Andragradsfunktioner & Andragradsekvationer

Presentation för självstudier mot ett godkänt betyg i Matematik B. Presentationen kan också användas som komplement till studier med lärare.

Andragradsfunktioner & Andragradsekvationer

För att en funktion skall bli en ”andragradsfunktion” måste följande term finnas med i uttrycket. Denna term måste också vara den potens i uttrycket med högst exponent.

Andragradsfunktioner & Andragradsekvationer

Generell andragradsfunktion

Bokstäverna a, b och c kallas för koefficienter och har stor betydelse för hur funktionens graf ser ut. De är också viktiga att hålla ordning på när vi löser andragradsekvationer. I bilden ovan ser vi att a = -7, b = -4 och c = 5

Andragradsekvationer

Att lösa andragradsekvationer innebär oftast att man vill finna en andragradsfunktions rötter (nollställen)

0982 xx

I bilden till vänster ser vi nollställena x = -9 & x = 1Prova att sätt in talen i ekvationen nedan och se om det blir noll.

Symmetrilinje – max & minAndragradsfunktioner är symetriska kring en vertikal linje som brukar kallas symmetrilinje. Denna linje går alltid genom funktionens högsta eller lägsta värde.

Symmetrilinje – max & min

AndragradsekvationerDet finns olika typer av andragradsekvationer och man bör med fördel använda lite olika sätt för att lösa dem. En metod som jag kommer att kalla för p-q-formeln kan användas till de flesta, men det kan bli lite mycket onödigt jobb. I denna bilden och i några bilder framåt kommer jag att visa hur man kan lösa olika typer av andragradsekvationer. Vissa av dessa typer kan man öva på i programmet ”andragradsekvationer_FP”.

0)62)(4(3

0)1(3

0103

015

012

2

2

2

xx

xx

xx

xx

x

12359 2 xx

Generell andragradsekvation som är lite svårare att lösa än de andra.

Andragradsekvationer

0122 xDenna ekvation är den enklaste eftersom vi direkt ser att . Vi ställer oss alltså frågan: vilket tal multiplicerat med sig själv blir 12? Svaret är som ni alla vet ”roten ur 12” eller ”-(roten ur 12)”.I Google skrivs detta sqrt(12) eller –sqrt(12).

122 x

464,312

464,312

12

12

1201212

012

2

1

2

2

2

x

x

x

x

x

xLösning

Andragradsekvationer0152 xx Denna ekvation kan lösas på lite olika sätt och

jag kommer här att visa två sätt.

Andragradsekvationer

0)1(3 xx 0)62)(4(3 xx

Nedanstående ekvationer är redan faktoriserade och klara och kan därför enkelt lösas med huvudräkning. Nedan visar jag hur man kan tänka.

Andragradsekvationer

01032 xx

Nedanstående andragradsekvation kan lösas på många sätt och jag kommer att visa två här. Den första metoden bygger på en formel som vissa sammanhang kallas för p-q-formeln och i andra för ”betongborren”. (Kaspar 2005)P-q-formeln kan ni se till höger om ekvationen och som ni ser är den ekvation vi skall lösa väldigt lik den i p-q-formeln.

02 qpxx

qpp

x

2

22

p-q-formeln

02 qpxx

Exempel

01032 xx

102

3

2

32

x

Byt tecken

Byt tecken

Andragradsekvationer

Andragradsekvationer

I bilden ovan testas lösningen genom att multiplicera lösningarna med varandra samt addera dem med varandra. Vid multiplikation skall vi alltid få q och vid addition skall vi få –p.

Algebra och kvadratkomplettering

01032 xx

När vi löste ekvationen ovan använde vi p-q-formeln. Det går att lösa denna ekvation på andra sätt, men då behöver vi repetera lite grundläggande algebra från kurs A. Detta är väldigt nyttigt då man bl a på det nationella provet förväntas klara av denna typ av grundlägganda algebra. Nästkommande sidor är en förutsättning för att förstå nästa lösningsmetod som kallas för kvadratkompplettering

Algebra och kvadreringsreglerFörs måste vi lära oss multiplikation från årskurs 5!

Algebra och kvadreringsreglerHär tillämpar vi våra kunskaper i multiplikation på algebra med parenteser. Övertyga er om att ni verkligen förstår vad som händer.

Algebra och kvadreringsregler

Algebra och kvadreringsreglerAtt kvadrera parenteser kan göras med följande genväg.

Kvadratkomplettering som metod för att lösa andragradsekvationer

Länkar till övningar etc

• Övningar - Andragradsekvationer G• Övningar – Analys av funktioner• Program – Analys av funktioner• Program – Lösning av andragradsekvationer• Film – användning av p-q-formeln 45Mb• Bra hemsida – www.mathprog.se