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Anderson Pereira
Projeto ótimo de pórticos planos com restrição à flambagem
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Estruturas.
Orientador: Luiz Eloy Vaz
Co-orientador: Paulo Batista Gonçalves
Rio de Janeiro
Agosto de 2002
Anderson Pereira
Projeto ótimo de pórticos planos com restrição à flambagem
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Luiz Eloy Vaz Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Paulo Batista Gonçalves Co-orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Profa. Cláudia Ribeiro Eboli Universidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. Ney Augusto Dumont Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 29 agosto de 2002
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Anderson Pereira Graduou-se em Engenharia Civil na UDESC/Joinville (Universidade do Estado de Santa Catarina) em 2000. Interesses acadêmicos em áreas de pesquisa que envolvam otimização de estruturas, programação matemática, análise não-linear e elementos finitos. Atualmente é aluno de doutorado no departamento de engenharia civil da PUC-Rio e pesquisador do Tecgraf – Grupo de tecnologia em computação gráfica.
Ficha Catalográfica
Pereira, Anderson Projeto ótimo de pórticos planos com restrição à flambagem / Anderson Pereira; orientador: Luiz Eloy Vaz; co-orientador: Paulo Batista Gonçalves. – Rio de Janeiro : PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2002. v., 99 f.: il. ; 29,7 cm 1. Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil. Inclui referências bibliográficas 1. Engenharia Civil – Teses. 2. Otimização. 3. Análise Não Linear. 4. Análise de Sensibilidade. 5. Pórticos Planos. 6. Programação Matemática. 7. Instabilidade. 8. Projeto Ótimo. I. Vaz, L. E. (Luiz Eloy); Gonçalves, P. B. (Paulo Batista). II Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.
Dedico este trabalho, que se torna pe-queno diante do sofrimento que ela tem passado, a minha querida mãe, Idete de Souza Pereira, com muito amor.
Agradecimentos Aos meus orientadores Luiz Eloy Vaz e Paulo Batista Gonçalves pelo estímulo e
parceria para a realização deste trabalho.
Aos professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, por todos os
conhecimentos transmitidos durante a pós-graduação.
A Janaína, pelo carinho, compreensão, paciência e constante apoio que fizeram
possível a realização deste trabalho.
Ao amigo Sidiclei, a quem responsabilizo pelo inicio da minha vida acadêmica,
graças ao seu incentivo e exemplo.
A toda minha família, em especial meus pais, Osvy Manoel Pereira e Idete de
Souza Pereira, por todos os gestos de carinho e otimismo.
Aos colegas de república, Alan Wilter S. da Silva, Antonio Miranda e Ricardo
Alexandre de Oliveira Passos pelo convívio saudável e pelo ambiente de estudo.
Aos colegas “ótimos”, Ivy e Sandoval, pelas discussões ao longo deste trabalho.
A Claudia Eboli, pelas aulas sobre o algoritmo de Han-Powell.
A todos os amigos da PUC, em especial Galvão, Joabson, Antonio Sérgio, Chan,
Salete, Walter e Jaqueline.
Aos funcionários da PUC-Rio, em particular a Ana Roxo, Lenilson, Cristiano,
Euclides, Haroldo, José Nilson e Evandro.
Ao CAPES, pelo apoio financeiro.
Resumo
Pereira, Anderson; Vaz, Luiz Eloy; Gonçalves, Paulo Batista. Projeto ótimo de pórticos planos com restrição à flambagem. Rio de Janeiro, 2002. 99p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
O objetivo deste trabalho é apresentar uma formulação e uma
correspondente implementação computacional para otimização de dimensões de
estruturas evitando os problemas de instabilidade apresentados pela formulação
convencional. Para atingir este objetivo, a formulação utilizada considera os
efeitos da não-linearidade geométrica no comportamento da estrutura e inclui uma
restrição sobre a carga de colapso. Elementos finitos reticulados planos e a
formulação Lagrangiana Atualizada forma utilizados para análise de estruturas
com comportamento geometricamente não-linear. As varáveis de projeto são as
alturas das seções transversais dos elementos. O método de Newton-Raphson é
utilizado acoplado a diferentes estratégias de incremento de carga e de iteração,
tais como as que utilizam a restrição do comprimento de arco e as baseadas no
controle dos deslocamentos generalizados, que permitem a ultrapassagem de
pontos críticos que possam existir ao longo da trajetória de equilíbrio. Os
algoritmos de programação matemática utilizados neste trabalho empregam os
gradientes da função objetivo e das restrições, que são calculados com base nos
gradientes das respostas da estrutura. Partindo-se das equações gerais de equilíbrio
válidas para qualquer elemento, foram desenvolvidas expressões analíticas
aproximadas que permitem o cálculo das sensibilidades em relação as variáveis de
projeto aproveitando as características da análise.
Palavras-chave Otimização; análise de sensibilidade; programação matemática; projeto
ótimo; pórticos planos; análise não-linear; instabilidade.
Abstract
Pereira, Anderson; Vaz, Luiz Eloy; Gonçalves, Paulo Batista. Optimal design of planar frames with stability constraints. Rio de Janeiro, 2002. 99p. Msc. Dissertation - Departamento de Engenharia. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The aim of this work is to present a formulation and corresponding
computational implementation for the sizing optimization of structures. To
achieve this goal, the formulation considers the structural geometric nonlinear
behavior and include a constraint related to the collapse load. Plane frame finite
elements and Updated Lagrangian approach are used for the geometric nonlinear
analysis. The standard Newton-Raphson method, in connection with different load
increment strategies and iteration, such as use the arch length method and
strategies based on the control of generalized displacements, which allow the
algorithm to transpose the critical points that happen to appear along the
equilibrium path. The mathematical programming algorithms applied in this work
make use of the gradients of the objective function and of the constraints, which
depend on the gradients of the structural response. Starting from general
equilibrium equations for the Update Lagrangian approach, valid for any finite
element, approximate analytical expressions for the sensitivity analysis whit
respect of design variables were developed taking advantage of the structural
characteristics.
Keywords Optimization; sensitivity analysis; mathematical programming; optimal design; planar frames; nonlinear analysis; stability.
Sumário
1 Introdução..........................................................................................16
1.1 Escopo do trabalho ...................................................................................18
2 Programação Matemática – Princípios Básicos.................................19
2.1 Considerações Gerais ..............................................................................19
2.2 Condições de Ótimo .................................................................................20
2.3 Forma Geral dos Algoritmos de Otimização .............................................21
2.4 Método de Newton para Problemas de Otimização sem Restrição .........22
2.5 Busca Linear .............................................................................................23
2.6 Programação Quadrática..........................................................................24
2.7 Algoritmo de Han-Powell - Programação Quadrática Seqüencial ............25 2.7.1 Etapas do Algoritmo Não-Linear Han-Powell (PQS).....................................27
2.8 Método dos Pontos Interiores ...................................................................29 2.8.1 Etapas do Algoritmo de Pontos Interiores (PI)..............................................32
2.9 Implementação .........................................................................................33
3 Análise Não-Linear Geométrica.........................................................34
3.1 Comentários Iniciais..................................................................................34
3.2 Comportamento Não-Linear, Análise e Projeto ........................................34 3.2.1 Fontes de Não-Linearidade...........................................................................35
3.3 Formulação para a Análise Não-Linear Geométrica de Estruturas
Reticuladas..........................................................................................................36 3.3.1 Descrição do Problema .................................................................................36 3.3.2 Principio dos Deslocamentos Virtuais ...........................................................38
3.3.3 Aplicação a Elementos de Pórtico Plano ......................................................41 3.3.4 Montagem das Equações da Estrutura.........................................................46
3.4 Estratégias de Solução para Problemas Não-Lineares ............................47 3.4.1 Análise Incremental-Iterativa.........................................................................48 3.4.2 Estratégias de Iteração .................................................................................52 3.4.3 Critérios de Convergência.............................................................................53 3.4.4 Incremento Automático de Carga..................................................................55
3.5 Determinação dos Pontos Críticos ...........................................................57
3.6 Exemplos ..................................................................................................58 3.6.1 Pórtico de Lee ...............................................................................................59 3.6.2 Pórtico de Williams........................................................................................61
4 Análise de Sensibilidade....................................................................64
4.1 Considerações Gerais ..............................................................................64
4.2 Método Analítico .......................................................................................64 4.2.1 Sensibilidade dos Deslocamentos ................................................................65 4.2.2 Método Analítico Aproximado (MAA) ............................................................67 4.2.3 Sensibilidade da Carga Limite.......................................................................69
4.3 Método das Diferenças Finitas (MDF) ......................................................71
4.4 Exemplos ..................................................................................................71 4.4.1 Pórtico de Lee ...............................................................................................72 4.4.2 Pórtico de Williams........................................................................................73
5 Otimização de Dimensões .................................................................75
5.1 Considerações Gerais ..............................................................................75
5.2 Metodologia de Otimização ......................................................................76
5.3 Formulação do problema de Otimização ..................................................77 5.3.1 Fatores de escala ..........................................................................................78 5.3.2 Cálculo dos gradientes..................................................................................79
5.4 Implementação da Formulação ................................................................81 5.4.1 Programa Principal ........................................................................................81
5.4.2 Processo de Otimização ...............................................................................82
5.5 Exemplos ..................................................................................................85 5.5.1 Pórtico de Williams........................................................................................86 5.5.2 Pórtico de Lee ...............................................................................................88 5.5.3 Pórtico com três barras .................................................................................90 5.5.4 Pórtico com 7 barras .....................................................................................93
6 Comentários Finais............................................................................95
6.1 Sugestões.................................................................................................96
7 Referências Bibliográficas .................................................................98
Lista de figuras Figura 3.1. Deformações do elemento. ...................................................36
Figura 3.2. Elemento de pórtico. .............................................................43
Figura 3.3. Elemento de pórtico. .............................................................44
Figura 3.4. Curva carga-deslocamento. ..................................................48
Figura 3.5. Solução incremental-iterativa: sistema com um grau de liberdade...................................................................................................51
Figura 3.6. Variação do sinal do parâmetro de rigidez generalizado (GSP). ......................................................................................................57
Figura 3.7. Pontos críticos de uma estrutura...........................................58
Figura 3.8. Pórtico de Lee. ......................................................................59
Figura 3.9. Pórtico de Lee – malhas utilizadas........................................59
Figura 3.10. Pórtico de Lee – curvas de equilíbrio. .................................60
Figura 3.11. Pórtico de Lee – configuração deformada...........................60
Figura 3.12. Pórtico de Williams..............................................................61
Figura 3.13. Pórtico de Williams – curvas de equilíbrio...........................62
Figura 4.1. Pórtico de Lee. ......................................................................72
Figura 4.2. Pórtico de Williams................................................................73
Figura 5.1. Situações encontradas na análise estrutural.........................76
Figura 5.2. Fluxograma do programa principal........................................82
Figura 5.3. Forma geral dos algoritmos de PM. ......................................83
Figura 5.4. Fluxograma da função Análise/Sensibilidade........................84
Figura 5.5. Pórtico de Williams................................................................86
Figura 5.6. Pórtico de Lee. ......................................................................88
Figura 5.7. Alturas das seções transversais / momento fletor. ................89
Figura 5.8. Pórtico com três barras. ........................................................90
Figura 5.9. Deslocamento horizontal do ponto a para caso linear e não-linear. .......................................................................................................92
Figura 5.10. Pórtico com 7 barras. ..........................................................93
Lista de tabelas Tabela 2.1 Divisão dos problemas de Programação Matemática ............21 Tabela 3.1 Pórtico de Lee – cargas críticas .............................................61 Tabela 3.2 Pórtico de Williams – cargas críticas ......................................63 Tabela 4.1 Pórtico de Lee – deslocamentos e sensibilidades para h1 .....73 Tabela 4.2 Pórtico de Lee – deslocamentos e sensibilidades para h2 .....73 Tabela 4.3 Pórtico de Lee – cargas críticas e sensibilidades...................73 Tabela 4.4 Pórtico de Williams – deslocamentos e sensibilidades para h1.................................................................................................................74 Tabela 4.5 Pórtico de Williams – cargas críticas e sensibilidades............74 Tabela 5.1 Valores usuais dos parâmetros. .............................................85
Tabela 5.2 Pórtico de Williams – resumo dos resultados.........................86
Tabela 5.3 Pórtico de Williams – dimensões finais ..................................87
Tabela 5.4 Pórtico de Williams – resumo dos resultados.........................89
Tabela 5.5 Pórtico de Lee – dimensões finais - pilar................................89
Tabela 5.6 Pórtico de Lee – dimensões finais - viga ................................89
Tabela 5.7 Pórtico com três barras – nós restritos ...................................91
Tabela 5.8 Pórtico com três barras – resumo dos resultados ..................91
Tabela 5.9 Pórtico com três barras – dimensões finais - pilares ..............91
Tabela 5.10 Pórtico com três barras – dimensões finais - vigas ..............91
Tabela 5.11 Pórtico com 7 barras – resumo dos resultados ....................93
Tabela 5.12 Pórtico com 7 barras – dimensões finais..............................94
Lista de Símbolos, Siglas e Abreviaturas LETRAS ROMANAS a,b,...z - nós do elemento ai - gradientes da restrição ci A - matriz dos gradientes das restrições A - área da seção transversal do elemento b0 - valor inicial da diagonal da aproximação da Hessiana bz , gz - parâmetros do algoritmo SQP b - vetor dos termos independentes das restrições, largura de uma
seção retangular B - aproximação da Hessiana B0 - aproximação inicial da Hessiana ci - restrição do problema de otimização c - restrição do problema de otimização adimensionalizada c - vetor das restrições C - tensor incremental de tensão-deformação C - matriz diagonal que contem os valores das restrições d - direção de busca d0, d1 - direções de busca intermediárias do algoritmo PI e - parcela linear da deformação E - módulo de elasticidade f - função objetivo f - função objetivo adimensionalizada
f - vetor de forças internas do elemento F - vetor de forças internas da estrutura F - vetor de pseudo-forças g - gradiente da função objetivo h - altura de uma seção transversal retangular h - variável adimensional relativa à altura da seção H - Hessiana da função objetivo I - matriz identidade k - contador de iterações do algoritmo de PM ka, ke, kf - parâmetros do algoritmo de pontos interiores ke - matriz de rigidez elástica do elemento kg - matriz de rigidez geométrica do elemento K(T) - matriz de rigidez tangente da estrutura l - número de restrições de igualdade, comprimento do elemento L - comprimento do elemento L(x, λ) - função Lagrangiana m - número total de restrições M - momento fletor n - número de variáveis de projeto nr - número de iterações para reinício da matriz B N1, N3 - funções de forma ne - número de elementos
ndr - número de deslocamentos restritos nsecs - número de grupos de seções transversais p - ponto material p(t) - função unidimensional utilizada na busca linear P - força axial P, P1, P2 - forças aplicadas nos elementos P - vetor de carregamento externo
refP - vetor de carregamento externo de referência W - trabalho W - Hessiana da função Lagrangiana w - contador de iterações da análise não-linear q - intensidade da carga distribuída q - vetor da equação de PQ Q - força cisalhante Q - matriz da equação de PQ y - coordenada cartesiana ri - fator de penalidade da busca linear R - trabalho virtual externo R - vetor de forças residuais ℜ - conjunto de números reais t - tamanho do passo (busca linear) tol1, tol2 - tolerâncias do algoritmo PQS tol - tolerância do algoritmo PI T - matriz de rotação T - tensor de tensões de Cauchy T - tensor de tensões Piola-Kirchhoff II
,u v - componentes de deslocamento u,v - componentes de deslocamento u - vetor de deslocamentos nodais ug - parcela de u referente às forças residuais g ur - parcela de u referente às forças de referência Pref. ut - vetor dos deslocamentos nodais tangenciais uj,lim - valor absoluto admissível para o deslocamento uj V - volume x - vetor das variáveis de projeto, coordenada cartesiana x, y, z - coordenadas cartesianas x0 - vetor inicial das variáveis de projeto x - vetor das variáveis de projeto adimensionalizada LETRAS GREGAS α - seqüência de valores utilizados na busca linear
( )δ ⋅ - correção iterativa, indicador variacional ( )∆ ⋅ - incremento
ε ,ε ij - deformações de Green-Lagrange γ - parâmetro de controle da busca linear η - perturbação relativa (diferenças finitas), parcela não-linear da
deformação
ϕ - autovetor correspondente ao autovalor nulo da matriz de rigidez tangente
λ - parâmetro de carga responsável pelo escalonamento de Pref λi - multiplicador de Lagrange da restrição ci λ - vetor dos multiplicadores de Lagrange λ0, λ1, λ - estimativa do vetor dos multiplicadores de Lagrange no algoritmo
de pontos interiores iλ - valor admissível para a carga crítica λ - estimativa do multiplicador de Lagrange no algoritmo de pontos
interiores Λ - matriz diagonal contendo os multiplicadores de Lagrange θ - ângulo (coordenada polar) ρ - coeficiente de deflexão da direção de busca τ - componentes da tensão de Cauchy ζ - tolerância ao resíduo requerida no processo de convergência ζ1 - fator de convergência baseado em relações de força ζ2 - fator de convergência baseado em relações de deslocamentos SOBRESCRITOS E SUBSCRITOS
( )t ⋅ - função avaliada no instante t *( )⋅ - função avaliada no ponto crítico T( )⋅ - transposta do vetor ou matriz
( )ij⋅ - notação indicial ( )l⋅ - limite inferior da variável de projeto, restrições da carga crítica ( )u⋅ - limite superior da variável de projeto ( )d⋅ - restrições de deslocamento SIGLAS E ABREVIATURAS BFGS - Broyden - Fletcher - Goldfarb - Shanno GSP - Parâmetro de rigidez generalizado MAA - Método Analítico Aproximado MDF - Método das Diferenças Finitas PM - Programação Matemática PQ - Programação Quadrática PQS - Programação Quadrática Seqüencial RLT - Referencial Lagrangiano Total RLA - Referencial Lagrangiano Atualizado
1 Introdução
Ao longo das últimas décadas, a otimização estrutural vem se destacando
dentro da engenharia. O crescente desenvolvimento dos microcomputadores
aliado à automação dos procedimentos de análise viabilizaram a sua aplicação.
Desta forma, as técnicas de otimização numérica se tornaram valiosas na busca
pelo projeto ótimo.
A formulação clássica dos problemas de otimização de dimensões busca
minimizar o peso de uma estrutura, onde é adotada a hipótese do comportamento
linear físico e geométrico, o que simplifica bastante as etapas de análise estrutural
e de avaliação da sensibilidade, aumentando a eficiência e contribuindo para a
popularização da otimização.
Em geral, a formulação clássica gera projetos seguros e econômicos. No
entanto, freqüentemente o modelo linear não permite a avaliação correta da
capacidade de carga da estrutura.
Na busca pela estrutura ideal, utilizando-se a formulação clássica, muitas
vezes se aumenta a esbeltez de um dado elemento estrutural, o que pode gerar
significativas mudanças no seu mecanismo de colapso. Desta forma, a não-
linearidade geométrica se torna cada vez mais importante e dá origem a vários
fenômenos que não são encontrados em sistemas lineares como à existência de
múltiplas configurações de equilíbrio (estáveis e instáveis) e de pontos críticos
(limite e bifurcação) ao longo do caminho não-linear de equilíbrio.
Assim, durante muito tempo a otimização foi criticada por gerar estruturas
com sérios problemas de instabilidade. Contudo, estes problemas não são
inerentes à otimização, podendo ser evitados através da utilização de restrições e
procedimentos de análise apropriados. A formulação do problema é de suma
importância na solução encontrada, pois nenhuma solução será mais “ótima” do
que a sua formulação permite.
O objetivo principal deste trabalho é apresentar uma metodologia de
otimização de estruturas reticuladas planas com segurança em relação à
instabilidade. Para atingir este objetivo, a formulação proposta considera os
Introdução
17
efeitos da não-linearidade geométrica no comportamento da estrutura e inclui uma
restrição sobre a carga crítica
Esta dissertação é parte integrante de algumas linhas de pesquisa do
DEC/PUC-Rio, em particular da linha de Aplicação de Técnicas de Otimização,
Instabilidade e Dinâmica das Estruturas.
As técnicas de otimização vêm sendo largamente aplicadas a problemas de
engenharia estrutural no DEC/PUC-Rio e diversos trabalhos vêm sendo
publicados nesta área. O trabalho de Eboli (1989) foi o precursor desta linha e traz
uma descrição detalhada do algoritmo de Han-Powell de programação não-linear.
Mais recentemente, Parente (2000) estudou a otimização de forma de estruturas
geometricamente não-lineares.
Na parte de instabilidade, Silveira (1995) forneceu uma metodologia geral
de solução de sistemas de equações algébricas não-lineares. Utilizando a mesma
metodologia, Rocha (2000), realizou um estudo comparativo de diversas
estratégias de iteração e incremento de carga através da análise de vários
exemplos numéricos de sistemas estruturais e Galvão (2000) implementou
diversas formulações de elementos finitos geometricamente não-lineares.
Os algoritmos de programação matemática utilizados neste trabalho
empregam os gradientes da função objetivo e das restrições em relação às
variáveis de projeto para determinar a direção de busca do processo de
otimização. Esses gradientes são calculados com base nos gradientes das respostas
da estrutura (sensibilidades). Portanto, a convergência do processo de otimização
é fortemente influenciada pela qualidade das sensibilidades calculadas. A análise
de sensibilidade de estruturas geometricamente não-lineares tem apresentado
grandes progressos nos últimos anos e as equações básicas já são bem conhecidas
(Kleiber, 1997; Haftka, 1992).
As expressões necessárias ao cálculo analítico das sensibilidades são
apresentadas no presente trabalho. É importante ressaltar que os resultados obtidos
através da aplicação dessas expressões representam as sensibilidades exatas de
uma dada malha de elementos finitos.
Introdução
18
1.1 Escopo do trabalho
Para facilitar o entendimento, a dissertação foi dividida em diversos
capítulos, cujo conteúdo é apresentado a seguir.
No Capítulo 2 são apresentados os conceitos gerais de programação
matemática e os algoritmos utilizados neste trabalho. Este capítulo mostra quais as
informações necessárias para os algoritmos de otimização, com o objetivo de
facilitar o entendimento da organização do sistema computacional implementado.
No Capítulo 3 estuda-se a análise não-linear de estruturas através do Método
dos Elementos Finitos. A formulação dos elementos de pórtico de acordo com o
procedimento Lagrangiano Atualizado é discutida em detalhes. Os métodos de
determinação do caminho de equilíbrio de estruturas não-lineares são
apresentados, bem como o método utilizado para a determinação dos pontos
críticos. Por fim, são apresentados exemplos numéricos que mostram a qualidade
dos elementos finitos e procedimentos numéricos implementados.
No Capítulo 4 é feita uma explanação sobre o cálculo dos gradientes dos
deslocamentos e da carga crítica (limite) de um modelo de elementos finitos com
comportamento geometricamente não-linear onde, considerando-se os
procedimentos de análise da análise não-linear, algumas aproximações são feitas
tendo em vista uma melhor eficiência computacional. São apresentados exemplos
numéricos com o objetivo de validar as implementações realizadas e de comparar
a precisão do método.
No Capítulo 5 é apresentada a formulação do modelo de otimização de
dimensões de estruturas bidimensionais. O modelo proposto inclui restrições
sobre deslocamentos e carga crítica, podendo ser utilizado tanto para estruturas
lineares quanto não-lineares. Também são apresentados os programas que fazem
parte do sistema computacional para otimização de dimensões e exemplos de
estruturas otimizadas por este sistema.
Finalmente, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões obtidas neste
trabalho e as sugestões para trabalhos futuros.
2 Programação Matemática – Princípios Básicos
2.1 Considerações Gerais
Os objetivos deste capítulo são apresentar os conceitos de Programação
Matemática (PM) necessários à compreensão do processo de otimização de
dimensões e descrever os algoritmos de otimização utilizados.
Em problemas típicos de engenharia, podem ser obtidas várias, ou
possivelmente infinitas, soluções. Em um problema de otimização deseja-se obter
um projeto ótimo, maximizando ou minimizando uma função a qual
denominamos função objetivo. Isto deve ser realizado através da determinação dos
parâmetros que definem o sistema. Estes parâmetros são chamados de variáveis
de projeto. Na maioria dos problemas encontraremos restrições impostas para que
o projeto seja admissível ou viável, devido às leis físicas da natureza, leis
políticas, limitações de orçamento, etc.
A Programação Matemática é a disciplina que estuda a minimização de
funções em problemas com ou sem restrições. Matematicamente, estes problemas
são enunciados como:
Minimizar ( )f x nx∈ℜ sujeito a ( ) = 0ic x 1...i l= ( ) 0ic x ≤ 1...i l m= + l u
i i ix x x≤ ≤ 1...i n=
(2.1)
onde x é um ponto do nℜ sobre o qual são impostos os limites mínimos e
máximos (restrições laterais), ( )f x é a função a ser minimizada e as funções
( )ic x representam as restrições de igualdade e desigualdade. Assume-se que tanto
a função objetivo quanto as restrições são funções contínuas no nℜ . Em geral,
elas são funções não-lineares e implícitas das variáveis ( )x que definem o
problema.
Programação Matemática - Princípios Básicos
20
Um ponto que satisfaça todas as restrições é denominado um ponto viável e
o conjunto de todos os pontos que satisfaçam todas as restrições é conhecido
como região viável. Uma restrição de desigualdade define uma fronteira que
divide o nℜ em uma região viável e outra inviável. Quando um ponto está sobre
esta fronteira, a restrição é dita ativa; quando um ponto está no interior da região
viável, a restrição está inativa e, quando um ponto está fora desta região, à
restrição está violada.
2.2 Condições de Ótimo
A solução *x do problema enunciado em (2.1) tem que necessariamente
atender as condições de Kuhn-Tucker enunciadas por:
* *( , ) 0xL x∇ =λ *( ) 0ic x = 1...i l= *( ) 0ic x ≤ 1...i l m= + * 0iλ ≥ 1...i l m= + * *( ) 0i ic xλ = i∀
(2.2)
onde * *( , )L x λ é a função Lagrangiana dada pela expressão a seguir:
* * * * *
1( , ) ( ) ( )
l
i ii
L x f x c xλ=
= +∑λ (2.3)
onde *iλ são os multiplicadores de Lagrange associados às restrições no ponto *x ,
solução do problema.
As condições de Kuhn-Tucker são também conhecidas como condições de
primeira ordem. Para determinadas classes de problemas de programação
matemática as condições de Kuhn-Tucker são suficientes para a determinação de
uma solução ótima global. São incluídos nessas classes os problemas de
programação convexa, tais como os de programação linear e quadrática. O
problema de programação convexa é caracterizado por função objetivo e
restrições convexas.
Programação Matemática - Princípios Básicos
21
Porém, se o problema não é de programação convexa, o que é mais comum,
as condições de primeira ordem não são mais suficientes para a determinação da
solução ótima global, devendo ser verificada a condição de segunda ordem,
expressa na equação (2.4) a seguir
* 0t ≥d W d , *0 tal que 0t
i∀ ≠ =d d a (2.4)
onde * *( )i ic x= ∇a para todas as restrições ativas e * 2 *( )L x= ∇W é a Hessiana da
função Lagrangiana. O que significa que *W em *x é positiva definida no ponto
ótimo para qualquer direção estacionária d .
2.3 Forma Geral dos Algoritmos de Otimização
Para resolver um problema de otimização, além dos algoritmos ditos
evolucionários, existem diversos algoritmos de programação matemática que são
definidos de acordo com as características da função-objetivo e das restrições.
Assim, os problemas de otimização podem se dividir em diferentes formas, como
mostra a Tabela 2.1.
TABELA 2.1 Divisão dos problemas de Programação Matemática Tipos de Otimização (x)f (x)ic Programação Linear linear linear Programação Quadrática quadrática linear Programação Não-Linear linear / não-linear não-linear / linear
Algoritmos de otimização para problema de programação linear e
programação quadrática têm solução em um número finito de passos, já os
algoritmos de programação não-linear podem não ter solução em um número
finito de passos, mas espera-se que a seqüência gerada convirja (no limite) para
um mínimo local. Portanto, um problema adicional no processo de otimização
ocorre quando a função objetivo e as restrições são funções não-lineares do vetor
de variáveis de projeto, nx∈ℜ .
Os algoritmos de programação não-linear, restrita e irrestrita, são
procedimentos iterativos em que novos pontos x são gerados a partir do ponto
corrente 0x através da expressão:
Programação Matemática - Princípios Básicos
22
0x x t= + d (2.5)
Assim, os algoritmos podem ser divididos em duas etapas principais: a
primeira etapa é a determinação da direção de busca d e a segunda é a avaliação
do parâmetro escalar t, que representa o tamanho do passo a ser dado ao longo da
direção de busca. A partir da expressão (2.5) diversos algoritmos podem ser
construídos utilizando diferentes técnicas para a determinação da direção de busca
e do tamanho do passo.
Os algoritmos de PM podem ser classificados de acordo com a ordem da
derivação da função objetivo e das restrições utilizadas para a determinação da
direção de busca. Desta forma, um algoritmo é dito de primeira ordem se utilizar
apenas os gradientes da função objetivo e das restrições para calcular a direção de
busca. Por outro lado, se o algoritmo utiliza informações sobre as Hessianas
destas funções, então ele é dito de segunda ordem.
2.4 Método de Newton para Problemas de Otimização sem Restrição
O método de Newton utiliza a informação de segunda ordem da função a
otimizar. Assim, a sua convergência é quadrática. Com tal propósito a função
( )f x é expandida até a segunda ordem, ou seja, a expansão de Taylor em torno
do ponto 0x será:
21
0 0 0 0 0 02( ) ( ) ( )( - ) ( - ) ( )( - )tf x f x f x x x x x f x x x= +∇ + ∇ (2.6) se
0 0( - )x x x x x= ∆ = → = +d d (2.7) e
0( )f x= ∇g e 20( )f x= ∇H (2.8)
Substituindo-se (2.7) e (2.8) em (2.6), tem-se
t t1
0 0 2( ) ( )f x f x+ = + +d d g d Hd (2.9)
onde d é o incremento de 0x , g é vetor gradiente de f e H, uma matriz simétrica
positiva definida, é a hessiana da função f no ponto 0x . A equação (2.9) é uma
Programação Matemática - Princípios Básicos
23
equação quadrática cuja variável é d. Portanto, o algoritmo de otimização procura
determinar um d tal que 0 0( ) ( )f x f x+ <d em cada passo, ou seja, uma direção de
decréscimo em f, assim:
t t1
0 2min ( x ) min( H )f + = +d d g d d (2.10)
Escrevendo a condição de otimalidade de (2.10) ( d 0( ) 0f x∇ + =d ), obtém-
se:
-1= −d H g (2.11)
Assim, (2.11) fornece um mínimo global único para a função aproximadora
de f. A única desvantagem deste método é que os cálculos para a montagem da
matriz H solicitam um grande esforço computacional, sobretudo em problemas
com grande número de variáveis.
Os métodos Quase-Newton surgiram para resolver esse problema sem
perder as boas propriedades de convergência do método de Newton. Nesses
métodos, uma aproximação da Hessiana (ou de sua inversa) é construída a partir
dos valores dos gradientes ao longo das iterações. Esses métodos, dos quais o
BFGS (Broyden - Fletcher - Goldfarb - Shanno) é o mais popular, possuem
convergência superlinear e são amplamente utilizados em problemas de
otimização.
2.5 Busca Linear
A busca linear é um procedimento adotado tanto nos algoritmos sem
restrição como nos com restrição. Após a determinação da direção de busca d é
necessário calcular o tamanho do passo a ser dado nessa direção, a fim de se obter
o novo vetor das variáveis de projeto em (2.5). O tamanho do passo é calculado
fazendo-se uma minimização da função unidimensional p definida através da
expressão:
0( ) (x )p t f t= + d (2.12)
Programação Matemática - Princípios Básicos
24
A partir desta definição, pode-se verificar que:
0(0) (x )p f= (2.13) e
t
0
(x) (x)(0)t
f dfpx dt =
′ =∂
(2.14)
onde p´ indica a derivada em relação à t.
A busca linear pode ser exata ou aproximada, dependendo do método
utilizado para a minimização. A busca aproximada é uma forma mais moderna, na
qual o objetivo é determinar t de forma que f apresente um certo nível de
decréscimo, segundo um critério preestabelecido, como:
0( ) ( ) + tp t f x tγ=≤ d g , (0,1)γ ∈ (2.15)
De acordo com esta equação, o parâmetro γ controla o tamanho do passo.
Assim, um γ pequeno permite a utilização de passos maiores e a utilização de um
γ grande força a utilização de passos pequenos.
Uma forma bastante popular de busca linear é fazer uma aproximação
quadrática de p e calcular t como o mínimo desta aproximação, verificando se a
equação (2.15) é satisfeita. Se isto não ocorrer, então a aproximação é atualizada
utilizando o novo ponto e o processo é repetido. Uma forma ainda mais simples é
o método de Armijo, no qual t é igual ao primeiro número da seqüência {1,α, α2,
α3, ...}, α ∈ (0; 1), para o qual p(t) satisfaz a condição (2.15).
2.6 Programação Quadrática
A Programação Quadrática (PQ) tem como objetivo determinar o vetor
solução *x do problema colocado na seguinte forma::
minimizar t t12x x x+q Q
sujeito a t =i ix ba 1...i l= t
i ix b≤a 1...i l m= + (2.16)
Programação Matemática - Princípios Básicos
25
onde a é uma matriz que contem os coeficientes dos gradientes das restrições, b é
o vetor dos termos independentes das restrições.
Sendo Q uma matriz positiva definida, o problema quadrático é convexo e
pode-se garantir a existência de um único mínimo local.
A solução deste problema pode ser obtida em três etapas bem definidas
(Eboli, 1989 e Parente, 2000):
1. As l restrições de igualdade são eliminadas do problema diminuindo-se o
número das variáveis independentes para n - l, obtendo-se um problema de
programação quadrática (reduzida), chamado problema padrão de PQ, só com as
restrições de desigualdade.
2. O problema quadrático reduzido é transformado em um Problema Linear
Complementar (PLC), que pode ser resolvido através de métodos de pivoteamento
como o de Lemke.
3. Recupera-se a solução para o espaço original com o cálculo das variáveis
eliminadas na primeira etapa, obtendo-se os valores de x e λ .
2.7 Algoritmo de Han-Powell - Programação Quadrática Seqüencial
O algoritmo de otimização de Han-Powell proposto por Han em 1976 e
1977 e por Powell em 1978 (Eboli, 1989), foi implementado e aplicado a
problemas de Engenharia Estrutural no DEC/PUC-Rio por Eboli (1989), Parente
(2000) e Farfán (2000). Este algoritmo utiliza a técnica de Programação
Quadrática Seqüencial (PQS) através da resolução de um subproblema quadrático
(PQ).
O método de PQS pode ser considerado como o resultado da aplicação do
método de Newton à minimização de uma aproximação quadrática da função
Lagrangiana do problema. Este método fornece a cada iteração os vetores d
(correção de x) e ∆λ (correção dos multiplicadores de Lagrange λ ), os quais
atualizados são aproximadores da solução *x e. *λ Este fato pode ser
demonstrado considerando o problema:
minimizar ( )f x sujeito a ( ) = 0ic x (2.17)
Programação Matemática - Princípios Básicos
26
cuja função Lagrangiana é dada por:
( , ) ( ) ( )i ii
L x f x c xλ= +∑λ (2.18)
Desenvolvendo ( , )L x∇ λ em séries de Taylor em torno de ( , )k kx λ até a
primeira ordem, obtém-se
1
1 1 21
( , ) ( , ) ( , )k
k k k k k k k kkL x L x L x+
+ ++
∇ + + ∆ = ∇ + ∇ ∆
dd λ λ λ λ
λ (2.19)
Considerando 1 1k k kx x+ += −d e 1 1k k k+ +∆ = −λ λ λ e aplicando a condição de
estacionariedade a (2.19) no ponto 1 1, )k k k kx + ++ + ∆( d λ λ , resulta:
1
21
( , ) ( , )k
k k k kkL x L x+
+
∇ = −∇ ∆
dλ λ
λ (2.20)
ou, expresso matricialmente, como
1
10
t k k k kk k
k kk
+
+
= −
∆
d g + AW AcA
λλ
(2.21)
Substituindo 1k+λ por 1k k++ ∆λ λ , tem-se:
1
10
t k kk k
k kk
+
+
= −
d gW AcA λ
(2.22)
onde, kA é a matriz dos gradientes das restrições, kW é a Hessiana da
Lagrangiana, e kg é o gradiente de f(x) sendo todos avaliados no ponto xk. A
solução de (2.22) equivale à solução do subproblema de PQ (Eboli,1989):
minimizar t12
tk k+g d d W d
sujeito a 0tk k+ =c A d (2.23)
Programação Matemática - Princípios Básicos
27
Ou seja, cada iteração k da solução do problema original é aproximada pela
solução do PQ obtido pela linearização das restrições e pela expansão quadrática
de f em torno de 0x .
Em problemas em que todas as restrições são de igualdade, a direção de
busca e os multiplicadores de Lagrange podem ser obtidos pela solução do
sistema de equações lineares gerado pelo método de Newton aplicado a
Lagrangiana do problema, como mostrado em (2.22).
Para considerar o caso de restrições de desigualdade, pode-se resolver o
problema geral de PM da seguinte forma (Eboli, 1989):
minimizar ( )f x sujeito a ( ) = 0ic x 1...i l=
( ) 0ic x ≤ 1...i l m= + (2.24)
definindo uma direção de busca d e uma nova estimativa dos multiplicadores de
Lagrange λ através da solução do PQ:
Minimizar t12
tk k+g d d W d
sujeito a 0tk k
i ic + =a d 1...i l=
0tk k
i ic + ≤a d 1...i l m= + (2.25)
cujo método de solução foi visto na seção anterior.
2.7.1 Etapas do Algoritmo Não-Linear Han-Powell (PQS) As etapas que formam o algoritmo Han-Powell são (Parente, 2000):
1. Dado um ponto inicial 0x e uma aproximação da Hessiana da função
Lagrangiana 0B , fazer k = 0. 0B é dada pela seguinte função:
0 ob=B I (2.26)
onde ob é um parâmetro definido pelo usuário do algoritmo. O número
de reinícios da matriz B é controlado pelo parâmetro nr definido pelo
Programação Matemática - Princípios Básicos
28
usuário. Segundo Parente (2000), o reinício de B serve para descartar a
influência de pontos muito distantes do ponto corrente.
2. Para k = k+1, montar e resolver o problema de programação quadrática
definido pela equação (2.25) determinando os vetores dk e λk:
Minimizar 1 t 112
tk k− −+g d d B d n∈ℜd sujeito a 1 1 0
tk ki ic − −+ =a d 1...i l=
1 1 0tk k
i ic − −+ ≤a d 1...i l m= + (2.27)
onde 1kic − é o vetor com as restrições, 1 tk
i−a é uma matriz com o gradiente
das restrições e 1k−B é uma aproximação da Hessiana no ponto 1kx − .
3. Verificar os critérios de convergência do algoritmo:
11
2max( )
tk k
ki
tol
c tol
− ≤
≤
g d (2.28)
onde o primeiro critério representa a variação da função objetivo na
direção dk e o segundo critério verifica explicitamente o valor da
restrição mais violada.
Verificar também os critérios de parada tais como: número de avaliações
da função objetivo e número de iterações.
4. Se os critérios de convergência e/ou os de parada não são atendidos, faz-
se então uma busca linear unidimensional para determinar o tamanho do
passo tk , na direção dk de forma que o novo estimador da solução 1k k k kx x t−= + d seja um ponto que contribua para o decréscimo da
função objetivo. A busca é feita sobre a função de penalidade (p),
construída no intuito de impor um alto custo à violação das restrições.
Esta função é definida pela expressão:
[ ]1 1
( ) ( ) ( ) ( ) max ( ),0l m
i i i ii i l
p t p x t f x r c x r c x= = +
= + = + +∑ ∑d (2.29)
Programação Matemática - Princípios Básicos
29
onde os ir são os fatores de penalidades. A busca é aproximada, isto é a
solução *t não é o mínimo de ( )p t , mas atende a um certo decréscimo
pré-estipulado em ( )p t considerado satisfatório. O coeficiente de
decréscimo da função é dado pelo parâmetro γ definido pelo usuário.
5. Atualização da matriz Bk do subproblema quadrático através do método
BFGS.
6. Retorno à etapa 2.
2.8 Método dos Pontos Interiores
O algoritmo de Pontos Interiores (PI) foi implementado e aplicado a
problemas de Engenharia Estrutural no DEC/PUC-Rio por Parente (2000).
O algoritmo utilizado neste trabalho baseia-se na aplicação do método de
Newton para a solução do sistema de equações não-lineares obtidas a partir da
aplicação das condições de Kuhn-Tucker do problema de otimização (Herskovitz,
1995). Neste trabalho, apenas o algoritmo para restrições de desigualdade será
discutido, uma vez que os problemas de projeto ótimo a serem resolvidos não
possuem restrições de igualdade. No entanto, as mesmas idéias aqui apresentadas
também são válidas para os problemas que possuem simultaneamente restrições
de igualdade e de desigualdade e podem ser vistas em mais detalhes em
(Herskovitz, 1995; Herskovitz & Santos, 1997).
O método de Pontos Interiores tem como característica gerar uma seqüência
de pontos no interior da região viável que converge para a solução do problema.
Outra propriedade importante deste algoritmo é que cada um dos pontos
intermediários possui valores decrescentes da função objetivo, ou seja, se por
algum motivo a convergência não for alcançada o ponto final é sempre viável.
Considere o problema de otimização:
minimizar ( )f x sujeito a ( ) 0ic x ≤ 1...i m= (2.30)
cujas condições de Kuhn-Tucker são:
Programação Matemática - Princípios Básicos
30
10
m
i iiλ
=
+ =∑g a
* *( ) 0i ic xλ = *( ) 0ic x ≤ * 0iλ ≥
(2.31)
Sendo A a matriz dos gradientes das restrições e C uma matriz diagonal
contendo os valores das restrições, as duas primeiras equações podem ser escritas
como:
0t+ =g A λ 0=Cλ
(2.32)
Aplicando o método de Newton para resolver o problema acima, obtém-se o
sistema:
0
0 0
t = −
d gW AA C λΛ
(2.33)
Na equação acima, Λ é uma matriz diagonal para a qual Λii = λi, d0 é a
direção de busca e λ0 é a estimativa dos multiplicadores de Lagrange. Pode-se
demonstrar que d0 é uma direção de decréscimo de f e que d0 = 0 se x for um
ponto estacionário (Parente, 2000).
A direção de busca fornecida por (2.33) nem sempre é uma direção viável.
Expandindo-se uma equação da parte inferior do sistema (2.33), chega-se a:
0 0 0i
ti i icλ λ+ =a d (2.34)
Esta equação implica que 0 0ti =a d para todo i tal que ci = 0.
Geometricamente, isto significa que d0 é tangente às restrições ativas, indicando
que a direção aponta para fora da região viável.
Uma solução para evitar este efeito é adicionar uma constante negativa do
lado direito da equação acima:
Programação Matemática - Princípios Básicos
31
ti i i i icλ λ ρλ+ = −a d (2.35)
onde iλ é a nova estimativa de iλ .
Este procedimento faz com que a direção original seja defletida, de um valor
proporcional a ρ, para o interior da região viável. Como a deflexão é proporcional
a ρ e d0 é uma direção de decréscimo de f, é possível encontrar limites em ρ para
que d também seja uma direção de decréscimo. Este objetivo pode ser atingido
impondo-se que:
0t t
ak≤g d g d (2.36)
para ka ∈ (0; 1). Em geral, a taxa de decréscimo de f ao longo de d é menor que ao
longo de 0d . No entanto, este é o preço a ser pago para se obter uma direção de
decréscimo viável.
Considerando o sistema auxiliar:
1
1
t = −
d gW AA C λ λΛ
(2.37)
é fácil mostrar que:
0 1ρ+d = d d (2.38) e
0 1ρ+=λ λ λ (2.39)
Substituindo (2.38) em (2.36) chega-se a:
0
1
( -1)t
a tkρ ≤g dg d
(2.40)
Definida a direção de busca d, é necessário realizar uma busca linear restrita
ao longo dessa direção, de forma a garantir que o ponto gerado esteja no interior
da região viável. Além disso, é necessário atualizar os valores dos multiplicadores
de Lagrange de maneira a assegurar a convergência para a solução correta.
Programação Matemática - Princípios Básicos
32
2.8.1 Etapas do Algoritmo de Pontos Interiores (PI) O algoritmo de Pontos Interiores para problemas de restrições de
desigualdade necessita de um ponto inicial viável 0x , uma estimativa para os
multiplicadores de Lagrange de forma que λi > 0 e uma matriz B simétrica e
positiva definida, que é uma aproximação de W. O algoritmo pode ser dividido
nos seguintes passos (Herskovits & Santos, 1997):
1. Obter a direção de busca d:
a) Determinar os vetores 0 0( , )d λ através da solução do sistema linear
definido em (2.33).
b) Verificar o critério de convergência:
tol≤d (2.41)
c) Determinar os vetores 1 1( , )d λ através da solução do sistema linear
definido em (2.37).
d) Calcular o valor de ρ:
2
1 0 0 1
21 0
0, , ( 1) /
0,
t t tf a
tf
se entao = min k k
se entao = k
ρ
ρ
> − ≤
g d d g d g d
g d d(2.42)
sendo 0fk > .
e) Calcular a direção de busca d:
0 1ρ+d = d d (2.43) e
0 1ρ+=λ λ λ (2.44)
2. Fazer uma busca linear sobre d, determinando o tamanho do passo t que
satisfaça um critério sobre o decréscimo da função objetivo e para o
qual:
Programação Matemática - Princípios Básicos
33
( ) 0, s 0( ) ( ), s 0
i i
i i i
c x t e c x t c x e
λλ
+ ≤ ≥
+ ≤ <
dd
(2.45)
e o novo ponto x:
0x x t= + d (2.46)
3. Atualizar a matriz B, que é uma aproximação da Hessiana da função
Lagrangiana, através do método BFGS.
4. Definir uma nova estimativa para os multiplicadores de Lagrange:
2
0 0max ,ii ekλ λ = d (2.47)
sendo ke > 0.
5. Fazer x igual a 0x e retornar ao passo 1.
A aproximação inicial e o reinício da Hessiana da função Lagrangiana são
controlados pelos mesmos parâmetros utilizados pelo algoritmo de Programação
Quadrática Seqüencial.
2.9 Implementação
Os algoritmos foram implementados em linguagem FORTRAN-90 a partir
dos códigos utilizados por Parente (2000), sendo a maioria das rotinas transcritas
de C e outras modificadas de acordo com a adaptação do programa aos demais
módulos.
3 Análise Não-Linear Geométrica
3.1 Comentários Iniciais
Este capítulo começa com uma breve discussão sobre o comportamento não
linear, o objetivo da análise não linear, e o seu lugar na engenharia estrutural. As
fontes de não linearidade mais importantes no projeto de pórticos são listadas e a
formulação do problema será definida, onde são apresentados os referenciais
Lagrangianos. Estratégias para a solução numérica de equações não lineares são
mostradas, bem como as estratégias de incremento de carga, as estratégias de
iteração e os critérios de convergência. O capítulo termina mostrando soluções
clássicas existentes de alguns problemas elementares.
3.2 Comportamento Não-Linear, Análise e Projeto
O objetivo da análise estrutural é determinar o comportamento da estrutura
quando submetida a ações externas, ou seja, obter tensões, deformações e
deslocamentos. É importante notar que, a cada passo do processo de otimização, é
necessário se determinar a resposta da estrutura de forma a verificar se as
restrições de projeto são atendidas. Conseqüentemente, o processo de análise deve
ser o mais eficiente possível.
A maioria das estruturas de engenharia exibem um comportamento linear
elástico sob cargas de serviços. Existem exceções como arcos e edifícios altos, e
estruturas sujeitas a um escoamento localizado prematuro ou fissuração, por
exemplo, que apresentam um comportamento não-linear. Antes de alcançar o seu
limite de resistência, quase todas essas estruturas vão apresentar uma resposta
não-linear significante.
Na análise não-linear tenta-se melhorar a simulação do comportamento de
uma estrutura em alguns aspectos. O objetivo fundamental é se obter para fins de
projeto uma previsão segura do comportamento do sistema. Como conseqüência,
Análise Não-Linear Geométrica
35
tem-se um aumento da complexidade do problema e conseqüente aumento do
custo computacional.
3.2.1 Fontes de Não-Linearidade O comportamento não-linear de uma estrutura, sob ação de um
carregamento qualquer, pode ser classificado de acordo com seus efeitos. Dentre
as várias fontes de não linearidade, destacam-se:
Não-linearidade Física. Decorre do fato do material não apresentar uma relação
tensão-deformação linear (não segue a lei de Hooke), isto é, o comportamento do
material não é elástico linear. Os efeitos não lineares são descritos por formas
mais complexas de equações constitutivas (matrizes constitutivas não-lineares
e/ou equações constitutivas em termos de “taxas” ou “incrementos”). Pode-se ter
também não linearidade física nas relações momento-rotação de conexões semi-
rígidas ou flexíveis, ou de rótulas inelásticas oriundas de mecanismos de colapso
localizados (flambagem, plastificação ou fissuração localizadas em componentes
estruturais).
Não-Linearidade Geométrica. Uma estrutura pode ter um comportamento não-
linear, ainda que constituída de um material que obedeça à lei de Hooke. Para
valores relativamente grandes de deslocamentos, a deflexão lateral de um membro
pode trazer como conseqüência, o aparecimento de momentos fletores adicionais
(denominadas de segunda ordem), em virtude da presença de um esforço normal.
A esse tipo de comportamento não-linear, dá-se o nome de não-linearidade
geométrica. Neste caso os efeitos não lineares estão associados às equações de
equilíbrio, que consideram a configuração deformada, e as relações deformação-
deslocamento.
No presente trabalho será considerada somente a não-linearidade
geométrica.
Análise Não-Linear Geométrica
36
3.3 Formulação para a Análise Não-Linear Geométrica de Estruturas Reticuladas
A formulação para a análise não-linear geométrica de estruturas tem seus
fundamentos teóricos na teria da elasticidade não-linear, que faz parte da
mecânica dos sólidos. A não-linearidade geométrica aparece, na teoria da
elasticidade tanto nas equações de equilíbrio, que são escritas utilizando-se as
configurações deformadas do corpo, quanto nas relações deformação-
deslocamento, que incluem termos não lineares nos deslocamentos e suas
derivadas.
3.3.1 Descrição do Problema Neste trabalho, um procedimento incremental-iterativo será utilizado para
traçar o caminho de equilíbrio da estrutura ao longo do tempo. O problema
fundamental é ilustrado na figura 3.1 onde se examina a resposta de um membro
típico de pórtico (figura 3.1a), o tramo ab da estrutura. Sua configuração inicial,
V V
(a)
H
∆
(b)
H
∆
tt+∆t
y
0
t+∆t
(c) x
ba
a
ta
a
0
t+∆t
b
tb
b
0p
tp
t+∆tp
0x'
x'
x'
t
t+∆t
0y'
y't
y't+∆t
Configuração 0
Configuração t
Configuração t+∆t
Figura 3.1. Deformações do elemento.
Análise Não-Linear Geométrica
37
descarregada, indeformada (configuração 0), pode ser definida em termos do
sistema de coordenadas global fixo, x, y, ou em termos do sistema de coordenadas
locais, 0 0,x y′ ′ , no qual 0 x′ corresponde ao eixo da barra, no sentido a0, b0 (figura
3.1c). Considerando-se que, após a aplicação gradual do carregamento o sistema
muda da configuração 0 para a configuração t e que todas as variáveis do
problema já tenham sido determinadas nesta última configuração, estando o
sistema em equilíbrio. Pode-se agora tomar como referência o elemento ab na
configuração t ou no sistema de coordenadas globais ou no novo sistema local
atualizado, ,t tx y′ ′ , com t x′ determinado pelos extremos do elemento na nova
configuração. O elemento terá mudado a sua forma e dimensão neste processo,
mas as equações de equilíbrio formuladas desta forma estão satisfeitas e a posição
de qualquer ponto material, na posição inicial, p0, pode ser mapeada na nova
posição pt.
Tendo-se por base um estado de equilíbrio conhecido, em uma configuração
t, os procedimentos incrementais iterativos procuram determinar o próximo estado
de equilíbrio, em uma nova configuração +∆t t . As equações incrementais de
equilíbrio são obtidas a partir de aproximações lineares para os incrementos de
deslocamentos e deformações. Portanto, o equilíbrio em +∆t t não é satisfeito
exatamente e é necessário utilizar um procedimento iterativo em cada passo de
carga. Estes procedimentos serão estudados posteriormente. A relação correta
entre carga-deslocamento está indicada na figura. 3.1b.
Existem duas formas de descrição do movimento de um ponto material, p, a
descrição Lagrangiana e a Euleriana (McGuire, 2000). Para a análise de estruturas
a formulação Lagrangiana é mais natural, sendo aqui empregada. Na formulação
Lagrangiana usa-se as coordenadas de pontos materiais referidas à estrutura
indeformada (configuração 0) ou a uma estrutura de referência temporária
(configuração t). No referencial Lagrangiano Total (RLT), todas as variáveis
estáticas e cinemáticas no tempo +∆t t são referidas à configuração inicial
(indeformada) da estrutura, ou seja, o membro ab é referido a 0 0,x y′ ′ . Por outro
lado, no referencial Lagrangiano Atualizado (RLA), todas as variáveis estáticas e
cinemáticas são referidas à última configuração de equilíbrio da estrutura, ou seja,
o membro ab é referido a ,t tx y′ ′ .
Análise Não-Linear Geométrica
38
Comumente, as formulações RLT e RLA têm sido usadas na análise
incremental não-linear de pórticos. Quando desenvolvidas consistentemente, as
duas formulações geram matrizes de rigidez global e vetor de forças idênticos. Ao
longo deste trabalho, o RLA será adotado por sua eficiência computacional em
resolver problemas do tipo viga (Bathe, 1996).
3.3.2 Principio dos Deslocamentos Virtuais O princípio dos deslocamentos virtuais para corpos deformáveis é dado por
int extW Wδ δ= , para o equilíbrio em +∆t t , nós temos
t
t t t t t tt ij t ij t
V
T dV Rδ ε+∆ +∆ +∆=∫ (3.1)
onde ijT é o tensor de tensões Piola-Kirchhoff II, ε ij é o tensor de deformações de
Green-Lagrange e t tR+∆ é o trabalho virtual das forças externas. Aqui, o
sobrescrito +∆t t refere-se à configuração final e o subscrito t à configuração de
referência.
As tensões +∆t tt ijT podem ser decompostas em
+∆ ∆ ∆= + = +t t t t t t
t ij t ij t ij ij t ijT T T T T (3.2)
onde tt ijT , tensões Piola-Kirchhoff II na configuração t , são idênticas às tensões de
Cauchy, tijT , na mesma configuração, e ∆t
t ijT é o incremento das tensões de Piola-
Kirchhoff II entre [ , ]+ ∆t t t .
Para as deformações de Green-Lagrange e os incrementos de deslocamento
expressos em termos da configuração de referência, ε ε+∆t tt ij t ij= , tem-se,
1
, , , ,2 ( )ε = + +t ij t i j t j i t k i t k ju u u u (3.3)
Decompondo (3.3) em parcelas lineares e não-lineares, t ij t ij t ijeε η= + , tem-
se
Análise Não-Linear Geométrica
39
1, ,2 ( )= +t ij t i j t j ie u u e 1
, ,2 ( )η =t ij t k i t k ju u (3.4)
Substituindo (3.2) e (3.4) em (3.1), obtém-se
δ ε δ δ η∆ +∆+ + =∫ ∫ ∫t t t
t t t t tt ij t ij t ij t ij t ij t ij t
V V V
T dV T e dV T dV R (3.5)
A solução para a equação (3.5) não pode ser obtida diretamente, uma vez
que ela é não-linear nos incrementos dos deslocamentos. Para casos onde o
incremento de deformação t ijε dentro de cada passo da análise incremental pode
ser considerado pequeno, as seguintes suposições podem ser feitas (Yang & Kuo
1994)
∆ =t
t ij t ijrs t rsT C e e t ij t ijeδ ε δ= (3.6)
onde t ijrsC é o tensor da relação incremental de tensão-deformação. O resultado é
a equação linearizada
δ δ δ η +∆+ + =∫ ∫ ∫t t t
t t t tt ijrs t rs t ij t ij t ij t ij t ij t
V V V
C e e dV T e dV T dV R (3.7)
onde a segunda integral do lado esquerdo é igual ao trabalho virtual das forças
externas atuando no elemento na configuração t de equilíbrio
t
t tij t ij t
V
R T e dVδ= ∫ (3.8)
Então (3.7) se torna
t t
t t t tt ijrs t rs t ij t ij t ij t
V V
C e e dV T dV R Rδ δ η +∆+ = −∫ ∫ (3.9)
Na literatura, esta equação ou sua forma equivalente em termos de energia
são geralmente adotadas como base para o desenvolvimento de equações de
Análise Não-Linear Geométrica
40
elementos finitos para análise não-linear de elementos do tipo barra (treliça,
pórtico), placas e sólidos.
Com a discretização do campo de deslocamentos pelo método dos
elementos finitos, os termos da equação (3.9) podem ser representados por
produtos de matrizes e vetores como se segue:
{ } [ ]{ }T
t ijrs t rs t ij tV
C e e dVδ δ= ∆∫ eu k u (3.10)
e
{ } { }Ttij t ij t
V
T dVδ η δ = ∆ ∫ gu k u (3.11)
onde [ ]ek é a matriz de rigidez elástica, gk é a matriz de rigidez geométrica,
u∆ são os incrementos de deslocamento gerados durante o intervalo [ ],t t t+ ∆ .
Assumindo que somente cargas concentradas nodais são aplicadas nos
elementos, tem-se que:
{ } { }Tt tR δ= u f (3.12) e
{ } { }Tt t t tR δ+∆ +∆= u f (3.13)
onde { }t f são as forças atuando no elemento em t e { }t t+∆ f são as forças atuando
no elemento em t t+∆ .
Substituindo (3.10)-(3.13) em (3.9) e tomando um campo de deslocamento
arbitrário { }uδ , tem-se
{ } { } { }t t t+∆ + ∆ + = e gk k u f f (3.14)
que representa o incremento de forças no intervalo [ ],t t t+ ∆ . Uma interpretação
física de (3.14) pode ser dada como se segue : o incremento de forças
{ } { }t t t+∆ −f f será resistido não somente palas ações elásticas geradas por [ ]ek ,
Análise Não-Linear Geométrica
41
mas também pelas forças devidas à mudança da geometria representadas pela
matriz gk .
3.3.3 Aplicação a Elementos de Pórtico Plano Em elementos de pórtico plano existem dois componentes de tensões
independentes associados com dois componentes de deformação. Sejam as
tensões de Cauchy tτxx e tτxy e o vetor de deformações incrementais de Green de
t xxε e t xyε , onde as deformações são decompostas em parcelas lineares e não-
lineares da seguinte forma:
t xx t xx t xxeε η= + e t xy t xy t xyeε η= + (3.15)
Substituindo (3.15) em (3.9) tem-se
( ) ( )4 2t t t t txx xx xy xy xx xx xy xy
V V
Ee e Ge e dV dV R Rδ δ τ δη τ δη +∆+ + + = −∫ ∫ (3.16)
onde os fatores 4 e 2, foram adicionados para se levar em conta a simetria das
tensões cisalhantes e deformações, e o subscrito direito t para V e o subscrito
esquerdo t para t ije , t ijη , t ijrsC foram omitidos para melhor visualização. Tem-se
então que todas as variáveis da equação estão referidas à configuração t.
As deformações em um ponto arbitrário da seção x podem ser relacionadas
com os aos deslocamentos longitudinais e transversais, xu e yu , por
,xx x xe u= e 1, ,2 ( )xy x y y xe u u= + (3.17)
2 21, ,2 ( )xx x x y xu uη = + e 1
, , , ,2 ( )xy x y x x y y y xu u u uη = + (3.18)
Com base nas hipóteses de Euler-Bernouli, onde as seções transversais
inicialmente planas de uma viga permanecem planas e normais ao eixo da viga
após a deformação, os deslocamentos xu e yu em um ponto arbitrário podem ser
referenciados aos deslocamentos u e v do eixo da viga da seguinte forma
Análise Não-Linear Geométrica
42
xu u yv′= − e yu v= (3.19)
onde ( )´ denota a diferenciação em relação a x. Substituindo (3.19) em (3.17),
tem-se os termos lineares:
xxe u yv′ ′′= − e 0xye = (3.20)
e os não-lineares
2 2 2 21
2 ( 2 )xx u v y v yu vη ′ ′ ′′ ′ ′′= + + − e 12 ( )xy u v yv vη ′ ′ ′ ′′= − + (3.21)
As forças inicias são obtidas através de integrações das tensões de Cauchy
τxx e τxy, ou seja:
xx t t
A
P dAτ= ∫ ; t txy
A
Q dAτ= ∫ ; e t txx
A
M y dAτ= ∫ (3.22)
onde tP são as forças axiais, tQ o cisalhamento transversal, tM o momento fletor e
A é a área de seção transversal da viga.
Substituindo as equações (3.20) - (3.22) em (3.16), tem-se
( ) 2 2 2
0 0
1 ( ) ( )2
L Lt t z
zIEAu u EI v v dx P u v P v dxA
δ δ δ δ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′+ + + + ∫ ∫
{ } { }0
( ) ( )L
Tt t t t tM u v Q u v dxδ δ δ +∆′ ′′ ′ ′ + − = − ∫ u f f
(3.23)
O elemento de viga-coluna adotado é o esquematizado na figura 3.2. Trata-
se de um segmento reto, limitado pelos nós 1 e 2, que se deforma no plano de
definição da estrutura. As funções que relacionam os deslocamentos em um ponto
qualquer do elemento com os deslocamentos nodais são
{ }{ }1u u= N e { }{ }3v v= N (3.24)
Análise Não-Linear Geométrica
43
y
x
x',u
y',v
F ,ux2 2
F ,vy1 1
F ,vy2 2
M ,θz2 z2
M ,θz1 z1
1
2
L
β
F ,ux1 1
Figura 3.2. Elemento de pórtico.
onde N1 e N3 são funções de interpolação lineares dadas por
1 1 x xL L
= −
N (3.25)
2 3 2 3 2 3 2 3
3 2 3 2 2 3 2
3 2 2 3 21 x x x x x x x xxL L L L L L L L
= − + − + − − +
N (3.26)
e os vetores de deslocamentos { }u e { }v são definidos como
{ }1 2u u u= e { }1 1 2 2v v vθ θ= (3.27)
O primeiro termo de (3.23), de acordo com (3.10), representa a matriz de
rigidez elástica. Fazendo uso de (3.24) ele pode ser escrito como
{ } { }{ } { } { } { }{ } { }T T T T1 1
0 0
L L
zu EA dx u v EI dx vδ δ′ ′ ′′ ′′+∫ ∫ 3 3N N N N
(3.28)
Fazendo uso das funções de forma dadas em (3.25) e (3.26), integrando e
combinando-se os termos, a matriz elástica fica da seguinte forma
Análise Não-Linear Geométrica
44
3 2 3 2
2
3 2
0 0 0 0
12 6 12 60
4 6 20
0 0
12 6
4Simétrica
z z z z
z z z
z z
z
EA EAL L
EI EI EI EIL L L L
EI EI EIL L L
EAL
EI EIL L
EIL
− − − =
−
ek
(3.29)
Os componentes do segundo termo de (3.23), relacionados com a
deformação longitudinal e a interação entre a força axial e flexão, podem ser
escritos da seguinte maneira
{ } { }{ } { } { } { }{ } { }T T T T1 1
0 0
L Lt tu P dx u v P dx vδ δ′ ′ ′ ′+∫ ∫ 3 33N N N N
{ } { }{ } { }T T
0
Lt zIv P dx v
Aδ ′′ ′′+ ∫ 3 33N N
(3.30)
De acordo com a figura 3.3 e considerando a força cisalhante constante ao
longo do elemento, tM e tQ podem ser obtidos por
1 21
t tt t M MM M x
L+
= − + e 1 2 - t t
t M MQL+
= (3.31)
P
PM 1
M 2t
t
t
t
Figura 3.3. Elemento de pórtico.
O último termo de (3.23) representa as fontes de interação entre a flexão e a
deformação longitudinal. Fazendo uso de (3.24) e (3.31) tem-se
Análise Não-Linear Geométrica
45
{ } { }{ } { }T T1 21 1
0
L t tt M Mv M x dx u
Lδ
+ ′′ ′+ ∫ 3N N
{ } { }{ } { }T T1 21 1
0
L t tt M Mu M x dx v
Lδ
+ ′ ′′+ + ∫ 3N N
{ } { }{ } { }T T1 23 1
0
L t tM Mv dx uL
δ + ′ ′+ ∫ N N
{ } { }{ } { }T T1 21 3
0
L t tM Mu dx vL
δ + ′ ′+ ∫ N N
(3.32)
Fazendo uso das funções de forma dadas em (3.25) e (3.26), integrando e
combinando os termos das equações (3.30) e (3.32), a matriz geométrica fica da
seguinte forma
1 2
2 3
T
=
g g
g
g g
k kk
k k (3.33)
onde
1
3 21
0
12 665 10
42Simétrica15
tt
t tt tz z
ttz
MPL L
I P I PP PL AL AL
I PPLAL
−
= + + +
gk (3.34)
2
3 22
12 2
0
12 6605 10
6 610 10
tt
t tt tz z
t t tt tz z
MPL L
I P I PP PL AL AL
M I P I PP PL AL AL
− − = − − + − − − −
gk (3.35)
Análise Não-Linear Geométrica
46
2
33
0
12 265 30
42Simétrica15
tt
t tt tz z
ttz
MPL L
I P I PP PLL AL AL
I PPLAL
= + − + +
gk (3.36)
3.3.4 Montagem das Equações da Estrutura No referencial Lagrangiano Atualizado, a última configuração calculada é
tomada como referência para descrever o movimento da estrutura no passo
incremental de t para t+∆t. Com base nesta formulação, foi desenvolvida a
equação incremental de equilíbrio, equação (3.14). Nos métodos utilizados neste
trabalho a matriz + e gk = k k é chamada de matriz de rigidez tangente.
Uma vez que a equação incremental de equilíbrio foi desenvolvida para
cada elemento, o próximo passo é transformar essa relação para a estrutura em
estudo. Desta forma a equação (3.14) fica da seguinte forma
t t t+∆∆K u = P - P (3.37)
onde P é o vetor das forças externas e K é a matriz de rigidez da estrutura, ou de
maneira equivalente
∆ ∆ ∆F = K u = P (3.38)
onde ∆P é o incremento das forças externas e ∆F é o incremento das forças
internas.
O vetor de forças internas e os deslocamentos totais da estrutura são obtidos
de maneira incremental, ou seja, a cada passo de carga o acréscimo nas forças
internas e deslocamentos devem ser calculados. Para isso consideram-se válidas as
seguintes relações
t t t+∆ = ∆F F + F (3.39)
t t t+∆ = ∆u u + u (3.40)
Análise Não-Linear Geométrica
47
O problema estrutural não-linear a ser resolvido pode ser expresso da
seguinte forma:
0t t t t t t+∆ +∆ +∆= =R P - F (3.41)
onde R é o vetor de forças residuais e o sobrescrito à esquerda representa a
configuração considerada.
Pode-se ainda expressar P da seguinte forma
t t t tλ+∆ +∆
refP = P (3.42)
onde λ é o parâmetro de carga, refP é o vetor de forças nodais tomado como
referência.
O vetor de forças internas é obtido no sistema local e transformado para o
sistema global através de uma matriz de rotação T da seguinte forma
1
net t t t t t
i
+∆ +∆ +∆
=
=∑F T f (3.43)
com t t+∆ f dado pela equação (3.14).
Da mesma maneira, a matriz de rigidez global da estrutura é obtida a partir
das matrizes de rigidez do elemento, (3.29) e (3.33), e transformada para o sistema
global através de uma matriz de rotação T da seguinte forma.
1
neT
i=
= + ∑ e gK T k k T (3.44)
3.4 Estratégias de Solução para Problemas Não-Lineares
No esquema tradicional do método de Newton-Raphson, o parâmetro de
carga λ é mantido constante durante os ciclos iterativos, funcionando bem na parte
ascendente do caminho de equilíbrio (trecho OA), figura 3.4, mas falha ao
descrever esta curva após o primeiro ponto limite (ponta A), o que levaria a uma
incorreta avaliação da capacidade pois o equilíbrio será atingido no ponto C.
Análise Não-Linear Geométrica
48
Para se traçar à curva carga-deslocamento completa (trecho OABC), com
possíveis passagens pelos pontos limites, é necessário que seja permitida a
variação de λ a cada iteração.
λ
A
O
B
C
u Figura 3.4. Curva carga-deslocamento.
Basicamente, as dificuldades para o traçado da curva completa se devem ao
mau condicionamento da matriz de rigidez tangente nos pontos limites, onde ela é
singular,e o algoritmo apresentará um erro de over-flow na fatorização da matriz.
Felizmente esse não é um problema muito sério, pois é praticamente impossível
chegar precisamente em um ponto crítico.
3.4.1 Análise Incremental-Iterativa Considerando um instante t+∆t, que representa as diferentes etapas de
aplicação do carregamento e as correspondentes configurações de equilíbrio da
estrutura, tem-se que o vetor de forças residuais ( ) , 0,1,...t t w w+∆ =R , computado
após a w-ésima iteração de Newton-Raphson é dado por:
( ) ( ) ( ) 0t t w t t w t t wλ+∆ +∆ +∆= =refR P - F (3.45)
e ( ) ( ) )t t w t w+∆ ∆F = F( F, u (3.46)
A fim de se obter o próximo ponto de equilíbrio (w+1), as estratégias
incrementais para o tratamento de efeitos não-lineares consideram que em torno
de uma configuração deformada t t+∆ u , o problema é localmente linear. Desta
forma é feita uma expansão em série de Taylor da equação (3.45), sendo esta
Análise Não-Linear Geométrica
49
aproximada por termos lineares obtidos a partir do truncamento dos termos de
ordem superior da série:
( ) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) 0
t t w t t wt t w t t w w w
w t t wδ δλλ
+∆ +∆+∆ + +∆ + +
+∆
∂ ∂≅ + + ≅
∂∆ ∂R RR R u
u (3.47)
onde
( ) ( )
( )( )( ) ( )
t t w t t wt t T w
w w
+∆ +∆+∆∂ ∂
= − = −∂∆ ∂∆
R F Ku u (3.48)
sendo ( )TK a matriz de rigidez tangente, e
( )
( )
t t w
t t wλ
+∆
+∆
∂=
∂R P (3.49)
Substituindo as equações (3.48) e (3.49) em (3.47) e reorganizando os
termos se obtém a equação de equilíbrio
( )( ) ( 1) ( 1) ( )t t T w w w t t wδ δλ+∆ + + +∆K u = P + R (3.50)
onde δλ e δu são as correções do parâmetro de carga e dos deslocamentos nodais
obtidas durante o processo iterativo. De (3.50) tem-se que os deslocamentos
nodais iterativos (δu) podem ser decompostos em duas parcelas:
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)w w w wδ δ δλ δ+ + + += +g ru u u (3.51)
onde:
( )( ) ( 1) ( )t t T w w t t wδ+∆ + +∆=gK u R (3.52)
( )( ) ( 1)t t T w wδ+∆ + =rK u P (3.53)
A correção do parâmetro de carga, ( 1)wδλ + , única incógnita da equação
(3.51), é determinada seguindo uma das estratégias de iteração fornecidas a
Análise Não-Linear Geométrica
50
seguir, onde será introduzida uma equação de restrição que deve ser respeitada a
cada iteração. Para se considerar esses métodos de iteração tem-se inicialmente
que se supor que, para w=0, ∆λ0 tenha um valor prescrito dado pelo usuário ou
calculado automaticamente como será visto na seção 3.4.4.
Após a seleção de ∆λ0, determina-se o incremento inicial dos deslocamentos
nodais ∆u0. As aproximações ∆λ0 e ∆u0 caracterizam a chamada solução
incremental predita.
O primeiro passo para a obtenção da solução incremental inicial tangente
( 0λ∆ e 0u∆ ) consiste na montagem, usando informações da última configuração
de equilíbrio da estrutura, da matriz de rigidez tangente K. Após a definição de K,
resolve-se o sistema de equações:
( )t T δ =tK u P (3.54)
para determinar os deslocamentos nodais tangente, δut.
Com a definição de ∆λ0 e δut tem-se:
tuu δλ∆=∆ 00 (3.55)
Nesse estágio o parâmetro de carga e os deslocamentos nodais totais são
atualizados, ou seja:
0t t tλ λ λ+∆ = + ∆ (3.56)
0t t t+∆ = + ∆u u u (3.57)
onde λt e ut caracterizam o ponto de equilíbrio obtido no último passo de carga.
A Figura 3.5 fornece um esquema de solução incremental-iterativa para
sistemas com um grau de liberdade, onde os parâmetros de carga e o
deslocamento são atualizados seguindo a restrição de comprimento de arco
cilíndrico (Crisfield, 1991).
Análise Não-Linear Geométrica
51
δu1 δu2
∆u 0
∆u1
∆u2
ut
∆λ
∆λ0
2∆λ1
δλ2
tλ
∆l
λ
u
solução predita
restrição
δλ1
Figura 3.5. Solução incremental-iterativa: sistema com um grau de liberdade.
Com a obtenção da solução iterativa ( 1) ( 1)( )w weδλ δ+ +u , faz-se a atualização
das variáveis incrementais do problema:
( 1) ( ) ( 1)w w wλ λ δλ+ +∆ = ∆ + (3.58)
( 1) ( ) ( 1)w w wδ+ +∆ = ∆ +u u u (3.59)
Para o parâmetro de carga e os deslocamentos nodais totais tem-se que:
( 1) ( 1)t t w t wλ λ λ+∆ + += + ∆ (3.60)
( 1) ( 1)t t w t w+∆ + += + ∆u u u (3.61)
Os procedimentos descritos nessa seção são repetidos até que um dado
critério de convergência seja atendido (veja a seção 3.4.3).
Análise Não-Linear Geométrica
52
3.4.2 Estratégias de Iteração A determinação do parâmetro de carga iterativo, δλ(w+1) é função de uma
dada estratégia de iteração, ou equação de restrição imposta ao problema, que tem
a função de otimizar a convergência do processo iterativo. A seguir são
apresentadas duas estratégias bastante eficientes que serão utilizadas nos capítulos
seguintes.
3.4.2.1 Carga Constante Essa estratégia de iteração caracteriza o método tradicional de controle de
carga constante, no qual o parâmetro de carga é mantido constante durante o ciclo
iterativo. Para esse caso, tem-se que a equação de restrição se reduz à expressão
trivial:
( 1) 0wδλ + = w ≥ 0 (3.62)
Dessa forma a Equação (3.51) é reduzida aos deslocamentos fornecidos pelo
método convencional de Newton-Raphson.
3.4.2.2 Comprimento de Arco Cilíndrico Segundo Crisfield (1981), a cada iteração, a seguinte equação de restrição
deve ser satisfeita:
2T l∆=∆∆ uu (3.63)
Substituindo (3.51) em (3.59) e o resultado desta operação em (3.63), chega-
se a uma equação quadrática em δλ, a saber:
A B Cδλ δλ2 0+ + = (3.64)
onde, os coeficientes A, B e C têm a seguinte forma:
Análise Não-Linear Geométrica
53
( 1) ( 1)Tw wA δ δ+ += r ru u ( 1) ( ) ( 1)2 ( )
Tw w wB δ δ+ += ∆ +r gu u u (3.65) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 2( ) ( )w w T w wC lδ δ+ += ∆ + ∆ + −∆g gu u u u
Com a resolução de (3.64), chega-se aos dois valores δλ1 e δλ2, de forma
que se deve escolher entre as soluções:
( ) ( 1) ( 1)
1w w wδ δλ δ+ +∆ = ∆ + +1 g ru u u u
( ) ( 1) ( 1)2
w w wδ δλ δ+ +∆ = ∆ + +2 g ru u u u (3.66)
aquela que mais se aproxima da solução incremental da iteração anterior, ∆u(w).
Essa escolha deve prevenir um possível retorno, o que faria a solução regredir ao
longo do caminho já calculado. Um procedimento utilizado, consiste em se achar
o menor ângulo entre ∆u(w+1) e ∆u(w). Isto equivale a achar o máximo co-seno do
ângulo:
( )T T( ) ( ) ( 1)T T( ) ( 1) ( ) ( 1)
1,2 1,22 2 2cosw w w
w w w w
l l l
δ δθ δλ+
+ +∆ ∆ +∆ ∆ ∆= = +
∆ ∆ ∆
gr
u u uu u u u
(3.67)
Como (3.64) é uma equação quadrática, ela poderá ter raízes imaginárias se 2( 4 )B AC− for menor que zero. Essa situação pode existir quando o incremento
inicial do parâmetro de carga for muito grande, ou se a estrutura exibir múltiplos
caminhos de equilíbrio em torno de um ponto.
3.4.3 Critérios de Convergência O processo iterativo descrito termina indicando uma nova posição de
equilíbrio para a estrutura em análise quando um dos dois, ou os dois critérios de
convergência apresentados abaixo forem atendidos:
(1) o primeiro critério de convergência é baseado em relações de forças e é
calculado no início da iteração corrente utilizando parâmetros da iteração anterior.
Ele é definido como segue:
Análise Não-Linear Geométrica
54
( )
1 ( )
w
wζ ζ
λ= ≤
∆
R
P (3.68)
onde ( )wR é igual à norma euclidiana do vetor das forças desequilibradas, que é
calculada usando-se o parâmetro de carga e os deslocamentos nodais totais da
iteração anterior, ( )wλ∆ P é a norma euclidiana do vetor de incremento de
carregamento externo e ζ é um fator de tolerância fornecido pelo usuário do
programa como dado de entrada.
(2) o segundo critério de convergência obedece a relações de deslocamentos e é
sempre verificado no final da iteração corrente. Ele é definido por:
2 ( 1)w
δζ ζ
+= ≤
∆
uu
(3.69)
onde δu é a norma euclidiana dos deslocamentos iterativos (residuais), ( 1)w+∆u
é a norma Euclidiana dos deslocamentos incrementais, que são obtidos após a
correção do processo iterativo, e ζ segue a mesma definição do critério anterior.
(3) o terceiro critério de convergência consiste em obedecer a ambas as relações
(forças e deslocamentos) dadas em (3.68) e (3.69), assim este critério é verificado
se:
ζ≤ζζ≤ζ 21 e (3.70)
onde 21 e , ζζζ são definidos nos itens (1) e (2).
Análise Não-Linear Geométrica
55
3.4.4 Incremento Automático de Carga A obtenção da solução incremental inicial tem como passo fundamental a
definição do parâmetro de carga inicial ∆λ0. A seleção automática do tamanho do
incremento desse parâmetro é importante, e deve refletir o grau de não-linearidade
corrente do sistema estrutural em estudo. Em outras palavras, uma estratégia
eficiente de incremento automático de carga deve satisfazer basicamente os
seguintes requisitos: (i) produzir grandes incrementos quando a resposta da
estrutura for aproximadamente linear; (ii) gerar pequenos incrementos quando a
resposta da estrutura for fortemente não-linear; (iii) ser capaz de escolher o sinal
correto para o incremento, introduzindo medidas capazes de detectar quando os
pontos limites são ultrapassados.
A seguir são apresentadas algumas estratégias de incremento de carga que
satisfazem esses requerimentos.
3.4.4.1 Incremento do Comprimento de Arco Como proposto por Crisfield (1991), o incremento do comprimento de arco
a ser adotado como parâmetro de controle no passo de carga corrente pode ser
definido como:
1/ 2
t dt
Nl lN
∆ = ∆ (3.71)
onde t l e l∆ ∆ representam os incrementos do comprimento de arco no passos de
carga anterior (valor conhecido) e no passo de carga corrente (incógnita),
respectivamente; Nd é o numero de iterações desejadas para o processo iterativo
corrente, especificado pelo usuário, e t N é o numero de iterações que foram
necessárias para convergir no passo de carga anterior.
Através da Equação (3.71) e da condição de restrição escrita para a solução
incremental inicial:
0 0 2T
l∆ ∆ = ∆u u (3.72)
Análise Não-Linear Geométrica
56
chega-se facilmente, usando-se (3.55) e (3.72), à expressão do incremento inicial
do parâmetro de carga:
0
T
lλδ δ∆
∆ = ±t tu u (3.73)
O critério utilizado para escolher o sinal correto na expressão (3.73) é o
sugerido por Yang e Kuo (1994), baseando-se no sinal do parâmetro GSP, que
será apresentado na seção seguinte.
No programa desenvolvido nesse trabalho, o usuário deve especificar 01λ∆ como
dado de entrada, sendo este valor usado em seguida para calcular 01∆u através de
(3.55). Substituindo-se 0∆u na Equação (3.72), chega-se a 1l∆ . Para os passos de
carga seguintes, calcula-se automaticamente ∆l através de (3.71).
3.4.4.2 Incremento Baseado no Parâmetro GSP Uma estratégia baseada na introdução de um parâmetro de rigidez
generalizado foi adotada por Yang e Kuo (1994) para limitar o incremento inicial
do parâmetro de carga. O método de solução é denominado de estratégia de
controle de deslocamento generalizado. Yang e Kuo (1994) propuseram a seguinte
equação para avaliar o parâmetro de carga:
1 1
0 01
T
t T
δ δλ λδ δ
∆ = ± ∆ t t
t t
u uu u (3.74)
considerando-se o parâmetro de rigidez generalizado (GSP) do sistema como se
segue:
1 1 GSP
T
t T
δ δδ δ
= t t
t t
u uu u (3.75)
Pode-se, portanto, reescrever (3.74) da seguinte forma:
Análise Não-Linear Geométrica
57
0 01 GSPλ λ∆ = ± ∆ (3.76)
Observa-se que o sinal do incremento inicial de carga pode ser positivo ou
negativo. A escolha do sinal correto é de suma importância na definição de
seqüências de soluções (u, λ) que permitam um avanço contínuo na resposta
carga-deslocamento. De acordo com Yang e Kuo (1994), o sinal do parâmetro de
rigidez corrente depende exclusivamente dos vetores tδ tu (passo de carga
anterior) e δ tu (passo de carga corrente), conforme (3.75).
´+´
´+´´+´
´+´
´-´
´-´
û = δurt
ê = δur
û
û = δur
û
û
û
û
û
ê
ê
ê
ê
ê
ê
λ
u
Figura 3.6. Variação do sinal do parâmetro de rigidez generalizado (GSP).
O GSP torna-se negativo somente para o passo imediatamente após o ponto
limite, para os demais passos este permanecerá sempre positivo, o que pode ser
visto na figura 3.6.
3.5 Determinação dos Pontos Críticos
Os pontos críticos são aqueles em que um caminho de equilíbrio atinge um
valor extremo ou aqueles onde diferentes caminhos de equilíbrio se encontram.
Na figura 3.7 podem ser observados três pontos críticos (A,B e C), onde os pontos
(B e C) são chamados de pontos limite e o ponto (A) ponto de bifurcação. No
presente trabalho serão considerados somente pontos limite. Caso a estrutura
Análise Não-Linear Geométrica
58
apresente ponto de bifurcação, uma pequena imperfeição será considerada para se
eliminar a bifurcação.
Matematicamente, um ponto de equilíbrio é um ponto crítico se a matriz de
rigidez do modelo de elementos finitos for singular ( )det 0T =K . Além disso,
sabe-se que o equilíbrio é estável quando todos os autovalores são positivos o que
leva a ( )det 0T >K e torna-se instável quando o menor autovalor se torna negativo
e, portanto, ( )det 0T <K .
A
E
B
C
D
λ
u Figura 3.7. Pontos críticos de uma estrutura.
Conforme visto na seção acima, as estratégias de incremento automático de
carga têm como objetivo gerar pequenos incrementos quando a resposta da
estrutura for fortemente não-linear além de detectar pontos limites. A
determinação dos pontos críticos se faz de forma aproximada, através do sinal do
GSP, que controla os incrementos de carga, ou seja, a medida que o problema se
aproxima de um ponto limite, os incremento de carga dados pela equação (3.76)
se tornam muito pequenos, sendo tomado como ponto limite o valor
imediatamente após a inversão de sinal do GSP.
3.6 Exemplos
Nesta seção são apresentadas as soluções de alguns problemas estruturais
encontrados freqüentemente na literatura em função da acentuada não-linearidade
da relação carga-deslocamento. Pretende-se, assim, verificar a eficiência da
formulação de elementos finitos não-linear aqui apresentada, bem como
determinar a melhor malha a ser utilizada no processo de otimização. As
estruturas escolhidas apresentam grandes deslocamentos e pontos limite.
Análise Não-Linear Geométrica
59
Detalhes adicionais e outros problemas podem ser encontrados nas
referências ao longo do texto.
3.6.1 Pórtico de Lee Neste exemplo é feita a análise do chamado Pórtico de Lee. Esta estrutura é
interessante porque apresenta instabilidade por ponto limite depois de sofrer
grandes deslocamentos e rotações. É usada freqüentemente por pesquisadores para
validar estratégias de solução não-linear (Galvão, 2000; Parente, 2000). A
geometria do pórtico é mostrada na figura 3.8. Os valores numéricos empregados
são L = 120, H = 120, Lp = 24 e P = 1. A seção transversal do pórtico é retangular
de dimensões b = 3 e h = 2 e o módulo de elasticidade do material é 720.
Lp P
uθw
L
H
b
hA
Figura 3.8. Pórtico de Lee.
A estrutura foi analisada utilizando-se 5 malhas distintas, sendo 3 delas
ilustradas na figura 3.9. As malhas são formadas por elementos de pórtico. As
malhas com 20 e 100 elementos, não mostradas na figura, são subdivisões dos
modelos de 10 elementos
40
24 48 48
8 elem.
24 32 3232
10 elem.
24
30
6 elem.
Figura 3.9. Pórtico de Lee – malhas utilizadas.
Adotou-se a estratégia de iteração comprimento de arco cilíndrico
juntamente com o método de Newton-Raphson, com incremento automático do
Análise Não-Linear Geométrica
60
comprimento de arco controlando o valor inicial do parâmetro de carga, 0λ∆ . No
início do processo adotou-se: 01 0.01λ∆ = . Para controlar a convergência foi
adotado 310ζ −= .
Foram efetuadas análises para modelos estruturais com: 6, 8, 10 e 20
elementos finitos, mostradas na figura 3.10. A análise considerando um modelo
com 100 elementos foi feita para servir de referência e avaliar a precisão dos
resultados analisados.
0 20 40 60 80 100
-1
0
1
2
fato
r de
carg
a
deslocamento w
6 elementos 8 elementos 10 elementos 20 elementos 100 elementos
Figura 3.10. Pórtico de Lee – curvas de equilíbrio.
L1
L2
Figura 3.11. Pórtico de Lee – configuração deformada.
Utilizando os resultados apresentados na figura 3.10, pode-se verificar que a
estrutura apresenta dois pontos limite. Estes pontos, encontrados ao longo da
curva, foram detectados através da mudança de sinal do parâmetro GSP.
Análise Não-Linear Geométrica
61
TABELA 3.1 Pórtico de Lee – cargas críticas
Elementos da malha L1 L1 – erro (%) L2 L2 - erro (%)
06 1.97095 6.21 -1.24505 32.23 08 1.90181 2.48 -1.09332 16.11 10 1.88497 1.58 -1.04141 10.60 20 1.86291 0.39 -0.96560 2.55
100 1.85570 - -0.94161 -
A configuração deformada correspondente a cada um dos dois pontos limite
(L1 e L2) é ilustrada na figura 3.11. Pode-se verificar que esses pontos ocorrem
depois da estrutura sofrer grandes deslocamentos e rotações. O valor do fator de
carga crítica para as cinco malhas é mostrado na tabela 3.1. Estes resultados
mostram que o fator de carga em L1, obtido para a malha com 20 elementos, é
praticamente o mesmo que para a malha de 100. Portanto, como o interesse na
otimização é o ramo ascendente, utilizando-se apenas 20 elementos ao longo das
barras, o comportamento do pórtico é modelado com a precisão desejada. Os
valores obtidos para L1 e L2 concordam com os valores encontrados na literatura:
1.855cλ = e 0.9298cλ = − (Parente, 2000), respectivamente.
3.6.2 Pórtico de Williams Neste exemplo é feita a análise não-linear do Pórtico de Williams. Este
problema possui resultados analíticos e experimentais apresentados por (Williams
,1964), sendo freqüentemente utilizados para validar modelos numéricos (Yang e
Kuo, 1994). Esta estrutura apresenta um caminho de equilíbrio acentuadamente
P
uθw
L
H
b
hA
Figura 3.12. Pórtico de Williams.
não linear com perda de estabilidade por ponto limite. A geometria do pórtico é
mostrada na figura 3.12. Os valores numéricos empregados são L = 12.943, H =
Análise Não-Linear Geométrica
62
0.386, e P = 1. A seção transversal do pórtico é retangular de dimensões b = 0.753
e h = 0.243 e o módulo de elasticidade é 1.03 x107.
A estrutura foi analisada utilizando 5 malhas distintas formadas por 6, 8, 10,
20 e 100 elementos, sendo a subdivisão feita de forma uniforme para cada barra.
Adotou-se a estratégia de iteração com comprimento de arco cilíndrico
juntamente com o método de Newton-Raphson Padrão, com incremento
automático do comprimento de arco controlando o valor inicial do parâmetro de
carga, 0λ∆ . No início do processo adotou-se: 01 0.01λ∆ = . Para controlar a
convergência foi adotado 310ζ −= .
Os resultados das análises para as malhas selecionadas são apresentados na
figura 3.13. A análise considerando um modelo com 100 elementos foi feita para
servir de referência e avaliar a precisão dos resultados obtidos.
0,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,750
10
20
30
40
50
60
70
6 elementos 8 elementos 10 elementos 20 elementos 100 elementos
fato
r de
carg
a
deslocamento w
Figura 3.13. Pórtico de Williams – curvas de equilíbrio.
Analisando as curvas da figura 3.13, pode-se verificar que a estrutura
apresenta dois pontos limite. Estes pontos foram detectados através da mudança
de sinal do parâmetro GSP.
O valor do fator de carga crítica para as cinco malhas é mostrado na tabela
3.2. Estes resultados mostram que o fator de carga em L1 obtido para a malha com
20 elementos é praticamente o mesmo que o obtido com a malha de 100. Portanto,
Análise Não-Linear Geométrica
63
TABELA 3.2 Pórtico de Williams – cargas críticas
Elementos da malha L1 L1 – erro
(%) L2 L2 – erro (%)
06 35.46690 4.41 30.40257 2.81 08 34.75060 2.60 30.89583 1.24 10 34.42747 1.65 31.06543 0.69 20 34.00402 0.40 31.23855 0.14
100 33.87000 - 31.28282 -
como o interesse na otimização é apenas ramo ascendente, utilizando-se apenas
20 elementos ao longo das barras, o comportamento do pórtico é modelado com a
precisão desejada.
4 Análise de Sensibilidade
4.1 Considerações Gerais
Conforme visto no Capítulo 2, os algoritmos utilizados neste trabalho
necessitam das derivadas da função objetivo e das restrições em relação às
variáveis de projeto para determinar a direção de busca do processo de
otimização.
De forma geral, os gradientes da função objetivo e das restrições são
calculados a partir dos gradientes das respostas da estrutura determinadas na etapa
de análise. Dependendo do problema, as respostas de interesse podem ser
deslocamentos, tensões, freqüências naturais e cargas críticas. Outra grandeza de
interesse, muito utilizada como função objetivo, é o peso (volume) da estrutura.
A análise de sensibilidade, também chamada de gradientes das respostas da
estrutura, desempenha um papel central no processo de otimização pois é avaliada
a cada passo do algoritmo.
Neste capítulo, são desenvolvidas analiticamente as sensibilidades dos
deslocamentos e a sensibilidade da carga limite para o elemento de pórtico com
comportamento geometricamente não-linear, bem como uma aproximação
utilizada neste trabalho a fim de se adaptar as características da análise não-linear
vista no capítulo anterior. É apresentado também o método das diferenças finitas a
fim de se validar as formulações analíticas. Por fim são analisados alguns
exemplos para validar as implementações.
4.2 Método Analítico
O método analítico consiste na diferenciação direta das equações de
equilíbrio lineares e não-lineares. Para facilitar o desenvolvimento das equações
para o cálculo da sensibilidade, considera-se uma estrutura descrita por uma única
variável de projeto x.
Análise de Sensibilidade
65
4.2.1 Sensibilidade dos Deslocamentos A equação de equilíbrio na análise linear é dada por:
( ) ( ) ( )x x xK u = P (4.1)
derivando-se (4.1) em relação a variável de projeto x, obtém-se
( )d d dxdx dx dx
+K u Pu K = (4.2)
Reorganizando (4.2) temos
( )d d d xdx dx dx
−u P KK = u (4.3)
onde d dxu representa a sensibilidade dos deslocamentos com relação às
variáveis de projeto x. Para calcular d dxu , os seguintes passos devem ser
seguidos:
(i) resolver a equação (4.1) para u,
(ii) computar o lado direito da equação (4.3) (chamado de pseudo-forças),
(iii) resolver a equação (4.3) para d dxu usando a já decomposta matriz de
rigidez, realizando somente retrosubstituições com o vetor de pseudo-
forças.
Na análise não-linear, a equação de equilíbrio incremental é dada da
seguinte forma:
( ), ( ); ) ( ) ( ), ( ); ) 0t tx x x x x x x∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ =R( F u P - F( F u (4.4)
onde P é suposto, no caso geral, dependente das variáveis de projeto.
Derivando-se (4.4) em relação a variável de projeto x
0t
t
d d ddx dx dx x∆ ∂∆ ∂∆ ∆ ∂∆
− − − =∂ ∂∆ ∂
P F F F u FF u (4.5)
Análise de Sensibilidade
66
Reorganizando os termos de (4.5) e fazendo uso da seguinte relação
( )t t T+∆ ∂∆=
∂∆FKu (4.6)
tem-se
( )t
t t Tt
d d ddx dx dx x
+∆ ∆ ∆ ∂∆ ∂∆= − −
∂ ∂u P F F FK
F (4.7)
onde d dx∆u representa a sensibilidade dos incrementos de deslocamentos com
relação às variáveis de projeto x. A equação (4.7) pode ser escrita usando a
seguinte notação
( )
( ) ( )
t tt t T
x x
d d d ddx dx dx dx
+∆+∆
∆ ≠∆ ∆ ≠∆
∆ ∆ ∆= = −
u u u u
u R P FK (4.8)
onde o lado direito de (4.7) é diferenciado de forma total desconsiderando-se a
dependência implícita de ∆u sobre x.
Observa-se agora que, devido a formulação utilizar o RLA, tem-se um
problema dependente do caminho (path-dependent), ou seja, a sensibilidade das
forças internas td dxF computada na etapa anterior entra no lado direito da
equação (4.7), e sua atualização para o próximo passo é dada da seguinte forma:
( )
( )
t tt t T
x
d d ddx dx dx
+∆+∆
∆ ≠∆
∆ ∆= +
u u
F F uK (4.9)
A equação (4.8) é a equação básica para a solução da sensibilidade
incremental dos deslocamentos e algumas observações podem ser feitas ao seu
respeito:
• A matriz do lado esquerdo da equação (4.8) é a mesma matriz de rigidez
tangente obtida após a convergência para um ponto de equilíbrio.
• Na etapa de referência t, o lado direito da equação (4.8) é conhecido.
Análise de Sensibilidade
67
• A equação de sensibilidade em (4.8) é linear em d dx∆u . Assim nenhuma
iteração é necessária para resolvê-la.
• A sensibilidade é computada de forma incremental no final do passo, uma
vez conhecida a sensibilidade de td dxF no início do passo.
Conseqüentemente as sensibilidades incrementais têm que ser computadas
no final do passo, atualizadas e armazenadas para serem usadas no
próximo passo.
4.2.2 Método Analítico Aproximado (MAA) A equação (4.8), descrita acima, necessita de um grande esforço
computacional para o cálculo das sensibilidades incrementais. Em cada passo de
carga é necessário avaliar a sensibilidade dos deslocamentos incrementais, o que
envolve a resolução de um sistema de equações lineares para cada variável de
projeto x.
A determinação dos pontos críticos feita no presente trabalho (seção 3.5)
gera, com a diminuição do GSP, muitos incrementos de carga antes do ponto
crítico, o que tornaria o processo de otimização bastante lento se para cada ponto
de equilíbrio fossem atualizadas as sensibilidades incrementais. Para adaptar a
análise de sensibilidade ao presente trabalho, foram feitas algumas considerações
apresentadas a seguir.
A sensibilidade dos deslocamentos incrementais pode ser escrita da seguinte
forma:
t t td d d
dx dx dx
+∆∆=
u u u- (4.10)
Pré-multiplicando (4.10) por ( )t t T+∆ K e substituindo o resultado em (4.8),
tem-se
( ) ( )
( )
t t tt t T t t T
x
d d d ddx dx dx dx
+∆+∆ +∆
∆ ≠∆
∆ ∆= − +
u u
u P F uK K (4.11)
Tomando-se derivada de x da relação de equilíbrio no passo anterior dada
abaixo
Análise de Sensibilidade
68
( )( ( ); ) 0t t t
t t t Td d dx xdx dx dx x
∂ = − − = ∂P u FP -F u K (4.12)
e somando-se (4.12) a (4.11), tem-se a seguinte relação
( ) ( ) ( )
( )(
t t t t t tt t T t t T t T
x
d d d ddx dx x dx dx
+∆ +∆+∆ +∆
∆ ≠∆
∂ ∆= − − +
∂ u u
u P F F uK K - K ) (4.13)
onde
t t td d ddx dx dx
+∆ ∆= +
P P P (4.14)
Conforme visto na seção 3.44, as estratégias de incremento automático de
carga têm como objetivo gerar pequenos incrementos quando a resposta da
estrutura for fortemente não-linear e produzir grandes incrementos quando a
resposta da estrutura for aproximadamente linear, o que faz com que a variação da
rigidez da estrutura no intervalo [t, t +∆t] seja pequena, então
( ) ( ) 0t t T t T+∆ ≅K - K (4.15)
e o termo td dxu é eliminado de (4.13).
Finalmente, quando as forças externas P independem de x,
( )
( )
t t tt t T t t
x
d ddx x dx
+∆+∆ +∆
∆ ≠∆
∂ ∆= − − =
∂ u u
u F FK F (4.16)
onde t t+∆ F seria o vetor de pseudo-forças.
A equação (4.16) é uma equação aproximada para o cálculo da sensibilidade
total dos deslocamentos e algumas observações podem ser feitas a seu respeito:
• A matriz do lado esquerdo da equação (4.16) é a mesma matriz de rigidez
tangente obtida após a convergência para equilíbrio em t+∆t.
• Na etapa de referência t, o lado direito da equação (4.16) é conhecido.
Análise de Sensibilidade
69
• A equação de sensibilidade em (4.16) é linear em t td dx+∆ u . Assim
nenhuma iteração é necessária para resolvê-la.
• A sensibilidade t td dx+∆ u é computada a qualquer instante desejado, uma
vez conhecida a sensibilidade de t x∂ ∂F . Conseqüentemente, somente a
sensibilidade da força interna tem que ser computada no final do passo,
atualizada e armazenada para ser usada no próximo passo.
4.2.3 Sensibilidade da Carga Limite Para se calcular a sensibilidade da carga limite basta considerar o fator de
carga λ como dependente implicitamente de x, ou seja, o vetor de carregamento
externo fica definido como :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t tx x x x xλ λ λ+∆ +∆= = + ∆ref ref refP P P P (4.17)
onde refP é um vetor de referência de magnitude arbitrária.
Derivando-se (4.17) em relação a x, tem-se:
t t t t
t t dd ddx dx dx
λ λ+∆ +∆
+∆= + refref
PP P (4.18)
Assim a equação (4.13) fica da seguinte forma
( )t t t t
t t T t t t tdd ddx dx dx
λ λ+∆ +∆
+∆ +∆ +∆= + −refref
PuK P F (4.19)
No nível da carga crítica ( *t tλ λ+∆ = ), um asterisco é adicionado nos termos
de (4.19) para identificar o ponto onde eles estão sendo avaliados. Então se
escreve
* *
( )* *T dd ddx dx dx
λ λ= + − *refref
PuK P F (4.20)
Análise de Sensibilidade
70
A matriz de rigidez tangente ( )*TK é singular e ( )* ( )* 0T Tϕ ϕ= =TK K , onde
ϕ é o autovetor associado com o autovalor nulo da matriz ( )*TK . Pré-
multiplicando a equação anterior por ϕ T , tem-se
* *
( )* *T dd ddx dx dx
λϕ ϕ ϕ λ ϕ= + −T T T T *refref
PuK P F (4.21)
Eliminando os termos nulos ( )* ( )* 0T Tϕ ϕ= =TK K e isolando o termo com *d dxλ , tem-se
*
* dddx dxλϕ ϕ ϕ λ= −T T * T ref
refPP F (4.22)
Finalmente, tem-se a expressão para o cálculo da sensibilidade do ponto
limite:
**
dd dxdx
ϕ λλ
ϕ
− =
T * ref
Tref
PF
P (4.23)
ou, quando as forças externas refP independem de x
*d
dxλ ϕ
ϕ=
T *
Tref
FP (4.24)
A equação (4.24) é uma equação aproximada para o cálculo da sensibilidade
da carga crítica e algumas observações podem ser feitas a seu respeito:
• A sensibilidade é calculada de maneira direta, uma vez que o vetor das
pseudo-forças é calculado de maneira incremental e conhecido no ponto
crítico.
• O autovetor associado com o autovalor nulo da matriz é calculado através
do método das inversas generalizadas para a matriz ( )*TK .
Análise de Sensibilidade
71
4.3 Método das Diferenças Finitas (MDF)
A mais simples técnica para cálculo da sensibilidade com respeito a variável
de projeto é a aproximação por diferenças finitas. Esta técnica é geralmente cara
computacionalmente, mas é de fácil implementação e por isto muito usada.
A mais simples aproximação por diferenças finitas é a de primeira ordem,
chamada de diferença a frente. Seja a função ( )f x , onde x é a variável de projeto.
A aproximação de primeira ordem, f x∆ ∆ , para a derivada, df dx , é dada por:
( ) ( )f f x x f xx x
∆ + ∆ −=
∆ ∆ (4.25)
onde x∆ é uma perturbação absoluta, pequena o suficiente para produzir
resultados satisfatórios. Geralmente essa perturbação é definida através da
seguinte expressão:
x xη∆ = (4.26)
onde η é o valor da perturbação relativa.
A maior dificuldade no MDF é selecionar o valor da perturbação η , se for
selecionada uma pequena perturbação, para reduzir o erro de truncamento (pois a
derivada só é exata quando x∆ tende a zero), pode-se ter um excessivo erro de
arredondamento causado pela forma como os números reais são representados nos
computadores. Perturbações relativas entre 10-4 a 10-8 geralmente levam a bons
resultados, o suficiente para aplicações práticas.
4.4 Exemplos
Nesta seção são apresentados exemplos de análise de sensibilidade de
estruturas geometricamente não-lineares. Os exemplos tratam tanto da
sensibilidade dos deslocamentos nodais como da sensibilidade das cargas críticas
das estruturas. Os objetivos são verificar a validade das expressões apresentadas
neste capítulo, testar a implementação computacional e comparar a precisão dos
métodos discutidos anteriormente.
Análise de Sensibilidade
72
As estruturas foram analisadas através do MEF utilizando a estratégia de
iteração comprimento de arco cilíndrico juntamente com o método de Newton-
Raphson Padrão, com incremento automático do comprimento de arco
controlando o valor inicial do parâmetro de carga, 0λ∆ . No início do processo
adotou-se: 01 0.01λ∆ = . Para controlar a convergência foi adotado 310ζ −= . A
malha menos refinada possui 20 elementos e a malha mais refinada 100 elementos
sendo as mesmas utilizadas na seção 3.6.
O MDF foi utilizado para verificar a consistência das sensibilidades
calculadas pelo MAA, utilizou-se η variando de 10-4 a 10-8, sendo considerado
como válido o que melhor representa a tendência dos resultados. Geralmente a
perturbação de 10-5 apresentou bons resultados.
4.4.1 Pórtico de Lee A geometria do pórtico é mostrada na figura 4.1. O comportamento desta
estrutura foi estudado no capítulo anterior. Os valores numéricos empregados são
L = 120, H = 120, Lp = 24 e P = 1. A seção transversal do pórtico é retangular de
dimensões b = 3 e h1 = h2 = 2 e o material utilizado apresenta E = 720. As
variáveis de projeto são as alturas das barras (h).
H
L
Lp P
h1
h2uθw
Figura 4.1. Pórtico de Lee.
O deslocamento vertical (w) do ponto de aplicação da carga e a sua
sensibilidade calculada pelos MAA e MDF, para diversos fatores de carga, são
apresentados nas tabelas 4.1 e 4.2.
Análise de Sensibilidade
73
TABELA 4.1 Pórtico de Lee – deslocamentos e sensibilidades para h1
dw/dh1 λ n º de Elementos w MAA MDF
20 4.8014 -3.8981 -3.8949 0,6 100 4.8105 -3.9101 -3.9103 20 25.7312 -47.1949 -47.0603 1,5 100 25.8404 -47.1719 -47.1741 20 41.0602 -76.3053 -76.0002 1,8 100 41.3742 -77.7288 -77.7172
TABELA 4.2 Pórtico de Lee – deslocamentos e sensibilidades para h2
dw/dh2 λ n º de Elementos w MAA MDF
20 4.8014 -5.8162 -5.8122 0,6 100 4.8105 -5.8314 -5.8314 20 25.7312 -45.6404 -45.5511 1,5 100 25.8404 -45.8695 -45.8706 20 41.0602 -119.6585 -119.5125 1,8 100 41.3784 -126.3417 -126.3255
A carga crítica e a sua sensibilidade calculada pelos MAA e MDF são
mostradas na tabela 4.3.
TABELA 4.3 Pórtico de Lee – cargas críticas e sensibilidades
d crλ /dh1 d crλ /dh2 n º de elementos crλ
MAA MDF MAA MDF 20 1.86291 0.5665 0.5635 2.2323 2.2323 100 1.85570 0.5591 0.5623 2.2240 2.2280
4.4.2 Pórtico de Williams A geometria do pórtico é mostrada na figura 4.2. O comportamento desta
estrutura foi estudado no capítulo anterior. Os valores numéricos empregados são
P
uθw
L
Hh2h1
Figura 4.2. Pórtico de Williams.
Análise de Sensibilidade
74
L = 12.943, H = 0.386, e P = 1. A seção transversal do pórtico é retangular de
dimensões b = 0.753 e h1 = h2 = 0.243 e o módulo de elasticidade é 1.03 x 107. As
variáveis de projeto são as alturas das barras (h).
TABELA 4.4 Pórtico de Williams – deslocamentos e sensibilidades para h1
dw/dh1 λ n º de elementos W
MAA MDF 20 3.0740 x 10-2 -0.1154 -0.1155 10 100 3.0760 x 10-2 -0.1156 -0.1156 20 9.8397 x 10-2 -0.5899 -0.5908 25 100 9.8694 x 10-2 -0.5956 -0.5954 20 18.1613 x 10-2 -3.4035 -3.4066 33 100 18.4330 x 10-2 -3.7314 -3.7355
O deslocamento vertical (w) do ponto de aplicação da carga e a sua
sensibilidade calculada pelos MAA e MDF, para diversos fatores de carga, são
apresentados na tabela 4.4. A carga crítica e a sua sensibilidade calculada pelos
MAA e MDF são mostradas na tabela 4.5.
TABELA 4.5 Pórtico de Williams – cargas críticas e sensibilidades
d crλ /dh1 n º de elementos crλ
MAA MDF 20 34.005 17.1285 17.1001
100 33.870 17.0632 17.0823
5 Otimização de Dimensões
5.1 Considerações Gerais
O desejo de se obter o projeto ideal, considerando aspectos relacionados
com o consumo, desempenho ou eficiência, tais como quantidades mínimas de
peso, volume, massa, sempre foi um dos principais objetivos da engenharia
estrutural. Nos projetos atuais as estruturas são cada vez mais esbeltas e
complexas, no caso de pórticos as seções são reduzidas para se ganhar espaço
interno e diminuir o custo. As técnicas de otimização são ferramentas valiosas na
busca desse objetivo.
Um fator impulsionador no campo de otimização foi o desenvolvimento da
indústria aeroespacial onde o objetivo principal é se obter estruturas mais leves.
Em outras áreas, como a engenharia civil, mecânica e automotiva, o objetivo
principal é minimizar o custo da estrutura, embora o peso afete o custo e o
comportamento final do projeto.
A otimização de estruturas pode ser dividida em otimização de dimensões,
otimização de forma e otimização topológica. O objetivo da otimização topológica
é determinar a topologia ótima de uma estrutura através da eliminação de
elementos desnecessários e da criação de vazios. Na otimização de forma, busca-
se determinar a geometria ótima dos contornos externos e internos de estruturas
contínuas e das coordenadas nodais de estruturas reticuladas cujas dimensões e
topologia são fixas. A otimização de dimensões tem por objetivo determinar a
dimensão (seções transversais, espessuras, etc) de cada componente de uma
estrutura para a qual a forma e a topologia são fixas.
Durante o processo de otimização busca-se promover o aumento da
eficiência na utilização do material da estrutura. Uma otimização com base no
comportamento linear (físico e geométrico) gera, para um grande número de casos
práticos, uma estrutura com sérios problemas de instabilidade, pois a análise
fornece uma incorreta capacidade de carga da estrutura. Esses problemas podem
Otimização de Dimensões
76
ser evitados desde que o modelo de otimização seja formulado com o objetivo de
evitar problemas de instabilidade. Este é interesse principal deste trabalho.
5.2 Metodologia de Otimização
O problema de otimização a ser considerado neste trabalho consiste em
minimizar o peso da estrutura, considerando restrições sobre a carga crítica e
sobre os deslocamentos. Esta metodologia de projeto ótimo tem a vantagem de
tratar tanto o caso de estruturas que apresentam pontos críticos (ex: pilares) como
o de estruturas que apresentam grandes deslocamentos sem problemas de
estabilidade (ex: vigas).
Nesta metodologia, dois fatores de carga distintos devem ser considerados.
O primeiro corresponde à carga total aplicada (λa = 1), onde os deslocamentos
devem ser avaliados, e o segundo corresponde à carga crítica (λ*) da estrutura.
Assim, existe a possibilidade da ocorrência de duas situações, conforme ilustrado
na figura 5.1.
λλ*
λa
λ
λa
(a) λa < λ* (b) λa > λ*
u u
λ*
Figura 5.1. Situações encontradas na análise estrutural.
Na primeira situação, a carga aplicada é menor que a carga crítica (figura
5.1a). Neste caso, a análise pode ser completada sem problemas. Ao final, as
respostas da estrutura e os respectivos gradientes são avaliados.
A outra situação ocorre quando a carga aplicada é superior à carga limite da
estrutura (figura 5.1b). Neste caso, a análise não pode ser levada ao fim, pois a
carga aplicada não corresponde a nenhum ponto do caminho de equilíbrio.
Portanto, é impossível determinar os deslocamentos correspondentes ao nível de
Otimização de Dimensões
77
carga desejado. Como conseqüência, é impossível avaliar as sensibilidades destas
grandezas, e o algoritmo de programação matemática é incapaz de prosseguir.
Diferentes procedimentos podem ser utilizados para contornar este problema
(Parente, 2000; Melo, 2000). A idéia é empregar um problema modificado, de
maneira a sempre utilizar os deslocamentos avaliados em um nível de carga
inferior à carga crítica. Neste trabalho optou-se por uma solução mais simples.
Sempre que houver risco da carga crítica ficar abaixo da carga aplicada, utiliza-se
o algoritmo de pontos interiores.
Conforme discutido no Capítulo 2, o algoritmo de pontos interiores gera
uma seqüência de pontos no interior da região viável com valores decrescentes da
função objetivo. Portanto, a carga crítica de todos os projetos gerados é
obrigatoriamente maior que a carga aplicada. A única desvantagem deste
algoritmo é a necessidade de gerar um projeto inicial viável. Contudo, na maioria
das vezes, este não é um problema sério, pois é simples criar uma estrutura com
resistência maior que a necessária.
5.3 Formulação do problema de Otimização
O problema de otimização de estruturas geometricamente não lineares,
submetidos a carregamento estático, pode ser formulado da seguinte forma:
minimizar ( )f x nx ∈ℜ sujeito a ( ) 0jc x ≤ 1...j m= l u
i i ix x x≤ ≤ 1...i nsecs= (5.1)
O modelo considera dois tipos de restrições: estruturais e geométricas. As
restrições estruturais visam garantir que o projeto atenda aos limites especificados
para os deslocamentos e a carga crítica. As restrições geométricas têm por
objetivo garantir que a geometria do modelo seja válida.
As variáveis de projeto serão as alturas das seções transversais, hi. Para cada
grupo de seções transversais, nsecs, tem-se uma variável de projeto. A altura de
um elemento qualquer é a medida da seção na direção paralela ao plano da
estrutura.
Para tornar a apresentação mais geral será mantido x como notação, ficando
assim válida para qualquer outra variável de projeto.
Otimização de Dimensões
78
A função objetivo adotada será o volume da estrutura, no caso de estruturas
compostas por mais de um material, o volume deverá ser substituído diretamente
pelo peso da estrutura.
i i i1
ne
if V b h l
=
= = ∑ (5.2)
onde bi é a largura da seção, hi é a altura da seção, li é o comprimento do elemento
e o índice i se refere ao elemento.
As restrições sobre os deslocamentos nodais são calculadas com as ações
externas de serviço Q ( )1λ = e escritas como:
,lim= sign( ) 0dj j j jc u u u− ≤ , 1...j ndr= (5.3)
onde ,limju é o deslocamento máximo permitido e ndr é o número de
deslocamentos nodais restritos.
O valor do fator de carga crítico é controlado pela restrição:
*= - 0l
jc λ λ ≤ (5.4)
onde λ é o fator de carga limite e *λ é o fator de carga crítico.
Restrições laterais, na forma de limites diretamente impostos à variável de
projeto, são também incluídas:
l ui i ix x x≤ ≤ (5.5)
onde lix é o limite inferior e u
ix é o limite superior da variável de projeto ix .
5.3.1 Fatores de escala A diversidade de medidas presente no problema de otimização pode
acarretar diferenças significativas entre as suas magnitudes e causar problemas na
estabilidade numérica do algoritmo de solução. Desta forma a variável de projeto,
Otimização de Dimensões
79
x, é definida como a razão entre o valor corrente do parâmetro e o correspondente
valor inicial, i. e.,
= ii 0
i
xxx
(5.6)
A derivada em relação a x é obtida na forma
(.) (.)0d d= xdx dx
(5.7)
A função objetivo e as restrições ficam definidas em termos da variável de
projeto adimensional, onde a função objetivo é agora a relação entre o volume
corrente da estrutura (V) e o volume inicial (V0):
0
VfV
= (5.8)
As restrições são reescritas de forma adimensionalizada, a saber
,lim
= sign( ) 1 0jdj j
j
uc u
u− ≤
(5.9)
*
= 1- 0lc λλ
≤ (5.10)
e as restrições laterais
l ui i ix x x≤ ≤ (5.11)
5.3.2 Cálculo dos gradientes Os algoritmos de programação matemática utilizados neste trabalho
precisam dos gradientes da função objetivo e das restrições para a determinação
Otimização de Dimensões
80
da direção de busca. Assim, derivando-se a equação (5.8), obtém-se o gradiente da
função objetivo:
1
i 0 i
df dVdx V dx
= (5.12)
onde, conforme (5.7), tem-se
0
i i
dV dVxdx dx
= (5.13)
Para a variável de projeto x igual a h, a equação (5.12) toma a seguinte
forma:
1
1 ne0
i i iii 0
df b h ldh V =
= ∑ (5.14)
Verifica-se que esta expressão é uma função dos valores iniciais de h, desta
forma ela é constante durante o processo de otimização.
Partindo-se da equação (5.9), os gradientes das restrições sobre os
deslocamentos nodais podem ser escritos como:
,lim
sign( )=
d d dj j j j j j
i i i j i
dc c c du u dudx x u dx u dx
∂ ∂+ =
∂ ∂ (5.15)
onde a derivada do deslocamento resultante é dada pela expressão:
j j0
i i
du dux
dx dx= (5.16)
que é função das sensibilidades dos deslocamentos j idu dx .
Derivando-se a equação (5.10), tem-se o gradiente da restrição de
instabilidade, que pode ser escrito como:
Otimização de Dimensões
81
*1= -l
i i
dc ddx dx
λλ
(5.17)
onde
* *
0
i i
d dxdx dxλ λ
= (5.18)
que é função da sensibilidade do ponto limite *id dxλ .
5.4 Implementação da Formulação
A formulação apresentada foi desenvolvida em linguagem FORTRAN 90, a
escolha da linguagem é justificada pelo fato do programa de análise não-linear já
estar implementado em FORTRAN 77/90. O programa de análise foi inicialmente
implementado por Silveira (1995) para problemas de contato e posteriormente
expandido por Rocha (2000), que implementou com sucesso algumas estratégias
de solução não-linear encontradas recentemente na literatura e Galvão (2000) que
implementou formulações de elementos finitos geometricamente não-lineares. O
programa foi adaptado ao presente trabalho para incorporar as rotinas de análise
de sensibilidade como será visto a seguir.
O sistema computacional desenvolvido neste trabalho é composto
basicamente por dois módulos: análise (estrutural e sensibilidade) e otimização. O
gerenciamento dos módulos se faz através de um programa principal, conforme
será visto abaixo.
5.4.1 Programa Principal O fluxograma do programa principal é mostrado na figura 5.2. Nele é feita a
leitura de dados (1) que define o tipo de análise a ser utilizada, linear ou não-
linear. Neste mesmo arquivo encontram-se as definições do modelo de elemento
finito adotado (número de pontos nodais, número de elementos, número de
materiais, número de seções, dimensão do problema, número de pontos nodais,
coordenadas nodais; incidência nodal, propriedades físicas e geométricas dos
elementos, condições de contorno, etc).
Otimização de Dimensões
82
Alocar memória
Retornar
Início
Pontos Interiores Han-Powell
Define os parâmetros
do algoritmo
Algoritmo?
Define os parâmetros
do algoritmo
Leitura de dados (1)
Leitura das restrições
Imprimir saida da otimização
Alocar memória
Alocar memóriaDesalocar memória
Algoritmo de Pontos Interiores
Algoritmo de Pontos Interiores
Figura 5.2. Fluxograma do programa principal.
Após esta fase, o controle é passado para o algoritmo de programação
matemática. Quando necessário este algoritmo vai requisitar os valores da função
objetivo, das restrições e dos respectivos gradientes.
5.4.2 Processo de Otimização O problema de otimização descrito na seção 5.3 tem a forma padrão dos
problemas de programação matemática. Portanto, qualquer algoritmo de
otimização com restrições de desigualdade pode ser utilizado para sua solução.
Contudo, no caso de estruturas não-lineares com problemas de instabilidade, pode
ser mais conveniente utilizar o algoritmo de pontos interiores.
A forma geral dos algoritmos de programação matemática é ilustrada na
figura 5.3. Estes algoritmos são compostos por duas etapas principais: o cálculo
da direção de busca e a determinação do tamanho do passo (busca linear). Para
Otimização de Dimensões
83
determinar a direção de busca, os algoritmos utilizam os valores correntes da
função objetivo e das restrições, bem como os gradientes destas grandezas em
relação às variáveis de projeto. Na etapa de busca linear, apenas os valores da
função objetivo e das restrições são utilizados.
Alocar memória
Retornar
Calcular a direção de busca
Definir xo
Fazer busca linear para obter o novo x
Convergiu ?
não
sim
Início
Figura 5.3. Forma geral dos algoritmos de PM.
A comunicação entre o algoritmo de otimização e o restante do sistema
computacional se dá através de duas funções, denominadas Análise/Sensibilidade
e Gradiente. A primeira é responsável pelo cálculo do valor da função objetivo,
das restrições e dos gradientes das respostas da estrutura, enquanto que a segunda
é responsável pelo cálculo dos gradientes da função objetivo e gradientes das
restrições.
Quando o algoritmo de programação matemática necessita do valor da
função objetivo e das restrições, a função Análise/Sensibilidade é chamada. As
tarefas realizadas por esta função são descritas na figura 5.4. Na análise estrutural
dispõe-se de outro arquivo de dados com as informações que controlam a solução
incremental-iterativa (número de incrementos de carga, número máximo de
iterações, incremento de carga inicial, tolerância para convergência, etc). Detalhes
adicionais sobre a implementação da análise estrutural podem ser encontrados em
Silveira (1995), Rocha (2000) e Galvão (2000). Finalmente, com base nos
resultados da análise, determinam-se os valores da função objetivo e das
restrições.
Otimização de Dimensões
84
Conforme visto no capítulo 4, a análise de sensibilidade é feita em conjunto
com a análise estrutural, a cada passo de carga é atualizada a sensibilidade das
forças internas que será utilizada no nível de carga prescrito para cálculo da
sensibilidade dos deslocamentos e no ponto limite para cálculo da sensibilidade
do ponto limite.
Linear Não-linear
Montagem da matriz de rigidez K
Cálculo de ∆λ e ∆u0 0
Processo iterativo Newton-Rapshon
Cálculo de parâmetros do próximo incremento
Proc
esso
incr
emen
tal i
tera
tivo
A
Montagem do vetor de forças externas Q
Montagem da matriz de rigidez linear KL
Cálculo dos deslocamentos
nodais u
Montagem do vetor de pseudo-load p
Cálculo da sensibilidade dos deslocamentos
nodais du
Análise?
Montagem do vetor de cargas de referencia P
Retornar
λ (?)
λ≠[1,λcr]
λ =λcr
Cálculo da sensibilidade da carga crítica dλ
Cálculo da sensibilidade dos deslocamentos
nodais du
Leitura de dados (2)
λ =1
Início
Avaliar função objetivo e restrições
Figura 5.4. Fluxograma da função Análise/Sensibilidade.
A função Gradiente é mais simples, pois ela é chamada após uma chamada
à função Análise/Sensibilidade. Assim, na função Gradiente, é necessário apenas
avaliar o gradiente da função objetivo e o gradiente das restrições em relação às
variáveis de projeto, observando que o gradiente das restrições, equações (5.15)-
(5.18), são funções das sensibilidades da estrutura que já retornam da função
Análise/Sensibilidade.
Otimização de Dimensões
85
5.5 Exemplos
Nesta seção serão apresentados exemplos de otimização de dimensões
utilizando análises lineares e não-lineares, empregando o sistema computacional
desenvolvido neste trabalho. As estruturas foram otimizadas utilizando-se os
algoritmos de Programação Quadrática Seqüencial (PQS) desenvolvido por
Wilson, Han e Powell e o algoritmo de Pontos Interiores (PI) desenvolvido por
Herskovits.
Os dois algoritmos foram apresentados no Capítulo 2, onde foram
apresentados os diversos parâmetros que influenciam o desempenho de cada
algoritmo. Entre os parâmetros numéricos do algoritmo de PQS estão a tolerância
para convergência (tol1) e a tolerância para violação de restrições (tol2). O
algoritmo possui ainda dois parâmetros adicionais, bz e gz. Os parâmetros
numéricos do algoritmo de PI são a tolerância para convergência (tol), os
coeficientes de deflexão da direção de busca (ka e kf) e o coeficiente para a
atualização dos multiplicadores de Lagrange (ke).
Os dois algoritmos utilizam os mesmos procedimentos para a atualização da
Hessiana da função Lagrangiana e para a busca linear. Os parâmetros de controle
destas etapas são o número de iterações para o reinício da matriz B (nr), o valor
inicial dos elementos desta matriz (b0), o coeficiente de decréscimo da função
objetivo (γ) e o valor base para a definição da seqüência de valores do tamanho do
passo (α).
Os valores usuais dos diversos parâmetros são mostrados na tabela 5.1. Nos
exemplos apresentados neste capítulo, alguns destes parâmetros foram variados de
maneira a melhorar o desempenho dos algoritmos. Quando valores diferentes dos
contidos na tabela 5.1 forem utilizados, eles serão explicitamente indicados.
TABELA 5.1 Valores usuais dos parâmetros.
rn 0b γ α 1tol 2tol zb zg tol ak ek fk
5 0.1 0.1 0.5 10-4 10-4 10-4 102 10-4 0.7 1.0 1.0
Os dois algoritmos requerem que os gradientes sejam calculados uma vez a
cada iteração, portanto o número de vezes que as sensibilidades são avaliadas é
igual ao número de iterações. Por outro lado, o número de análises é maior ou
igual ao número de iterações, pois durante a busca linear pode ser necessário
Otimização de Dimensões
86
avaliar a função objetivo e as restrições várias vezes. Portanto, o desempenho de
cada algoritmo será avaliado de acordo com o número de iterações para
convergência (nit) e o número de chamadas à função de análise (nf).
5.5.1 Pórtico de Williams O primeiro exemplo a ser otimizado é o pórtico de Williams. O
comportamento desta estrutura foi estudado nos capítulos 3 e 4. O objetivo é
determinar as dimensões das barras de maneira a minimizar o volume, impondo-
se restrições sobre os deslocamentos e a carga crítica. A geometria, as condições
de contorno e o carregamento da estrutura são mostrados na figura 5.5. Os demais
dados do problema são L = 12.943, H = 0.386 e P = 10. A seção transversal do
pórtico é retangular com b = 0.753, e o módulo de elasticidade do material (E) é
1.03 x 107.
P
uθw
L
H
5 x hi
Figura 5.5. Pórtico de Williams.
O modelo possui 10 variáveis de projeto, sendo cinco por barra, devido a
simetria esse número se reduz à metade. O valor inicial das alturas é 0.2430ih = ,
i= 1..5, divididas igualmente da esquerda para a direita. São utilizadas restrições
geométricas de maneira que a altura de cada grupo de elementos não seja inferior
a 0.05. O volume inicial do pórtico é igual a 4.7387.
TABELA 5.2 Pórtico de Williams – resumo dos resultados
caso Vol ,maxju *λ nit nf
Linear (PI, b0 =1.0) 1.19062 0.14998 0.1029 8 11 Não Linear (PI, b0 =1.0) 2.84012 0.08240 1.2000 11 21
O volume da estrutura foi minimizado considerando dois procedimentos de
análise, linear e não linear. Uma restrição estrutural foi imposta no nó central de
forma que o deslocamento vertical seja inferior a 0.15. A malha utilizada para a
Otimização de Dimensões
87
análise estrutural é formada por 20 elementos de pórtico distribuídos igualmente
nas barras. O resumo dos resultados obtidos nos dois casos é mostrado na tabela
5.2.
Na minimização, supondo um comportamento linear, o volume obtido é
bastante inferior ao volume inicial, demonstrando o sucesso da otimização, mas a
estrutura apresenta instabilidade por ponto limite para um nível de carga muito
inferior à carga aplicada quando é feita a análise não-linear da mesma.
Com o objetivo de evitar os problemas encontrados na análise linear, a
estrutura foi otimizada utilizando uma análise não linear, incluindo-se a restrição
de estabilidade. Esta restrição impõe que a carga crítica seja pelo menos 20%
maior que a carga aplicada ( 1.2λ = ).
Após a otimização, verifica-se que o volume não diminuiu tão
sensivelmente quanto no caso anterior, mas a estrutura otimizada apresenta uma
carga crítica superior à carga aplicada, o que garante a sua estabilidade. Pode-se
notar também que o deslocamento obtido está bem abaixo do limite máximo, ou
seja, a restrição estrutural ativa é a restrição sobre a carga crítica.
TABELA 5.3 Pórtico de Williams – dimensões finais
caso 1h 2h 3h 4h 5h Linear 0.063 0.060 0.059 0.060 0.063 Não Linear 0.150 0.128 0.139 0.162 0.149
A descrição da situação final das dimensões pode ser vista na tabela 5.3.
Com base nestes resultados, verifica-se que a altura da seção transversal é
praticamente constante em todo o comprimento do pórtico na análise linear. Com
a inclusão da restrição de estabilidade e a consideração da não-linearidade
geométrica, há uma variação maior nas dimensões.
Para a análise não-linear utilizou-se a estratégia de iteração comprimento de
arco cilíndrico juntamente com o método de Newton-Raphson Padrão ( 310ζ −= ),
com incremento automático do comprimento de arco ( 01 0.01λ∆ = ).
Os segundo caso descrito foi otimizado através do algoritmo de PI, pois o
algoritmo PQS apresentou sérios problemas de convergência.
Otimização de Dimensões
88
5.5.2 Pórtico de Lee A estrutura a ser otimizado agora é o pórtico de Lee. O comportamento
desta estrutura foi estudado nos capítulos 3 e 4. O objetivo é determinar as
dimensões das barras de maneira a minimizar o volume, impondo-se somente uma
restrição na carga crítica. A geometria do pórtico é mostrada na figura 5.6. Os
valores numéricos empregados são L = 120, H = 120, Lp = 24 e P = 1. A seção
transversal do pórtico é retangular com b = 3, e o módulo de elasticidade do
material (E) é 720.
L
H
LpP
a
cb d
5 x hi
5 x hi
Figura 5.6. Pórtico de Lee.
A malha utilizada para a análise estrutural é formada por 20 elementos
distribuídos igualmente nas barras. O modelo possui 10 variáveis de projeto,
sendo cinco por barra. O valor inicial das alturas é 20ih = , i= 1..10, divididas
igualmente de baixo para cima no pilar e da esquerda para a direita na viga.
Como a estrutura apresenta grandes deslocamentos e problemas de
instabilidade, as respostas da estrutura são calculadas através de uma análise não-
linear. Para a análise não-linear utilizou-se a estratégia de iteração comprimento
de arco cilíndrico juntamente com o método de Newton-Raphson Padrão
( 310ζ −= ), com incremento automático do comprimento de arco ( 01 0.01λ∆ = ).
São utilizadas restrições geométricas de maneira que a altura de cada grupo
de elementos não seja inferior a 1. O volume inicial do pórtico é igual a 1440.
No capítulo 3 foi determinada a carga crítica desta estrutura, *λ =1.86291.
Pretende-se aqui minimizar o volume considerando uma carga crítica 50% e 100%
maior que a da estrutura inicial, ou seja λ =2.79 e 3.72, valores estes que tornam o
Otimização de Dimensões
89
projeto inicial inviável, portanto, apenas o algoritmo de PQS será utilizado. A
descrição dos resultados se encontra na tabela 5.4.
TABELA 5.4 Pórtico de Lee – resumo dos resultados
λ Vol ,maxju *λ nit nf 2.79 1187.8 41.404 2.789 15 33 3.72 1280.4 37.645 3.721 14 28
Como não foram impostas restrições de deslocamento, o algoritmo gerou
uma estrutura com grandes deslocamentos e, conforme o desejado, com carga
crítica superior aos limites impostos, conforme visto na tabela 5.4. As descrições
finais das dimensões se encontram nas tabelas 5.5 e 5.6. Uma representação
esquemática das dimensões finais e do gráfico do momento fletor é mostrada na
figura 5.7.
TABELA 5.5 Pórtico de Lee – dimensões finais - pilar
λ 1h 2h 3h 4h 5h 2.79 1.381 1.531 1.000 2.073 2.124 3.72 1.512 1.751 1.000 2.299 2.317
TABELA 5.6 Pórtico de Lee – dimensões finais - viga
λ 6h 7h 8h 9h 10h 2.79 2.328 2.458 1.603 1.000 1.000 3.72 2.527 2.678 1.699 1.000 1.000
h2
h1
h3
h6
h5
h4
h7 h8 h9 h10
h2
h1
h3
h5
h4
h6 h7 h8h9 h10
Estrutura Inicial λ = 2.79h2
h1
h3
h5
h4
h6 h7 h8h9 h10
λ = 3.72
Figura 5.7. Alturas das seções transversais / momento fletor.
Otimização de Dimensões
90
Neste exemplo, observa-se que, mesmo partindo de uma estrutura com carga
crítica bastante inferior àquela desejada, o algoritmo de otimização de dimensões
foi capaz de reduzir o volume.
5.5.3 Pórtico com três barras A geometria do pórtico é mostrada na figura 5.8. Uma carga distribuída
horizontal (h=κq) aplicada na mesma região que a carga vertical (q) foi
considerada para forçar a flambagem lateral do pórtico, eliminando assim a
flambagem simétrica. Os valores numéricos empregados são L = 1000, q = 100,
κ=0.001, e E = 21000000. A seção transversal do pórtico é retangular com a base
igual a 5.
A geometria da estrutura é modelada com 10 elementos por barra divididos
uniformemente. O modelo de otimização é formado por 20 alturas (h), sendo 10
para a viga e 5 para cada pilar, para garantir a simetria considerou-se as alturas
indicadas na figura 5.8. Assim, o número de variáveis de projeto caiu de 20 para
10. O valor inicial das alturas é 200ih = , i= 1..5 nos pilares, distribuídas
igualmente de baixo para cima, e 600ih = i= 6..10 nas vigas, distribuídas
igualmente da esquerda para a direita em ½ vão.
q
ac
ed
b
L
L
L/2
h
fg5 x hi
5 x hi
Figura 5.8. Pórtico com três barras.
São utilizadas restrições geométricas de maneira que a altura de cada grupo
de elementos não seja inferior a 10. O volume inicial do pórtico é igual a 500000.
Os deslocamentos, verticais e horizontais, nos nós a, b, c, d, e e são limitados ao
Otimização de Dimensões
91
valor máximo de 7 em módulo. As coordenadas dos nós restritos estão na tabela
5.7.
TABELA 5.7 Pórtico com três barras – nós restritos
Nó A b c d e f g x 500 1000 1000 1000 1000 1000 1000 y 500 1000 900 800 700 600 500
Os resultados obtidos são apresentados nas tabelas 5.8 a 5.10:
TABELA 5.8 Pórtico com três barras – resumo dos resultados Caso Vol ,maxju nit nf Linear 220459.66 6.9936 18 25 Não Linear 264968.36 7.0000 16 36
TABELA 5.9 Pórtico com três barras – dimensões finais - pilares Caso 1h 2h 3h 4h 5h Linear 10.002 10.002 10.002 10.002 10.002 Não-Linear 10.000 12.208 14.942 15.861 15.085
TABELA 5.10 Pórtico com três barras – dimensões finais - vigas Caso 6h 7h 8h 9h 10h Linear 14.968 21.466 25.388 28.312 30.309 Não-Linear 21.690 24.877 26.606 27.579 28.025
Observando as dimensões finais do pórtico nota-se que o volume no caso
linear poderia ser menor ainda, pois todas as restrições geométricas dos pilares
estavam ativas. Verifica-se que a otimização fez com que a altura da viga seja
maior no centro, onde o momento fletor é maior.
A estrutura perfeita apresenta bifurcação associada a um modo de
flambagem lateral. Com a inclusão da imperfeição o caminho de equilíbrio se
afasta do caminho da estrutura perfeita e a mesma deixa de apresentar pontos
críticos. A inclusão da carga horizontal, κq, torna os deslocamentos horizontais
significativos mesmo para níveis baixos de carregamento.
Uma análise não-linear foi feita para as dimensões finais da otimização
considerando o comportamento linear, observa-se na figura 5.9 que o pórtico
Otimização de Dimensões
92
apresenta grandes deslocamentos laterais para um nível de carga muito inferior a
aplicada. Isto se deve principalmente ao aumento da esbeltez dos pilares e da
diminuição da altura da viga. As restrições de deslocamento são violadas para um
nível de carga aproximadamente 36% menor que a aplicada.
0 10 20 30 400,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
fato
r de
carg
a
deslocamento
ua - Não Linear ua - Linear
Figura 5.9. Deslocamento horizontal do ponto a para caso linear e não-linear.
A curva do deslocamento horizontal no ponto a para as dimensões obtidas,
considerando o comportamento não linear é apresentada na figura 5.9. Verifica-se
que, a utilização da análise não linear provocou um aumento de 177% na
resistência da estrutura e um aumento de apenas 20 % no volume da estrutura. O
aumento da resistência da estrutura é obtido principalmente com o aumento da
largura dos pilares.
Neste exemplo utilizou-se, para a análise não-linear, a estratégia de iteração
comprimento de arco cilíndrico juntamente com o método de Newton-Raphson
Padrão ( 310ζ −= ), com incremento automático do comprimento de arco
( 01 0.01λ∆ = ).
Os dois algoritmos foram utilizados com os parâmetros usuais e forneceram
resultados semelhantes. Na tabela 5.8 são apresentados os resultados do PQS que
apresentou melhores desempenhos neste exemplo. O algoritmo de PI, para o caso
não-linear precisou de 44 iterações e 71 análises não-lineares.
Otimização de Dimensões
93
5.5.4 Pórtico com 7 barras A estrutura a ser otimizada agora é um pórtico com 7 barras mostrada na
figura 5.10. Os valores numéricos utilizados são L1 = 1000, L2 = 250, L3 = 600,
P1 = 30000, P2 = 40000 e E = 21000000. A seção transversal do pórtico é
retangular com b = 20.
P2
L1
P2
P1
L1
L2
L3
a
c
e
db
h
g
f
h2h1 h3
h6h5h4 h7
Figura 5.10. Pórtico com 7 barras.
A geometria da estrutura é modelada com 22 elementos, sendo 2 por pilares
e 4 por viga. O modelo de otimização é formado por 7 alturas (hi) indicadas na
figura 5.10. O valor inicial das alturas é 400ih = , i= 1..3 (pilares) e 200
ih = i= 4..7
(vigas). São utilizadas restrições geométricas de maneira que a altura de cada
grupo de elementos não seja inferior a 5. O volume inicial do pórtico é igual a
3089242. Os deslocamentos, verticais e horizontais, nos nós b, c, d, f e g são
limitados ao valor máximo de 2 em módulo.
Novamente foram considerados dois procedimentos de análise, linear e não
linear. Com o objetivo de evitar os problemas encontrados na análise linear, a
estrutura foi otimizada utilizando uma análise não linear, incluindo-se a restrição
de estabilidade. Esta restrição impõe que a carga crítica seja pelo menos 20%
maior que a carga aplicada ( 1.2λ = ). No presente problema, foi adotado um
procedimento para abortar a análise caso λ seja maior do que 1.5.
O resumo dos resultados obtidos nos dois casos é mostrado na tabela 5.11.
TABELA 5.11 Pórtico com 7 barras – resumo dos resultados Caso Vol ,maxju *λ nit nf Linear 1723523.1 2.000 0.606 7 9 Não-Linear 2174406.1 2.000 1.848 16 47
Otimização de Dimensões
94
A descrição da situação final das dimensões pode ser vista na tabela 5.12.
Com base nestes resultados, verifica-se que, para a análise, linear o volume
poderia ser menor ainda, pois algumas restrições geométricas estavam ativas. No
caso linear observa-se o aumento nas seções dos pilares das extremidades, já as
demais seções, tanto das vigas como o pilar central, foram reduzidas ao valor
mínimo. No caso não-linear houve também um aumento nas seções das
extremidades, mas as principais diferenças foram nas seções das vigas.
Verifica-se que, a utilização da análise não linear triplicou a carga crítica da
estrutura com apenas um aumento de 14 % no volume da estrutura.
TABELA 5.12 Pórtico com 7 barras – dimensões finais Caso 1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h Linear 48.806 5.000 55.450 5.000 5.000 5.000 5.007 Não-Linear 47.065 16.985 64.088 12.168 5.160 5.448 8.185
Para a análise não-linear utilizou-se a estratégia de iteração comprimento de
arco cilíndrico juntamente com o método de Newton-Raphson Padrão ( 310ζ −= ),
com incremento automático do comprimento de arco ( 01 0.01λ∆ = ).
Os segundo caso descrito foi otimizado através do algoritmo de PI (b0 =0.1,
nr = 5) pois o algoritmo PQS, apresentou sérios problemas de convergência, já no
caso linear o PQS (b0 =0.01, nr = 10) teve melhor desempenho.
6 Comentários Finais
Neste trabalho foi desenvolvido um sistema computacional para a
otimização de dimensões de estruturas geometricamente não-lineares. Este
desenvolvimento exigiu a implementação e a integração dos módulos de
programação matemática, análise estrutural e análise de sensibilidade. Cada uma
destas etapas foi discutida nos capítulos anteriores e vários aspectos merecem ser
destacados:
As equações gerais para o cálculo das sensibilidades incrementais de
estruturas geometricamente não-lineares foram apresentadas. Em seguida, foram
desenvolvidas as expressões analíticas aproximadas necessárias ao cálculo das
sensibilidades em elementos de pórtico formulados com base no procedimento
Lagrangiano Atualizado. Utilizando estas expressões é possível calcular as
sensibilidades (deslocamento e carga crítica) aproximadas de uma dada malha de
elementos finitos em relação às variáveis de projeto de maneira eficiente,
armazenando-se apenas a sensibilidade do vetor de forças internas.
Com base nos exemplos analisados, pode-se dizer que o algoritmo de pontos
interiores é mais robusto, pois, partindo de um ponto interior, ele sempre converge
para a solução. Além disso, mesmo que uma solução ótima não seja obtida, o
projeto final sempre é viável.
O algoritmo de programação quadrática seqüencial, embora tenha
apresentado sérios problemas de convergência, foi mais eficiente que o algoritmo
de pontos interiores, além de poder partir de qualquer ponto.
Os métodos utilizados para a determinação de caminhos de equilíbrio
funcionaram de acordo com o esperado. Nenhum dos métodos é o mais indicado
para todas as situações, por isso é interessante dispor de diversas alternativas. No
processo de otimização foi utilizada a estratégia de iteração a carga constante,
Comentários Finais
96
uma vez que é necessário calcular as respostas da estrutura para um nível de carga
prescrito.
O método aproximado para a determinação dos pontos críticos apresentou
bons resultados. Mas o grande número de pontos gerados próximo ao ponto
crítico pode inviabilizar a sua utilização em estruturas de grande porte.
O sistema foi capaz de tratar estruturas lineares e não-lineares de uma
maneira uniforme. No caso de estruturas não-lineares, foram otimizadas com
sucesso estruturas apresentando grandes deslocamentos e pontos limite. Apesar
dos efeitos das imperfeições sobre a capacidade de carga da estrutura não terem
sido incluídos de maneira explícita na formulação, a otimização de estruturas com
imperfeições prescritas foi realizada com sucesso.
6.1 Sugestões
A seguir são apresentadas algumas sugestões para o desenvolvimento de
trabalhos futuros:
• Implementar um ambiente gráfico e iterativo para controlar todo o
processo de otimização, uma vez que a convergência nem sempre é atingida e,
mesmo que o processo convirja, os resultados nem sempre são satisfatórios,
podendo o usuário intervir sempre que julgar necessário.
• Incluir restrições sobre os esforços internos, além de outras restrições,
tendo em vista uma adequação a aspectos práticos.
• Estudar novos métodos de análise de sensibilidade como o método semi-
analítico e o método semi-analítico refinado, bem como aprofundar o estudo de
métodos analíticos para o Referencial Lagrangiano Atualizado.
• Implementar a sensibilidade da carga crítica linearizada, devido ao alto
custo computacional para a determinação dos pontos críticos e sua sensibilidade
através de uma análise não-linear.
Comentários Finais
97
• Estudar métodos exatos para a determinação dos pontos críticos (limite e
bifurcação) e para o cálculo das suas sensibilidades.
• Estudar novas estratégias de carga e iteração uma vez que, na
determinação do caminho de equilíbrio, nem sempre se obteve sucesso com as
formulações utilizadas.
• Utilizar novos algoritmos de otimização, incluindo pacotes comerciais.
Comparar o desempenho dos diversos algoritmos.
7 Referências Bibliográficas
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Referências Bibliográficas
99
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