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PREMIOS NACIONAl.ES DE CULTURA 1995
Literatura (CUCl1to)
Cil/C/Jh \r/Jol v 01 rus Cl/cl//os Etrail11 l\l~dil1a Rcycs
([ )ram at u rgia) , MI/jeres ajo sospccha
Alvaro Campos Hern:ll1Jl'I.
(Ema}'o) \,I'I"S y plicgllcs
Carlos RiIH:'lI1
(N Il\'C la) El (,I/I/i//() dd C,/lhll
.laviLT Et.:hncrri Rcstrcpo
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Lingstica 1\lhilisis dc Ids eldses //(IIIlh[CS
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Hortl'nsia Estrad:1 Ibmrl'z
Cinc /., dCl/da () 1" illSlilil
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PREMIOS NACIONALES DE CULTURA
1995
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INCONSISTENCIAS ~ Un estudio filosfico . POR QU NO? sobre la
l?gica 6 paraconslstente
~ Andrs Bobenrieth Miserda
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Cubierta: Ana Virginia lsaza C.
Primera edicin: septiembre de 1996
~ Andrs Bobenrieth Miserda Colcultura, 1996
ISBN: 958-612-257-3
Armada electrnica: Juan Carlos Rodrguez R.
Edicin. impresin y encuadernacin: Tercer Mundo Editores
Impreso y hecho en Colombia Printcd and made in Colombia
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E/ premio es para mi familia y e/libro para mis amigos.
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NDICE
PRLOGO
AGRADECIMIENTOS
INTRODUCCIN
ACLARACIONES PREVIAS
Captulol LAS PARADOJAS Y LA PRIMERA POSTURA NO CLSICA: EL JOVEN
LUKASIEWICZ 1. LAS PARADOJAS LGICAS DEL CAMBIO DE SIGLO 2. EL
PRIMER CUESTlONAMIENTO DEL PRINCIPIO DE
xvii
xxi
xxv
xxxiii
(NO) CONTRADICCIN: EL JOVEN LUKASIEWICZ 12 2.1. La lgica
simblica y el estudio del principio
de (no) contradiccin en Aristteles 12 2.2. Conclusiones de
Lukasiewicz 17 2.3. Criticas al artculo de Lukasiewicz 23 2.4. La
brecha abierta por Lukasiewicz 24
vii
-
viii ANDRS BOBENIUETIt MISERDA
Captulo 1/ LA LGICA IMAGINARIA DE V ASILIEV l. TRINGULO DE
OPOSICIONES
2. LGICA NO ARISTOTLICA
3. METALGICA
Captulo III PRIMERAS LGICAS POLIVALENTES l. SISTEMA TRIVALENTE
DE LUKASIEWICZ
2. SISTEMAS INFINITO-V ALENTES DE POST y LUKASIEWICZ
3. RELACIN DE V ASILlEV CON LA LGICA
27 27 32
40
45
45
49
POLIVALENTE 51
Captulo IV REAPARICIN DEL PRINCIPIO DEL PSEUDO-ESCOTO EN EL
SIGLO VEINTE 55
l. DEDUCCIN DEL Ex FALSO SEQUITUR QUODLlBET' EN EL SISTEMA DE
RUSSELL y WHITEHEAD 55
2. DEMOSTRACIN DE POST DE LA CONSISTENCIA DEL CLCULO
PROPOSICIONAL
3. HILBERT Y LA NECESIDAD DE LA NO CONTRADICCIN
4. RASGOS COMUNES EN LAS DEMOSTRACIONES DE POST Y HILBERT
5. EL ARGUMENTO DE LA TRIVIALIZACIN 6. PRESENTACIN DEL ARGUMENTO
DE LA
TRIVIALlZACIN 7. EL PRINCIPIO DEL PSEUDO-EsCOTO COMO
POSTULADO PRINCIPAL EN EL SISTEMA DE LUKASIEWICZ
57
60
65
66
67
71
-
INCONSJSn:NCIAS POR QU NO? Ix
8. EL TEOREMA DE GODEL
Captulo V PRUEBA GENERAL DE LA INADMISffiILIDAD DE
CONTRADICCIONES: LEWIS y EL TEXTO ORIGINAL DEL PSEUDO-ESCOTO
l. LEWIS y LAS PARADOJAS DE LA IMPUCACIN 1.1. La implicacin
estricta 1.2. La demostracin de Lewis 1.3. Sentido general de esta
demostracin
2. EL PSEuoo-EsCOTO y SUS CRITERIOS SOBRE
80
85
85 85 89 91
LAS INFERENCIAS VLIDAS 95 2.1. Aclaracin sobre el origen
histrico del
Principio del Pseudo-Escoto 95 2.2. El texto del Pseudo-Escoto
97 2.3. Comparacin entre la inferencia a partir de una
falsedad y a partir de una contradiccin 10 1 2.4. Otras
precisiones histrico-terminolgicas 104
Captulo VI CONTROVERSIA ENTRE POPPER Y JEFFREYS 107
l. DUDAS DE JEFFREYS SOBRE SI UNA CONTRADICCiN IMPUCA CUALQUIER
OTRA PROPOSICiN
2. ARGUMENTO DE POPPER, A PARTIR DE LA TRlVIAUZACIN, EN CONTRA
DE LA LGICA DIALCTICA
3. RESPUESTA DE JEFFREYS, AMPARADA EN OTRA INTERPRETACiN DEL
SILOGISMO DISYUNTIVO
4. RPUCA DE POPPER: POSTULACiN DE SISTEMAS Ms DBILES
5. REITERACIONES DE POPPER
107
109
114
116
120
-
x ANDRS BOBENRIETH MISERDA
Captulo VII LA LGICA INTUICIONISTA y LOS SISTEMAS MINIMALES
129
l. IDEAS GENERALES DE BROUWER 129
2. LA PRIMERA FORMALIZACIN: KOLMOGOROV 132 3. LA LGICA
INTUICIONISTA DE HEYTING 135 4. LGICA POSITIVA DE HILBERT y BERNA
YS 136 5. CLCULO MINIMAL DE JOHANSSON 141 6. IMPLICACIONES PARA EL
PROBLEMA DE LA
TRIVIALIZACIN 147
Captulo VIII LA LGICA DISCURSIVA DE JASKOWSKI 149 l. LA LGICA EN
POLONIA EN LA PRIMERA
MITAD DEL SIGLO 149
2. "CLCULO PROPOSICIONAL PARA SISTEMAS DEDUCTIVOS
CONTRADICTORIOS" 151
3. APLICACIN A LAS PARADOJAS 166 4. OBSERVACIONES FINALES Y
COMPLEMENTACIN
DEL SISTEMA DISCURSIVO 167
Capitulo Lr LOS PRIMEROS TRABAJOS DE DA COSTA 171
l. PRIMERAS PUBLICACIONES 171
2. SISTEMAS FORMALES INCONSISTENTES 186
2.1. Sistemas de clculo proposicional 188 2.1.1.
ClculoproposicionalC 188 2. J.2. Jerarquia de clculos
proposicionales Cn 193
2.2. Sistemas de clculos de predicados 197 2.3. Aplicacin a la
teora de conjuntos 198 2.4. Conclusiones 201
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? :ti
Captulo X CONSOLIDACIN DE LOS SISTEMAS LGICOS DE DA COSTA CON LA
PARTICIPACIN DE ARRUDA y LA PROPUESTA DE ASENJO 205
l. PROFUNDIZACIN y PROPAGACIN DE LA PROPUESTA ORIGINARIA: DA
COSTA y ARRUDA
1.1. Publicaciones en Brasil 1.2. Primeras publicaciones en el
extranjero
2. CLCULO DE ANTINOMIAS DE ASENJO
Captulo XI SISTEMAS LGICOS PARACONSISTENTES l. REFERENCIA A
OTROS TEXTOS EN LOS QUE SE
PUEDE SEGUIR LA HISTORIA RECIENTE
2. LGICA PARACONSISTENTE: TENDENCIAS y
205 205 209
216
223
223
DESARROLLOS 227 2.1. Simposios latinoamericanos de lgica y
el
trmino paraconsistencia 227 2.2. Otros sistemas paraconsistentes
232
2.2. J. Primeros sistemas de otros autores 232 2.2.2. Conexiones
con lgicos australianos y la
lgica relevante 234 2.2.3. Otros sistemas de da Costa y
Arruda
paraformalizar teoras de conjuntos 236 2.2.4. Sistemas no
adjuntivos 244
2.2.4.1. Sistemas discursivos 244 2.2.4.2. Mundos posibles no
estndar de
Rescher 245 2.3. Desarrollo semntico de la lgica
paraconsistente 250 2.3. J. Semnticas polivalentes 250 2.3.2.
Semntica de las valuaciones 251 2.3.3. Mtodo de las tablas y
semntica de
la verdad por default 255 2.3.4. Otros resultados en semntica
256
-
xii ANDRS BOBENlUE1H MlSERDA
2.4. Sistemas paraconsistentes con motivaciones particulares 259
2.4. J. Sistemas paraconsistentes y
paracompletos 259 2.4.2. Sistema de lgica dialctica 266
2.4.2. J. Sistemas de Routley y Meyer 269 2.4.2.2. Sistemas de
da Costa y Wolf 273
2.4.3. Lgica transitiva 281
3. APLICACIONES DE LA LGICA PARACONSISTENTE 286
Captulo XII PROBLEMAS FILOSFICOS RELACIONADOS CON LA LGICA
PARACONSISTENTE 301 l. DELIMITACiN DE LOS ASPECTOS QUE VAN A
TRATARSE
2. IMPACTO FILOSFICO Y JUSTIFICACiN DE LA LGICA PARACONSISTENTE,
SEGN DA COSTA y
301
OTROS AUTORES. 309 2.1. El argumento de Quine sobre el cambio
de
tema 309 2.2. Precisin sobre las implicaciones filosficas 314
2.3. Razones para justificar la paraconsistencia 317
3. SISTEMAS DEDUCTIVOS, CONTRADICCiN Y TRlVIALIZACIN 318
4. LA NEGACiN Y EL REFERENTE DF LAS CONTRADICCIONES
5. FORMALIZACiN DE LA DIALCTICA 6. UNA APROXIMACIN RACIONAL A
LAS
INCONSISTENCIAS
6.1. La crtica por irracionalidad, de Bunge 6.2. Los principios
pragmticos de la r8ZD, de
da Costa 6.3. La razn despus de la lgica
paraconsistente, segn Mir Quesada
332
351
365 366
370
374
-
INCONSISTENCIAS POR. QU NO? .;
6.4. La consistencia como requisito racional contextualizable,
segn Rescher 378
6.5. Una racionalidad paraconsistente? 386
CONSIDERACIONES FINALES 399
ANEXOS 421
Anexo A CLASIFICACIN DE LAS DNERSAS LGICAS 423 l. CRITERIOS
HISTRICOS GENERALES 423 2. CLASIFICACiN HISTRlCo-TEMTlCA 424
3. CRITERIOS GENERALES DE LO ALTERNATIVO EN LGICA 427
4. CLASIFICACiN SEMNTICA 428 5. CLASIFICACIN SINT
cnCA-ESCALONADA 429
6. CLASIFICACiN SEGN EL ALCANCE, FUNDAMENTO Y CAMPO DE APLICACIN
431
7. CRITERIOS PARA DELIMITAR EL MBITO DE LA LGICA 432
8. REACCIONES AL APREMIO DE CAMBIAR EL FORMALISMO ESTNDAR
434
9. CLASIFICACIN SEGN EL TIPO DE HETERODOXIA 435 10. COHERENCIA
VS. CONSISTENCIA 438
AnexoB , POSTULADOS DE DISTINTOS SISTEMAS DE
CLCULO PROPOSICIONAL 441 LGICA CLSICA 442
LGICA INTUICIONISTA 443
-
XY ANDRS BOBENRIEnI MISERDA
LGICA MINIMAL INTUICIONISTA
SISTEMA LGICO PARACONSISTENTE C I SISTEMA DE LGICA DE LA
VAGUEDAD VD SISTEMA DE LGICA DE LA VAGUEDAD VI SISTEMA DE LGICA DE
LA VAGUEDAD V 1 JERARQUIA DE SISTEMAS LGICOS PARACONSISTENTES Cn
l
-
INCONSIS1ENCIAS POR QU NO? %11
BIBLIOGRAFA
l. ESCRITOS COMPLETOS DE A YDA IGNEZ ARRUDA
2. ESCRITOS COMPLETOS DE A YDA 1. ARRUDA EN COLABORACiN
3. ESCRITOS DE NEWTON C.A. DA COSTA
4. ESCRITOS DE NEWTON C.A. DA COSTA EN COLABORACiN
5. PUBLICACIONES COLECTIVAS QUE CONTIENEN TEXTOS DE LGICA
PARACONSISTENTE
6. TEXTOS DE Y SOBRE LGICA PARACONSISTENTE DE OTROS AUTORES
7. TRABAJOS DE TESIS SOBRE LGICA PARACONSISTENTE
8. TEXTOS SOBRE CONTRADICCiN Y LGICA 9. BIBLlOGRAFIA GENERAL
NDICE DE TEMAS
NDICE DE AUTORES
491 492
495 497
506
519
520
534 536 540
551
561
-
PRLOGO
La lgica paraconsistente surgi alrededor de los aos cincuenta,
con los trabajos de S. JaSkowski, en Polonia, y los mios, en
Bra-sil. Estudiaba yo entonces matemticas en la Universidad
Fede-ral del Paran, en la ciudad de Curitiba. De ahi en adelante,
la l-gica paraconsistente ha evolucionado mucho y durante todos
estos aos siempre me he esforzado por contribuir a su progreso; por
eso la publicacin de este libro tiene para m una significa-cin muy
especial.
En general, se puede decir que la lgica paraconsistente tuvo
diversos precursores, entre los cuales se destacan el clebre lgi-co
polaco J. Lukasiewicz y al menos conocido lgico ruso A. N.
Vasiliev, los cuales, en 1910, y de modo independiente, aborda-ron
temas que hoy se incluyen en el campo de esta lgica. Pero slo ms
tarde, con los trabajos de JaSkowski y luego con los mios, tambin
de forma independiente, se fue articulando una opcin que hasta
entonces pareca imposible: construir sistemas lgicos que
permitieran manejar inconsistencias sin que por ello se destruyera
toda la estructura deductiva. Se abri as una aven-tura intelectual
en la cual han participado muchos investigadores de diversas partes
del mundo.
Actualmente, la lgica paraconsistente tiene un nmero de
re-ferencia (03B53) que la califica como una de las disciplinas
ma-temticas del presente, segn el Mathematics Subject
Classifica-tion, que es compilado por las editoriales que publican:
Math-ematical Reviews y Zentralblatt fr Mathematik. As mismo, el
conocido lgico y filsofo G. H. von Wright, que ha contribuido para
su progreso, considera que la lgica paraconsistente es una
xvii
-
niii ANDRS BOBENRIETH M1SERDA
de las mayores realizaciones en el mbito de la lgica en la
se-gunda mitad de este siglo.
Varias son las motivaciones y aplicaciones de esta alternativa
lgica: (1) FilosficaS: entre otras, el tratamiento de teoras
su-puestamente inconsistentes, tales como ciertas formas de la
dia-lctica y la teora de los objetos de Meinong; la lgica
subyacen-te,en esos casos, no podra ser la clsica, pues la
presencia de contradicciones las hara triviales, es decir todo sera
demostra-ble. (2) Matemticas: por ejemplo, la formulacin de teoras
pa-raconsistentes de conjuntos en las cuales el esquema de
separa-cin (o de comprensin) se encuentra sometido a restricciones
ms biandas que en las versiones tradicionales (como las de
Zermelo-Fraenkel, de von Neumann-Bernays-Godel, de Kelly-Morse y de
Quine);.en tales teoras paraconsistentes, el conjunto de Russell,
compuesto por todos los conjuntos que no pertenecen a s mismos,
existe, y si bien provoca el surgimiento de contra-dicciones, no
conduce a la trivializacin. (3) Lgicas: un mejor entendimiento de
los principios de la lgica estndar, de la mis-ma forma en que las
geometras no euclidianas contribuyen a esclarecer los propios
fundamentos de la geometra euclidiana; as, se percibe ms claramente
el sentido y las limitaciones de los principios de contradiccin, de
identidad y del tercero ex-cluido. (4) Cientficas: aplicaciones a
la fsica, especialmente en mecnica cuntica y en la unificacin
formal de teoras. (5) Tec-nolgicas: aplicaciones en Inteligencia
Artificial (manipulacin de datos contradictorios) y en informtica
en general.
Estas y otras razones llevan a ver la gran importancia que
tie-ne la lgica paraconsistente, as como la necesidad de que sea ms
divulgada en las regiones de lengua espaola.
El presente libro de Andrs Bobenrieth satisface, en mi opi-nin,
todas las condiciones para llenar ese espacio. Se trata de una obra
que presenta los aspectos histricos, tericos y filosfi-cos de la
lgica paraconsistente, a nivel bsicamente proposicio-nal, muchas
veces de modo original y crtico. A partir de esto,
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? xiJt
hace un anlisis profundo de ciertos problemas filosficos que se
ven directamente afectados por el desarrollo de la lgica
para-consistente: los efectos de las contradicciones en los
sistemas deductivos, el estatuto de las contradicciones, la
formalizacin de la dialctica y la posibilidad de establecer una
aproximacin racional a las inconsistencias.
Esta obra surgi como una tesis de Magster en Filosofia que
presentaba en el Departamento de Filosofia de la Universidad
Nacional de Colombia, bajo la excelente orientacin del Prof. Carlos
Eduardo Vasco, trabajo que amerit la mencin laurea-da, mxima
distincin que concede ese centro de estudios para una tesis.
El autor adelant una larga y pormenorizada investigacin, y ha
escrito un excelente libro que puede ser ledo con provecho por
filsofos, cientficos y, en general, por todas las personas
interesadas seriamente en el tema.
Por todo esto, tengo la certeza de que el presente libro se
constituir en un hito en la historia de la lgica
paraconsistente.
Newton C. A. da Costa Sao Paulo, 29 de agosto de 1995
-
AGRADECIMIENTOS
Al ver este libro hecho realidad, veo tambin a muchas personas
que hicieron que esto fuera posible. Quisiera ahora expresarles mi
gratitud a quienes fueron especialmente determinantes, de manera
tal que sean sus nombres los que precedan este trabajo, siguiendo
cierto orden de aparicin:
En primer lugar, al profesor Guillermo Pramo, por haber si-do
quien me introdujo en la lgica paraconsistente.
A la profesora Itala D'Ottaviano," que me recibi en Campi-nas
cuando fui por primera vez a ver cul era la realidad fisica de la
lgica paraconsistente. Ella puso a mi disposicin todos los medios
necesarios para iniciar esta investigacin.
Al profesor Newton da Costa, para quien mi agradecimiento no
tiene lmites, pues, desde que nos conocimos en Sao Paulo, no ha
hecho otra cosa que ayudarme y apoyarme en todo lo po-sible. Un
lustro ha pasado desde entonces, y he podido conocer no slo al
autor de infinidad de artculos a nivel internacional, sino sobre
todo al maestro que me ha enseado mucho ms que lgica. Su actitud me
ha mostrado cmo s puede tener sentido el trabajo terico en Amrica
Latina. Ojal pueda considerrseme su discpulo.
Al profesor Lorenzo Pea, porque bast que yo le escribiera una
carta para que l me hiciera llegar todas sus publicaciones y se
pusiera a mi disposicin para ayudarme en lo que yo a bien
tuviera.
A Walter Carnielli, por haberse interesado en mi trabajo y por
haber dado espacio a que yo confrontara mis ideas con quien, como
l, lleva mucho tiempo trabajando en este campo.
xxi
-
;0:;; ANDRS BOBENRlElH MlSERDA
A Jean-Yves Bziau y Otvio Bueno, que han sido fieles
co-rresponsales electrnicos, y que me han ayudado para que este
texto resulte lo ms actualizado posible.
A Clara Helena Snchez, Jairo Ivn Pefta y Gonzalo Serrano, por
haber logrado, entre otras cosas, que Newton da Costa y Walter
Carnielli vinieran a Bogot en 1994.
Al profesor Bernardo Correa, que nunca ha dejado de
sor-prenderme por la excelente disposicin que ha tenido hacia mi
trabajo y hacia m. Nunca fui su alumno, pero me ha enseftado algo
que espero que no se me olvide jamas: que en filosofa tambin es
posible tender puentes hacia los dems.
Al profesor Fernando Zalamea, por haber ledo con mximo rigor
este trabajo y haberle aportado muchos comentarios que me han sido
muy tiles para mejorar la versin definitiva.
Al profesor Carlos Verdugo, que se ofreci a ayudarme a co-rregir
las pruebas fmales, 10 que dio lugar a que me sugiriera precisiones
importantes.
Al profesor Carlos Eduardo Vasco, a quien he dejado de l-timo
entre las personas del mbito acadmico, por ser la ms determinante
para este trabajo. Desde el principio me sorprendi al aceptar
dirigir esta investigacin sin conocerme; luego me asombr su
capacidad para resolver todas mis dudas sobre lgi-ca. Mi
agradecimiento llega al extremo al ver la dedicacin con la que ley
y corrigi el texto. Lo que este libro tiene de riguro-so, sin duda,
se lo debe a l.
Por fuera del mbito acadmico tengo que agradecerle a mis amigos
Roberto, oo y Manuel, por haberse dado a la nada f-cil labor de
intentar que este texto fuera menos ladrilludo; tambi~n a Roberto
Palacio (Pombo), que igualmente se haba o-frecido para esta tarea,
pero a quien el infortunio no se lo permi-ti. Y, en general, a
todos mis amigos y amigas debo agradecer-les el haberme escuchado
el mismo cuento por tanto tiempo.
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? ulii
A Annida, que, gracias a su dedicacin, hizo posible que este
montn de papeles encontraran su afortunado rumbo. A Roberto por
dedicrsela a ella, y a Alejandra por dedicrsela a ambos.
y de nuevo a Juan Carlos Rodrguez --para que no pase de
incgnito---, pues lo que de buen estilo hay en estas pginas est
signado por l. La ventana al parque ha sido el mej?r espacio pa-ra
largos das de trabajo a cuatro manos y de risas.
Dado que no faltar quien diga que "le estoy agradeciendo hasta
al gato", voy a hacerlo explcitamente: gracias Heg~ln por habenne
acompaado todas estas largas noches de trabajo; como siempre, todo
lo bueno algn da tiene que acabar y ese da lleg para nosotros.
A travs de esta pginas veo a quien, mientras yo trabajaba en
ellas, quiso abrinne su vida; a ella las palabras no la
alcailzan.
Finalmente, tengo que agradecerle con todo mi 90razna.la
Fundacin Bobenrieth-Miserda, pues sin su apoyo en todo senti-do
este proyecto habra sido completamente imposible. Quiero que con
esto quede constancia histrica de su existencia. A su directiva: el
Pap y la Mam, a los otrQS miembros: Katty, Ro-berto, Jano, y muy
especialmente a la Krasna, cuyo nombre no poda estar ausente, y la
Vanessa como aspirante. Sea sta mi contribucin a la causa.
-
INTRODUCCIN
El siglo que est terminando ha modificado substancialmente tanto
nuestra forma de vivir, como nuestra perspectiva frente al mundo.
Es comn destacar las transformaciones que afectan di-rectamente la
vida cotidiana, olvidndose de otras menos osten-sibles pero que han
ido abriendo nuevas perspectivas frente al mundo, y que, a la
larga, pueden llegar a tener implicaciones ms profundas.
Este trabajo quiere ocuparse de un cambio que se ha ido
con-figurando paulatinamente en este siglo y que afecta
profunda-mente el modo como estructuramos nuestras concepciones
sobre la realidad. Este cambio se hizo posible al cuestionar una
obvie-dad, planteando no un nuevo cuestionamiento, sino retomando
uno antiguo, pero ahora desde una nueva perspectiva.
En efecto, desde los orgenes de la cultura occidental, se ha
asumido mayoritariamente que evitar las contradicciones es qui-zs
el ms importante de los requisitos de todo desarrollo racio-nal;
cualquier contradiccin pareca carcomer las bases de toda estructura
deductiva, hacindose necesario evitarla al costo que fuera. No
obstante, desde los orgenes mismos de esta tradicin, diversos
pensadores se han opuesto a ella con planteamientos que van desde
afirmar que este requisito no puede ser tan absolu-to como se
propone, hasta plantear que es del todo errneo.
Esto ha dado lugar a un enfrentamiento que, hasta el siglo
pa-sado, se planteaba en trminos que existe la tendencia a
calificar de especulativos. En este siglo, sin embargo, esta
problem-tica gan una dimensin adicional, pues pas a ser tratada
ade-
xxv
-
;ay; ANDRS BOBENRlETII MISERDA
ms por una disciplina que haba nacido buscando ser tan rigu-rosa
como las matemticas: la lgica simblica.
El paso se dio cuando se descubrieron varias paradojas en el
interior de ciertas teoras matemticas y de estructuras
concep-tuales que buscaban fundamentar esta ciencia. Lo ms
impactan-te fue que estas paradojas no se originaron a partir de
errores particulares, sino que estaban enraizadas en los
fundamentos mismos de las investigaciones lgico-matemticas
contempor-neas.
Este estudio parte de ah: del momento en que empez a pa-sar el
estupor causado por las paradojas; pero ya no para tratar la
historia que al respecto suele contarse, es decir, cmo se
supera-ron utilizando una serie de restricciones tericas, lo que
comen-z con la teora de los tipos lgicos de Russell y la teora
axio-mtica de conjuntos de Zermelo, sino para examinar la otra
his-toria, la historia determinada por una pregunta: Y por qu no
aceptar inconsistencias en los sistemas lgico-deductivos?
Esta otra aproximacin permite ver que despus del surgi-miento de
las paradojas se dieron tres etapas principales. Prime-ro, se
cuestion la validez lgica universal del principio de no
contradiccin, y se plante que al igual que se haban construido
geometras no euclidianas, tambin podran articularse lgicas no
aristotlicas, en la medida en que no aceptaran dicho princi-pio.
Luego, se plante que el problema no radicaba en este pun-to, sino
en otro principio que se conoca desde haca siglos, pero que no haba
despertado especial inters: de dos enunciados contradictorios entre
s se puede deducir cualquier otra expresin bien formada, situacin
que, en caso de darse, desvirta total-mente cualquier sistema
deductivo. Entonces, se asumi que evitar esta consecuencia era una
razn suficiente para rechazar cualquier contradiccin. Pero esta
posicin fue controvertida posteriormente por algunos lgicos que
vieron que es viable construir sistemas lgicos en los que no se da
esta consecuencia, comenzando as la tercera etapa de esta
historia.
-
INCONSISTENCIAS POR. QU NO? :mii
Ese fue el origen de lo que actualmente se conoce como la lgica
paraconsistente, que es una propuesta lgico-formal cuyos primeros
vestigios se dieron en Europa Oriental, pero que slo vino a
desarrollarse como tal en Latinoamrica. De ah se ha ex-tendido a
muchas otras partes, encontrando especial eco en pa-ses como.
Australia, Italia y Polonia, as como en el trabajo de muchos
investigadores en oleos pases.
Ms de tres dcadas han pasado desde cuando esta propuesta comenz
a tomar cuerpo, y se hace cada vez ms necesario mirar hacia atrs
para ver qu se ha logrado; as mismo, es posible en-trever algo de
lo que en esta direccin se puede esperar en el fu-turo. Esta es la
senda en que quiere ubicarse la presente investi-gacin.
Son tres, pues, los objetivos propuestos: primero, recorrer el
camino que dio origen a la lgica paraconsistente, destacando
principalmente las motivaciones metateorticas que la fueron
haciendo posible, y as rescatar ciertas perplejidades que subya-cen
a esta alternativa lgica; segundo, mostrar cmo surgi la lgica
paraconsistente y cules han sido sus resultados ms im-portantes,
haciendo especial nfasis en los que tienen implica-ciones globales;
y tercero, estudiar qu relacin se puede esta-blecer entre la lgica
paraconsistente y el quehacer filosfico, buscando mostrar cmo con
ella se abre una perspectiva de an-lisis frente a ciertos problemas
que van ms all del mbito de la lgica y que se ven directamente
afectados por esta propuesta. Se trata pues de buscar los trazos
filosficos en la senda de la lgica paraconsistente.
Esto nos va a llevar al estudio de una serie de planteamientos
de diversos autores, en cierto orden: Lukasiewicz, Vasiliev,
Hil-bert, Post, Lewis, Pseudo-Escoto, Popper, Jeffreys, Kolmogorov,
Johansson, Jaskowski, da Costa, Arruda, Rescher, Routley, Priest y
Pea. As mismo, examinaremos las lneas generales de diversos
sistemas lgico-deductivos de carcter paraconsistente, desarrollados
por algunos de estos autores, junto con otros.
-
JU~;;; ANDRS BOBEN1UE1H MISERDA
Esta tarea se enfrentar en tres etapas sucesivas. Primero, se
intentar reconstruir una historia que, aunque constituida por hilos
diversos, parece tener un nudo comn de problemas, en cu-yo centro
hay una pregunta: Es posible articular lgicamente un sistema
deductivo que, permitiendo derivar alguna inconsisten-cia, sea
sensato? Esto nos conducir a recorrer en cierto detalle lo que al
respecto se plante desde cuando ya haban aparecido las paradojas
hasta el surgimiento de los primeros sistemas de lgica
paraconsistente, de modo que esta exposicin histrica ir desde 1910
hasta 1968.
Luego, se researn los rasgos caractersticos de diversos sistemas
de lgica paraconsistente que se han desarrollado desde entonces,
poniendo especial atencin en la justificacin global que se presenta
con cada una de estas propuestas, tratando as que las
peculiaridades tcnicas no lleven a perder de vista el sentido que
puede tener la lgica paraconsistente como un todo. Esta exposicin
ya no estar guiada por criterios histricos, sino que buscar las
regularidades y diferencias que se presentan en-tre las distintas
opciones paraconsistentes, haciendo especial n-fasis en las
innovaciones que poseen en cuanto sistemas de lgi-ca simblica.
Todo esto nos dar la base suficiente para examinar en qu sentido
la lgica paraconsistente se puede relacionar con el quehacer
filosfico, y recoger ciertos planteamientos de los auto-res
vinculados a la lgica paraconsistente al respecto. As llega-remos
al objetivo final de este trabajo, que es analizar cmo el
desarrollo de los sistemas formales paraconsistentes afecta
cier-tos problemas que histricamente se han manejado desde una
perspectiva filosfica. Para el efecto se han escogido cuatro
problemas con la conviccin de que son los ms relevantes; ellos son:
los efectos de las inconsistencias en los sistemas deducti-vos, el
referente de las contradicciones, la formalizacin de la dialctica y
lo que el desarrollo de la lgica paraconsistente pue-de aportar a
la reflexin sobre la racionalidad. El propsito es
-
INCONSISTENCIAS poR QU NO? DiJ:
reunir lo que se ha planteado en el mbito de la lgica
paracon-sistente en relacin con ellos, e indagar qu ms se puede
pro-yectar a partir de ah; sin olvidar que todo lo que se diga en
este sentido escapa al alcance de la lgica paraconsistente, pues,
an-tes que nada, ella es una propuesta de carcter lgico-formal y no
pretende dejar de serlo para enfrentar problemas que van ms all de
los .lmites de su propio espacio de saber. No se trata de resolver
ninguno de estos problemas a partir de la lgica para-consistente,
pero s de hacerlos an ms interesantes, en la me-dida en que ella
aporta nuevas herramientas para analizarlos, y tambin lleva a
desvirtuar ciertos supuestos muy arraigados. De manera que con esta
presentacin se busca resaltar los aportes que desde estas
propuestas lgicas puedan permitir entender mejor ciertas
perplejidades que han motivado histricamente a la reflexin
filosfica.
Este trabajo termina con unas consideraciones finales que no
pretenden ser un compendio de lo tratado, sino un espacio para
presentar algunas reflexiones motivadas por todo eso. All se
presentar, primero, una forma global de clasificar los sistemas
deductivos en consideracin a las distintas situaciones que ha
permitido delimitar el desarrollo de la lgica paraconsistente.
Luego, se comentar la posicin que tiende a reducir la lgica
paraconsistente a una simple variacin formal, para mostrar que esta
lgica abarca aspectos, especialmente en relacin a la negacin, que
se le escapan a la lgica clsica y que son funda-mentales para darle
un manejo adecuado a las contradicciones. Tambin se expondrn
algunos argumentos encaminados a evi-denciar las profundas races
que tiene lo contradictorio, como problema, en los sistemas de
conocimiento, buscando mostrar en qu sentido hace parte
ineludiblemente de los procesos raciona-les, a pesar de que
llevemos veinticinco siglos tratando de sepa-rarlos. Y para
concluir, se harn algunas observaciones sobre lo que podemos
aprender de la lgica paraconsistente como opcin intelectual.
-
xu ANDRS BOBENlUE'IH MISERDA
Como se ve, el objeto de estudio de este trabajo son ciertas
investigaciones lgicas de este siglo, pero el propsito no es
plantear alguna innovacin de carcter lgico, o de articular al-gn
nuevo sistema fonnal. La idea es recoger, de acuerdo con la
perspectiva sealada, ciertos aspectos detenninantes del cmulo de
investigaciones lgicas que en este siglo se han orientado a hacer
posible el manejo de inconsistencias dentro de sistemas
lgico-deductivos evitando que ellos se desvirten.
Ahora bien, para estudiar las motivaciones de carcter filos-fico
que subyacen a los distintos sistemas lgicos, es necesario tratar
sus principales rasgos lgicos, y as se har en este texto, en
especial en los captulos IX, X Y XI. No obstante, buscando agilizar
la exposicin, este trabajo tratar principalmente el cl-culo
proposicional o sentencial, que es el nivel ms bsico y de-cantado
de la lgica simblica. No obstante, con esto no se pre-tende limitar
la lgica a ese nivel, ni restarle importancia a los desarrollos ms
complejos, pues parece claro que es en el nivel del clculo de
predicados donde se dan los problemas lgica-mente ms interesantes;
pero tambin es cierto -como afinnan Priest y Routley (1989b: p.
157}- que es en el nivel proposi-cional donde estn las mayores
innovaciones de la lgica para-consistente, las que luego, sin
mayores inconvenientes, se ex-tienden a niveles de anlisis ms
finos, cuando al utilizar cuantificadores y otros dispositivos se
describe la estructura pre-dicativa en el interior de los
enunciados.
Por otra parte, las lgicas no clsicas, en general, son un
im-portante referente paralelo a lo tratado en este trabajo, en la
me-dida en que la lgica paraconsistente es una de ellas. Por esta
ra-zn se ha incluido en el Anexo A una exposicin de diversos
criterios que penniten presentar y clasificar las mltiples
opcio-nes lgicas que se han desarrollado en este siglo, junto con
la variedad de perspectivas que en consideracin a ellas se han
planteado. De modo tal que, para el lector que no est
familiari-zado con estas propuestas lgicas alternativas, puede ser
conve-
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? uxi
niente leer este anexo como contextualizacin previa. En todo
caso, a lo largo del trabajo se asumir como un hecho la exis-tencia
de ~istintos sistemas lgicos que no son totalmente equi-valentes
entre s, cuya viabilidad lleva a rebatir las pretensiones
monolticas en lgica.
As mismo, considerando que los detalles tcnicos de los distintos
sistemas tratados se pueden encontrar en los textos originales, aqu
interesa ms bien mostrar, desde una perspectiva global, cmo se
pueden estructurar sistemas lgicos que, de una u otra manera,
admitan inconsistencias. Con este fin, y para atender ms
directamente la relacin entre las distintas formali-zaciones, en el
Anexo B se presentan los postulados de los sis-temas lgicos que aqu
son ms relevantes: el sistema clsico, el intuicionista, el minimal
intuicionista y varios de los sistemas paraconsistentes --incluido
uno de lgica dialctica--; luego, en el Anexo C, se hace una
comparacin sintctica entre ellos, sealando cules de los principios
lgicos ms destacados son deducibles en cada sistema formal.
Paralelamente, en el Anexo O se presenta un esquema que muestra cmo
a partir de la lgica positiva ~ue no tiene postulados para la
negacin-- se van ar-ticulando otros sistemas lgicos, en la medida
en que se vayan agregando distintos postulados sobre la negacin,
hasta llegar a la lgica clsica.
En cuanto a la bibliografia, se debe sealar que la recoleccin de
textos fue una parte fundamental del trabajo realizado, pues existe
una gran cantidad de escritos sobre el tema, pero estn dispersos en
publicaciones de casi todos los continentes. El pro-psito era hacer
una recopilacin bibliogrfica lo ms extensa posible, lo que se logr
en gran medida; y esto ha permitido que los principales textos de
la lgica paraconsistente estn presentes en esta obra de una u otra
manera. Con el nimo de poner a dis-posicin de futuras
investigaciones esta recopilacin, se ha in-cluido una extensa
bibliografia que tiene dos orientaciones bsi-cas: primero,
privilegiar los textos que tengan mayor relevancia
-
uzii ANDRS BOBENRJEnI MISERDA
filosfica, frente a los ms tcnicos; y segundo, hacer nfa-sis en
los escritos de los autores latinoamericanos de lgica
pa-raconsistente, especialmente Newton C. A. da Costa y Ayda 1.
Arruda, de cuyos escritos sobre lgica paraconsistente se presen-ta
una recopilacin lo ms completa posible. Adems, se ha in-cluido, en
un apartado especial, una serie de textos que tratan la relacin
entre contradiccin y lgica, y que, si bien no han sido todos
abordados en el cuerpo del trabajo, su referencia biblio-grfica
puede ser til para futuras investigaciones sobre el tema.
Quisiera terminar esta introduccin sealando que --como siempre--
no es fcil prever qu alcances pueda llegar a tener en el futuro una
propuesta intelectual como la de la lgica paracon-sistente. Pero ms
all de los resultados que a partir de ella se han obtenido y se
lleguen a obtener, es especialmente interesante cmo ella se fue
estructurando: de qu modo se fue haciendo viable repensar uno de
los ms arraigados presupuestos de nues-tra forma de articular el
saber. Esta opcin ha abierto un horizon-te de preguntas, preguntas
que tocan lo que antes se ocultaba tras el velo de un lugar comn.
Este libro aspira a mostrar cmo fue ese proceso, y tambin quisiera
incitar a relexionar sobre lo con-tradictorio, buscando as
aproximamos a una realidad que, a pe-sar de todos nuestros intentos
por evitarla, hemos de afrontar una y otra vez.
-
ACLARACIONES PREVIAS
Los textos estudiados en este trabajo fueron escritos, en su
gran mayora, en idiomas diferentes al espafiol, especialmente en
in-gls y en portugus, y de pocos hay traducciones. Por eso he
de-cidido establecer dos niveles de texto, aprovechando la
diferen-cia que hay entre el texto principal y las notas de pie de
pgina. As, buscando mantener la fluidez del texto principal, en l
se harn citas slo en espafiol, transcribiendo las traducciones
pu-blicadas o presentando una traduccin hecha para el efecto, cuya
referencia bibliogrfica siempre se cerrar con: [trad.]. En cam-bio,
en las notas a pie de pgina se presentarn citas ms exten-sas en el
idioma original, bien sea incluyendo y ampliando el texto traducido
en el cuerpo principal, o bien presentando el original de un texto
parafraseado en el cuerpo del trabajo. En ambos casos, el nmero de
la cita ir en el texto principal, des-pus del parntesis de la
respectiva referencia bibliogrfica.
He optado por esto, porque muchos de los textos citados no se
encuentran en las bibliotecas de nuestro medio, y estas
trans-cripciones pueden servir como aproximacin directa del lector
a estos textos. Ahora bien, estas citas a pie de pgina no son en
ninguna medida necesarias para seguir la argumentacin del cuerpo
del trabajo, y su lectura puede ser omitida sin mayores problemas.
En las notas de pie de pgina se han incluido casi to-dos los
originales de los textos traducidos, excepto cuando el original est
en portugus, pues al ser una lengua tan prxima al espaol, no parece
que la traduccin pueda cambiar substan-cialmente el sentido del
original. No obstante, se transcribirn los textos en portugus
cuando se ha hecho inevitable usar una
xxxiii
-
zuiP ANDRS BOBENRlErn MISERDA
versin en ese idioma de textos que fueron escritos
originalmen-te en otro idioma, como es el caso, particularmente,
del ruso.
Las referencias bibliogrficas se harn con el sistema
autor-fecha, de acuerdo a los estndares habituales. Slo he
incorpora-do una peculiaridad para los casos donde sea importante
la fecha original de publicacin de un texto: cuando slo se disponga
de una edicin posterior, aparecern las fechas de la edicin
origi-nal y de la edicin utilizada, las cuales se separarn por una
co-ma si la edicin utilizada es una reedicin de un mismo libro; en
cambio, si el texto fue publicado originalmente en otra forma, por
ejemplo, si pas de artculo de revista a un libro de recopi-lacin, o
si fue escrito en otro idioma, se pondr la fecha original entre
corchetes [ l. En todo caso, el ao que precede los dos puntos es el
ao de la edicin consultada, tal como est en la bibliografia.
Despus de las citas textuales slo aparecer, entre parnte-sis,
autor, fecha de publicacin y pginas; en los pasajes en que se est
siguiendo directamente un texto determinado, estas indi-caciones
irn precedidas por ef como abreviatura de eonfer en el sentido de
confrntese o consltese; cuando se remita a otras obras que puedan
complementar lo dicho o darle una fundamen-tacin ms amplia, la
referencia comenzar. por ver. El nom-bre del autor y la fecha de
publicacin de un texto sern rempla-zados por ibid. si se vuelve a
hacer referencia a un mismo texto, sin que se haya citado otro
entre las dos referencias. En caso de que se haya manejado un texto
en su original del cual exista una traduccin til, se har primero la
referencia a la p-gina del texto original y luego a la de la
traduccin, escribiendo trad. y el ao de dicha traduccin. En las
citas sucesivas. cuando la referencia principal se haya remplazado
por ibid, entonces la referencia a la traduccin ser trad. cit..
Es usual hablar, sobre todo en la tradicin anglosajona, del
principio de contradiccin para referirse al principio que pos-tula
la inadmisibilidad de las contradicciones. Esta denomina-
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? .un>
clon no parece adecuada, pues se trata ms propiamente del
principio de no contradiccin, y se utilizar de esta manera durante
todo el texto, entendindose que son denominaciones equivalentes.
Sin embargo, cuando se est siguiendo un texto que hable del
principio de contradiccin, en este trabajo se ve-r escrito
principio de (no) contradiccin .
En los distintos textos de lgica se utilizan diversos trminos,
tales como oracim>, sentencia, enunciado y proposi-cin. Estas
expresiones no son totalmente equivalentes, lo que ha originado
toda una discusin sobre cual de ellas sera la apropiada para los
portadores de verdad; sin embargo, los siste-mas lgicos que se
aplican a ese nivel no reflejan esas diferen-cias, en tanto que son
estructuras formales, siendo sus denomi-naciones ms comunes las de
clculo sentencial y clculo proposicional. En este texto se seguir
fundamentalmente la uti-lizacin que hagan de estos trminos los
autores comentados, de modo que muchas veces se hablar de
proposiciones, pero sin que esto implique que se est asumiendo la
actitud proposicio-nal, tan criticada por Quine. Cuando se haga una
exposicin no vinculada a un autor particular, se hablar
preferentemente de enunciados y, ms en general, de aseveraciones,
incluyendo entonces las expresiones formalizadas en el clculo de
predica-dos. En general, todo lo que se expondr es aplicable a
cualquie-ra de los trminos sealados, en la medida en que se asuma
que lo que ellos designan es a lo que se aplica la lgica.
Algo semejante ocurre con los trminos contradiccin e
inconsistencia, para los cuales tambin se seguir la utiliza-cin de
los distintos autores, asumiendo que se pueden usar
in-distintamente. No se comenzar por dar una definicin precisa de
ellos, pues uno de los objetivos es mostrar cmo el desarrollo de la
problemtica afecta tambin las distintas definiciones que se pueden
dar al respecto, algunas de ellas bastante tcnicas. Globalmente, se
utilizar el trmino inconsistencia de forma ms genrica, asumiendo
que incluye el de contradiccin; sin
-
un; ANDRS BOBENR1ETIf MISERDA
embargo, decir que un sistema deductivo es inconsistente es algo
bastante especfico y que ser analizado ampliamente.
Las comillas dobles (" ") se utilizarn al principio y al final
de toda cita textual, excepto cuando se trata de una cita larga, en
cuyo caso aparecer en cuerpo menor y sin comillas; y las comi-llas
latinas (
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? uxvll
General Russell Lewis Hilbert Lukasiewicz Post Kolmogorov
Jkowski
Negacin ~p -p -p ji Np
Conjuncin pl\q p.q pq P&Q Kpq
Disyuncin pvq pvq pvq PvQ Apq Implicacin material p--+q p=>q
p=>q P--+Q Cpq
Equivalencia p+-+q psq p=q P-Q Epq Simbolos de { [( no tiene {[(
. . .. agrupacin ... . ....
En los textos de la lgica paraconsistente suele usarse alguna de
estas notaciones, o una combinacin de ellas.
-
Captulo] LAS PARADOJAS Y
LA PRIMERA POSTURA NO CLSICA: EL JOVEN LUKASIEWICZ
1. LAS PARADOJAS LGICAS DEL CAMBIO DE SIGLO
La lgica simblica, a finales del siglo pasado, se haba
consoli-dado como una fonna rigurosa de tratar los principios del
razo-namiento. Cinco dcadas haban pasado desde la publicacin de los
primeros trabajos de Boole, y en ellas la lgica moderna se haba
desarrollado enonnemente con las investigaciones de auto-res como
De Morgan, Peirce, Schroder, Frege y Peano. Una nueva perspectiva
se haba estructurado frente a la lgica, que buscaba separarse de lo
que consideraba especulaciones meta-fsicas, procurando obtener
mayor rigor por medio de la arti-culacin de sistemas fonnales de
clculo lgico.
El proyecto original de Boole era establecer un lgebra de la
lgica, en el sentido de estructurar un anlisis de tipo matem-tico,
es decir, basado en el manejo de smbolos cuyas leyes de combinacin
fueran generales y conocidas, pero ahora desvincu-lado de nociones
cuantitativas, ya que tratara con clases de obje-tos que podan ser
tanto reales como conceptuales, lo que haca posible una
interpretacin en el mbito de las leyes del pensa-miento que
resultara coherente (el Bochenski 1985: p.293s; Kneale I Kneale
1980: p. 375). A partir de esto, el clculo lgico fue desarrollado
por varios autores, hasta que esta propuesta al-gebraica fuera
perfeccionada, especialmente por Schroder.
-
2 ANDRS BOBENRIETH MISERDA
Por otra parte, Frege, Peirce y Peano, de fonna independien-te,
comenzaron a trabajar hacia 1880 en la posibilidad de propo-ner una
fundamentacin lgica de las matemticas. Para ello se hizo necesario
ampliar el lenguaje lgico, surgiendo as las fun-ciones lgicas junto
con los cuantificadores para ligar variables, articulados en un
clculo de predicados que pennita expresar lgicamente los trminos
matemticos. Con esta base, Frege lo-gr desarrollar el primer gran
sistema en el que a partir de unos cuantos axiomas se podan deducir
gran nmero de teoremas lgico-matemticos (ef Bochenski 1985: p.
283). Haba surgido entonces lo que, siguiendo una sugerencia de
Peano, se llamara lgica matemtica.
De este modo, se logr primero matematizar la lgica y luego se
busc concentrar las matemticas puras en la lgica. Como resultado de
esto, la lgica pas a considerarse como una disci-plina matemtica,
presentada como la ciencia que estudia a pro-fundidad el mtodo
axiomtico deductivo.
Una de las bases fundamentales de estos desarrollos eran los
principios lgicos tradicionales, ahora adaptados a la formaliza-cin
moderna; especialmente el principio de no contradiccin, sin el cual
se asuma que no era posible hacer ningn razona-miento correcto, ni
decir algo con sentido sobre la realidad.
En esa poca, uno de los problemas centrales de las matem-ticas
era el concepto de nmero y las relaciones entre sus distin-tas
clases. En este campo, Cantor, utilizando lo que se conocera como
el mtodo de la diagonal, mostr una diferencia esencial de la clase
de los nmeros reales frente a la de los nmeros natu-rales y la de
los racionales (ver Kleene 1974: p. 17s), y luego, a fin de manejar
adecuadamente cmulos infinitos como stos, propuso .Ia teora de
conjuntos'. Esta teora produjo una serie de
Del amplio desarrollo que constituye la teora de conjuntos de
Cantor, conviene aqu recordar ciertos puntos muy bsicos. Cantor
entenda por conjun-to [MengeJ cualquier "coleccin en un todo de
detenninados y distintos objetos de nuestra percepcin o nuestro
pensamiento, llamados los elementos del con-junto." (Cantor apud
Kneale / Kneale 1980: p. 405). Los elementos pertene-
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? J
resultados sorprendentes, como relativizar aquello de que el
todo es mayor que la parte, lo cual origin muy diversas y
encontra-das reacciones, pero sin duda marc profundamente lo que de
ahf en adelante sera el trabajo en matemticas.
Este era el panorama a finales del siglo pasado, en el que ha-ba
un marcado optimismo, justificado por los resultados obteni-dos en
las investigaciones lgico-matemticas. Sin embargo, de pronto
comenzarn a surgir problemas importantes, problemas que, contrario
a lo que originalmente se pens, no eran fcilmen-te solucionables.
Esto, sin duda, fue desconcertante.
Quien ms tuvo que ver con esta situacin fue Bertrand RusseJl.
Habiendo estudiado matemticas y filosofia, se gradu con una tesis
sobre los fundamentos de la geometra, bajo directa influencia de
las corrientes neohegelianas britnicas, lo que se expresaba en una
concepcin dialctica de la ciencia. Hacia
cen al conjunto, y si todos los elementos de un conjunto tambin
pertenecen a otro conjunto entonces se dice que ese primer conjunto
es subconjunto del otro, es decir, que estA contenido o incluido))
en l. Luego Cantor plantea que en relacin con los conjuntos se
puede primero hacer abstraccin de qu son sus elementos y, luego,
del orden en que estAn dados. Si se hacen ambas abstracciones, se
obtiene el
-
., ANDRS BOBENRIEnI MISERDA
1898, comenz a trabajar sobre los fundamentos de las matem-ticas
y, gradualmente, fue conociendo los trabajos de Cantor, Peano y
Frege. Esto lo llev a abandonar su anterior perspectiva, y asumir,
de plano, el proyecto de definir los conceptos mate-mticos en
trminos lgicos y de mostrar que los teoremas ma-temticos eran
deducibles de principios lgicos fundamentales2
Trab~ando en la teora de conjuntos, Russell comenz a ver ciertas
falacias o errores en relacin con los nmeros trans-finitos de
Cantor; esto lo llev a examinar dicha teora ms a fondo, con la
esperanza de poder explicarlos. Consider primero la clase de todas
las clases, y luego, observando que haba algu-nas clases que pueden
ser miembros de s mismas (p. ej. la clase de las entidades
abstractas, que ella misma es una entidad abs-tracta), mientras que
las otras clases no pueden ser miembros de s mismas (que seran la
inmensa mayora, p. ej. la clase de los libros no es ella misma un
libro), lleg a considerar lo que sera la clase de todas las clases
que no son miembros de s mismas. Ante ella se pregunt si perteneca
o no a s misma, y descubri que si se asuma que perteneca a s misma,
esto implicaba que no perteneca a s misma, y que si se asuma que
no, entonces re-sultaba que s perteneca a s misma. Esta clase
llevaba, pues, a una contradiccin. Naca as, en la primavera de 190
1, la para-doja de Russelb)l.
El mejor estudio que he encontrado sobre este perodo est en
Garciadiego 1992, y es la base principal de la presente exposicin.
Con respecto a estos an-tecedentes histricos, se puede consultar el
cap. III de ese libro. 1 Russell, en su Autobiografa, narra asl
este descubrimiento:
"Cantor tenia una prueba de que no existe el nmero mayor. y a m
se me antojaba que el nmero de todas las cosas del universo debla
ser el mayor po-sible. De acuerdo con ello, examin su prueba con
alguna minuciosidad, y me esforc por aplicarla a la clase de todas
las cosas que existen. Ello me llev a considerar aquellas clases
que no son miembros de si mismas y a inquirir si la clase de tales
clases es o no es un miembro de s misma. Descubr que cada una de
las respuestas lleva implcita su rplica contradictoria." (Russell
(1967] 1990: p. 210).
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? J
Russell pens originalmente que seria sencillo resolver este
problema, pero a medida que fue profundizando en el asunto se dio
cuenta de que era una enorme tarea. Le escribi a Peano so-bre el
asunto y, al no recibir respuesta, decidi escribirle una carta a
Frege (ver Van Heijenoort [ed.] 1967: p. 124s), pues vio que esta
paradoja, si se planteaba en trminos de predicados't, tambin era
derivable en el sistema que el lgico alemn haba propuesto en el
primer tomo de su obra Las leyes fundamentales de la
aritmticti.
Una semana despus, Frege contest dicindole: Su descubrimiento de
la contradiccin caus en mi la ms gran-de de las sorpresas y casi
dirfa consternacin, pues ha sacudido las bases sobre las cuales yo
proyectaba construir la aritmtica. (Frege apudVan Heijenoort [ed.]
1967: p. 127 [trad.]).
Luego sefiala el postulado especfico que permita derivar esa
contradiccin en su sistema y la importancia que tena, y enton-ces
le dice a Russell: "su descubrimiento es muy notable y qui-zs
llevar a grandes avances en lgica, a pesar de lo indeseable que
puede parecer a primera vista." (lbid. p. 128 [trad]).
El segundo tomo de aquella obra estaba por aparecer y Frege no
dud en anexarle un apartado en que deca:
Nada ms descorazonador podrfa acontecerle a un autor cien-tffico
que ver resquebrajarse uno de los pilares de su edificio tras haber
dado la tarea por concluida. Esta es la situacin en la cual me ha
puesto una carta del Sr. Bertrand RusselI [ ... ].
Hay una historia detallada del surguimiento de las paradojas en
el cap. IV de Garciadiego 1992. 4 "Sea w el siguiente predicado:
ser un predicado que no se puede predicar de s mismo. Puede w
predicarse de si mismo? De cada respuesta se sigue su opuesto."
(Carta de Russell a Frege del 16-VII-t902. apud Van Heijenoort
[ed.] 1967: p. 125 [trad.]). s Frege, Gottlob: Grundgesetze der
Arithmetik. begriffischriftlich abgeleitet vol. 1 (Jena: 1893)
[Este libro est en la "Bibliografla de la lgica simblica" de Alonzo
Church (1936) con el nmero 49./0).
-
6 ANDRS BOBENIUETH MlSERDA
Solatium miseris, socios habuisse malorum. Tambin a m me queda
ese consuelo, si as puede llamrsele; pues quienquiera que haya
hecho uso en sus demostraciones de extensiones de conceptos, clases
o conjuntos se hallar en la misma situacin que yo. Lo que aqu est
en cuestin no es precisamente mi mo-do particular de fundamentar la
aritmtica, sino la misma posi-bilidad de que esta ltima tenga algn
fundamento lgic06
Por su parte, Russell estaba por publicar un libro llamado Los
principios de la matemtica (Russell [1903] 1977), y, en virtud de
la respuesta de Frege, decidi agregarle un captulo dedicado a la
contradiccin y un anexo en el que se daban las bases de una posible
solucin. En esta obra, Russell tambin mencion otros resultados
contradictorios de la teora de conjuntos de Cantor (el Garciadiego
1992: p. 163s), uno en relacin con los nmeros ordinales y otro en
relacin con los cardinales1 El primero haba sido presentado por
Burali-Frti, un lgico italiano de la escuela de Peano, en una
publicacin de 18978 Y el segundo, luego se vera que ya Cantor lo
haba encontrado, alrededor de 1895, quien se lo habra mencionado a
Dedekin en una carta de 18999
El libro apareci sin que Russell llegara a sentirse satisfecho
con su aproximacin al tema (el Russell [1903] 1977: p. 23). No
obstante, es claro que origin un cambio de perspectiva frente a
esas inconsistencias de la teora de conjuntos. Se haba descu-
El texto original est en Frege, Gottlob: Grundgesetze der
Arithmetik vol. 11 (Hildesheim: Georg Olms Verlagsbuchandlung,
1966) p. 252. Esta traduccin est tomada de Kneale / Kneale 1980: p.
606, aunque, siguiendo el original, he corregido en la expresin
latina dolorum por malorum. 1 Estos textos estn en las seco 301 Y
seco 344 (RusselI [1903] 1977: p. 370s y p. 412). Su importancia
ser destacada en la introduccin que Russell hara para la segunda
edicin (el RusselI [1903] 1977: p. 165). 8 Burali-Forti, c.: "Una
questione sui numeri transfiniti", Rendiconti del Cir-culo
Matematieo di Palermo, vol. XI (1897) p. 154-164. [Bibl. Church
(1936) nm. 86.12). Traducido al ingls en Van Heijenoort (ed.) 1967:
p. 104-111. 9 Existe mucha controversia sobre los hechos histricos
relacionados con este descubrirmiento de Cantor; incluso se afirma
que Cantor habra descubierto antes que Burali-Forti lo que l public
(el Kneale / Kneale 1980: p. 606). Al respecto se puede consultar
Garciadiego 1992: cap. 11.
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? 7
hierto una contradiccin que se poda derivar tanto en los
siste-mas lgicos ms avanzados, as como en las nuevas teoras
ma-temticas, y esto estaba marcado por la especial sensibilidad que
con respecto al tema de las contradicciones tena Russell, pro-ducto
de su anterior orientacin filosfica. A partir de ah, seran
tematizados cada uno de estos resultados como contradiccio-nes, y
luego llegaran a conocerse como las paradojas de Russell,
Burali-Forti y Cantor 10.
El joven autor britnico se dedic a reflexionar profundamen-te
sobre el temall y gradualmente fue viendo que se haca nece-sario
una revisin profunda de todo el proyecto de fundamenta-cin de las
matemticas, tarea que ahora tambin deba incluir la teora de
conjuntos. Paralelamente, otros autores, especialmente a partir de
la nota de Frege y el libro de Russell, fueron sumn-dose a la
preocupacin alrededor del tema de las paradojas (ef Kneale / Kneale
1980: p. 1903; Bochenski 1985: p. 403s). Esta-
10 La paradoja de Cantor se basaba en su demostracin de que el
nmero car-dinal de un conjunto es menor que el de su conjunto
potencia; pues bien, si se considera el conjunto de todos los
conjuntos, l debe contener incluso su con-junto potencia --en tanto
que tambin es un conjunto--, pero, como se habla demostrado en otro
teorema de la teora, el nmero cardinal de un conjunto es mayor o
igual que el de sus subconjuntos; esto implica que que el nmero
car-dinal de este conjunto de todos los conjuntos tiene que ser
mayor o igual que el de su conjunto potencia, lo que contradice el
resultado original (ver Kleene 1974: p. 43; Kneale / Kneale 1980:
p. 606; Garciadiego 1992: 66ss). La parado-ja de Burali-Forti es
algo ms complicada y no es aqul especialmente relevante, por lo que
el lector interesado puede remitirse, por ejemplo, a Whitehead /
Russelll91O, 1960: p. 60; Quine 1963: p. 1705; Garciadiego 1992: p.
S4ss. 11 "Todas las mallanas me sentaba ante una hoja de papel en
blanco. Durante todo el dla, salvo un breve intervalo para comer,
miraba fijamente la hoja en blanco. A menudo, cuando llegaba la
noche, la hoja seguia intacta [ ... ) los dos veranos de 1903 y
1904 estn grabados en mi mente como un periodo de un absoluto
estancamento intelectual. Era evidente para mi que no podla seguir
sin resolver aquellas contradicciones, y estaba resuelto a que
ninguna dificultad me desviase del propsito de completar los
Principia Matematica, pero pareela muy probable que el resto de mi
vida se consumiera contemplando aquella hoja en blanco" (Russell
[1967] 1990: p. 217).
-
8 ANDRS BOBENRJETII MISERDA
ban en juego logros fundamentales de las investigaciones
lgico-matemticas de la segunda mitad del siglo XIX.
A partir de 1904, en vez de surgir soluciones, comenzaron a
emerger otras paradojas. Revivi el inters por antiguas parado-jas,
como la del cretense que dice ''yo miento", y se plantearon otras
semejantes. La peculiaridad de estas otras paradojas fue que ya no
estaban directamente vinculadas a un sistema lgico-matemtico
particular, sino que afectaban la estructura signifi-cativa del
lenguaje en general. De modo que, adems de las pa-radojas
lgico-matemticas, ahora se tena un nuevo tipo de pa-radojas, las
cuales despus se denominaran paradojas semn-ticasI!.
Toda esta situacin produjo una conmocin en el mbito de las
ciencias deductivo-formales, y fue decisiva para lo que desde
entonces se hizo, pues llev a un replanteamiento profundo de los
fundamentos tanto de las matemticas como de la lgica. Las paradojas
estaban directamente vinculadas con la inveterada tradicin del
pensamiento occidental, que consideraba que una contradiccin de
cualquier tipo carcome a fondo las bases de cualquier razonamiento;
y este dao resultaba an ms grave cuando se trataba de las ciencias
que pretendan tratar rigurosa-mente las estructuras formales del
pensamiento.
Se puede decir que esta problemtica fue determinante para las
tres grandes escuelas de fundamentacin de las matemticas: el
formalismo, el logicismo y el intuicionismo.
El formalismo se prefigur alrededor de 1900. En ese ao, David
Hilbert, que ya se haba enfrentado a las inconsistencias de la
teora de conjuntos l ), pronunci en Pars una famosa confe-rencia
sobre los "Problemas matemticos"14, en la que present
12 En Haack 1982 (p. I 58ss) hay una presentacin global de las
ms importan-tes paradojas; tambin en Marciszewski 1981 (p. 22ss),
donde se hace una ex-p:osicin ms precisa de cada paradoja. ) As se
seala en una carta de 1903 a Frege. (el Garciadiego 1992: p.
172).
14 Hilbert, David: "Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten
auf dem in-temationalen Mathematiker Kongress zu Paris 1900",
Nachrichten von der
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? 9
los problemas que a su parecer seran los ms importantes en el
siglo que comenzaba. Habl entonces de diez problemas ---el lexto
contena veintitrs--; y el segundo lo denomin "la no contradiccin de
los axiomas de la aritmtica", y lo enunci asf:
Deseo seftalar el siguiente como el ms importante entre los
nu-merosos problemas que pueden plantearse en relacin con los
axiomas: Demostrar que no son contradictorios entre sI, esto es.
que a partir de ellos. y en un nmero finito de pasos lgicos. nunca
se puede llegar a resultados contradictorios. (Hilbert [1900] 1981:
p. 40).
Este criterio haca necesario buscar pruebas de consistencia para
los sistemas axiomticos, lo que para el matemtico alemn se tena que
hacer por un mtodo directo.
El planteamiento de Hilbert era radical, hasta el punto de
afirmar que: "Si a un concepto se le asignan atributos
contradic-torios, yo sostengo que, malemticamente el concepto no
existe." (lbid. p. 4]). Yeso tambin vale en sentido contrario, pues
con-sidera que si se puede demostrar que los atributos asignados a
un concepto no pueden llevar en un nmero finito de pasos a una
contradiccin, entonces la existencia matemtica del objeto ha-bra
sido demostrada (cf ibid.). En esta lnea, la no contradicto-riedad,
o consistencia, resulta no slo ser una condicin necesa-ria sino
tambin suficiente para que algo sea considerado un objeto
matemtico. Se trataba, entonces, de un criterio totalmen-te formal,
en virtud del cual lo primero que se debe hacer es evitar cualquier
contradiccin a toda costa. En consecuencia, la propuesta formalista
se centrara en construir sistemas axiomti-co-deductivos, cuya
consistencia se hara todo lo posible por demostrar, para as buscar
excluir la posibilidad de que surgieran nuevas paradojas.
Kaniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gatlingen (1900)
p. 253-297. [Bibl. Church (1936) nm. \08. J]. Versin en espaflol en
Hilbert 1981.
-
10 ANDRS BOBENIUE11f M1SERDA
Por otra parte, las investigaciones de Russell sobre el tema lo
llevaron a tratar de recopilar las distintas paradojas que fueron
dndose a conocer e intentar darles una solucin global. Su pro-psito
era retomar el proyecto de Frege, as como sus propios
planteamientos presentados en Los principios de la matemtica, pero
ahora evitando las paradojas, proyecto que sera conocido como
ellogicismo. Para realizar esta tarea contaba ahora con AI-fred
Whitehead, que haba sido su maestro en matemticas.
Russell lleg a la conclusin de que todas las paradojas se daban
por lo que Poincar haba denominado el crculo vicio-so (e! Kneale I
Kneale 1980: p. 608s), y seal que las parado-jas se producan por
violar lo que seran distintos tipos lgi-cos, de modo que si se
hacan las debidas restricciones, los enunciados de las paradojas se
convertan en expresiones sin sentido. Esta solucin fue publicada en
190815 e iba en la lnea de la que haba esbozado en 1903, pero ahora
superando los problemas que se le haban visto. Con esta base,
Russell y Whi-tehead publicaron en 1910 el primer tomo de su
monumental obra Principia Mathematiea, donde buscaban reconstruir
los sistemas anteriores para evitar la reaparicin de
contradiccio-nesl6 De hecho, el segundo captulo de la introduccin
estaba especialmente orientado a resolver las distintas paradojas
que hasta entonces se haban descrito, haciendo una exposicin
sis-temtica de ellas, para. luego presentar la solucin que los
auto-res proponan (e! Whitehead I Russell 1910, 1960: p. 60ss).
A partir de entonces, la opcin segn la cual, ante el
surgi-miento de ciertas contradicciones, se haca necesario corregir
a fondo los sistemas que haban dado lugar a ellas, fue acogida
por
15 Russell, Bertrand: "Mathematical logic as based on the theory
of types" American Journal 01 Mathematics 30 (1908) p. 222-262.
[Bibl. Church (1936) nm. 111.16]. 16 As! lo declaran en el
prefacio: "A very large part of the labor involved in writing the
present work has been expended on the contradictions and para-doxes
which have infected logic and the theory of aggregates." (Whitehead
I Russell 1910, 1960: p. vii).
-
INCONSISTENCIAS poR QU NO? 11
la gran mayora de los investigadores del rea; y, en este
sentido, la obra Principia Mathematica se convirti en un eje de
refe-rencia fundamental. Matemticos y lgicos como Hilbert y sus
discpulos, as como otros jvenes, tales como Post y G&lel, se
dieron a la tarea de hacer demostraciones de consistencia para los
distintos sistemas lgicos. Por su parte, investigadores como
Zermelo, Fraenkel, von Neumann y otros, interesados
particu-larmente en la teora de conjuntos, se esforzaron por
reformular-la axiomticamente, haciendo las restricciones necesarias
para evitar que se derivaran paradojas como las de Cantor y
Burali-Forti.
Diferente fue el caso de Brouwer y el intuicionismo, pues l
consideraba que el problema no radicaba en los sistemas
lgico-matemticos de los que se haban originado las paradojas, u
otros de su tipo, sino que estaba en la concepcin misma de las
matemticas, lo que se evidenciaba en el manejo de los conjun-tos
infinitos. Brouwer propuso entonces una visin alternativa frente al
quehacer en matemticas, que cortara de raz la posibi-lidad de que
surgieran problemas tales como las paradojas de la teora de
conjuntos; no obstante, esto implicara renunciar a im-portantes
herramientas matemticas, como veremos en el ~aptu-lo "11. "
Si se considera en conjunto la reaccin frente a las paradojas,
se puede decir que el rechazo de cualquier contradiccin fue la
opcin general; sin embargo, tambin a principios de este siglo
surgieron algunos planteamientos que abordaron esta
problem-tica"desde una perspectiva completamente diferente. Y si
bien en su momento ellos no tuvieron mayor repercusin, actualmente,
y desde hace ya varias dcadas, han surgido" importantes
desarro-llos en el mismo sentido. La opcin de "las tres grandes
escuelas --acabar con las contradicciones" de una u otra forma-- ha
sido bastante divulgada, pero no ha ocurrido lo mismo con la otra
opcin, la de quienes han planteado que esto no es tan imperio-so.
El presente libro busca llenar, al menos en parte, ese vaco,
-
/2 ANDRS BOBENRlIITH MlSERDA
por lo que uno de nuestros ejes temticos va a ser lo que se
po-dra llamar la otra historia a partir de las paradojas.
2. EL PRIMER CUESTIONAMIENTO DEL PRINCIPIO DE (NO) CONTRADICCIN:
EL JOVEN LUKASIEWICZ 2.1. La lgica simblica y el estudio del
principio de (no) contradiccin en Aristteles En el mismo ao en que
apareci Principia Mathematica, Jan Lukasiewicz -filsofo y lgico
polaco- public un libro en polaco cuyo ttulo traducido sera "Sobre
el principio de con-tradiccin en Aristteles"17 y un artculo en
alemn con el mismo ttulo "ber den Satz des Widerspruchs bei
Aristoteles" (Luka-siewicz 1910)18.
El segundo texto comienza afirmando que la lgica simb-lica,
"fundada por G. Boole y desarrollada poderosamente a tra-vs del
trabajo de De Morgan, Pierce (sic), Schroder, Frege,
Peano,B.Russell, etc." (Lukasiewicz [1910] 1971: p. 485 [trad.]),
haca necesaria la revisin de la lgica tradicional y los prin-cipios
lgicos planteados en la antigedad, en la medida en que, al igual
que la moderna geometra haba permitido desarrollar una geometra no
euclidiana, tambin era posible desarrollar una lgica no
aristotlical9 Esta perspectiva conduca a revisar las leyes lgicas
bsicas para, en primer lugar, reformularlas utili-
17 O zasadzie sprzecznoSci u Aryslotelesa. Studium krytyczne
(Krak6w: 1910). Bibliografia de Church (1936): nmero 186.2. 18 Es
el primer texto de Lukasiewicz incluido en la Bibliografla de
Church (1936) con el nmero 186./. Seguir la traduccin inglesa de V.
Wedin: (Lukasiewicz [1910] 1971) porque la versin original no es
accesible, y adems todos los autores de lgica paraconsistente
aparentemente se han basado en esta versin. Hay una traduccin
francesa reciente en el primer nmero de la revista del College
International de Philosophie: Rue Descartes no. 1-2 (1991). 19 "One
eannot coneeal the fact thal, compared with traditional formal
logic and especia/ly the /ogic o[ Aristo!/e. modern symbolic /ogic
poinls lo and sig-nifies an improvement similar in kind to that o[
modern geometry over Euclid's e/ements." (Lukasiewicz [1910] 1971:
p. 485s).
-
INCONSISTENCIAS poR QU NO? I J
:f.ando el instrumental lgico-formal contemporneo y, luego,
es-tudiar qu tipo de relacin exista o tena que existir entre ellas.
Eso permitira, en primera instancia, ver si son independientes
entre s, o si se puede encontrar una o varias leyes o principios ms
fundamentales; como segunda instancia, ver si estas leyes tienen
una validez irrestricta, o si se deben admitir ciertas
ex-cepciones; y finalmente, ver qu justificacin puede tener
aque-llo de que estas leyes son irrefutablemente verdaderas.
Establecidos estos parmetros, Lukasiewicz aborda el estudio del
principio de (no) contradiccin, concentrndose en los argu-mentos de
Aristteles, pues considera que ellos siguen constitu-yendo una de
las formulaciones ms exhaustivas y claras que se han dado para
defender dicho principio; es ms, en la medida en que estos
argumentos se han seguido invocando desde entonces para defender la
validez universal de este primer principio, al examinarlos tambin
se examina toda la tradicin al respect020
Lo primero que hace Lukasiewicz es mostrar que Aristteles
presenta en el libro r de la Metafsica tres formulaciones
dife-rentes del principio de (no) contradiccin: (a) ontolgica: "Es
imposible que algo pertenezca y no pertenezca a la misma cosa al
mismo tiempo y en el mismo sentido" (lOOSb 19-20)21; (b)
20 "Now Aristotle's intuitions regarding the principIe of
contradictionare, for most part and c1ear down to the present day,
the usual and traditional ones; and argument for and against the
principIe can be found together in the Stagirite in greater
completeness than in any one modem textbook of logic." (Lukasiewicz
[1910] 1971: p. 487). 21 Traduzco al espaftolla versin directa del
griego que Lukasiewicz da en su texto (el Lukasiewicz [1910] 1971:
p.487). Valentln Garcla Yebra traduce el pa-saje completo as!:
"Y el principio ms firme de todos es aquel acerca del cual es
imposible engaftarse; es necesario, en efecto, que tal principio
sea el mejor conocido (pues el error se produce siempre en las
cosas que no se conocen) y no hipottico. Pues aquel principio que
necesariamente ha de poseer el que quiera entender cualquiera de
los entes no es una hiptesis, sino algo que necesariamente ha de
conocer el que quiera conocer cualquier cosa, y cuya posesin es
previa a todo conocimiento. AsI, pues, tal principio es
evidentemente el ms firme de todos. Cul sea ste, vamos a decirlo
ahora. Es imposible, en efecto, que un mismo
-
14 ANDRS BOBENlUElH MlSERDA
lgica: "el ms cierto de todos los principios bsicos es que
pro-posiciones contradictorias no son verdaderas simultneamente"
(lOllb 13-14)22; y (c) psicolgica: "nadie puede creer que algo
pueda -al mismo tiempo-- ser y no ser" (IOOSb 23-24)23. Cada una de
estas formulaciones tiene un significado diferente y Aristteles
fundamenta cada una de manera distinta, por lo cual conviene
analizarlas por separado y en detalle.
As pues, con relacin al principio psicolgico de (no)
contradiccin, Lukasiewicz apunta que no puede ser demostrado a
priori, pues se trata de una ley de la experiencia, y que ni
Aris-tteles, ni nadie sefi.alado por l, lo haba demostrado
em-pricamente. Agrega el lgico polaco que se debe tomar en cuenta
que filsofos como Husserl han dudado de la validez uni-versal de
esta le~, y otros como Hegel han afmnado cons-cientemente
contradicciones (Lukasiewicz [1910] 1971: p.492).
atributo se d y no se d simultneamente en el mismo sujeto y en
un mismo sentido (con todas las dems puntualizaciones que pudiramos
hacer con miras a las dificultades lgicas). ste es, pues, el ms
firme de todos los principios. pues se atiene a la definicin
enunciada. Es imposible, en efecto, que nadie crea que una misma
cosa es y no es, segn, en opinin de algunos, dice Herclito. Pues
uno no cree necesariamente todas las cosas que dice. Y si no es
posible que los contrarios se den simultneamente en el mismo objeto
(y aftadimos tambin a esta premisa las puntualizaciones de
costumbre), y si es contraria a una opinin la opinin de la
contradiccin, est claro que es imposible que uno mismo admita
simultneamente que una misma cosa es y no es. Pues simult-neamente
tendrla las opiniones contrarlas el que se engaftase acerca de
esto. Por eso todas las demostraciones se remontan a esta ltima
creencia; pues ste es, por naturaleza, principio tambin de todos
los dems axiomas." Aristteles: Metaflsica (Barcelona: Gredos,
1982), p. l66ss (IOO5b 13-34). 22 Este pasaje es el que cierra la
presentacin del principio de no contradic-cin en el libro r de la
Metafuica, que en la misma traduccin se lee asf:
"Asf, pues, para mostrar que la opinin ms firme de todas es que
no son verdaderas simultneamente las afirmaciones opuestas, y qu
les ocurre a los que tal sostienen, y por qu lo sostienen, baste
con lo dicho." Aristteles: Me-tafuica (Barcelona: Gredos, 1982), p.
206ss (IOllb 13-16). 2J Ver la traduccin de todo el pasaje en la
nota 21. 24 Cita a Husserl en Logische Untersuchungen vol. 1
(Halle: 1900), p. 82. Este texto est en la traduccin espaftola en
Husserl, Edmund: Investigaciones 16gi-cas vol. 1 (Madrid: Alianza
ed., 1982), p. 89s.
-
INCONSIS'lENCIAS POR. QU NO? I S
En suma, su mbito escapa totalmente de las investigaciones de
carcter lgico2S
Al pasar a estudiar las otras dos afirmaciones, se seftala que
Aristteles presenta, como leyes ltimas indemostrables, tanto el
principio ontolgico de (no) contradiccin, como el lgico, y es-lo es
cuestionable en la medida en que su formulacin se apoya en otras
nociones: por una parte utiliza el concepto de negacin y, por otra,
al hablar de "al mismo tiempo y en el mismo sen-tido", est
invocando el principio de identidad (/bid. p. 493). In-cluso, para
Lukasiewicz ni siquiera este ltimo principio sera autoevidente,
pues tambin es demostrable a partir de la defi-nicin de
proposiciones verdaderas, es decir, que una proposi-cin afirmativa
se dice verdadera cuando ella confiere a un obje-to la
caracterstica apropiada a ste, la cual considera que s sera
realmente autoevidente26
Ahora bien, Aristteles plantea que, si bien no se pueden dar
demostraciones directas genuinas, se pueden dar demostraciones de
la imposibilidad de que proposiciones contradictorias sean ciertas
al mismo tiempo. Lukasiewicz analiza en detalle las dis-tintas
argumentaciones aportadas por el Estagirita en este sentido
2~ ''The psychological fonnulation of the principIe of
contradiction must, therefore, be excluded from further
investigations as a thesis of questionable worth which is to be pro
ven empirically but as yet remains unproved." (Lukasiewicz [1910]
1971: p. 493).
Ms de medio siglo despus, Piaget emprendi esta investigacin
empIrica, la que lo llev a "adoptar con respecto a la contradiccin
un punto de vista muy definido; sostenemos que no constituye ni una
necesidad interna del pensa-miento, ni un accidente debido a
simples defectos de fonnalizacin, sino que es la expresin de
desequilibrios inicialmente inevitables debidos a la falta de
ajuste recIproco entre los factores positivos y negativos, puesto
que toda ac-cin, toda percepcin y toda orientacin se orientan, en
sus comienzos, sola-mente hacia los elementos positivos de la
realidad". (Piaget 1978: p. 1 s). 26 "There is only one principie
which cannot be demonstrated in tenns of other principies but which
is rather true and demonstrated through itself [durch sich selbst].
This is the proposition: ((An affinnative proposition 1 des-ignate
as true, when it confers on an object the characteristic
appropriate to it." (Lukasiewicz [1910] 1971: p. 494).
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/6 ANDRS BOBENIUETH MISERDA
y muestra que caen en alguno de los siguientes casos: prueban
algo distinto, como el principio de doble negacin; o son una
peticin de principio, en la medida en que presuponen el princi-pio
de (no) contradiccin; o, fmalmente, prueban que no puede ser cierta
la afirmacin de que todo es contradictorio, lo cual no tiene que
ser necesariamente afirmado por quienes rechazan este principio, o
piden una prueba de l.
El artculo agrega que, para Aristteles, el principio de (no)
contradiccin opera slo para la existencia actual, acep-tando
virtualmente las contradicciones en el mbito del ser es-trictamente
en potencia que, al no haberse determinado an, puede tener
caractersticas antitticamente opuestas al mismo tiemp027. Apoyado
en esto, Lukasiewicz concluye que, en Arist-teles, dicho principio
no se debe ver en ltimas como una ley ontolgica general, sino ms
bien debe pensarse como una ley metafsica28
Ahora bien, en cuanto a la lgica, no es cierto que el principio
de (no) contradiccin sea el ms alto de todos los principios, en el
sentido de que sea presupuesto por todos los otros principios, pues
el mismo Estagirita reconoca que el principio del silogis-mo puede
aplicarse incluso con una premisa que involucra una contradiccin,
lo cual lo hara ser independiente del principio de (no)
contradiccin29 Agrega Lukasiewicz que, en el contexto de
27 Para apoyar esto se cita el pasaje 1009a 22-36 del libro r de
la Metafsica. 28 "Accordingly, it must be established that the
principie of contradiction is to be thought of not as a general
ontological law but rather as a metaphysical one, which is supposed
to hold for substances primarily and with respect to which it is at
least questionable whether its range of validity extends to
appearances as well." (Lukasiewicz [1910] 1971: p. S02). 29
Lukasiewicz cita un pasaje de los AnaUticos posteriores (AII, 77a
10-22), y despus lo explica asl:
"According to Aristotle this syllogism is val id (A = living
creature, B = man, e = eallias):
Bis A (and not also not-A) e, which is not-e, is B and not-B
e is A (and not also not-A)
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? 17
111 lgica simblica, se haba demostrado que una serie de
prin-cipios podran seguir siendo vlidos incluso si el de (no)
con-tradiccin no lo fuera (ej. ibid p. 504). A partir de esto, el
autor, concluyendo la parte histrico-crtica del artculo, afirma
que:
Debemos abandonar la falsa, aunque ampliamente extendida,
perspectiva de que el principio de [no] contradiccin es el ms alto
principio de todas las demostraciones! Esto slo se sostiene para
las pruebas indirectas; para las directas no es cierto. (Ibid p.
504 [trad.])lo.
2.2. Conclusiones de Lukasiewicz
Pasamos ahora a lo que ms nos interesa: aquellas conclusiones
que para el presente extrae el lgico polaco, que son enumeradas as
(ef ibid p. 505ss): A) El principio de (no) contradiccin no puede
ser probado pro-
clamndolo directamente evidente, porque: a) La evidencia no
parece ser un criterio aceptable de ver-
dad; de hecho, ha sucedido que proposiciones falsas se han
mostrado como evidentes.
b) El principio de (no) contradiccin no parece ser evidente para
todo el mundo; para algunos pensadores de Megara y para Hegel no
era evidente.
B) El principio de (no) contradiccin no puede ser probado
pre-sentndolo como una ley natural determinada por la organi-zacin
psicolgica del hombre.
However, if a syllogism remains val id when the principIe of
contradiction doesn't, then the principIe of syllogism (and indeed
the dictum de omni el nullo) is independent of the principIe of
contradiction." (Lukasiewicz [1910] 1971: p. 504). JO "On my view,
we must give up the false. though widely spread view that the
principie of contradiction is the highest principie of all
demonstrations! That holds only for indirect proofs; for the direct
ones, it is not true." (Lukasiewicz [191OJ 1971: p. 5(4).
-
18 ANDRS BOBENRlE11f MlSERDA
C) El principio de (no) contradiccin no puede ser probado a
partir de la definicin de afirmacin falsa ni de la negacin, por dos
razones: a) Si se toma la definicin usual, una negacin como A
no
es B significa la falsedad de la afirmacin A es B; ello no
impide que simultneamente se asevere algo ver-dadero y algo falso
sobre el mismo objeto, ya que es el principio de (no) contradiccin
el que impide esto. De acuerdo con la definicin de falsedad o
negacin, "sigue siendo posible aceptar que las aseveraciones A es B
y A no es B se mantengan al mismo tiempo siendo am-bas verdaderas y
ambas falsas al mismo tiempo." (Ibid. p. 506 [trad.])JI. Con esto,
Lukasiewicz se podra estar refiriendo a que si en vez del carcter
de funcin que se les da a las asignaciones de verdad --es decir,
que a ca-da proposicin se le asigna un nico valor de verdad-se les
diera un carcter relacional, en el que a cada pro-posicin se le
pudieran asignar simultneamente dos --o ms-- valores de verdad,
entonces sera viable que fue-ran simultneamente verdaderas dos
aseveraciones con-tradictorias .y, por lo tanto, fuesen falsas sus
respectivas negaciones, o sea la otra proposicin respectivamente,
de manera tal que ambas fueran al tiempo verdaderas y falsas.
]1 "(a') if one also accepts that the negation A is not B means
the falsity of the affirmation A is B, then the principie of
contradiction is not to be de-duced therefrom. The notion of
logical multiplica/ion is not contained in the definition of
negation, respectively falsity, and it is this notion which
directly bestows on the principie of contradiction its
characteristic imprint. Two con-tradictory propositions cannot be
true simultaneously (affirmation and nega-tion: truth and falsity
contain each other [heben einander auj]) and cannot both be
characteristic of the same object. In terms of the definition of
falsity or ne-gation, however, it would still be possible to accept
that the assertion A is B ami A is not B hold at the same time in
that they are both true and false at the same time." (Lukasiewicz
[1910] 1971: p. 5055).
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INCONSISTENCIAS POIl QU NO? /9
b) Si no se acepta la anterior posibilidad de designar una misma
proposicin a la vez como verdadera y falsa, en-tonces se puede
tomar una delimitacin ms apropiada del concepto de falsedad, a
saber, considerar que cuando se dice que una proposicin es falsa se
quiere decir que ella no representa nada objetivo. Esta definicin
se mantendra incluso si no valiera el principio de (no)
contradiccin, pues, entonces, si bien sera posible decir en ciertos
casos que una cosa es y no es algo, sien-do ambas representaciones
de una situacin objetiva, de todas formas una proposicin como A es
B seguira siendo falsa, si en cierto caso concreto A de hecho no
fuera B 32.
Finalmente, con relacin a la posibilidad de dar una prueba del
principio de (no) contradiccin a partir de una investigacin
concreta, Lukasiewicz hace mencin de la existencia de objetos
contradictorios, como el caso de el ms grande de los nmeros primos
o el crculo cuadrado, que si bien hasta entonces slo eran producto
de construcciones humanas, de todas maneras podan ser estudiados,
como lo haba hecho Meinong en su teo-ra sobre los objetos. Este
autor asuma que el principio de (no) contradiccin slo estaba
dirigido a lo real y a lo posible, quedando abierto el espacio para
que objetos imposibles resulta-
J2 "(b') Of course if one prefers rather to avoid designating
one and the same proposition as true and false, another definition
of falsity can be set up which is of much greater account than the
usual definition in terms of the basic thought in the concept, in
that it is much more carefully formulated. The basic notion of
falsity is, namely, that false propositions are no representations
ofthe objective, or -in other words-- that false propositions
correspond to nothing objective. If the principIe of contradiction
fails to hold now, there will be cases in which A is and is not B
at the same time. Consequently, under these conditions the
proposition A is B would be false, if A were not B and also
contained no contradiction. The principIe of contradiction can in
no way be derived from this definition of falsity." (Lukasiewicz
[1910] 1971: p. 505).
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20 ANDRS BOBENRlElH MlSERDA
ran contradictoriosJl Por otra parte, como lo haba demostrado la
aparicin de las paradojas, tales como la de Russell, no se puede
excluir la eventualidad de que construcciones que parecen
con-sistentes contengan una contradiccin escondida que no se ha
descubierto an (ef bid. p. 507).
A continuacin presenta el lgico polaco un argumento muy agudo:
al hablarse de contradicciones, hay que tener muy presen-te que
stas no se pueden percibir en la realidad, porque no es posible
percibir la negacin que les es inherente, pues toda per-cepcin es
de hechos dados, es decir de hechos afirmativos, y slo a partir de
ellos se llegan a aseverar negaciones, y de ah se pueden llegar a
inferir contradicciones. Hay una serie de per-cepciones que
histricamente han llevado a inferir contradiccio-nes, como es el
caso del cambio continuo. Frente a ellas siempre se ha tratado de
dar explicaciones que permitan solucionar las inconsistencias, pero
esto no es suficiente para llegar a demos-trar de forma definitiva
que los objetos reales 00 contienen con-tradicciones en ningn
sentidoJ4
JJ Vase Vber die Ste/lung der Gegenstandstheorie im System der
Wissens-chaft (Leipzig: 1907) p. 16 (citado en Lukasiewicz [1910]
1971: n. 14). En Rescher / Brandom 1980: p. 32s, se dice que
Meinong lo que hizo fue distin-guir entre objetos inconsistentes e
imposibles; y que entre lo potencialmente posible hay que
distinguir entre lo posible lgicamente y por tanto
autoconsis-tente, de lo que era semnticamente posible, es decir,
pensable, concebible o descriptivamente constructible. Una
presentacin general de la propuesta de Meinong est en un articulo
cuyo original es de 1904, y que est traducido co-mo Meinong,
Alexius: "Teora del Objeto", Cuadernos de Critica 13 (Mxico: UNAM,
1981). 34 "Actual objects and reconstructive abstractions, insofar
as they correspond to reality, appear to be placed beyond
contradiction./nlactthere is /cnown to us no single case 01
contradiction existing in reality. Indeed it is generally
impos-sible to suppose that we might meet a contradiction in
perception; the negation which inheres in contradictions is not at
al1 perceptible [wahrnehmbar]. Actu-ally existing contradictions
could only be inferred [erschlossen]. -One might not forget,
however, that from oldest times contradictions were suspected in
the continuous change to which the entire world is ceaselessly
subjected in con-stant becoming, arising, and passing away. Whether
these suspicions can ever be confirmed seems to be improbable; one
will a1ways find ways and means
-
INCONSISTENCIAS POR QU NO? 2/
Es muy importante notar que, con este argumento, Lukasie-wicz le
da un vuelco radical a la forma como tradicionalmente se ha
planteado el problema: a quien cuestiona el principio de (no)
contradiccin, los defensores de este principio suelen pedirle que
muestre alguna contradiccin en la realidad, y esto es tanto como
pedir algo imposible, pues no existe un objeto que sea la nega-cin
de algo: slo a partir de lo dado, inferimos su negacin, y es en el
evento en que infiramos algo, y tambin su opuesto, que hallamos
contradicciones. As, el lgico polaco invierte la carga de la
prueba, pues ya no habra que mostrar un objeto contradic-torio,
sino exigirles a quienes alegan la universalidad del princi-pio de
no contradiccin que muestren realmente que ningn ob-jeto puede
llevar a inferencias contradictorias.
Llegamos as al ltimo apartado del artculo y, muy por el
contrario de lo que se podra pensar, resulta que Lukasiewicz no ha
hecho todo este desarrollo para rechazar el principio de (no)
contradiccin, sino para cambiar radicalmente el substrato que
permite sustentarlo. La conclusin que presenta es la
si-guiente:
El principio de [no] contradiccin no tiene, ciertamente, mrito
lgico, ya que slo es vlido como suposicin [als Annahme]; pero, en
tanto consecuencia, adquiere un valor prctico-tico, lo cual es an
ms importante. El principio de [no] contradiccin es el arma
privilegiada contra el error y la falsedad. {lb id p. 508
[trad.])H.
eventually to dismiss inferred contradictions. Bul one wil/
never be able lo as-serl with ful/ definileness that actual objecls
conlain no contradictions. Man did not create the world and he is
not in the position to penetrate its secrets; in-deed, he is not
even lord and master of his own conceptual creations." (Lukasiewicz
[1910) 1971: p. 507s). 35 "The principIe of contradiction has, to
be sure, no logical worth, since it is valid only as an assumption
[als Annahme); but as a consequence it acquires a praclical-ethical
value, which is all the more important. The principie of
con-Iradiclion is Ihe sole weapon againsl error andfalsehood. Were
we not to rec-ognize this principIe and hold joint assertion and
denial to be possible, then we
-
22 ANDRS BOBENlUETH MISERDA
Para el lgico polaco lo anterior se explica en la medida en que,
si se sostiene que son posibles conjuntamente una afirma-cin y su
negacin, no habra entonces una forma de desvirtuar una afirmacin
falsa o una acusacin fraudulenta, ya que demos-trar que no se
cometi algn hecho imputado no sera suficiente para desvirtuar la
afirmacin en contrario, pues ambas podran ser tenidas por
vlidas36.
Lukasiewicz agrega algo que es todava ms diciente: "la
ne-cesidad de admitir el principio de (no) contradiccin es un signo
de la incompletud intelectual y tica del hombre." (Ibid. p. 508
[trad.])37. Entonces, ms que ante una determinacin lgica u
on-tolgica, estaramos ante un criterio o idea regulativa, que se
ne-cesitara por las caractersticas propias de la actividad
humana.
Lo anterior no conlleva que para Lukasiewicz cambie en al-go la
desvirtuacin del valor lgico del principio. Con esto lo que se est
sealando es que el valor lgico y el prctico-tico son dos espacios
independientes, a pesar de la tendencia que hay de unirlos, para
tratar as de justificar lo prctico-tico a partir de la
inevitabilidad de lo lgico. Incluso Lukasiewicz entrev que
Aristteles habra pe~cibido que el mayor peso estara en el valor
prctico-tico, por lo cual habra utilizado el principio de (no)
contradiccin para luchar con los que atentaban contra el valor
could not defend other proposition against false or deceitful
propositions." (Lukasiewicz [1910] 1971: p. 508). 36 "One falsely
accused of murder could find no means to prove his innocence before
the court. At most, he could only manage to prove that he had
commit-ted no murder; this negative truth cannot, however, remove
its contradictory positive from the world, if the principIe of
contradiction fails. If just one wit-ness is found who (not
shirking from committing perjury) implicates the
