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Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 20. Oktober 2003
1. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 27./28. Oktober 2003 vor den Stundenubungen
Aufgabe 1 (je 5 Punkte)
Man zeige:a) Die Funktion f : N× N → N, f(m,n) := 1
2 (m + n)(m + n + 1) + m, ist bijektiv.
b) Sind A,B abzahlbare Mengen, so ist auch das kartesiche Produkt
A×B := (a, b) : a ∈ A, b ∈ B abzahlbar.
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Man zeige, dass die Menge P(N) aller Teilmengen von N (die Potenzmenge von N) nichtabzahlbar ist.Hinweis:Zu einer evt. Surjektion f : N → P(N) betrachte man die Menge A := n ∈ N : n 6∈ f(n) .
Aufgabe 3 (10 Punkte)
Sei f : R → R, f(x) := 1√x, fur 0 < x ≤ 1 und f(x) := 0 sonst, gegeben. Durch Angabe
einer punktweise gegen f konvergierenden und monoton steigenden Folge von Treppen-funktionen mit beschrankter Integralfolge beweise man die Integrierbarkeit der Funktion f .
Aufgabe 4 (10 Punkte) Knacki
Wir betrachten die Menge N aller reeller Zahlen im Intervall [0, 1] die eine Dezimalbruch-entwicklung ohne die Ziffer 0 besitzen, also
N :=
∞∑n=1
an10−n : an ∈ 1, 2, · · · , 9
.
Man zeige, dass N eine uberabzahlbare und kompakte Nullmenge ist.
http://www-ifm.math.uni-hannover.de/∼koeditz/Analysis3/Ana3 03.htm
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 27. Oktober 2003
2. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 3./4. November 2003 vor den Stundenubungen
Aufgabe 5 (5 Punkte)
Man beweise Lemma 3.1 der Vorlesung:Sei Q ⊂ Rn ein Quader. Dann gibt es zu jedem ε > 0 einen offenen Quader Q∗ mit Q ⊂ Q∗ undv(Q∗)− v(Q) < ε.
Aufgabe 6 (5 Punkte)
Sei I ⊂ Rp ein kompakter Quader und (In) , In ⊂ I, eine Folge paarweise disjunkter offener Quader
mit∞∑
n=1
v(In) = v(I). Man zeige: R := I \∞⋃
n=1
In ist eine Nullmenge.
Aufgabe 7 (10 Punkte)
Es sei R := [0, 1]× [0, 1] ⊂ R2. Die Funktion f : R → R sei definiert durch
f(x, y) :=
2 fur y ≥ 1− x1 fur y < 1− x
Durch Angabe einer monoton steigenden Folge von Treppenfunktionen mit beschrankter Integral-foge, die fast uberall gegen f konvergiert, zeige man f ∈ L+(R) und berechne
∫R f d(x, y).
Aufgabe 8 (10 Punkte) Knacki
Seien s1, s2, · · · , sn ∈ R \ 0, f ∈ L1(Rn) und f∗(x1, · · · , xn) := f(
x1s1
, · · · , xnsn
). Man zeige:
f∗ ∈ L1(Rn) und∫
Rn
f∗ dx = |s1 · · · sn|∫
Rn
f dx .
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 3. November 2003
3. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 10./11. November 2003 vor den Stundenubungen
Aufgabe 9 (5 Punkte)
Man zeige: Zu jedem f ∈ L1(Rn) gibt es eine Folge (tk) von Treppenfunktionen die fast uberall gegen f
konvergiert und fur die∫
Rn
|f − tk| → 0 fur k →∞ gilt.
Aufgabe 10 (10,3 und 2 Punkte)
a) Man zeige: Ist (fk) eine Folge in L1(Rn) mit konvergenter Reihe∞∑
k=0
∫Rn
|fk| dx, so konvergiert die Reihe
∞∑k=0
fk fast uberall gegen eine Funktion f ∈ L1(Rn) und es gilt
∫Rn
f(x) dx = limj→∞
j∑k=0
∫Rn
fk(x) dx .
b) Man zeige: Die Funktion f ∈ L1(Rn) ist genau dann fast uberall gleich 0 wenn∫
Rn
|f(x)| dx = 0 ist.
c) Sei f ∈ L1(Q) (Q Quader) und N ⊂ Q sei eine Nullmenge. f sei auf Q \N beschrankt, etwa
m ≤ f(x) ≤ M dort. Man beweise den Mittelwertsatz:
m v(Q) ≤∫
Q
f(x) dx ≤ M v(Q) .
Aufgabe 11 (10 Punkte) p-dimensionale Cantormenge - Knacki
Fur p ∈ N∗ sei C0 := [0, 1]p. Durch
Wn :=(
1 + 3j13n
,2 + 3j1
3n
)× · · · ×
(1 + 3jp
3n,2 + 3jp
3n
): j1, · · · , jp = 0, 1, 2, . . . , 3n−1 − 1
wird eine Menge von Teilintervallen W von C0 definiert. Sei Cn := C0 \n⋃
j=1
⋃W∈Wj
W und 1Cndie charakte-
ristische Funktion von Cn, sowie
fn : C0 → R , fn :=n∑
j=1
2−j 1Cj .
Man zeige, dass die Folge (fn) auf C0 gegen eine integrierbare Funktion f konvergiert und berechne∫
C0
f(x) dx.
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 10. November 2003
4. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 17./18. November 2003 vor den Stundenubungen
Aufgabe 12 (je 5 Punkte)
a) Man ermittle Folgen integrierbarer Funktionen fn : [0, 1] → R, gn : R → R die fast uberall
gegen integrierbare Funktionen f, g konvergieren und fur die limn→∞
∫[0,1]
fn und limn→∞
∫R
gn nicht
existieren.
b) Man ermittle Folgen integrierbarer Funktionen fn : [0, 1] → R, gn : R → R die fast uberall
gegen integrierbare Funktionen f, g konvergieren, fur die limn→∞
∫[0,1]
fn und limn→∞
∫R
gn existieren
aber limn→∞
∫[0,1]
fn 6=∫
[0,1]f und lim
n→∞
∫R
gn 6=∫
Rg gilt.
Aufgabe 13 (5 Punkte)
Sei Q ⊂ Rn ein Quader und f ∈ L1(Q) eine nichtnegative integrierbare Funktion. Zu c > 0 seiAc := x ∈ Q : f(x) ≥ c . Man zeige:
v(Ac) :=∫
Q1Ac(x) dx ≤ 1
c·∫
Qf(x) dx .
Hinweis: Man muss naturlich die Integrierbarkeit von 1Ac zeigen. Hierzu betrachte man ϕ(x) :=1c min(c, f(x)) und untersuche die Folge (ϕk).
Aufgabe 14 (10 Punkte)
Man zeige: Fur t ∈ R gilt
F (t) :=∫ ∞
−∞e−x2
cos xt dx =√
π e−t2/4 .
Hinweis: F lost das Anfangswertproblem y′(t) = − 12 ty(t), y(0) =
√π.
Man benutze o.B.∫∞−∞ e−x2
dx =√
π.
Aufgabe 15 (10 Punkte) Knacki
Sei f ∈ L1(A), A ⊂ Rn. Man zeige: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 derart, dass∫E|f(x)| dx < ε
fur alle E ⊂ A mit v(E) :=∫
E1E(x) dx < δ gilt.
Hinweis: Man betrachte die Folge (ϕn), ϕn(x) := min(n, |f(x)|). Fur∫A(|f | − ϕn)dx < ε/2 wahle
man nun δ := ε/2n.
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 17. November 2003
5. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 24./25. November 2003 vor den Stundenubungen
Aufgabe 16 (je 5 Punkte)
a) Sei F : R := [a, b]× [c, d] ⊂ R2 → R eine zwei mal partiell stetig differenzierbare Funktion und
f(x, y) :=∂2F (x, y)
∂x∂y. Man zeige:
∫R
f(x, y) d(x, y) = F (b, d)− F (b, c)− F (a, d) + F (a, c) .
b) Man zeige, daß die Funktion f : (0, 1)2 ⊂ R2 → R, f(x, y) := 1x+y interierbar ist, und berechne
das Integral.
Aufgabe 17 (5 Punkte)
Man berechne∫ 1
0
(∫ 1
0
x2 − y2
(x2 + y2)2dx
)dy und
∫ 1
0
(∫ 1
0
x2 − y2
(x2 + y2)2dy
)dx .
Was sagt Fubini dazu ?
Aufgabe 18 (3,4 und 3 Punkte)
Man bestimme jeweils das Volumen folgender Korper.a) R(h, r) := (x, y, z) ∈ R3 : ‖(x, y, z)‖ ≤ r, x2 + y2 ≥ r2 − h2, 0 ≤ h ≤ r , (Ring der Hohe h).
b) T (r, R) := (x, y, z) ∈ R3 : (√
x2 + y2 −R)2 + z2 ≤ r2 , 0 < r ≤ R , (Torus) .
c) Ellipsoide die durch Rotation der Ellipsex2
a2+
y2
b2= 1 um die x bzw. y-Achse entstehen.
Aufgabe 19 (10 Punkte) Knacki - Satz von Tonelli
Sei f : Q := [a, b] × [c, d] → R eine messbare Funktion. Es existiere mindestens eines der beiden
”iterierten Integrale“∫ b
a
(∫ d
c|f(x, y)| dy
)dx ,
∫ d
c
(∫ b
a|f(x, y)| dx
)dy .
Man zeige die Existenz und Gleichheit der iterierten Integrale∫ b
a
(∫ d
cf(x, y) dy
)dx ,
∫ d
c
(∫ b
af(x, y) dx
)dy .
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 24. November 2003
6. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 1./2. Dezember 2003 vor den Stundenubungen
Aufgabe 20 (10 Punkte)
Zu a0, · · · , an ∈ Rn sei das Simplex
S = S(a0, · · · , an) :=
x =
n∑k=1
tk(ak − a0) : tk ≥ 0, t1 + · · ·+ tn ≤ 1
betrachtet. Man zeige vn(S) =1n!|det(a1 − a0, · · · , an − a0)|.
Aufgabe 21 (je 5 Punkte)
Man berechne das Maß folgender Korper
a) K ∩ Z mit K := x ∈ R3 : ‖x‖ ≤ r , r > 0 , und Z := x ∈ R3 : (x1 − r2)2 + x2
2 ≤ r2
4 .
b) Z1∩Z2 mit Z1 := (x, y, z) ∈ R3 : x2+y2 ≤ r2 und Z2 := (x, y, z) ∈ R3 : x2+z2 ≤ r2 , r > 0.
Hinweis: Zylinderkoordinaten
Aufgabe 22 (5 Punkte)
Sei A ⊂ Rn eine beschrankte messbare (und damit integrierbare) Menge. Der (geometrische)Schwerpunkt sA ist definiert durch
sA :=1
v(A)
(∫A
x1 dx, · · · ,∫
Axn dx
), x = (x1, · · · , xn) .
Man berechne die Schwerpunkte der Mengen A1 := (x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sinx undA2 := (x, y, z) : z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1 .
Aufgabe 23 (10 Punkte)1 Knacki
Sei ρ : [R1, R2] ⊂ [0,∞) → R eine beschrankte integrierbare Funktion und u : R3 → R
u(p) :=∫
R1≤‖x‖≤R2
ρ(‖x‖)‖x− p‖
dx .
Hierbei sei ‖x‖ die euklidische Norm. Man zeige:
In BR1(0) ist u konstant und fur p 6∈ BR2(0) gilt u(p) =4π
‖p‖
∫ R2
R1
ρ(r)r2 dr .
Hinweis: Fur p = (0, 0, a) ist ‖x− p‖ =√
a2 + r2 − 2ar cos ϑ in Kugelkoordinaten.
1Newton-Potential einer Kugelschale im R3 bei einer rotationsymmetrischen Dichteverteilung
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 1. Dezember 2003
7. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 8./9. Dezember 2003 vor den Stundenubungen
Aufgabe 24 (5 Punkte)
Man berechne I :=∫
R2>0
e−(x+y)2 d(x, y).
Aufgabe 25 (je 5 Punkte)
Sei K ⊂ R3 eine kompakte Menge und A ⊂ R3 eine Gerade. Ferner sei ρ : K → R eine integrierbare positiveFunktion (Massendichte). Das Tragheitsmoment von K bezgl. A ist ΘA(K) :=
∫K
ρ(x)r2A(x) dx. Hierbei ist
rA(x) der Abstand des Punktes x ∈ K von der Achse A.a) Man beweise den Steinerschen Satz: Ist M :=
∫K
ρ(x) dx die Masse von K, A eine Gerade durch denSchwerpunkt s =
∫K
xρ(x) dx/M von K und A′ eine zu A parallele Gerade im Abstand a, so giltΘA′(K) = ΘA(K) + Ma2.
b) Man verifiziere den Satz von Steiner fur den Korper K := (x1, x2, x3) : 0 ≤ x1 ≤ L, x23 + x2
2 ≤R2 , (L,R > 0), mit ρ ≡ 1 und A = (L/2, 0, x3) : x3 ∈ R , A′ = (0, 0, x3) : x3 ∈ R .
Aufgabe 26 (7 und 3 Punkte)
Fur p ≥ 1 sei lp := (xn)n∈N :∑∞
n=0 |xn|p < ∞ und ‖(xn)‖ := (∑∞
n=0 |xn|p)1/p. Ferner sei l0 die Menge der
abbrechenden Folgen in R. Man zeigea) lp ist ein Banachraum.
b) l0 ist als Teilraum von lp ein normierter aber nicht vollstandiger Raum. l0 ist jedoch dicht in lp, d.h. zujedem x ∈ lp und jedem ε > 0 gibt es ein x0 ∈ l0 mit ‖x− x0‖ < ε.
Aufgabe 27 (10 Punkte) Knacki
Man zeige: Das Ellipsoid E :=
x ∈ R3 :
(x1
a1
)2
+(
x2
a2
)2
+(
x3
a3
)2
≤ 1
, aj > 0, hat bei konstanter
Dichte ρ bezuglich der Ursprungsgeraden mit Richtung v, ‖v‖ = 1, das Tragheitsmoment
Θv(E) =4π
3ρ a1a2a3
15
3∑n=1
a2n(1− v2
n) .
Fur welche v wird Θv(E) extremal?Hinweis: Man verwende verallgemeinerte Kugelkoordinaten x = a1r cos ϕ sinϑ, y = a2r sinϕ sinϑ, z =a3r cos ϑ und benutze
∫ π
0sin3 ϑ dϑ = 4
3 .
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 8. Dezember 2003
8. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 15./16. Dezember 2003 vor den Stundenubungen
Aufgabe 28 (je 5 Punkte)
Man berechne die Fourierreihe von
a) f(x) :=
1 , fur 0 ≤ x ≤ π−2 , fur π < x < 2π
(2π-periodisch fortgesetzt); b) f(x) := | sinx|.
Aufgabe 29 (10 Punkte)
Fur α /∈ Z sei f(x) := π cos αx fur 0 < x < 2π und f(0) := π2 (cos 2πα + 1) als 2π-periodische Funktion auf
ganz R fortgesetzt. Diese Funktion wird durch ihre Fourierreihe dargestellt (ohne Beweis). Man berechne dieFourierreihe von f und zeige durch Betrachtung bei x = 0 und x = π die Gultigkeit folgender Formeln:
πα cot πα = 1 + 2α2∞∑
n=1
1α2 − n2
undπα
sinπα= 1 + 2α2
∞∑n=1
(−1)n
α2 − n2.
Aufgabe 30 (je 5 Punkte) Riemann-Lemma
a) Sei f : [a, b] → R eine stetig differenzierbare Funktion. Man zeige: limt→∞
∫ b
a
f(x) sin xt dx = 0 .
b) Sei nun f ∈ L1([a, b]). Man zeige, dass auch hier limt→∞
∫ b
a
f(x) sin xt dx = 0 richtig ist.
Aufgabe 31 (4,2,2 und 2 Punkte) (*)
Seien f, g ∈ L1(R) und F : R2 → R, F (x, y) := f(x)g(y − x). Fur alle y, fur die das Integral existiert sei
(f ∗ g)(y) :=∫
Rf(x)g(y − x) dx . (Faltung)
Man zeige:a) Fur fast alle y ∈ R ist F (x, y) (als Funktion von x) uber R integrierbar. (Beachte HA19)
b)∫
R|(f ∗ g)(y)| dy ≤
∫R|f(y)| dy ·
∫R|g(y)| dy .
c) f ∗ g = g ∗ f .
d) Sei f die charakteristische Funktion von [0, 1] und g die von [1, 3]. Man berechne und skizziere f ∗ g.
Institut fur Mathematik
Universitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 8. Dezember 2003
9. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 5./6. Januar 2004 vor den Stundenubungen
Aufgabe 32 (10 Punkte)
Die Funktion f(x) := x(π − x) fur 0 ≤ x ≤ π werde als gerade Funktion auf R als 2π-periodische Funktionfortgesetzt. Man zeige, dass die Fourierreihe von f
f(x) =π2
6−
∞∑
k=1
cos 2kx
k2
lautet und gleichmaßig auf ganz R gegen f konvergiert. Welches beruhmte Ergebnis erhalt man fur x = 0?
Aufgabe 33 (10 Punkte)
Sei f : R → R eine zwei mal stetig differenzierbare und 2π-periodische Funktion. Man zeige, dass dieFourierreihe von f auf ganz R gleichmaßig gegen f konvergiert.Hinweis: Riemann-Lemma (HA30) beachten.
Aufgabe 34 (je 5 Punkte)
Zu α ∈ [0, 2π) sei Sα := t(cosα, sin α) : t ≥ 0 ⊂ R2 der von 0 ausgehende Halbstrahl mit dem Winkel α
gegen die positive x-Achse. Dann ist die (Polarkoordinaten-)Winkelfunktion
ϕα : R2 \ Sα → (α − 2π, α)
als differenzierbare Funktion wohldefiniert.a) Man berechne ωα := dϕα ∈ Ω1(R2 \ Sα) und zeige so, dass ωα von α unabhangig ist und deshalb eine
Differentialform ω auf ganz R2 \ 0 definiert.
b) Man zeige, dass es keine auf ganz R2 \ 0 definierte differenzierbare Funktion f mit ω = df gibt.
Aufgabe 35 (10 Punkte) Weierstraßscher Approximationssatz Knacki
Man zeige:Jede auf einem kompakten Intervall stetige Funktion ist gleichmaßig durch Polynome approximierbar.
D_n(x), n=2,5,10
–1
0
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2
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x
D_n(x), n=2,5,10
0
1
2
3
4
5
6
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–3 –2 –1 1 2 3
x
Frohe Weihnachten und ein erfolgreiches neues Jahr !!
1
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 5. Januar 2004
10. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 12./13. Januar 2004 vor den Stundenubungen
Aufgabe 36 (10 Punkte)
Im R3 sei ω die Differentialform
ω = 2xz dy ∧ dz + dz ∧ dx− (z2 + ex) dx ∧ dy .
Man zeige dω = 0 und bestimme eine 1-Form η mit ω = dη.
Aufgabe 37 (5 Punkte)
Im R2 seien die 2-Form ω := dx∧dy und die Funktion h : R2 → R2, h(u, v) = (x, y)t := ((u+1)2−v2, 2(u + 1)v)t gegeben. Ferner sei U := B1(0). Man berechne h∗ω und
∫h(U)
ω und interpretiere
das Ergebnis!
Aufgabe 38 (10 Punkte)
Fur R > 0 sei h : U := (0, 2π) × (0, π) ⊂ R2 → R3, h(u, v) := R (cos u sin v, sinu sin v, cos v)t.Gegeben sei ferner im R3 \ 0 die 2-Form
ω :=−x√
x2 + y2 + z2dy ∧ dz +
−y√x2 + y2 + z2
dz ∧ dx +−z√
x2 + y2 + z2dx ∧ dy .
Man berechne∫
h(U)ω =
∫U
h∗ω. Was haben wir berechnet?
Aufgabe 39 (10 Punkte) Knacki
Sei η ∈ Ω2(R3) eine geschlossene Differentialform, d.h es gelte dη = 0. Man zeige, dass es einω ∈ Ω1(R3) mit η = dω gibt und folgere, dass jedes divergenzfreie Vektorfeld Rotaton eines weite-ren Vektorfeldes ist.
Hinweis: Fur η = a1dydz + a2dzdx + a3dxdy suche man ein ω = b1dx + b2dy.
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 12. Januar 2004
11. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 19./20. Januar 2004 vor den Stundenubungen
Aufgabe 40 (5 Punkte)
Man berechne folgende Kurvenintegrale direkt (mit Definition nach Skript S 79) und mit Hilfe desSatzes von Stokes:
I1 :=∫
∂G2y dx + 6x dy , G = [0, 1]2 ; I2 :=
∫∂H
ex sin y dx + ex cos y dy , H = B3(0, 0) .
Bemerkung: Orientierung der Rander beachten.
Aufgabe 41 (10 Punkte)
Man berechne I :=∫
G(xy + xz + yz) d(x, y, z) fur G := (x, y, z) : x, y, z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1
direkt und mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes.
Aufgabe 42 (10 Punkte)
Sei ω ∈ Ω1(R3), ω := (x2 + y2 − 1) dz, und Ka := (x, 0, z) : (x− a)2 + z2 ≤ 14 mit |a| ≤ 1
2 . Man
berechne∫
Ka
dω und∫
∂Ka
ω und verifiziere so den Satz von Stokes.
Aufgabe 43 (10 Punkte) Knacki
Sei u : G ⊂ R2 → R (G offen) eine harmonische Funktion, d.h. u ist zwei mal stetig dıfferenzierbarmit uxx + uyy ≡ 0 auf G. Man zeige: Fur jedes (x0, y0) ∈ G und r > 0 mit Br(x0, y0) ⊂ G gilt
u(x0, y0) =12π
∫ 2π
0u(x0 + r cos t, y0 + r sin t) dt .
Hinweis: Aus∫∂Br(x0,y0)−uy dx+ux dy = 0 folgere man die Unabhangigkeit obigen Integrals von r.
Klausur am Samstag 24. Januar 2004, 8.15 - 10.45 im F 303!Vorsicht: Zeitliche Verschiebung ist moglich!
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz
Hannover, den 19. Januar 2004
12. Ubungsblatt zur Analysis 3
Abgabe am 26./27. Januar 2004 vor den Stundenubungen
Aufgabe 44 (10 Punkte)
Ein Heißluftballon H habe die Form einer Spharenkappe vom Radius R und Offnungsdurchmesserd < 2R, d.h. H = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 = R,−a ≤ z ≤ R mit a > 0 und d = 2
√R2 − a2.
Das heisse Gas dringt durch die porose Oberflache mit der Geschwindigkeit v =rotF, F (x, y, z) =
(−y, x, 0)t. Man berechne den Fluss∫
Hv d~S durch die Ballonoberflache direkt und mit dem Satz
von Stokes.
Aufgabe 45 (5 Punkte)
Sei A := (x, y, z) : x2 + y2 = 1, y2 + z2 = 1 . Man zeige, dass M := A \ (0,−1, 0), (0, 1, 0) eine1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 ist.
Aufgabe 46 (10 Punkte)
Sei D := R4 \ (x1, x2, x3, x4) : x1x2x3x4 = 0 und f : D → R3 definiert durch f(x1, x2, x3, x4) :=(x1x3 − x2
2, x2x4 − x23, x1x4 − x2x3). Man zeige, dass M := x ∈ D : f(x) = 0 eine p-dimensionale
Untermannigfaltigkeit des R4 ist und gebe p an.
Aufgabe 47 (10 Punkte) Stereographische Projektion (*)
Die stereographische Projektion sei gegeben durch
p : S2\(0, 0, 1) → R2, S2 = (x1, x2, x3) : x21+x2
2+x23 = 1 , p(x1, x2, x3) :=
(x1
1− x3,
x2
1− x3
).
Man ermittle p−1 und zeige, dass Kreise auf S2 durch den Nordpol (0, 0, 1) auf Geraden und alleanderen Kreise auf S2 auf Kreise abgebildet werden.
Institut fur MathematikUniversitat Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling und Mitarbeiter
Hannover, den 24. Januar 2004
Klausur zur Analysis 3
Bearbeitungszeit: 10.45 – 13.15
Bitte jedes Blatt mit: Name, VName und Matr.Nr. beschriften!
Aufgabe 1 (8 Punkte)
Fur R > 0 sei f : [0, R] → [0,∞) eine stetige Funktion undB := (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ z ≤ f(
√x2 + y2) . Man zeige:
v3(B) = 2π
∫ R
0rf(r) dr .
Aufgabe 2 (8 Punkte)
Man beweise die Existenz des Grenzwerts
g := limn→∞
∫ n
0
(1 +
x
n
)ne−2x dx
und berechne g.
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Sei K ⊂ Rn eine kompakte Menge und f ∈ Lp(K) fur ein p ≥ 1. Man zeige f ∈ L1(K) und∫K|f(x)| dx ≤ vn(K)1−
1p ‖f‖p .
Aufgabe 4 (12 Punkte)
Die Funktion f(x) :=
x(π − x) fur 0 ≤ x ≤ π ,x(π + x) fur −π ≤ x ≤ 0
werde 2π-periodisch auf ganz R fortgesetzt.
Man zeige, dass die Fourierreihe von f
f(x) =8π
∞∑k=0
sin(2k + 1)x(2k + 1)3
ist und auf ganz R gleichmaßig gegen f konvergiert.
Aufgabe 5 (12 Punkte)
a) Seien α, β Differentialformen im Rn. Man zeige: Ist α exakt und β geschlossen, so ist α ∧ βexakt.
b) Im R3 seien die beiden Differentialformen
α = zeyzdy + yeyzdz, β = zy cos xydx + xz cos xydy + sinxydz
gegeben. Man zeige, dass α und β exakt sind und bestimme eine 1-Form η mit dη = α ∧ β.
Aufgabe 6 (12 Punkte)
Es sei F = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1 und ω = yzdx + xdy − xydz.a) Man gebe eine Parameterdarstellung φ : R → F (R ein geeignetes Rechteck im R2) von F als
singulares Rechteck an.
b) Man berechne∫φ(R) dω und
∫∂φ(R) ω.
Viel Erfolg !!!!!!!!!