 MPa < 1670 567 √√ (81)

Para conocer la fuerza que aporta cada cable (FHM) se divide la fuerza de pretensado P

entre el número de cables total:

FHM = 1353,89168 = 8,06 KN (82)

Ahora volvemos a calcular la viga teniendo en cuenta el momento de pretensado en la

viga, en la siguiente imagen se observa como las tensiones extremas se han reducido de forma

que ahora sí son menores a las admisibles:


110

Fig. 111 Tensiones en las fibras extremas de la pieza teniendo en cuenta el pretensado

Por tanto, la viga original con todos los cables funcionando adecuadamente estaría

sometida a unas tensiones a compresión y a tracción menor a las admisibles. Además, es

posible que el proyecto de la estructura se diseñara teniendo en cuenta un pretensado parcial,

con lo que la tensión de tracción podría llegar a ser mayor sin causar problemas en la

estructura. Supondremos un grado de pretensado parcial k=3, de manera que las tensiones de

tracción podrían llegar al valor de 9,61 MPa sin necesidad de crear problemas en el hormigón.

Análisis de la sección original

Vistas las tensiones producidas debido a las cargas exteriores y al pretensado,

es necesario observar cual es la resistencia última de la sección original de la viga, es decir con

todos los cables trabajando correctamente y a tensión última.


111

Fig. 112 Esquema de fuerzas para obtener la resistencia última de la sección

dónde:

� f�� es la resistencia a compresión del hormigón HA-25: 25N/mm2

� γ� es el coeficiente de seguridad del hormigón: 1,76

� f�� = f��/γ�

� b es el ancho de la losa: 540mm

� y es la profundidad de la fibra neutra

� d es la distancia entre el centroide del acero pretensado y

la fuerza de compresión.

� e es la excentricidad: 520mm

� P es la fuerza última del acero:

P = fG1γO A1 (83)

con fG1 la tensión última del acero, 1670 N/mm2, γO el coeficiente de seguridad del acero, 1,15

y A1 el área de acero, 824,88mm2.

Haciendo equilibrio de fuerzas horizontales encontramos la posición de la fibra neutra:


112

P FQ = 0

A1fG1 = bf��y

y = A1fG1/γObf�� (84)

y = 824,88 · 1670/1.15540 · 25/1.76 = 156,17mm

Haciendo equilibrio de momentos encontramos el momento resistente de la sección,

lo haremos respecto el centro del bloque de compresiones:

M9TOUO8TV8T = P · W970 − 70 − y2X (85)

donde 970 representa el canto total de la sección en mm y 70 la distancia entre la fibra inferior

de la sección y el centroide del área de acero, también en mm. Con lo que:

M9TOUO8TV8T = 16701,15 824,88 · Y970 − 70 − 156,17

2 Z · 10[\ = 984,55 KNm

Como criterio de diseño sobre las vigas se ha planteado que todas ellas superen

aproximadamente el mismo esfuerzo resistente. El esfuerzo resistente mínimo a resistir ha

sido fijado en 900KNm. Teniendo en cuenta que el momento último solicitante en la viga es

857,29 KNm, aplicando este criterio de diseño contamos con un coeficiente de seguridad

adicional. Por tanto, se observa claramente como la sección original cumplía ampliamente con

este requisito.

Análisis del refuerzo de la estructura

El problema se ha producido al detectar que alguno de los cables está defectuoso.

Como se desconoce el número exacto de éstos, la empresa encargada de reforzar la estructura

realizó los siguientes casos, reforzando tal y como se describe a continuación:


113

Número de alambres afectado Refuerzo necesario

6 No se considera refuerzo

12 1 lámina 50x1.2mm

16 1 lámina 80x1.2mm

25 2 láminas 100x1.2mm

36 3 láminas 100x1.2mm

Tabla 19 Refuerzo según el número de alambres afectado

El procedimiento que seguiremos para estudiar los distintos casos será el siguiente.

Primero realizaremos un análisis de las tensiones en el hormigón haciendo uso del programa

de MAT-fem para vigas compuestas de Timoshenko y, posteriormente, estudiaremos la

repercusión que tiene, en el momento resistente último de la sección, el hecho de colocar o no

el refuerzo.

Hay que tener en cuenta que las características de la sección varían al disminuir el

número de cables pretensados. Evidentemente se reducirá tanto el área de pretensado como

el momento producido por éste. Sin embargo, se considera constante la distancia desde la

fibra inferior de la sección al centroide del pretensado, 70mm, al igual que la excentricidad de

éste, e=520mm.

La nueva área de pretensado se obtiene reduciendo el número de cables que trabajan

correctamente, es decir:

A1 = (168 − n) · 4,91mm (86)

dónde 168 son el número de cables del pretensado original con una superficie de 4,91mm2

cada uno, y n es el número de cables afectados. Como conocemos la aportación a la fuerza

total de pretensado de cada cable, según la expresión (82) es de 8,06KN, se obtiene la fuerza

de pretensado (P) y el momento que produce (M1) de la siguiente manera:

P = (168 − n) · 8,06 (87)

M1 = P · e (88)


114

En la siguiente tabla se presentan los nuevos valores:

Alambres afectados Área de Pretensado (mm2) Momento de pretensado

(KNm)

6 795,42 705,09

12 765,96 678,97

16 746,32 661,56

25 702,13 622,39

36 648,12 574,52

Tabla 20 Características del problema en función del número de cables afectado

Ahora ya podemos introducir los nuevos datos en GiD y realizar los cálculos necesarios

para obtener las nuevas tensiones en el hormigón. Es importante apuntar que el área de

pretensado se ha tenido en cuenta como una capa rectangular, como ya hicimos

anteriormente. Al variar el área de acero también varía el espesor de ésta capa ya que se

mantiene constante el ancho de 320mm. Los nuevos espesores según los cables afectados se

presentan a continuación:

Alambres afectados Espesor de la capa de acero (mm)

6 2,49

12 2,39

16 2,33

25 2,19

36 2.03

Tabla 21 Espesor de la capa de acero según el número de cables afectado

Vamos a analizar las tensiones en la sección más solicitada y en la fibra de hormigón

más traccionada y comprimida. Se hace notar que el número de capas que se asignarán en el

preproceso de GiD aumentará ya que se tiene que añadir las láminas del refuerzo. En el caso

de que sea necesario refuerzo, mostraremos las tensiones antes y después de colocar el

material compuesto, de manera que veamos cual es la aportación de éste. Los valores

obtenidos se presentan a continuación:


115

Alambres afectados Refuerzo Tensión a tracción

(MPa)

Tensión a compresión

(MPa)

6 Sin lámina 3,66 2,136

12 Sin lámina 4,3 2,51

1 lám. 50x1.2mm 4,27 2,49

16 Sin lámina 4,73 2,69

1 lám. 80x1.2mm 4,68 2,74

25 Sin lámina 5,70 3,31

2 lám. 100x1.2mm 5,55 3,27

36 Sin lámina 6,89 3,99

3 lám 100x1.2mm 6,63 3,92

Tabla 22 Tensiones en función del número de cables afectado y del refuerzo que se utiliza

Se observa en la tabla anterior que el refuerzo no aporta una disminución importante

en las tensiones. Sin embargo, el aumento de tensión que se produce debido a la reducción de

acero de pretensar no es suficientemente grande como para producir problemas en el

hormigón. Como vimos anteriormente, la tensión a tracción puede llegar hasta los 9,6 MPa,

teniendo en cuenta pretensado parcial, y las tensiones a compresión podrían llegar hasta los

15MPa.

Sin embargo, la adhesión del refuerzo en la parte inferior de la viga nos aportará

resistencia estructural y es éste el objetivo principal de esta actuación en el puente de la

energía.

Siguiendo las expresiones (83, 84, 85) se calcula el momento resistente de la sección

dependiendo del número de alambres afectados. En la siguiente tabla se muestran los

resultados:


116

Alambres afectados Posición fibra neutra

y (mm)

Momento resistente

(KNm)

6 150,59 952,61

12 145,01 920,43

16 141,29 898,84

25 132,93 849,88

36 122,70 789,32

Tabla 23 Posición de la fibra neutra y momento resistente de la sección

Se observa en la tabla anterior como el momento resistente disminuye a medida que

aumenta el número de cables afectados. Tal y como veíamos con anterioridad, el momento

resistente mínimo se ha fijado en 900 KNm. Se justifica, por tanto, la necesidad de realizar

refuerzos sobre la viga. No será necesario reforzar cuando sean 6 los cables que no trabajen

pero a medida que aumenta este número la cantidad de material compuesto debe aumentar,

tal y como se preveía por la empresa encargada del diseño (tabla 19).

Para obtener el momento resistente último de la sección con el refuerzo, se realizará

el mismo procedimiento que seguíamos en la sección original pero teniendo en cuenta la fibra

de material compuesto adherida en la parte inferior de la viga. Por tanto, el esquema será el

siguiente:

Fig. 113 Esquema momento resistente con la lámina adherida


117

donde e’ es el espesor de la lámina o láminas del refuerzo y Fl es la fuerza última del material

compuesto de fibra de carbono, que se obtiene según la expresión siguiente:

F] = f^�,8γ^� A] (89)

con f^�,8 la resistencia a tracción de la lámina, 3100 MPa, γ^� coeficiente de seguridad del

compuesto, 1,2, y A] es el área del refuerzo utilizado. Realizando equilibrio de fuerzas y de

momentos se obtiene la posición de la fibra neutra y el momento resistente de la sección.

y = YA1fG1γO Z + (A]f^�,8γ^� )bf�� = F�bf�� (90)

donde FT representa la fuerza total a tracción, sumando la contribución del acero y de la

lámina.

M9TOUO8TV8T = F� `900 − y2 − ea

2 b (91)

A continuación se muestran los valores obtenidos:

Alambres

afectados cd(mm2) ce (mm2) e’(mm) y (mm)

Momento

resistente

(KNm)

12 765,96 60 1,2 165,22 1035,12

16 746,32 96 1,2 173,63 1082,19

25 702,13 240 2,4 213,76 1298,45

36 648,12 360 3,6 243,95 1452,46

Tabla 24 Momento resistente de la sección reforzada en función del número de alambres afectado

Con el objetivo de comparar y observar los resultados obtenidos después de reforzar la

estructura, se adjunta una gráfica que muestra el momento resistente de la pieza dependiendo

del número de alambres afectados. Esta relación se calcula con la viga sin reforzar y reforzada,

de manera que se visualiza claramente la eficiencia del material compuesto:


118

Fig. 114 Momento resistente según los cables afectados y el refuerzo

Se pueden obtener varias conclusiones de la gráfica anterior. Por un lado, se justifica

claramente la necesidad de reforzar la viga a partir de 12 cables afectados, ya que cuando hay

6 cables defectuosos el momento resistido es superior al mínimo, fijado en 900 KNm. Cuando

son 12 los cables el momento es sensiblemente superior al mínimo con lo que reforzarlo nos

proporciona un mayor coeficiente de seguridad. Por otro lado, a medida que aumenta el

número de cables, se debe proporcionar un mayor refuerzo ya que la incerteza en cuanto a los

cables defectuosos causa peores consecuencias en un rango alto de alambres afectados que

cuando nos movemos en número pequeños.

Con este ejemplo se ha observado claramente la eficiencia de los materiales

compuestos, ya que una lámina de dimensiones relativamente pequeñas respecto a las

dimensiones de la viga proporciona una resistencia adicional a la estructura realmente

apreciable. La facilidad de montaje en obra de estos refuerzos hace que estas actuaciones sean

muy competitivas respecto a otros modos de reforzar. Además, se ha podido comprobar la

utilidad del programa de MAT-fem para vigas compuestas de Timoshenko en un caso real.

A continuación se presentan varias fotografías donde se visualiza el refuerzo de las

vigas del puente de la energía.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40

Mo

me

nto

re

sist

en

te (

KN

m)

nº cables afectados

Sin refuerzo

Con refuerzo

Mmin=900KNm


119

En las fotografías anteriores se observa las diferentes láminas adheridas en la parte

inferior de la viga con una pintura blanca, dependiendo de la necesidad de cada viga el

refuerzo se realiza mediante láminas de 50, 80 o 100mm.

Foto 1 Lámina de 50x1,2mm Foto 2 Láminas de 80x1,2mm

Foto 3 Láminas de 100x1,2mm


120

ANEJO 2: EJEMPLOS COMPARANDO TCB Y 3D

En el presente anejo se muestran dos ejemplos más, distintos a los que se han visto en

el capítulo 5 de este estudio, a modo de cerciorar la eficiencia del programa calculado en MAT-

fem para vías compuestas.

I. VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PUNTUAL EN EL CENTRO

La manera de proceder en la presentación de resultados será la misma que seguimos

en el capítulo 5. Es decir, se calculará la estructura mediante la teoría de Timoshenko, y

posteriormente se compararán resultados con el cálculo tridimensional. El ejemplo objeto de

estudio es una viga biempotrada de longitud L con una carga puntual (P) en el centro de ésta.

Los datos necesarios para el cálculo son los siguientes:

� L = 120mm ; h=10mm ; b=2mm dónde h y b son el canto y ancho de la viga

� P = 1N

� Características de la sección:


(N/m3)

ESPESOR

(mm)

ANCHO

(mm)

1 2.19·105 0.25 0 2 2

2 7.3·105 0.25 0 2 2

3 2.19·105 0.25 0 2 2

4 7.3·105 0.25 0 2 2

5 2.19·105 0.25 0 2 2

Tabla 25 Datos de los materiales y dimensiones de la sección de la viga

SOLUCIÓN MEDIANTE TIMOSHENKO COMPOSITE BEAMS

La viga se divide en elementos unidimensionales de dos nodos cada uno, sin embargo

la solución se muestra en 2D mediante elementos cuadriláteros de cuatro nodos cada uno.

Fig. 115 Condiciones de contorno de la viga


121

Fig. 116 Deformada de la viga

Convergencia de resultados

En la siguiente gráfica se observa cómo el desplazamiento vertical en el centro de la

viga va variando en función del número de nodos. Se observa cómo a medida que la malla es

más densa, el valor converge hacia la solución óptima. La gráfica de convergencia se presenta

en escala logarítmica y viene acompañada de la tabla con los valores numéricos.

nodos log(nodos) desplazamiento vertical

(mm)

25 1,40 -0,00017997

81 1,91 -0,00018102

121 2,08 -0,00018107

601 2,78 -0,00018112

1201 3,08 -0,00018112

Tabla 26 Valores de convergencia


122

Fig. 117 Gráfica de convergencia

Presentación de la solución obtenida

A continuación se muestran los resultados obtenidos mediante la malla de 1201

nodos. Se muestra una tabla con los resultados obtenidos en la fibra inferior de la primera

capa, en el centro de la viga. Además, se adjuntan las soluciones más representativas

mediante gráficos:

Desp_x

(mm)

Desp_y

(mm) Giro Qy (N) Mz (Nmm)

Sigma_x

(N/mm2)

Tau_xz

(N/mm2)

0 -0.0001811 0 0.051724 3.9521 0.30246 0

Tabla 27 Valores obtenidos según TCB

Fig. 118 Desplazamiento horizontal (mm)

-0,000181

-0,000181

-0,000181

-0,000181

-0,00018

-0,00018

-0,00018

-0,00018

1 1,5 2 2,5 3 3,5

De

spla

za

mie

nto

ve

rtic

al

(mm

)

log(nº nodos)

Viga TCB


123

Fig. 119 Esfuerzo cortante (N)

Fig. 120 Momento flector (KNm)

Fig. 121 Tensión normal (N/mm2)

Fig. 122 Tensión tangencial xz (N/mm2)


124

SOLUCIÓN MEDIANTE SÓLIDO 3D

La viga se divide en elementos tetraédricos de cuatro nodos cada uno. Tanto la

geometría inicial cómo los resultados se muestran en tres dimensiones.

Fig.125 Deformada (mm)

Convergencia de resultados

Se presenta a continuación la tabla con los valores de convergencia y la gráfica que

representa la tendencia hacia la solución óptima.

Fig. 124 Condiciones de contorno

Fig. 123 Materiales de la viga


125

nodos log(nodos) desplazamiento vertical

(mm)

531 2,73 -0,00014381

989 2,99 -0,00015688

2850 3,45 -0,00017566

5160 3,71 -0,00017939

7202 3,86 -0,00017956

8935 3,95 -0,00018003

10284 4,01 -0,0001807

Tabla 28 Valores de convergencia

Fig 126 Convergencia de resultados

Solución obtenida

A continuación se muestra los resultados obtenidos mediante la malla de 10284 nodos.

De igual manera que hacíamos en el caso anterior, se muestran los resultados de la fibra

inferior de la primera capa del centro de la viga.

-0,0002

-0,00018

-0,00016

-0,00014

-0,00012

-0,0001

-0,00008

-0,00006

-0,00004

-0,00002

0

2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1

De

spla

za

mie

nto

ve

rtic

al

(mm

)

log(nº nodos)

Viga 3D


126

Desp_x

(m)

Desp_y

(m)

Sigma_x

(N/m2)

Tau_xz

(N/m2)

0 -0.0001807 0.2789 -0.0010096

Tabla 29 Solución obtenida con la malla de 10284 nodos

Fig. 127 Desplazamientos horizontales (mm)




127

A continuación se comparan los resultados obtenidos de la misma viga calculada

mediante teoría de sólido 3D y mediante teoría de viga laminada compuesta de Timoshenko.

Para poder confirmar que la teoría de Timoshenko es válida en el ejercicio propuesto, se ha

calculado la diferencia en los valores obtenidos tomando como referencia la solución en tres

dimensiones.

Desp_x (mm) Desp_y (mm) Sigma_x

(N/mm2)

Tau_xz

(N/mm2)

Sólido 3D 0 -0.0001807 0.2789 0

TCB 0 -0.0001811 0.30246 0

Diferencia (%) 0 0.22 8.45 0

Tabla 30 Comparación de resultados

Tiempo invertido en el cálculo

A continuación se presenta las gráficas donde se distingue el tiempo necesario para

calcular el problema en cuestión. Al igual que pasaba en los ejemplos anteriores, el programa

de MAT-fem es más eficiente computacionalmente ya que presenta los mismos resultados en

un tiempo mucho menor.

Fig. 130 Gráfica tiempo invertido en el cálculo de TCB

0

1

2

3

4

5

6

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Tie

mp

o (

seg

un

do

s)

Número de nodos

Tiempo cálculo TCB


128

Fig. 131 Gráfica tiempo invertido en el cálculo de viga en 3D

II. VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA REPARTIDA

El siguiente ejercicio trata de estudiar el cálculo de una viga biempotrada de longitud L

con carga repartida P, de canto h y ancho b. Este ejercicio aparece en el libro “Analysis with the

Finite Element Method. Linear Statics” de Eugenio Oñate, con lo que el objetivo de este caso es

obtener los resultados según la teoría de Timoshenko con el programa de MAT-fem y poder

comparar los resultados.

� L = 100mm ; h=5mm ; b=1mm

� P = 1KN/m

� Características de los materiales compuestos:

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Tie

mp

o (

seg

un

do

s)

Número de nodos

Tiempo cálculo 3D


129


(N/m3)

ESPESOR

(mm)

ANCHO

(mm)

1 5.3·105 0.25 0 0.5 1

2 2.19·105 0.25 0 0.6 1

3 0.82·105 0.25 0 0.5 1

4 0.0073·105 0.259 0 0.4 1

5 5.3·105 0.25 0 0.7 1

6 0.0073·105 0.259 0 0.1 1

7 7.30·105 0.25 0 0.4 1

8 0.82·105 0.25 0 0.5 1

9 2.19·105 0.25 0 0.3 1

10 7.30·105 0.25 0 1 1

Tabla 31 Características y dimensiones de la sección de la viga

Resultados obtenidos

La viga se divide en elementos unidimensionales de dos nodos cada uno, sin embargo

la solución se muestra en 2D mediante elementos cuadriláteros de cuatro nodos cada uno.

Fig. 132 Preproceso


130

Fig. 133 Deformada en el postproceso

A continuación se muestran las gráficas de resultados que se pueden comparar con los

resultados obtenidos en el libro. Los resultados son los obtenidos a partir de una malla de 300

nodos.

Fig. 134 Desplazamiento vertical a lo largo del eje de la viga (mm)


131

Fig. 135 Desplazamiento horizontal en la sección x=L/4

Fig. 136 Tensión normal en la sección x=L/4

0

1

2

3

4

5

6

-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

h(m

m)

u(mm)

Desplazamiento horizontal en x=L/4

0

1

2

3

4

5

6

-0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80

h(m

m)

Tensión Normal (MPa)

Tensión axial en x=L/4


132

Fig. 137 Tensión tangencial en la sección x=L/4

La siguiente tabla muestra los resultados en la fibra inferior de la primera capa, en el

centro de la viga, en una malla de 300 nodos:

Desp_x

(mm)

Desp_y

(mm) Giro Qy (N) Mz (Nmm)

Sigma_x

(N/mm2)

Tau_xz

(N/mm2)

0 0.11913 0 0 -111.69 -128.25 0

Tabla 32 Valores obtenidos mediante la malla de 300 nodos

A continuación se muestran algunas imágenes del programa GiD donde se observa el

comportamiento estructural en cuanto a desplazamientos y tensiones se refiere:


0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

h(m

m)

Tensión tangencial(MPa)

Tensión tangencial en x=L/4


133

Fig. 139 Esfuerzo cortante (N)

Fig. 140 Momento (Nmm)



134


Los resultados obtenidos coinciden en los que aparecen en el libro de Eugenio Oñate,

sin embargo, no está de más calcular la viga mediante teoría tridimensional y cerciorar que los

resultados obtenidos son correctos.

Solución tridimensional

A continuación se muestra la gráfica que demuestra que la solución converge

correctamente.

Fig. 143 Convergencia de resultados

En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos mediante una malla de

11959 nodos. Los valores indicados en la tabla corresponden a los valores en el centro de la

viga, en la primera capa y en la fibra inferior.

0,114

0,116

0,118

0,12

0,122

0,124

0,126

0,128

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000De

spla

za

mie

nto

ve

rtic

al

(mm

)

Número de nodos

Convergencia de resultados 3D


135

Desp_x

(m)

Desp_y

(m)

Sigma_x

(N/m2)

Tau_xz

(N/m2)

0 0.12744 -114.47 0.0266

Tabla 33 Resultados obtenidos mediante la malla de 11959 nodos

En lo que sigue, se muestran las imágenes que describen el comportamiento

estructural de la viga en cuestión:

Fig. 144 Viga con las 10 capas bien diferenciadas


136

Fig. 145 Desplazamiento vertical (mm)



137

Fig. 147 Tensión normal (MPa)

Fig. 148 Tensión tangencial (MPa)


138

Se observa como el comportamiento de la viga calculada en forma de sólido 3D es el

mismo que el que obtuvimos mediante el método de Timoshenko para estructuras

compuestas. Además, se observa en la siguiente tabla como los valores obtenidos son muy

parecidos.

Desp_x (mm) Desp_y (mm) Sigma_x

(N/mm2)

Tau_xz

(N/mm2)

Sólido 3D 0 0.12744 -114.47 -0.25424

TCB 0 0.11913 -128.25 0.04

Diferencia (%) 0 6.52 12.04 84

Tabla 34 Comparación de resultados

En el caso de las tensiones tangenciales, los valores obtenidos están lo suficiente cerca

del cero como para suponer que la tensión en ese punto se anula. Si comparamos los valores

con las órdenes de magnitud que aparecen en las tensiones se observa claramente que no es

una aproximación descabellada.

Se puede concluir, por tanto, que el programa en MAT-fem representa fielmente el

comportamiento estructural de la viga.


139

ANEJO 3: RUTINAS DE PROGRAMACIÓN

En el presente anejo se adjunta las rutinas de programación tanto en MATLAB como en

GiD necesarias para calcular vigas compuestas según la teoría de Timoshenko.

I. PROGRAMACIÓN EN MATLAB

Composite_Beam_Timoshenko_Reduced.m

%% 2 Nodes Composite Beam using Timoshenko Theory % Reduce the influence of the transverse shear stif fness (thick and slender % beams) % Clear memory and variables. clear % The variables are read as a MAT-fem subroutine % layers = Number of layers % young = Young Modulus % matrix size: layers x 1 % poiss = Poission Ratio % matrix size: layers x 1 % denss = Material density % matrix size: layers x 1 % thickness = thickness of every layer % matrix size: layers x 1 % width = width of every layer % matrix size: layers x 1 % coordinates = [x] matrix size: nnode x ndime (1) % elements = [ inode, jnode ] element conect ivity matrix % matrix size: nelem x nnode; nno de = 2 % fixnodes = [node number, dof, fixed value] matrix with % Dirichlet restrictions, were do f=1 for horizontal % displacement, dof=2 for vertica l displacement % and dof=3 for vertical derivati ve. % pointload = [node number, dof, load value] matrix with % nodal loads, were dof=1 for hor izontal load, % dof=2 for vertical load and dof =3 for moment. % uniload = [ uniform load ] sparse matrix size: nelem x 2 file_name = input( 'Enter the file name :' , 's' ); tic; % Start clock ttim = 0; % Initialize time counter eval (file_name); % Read input file % Finds basics dimensions npnod = size(coordinates,1); % Number of nodes nelem = size(elements,1); % Number of elements nnode = size(elements,2); % Number of nodes por element


140

dofpn = 3; % Number of DOF per node dofpe = nnode*dofpn; % Number of DOF per element nndof = npnod*dofpn; % Number of total DOF ttim = timing( 'Time needed to read the input file' ,ttim); %Reporting time % Dimension the global matrices. StifMat = sparse ( nndof , nndof ); % Create the global stiffness matrix force = sparse ( nndof , 1 ); % Create the global force vector reaction = sparse ( nndof , 1 ); % Create the global reaction vector u = sparse (nndof, 1); % Nodal variables % Material properties (Constant over the domain) shear = young./(2*(1+poiss)); area = thickness'*width ; % Create coordinate z vector of points between ea ch layer coord_z = [zeros(1);thickness] ; for j=2:layers+1 coord_z(j,1) = coord_z(j,1)+coord_z(j-1,1); % Coordinate z respect end % the bottom of the % section for i=1:layers zg_layers(i)=(coord_z(i)+coord_z(i+1))*0.5; % Center of gravity of end % each layer for i=1:layers area_layers(i)=thickness(i)*width(i); % Area of each layer end coord_zg = (area_layers*zg_layers')/area; % Center of gravity of the % section coord_ZG = coord_z-(coord_zg*ones(layers+1,1)); % Coordinate z respect the % center of gravity of the % section % Components of the generalized constitutive matr ix % Axial stiffness D_mata = 0; for i=1:layers D_mata = D_mata + width(i) * thickness (i) * young(i); end


141

% Bending stiffness D_matb = 0 ; for i=1:layers D_matb = D_matb + (1/3)*((coord_ZG(i+1))^3-(coord_ZG(i))^3)*width(i)*young(i); end % Coupling axial-bending stiffness D_matab = 0; for i = 1:layers D_matab = D_matab+(-1/2)*(coord_ZG(i+1)+coord_ZG(i))*width(i)*thickness (i)*young(i); end % Shear stiffness D_mats=0; for i=1:layers D_mats = D_mats + thickness(i)*width(i)*(young(i)/(2*(1+poiss(i)))); end % Compute the shear correction parameter for bend ing around the y axis % (kz) S1 = 0; S3 = 0; for i = 1 : layers if i > 1 S1 = S1 + young(i-1)* (coord_ZG(i)^2 - coor d_ZG(i-1)^2); end S2 = 1/20*young(i)^2*(coord_ZG(i+1)^5-coord_ZG( i)^5)+ ... 1/6*(S1-young(i)*coord_ZG(i)^2) * young(i) * (coord_ZG(i+1)^3-coord_ZG(i)^3)+ ... 1/4*(S1-young(i)*coord_ZG(i)^2)^2 * (coord _ZG(i+1)-coord_ZG(i)); S3 = S3 + width(i)/shear(i)*S2 ; end kz = D_matb^2/D_mats/S3; % New shear stiffness D_mats = kz*D_mats; % Vertical distance between the global axis x and the neutral axis. d = - D_matab / D_mata ; % Create coordinate z vector of points between ea ch layer respect % neutral axis coord_zp = coord_ZG-(d*ones(layers+1,1)); % New coupling axial-bending stiffness D_matab=0; for i = 1:layers D_matab =D_matab + (-1/2)*(coord_zp(i+1)+coord_zp(i))*width(i)*thickness (i)*young(i);


142

end ttim = timing( 'Time needed to set initial values' ,ttim); %Reporting time % Element cycle for ielem = 1 : nelem lnods(1:nnode) = elements(ielem,1:nnode); coor_x(1:nnode) = coordinates(lnods(1:nnode),1) ; % Elem. X coordinate len = coor_x(2) - coor_x(1); % x_j > x_i const = D_matb/len; K_bend = [ 0 , 0 , 0 , 0 ; 0 , 1 , 0 , -1 ; 0 , 0 , 0 , 0 ; 0 , -1 , 0 , 1 ]; K_bend = K_bend * const; const = D_mats/len; K_shear = [ 1 , len/2 , -1 , len/2 ; len/2 , len^2/4 , -len/2 , len^2/4 ; -1 , -len/2 , 1 , -len/2 ; len/2 , len^2/4 , -len/2 , len^2/4 ]; K_shear = K_shear * const; K_flex = K_bend + K_shear; const = D_mata/len; K_axial = [ 1 , -1 ; -1 , 1 ]; K_axial = K_axial * const ; K_elem = [K_axial , zeros(2,4); zeros(4,2) , K_flex ]; K_elem(:,[2 3]) = K_elem(:,[3 2]); K_elem(:,[3 4]) = K_elem(:, [4 3]); K_elem([2,3],:)=K_elem([3 2],:); K_elem([3,4],:)=K_elem([4 3],:); pp = thickness.*width.*denss; fa = uniload(ielem,1) * len/2 ; fz = (-sum(pp) + uniload(ielem,2))* len/2;


143

ElemFor = [ fa, fz , 0, fa, fz, 0]; %elemental force vector. % Finds the equation number list for the i-th eleme nt for i=1:nnode ii = (i-1)*dofpn; for j =1:dofpn eqnum(ii+j) = (lnods(i)-1)*dofpn+j; % Build the equation number list end end % Assemble the force vector and the stiffness matri x for i = 1 : dofpe ipos = eqnum(i); force (ipos) = force(ipos) + ElemFor(i); for j = 1 : dofpe jpos = eqnum(j); StifMat (ipos,jpos) = StifMat (ipos,jpos) + K_elem(i,j); end end end % End element cycle ttim = timing( 'Time to assemble the global system' ,ttim); %Reporting time % Add point loads conditions to the force vector for i = 1 : size(pointload,1) ieqn = (pointload(i,1)-1)*dofpn+pointload(i,2); % Finds eq. number force(ieqn) = force(ieqn) + pointload(i,3); % add the force end ttim = timing( 'Time for apply side and point load' ,ttim); %Reporting time % Applies the Dirichlet conditions and adjust the r ight hand side. for i = 1 : size(fixnodes,1) ieqn = (fixnodes(i,1)-1)*dofpn+fixnodes(i,2) ; % Finds eq. number u (ieqn) = fixnodes(i,3); % and store the solution in u fix(i) = ieqn ; % and mark the eq as a fix value end force = force - StifMat * u ; % adjust the rhs with the known values % Compute the solution by solving StifMat * u = fo rce for the % remaining unknown values of u. FreeNodes = setdiff ( 1:nndof, fix ); % Finds the free node list and


144

u(FreeNodes) = StifMat(FreeNodes,FreeNodes) \ for ce(FreeNodes); ttim = timing( 'Time to solve the stiffness matrix' ,ttim); %Reporting time % Compute the layer's results [Dsp_lyr Str_lyr ResStr_lyr] = Composite_Layers_Beam_Timoshenko(layers,young,shear ,poiss,kz,width,thickness,coord_ZG,coord_zp,u); ttim = timing( 'Time to solve the layer results' ,ttim); %Reporting time % Graphic representation. ToGiD_Composite_Beam_Timoshenko(file_name,layers,co ord_ZG,u,Dsp_lyr,Str_lyr,ResStr_lyr); ttim = timing( 'Time used to write the solution' ,ttim); %Reporting time itim = toc; %Close last tic fprintf(1, '\n Total running time %12.6f \n' ,ttim); %Reporting final time

Composite_Layer_Beam_Timoshenko.m

function [Dsp_lyr Str_lyr ResStr_lyr] = Composite_Layers_Beam_Timoshenko(layers,young,shear ,poiss,kz,width,thickness,coord_ZG,coord_zp,u) %Evaluates the layer's values in order to see the r esults in a 2D graphic. %Evaluates the displacements (Dsp_lyr) at the nodes and at the points between layers. %Evaluates the stresses (Str_lyr), for each layer, at the gauss point and smooth the values %to the nodes %Evaluates the resultant stresses (ResStr_lyr) on G auss points for each layer. global coordinates; global elements; npnod = size(coordinates,1); % Number of nodes nelem = size(elements,1); % Number of elements nnode = size(elements,2); % Number of nodes por element dofpn = 3; % Number of DOF per node dofpe = nnode*dofpn; % Number of DOF per element


145

nndof = npnod*dofpn; % Number of total DO eqnum = zeros(dofpe); % Equation number list Dsp_lyr = zeros(npnod,3,layers+1); % Create array for displacements Str_lyr = zeros(npnod,3,2*layers); % Create array for stresses ResStr_lyr = zeros(nelem,3,layers); % Create array for resultant stresses %% Layer Displacements % Finds the equation number list for the i-th node dof_1=zeros(npnod,1); %dof_1 belong to the axial displacement dof_2=zeros(npnod,1); %dof_2 belong to the vertical displacement dof_3=zeros(npnod,1); %dof_3 belong to the rotation for node = 1:npnod dof_1(node)=(node-1)*dofpn + 1; dof_2(node)=(node-1)*dofpn + 2; dof_3(node)=(node-1)*dofpn + 3; end % Displacement field for lyr = 1:layers+1 Dsp_lyr(:,1,lyr) = u(dof_1) - coord_zp(lyr)*u(d of_3); Dsp_lyr(:,2,lyr) = u(dof_2); Dsp_lyr(:,3,lyr) = u(dof_3); end %% Layer Stresses and Resultant Stresses Da = zeros(2*layers,1); Db = zeros(2*layers,1); Ds = zeros(2*layers,1); for i=1:layers Da(2*(i-1)+1) = young(i); Da(2*(i-1)+2) = young(i); Db(2*(i-1)+1) = -young(i)*coord_zp(i); Db(2*(i-1)+2) = -young(i)*coord_zp(i+1); Ds(2*(i-1)+1) = kz*shear(i); Ds(2*(i-1)+2) = kz*shear(i); end Da_lyr = zeros(layers,1); Db_lyr = zeros(layers,1); Dab_lyr = zeros(layers,1); Ds_lyr = zeros(layers,1); for i=1:layers Da_lyr(i) = width(i) * thickness (i) * young(i ); Db_lyr(i) = (1/3)*((coord_ZG(i+1))^3-(coord_ZG(i))^3)*width(i)*young(i); Ds_lyr(i)= thickness(i)*width(i)*(young(i)/(2* (1+poiss(i)))); end Ds_lyr=kz*Ds_lyr;


146

% Element cycle. for ielem = 1 : nelem lnods(1:nnode) = elements(ielem,1:nnode); %vector nodos del elemento coor_x(1:nnode) = coordinates(lnods(1:nnode),1) ; % Elem. X coordinate % Finds the equation number list for the i-th eleme nt for i=1:nnode ii = (i-1)*dofpn; for j =1:dofpn eqnum(ii+j) = (lnods(i)-1)*dofpn+j; % Build the equation number list end end % Recover the nodal displacements for the i-th elem ent u_elem(1:dofpe)=u(eqnum(1:dofpe)); len = coor_x(2) - coor_x(1); % x_j > x_i % One gauss point for stress evaluation gaus0 = 0.0; % One Gauss point for stresses evaluation bmat_a=[ -1/len, 0, 0, 1/len, 0, 0 ]; bmat_b=[0, 0, -1/len, 0, 0, 1/len]; bmat_s=[0, -1/len, -1/2, 0, 1/len, -1/2]; Str1_g0 = (Da*bmat_a + Db*bmat_b)*transpose(u_e lem); Str2_g0 = (Ds*bmat_s)*transpose(u_elem); Str_lyr(lnods(1),1,:) = Str_lyr(lnods(1),1,:)+p ermute(Str1_g0,[2 3 1]); Str_lyr(lnods(2),1,:) = Str_lyr(lnods(2),1,:)+p ermute(Str1_g0,[2 3 1]); Str_lyr(lnods(1),2,:) = Str_lyr(lnods(1),2,:)+p ermute(Str2_g0,[2 3 1]); Str_lyr(lnods(2),2,:) = Str_lyr(lnods(2),2,:)+p ermute(Str2_g0,[2 3 1]); Str_lyr(lnods(1),3,:) = Str_lyr(lnods(1),3,:)+1 ; Str_lyr(lnods(2),3,:) = Str_lyr(lnods(2),3,:)+1 ; ResStr1_g0 = (Da_lyr*bmat_a) *transpose(u_elem) ; ResStr2_g0 = (Db_lyr*bmat_b)*transpose(u_elem); ResStr3_g0 = (Ds_lyr*bmat_s)*transpose(u_elem);


147

ResStr_lyr(ielem,1,:)=permute(ResStr1_g0,[2 3 1 ]); ResStr_lyr(ielem,2,:)=permute(ResStr2_g0,[2 3 1 ]); ResStr_lyr(ielem,3,:)=permute(ResStr3_g0,[2 3 1 ]); end % End element cycle for i = 1 : npnod Str_lyr(i,1,:) = Str_lyr(i,1,:)./Str_lyr(i,3,:) ; Str_lyr(i,2,:) = Str_lyr(i,2,:)./Str_lyr(i,3,:) ; end

ToGiD_Composite_Beam_Timoshenko.m

function ToGiD_Composite_Beam_Timoshenko(file_name,layers,co ord_ZG,u,Dsp_lyr,Str_lyr,ResStr_lyr) % % Parameters: % % Input, file_name : GiD File name % u : Nodal variables % reaction : Nodal reactions % Str : Gauss Point Stresses % % Output, none % global coordinates; global elements; nelem = size(elements,1); % Number of elements npnod = size(coordinates,1); % Number of nodes qeletyp = 'Quadrilateral' ; msh_file = strcat(file_name, '.flavia.msh' ); res_file = strcat(file_name, '.flavia.res' ); %% Mesh with quadrilateral elements (2D beam) qnelem = nelem*layers; % Number of quadrilateral elements qnnode = 4; % Number of nodes per quadrilateral elements. qnpnod = npnod*layers*2; % Number of nodes % Coordinates matrix of quadrilateral elements (2D) qcoordinates = zeros(qnpnod,2); for i=1:layers for j=1:npnod


148

qcoordinates((2*i-2)*npnod+j,:)=[coordinate s(j) coord_ZG(i)]; qcoordinates((2*i-1)*npnod+j,:)=[coordinate s(j) coord_ZG(i+1)]; end end % Elements matrix of quadrilateral elements (2D) qelements=zeros(qnelem,qnnode+1); for i = 1:layers for j = 1 : nelem qelements((i-1)*nelem+j,:) = [((2*i-2)*npnod+ elements(j,:)) ... ((2*i-1)*npnod + elements(j,end:-1:1)) i ]; end end % Conectivity matrix by layer (2D) Nod_lyr = zeros(npnod,layers,2); Elem_lyr = zeros(nelem,layers); for i = 1 : layers for j = 1 : npnod Nod_lyr(j,i,1) = (2*i-2)*npnod + j; Nod_lyr(j,i,2) = (2*i-1)*npnod + j; end for n = 1 : nelem Elem_lyr(n,i) = (i-1)*nelem + n; end end %%Generates the mesh file fid = fopen(msh_file, 'w' ); fprintf(fid, '### \n' ); fprintf(fid, '# MAT_FEM Compiste Laminated TBT \n' ); fprintf(fid, '# \n' ); % Generates the mesh in 2D fprintf(fid, 'Group "Thickness_Analysis_2D" \n' ); fprintf(fid, 'MESH "2D_beam" dimension %3.0f Elemtype %s Nno de %2.0f \n \n' ,2,qeletyp,qnnode); fprintf(fid, 'coordinates \n' ); for i = 1 : qnpnod fprintf(fid, '%6.0f %12.5d %12.5d \n' ,i,qcoordinates(i,1),qcoordinates(i,2)); end fprintf(fid, 'end coordinates \n \n' ); fprintf(fid, 'elements \n' ); for i = 1 : qnelem fprintf(fid, '%6.0f %6.0f %6.0f %6.0f %6.0f %3.0f \n' ,i,qelements(i,:)); end fprintf(fid, 'end elements \n \n' ); fprintf(fid, 'end group \n \n' ); status = fclose(fid);


149

%% Generates the result file fid = fopen(res_file, 'w' ); fprintf(fid, 'Gid Post Results File 1.0 \n' ); fprintf(fid, '### \n' ); fprintf(fid, '# MAT_FEM Composite Laminated TBT \n' ); fprintf(fid, '# \n' ); fprintf(fid, 'GaussPoints "GP_quad" Elemtype %s "2D_beam" \n' ,qeletyp); fprintf(fid, 'Number of Gauss Points: 1 \n' ); fprintf(fid, 'Natural Coordinates: Internal \n' ); fprintf(fid, 'end gausspionts \n' ); fprintf(fid, '# \n' ); %% Thickness results along each layer fprintf(fid, 'OnGroup "Thickness_Analysis_2D" \n' ); fprintf(fid, 'Result "Displacements" "Load Analysis" 1 Vector OnNodes \n' ); fprintf(fid, 'ComponentNames "X-Displ", "Y-Displ", "Z-Displ" \n' ); fprintf(fid, 'Values \n' ); for i=1:layers for j = 1 : npnod fprintf(fid, '%6.0i %13.5d %13.5d 0.0 \n' ,Nod_lyr(j,i,1),full(Dsp_lyr(j,1,i)),full(Dsp_lyr(j ,2,i))); fprintf(fid, '%6.0i %13.5d %13.5d 0.0 \n' ,Nod_lyr(j,i,2),full(Dsp_lyr(j,1,i+1)),full(Dsp_lyr (j,2,i+1))); end end fprintf(fid, 'End Values \n' ); fprintf(fid, '# \n' ); fprintf(fid, 'Result "Rotation" "Load Analysis" 1 Vector OnNodes \n' ); fprintf(fid, 'ComponentNames "X-Rot", "Y-Rot", "Z-Rot" \n' ); fprintf(fid, 'Values \n' ); for i=1:layers for j = 1 : npnod fprintf(fid, '%6.0i 0.0 0.0 %13.5d \n' ,Nod_lyr(j,i,1),full(Dsp_lyr(j,3,i))); fprintf(fid, '%6.0i 0.0 0.0 %13.5d \n' ,Nod_lyr(j,i,2),full(Dsp_lyr(j,3,i+1))); end end fprintf(fid, 'End Values \n' ); fprintf(fid, '# \n' ); fprintf(fid, 'Result "Stresses" "Load Analysis" 1 Vector OnNodes \n' ); fprintf(fid, 'ComponentNames "Sigma_x", "Tau_xz", "zero" \n' ); fprintf(fid, 'Values \n' ); for i=1:layers for j = 1 : npnod fprintf(fid, '%6.0i %12.5d %12.5d 0.0 \n' ,Nod_lyr(j,i,1),Str_lyr(j,1,(i-1)*2+1),Str_lyr(j,2, (i-1)*2+1)); fprintf(fid, '%6.0i %12.5d %12.5d 0.0 \n' ,Nod_lyr(j,i,2),Str_lyr(j,1,(i-1)*2+2),Str_lyr(j,2, (i-1)*2+2)); end


150

end fprintf(fid, 'End Values \n' ); fprintf(fid, '# \n' ); fprintf(fid, 'Result "Resultant_Stresses" "Load Analysis" 1 Vect or OnGaussPoints "GP_quad" \n' ); fprintf(fid, 'ComponentNames "Nx", "Qy", "Mz" \n' ); fprintf(fid, 'Values \n' ); for i=1:layers for j = 1 : nelem fprintf(fid, '%6.0i %12.5d %12.5d %12.5d \n' ,Elem_lyr(j,i),ResStr_lyr(j,1,i),ResStr_lyr(j,3,i), ResStr_lyr(j,2,i)); end end fprintf(fid, 'End Values \n' ); fprintf(fid, 'End ongroup \n' ); fprintf(fid, '# \n' ); status = fclose(fid);

timing.m

function t = timing (text,time) %% timing Evaluates and acumulate the used time. % % Parameters: % % Input, text : String to show. % time : Accumulate time at t-1 % % Output, t : Accumulate time at t itim = toc; % Close previous tic fprintf(1,[text, ' %12.6f \n' ],itim); % Output time and text t = itim + time; % Accumulate time in t tic % Open an new tic


151

II. PROGRAMACIÓN EN GID

MAT-fem_Composite_Beams.cnd

BOOK: Displacement_Constraints NUMBER: 1 CONDITION: Point_Constraints CONDTYPE: over points CONDMESHTYPE: over nodes QUESTION:Horizontal_Constraint:#CB#(1,0) VALUE:1 DEPENDENCIES: (0,SET,Displacement-X,0.0m)(#DEFAULT#,RESTORE,Displacement-X,0.0m) QUESTION:Displacement-X#UNITS# VALUE:0.000m QUESTION:Vertical_Constraint:#CB#(1,0) VALUE: 1 DEPENDENCIES: (0,SET,Displacement-Y,0.0m)(#DEFAULT#,RESTORE,Displacement-Y,0.0m) QUESTION:Displacement-Y#UNITS# VALUE:0.000m QUESTION:Rotation_Constraint:#CB#(1,0) VALUE: 1 DEPENDENCIES: (0,SET,Displacement-R,0.0rad)(#DEFAULT#,RESTORE,Displacement-R,0.0rad) QUESTION:Displacement-R#UNITS# VALUE:0.000rad END CONDITION BOOK: Point_Loads NUMBER: 2 CONDITION: Point_Load CONDTYPE: over points CONDMESHTYPE: over nodes QUESTION: Horizontal-Force:#UNITS# VALUE: 0.0N QUESTION:Vertical-Force:#UNITS# VALUE: 0.0N QUESTION: Moment:#UNITS# VALUE: 0.0N*m END CONDITION BOOK: Uniform_Loads NUMBER: 3 CONDITION: Uniform_Load CONDTYPE: over lines CONDMESHTYPE: over elems QUESTION:Horizontal-Load:#UNITS# VALUE: 0.0N/m QUESTION:Vertical-Load:#UNITS# VALUE: 0.0N/m END CONDITION


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MAT-fem_Composite_Beams.prb

PROBLEM DATA TITLE:General_Data QUESTION:Problem_Title VALUE:Untitled HELP: The title of the problem QUESTION:Consider_Self_weight#CB#(Yes,No) VALUE:No END PROBLEM DATA

MAT-fem_Composite_Beams.mat

NUMBER: 1 MATERIAL: Composite_Section QUESTION: LAYER VALUE: 3 QUESTION: YOUNG(LAYER,___YOUNG__N/m^2___) VALUE: #N# 6 1 2.1e11 2 3.0e10 3 3.0e10 QUESTION: POISSON(LAYER,___POISSON___) VALUE: #N# 6 1 0.2 2 0.2 3 0.2 QUESTION: SELF-WEIGHT(LAYER,___SELF-WEIGHT__N/m^3___) VALUE: #N# 6 1 78000 2 25000 3 78000 QUESTION: THICKNESS(LAYER,___THICKNESS__m___) VALUE: #N# 6 1 2 2 16 3 2 QUESTION: WIDTH(LAYER,___WIDTH__m___) VALUE: #N# 6 1 10 2 10 3 10 END MATERIAL

MAT-fem_Composite_Beams.uni

BEGIN TABLE LOAD : N {reference}, 1e-1 kgf, 1e-4 ton, 1e-3 kN, 1e-6 MN, 0.2248090247 lbf MOMENT : N*m {reference}, 1e-1 kgf*m, 1e-4 ton*m, 1e-3 kN*m, 1e-6 MN*m, 8.850749004 lbf*in UNIFORM_LOAD : N/m {reference}, 1e-1 kgf/m, 1e-4 ton/m, 1e-3 kN/m, 1e-6 MN/m, 0.571015e-2 lbf/in AREA : m^2 {reference}, 1e+4 cm^2, 1e+6 mm^2, 1550 in^2 INERTIA : m^4 {reference}, 1e+8 cm^4, 1e+12 mm^4, 2402509.610 in^4 SELF_WEIGHT : N/m^3 {reference}, 1e-1 kgf/m^3, 1e-4 ton/m^3, 1e-3 kN/m^3, 1e-6 MN/m^3, 0.3683959876e-5 lbf/in^3 END


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BEGIN SYSTEM(INTERNATIONAL) LENGTH : m ANGLE : rad UNIFORM_LOAD : N/m PRESSURE : N/m^2 LOAD : N MOMENT : N*m SELF_WEIGHT : N/m^3 AREA : m^2 INERTIA : m^4 END USER DEFINED: DISABLED

MAT-fem_Composite_Beams.sim

cond Point_Constraints 4 global cond(int,1) && cond(int,3) && cond(int,5) 1 0 0 pc_emp.geo global cond(int,1) && cond(int,3) 1 0 0 ep_apoioL.geo global cond(int,1) || cond(int,3) cond(int,3) cond(int,1)*(-1) 0 ep_apoio-rodillo.geo global cond(int,5) 1 0 0 pc_sim.geo cond Point_Load 4 global cond(real,1) && cond(real,2) && cond(real,3) cond(real,2)


154

cond(real,1)*(-1) 0 pl_fl_m.geo global cond(real,1) && cond(real,3) || cond(real,2) && cond(real,3) cond(real,2) cond(real,1)*(-1) 0 pl_fl_m.geo global 1 cond(real,1) cond(real,2) 0 ep_fletxa.geo global cond(real,3) cond(real,3) 0 0 pl_mom.geo cond Uniform_Load 1 global cond(real,1) && cond(real,2) || cond(real,1) || cond(real,2) cond(real,2) cond(real,1)*(-1) 0 ep_flechas.geo

MAT-fem_Composite_Beams.bas

*loop elems *if(elemsmat==0) *messagebox - An element without any material was found, some posibilities are that you forget to asign a material to the problem or there is a repited entity over another - Process finished with error *endif *end *loop nodes *if(NodesCoord(3)==0) *else *messagebox - This is a beams problem so z coordinate must be =0 for all nodes - Process finished with error *endif *if(NodesCoord(2)==0)


155

*else *messagebox - This is a beams problem so y coordinate must be =0 for all nodes - Process finished with error *endif *end *set var MATERIAL=0 *loop materials *set var MATERIAL=Operation(MATERIAL(int)+1) *end *if(MATERIAL>1) *messagebox - This program only allows one material *endif %=====================================================================

== % MAT-fem_Beams 1.0 - MAT-fem is a learning tool for undestanding % the Finite Element Method with MATLAB and GiD %=====================================================================

== % PROBLEM TITLE = *GenData(1) % % Material Properties % *loop materials *format " layers = %10.2e; " *MatProp(1); *set var L=MatProp(1,int) *set var N=MatProp(2,int) young = [ *for(i=1;i<=N-2;i=i+2) *format " %17.9e " *MatProp(2,*operation(i+1)); *end for *format " %17.9e " *MatProp(2,*operation(N))]; poiss = [ *for(i=1;i<=N-2;i=i+2) *format " %17.9e " *MatProp(3,*operation(i+1)); *end for *format " %17.9e " *MatProp(3,*operation(N))]; *if(strcmp(GenData(2),"No")==0) *format "%1i" denss = zeros(*operation(L),1) ; *else denss = [ *for(i=1;i<=N-2;i=i+2) *format " %17.9e " *MatProp(4,*operation(i+1)); *end for *format " %17.9e " *MatProp(4,*operation(N))];


156

*endif thickness = [ *for(i=1;i<=N-2;i=i+2) *format " %17.9e " *MatProp(5,*operation(i+1)); *end for *format " %17.9e " *MatProp(5,*operation(N))]; width = [ *for(i=1;i<=N-2;i=i+2) *format " %17.9e " *MatProp(6,*operation(i+1)); *end for *format " %17.9e " *MatProp(6,*operation(N))]; *end materials % % Coordinates % global coordinates coordinates = [ *loop nodes *format " %17.9e " *if(NodesNum == npoin) *NodesCoord(1) ] ; *else *NodesCoord(1) ; *endif *end nodes % % Elements % global elements elements = [ *loop elems *format " %6i %6i %6i %6i " *if(nnode == 2) *if(ElemsNum == nelem) *ElemsConec(1) , *ElemsConec(2) ] ; *else *ElemsConec(1) , *ElemsConec(2) ; *endif *else *if(ElemsNum == nelem) *ElemsConec(1) , *ElemsConec(2) , *ElemsConec(3) ] ; *else *ElemsConec(1) , *ElemsConec(2) , *ElemsConec(3) ; *endif *endif *end elems % % Fixed Nodes


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% fixnodes = [ *Set Cond Point_Constraints *nodes *or(1,int) *or(3,int) *or(5,int) *Set var nod = 0 *loop nodes *OnlyInCond *if(Cond(1,Int) == 1) *Set var nod = nod + 1 *endif *if(Cond(3,Int) == 1) *Set var nod = nod + 1 *endif *if(Cond(5,Int) == 1) *Set var nod = nod + 1 *endif *end nodes *Set var nod2 = 1 *loop nodes *OnlyInCond *if(Cond(1,Int) == 1) *format " %6i %17.9e " *if(nod==nod2) *NodesNum() , 1 , *Cond(2) ] ; *else *NodesNum() , 1 , *Cond(2) ; *endif *Set var nod2 = nod2 + 1 *endif *if(Cond(3,Int) == 1) *format " %6i %17.9e " *if(nod==nod2) *NodesNum() , 2 , *Cond(4) ] ; *else *NodesNum() , 2 , *Cond(4) ; *endif *Set var nod2 = nod2 + 1 *endif *if(Cond(5,Int) == 1) *format " %6i %17.9e " *if(nod==nod2) *NodesNum() , 3 , *Cond(6) ] ; *else *NodesNum() , 3 , *Cond(6) ; *endif *Set var nod2 = nod2 + 1 *endif *end nodes % % Point loads % *Set Cond Point_Load *nodes *if((CondNumEntities(int)>0)) *Set var nod = 0 pointload = [


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*loop nodes *OnlyInCond *Set var nod = nod + 1 *format " %6i %17.9e " *NodesNum , 1 , *cond(1,real) ; *format " %6i %17.9e " *NodesNum , 2 , *cond(2,real) ; *format " %6i %17.9e " *if(CondNumEntities(int)==nod) *NodesNum , 3 , *cond(3,real) ] ; *else *NodesNum , 3 , *cond(3,real) ; *endif *end nodes *else pointload = [ ] ; *endif % % Side loads % *Set Cond Uniform_Load *elems uniload = sparse ( *nelem , 2); *if(CondNumEntities(int)>0) *loop elems *OnlyInCond *and(1,int) *format " %6i %17.9e " uniload (*ElemsNum,1 ) = *cond(1) ; *end elems *loop elems *OnlyInCond *and(2,int) *format " %6i %17.9e " uniload (*ElemsNum,2 ) = *cond(2) ; *end elems *endif

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ANEJO 1: MUELLE DE LA ENERGÍA