Analyse par Intervalles pour la Détection Garantie de Points

1/35

Contexte robotique : Classification de robotsAnalyse par intervalles

Cadre mathematiqueImplementation

Conclusions – Perspectives

Analyse par Intervalles pour la Detection Garantiede Points Singuliers Specifiques de Robots

Romain BENOIT

23 juin 2014

Encadrement de ma these et co-auteurs :

Directeur de these : Philippe WENGER

Co-encadrants : Nicolas DELANOUE, Sebastien LAGRANGE

Romain BENOIT I. A. pour la Detection Garantie de Points Singuliers Specifiques

2/35




Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies

1 Contexte robotique : Classification de robots

Classification de Robots par leurs fonctions cinematiques

Equivalence et Invariants

L’importance des points singuliers

Modeles robotiques etudies

2 Analyse par intervalles

3 Cadre mathematique

4 Implementation

5 Conclusions – Perspectives


3/35





Robot serie ↔ fonction cinematique

Definition (Robot serie)

Robot avec une seule chaine cinematique : S0 ↔ · · · ↔ Sn

S0

S1

Sn−1

Sn

Figure: Chaine cinematique d’un robot serie


4/35





Definition (fonction cinematique d’un robot)

Une application f telle que f : A 3 ρ 7→ p ∈ T ou :

A est l’espace articulaire du robot

T est l’espace de travail du robot

f (ρ) = coordonnees induites de l’organe terminal

⇒ fonction cinematique ↔ comportement du robot


5/35





Invariants d’applications equivalentes

Definition (Equivalence consideree)

f ∈ C∞(X ,Y ) et g ∈ C∞(V ,W ) sont equivalentes (note f ∼ g)si ∃(h : V → X , k : Y →W ), diffeomorphismes tels queg = k ◦ f ◦ h

Remarque

Les comportements cinematiques de deux robots serie, dont lesfonctions cinematiques associees sont equivalentes pour ∼, sontrelies par des changements de variables diffeomorphes.


6/35





Definition (invariant)

I (f ) est invariant pour l’equivalence ∼ si f ∼ g ⇒ I (f ) = I (g)

Definition (Lieu singulier)

Soit f : X → Y Alors Sf = {x ∈ X |det(Jf (x)) = 0}

Proposition

f ∼ g ⇒– Sg et Sf sont homeomorphes ⇒ Topologie invariante

– g(Sg ) et f (Sf ) sont homeomorphes ⇒ Topologie invariante

– Ces homeomorphismes sont compatibles avec f et g


7/35





Notion de posture

Soit un robot R de fonction cinematique f : A→ T

Definition (Posture)

L’ensemble des postures possibles, de p ∈ T est {ρ ∈ A|f (ρ) = p}.

Definition (Trajectoire)

Tr : R ⊃ [a, b] 3 t 7→ (ρt , pt), continue, ∀t ∈ [a, b], pt = f (ρt)

Definition (Changement de posture)

A lieu lorsqu’une trajectoire (ρt , pt)t∈[a,b] verifie :∃(t1, t2) ∈ [a, b]2 tel que t1 6= t2, pt1 = pt2 et ρt1 6= ρt2


8/35





Inversion de fonction cinematique

Proposition

Isoler A′ ⊆ A tel que ∀p ∈ T ,#{ρ ∈ A′|f (ρ) = p} ≤ 1 estnecessaire pour definir, localement, sur A′ un inverse a f etconcevoir directement des trajectoires de R dans T .

Assertion fausse

Un changement de posture ne peut se produire que si la trajectoiretraverse le lieu singulier du robot.


9/35





Modeles robotiques etudies : Robots 3R

P

z3

β2

β3

z

z2

O

xy

r2

r3

d2

d4θ3

θ2θ1

d3

Figure: Schema cinematique d’un robot 3R general avec θ1 = 0.


10/35





Une 1ere Classification de robots 3R orthogonaux

– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)

– Expression de la fonction cinematique du robot,f : (θ1, θ2, θ3) 7→ (x(θ1, θ2, θ3), y(θ1, θ2, θ3), z(θ1, θ2, θ3))

– Calcul de la matrice jacobienne de f , Jf : independante de θ1

⇒ les singularites de f sont independantes de θ1

– On convertit f en F = (ρ(θ2, θ3), z(θ2, θ3)) en posant :ρ(θ2, θ3) = x(0, θ2, θ3)2 + y(0, θ2, θ3)2; z(θ2, θ3) = z(0, θ2, θ3)

– x cusp ⇔ x racine triple de F (⇒ det(JF (x)) = 0)

– {x , y} node ⇔ det(JF (x)) = det(JF (y)) = 0 et F (x) = F (y)

– Robots classifies selon leur nombre de cusps et de nodes.Presence d’un Cusp ⇒ possible changement de posture durobot sans traverser de singularite.


10/35















10/35















10/35















10/35















11/35




DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles



Definitions

Algorithme d’inversion SIVIA

Algorithme de Newton par intervalles


4 Implementation



12/35





Definition

Boite : vecteur d’intervallesIE : Ensemble des boites dans E

B

a b

d

c

Figure: Une boite B = ([a, b], [c , d ]) dans R2


13/35





Definition

[f ] : IE → IF est une fonction d’inclusion pour f : E → F si :

∀B ∈ IE , f (B) ⊆ [f ](B)

f

B1 B2

[f ](B2)

[f ](B1)

Figure: Fonction f : R→ R et [f ] minimale


14/35





Principe

Analyse par intervalles substitue :

- Des boites les encadrant aux vecteurs de valeurs

- Des fonctions d’inclusion aux fonctions

Utilite : Garantir des encadrements de valeurs, meme pour desvaleurs non representables. Exemple : Calcul par ordinateur.


15/35





SIVIA : inversion, par intervalles, d’applications

Entree : une fonction f : D → E , une boite T ⊆ E

Sortie : 3 listes de boites : I , O et U, telles que∪{B ∈ I} ⊆ f −1(T ) ⊆ ∪{B ∈ (I ∪ U)}Algorithme :

Diviser D, en boites B, jusqu’a precision ε

Construire listes :

I = {B construits|[f ](B) ⊆ T}O = {B construits|[f ](B) ∩ T = ∅}U = {B construits|[f ](B) ∩ T 6= ∅ et [f ](B) * T}

SIVIA avec T = {0} : I ∪ U encadre les racines de f .


16/35





Algorithme de Newton par intervalles

Objectif : Extraire (Bi )i∈I ⊃ {x |f (x) = 0} ou f : U ⊂ Rn → Rn.Si les racines sont isolees, chaque boite Bi en encadre une seule.

Definition (Operateur de Newton Intervalle Nf )

Nf : IRn 3 B 7→ x − [(Jf )−1(B)]× f (x) ou x ∈ B est un elementquelconque de B et [(Jf )−1(B)] encadre {(Jf )−1(x)|x ∈ B}


17/35





Proposition

1 (x ∈ B et f (x) = 0)⇒ x ∈ Nf (B)

2 Nf (B) ⊆ B ⇒ (∃!x ∈ B|f (x) = 0)

Corollaire

1 Nf (B) ∩ B = ∅ ⇒ (@x ∈ B|f (x) = 0)

2 Nf (B) ∩ B 6= ∅ ⇒ (Si ∃x ∈ B|f (x) = 0 Alors x ∈ Nf (B) ∩ B)


18/35





Plan : Algorithme de Newton par intervalles

† Entrees : Liste de boites L = (Bj)j∈J ; une precision ε > 0

† Sorties : 2 listes de boites R et U

† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :

· Calcul de Nf (B),B ∈ L et retrait de B a L· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) a R· Sinon, si Nf (B) ∩ B 6= ∅

- Si (taille de B < ε) ajouter B a U- Sinon :

Construire B ′ = Nf (B) ∩ B et diviser B ′ en B1,B2

Ajouter B1 et B2 a L


18/35














18/35









· Calcul de Nf (B),B ∈ L et retrait de B a L

· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) a R· Sinon, si Nf (B) ∩ B 6= ∅





18/35









· Calcul de Nf (B),B ∈ L et retrait de B a L· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) a R

· Sinon, si Nf (B) ∩ B 6= ∅- Si (taille de B < ε) ajouter B a U- Sinon :




18/35














19/35




Applications et points singuliers generiquesApplications generiques de X ⊆ R2 dans R2

Caracteriser les cusps et les nodes




Applications et points singuliers generiques

Applications generiques de X ⊆ R2 dans R2


4 Implementation



20/35






Applications et points singuliers generiques

Objectif : Definir une classe d’applications et de points singuliers arechercher qui soit assez generale, dans l’espace des fonctions C∞.

Definition

Soit G ⊆ C∞(X ,Y ). G est un ensemble d’applications generiquesi G contient un sous ensemble, intersection denombrabled’ouverts denses (=residuel), dans C∞(X ,Y ), pour la topologieC∞ de Whitney.


21/35






Applications generiques de C∞(X ⊆ R2,R2) considerees

· S = {p ∈ X | det(Jfp) = 0}, est une courbe

· S contient seulement des points plis (de multiplicite 2 pour f )et un nombre discret de points cusps (de multiplicite 3) isoles.

· 3 points singuliers differents n’ont pas la meme image par f .

· 2 points singuliers differents ayant la meme image par f sontdes points plis et leurs images s’intersectent sans tangence.

· le bord de X , δX doit verifier, par f :

† 3 points differents de S ∪ δX n’ont pas la meme image.† les images egales, par f , de 2 points differents de δX

s’intersectent sans tangence.† S n’intersecte pas tangentiellement δX et S intersecteδX uniquement en des point plis de S .


21/35






Applications generiques de C∞(X ⊆ R2,R2) considerees

· S = {p ∈ X | det(Jfp) = 0}, est une courbe

· S contient seulement des points plis (de multiplicite 2 pour f )et un nombre discret de points cusps (de multiplicite 3) isoles.

· 3 points singuliers differents n’ont pas la meme image par f .

· 2 points singuliers differents ayant la meme image par f sontdes points plis et leurs images s’intersectent sans tangence.

· le bord de X , δX doit verifier, par f :

† 3 points differents de S ∪ δX n’ont pas la meme image.† les images egales, par f , de 2 points differents de δX

s’intersectent sans tangence.† S n’intersecte pas tangentiellement δX et S intersecteδX uniquement en des point plis de S .


22/35






Applications generiques de X ∈ R2 dans R2

f differentiable et δX differentiable(s)⇒ Les topologies de S ∪ δX et de f (S) ∪ f (δX ) sont invariantespar diffeomorphismes sur l’espace source et/ou image.

f

δX

X

Figure: Exemple de topologies de S ∪ δXf−→ f (S) ∪ f (δX )


23/35






Fonctions cinematiques generiques

Les points singuliers d’une fonction cinematique generique(R2 → R2) sont, exhaustivement, dans l’espace articulaire :

- des points cusps (isoles)

- des points plis simples

- des paires de points plis avec la meme image (des nodes)

Remarque (Cas des robots 3R orthogonaux etudies)

f : T 2 → R2 ↔ fR2 : R2 → R2, 2π-periodique


24/35






Soit la fonction cinematique f = (ρ1, ρ2) 7→ (f1(ρ1, ρ2), f2(ρ1, ρ2))

Theoreme

Les points cusp et les paires de points nodes sont racines desystemes carres d’equations.

Proposition

C = (ρ1, ρ2) est un point cusp ⇔∂f1

∂ρ1(C ) ·

(−∂ det(Jf )

∂ρ2(C )

)+∂f1

∂ρ2(C ) · ∂ det(Jf )

∂ρ1(C ) = 0

∂f2

∂ρ1(C ) ·

(−∂ det(Jf )

∂ρ2(P)

)+∂f2

∂ρ2(C ) · ∂ det(Jf )

∂ρ1(C ) = 0


25/35






Proposition

{ρ, ρ′} est un node⇔ ρ 6= ρ′ et

f1(ρ) = f1(ρ′)

f2(ρ) = f2(ρ′)

det(Jf (ρ)) = 0

det(Jf (ρ′)) = 0

Remarque

Sur la diagonale (ρ = ρ′) le systeme precedent devient l’equation :

det(Jf (ρ)) = 0

Trouver les nodes ⇔ trouver les racines en dehors de la diagonale.


26/35




Algorithme implemente

Algorithme de Recherche garantie des cusps et nodes

Recherche des cusp et nodes : methode de Newton par intervalles

- Entree : une boite de recherche (dans l’espace articulaire)

- Sortie : 4 listes de boites : (C ,UC ,N,UN) :

C : encadrements de points cuspsUC : boites contenant peut etre un cuspN : encadrements de nodes (paires de points)UN : paires de boites contenant peut etre un node


27/35





L’algorithme se decompose en 3 phases :

1 Recherche des points cusps (espace articulaire)

2 Construction d’un recouvrement R de la courbe singuliere(espace articulaire) tel que f injective sur boites engendres pardeux boites non disjointes de R.

3 Recherche des nodes, en parcourant R.

La 2eme etape permet de pre-gerer le voisinage de la diagonalepour simplifier la 3eme etape.

La 2eme etape utilise un test specifique d’injectivite pres des cusps.


28/35





Performances :

† Cusps rapidement isoles.

† Construction relativement rapide d’un recouvrement, injectif,de la courbe singuliere (dans l’espace articulaire)

† Detection rapide des nodes

† Verification longue de l’absence de node pres des cusps

Figure: Presence incertaine de node pres d’un cusp (espace image)


29/35




ConclusionsPerspectives

Analyse par intervalles et robotique :

Usuellement : Utilisee pour isoler lieux singuliers des robots :permet de definir des sous espaces sans singularites

Approche complementaire : Determiner la topologie des lieuxsinguliers des robots, caracteristiques de leurs comportements.

Proprietes de l’approche :

Legere incertitude autorisee sur les parametres geometriques.

Applicable a des robots generaux complexes : le temps decalcul et la precision peuvent augmenter toutefois.

L’aspect garanti des resultats


30/35





Utiliser les methodes propagation de contraintes

Verifier l’absence de node necessite beaucoup de calculs et dedecoupages, pour les boites pres des cusps.

La propagation de contrainte pourrait permettre de :

- Compenser le pessimisme sur l’evaluation de l’operateur deNewton.

- Verifier l’injectivite de la courbe singuliere sur un plus grandvoisinage des cusps.


31/35





Pistes de recherche

Travaux envisages

- Prise en compte limites sur l’espace articulaire ⇒Classification utilisant les ”bords” de l’espace articulaire.

- Gerer des robots paralleles en rendant l’algorithme capable detraiter les relations sur R2 × R2 (en considerant les memesdiffeomorphismes pour definir l’equivalence)


32/35





Espace articulaire accessible

Encadrer postures sans auto collisions (modele volumique simple)

Modele volumique

Figure: Modele volumique simple utilise

Modele : Segment 7→ Points distant, au plus, de r ≥ 0 du segment

Distance entre 2 segment ≤ somme des 2 rayons ⇔ Collision entreles 2 pieces du robot.


33/35





Procedure detectant les auto-collisions deja implementee pourrobots 3R orthogonaux.

Figure: vue isometrique du modele applique a un robot 3R orthogonal


34/35





Extension aux relations sur R2 × R2

On souhaite etendre l’etude realisee aux robots paralleles decritspar des equations F (ρ, p) = 0 en plus des equations p = f (ρ).

⇒ Etude de systemes F1(ρ, p) = 0 = F2(ρ, p)

θ1 θ2

(x , y)

Figure: Robot 5 barres : exemple de robot plan parallele


35/35





Procedure similaire aux robots serie

On pose JFA =

(∂F1∂ρ1

∂F1∂ρ2

∂F2∂ρ1

∂F2∂ρ2

)et JFT =

(∂F1∂p1

∂F1∂p2

∂F2∂p1

∂F2∂p2

)Les diffeomorphismes sur A ou T sont compatibles avec F (ce sontles composantes sur A et T d’un diffeomorphisme sur A× T )

Definition de genericite sur les relations⇒ Definition et recherche des points singuliers specifiques parmi{(ρ, p)|det(JFA(ρ, p)) = 0} et {(ρ, p)|det(JFT (ρ, p)) = 0}.


Documents

Analyse par Intervalles pour la Détection Garantie de Points