Pixels, Numbers, and Programs

Geometric DistortionsGeometric Distortions

Steven L. Tanimoto

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ 1Distortion

Outline

MotivationDefinitionsSample techniquesp q“Modulator” imagesPolar coordinatesMore techniquesMore techniques

(anamorphosis is covered is a separate set of slides.)

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 2

Why Study Distortion?

There are many interesting effects that fall under this tcategory

Distortions lead the way to more drastic transformations that can be used in encoding encryption anamorphosisthat can be used in encoding, encryption, anamorphosis, etc.

Can be parameterized for movie transition effects.p

A nice framework in which to explore what PixelMath can do to an image.

Better understanding of what might have happened, when we see a distorted image.

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 3

Definition

A basic PixelMath distortion formula has the formSource1(fx(x,y), fy(x,y))

where fx(x,y) and fy(x,y) are expressions that may involve either x, or y, or both.

For example, S1(x-y/2, y) is a basic PixelMath distortion formula.

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 4

S1(x-y/2, y) produces a shear of the image.

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 5

255-S1(x,y) is not a basic PixelMath distortion formula, because the 255 and “‐” are outside the S1.

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 6

Sample Techniques

• Shear• Ripples• Stripe‐cut and shift• Circle cut and shift• Shift with wraparound• “Avoid line”

All these are basic distortions as defined here.

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 7

Ripples

S1(x + 10*sin(x/5) y)S1(x + 10*sin(x/5), y)

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 8

Stripe‐cut and shift

S1(x, y + if (x mod 40)

Circle‐cut and shift

S1(x, y + if (sqr(x‐w/2)+ sqr(y‐2*h/3)) 

Shift with wraparound

S1((x +100)mod w,(y+100)mod h))S1((x +100)mod w,(y+100)mod h))

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 11

“Avoid line”

S1(x + 500/(1+abs(x - w/2)), y)S1(x + 500/(1+abs(x w/2)), y)

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 12

Modulator Images

By setting up a second source image with pixel values h di l ( h h b i hthat represent displacements (rather than brightness values), we gain greater expressive power.

Th tt f di l t b d bit ilThe pattern of displacements can be made arbitrarily complicated, but implementing the distortion remains simpleremains simple.

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 13

Example use of Modulator Image

• Modulator image of checkerboard for use in “Block‐cut and shift”cut and shift

• Synthesize the checkerboard using this formula:  if {x mod 50 < 25} xor {y mod 50 < 25} then 50 else 0if {x mod 50 

Modulator image and result

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 15

Using a photo as a modulator

• Interesting effects can be obtained by using the i i l h d l f h ioriginal photo or art as modulator for another image 

or artificial pattern.

L t’ d l t th M Li i h th• Let’s modulate the Mona Lisa using her as the modulator!

• S1(x y+red1(x y)/10)• S1(x, y+red1(x,y)/10)

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 16

Mona Lisa: self modulated

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 17

Polar Coordinates

• An alternative to cartesian coordinates• Makes rotations easy• Makes the use of circles easy• Enables a variety of creative possibilities

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 18

Polar Coords. (math)

P (point of interest)

= distance Pole

= measure of the angle between the 

from the pole to the point P

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion

horizontal and ray from the pole to the point

19

Polar Coords. in PixelMath

P (pixel of interest)rhomax

theta=/2

theta

rho

theta=

center theta=0

theta

theta= ‐

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion

theta= ‐/2

20

Polar formulas in PixelMath

• S1(rho,theta)    ‐‐ identity• rho ‐‐ gradient from center• theta ‐‐ nearly invisible

( h )* /( * ) l d• (pi+theta)*255/(2*pi) ‐‐ angular gradient• RGB(rho*255/(w/2), (pi+theta)*40, 0)

polar palette of red and green combinations‐‐ polar palette of red and green combinations.

• rho ‐‐ gradient from center• HSV((theta+pi)/(2*pi) rho/(w/2) if rho

Palette of saturated colors

HSV((theta+pi)/(2*pi)HSV((theta+pi)/(2*pi), rho/(w/2), 

if rho

Polar Distortions

Radial shift outward:Radial shift outward:S1(if rho

Polar Distortions (cont).

Radial shift inward:Radial shift inward:S1(rho+100, theta)

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 24

Polar Distortions (cont).

Rotation:Rotation:S1(rho, theta-pi/8)

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 25

Polar Distortions (cont).

Angular scaling:Angular scaling:S1(rho, theta*2)

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 26

Polar Distortions (cont).

Circular cut and rotate:Circular cut and rotate:S1(rho,

theta + if floor(rho) mod 40

Polar Distortions (cont).

Angular cut and shrink:Angular cut and shrink:S1(rho*if

(floor((pi+theta)*10) d 4)

Summary

• Geometric distortions of an image involve moving pixels around from where they were.

• Formulas of the form S1(fx(x,y),fy(x,y)) or ( x( ,y), y( ,y))S1(frho(rho,theta),ftheta(rho,theta)) give basic distortions.

• Modulator images can be helpful in creating complex distortions or special effectsdistortions or special effects.

• Polar coordinates offer many creative possiblities.

Pixels, Numbers, and Programs; © S. Tanimoto ‐‐ Distortion 29