Analyse multicomposantes et multicapteurs de la ...nicolas.carry.free.fr/fichiers/memoire.pdf · Ondes de Rayleigh, polarisation, multicomposantes, multicapteurs, back-azimut

Analyse multicomposantes et multicapteurs de la

polarisation d’une onde

CARRY Nicolas, MARS Jerome, PEDERSEN Helle

Annee 2002 – 2003

Remerciements

Je tiens a remercier Jerome MARS (L.I.S. - I.N.P.G.), Helle PEDERSEN

(L.G.I.T. - U.J.F.) ainsi que Francois GLANGEAUD (L.I.S. - I.N.P.G.) pour

leurs conseils, leur disponibilite et precieuse aide.

1

Resume

A travers l’analyse multicomposantes multicapteurs, nous estimons l’influence d’une

heterogeneite sur la polarisation des ondes de Rayleigh. La technique employee fait appel a des

methodes analytiques des traiteurs de signaux dont la Decomposition en Valeurs Singulieres

(SVD).

Le travail effectue sur des signaux synthetiques montre que pour un rapport signal sur bruit

superieur a 3, il est possible grace a la SVD d’estimer avec une bonne precision les parametres

de polarisation au travers l’heterogeneite. Pour un meme rapport signal sur bruit, l’utilisation

de la Transformee de Karhunen – Loeve ne permet pas d’estimer avec une aussi bonne precision

que la SVD les parametres de polarisation.

En absence de bruit, un decoupage en bandes de frequences permet d’avoir une idee sur

l’evolution des parametres de polarisation. En revanche, en presence de bruit coherent, la faible

amelioration du rapport signal sur bruit ne permet pas d’estimer convenablement les parametres

de polarisation lors d’un decoupage en bandes de frequence.

Pour des donnees reelles, la difficulte a ameliorer le rapport signal sur bruit reste l’obstacle

majeur dans l’analyse des parametres de polarisation par SVD.

Mots cles :

Ondes de Rayleigh, polarisation, multicomposantes, multicapteurs, back-azimut.

Conventions et notations

Au cours de ce rapport, l’ensemble des notations ci-dessous est admis :

– Back-azimut : α

– Inclinaison : i

– Ellipticite : ε

– Dephasage : ϕ

– Rotation : θ

– Symbole de convolution : ∗– Symbole de multiplication : .

– Transformee de Fourier : T.F.[ ] et Transformee de Fourier Inverse : T.F.I.[ ]

– Angle complementaire de a : a

– Conjuguee de x : x∗

– On note s(t, c, x) les enregistrements sismiques dont on fait l’etude. Dans cette expression,

t represente le temps, c la composante (N - S, E - W ou Verticale) et x le capteur (ou

distance). Ces notations { t, c , x } restent valables lorsqu’il s’agit d’espaces.

– On note b(t, c, x) le bruit qui est constitue de toute autre onde ou signal que celui que

l’on etudie.

– Les points cardinaux sont tres souvent abreges, et notes comme suit : E - W pour Est -

Ouest, et N - S pour Nord - Sud.

– Dans les figures, les couleurs attribuees aux composantes sont : noir pour E - W, bleu

pour N - S et rouge pour Verticale.

– On noteX(ν) = T.F.[x(t)], la transformee de Fourier selon t du signal x(t). La transformee

de Fourier inverse est notee x(t) = T.F.I.[X(ν)].

– On note x(t) la transformee de Hilbert du signal x(t).

– Le temps est exprime en secondes (s).

– L’amplitude des signaux est normalisee entre -1 et 1. Cette normalisation est effectuee

en respectant l’amplitude relative entre les composantes et les capteurs afin de ne pas

provoquer de changement dans la polarisation.

– Les signaux consideres dans l’espace initial (temps) sont notes en minuscules : x(t), tandis

que les signaux consideres dans l’espace dual (frequence) sont notes en majuscules : X(ν).

1

Chapitre 1

Introduction

L’etude de la polarisation des ondes de surface connaıt ces dernieres annees un essort en

raison du nombre croissant de stations multicomposantes larges-bandes.

La polarisation des ondes de surface constitue un indicateur de propagation dont l’etude permet

de mieux comprendre la nature meme des ondes de surfaces.

Les methodes de tomographie sont le plus souvent basees sur l’hypothese que les ondes se

propagent le long du grand cercle (distance la plus courte entre 2 points pour des ondes se

propageant a la surface de la Terre). La polarisation des ondes de surface peut-etre utilisee

pour estimer la direction d’arrivee de l’onde.

Des etudes recentes ont montre que la polarisation des ondes de surface pouvaient-etre utilisee

pour donner des contraintes supplementaires dans la determination des vitesses de phase (Laske

– 1995 ). Des tomographies ont ainsi pu etre realisees tant a l’echelle globale (Laske & Masters

– 1998 ) qu’a l’echelle regionale (Yanovskaya – 1996 ).

Par ailleurs, l’information que la polarisation peut donner sur l’anisotropie peut ameliorer les

tomographies qui prennent en compte l’anisotropie des roches (Laske & Masters – 1998 ).

Une approche alternative pour la mesure de la direction d’arrivee est celle basee sur l’ana-

lyse des temps d’arrivee dans des reseaux sismologiques de faible ouverture. Par exemple, Cotte

& al. (2000) ont demontre que les ecarts mesures par rapport aux valeurs attendues pour une

propagation le long du grand cercle peuvent atteindre 30o pour des ondes de surface entre 10

et 100 secondes de periode.

Le probleme de cette methode reside dans la rarete des dispositifs experimentaux existants pour

realiser ce type de mesure.

2

Differentes methodes ont ete utilisees pour mesurer la polarisation. Par exemple, Larson et

Goran (2002) ont propose une methode d’analyse de la direction d’arrivee des ondes de Ray-

leigh et Love en utilisant une technique basee sur la decomposition en vecteurs propres de la

matrice de covariance. Ces analyses montrent des difficultes a obtenir des resultats fiables pour

des periodes inferieures a 50 secondes.

Les donnees issues de la polarisation sont utilsables uniquement si les methodes d’analyse

de la polarisation sont fiables. C’est a dire si la direction d’arrivee mesuree a travers l’analyse

de la polarisation reflete la direction de propagation de l’onde.

Cette etude a pour but de determiner l’applicabilite de methodes d’analyses pour mesurer

la direction de propagation a travers l’analyse de la polarisation. Dans ce but, des signaux

synthetiques comportant tout le champs d’onde issus de la diffraction d’une onde de surface

incidentes sur une structure lateralement heterogene (methode I.B.E.M. - Pedersen & al. –

1996 ) sont utilises. Ces signaux simulees sont enregistres au niveau d’une structure heterogene

isotrope afin d’etre en presence d’ondes diffractees.

La methode employee pour extraire les parametres de polarisation est la Decomposition en va-

leurs singulieres (Golub & Van Loan – 1983 ) qui est un outil courant en traitement du signal.

La Transformee de Karhunen – Loeve basee sur la matrice de covariance, souvent utilisee en

sismologie, sera donnee a titre de comparatif.

L’analyse multicomposantes multicapteurs de donnees reelles etant complexe, nous avons

choisi de decomposer cette etude en plusieurs volets, qui pour des raisons tant methodologiques

que pedagogiques, sont presentes ici dans le meme ordre. Ces differents volets sont :

1. Analyse d’un signal synthetique multicomposantes mono-capteur.

On s’interessera dans un premier temps a l’etude d’un seul capteur a 3 composantes.

Cette premiere partie constitue une prise en main des methodes utilisees. L’effet du bruit

sur l’estimation des parametres de polarisation sera egalement etudie dans cette premiere

partie.

2. Analyse d’un signal synthetique multicomposantes multicapteurs.

On etendra ensuite l’analyse menee dans le premier volet a plusieurs capteurs. On determinera

si la polarisation reflete la direction de propagation dans une structure heterogene isotrope

realiste.

3. Analyse d’un signal reel multicomposantes multicapteurs.

Enfin, la methode utilisee sera appliquee a des donnees reelles.

3

Chapitre 2

Fondement physique

2.1 Sismologie

2.1.1 La polarisation

Les ondes de Rayleigh 1 se propagent avec un mouvement de particules qui decrivent une

ellipse retrograde contenue dans le plan d’incidence. Les differents parametres qui definissent

se mouvement constituent la polarisation des ondes de Rayleigh.

L’intersection de ce plan avec l’horizontale est orientee, dans le cas d’une Terre lateralement

homogene, en direction de la source de l’onde observee, c’est la direction Radiale. On represente

classiquement le mouvement des particules au passage d’une onde de Rayleigh en tracant la

composante Verticale en fonction de la composante Radiale tel que presente en figure 2.1. Le

plan ainsi represente est appele ici, plan d’incidence.

Le but de cette etude est d’elaborer un processus qui permette d’extraire d’un enregistrement

sismologique les parametres de polarisation. Ce processus est realise a partir des methodes

existantes en traitement du signal. Les parametres de polarisation permettant de caracteriser

l’ellipse de propagation des ondes de Rayleigh. Une representation de l’ellipse theorique et des

parametres de polarisation utilises en sismologie est fournie en figure 2.2.

Les parametres de polarisation utilises en sismologie sont :

– le back-azimut que nous noterons α, constitue l’angle dans le plan horizontal entre le

1Les ondes de Rayleigh n’existant que dans un demi-espace libre, elles sont purement hypothetiques, le terme

pseudo-Rayleigh devrait etre employe pour les designer. Toutefois, pour des raisons de simplicite, ces ondes sont

communement dites ondes de Rayleigh

4

Verticale(amplitude)

Radiale(amplitude)

-1 0 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 2.1 – Polarisation d’une onde de Rayleigh.

La polarisation est representee dans le plan d’incidence (Ra-

diale – vertical). On observe ici le mouvement des particules

qui est elliptique.

Fig. 2.2 – Ellipse de propagation d’une onde de Ray-

leigh.

Nord et la direction d’arrivee de l’onde (direction Radiale).

– l’inclinaison (en toute rigueur, inclinaison du grand axe) que nous noterons i, constitue

l’angle dans le plan d’incidence entre l’horizontale et le grand axe de l’ellipse,

– l’ellipticite que nous noterons ε, est le rapport entre la longueur du petit axe (l) et celle

du grand axe (L) de l’ellipse de propagation. L’ellipticite fournit donc l’aplatissement de

l’ellipse.

L’interpretation de ces differents parametres permet a priori de quantifier les caracteristiques

de propagation des ondes de Rayleigh, et ont parfois pu etre utilisees pour l’imagerie des struc-

tures sous-jacentes (Laske & Masters - 1998, Yanovskaya - 1996).

5

2.1.2 Dispersion des ondes de Rayleigh

Les ondes de Rayleigh sont des ondes dispersives. C’est a dire que leur frequence evolue avec

le temps. La profondeur d’investigation d’une onde depend de sa longueur d’onde λ.

λ =v(z)

ν

Ou v(z) est la vitesse de l’onde qui sur Terre depend de la profondeur et ν la frequence.

Donc la profondeur d’investigation depend de la frequence. Par consequent, les ondes de Ray-

leigh sont dispersives, c’est a dire que leur vitesse (notee c(ν)) evolue avec la frequence.

Puisque la profondeur d’investigation evolue avec la frequence, la polarisation va, elle aussi,

dependre de la frequence.

Il peut donc etre utile de decomposer le signal en bandes de frequences afin d’estimer la varia-

tion de la polarisation avec la frequence.

La dispersion des ondes de Rayleigh impliquant une variation de la polarisation avec la

frequence, la valeur du back-azimut varie donc avec la frequence. La loi de Descartes permet, a

une profondeur p′ donnee, de determiner la valeur du back-azimut α qui est reliee a la direction

d’arrivee du seisme le long du grand cercle (tragectoire la plus courte dans le cas spherique) et

a la profondeur initiale p :sin(direction arrivee)

cp(f)=

sin(α)

cp′(f)

Pour estimer la dispersion c(ν), il est necessaire d’appliquer une methode temps - frequence.

Les representations temps - frequence permettent de decrire les proprietes temporelles et frequencielles

des signaux pour lesquels a un instant (respectivement, a une frequence) le signal est suppose

n’exister qu’autour d’une frequence (respectivement, un instant).

2.2 Traitement du signal usuel des ondes de surface

Le spectrogramme (issu de la Transformee de Fourier a court terme (STFT, Short Time

Fourier Transform)) est l’outil de representation temps - frequence le plus rependu. On obtient

la structure du signal sous forme d’une distribution d’energie dans l’espace temps - frequence.

Le spectrogramme est obtenu en calculant le module carre de la transformation de Fourier

sur des segments temporels preleves sur le signal par une fenetre glissante. Le spectrogramme

contient donc une information energetique mais implique une perte de l’information contenue

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dans la phase. Le calcul se formalise de la facon suivante :

ρx(t, ν) = A

∣∣∣∣∫ +∞

−∞h(u).x∗(t− u).e−2.i.π.ν.u du

∣∣∣∣2

Ou h(u) est une fenetre d’apodisation qui fixe la longueur de la fenetre d’analyse et A un

coefficient de normalisation lie a la fenetre tel que :

A = 1/∫ +∞

−∞|h(u)|2 du

Par ailleur, l’analyse des parametres de polarisation necessite une extraction fiable de ces

parametres des donnees. C’est pourquoi il est souvent necessaire de ”debruiter” les donnees. La

suppression de bruit, comme l’extraction des parametres de polarisation, releve du traitement

de signal.

Les parametres de polarisation utilises en traitement du signal sont :

– le dephasage que nous noterons ϕi, qui constitue l’angle necessaire pour mettre en phase

deux composante. Travaillant ici avec des signaux a 3 composantes, deux valeurs de

dephasage existerons : ϕ1 et ϕ2.

– la rotation que nous noterons θi, qui constitue l’angle necessaire pour projeter deux com-

posantes selon une seule. Lors de l’utilisation de signaux a 3 composantes, comme dans

l’etude menee ici, deux angles de rotation (θ1 et θ2) sont obtenus.

2.3 Relations entre les differents parametres

L’ellipse theorique de propagation d’une onde de Rayleigh est presentee avec l’ensemble des

parametres en figure 2.3. Le sens angulaire positif est le sens trigonometrique (anti-horaire).

– Expression du back-azimut

– Si le plan d’incidence est vertical : Dans ce cas, telles a priori les ondes de Rayleigh, il

n’y a pas de dephasage entre les composantes N - S et E - W. Le back-azimut peut

alors etre simplement calcule a partir des deux composantes du plan horizontal (x(t)

et y(t) correspondant aux composantes E - W et respectivment N - S) de la facon

suivante :

α =180

π. tan−1

(max(|x(t)|)max(|y(t)|)

)

Supposant que le mouvement des particules est une ellipse, il est utile de sur-echantillonner

x(t) et y(t) afin de pallier a la distribution heterogene des points et ainsi limiter l’erreur

7

Fig. 2.3 – Ellipse de propagation - les differents pa-

rametres

L’angle note β correspond directement a l’ellipticite (ε) par

la relation : β = tan−1(ε).

d’estimation.

Dans le cas d’un plan d’incidence vertical, la valeur du premier angle de rotation θ1

correspond a l’angle complementaire du back-azimut α et peut etre utilise pour en

estimer la valeur (θ1 = α). En effet, en theorie, |θ1|+ |α| = 90.

– Si le plan d’incidence est oblique : Dans ce cas, il existe un dephasage entre les compo-

santes du plan horizontal (N - S et E - W) et le calcul cite ci-dessus n’est plus valable.

On suppose alors que le signal recu r(t) peut s’ecrire dans l’espace des frequence :

R(ν) =

−i. sin(β). cos(α)

−i. sin(β). cos(α)

cos(β)

.S(ν)

Ou S(ν) represente le signal non dephase, β = tan−1(ε), et α = 90 − α l’angle

complementaire du back-azimut.

La resolution de cette equation permet d’obtenir α donc le back-azimut.

Le back-azimut est exprime en degre par rapport au Nord. En sismologie, le sens positif

est le sens anti-trigonometrique (sens horaire), contrairement au choix fait ici, qui est

celui des mathematiques ou le sens positif est le sens trigonometrique (anti-horaire).

– Expression de l’ellipticite

L’ellipticite est calculee dans le plan d’incidence entre la composante Radiale (compo-

sante obtenue apres la premiere rotation (θ1), notee y′(t)) et la composante Verticale

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z(t). L’ellipticite est obtenue de la facon suivante :

ε =min({max(|y′(t)|); max(|z(t)|)})max({max(|y′(t)|); max(|z(t)|)})

La comparaison entre les deux composantes est necessaire car l’ellipticite est toujours

exprimee entre 0 et 1. Cette relation suppose que l’ellipse est constituee d’une infinite

de points egalement repartis sur le pourtour, afin de reduire l’erreur qu’implique cette

suposition, il est utile de sur-echantillonner de y′(t) et z(t).

– Expression de l’inclinaison Dans le plan d’incidence, l’inclinaison i (en degre) est

donnee par :

i = 90− θ2 + tan−1(ε)

On peut egalement obtenir l’inclinaison en estimant la plus grande distance euclidienne

(dε) qui est calculee de la facon suivante :

dε = y′(t)2 + z(t)2

Le maximum de dε observe permet de deduire l’abscisse (y′mε) et l’ordonnee (zmε) du

sommet de l’ellipse. On en deduit facilement la valeur de l’inclinaison i′ comme suit :

i′ = tan−1

(y′mεzmε

)

Ces deux methodes supposant que le mouvement des particules est une ellipse composee

d’une infinite de point repartis uniformement sur son pourtour, les valeurs des inclinaisons

ne sont qu’une approximation. Ces deux methodes sont complementaires car lorsque l’el-

lipticite devient tres faible (proche de zero), le calcul de i′ par distance euclidienne devient

tres precis tandis que celui base sur l’ellipticite i devient imprecis. Inversement, lorsque

l’ellipticite devient grande (proche de 1), la mesure de l’inclinaison i′ via la distance eucli-

dienne devient imprecise tandis que la mesure basee sur l’ellipticite devient precise. Une

augmentation du nombre de points par sur-echantillonnage peut limiter l’imprecision des

calculs de i et i′.

9

Chapitre 3

Signal synthetique multicomposantes

mono-capteur

Cette premiere partie est consacree a l’etude du signal synthetique mono-capteur. Tout en

jouant le role de prise en main de la methode d’analyse, cette partie cherche a montrer si en

absence d’heterogeneite, la polarisation des ondes de Rayleigh reflete la direction de propagation

de ces ondes de Rayleigh.

On attachera donc une grande importance a cette etude dans le cas mono-capteur.

3.1 Description

3.1.1 Contexte physique

Les signaux synthetiques etudies (mono- et multi-capteur(s)) ont ete generes selon la methode

I.B.E.M. (Inderct Boundary Element Method) developpee au Laboratoire de Geophysique In-

terne et de Tectonophysique de Grenoble par H. Pedersen, V. Maupin et M. Campillo (Pedersen,

Maupin, Campillo - 1996 ).

On considere une structure representant une croute continentale comportant un epaississement

telle que presentee dans la figure 3.1.

Une onde de Rayleigh plane (mode fondammental) est incidente avec un angle de 60o

sur cette structure et subit lors du passage dans la structure les effets de diffraction dus a

l’heterogeneite laterale.

Tout le champs d’onde tri-dimensionnel est considere et donc toutes les conversions, reflexions

et refractions sur la structure sont prises en compte.

10

Fig. 3.1 – Structure geophysique simulee

Le triangle rouge represente le capteur utilisee pour realiser

l’enregistrement.

Les parametres du modele sont definit comme suit :

Enveloppe Vitesse des Vitesse des densite

terrestre ondes P ondes S

Croute 6, 7km.s−1 3, 87km.s−1 2, 7g.cm−3

Manteau 8, 2km.s−1 4, 73km.s−1 3, 2g.cm−3

Tab. 3.1 – Parametres de simulation

La source est situee infiniment loin de la structure afin que l’onde de Rayleigh incidente soit

parfaitement plane. Le signal au kilometre zero (debut de la structure a 4900 km) est un dirac.

Pour des raisons numeriques de la simulation, le dirac a ete emis au temps t = −600s.

Des capteurs sismiques virtuels sont disposes le long du profil tous les 8 kilometres. Dans ce

chapitre (monocapteur), on ne considere que le capteur situe a la distance 4800 km de sorte a

ce que le signal obtenu soit tres peu influence par la structure (Cf. figure3.1)

Les parametres de polarisation sont : un back-azimut (α) de 60oN et une inclinaison (i) de

90o.

3.1.2 Signal synthetique obtenu

Le signal synthetique est recu sur un seul capteur qui comporte 3 composantes. Ce signal

est dit multicomposantes mono-capteur. L’espace initial comporte 2 dimensions { c , t }.

L’onde recue sur les 3 composantes etant une onde de Rayleigh, l’analyse temps - frequence

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du signal montre une evolution de la frequence avec le temps. Une representation du spectro-

gramme du signal est fournit figure 3.2. Aux vues du spectrogramme, le signal montre un aspect

dispersif.

Temps

Fré

quen

ce

−15

−10

−5

0

5

10

50

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 200 400 600

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 200 400 600

−0.50

0.5

Fig. 3.2 – Spectrogramme du signal mono-capteur)

3.2 Analyse du signal non bruite

Le signal etudie est presente en figure 3.3. Il est echantillonne sur 1024 points avec un pas

d’echantillonnage a 0,78125 secondes (soit un temps total d’enregistrement de 800 secondes).

Les trois composantes sont representees aux memes echelles d’amplitude et de temps.

E − W

N − S

Verticale

Composanteet amplitude

temps0 100 200 300 400 500 600 700

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

N − S(amplitde)

Radiale(amplitde)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fig. 3.3 – Signal multicomposantes – mono-capteur

A gauche, les 3 composantes sont representees en fonction du temps (representation galvanometrique).

A doite, l’ellipse de propagation est representee dans le plan d’incidence.

On remarque que l’energie depend de la composante, et qu’il existe un dephasage net entre

la composante Verticale et les deux autres composantes (N - S et E - W).

12

Le signal synthetique mono-capteur multicomposantes est analyser independamment de la

frequence. Pour analyser ce signal non bruite, deux methodes sont employees :

– Le signal est d’abord traite en polarisation simple. Cette methode permet d’estimer les pa-

rametres sans introduire d’outils mathematiques complexes et ainsi d’aborder de maniere

intuitive les differents parametres.

– Ensuite, l’analyse sera effectuee par Decomposition en Valeurs Singulieres. L’analyse du

signal est alors effectuee de facon automatique.

3.2.1 Polarisation simple

Dans un premier temps, l’analyse est effectuee en polarisation simple c’est a dire etape par

etape afin de bien comprendre les differentes etapes de l’analyse.

On obtient les valeurs de dephasage (ϕ1 et ϕ2) et de l’angle de rotation (θ1 et θ2) en les faisant

varier jusqu’a ce que la projection soit convenablement effectuee. C’est a dire lorsque la totalite

du signal est present sur la composante Verticale et que les deux autres composantes (E - W

et N - S) ne comporte plus de signal.

Les parametres dephasages et angles de rotation sont presentes ici :

Dephasage et rotation

– Dephasage : Dans un premier temps, les composantes doivent etre mises en phase, on

doit donc dephaser deux des trois composantes pour qu’elles se trouvent en phase avec la

troisieme. Pour un signal x(t) donne, le signal xϕ(t) dephase de ϕ est donne par :

xϕ(t) = x(t) ∗ e−2.i.π.ϕ

Ou ∗ represente le produit de convolution.

On peut egalement dephaser un signal de la facon suivante :

xϕ(t) = TFI[TF [x(t)].e−2.i.π.ϕ] = TFI[X(ν).e−2.i.π.ϕ]

On peut egalement calculer le dephasage grace a la transformee de Hilbert qui presente

l’avantage de generer un dephaseur pur, independant de la frequence. C’est cette methode,

plus efficace dans le cas des ondes dispersives, qui sera utilisee :

xϕ(t) = cos(ϕ).x(t) + sin(ϕ).x(t)

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La transformee de Hilbert se definit, dans l’espace temps, comme suit :

x(t) =1

π.pp

{1

t

}∗ x(t) =

1

π.vp

{∫ +∞

−∞x(s)

t− sds}

Ou pp represente la partie principale et vp represente la valeur principale. L’integration

en valeur principale etant limitee a la somme de deux integrales de −∞ a ε et de ε a +∞lorsque ε tend vers zero (exclusion de la partie s = 0). Pour des raisons pratiques, on

calcule la transformee de Hilbert dans le domaine des frequences comme suit :

Xq(ν) = TF [x(t)] = −i.signe(ν).X(ν)

Ou signe(ν) est la fonction definie tel que :

signe(ν) = −1 |∀ ν < 0

signe(ν) = 0 |∀ ν = 0

signe(ν) = +1 |∀ ν > 0

Les signaux Xq(ν) et X(ν) sont en quadrature : ils sont dephases de −90o pour les

frequences positives et de +90o pour les frequences negatives.

Le signal etudie a ete mis en phase par transformee de Hilbert et est presente en figure 3.4.

E − W

N − S

Verticale


temps0 100 200 300 400 500 600 700

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

N − S(amplitde)

Radiale(amplitde)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fig. 3.4 – Signal en phase

– Rotation : Dans un deuxieme temps, les composantes sont projetees selon une des trois.

Pour 2 composantes x(t) et y(t) d’un signal recu sur un capteur multicomposantes, la

rotation d’angle θ est donnee par :

a(t) = x(t). sin(θ) + y(t). cos(θ)

b(t) = x(t). sin(θ) + y(t). sin(θ)

14

Ou a(t) et b(t) correspondent aux signaux sur chaque composante apres rotation.

La rotation d’un signal necessite sa mise en phase preliminaire. Le signal mono-capteur

multicomposantes apres double rotation est dit projete selon la composante choisie. Une

illustration du signal projete selon la Verticale est donnee en figure 3.5.

E − W

N − S

Verticale


temps0 100 200 300 400 500 600 700

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 3.5 – Signal projete selon la Verticale

Le residu observable sur la composante du mileu (N - S) provient du traitement qui est

realise ici de maniere similaire quelle que soit la frequence. Le signal etant dispersif, la

projection n’est pas parfaite. Cependant, l’erreur realisee est negligeable et le signal sera

analyse sans tenir compte de sa dispersion pour l’analyse monocapteur.

Dans cette etude, le signal ayant trois composantes, deux rotations successives sont

necessaires pour le projeter selon une des trois composantes. La premiere rotation (θ1)

est realisee dans le plan horizontal (composantes E - W et N - S) de sorte a remettre le

signal dans l’axe de la source (on dit egalement in-line, ou Radiale).

La deuxieme rotation (θ2) est alors effectuee entre les composantes Verticale et Radiale.

Les valeurs obtenues en procedant manuellement a leur estimation sont presentees dans

le tableau 3.2. Ces valeurs serviront de reference pour la suite de l’analyse.

Dephasage Rotation

Plan horizontal ϕ1 = 0 θ1 = −30

Plan d’incidence ϕ2 = 90 θ2 = 35

Tab. 3.2 – Valeurs des dephasages et des angles de ro-

tation

En utilisant les expressions presentees au paragraphe 2.3. (relation entre les differents pa-

rametres), on obtient ainsi les valeurs des parametres de polarisation du signal synthetique

15

mono-capteur etudie qui sont presentees dans le tableau 3.3.

back-azimut Ellipticite Inclinaison Inclinaison

α ε i i′

60 oN 0, 75 91,1 o 89,4 o

Tab. 3.3 – Valeurs de polarisation du signal

Comme indique, les valeurs d’inclinaison (i et i′) sont er-

ronnees en raison de la distribution des points sur le pour-

tour de l’ellipse.

Dephasage automatique

Il est possible d’obtenir de facon automatique les valeurs de dephasage pour chaque couple

de composantes (E - W – N - S) et (N - S – Verticale).

On cree un signal fonction du dephasage sur une des deux composantes. C’est a dire que

pour l’une des deux composantes considerees, le dephasage sera nul, et sur l’autre, le dephasage

varie entre 0 et 180 degre. Plus le nombre de valeurs en phase est grand, plus la valeur obtenue

est precise. Dans l’etude menee ici, on choisit 360 valeurs de sorte a avoir une precision egale

au demi degre.

Poour chaque valeur de dephasage, on calcule l’enveloppe du signal :

env[x(t, c)] = |x(t, c) + ı.x(t, c)|2

On realise enfin la somme sur t (figure 3.6).La valeur optimale du dephasage ϕopt est choisie

telle qu’elle corresponde au maximum de la somme. Le calcul effectue est :

ϕopt ↔ max

(∑

t

env[x(t, c)]

)

3.2.2 Decomposition en Valeurs Singulieres

La Decomposition en Valeurs Singuliere est utilisee ici. Une description de cette methode

est succintement faite. Ensuite, les resultats de cette methode appliquee a l’analyse de la pola-

16

Amplitudede la sommede l’enveloppe

Dephasage (degre)

89,5+

|||||||||||||||

0 20 40 60 80 100 120 140 160

300

350

400

450

500

Fig. 3.6 – Determination de la valeur de dephasage.

risation sont presentes.

Methode

Le filtrage en Decomposition en Valeur Singulieres (SVD : Singular Value Decomposition)

est applique classiquement aux donnees 2D presentees dans l’espace { x , t }. Il peut toutefois

etre applique a des espaces differents ou de dimensions superieures (Traitement du Signal en

Geosciences : techniques avancees – 2003 ).

Ce filtrage a pour but principal de decomposer l’espace initial en deux sous-espaces : le sous

espace signal et le sous espace bruit. Au cours de cette separation, il est possible d’extraire

les valeurs de rotation (θ) entre chaque couple de composantes. Ceci permettant de projeter le

signal selon une seule composante.

Soit la matrice w de dimension (Nt,Nc) un enregistrement mono-capteur, multicomposantes.

Alors on peut decomposer cette matrice de la facon suivante :

w = u.λN.vT =

N∑

k=1

λk.uk.vkT

Ou :

– u est une matrice orthogonale de dimension (Nt,Nt) composee par les vecteurs singuliers a

gauche. Chaque vecteur uk caracterise la dependance en fonction du temps et est denomme

ondelette normalisee.

– v est une matrice orthogonale de dimension (Nc,Nc) composee par les vecteurs singuliers

a droite. Chaque vecteur vk caracterise l’amplitude dans le cas present (signaux reels) et

est appele vecteur de propagation. On retrouve les valeurs θ a partir de cette matrice.

– λ est une matrice diagonale de dimension (Nt,Nc) comportant les valeurs singulieres (λ)

ordonnees de facon decroissante.

17

La Decomposition en Valeurs Singulieres necessite la mise en phase preliminaire des 3 com-

posantes. Pour ce, on utilise la methode de polarisation automatique decrite precedemment.

Au cours de la S.V.D., la matrice v fournissant les dependance en temps, il est possible d’obte-

nir, par comparaison des amplitudes du premier vecteur propre (v1), les valeurs des angles de

rotation θ1 et θ2.

θi =180

π. tan−1

(vi1vi+1

1

)| vi1, vi+1

1 ∈ v1 ∀i ∈ {1, 2}

Intuitivement, la matrice v contient les coordonnees dans l’espace tridimensionnel d’un vecteur

dont on cherche les coordonnees angulaires. Le calcul enonce ci-dessus traduit ce changement

de systeme de coordonnees (cartesien a angulaire).

On obtient donc a partir d’un signal s(t, c) les 4 parametres usuels en traitement du signal,

a savoir : θ1, θ2 (au cours de la SVD), ϕ1 et ϕ2 (par dephasage automatique). On en deduit

ensuite les parametres de polarisation utilises en sismologie (i, α, et ε).

Resultats

L’analyse par decomposition en valeurs singulieres appliquee a un signal multicomposantes

mono-capteur non bruite permet d’obtenir les valeurs des angles de rotation tels qu’ils avaient

ete etablis precedemment. Le tableau 3.4 donne les valeurs obtenues par la decomposition en

valeurs singulieres avec pour memoire les valeurs de reference (valeurs entre parentheses).

Dephasage Rotation

Plan horizontal ϕ1 = 0 (0) θ1 = −30, 0 (−30)

Plan d’incidence ϕ2 = 90 (90) θ2 = 35, 7 (35)

back-azimut Ellipticite Inclinaison

α = 60oN (60) ε = 0, 75 (0, 75) i = 91, 2o et i′ = 89, 2o (90)

Tab. 3.4 – Resultat de la SVD sur un signal non bruite.

Le signal obtenu, projete selon la composante Verticale, est presente dans la figure 3.7.

On a donc automatise l’extraction des parametres dephasages (ϕ1 et ϕ2) et rotation (θ1 et

θ2). Un grand nombre de signaux peuvent alors etre traites rapidement.

18

Fig. 3.7 – Signal mono-capteur apres projection par S.V.D.

E − W

N − S

Verticale


temps0 100 200 300 400 500 600 700

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

La remarque faite au paragraphe 3.2.1. quant a la subsistance d’un residu sur la composante N - S

reste valable.

Il est maintenant necessaire d’evaluer la robustesse de cette methode face a differents bruits de

differentes intensites.

3.3 Analyse du signal bruite

3.3.1 Choix du bruit

Le bruit peut etre d’origine tres diverse, on distingue deux grandes categories : bruit aleatoire

et bruit coherent.

Le bruit aleatoire est centre, ergodique et gaussien. C’est a dire que le bruit aleatoire est un

signal dont l’esperance egale la moyenne en temps et que celle-ci est nulle. Un tel signal n’est

pas polarise.

E[b(t)] =

∑t b(t)

nt

Ou E[ ] represente l’esperance mathematique, et nt le nombre d’echantillon en temps.

Le bruit coherent, plus difficile a soustraire du signal, est constitue de divers signaux ondu-

latoires (vagues, moteurs, reflexions sismiques, autres signaux sismiques...).

On choisit de travailler d’abord en presence d’un bruit aleatoire puis avec un bruit coherent.

Le bruit aleatoire sera dans un premier temps effectue de maniere homogene puis sera filtre

en frequence dans la bande passante du signal (cas plus defavorable) c’est a dire que l’on ne

conserve que la partie du bruit qui a la meme bande passante que le signal.

19

Le rapport signal sur bruit RSB est evalue grace au rapport de la somme des amplitudes

de la densite spectrale en puissance (γs) :

RSB =

∑ν γs(ν)∑ν γb(ν)

| γs(ν) = E[S(ν).S∗(ν)]

Ou E[ ] represente la fonction esperance, et S∗(ν) le signal conjugue de S(ν) dans le domaine

des frequences.

Plus le rapport signal sur bruit (RSB) est petit, plus le bruit est important. Il y a egalite de

puissance entre signal et bruit pour un rapport signal sur bruit egal a 1.

La densite spectrale en puissance (ou d.s.p.) peut egalement etre calculee comme suit

(methode du periodogramme lisse) :

γs(ν) = |T.F.[Γss(t).h(t)]|2

Ou Γss(t) correspond a l’autocorrelation du signal s(t), et h(t) une fenetre d’apodisation.

Pour plus de clarte, et afin que les rapports signal sur bruit evoques ici puissent-etre utilises

dans le cas d’enregistrement reels, la valeur du rapport signal sur bruit sera accompagnee des

spectres en frequence du signal et du bruit.

3.3.2 Bruit aleatoire homogene

Le signal presente en figure 3.8 correspond au signal initial (signal synthetique multicom-

posantes – mono-capteur) auquel a ete ajoute un bruit aleatoire homogene.

La figure suivante (3.9) represente les spectres en frequence du signal et du bruit. Ces

spectres Sp(ν) sont obtenus en calculant le module carre de la transformee de Fourier du signal

et du bruit :

Sp(ν) = |X(ν)|2

Amelioration du Rapport Signal sur Bruit

La presence de bruit perturbe l’evaluation des parametres recherches, il est donc necessaire

de ”debruiter” le signal (augmenter son RSB) avant de l’analyser. Pour ce, on procede a un

filtrage par Decomposition en Valeurs Singulieres pour augmenter le rapport signal sur bruit.

20

E - W

N - S

Verticale


temps0 100 200 300 400 500 600 700

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 3.8 – Signal mono-capteur avec un bruit aleatoire

homogene

Le signal mono-capteur multicomposantes (3) presente sur

cette figure a un rapport signal sur bruit egal a 1,46. Les

spectres en frequence du signal et du bruit sont donnes en

figure 3.9

frequence (Hz)

��

0

500

1000

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

bruit

signal

Fig. 3.9 – Spectres en frequence du signal et du bruit

Le signal a une amplitude maximale beaucoup plus elevee

que le bruit mais n’est pas present sur toute la gamme de

frequence, ce qui explique la valeur du RSB (1,46).

En sortie de la decomposition en valeurs singulieres, on selectionne les n premiers vecteurs

singulier qui comportent toute l’information du signal (correspondants au sous-espace signal).

Les autres vecteurs singuliers ne comportant que du bruit sont mis de cote. C’est l’espace signal

qui sert de base pour la suite (calcul des valeurs de dephasage ϕ1 et ϕ2 et des angles de rotation

θ1 et θ2).

Le choix du nombre n de vecteurs propres conserves est realise sur la base de la decroissance

des valeurs singulieres λ dont une representation est donnee en figure 3.10. Pour le signal etudie

ici, il apparait que les deux premiers vecteurs singuliers suffisent pour ”debruiter” le signal.

Il est egalement a noter qu’en deca de deux vecteurs singuliers, une partie de l’information sur

21

la polarisation du signal est perdue.

Amplitude

Valeurpropre

1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

10

12

Fig. 3.10 – Decroissance des valeurs propres λ

Le signal ”debruite” par filtrage par decomposition en valeurs singulieres est illustre en

figure 3.11

E - W

N - S

Verticale


temps0 100 200 300 400 500 600 700

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 3.11 – Signal ”debruite” par S.V.D.

Apres amelioration du rapport signal sur bruit par filtrage

en S.V.D., le nouveau RSB vaut 16,6 (contre 1,46). Les

spectres en frequence du signal et du bruit sont presentes

en figure 3.12.

Analyse par Decomposition en Valeurs Singulieres

L’analyse en Decomposition en Valeurs Singulieres permet de retrouver les valeurs de

dephasage et rotation en presence de bruit. Le tableau 3.5 presente les valeurs obtenues pour

un taux de bruit egal a 16,6 ainsi qu’en reference les valeurs de reference. (valeurs entre pa-

rentheses)

On notera toutefois que si les valeurs de dephasage ϕ1 et ϕ2 sont pratiquement invariantes, les

valeurs de rotation θ1 et θ2 sont sensibles au bruit.

22

frequence (Hz)

��

0

5

10

15

20

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

bruit

signal

Fig. 3.12 – Spectres en frequence du signal et du bruit.

Les spectres en frequence du bruit aleatoire homogene et du

signal mono-capteur multicomposantes (3) sont representes

ici. Le RSB est egal a 16,6.

Dephasage Rotation

Plan horizontal ϕ1 = 0 (0) θ1 = −30, 0 (−30)

Plan d’incidence ϕ2 = 87, 5 (90) θ2 = 35, 8 (35)


α = 58, 5 (60) ε = 0, 70 i = 89, 5 et i′ = 88, 9 (90)

Tab. 3.5 – Exemple de resultats de la SVD sur un signal

bruit aleatoire.

Le RSB est de 16,6 pour une realisation de bruit aleatoire.

Influence du bruit

L’influence du bruit sur le calcul des valeurs θ1 et θ2 (angles de rotation) est evalue en

repetant ce calcul pour differents bruits (30) avec un meme rapport signal sur bruit.

On observe ainsi en sortie du systeme non plus des constantes θ1 et θ2 mais des fonctions du

bruit utilise : θ1(b) et θ2(b). On obtient egalement le back-azimut en fonction de ces differents

bruits α(b). On peut ainsi estimer une moyenne et un ecart type de ces 3 parametres dont les

resultats obtenus sont presentes dans le tableau 3.6.

On teste egalement l’influence du rapport signal sur bruit pour un bruit donne en calculant

les valeurs de l’angle de rotation θ1 pour divers rapports signal sur bruit. Le resultat dans le

cas d’un signal mono-capteur multicomposantes en presence de bruit aleatoire homogene est

illustre en figure 3.13.

23

Angle de rotation Angle de rotation back-azimut

θ1 θ2 α

Moyenne -30,0 35,8 59,8

Ecart type 0,47 0,29 0,99

Tab. 3.6 – Influence du bruit sur un signal avec bruit

aleatoire

Ces valeurs sont etablies pour un RSB de 16,6

Pourcentagede bruit introduit(Tb = 1.30)

Valeur du premierangle de rotation(en degre)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−30

−28

−26

−24

−22

Fig. 3.13 – Evolution de l’angle de rotation θ1 avec le

taux de bruit

Pour un bruit aleatoire homogene, plus le taux de bruit est important, plus la valeur de

l’angle de rotation θ1 tend vers zero. Ceci s’explique du fait de la nature du bruit (aleatoire

centre gaussien ergodique donc non polarise) qui tend a uniformiser les 3 composantes meme

si la partie signal differe d’une composante a l’autre.

On obtient donc un signal dont les dimensions sont {t, c, rsb, b}, ce qui permet de comparer

les valeurs calculees du back-azimut pour differents rapports signal sur bruit et ce pour different

bruit telles que presentees figure 3.14.

3.3.3 Bruit aleatoire filtre en frequence

En sismologie, le bruit est fortement correle au signal car il est propage dans le meme milieu.

Pour produire cet effet, on procede a un filtrage en frequence du bruit de sorte a le rendre plus

defavorable. Le filtrage est realise de la facon suivante :

b′(t) = T.F.I.[T.F.[b(t)].T.F.[x(t)]]

24

Azimut(en degre)

Nature dubruit

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

30

40

50

60

70

Fig. 3.14 – Evolution du back-azimut en fonction du

bruit et du rapport signal sur bruit

Chaque trace de couleur represente un RSB different :

rouge pour RSB = 226, bleu pour RSB = 3,32, et vert pour

RSB = 0,93

La realisation d’un tel signal, illustre en figure 3.15, permet de mieux estimer la robustesse au

bruit de la methode d’analyse de polarisation par S.V.D.

E - W

N - S

Verticale


temps0 100 200 300 400 500 600 700

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 3.15 – Signal mono-capteur avec un bruit aleatoire

filtre

Le signal mono-capteur multicomposantes (3) a un RSB egal

a 1,31. Les spectres en frequence du signal et du bruit sont

presentes en figure 3.16.

Rapport signal sur bruit

Comme dans le cas du signal avec bruit aleatoire homogene, le rapport signal sur bruit est

ameliore par une decomposition en valeurs singulieres, on obtient alors un RSB egal a 2,04.

Le signal ainsi ”debruite” sert de base pour l’estimation des parametres de dephasage et de

rotation.

25

frequence (Hz)

��

0

500

1000

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

bruit

signal


Le rapport signal sur bruit est egal a 1,31.


Les resultats obtenus pour un rapport signal sur bruit egal a 2,04 sont presentes dans le

tableau 3.7. On remarque que les valeurs obtenues sont erronnees en raison de la presence d’un

tel bruit, et ce notament pour le deuxieme angle de rotation (θ2).

Dephasage Rotation

Plan horizontal ϕ1 = 0, 5 (0) θ1 = −29, 4 (−30)



α = 63, 9 (60) ε = 0, 92 i = 100, 7 et i′ = 53, 8 (90)

Tab. 3.7 – Exemple de resultats de la SVD sur un signal

avec bruit filtre.

Le RSB est de 2,04 pour une seule realisation du bruit.

En raison du volume de donnees a traitees, le signal doit etre sous-echantillonne en temps,

ce qui a pour consequence une diminution de la precision du calcul des inclinaisons i et i′

pour lesquelles un sur-echantillonnage est recommande (Cf. paragraphe 2-3 – relation entre les

diferents parametres).

Comme pour le cas du signal avec bruit aleatoire homogene, on remarque que l’augmentation

du taux de bruit tend a homogeneiser les composantes et donc a fausser (vers zero) les valeurs

des deux angles de rotation et le back-azimut. Les valeurs de ces 3 parametres sont donnees

dans le tableau 3.8.

26


θ1 θ2 α

Moyenne -28,6 30,7 63,3

Ecart type 7,82 7,04 2,09


filtre

Les resultats sont obtenus ici par SVD pour un RSB egal a

2,04.

La figure 3.17 represente les 20 valeurs du back-azimut α qui ont permies de realiser l’esti-

mation de la valeur moyenne et de l’ecart type du back-azimut presente dans le tableau 3.8.

Azimut(degre)

bruit0 5 10 15

50

60

70

80

90

Fig. 3.17 – Variation du back-azimut α en fonction du

numero de realisation.

Analyse par Transformee de Karhunen – Loeve

Methodologie :

Au lieu de travailler directement sur les donnees initiales comme dans ce qui precede, on se

propose d’effectuer la Decomposition en Valeurs Singulieres sur la matrice de co-variance. C’est

la Transformee de Karhunen – Loeve (TKL) (Karhunen & Loeve, 19xx ). La matrice de cova-

riance etant calculee de la facon suivante :

Soit w(t, c) la matrice comportant les donnees initiales (Nt points en temps, Nc composantes).

Alors, la matrice de covariance, notee Cov, se calcule :

Cov = w.wT

(3.1)

27

Ou wT represente la matrice transposee de w.

Si la covariance est calculee ainsi (dimensions Nt, Nt), on obtiendra apres Decomposition en

Valeurs Singulieres les ondelettes (u.λN .u) qui nous permetteraient d’obtenir l’information sur

les retards et le dephasage (dependance en temps).

En revanche, pour extraire des informations sur les amplitudes, le produit matriciel doit etre

effectue en sens inverse (Cov = wT .w, dimensions Nc, Nc). On obtient ainsi les energies (v.λN .v)

dont on pourra deduire les valeurs des angles de rotation θ1 et θ2. Les valeurs des angles de

rotations sont obtenues de maniere analogue a la SVD.

L’analyse par Transformee de Karhunen – Loeve ne necessitant pas la mise en phase

preliminaire du signal, les valeurs donnees ici sont identiques a celles fournies lors de l’ana-

lyse par SVD. La methode de dephasage automatique restant inchangee, celle ci fournie les

memes resultats dans les memes conditions (signal, bruits et RSB).

Analyse :

– Rotation par Transformee de Karhunen – Loeve :

Ici, seul le calcul des valeurs de rotation (θ) est effectue par Karhunen – Loeve, le RSB

est ameliore par Decomposition en Valeurs Singulieres.

Dephasage Rotation




α = 66, 7 (60) ε = 0, 56 i = 39, 1 et i′ = 86, 6 (90)

Tab. 3.9 – Exemple de resultats de la TKL sur un signal

avec bruit filtre.

Le RSB est de 2,04 pour une seule realisation du bruit.

– Analyse complete par Transformee de Karhunen – Loeve :

La Transformee de Karhunen – Loeve s’avere inefficace pour le debruitage dans le cas

d’un signal mono-capteur multicomposantes. Cette methode peut toutefois etre utilisee

pour determiner les valeurs de rotation (θ1 et θ2), comme indique precedement.

28

L’estimation de l’erreur realisee lors du calcul du back-azimut α est presentee dans le ta-

bleau 3.10. Les estimations pour les valeurs des angles de rotation θ1 et θ2 y sont adjoint.


θ1 θ2 α

Moyenne 24,4 84,0 63,9

Ecart type 6,34 4,04 2,09


filtre

Les resultats sont obtenus ici par Transformee de Karhunen

– Loeve pour un RSB egal a 2,04 et sont a comparer avec

ceux obtenus par SVD presentes dans le tableau 3.8.

La figure 3.18 represente l’echantillion des 20 valeurs du back-azimut α qui a permi de

realiser cette estimation.

Azimut(degre)

bruit0 5 10 15

50

60

70

80

90

Fig. 3.18 – Variation du back-azimut α en fonction du

numero de realisation.

Le back-azimut est estime ici par la Transformee de

Karhunen – Loeve pour un RSB de 2,04.

Comparaison TKL – SVD

Pour un meme rapport signal sur bruit (2,04), les deux methodes donnent des resultats

similaires. (Cf. tableau 3.11).

Le calcul des valeurs de rotation via Karhunen – Loeve est plus sensible a la presence de bruit.

L’estimation de la valeur du back-azimut α etant independante de la methode utilisee (SVD

29

ou TKL), les valeurs obtenues sont tres voisines pour les deux cas.

Par ailleurs, le temps de calcul qui est bien superieur pour Karhunen – Loeve puisqu’il

necessite le calcul de la matrice de covariance. De plus, ce calcul necessite l’elevation au carre

des termes, engendrant ainsi une imprecision calculatoire.

On notera que la Transformee de Karhunen – Loeve est utile pour des signaux qui comprennent

un retard ce qui n’est pas le cas ici puisque le signal est mono-capteur.

SVD TKL

θ1 −28, 6 ± 7, 82 24, 4 ± 6, 34

θ2 30, 7 ± 7, 02 84, 0 ± 4, 04

back-azimut α 63, 3 ± 2, 09 63, 9 ± 2, 09

Tab. 3.11 – Comparaison des methodes en presence de

bruit aleatoire filtre.

3.3.4 Bruit coherent

Le bruit coherent est un enregistrement de bruit sismique : les vagues, les marees, passage

d’un poids lourd, ... tout signal ondulatoire autre que le signal qui nous interesse. Le bruit

coherent utilise ici est un enregistrement effectue sur un capteur sismique (CMG3) multicom-

posantes (3) hors grand evenement sismique dans les ateliers du L.G.I.T.

Afin de rendre le bruit plus realiste, un filtre en frequence est applique au bruit pour conserver

seulement la gamme de frequence ou est present le signal.

Comme dans le cas du bruit aleatoire, on estime l’influence du bruit. Le signal avec bruit

coherent filtre est presente figure 3.19. Le bruit coherent filtre sera simplement dit bruit coherent

afin d’alleger la synthaxe.

Rapport signal sur bruit

Afin d’augmenter le rapport signal sur bruit (RSB), un filtrage par SVD est applique. Le

signal ainsi obtenu a un RSB egal a 1,49.

L’observation des spectres du signal et du bruit montre que pour la bande de frequence

[0 Hz; 0, 01 Hz], le bruit domine largement le signal. Un filtre passe-haut dont la frequence

de coupure est 0,01 Hz est donc applique. Un filtre passe-haut ne conservant que les frequences

30

E - W

N - S

Verticale


temps0 100 200 300 400 500 600 700

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 3.19 – Signal mono-capteur avec un bruit coherent.

Le rapport signal sur bruit est de 1,26. Les spectres en

frequence du bruit coherent et du signal sont presentes en

figure 3.20.

frequence (Hz)

��

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

bruit

signal


Le RSB est egal a 1,26.

superieures a sa frequence de coupure (ici, 0,01 Hz), une partie du bruit est supprimee sans

alterer le signal. L’effet du filtre passe-haut est presente pour le spectre en frequence du signal

sur la figure 3.21. Le nouveau RSB obtenu est alors de 3,32.

Le signal ainsi debruite est presente en figure 3.22


L’analyse par Decomposition en Valeurs Singulieres sur le signal mono-capteur multicompo-

santes avec un bruit coherent donne, pour un rapport signal sur bruit egal a 3,32, les resultats

presentes dans le tableau 3.12.

L’estimation de l’erreur induite par le bruit permet d’evaluer a 59, 1 la valeur moyenne du

31

Fig. 3.21 – Effet du filtre passe-haut.��

frequence

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

0

5

10

15

20

25

La courbe en pointilles bleus represente le sepctre en

frequence du signal mono-capteur multicomposantes avec du

bruit coherent. La courbe en rouge represente ce meme si-

gnal, ”debruite” grace a un filtre SVD et un filtre passe-haut.

E - W

N - S

Verticale


temps0 100 200 300 400 500 600 700

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 3.22 – Signal mono-capteur avec bruit coherent

”debruite”.

L’amelioration du rapport signal sur bruit par SVD et filtre

passe-haut fait passer le RSB de 1,26 a 3,32.

back-azimut α avec un ecart type de 12, 1. Les valeurs des angles de rotation sont estimees a

θ1 = −29, 9o ± 4, 47 et θ2 = 38, 0o ± 1, 50.

La presence de bruit coherent perturbe l’analyse de la polarisation de l’onde consideree.

Ceci est du a la faible amelioration du rapport signal sur bruit par la premiere Decomposition

en Valeurs Singulieres (de RSB = 1,26 a RSB = 3,32).

Par construction le bruit coherent genere ici est difficilement dissociable du signal. Dans le

cas de donnees reelles, des methodes de separation d’onde sur plusieurs capteurs permettraient

d’augmenter de maniere sensible le rapport signal sur bruit.

32

Dephasage Rotation




α = 62, 9 (60) ε = 0, 84 i = 91, 4 et i′ = 70, 2 (90)

Tab. 3.12 – Resultats de la SVD sur un signal avec bruit

coherent.

3.4 Conclusion de l’analyse mono-capteur

L’analyse mono-capteur multicomposante de la polarisation d’une onde est donc possible et

ce pour different types de bruit. Comme nous l’avons vu, la plus grande difficulte reside dans

l’amelioration du rapport signal sur bruit, cette amelioration evitant de commettre des erreurs

d’estimation des parametres de polarisation.

L’amelioration du rapport signal sur buit est plus ou moins aisee selon la nature du signal. Pour

les differents cas etudies ici, le bruit coherent filtre en frequence est le plus vraissemblable vis

a vis des donnees reelles. Pour ce type de bruit, le rapport signal sur bruit doit etre superieur

a 3, sans quoi, le calcul des parametres de polarisation s’en retrouve tres altere.

Dans l’etude menee ici, sur des signaux synthetiques comportant tout le champs d’onde, en

absence d’heterogeneite, l’analyse de la polarisation permet d’obtenir la direction de propaga-

tion de l’onde (back-azimut).

33

Chapitre 4

Signal synthetique multicomposantes

multicapteurs

Cette deuxieme partie est consacree a l’etude du signal synthetique multicapteurs. On

cherche ici a determiner l’influence qu’a une heterogeneite laterale sur la polarisation. On

s’interessera a la signification de la valeur de l’angle d’arrivee de l’onde deduite de la pola-

risation vis a vis de la direction de propagation de l’onde.

4.1 Description

Le signal, comme dans le cas mono-capteur, presente une simplicite qui permet de trouver

les methodes d’analyse apropriees. Ensuite l’ajout de bruit coherent permettera de tester la

robustesse au bruit de ces methodes. L’espace initial comporte maintenant 3 dimensions :

position du capteur, composante et temps, nous notons donc { x , c , t }. Le signal synthetique

est recu sur 50 capteurs (espaces de 8 km) a 3 composantes tels que schematises en figure 4.1.

Fig. 4.1 – Disposition des capteurs

Les capteurs sont schematises par des triangles rouges.

34

On travaille pour chaque capteur de la meme facon qu’au chapitre 3 (Signal multicompo-

santes - mono-capteur) par Decomposition en Valeurs Singulieres (SVD). Ensuite, on cree des

traces en fonction de la distance (ou du capteur) x. Ce qui permet d’observer d’eventuelles

variations de la polarisation avec la distance.

Le signal etant dispersif, on cherchera a etablir des relations entre polarisation, distance et

frequence. Ces resultats seront compares aux valeurs theoriques du back-azimut en fonction de

la distance.

Le signal presente en figure 4.2 est echantillonne sur 1024 points en temps a un pas

d’echantillonnage de 0,78125 secondes (soit 800 secondes d’enregistrement).

(a)

temps(en s)

distance (en km)

200 400

4800

4820

4840

4860

4880

4900

4920

4940

4960

4980

5000

5020

5040

5060

5080

5100

5120

5140

5160

5180

(b)

temps(en s)

distance (en km)

200 400

4800

4820

4840

4860

4880

4900

4920

4940

4960

4980

5000

5020

5040

5060

5080

5100

5120

5140

5160

5180

(c)

temps(en s)

distance (en km)

200 400

4800

4820

4840

4860

4880

4900

4920

4940

4960

4980

5000

5020

5040

5060

5080

5100

5120

5140

5160

5180

Fig. 4.2 – Signal synthetique multicomposantes multicapteurs

(a) Composantes Est - Ouest, (b) Composantes Nord-Sud, (c) Com-

posantes verticales.

35

4.2 Analyse polarisation – distance

Dans un premier temps, le signal est traite pour toutes les frequences de maniere identique.

On ne tient donc pas compte de la dispersion. La variation de la polarisation est etablie en

fonction de la distance (x).

4.2.1 Analyse par SVD du signal non bruite

On procede ici a une Decomposition en Valeurs Singulieres sur chacun des capteurs. On

obtient ainsi, pour chaque capteur (ou distance x), les parametres usuels en traitement du

signal sous forme de fonction de la distance : θ1(x), θ2(x), ϕ1(x) et ϕ2(x). Ces resultats sont

presentes sous forme de graphiques fonction de la distance. Dans le cas du signal multicapteurs

multicomposantes non bruite, la variation des angles de rotation θ1 et θ2 est representee en

figure 4.3.

distance (km)

Angle de rotation(en degre)

4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

-36

-34

-32

-30

Fig. 4.3 – Evolution des angles de rotation en fonction

de la distance.

Sur cette figure, les valeurs moyennes deux angles de rota-

tion θ1 et θ2 pour chaque capteur sont representees en trait

plein (bleu pour θ1 et rouge pour θ2). L’ecart type etant tres

faible (inferieur au demi degre), les courbes qui represente la

marge d’erreur (en pointilles) sont superposees aux courbes

des valeurs moyennes.

De maniere analogue a l’analyse d’un signal mono-capteur, la valeur du back-azimut est

obtenue a partir des valeurs de rotation θ1 et θ2. La figure 4.4 presente la variation de la valeur

moyenne du back-azimut et de son ecart type en fonction de la distance.

Le modele etudie permet de connaıtre la vitesse des ondes de Rayleigh en fonction de la

profondeur. Connaissant ici la profondeur en fonction de la distance, il est possible d’obtenir

36

distance (km)

Azimut(en degre)

4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

56

58

60

62

64

Fig. 4.4 – Evolution du back-azimut en fonction de la

distance.

La variation spatiale de la moyenne du back-azimut (en

trait plein bleu) et represente ici avec ses marges d’erreur

(en pointilles). L’ecart type etant tres faibles, les courbes

sont confondues.

la vitesse des ondes en fonction de la distance. Via la relation de Descartes (Cf. paragraphe

2.1.2), il est alors possible de calculer la valeur theorique du back-azimut α en fonction de la

distance. Ce sont ces resultats qui sont representes en figure 4.5.

Azimuttheorique(degre)

Distance (km)

55

60

65

4900 4950 5000 5050 5100

0,02 Hz

0,03 Hz

0,04 Hz

0,05 Hz

Fig. 4.5 – Evolution theorique du back-azimut en fonc-

tion de la distance.

La valeur theorique du back-azimut est donnee pour

differentes frequences (voir legende).

La courbe theorique du back-azimut prevoit une influence symetrique de l’heterogeneite sur

la polarisation (valeur du back-azimut) des ondes de Rayleigh. Or les resultats obtenus sont

disymetriques et sont plus complexes apres le passage dans la structure (on rappel ici que la

propagation se fait de la gauche vers la droite). On remarque egalement la presence de valeurs

superieues a 60oN a l’entree de la structure (kilometres 4850 a 4900) qui ne sont pas expliquees

37

dans la courbe theorique.

Ces differences proviennent certainement des diffractions induites par le changement de pente

de l’interface qui n’est pas pris en compte dans la courbe theorique. Ces diffractions etant plus

nombreuses a la sortie de l’heterogeneite, les valeurs calculees s’en retrouve perturbees.

Par ailleurs, l’evolution avec la distance de l’incidence de l’ellipse de propagation a ete evalue

pour differents bruits. Ces valeurs ont ete calculee selon les 2 methodes detaillees au paragraphe

2.3 (Relation entre les differents parametres) et sont presentees en figure 4.6.

distance (km)

Angle de rotation(en degre)

4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

65

70

75

80

85

90

Fig. 4.6 – Evolution de l’inclinaison en fonction de la

distance.

Sur cette figure, les valeurs moyennes des deux angles d’in-

clinaison i et i′ pour chaque capteur sont representees en

trait plein (bleu pour i et rouge pour i′). En pointille de

memes couleurs, sont representees les marges d’erreur.

Les resultats presentes ici montrent que le calcul de l’inclinaison est meilleur en utilisant la

methode faisant appel a l’ellipticite i qu’avec le resultat issu de la distance euclidienne i′ (Cf.

paragraphe 2.3.).

L’analyse, en fonction de la distance, de l’inclinaison (i) montre une tres faible variation de

celle-ci (±3o). On constate que l’amplitude des oscillations observees varie lors de la traversee

de la structure. Ces oscillations etant observables avant le debut de la structure (4900 km)

ou aucune diffraction n’existe, et aux vues des faibles variations mises en jeu, il est probable

que ces variations soient la consequence d’un bruit numerique (artefact du a la methode de

modelisation des ondes propagees).

Pour les ondes synthetises ici, une heterogeneite dans une structure isotrope n’influence pas

l’inclinaison (i) de l’ellipse. Les heterogeneites n’ont donc probablement pas d’effet majeur sur

l’inclinaison dans la realite, l’inclinaison serait alors la consequence de l’anistropie.

38

4.2.2 Analyse par SVD du signal bruite

L’analyse multicomposantes mono-capteur ayant montre que la nature du bruit n’influait

pas sur la methode d’analyse des parametres de polarisation, seul le cas d’un bruit coherent

filtre en frequence sera traite ici.

Du bruit coherent est donc ajoute aux donnees s(c, t, x), comme cela a ete fait pour le signal

mono-capteur. Le rapport signal sur bruit est fixe a 2,84. Apres amelioration du rapport signal

sur bruit, celui-ci est de 7,19. On estime alors les parametres de polarisation θ1, obtenu par

SVD (figure 4.7), et α obtenu de facon analytique (figure 4.8) en fonction de la distance.

distance (km)

Angle de rotation theta 1(en degre)

4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

-35

-30

-25

Fig. 4.7 – Evolution de l’angle de rotation θ1 avec la

distance.

Sur cette figure, les valeurs moyennes de l’angle de rotation

θ1 pour chaque capteur sont representees en trait plein. En

pointille, est representee la marge d’erreur.

distance (km)

Azimut(en degre)

4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

50

60

70

Fig. 4.8 – Evolution du back-azimut α avec la distance.

Sur cette figure, les valeurs moyennes du back-azimut α

pour chaque capteur sont representees en trait plein. En

pointille, est representee l’incertitude.

39

On remarque que la valeur du premier angle de rotation θ1 a une meilleure precision que

la valeur α du back-azimut. Comme nous l’avons vu au paragraphe 2.1., θ = α = 90 − α. On

peut donc utiliser la valeur θ1 pour estimer le back-azimut. Ces courbes sont a comparer avec

la courbe theorique presentee au paragraphe precedent. Comme pour celui-ci, on constate que

l’heterogeneite produit des diffractions qui modifient la valeur du back-azimut.

4.3 Analyse polarisation – distance – frequence

L’analyse en temps - frequence du signal (Chapitre 3) montre que celui-ci est dispersif (Cf.

figure 3.2), il faut donc tenir compte de la frequence et considerer la polarisation comme une

fonction de la distance et de la frequence (θ(x, ν) et α(x, ν)).

4.3.1 Analyse par SVD du signal non bruite

Le signal ayant une polarisation differente selon la frequence consideree, on le divise en

differentes bandes de frequences. Au total, le signal a une bande passante de 0 a 0,06 Hz. On

choisit de le diviser en 3 puis en 5 bandes frequentielles. Puis, pour chacune des bandes, on

procede a une analyse des parametres de polarisation par Decomposition en Valeurs Singuliere.

Etude avec 3 bandes de frequence.

Les trois bandes de frequences sont definies comme suit :

Bande no 1 2 3

Couleur bleu rouge vert

Gamme de ν (Hz) 0,00-0,02 0,02-0,04 0,04-0,06

Pour chacune des trois bandes de frequence, on calcule l’evolution avec la distance du

back-azimut α (figure 4.10) et du premier angle de rotation θ1 (figure 4.9) afin d’obtenir deux

estimation du back-azimut.

On constate que l’estimation du back-azimut a travers la valeur α est plus imprecise que

l’estimation obtenue a travers la valeur θ1. Le resultats obtenus montrent la meme tendance

que les valeurs theoriques (presentees en figure 4.5) en ce qui concerne la frequence : pour une

frequence inferieure a 0,02 Hz, l’heterogeneite influence peu la polarisation, cette influence est

forte autour de 0,04 Hz puis deroit pour les frequences plus grandes.

Les valeurs theoriques des vitesses de phase du modele permettent de calculer les longueurs

40

Angle de rotationtheta 1(en degre)

distance (km)4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

-32

-30

-28


distance.

Azimut(en degre)

distance (km)4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

56

58

60

62

64

Fig. 4.10 – Evolution du back-azimut α avec la distance.

d’ondes pour differentes frequences au differentes profondeur. Le tableau 4.1 fournit les lon-

gueurs d’ondes du signal en fonction de la frequence compte tenu des profondeurs observees

dans le modele (40 a 55 km).

Aux vues de ces calculs et des observations qui precedent, il apparaıt que les frequences pour

Tab. 4.1 – Longueurs d’onde en fonction de la frequence.

Frequence (Hz) 0,02 0,03-0,04 0,05

Longueur d’onde (km) 204-209 108-114 72-75

lesquelles la polarisation est le plus influencee par l’heterogeneite sont celles qui correspondent

a une longueur d’onde de 108 a 114 km pour lesquelles la demi longueur d’onde egale l’epaisseur

de la structure). Ces valeurs de frequence (0,03 a 0,04) concordent avec les valeurs theoriques

fournies dans la figure 4.5.

Comme dans le cas ou le signal etait considere non-dispersif, des ”effets de bord” existent :

la modification de la profondeur de l’interface genere des ondes diffractees qui modifient la

polarisation du signal global.

41

Etude avec 5 bandes de frequence.

Le signal a ete divise en 5 bandes de frequence comme suit :

Bande no 1 2 3 4 5

Couleur rouge vert bleu jaune noir

Gamme de ν (Hz) 0,00-0,01 0,01-0,02 0,02-0,03 0,03-0,04 0,04-0,06

distance(en km)

Azimut(en degre)

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

bande 1

bande 2

bande 3

bande 4

bande 5

Fig. 4.11 – Evolution du back-azimut (distance –

frequence).

Le decoupage en 5 bandes de frequence du signal permet d’observer que pour les basses

frequences (en dessous de 0,02 Hz – λ superieure a 200 km) la polarisation est peu influencee

par la variation d’epaisseur de la structure. Pour des frequences comprises entre 0,02 et 0,04 Hz

(λ allant de 200 a 100km), on note une forte influence du debut de la structure et ce notament

pour les frequences comprises entre 0,02 et 0,03 Hz qui ne sont influencee qu’a ce niveau. Enfin,

pour les frequences autour de 0,04 Hz (0,03 a 0,06 Hz – λ inferieure a 100 km), on remarque

une forte influence au coeur de la structure (5000 km) et apres.

Toutefois, ces resultats sont a relativiser en raison de l’ecart type important (superieur

a 20o). Cette incertitude est due a la fragmentation des donnees et le sous-echantillonnage

(necessaire en raison du volume de donnees) qui ont pour consequence une diminution de la

taille de l’echantillon permettant l’estimation de ces valeurs.

Il en resulte donc que l’estimation faites ici des parametres de polarisation pour 5 bandes

de frequence ne peut pas etre realisee selon la technique employee. L’imprecision engendree lors

des calculs est trop importante pour que les valeurs des parametres de polarisation puissent

etre interpretees

42

4.3.2 Analyse par SVD du signal bruite

Pour des raisons de precision, le signal est divise en 3 bandes de frequences. Ces bandes sont

identiques au cas 3 bandes du paragraphe 4.3.1.1, soit :

Bande no 1 2 3

Couleur bleu rouge vert

Gamme de ν (Hz) 0,00-0,02 0,02-0,04 0,04-0,06

Le rapport signal sur bruit est initialement de 2,84. Apres filtrage (SVD et filtre passe haut),

le nouveau rapport signal sur bruit est de 7,19.

Pour chacune des trois bandes de frequence, l’evolution avec la distance du back-azimut α

(figure 4.13) et du premier angle de rotation θ1 (figure 4.12) sont calcules.

Angle de rotationtheta 1(en degre)

distance (km)4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

-30

-25

-20


distance en presence de bruit coherent.

Les valeurs de l’angle de rotation θ1 correspondant aux basses frequences (en dessous de

0,02 Hz – en bleu sur la figure 4.12), sont peu significatives puisqu’un filtre passe haut dont la

frequence de coupure est 0,01 Hz a ete utilise pour amelirer le rapport signal sur bruit. Pour

la gamme de frequences intermediaire (0,02 a 0,04 Hz – en rouge), on retrouve les tendances

observees precedement ; notamment une diminution de la valeur de l’azimut (θ = 90− α) lors

de l’epaississement.

Pour les frequences plus elevees (0,04 a 0,06 Hz – en vert), cette meme tendance generale est

observable mais un pic est present au coeur de la structure (5000 km). Ce pic a priori sans

rapport avec l’hetergeneite peut etre du au bruit coherent qui n’est pas polariser comme le signal

initial puisqu’enregistrer sur un capteur en laboratoire independament du modele considere ici.

Les valeurs du back-azimut α pour les bandes de frequences externes (en dessous de 0,02 Hz

et au dessus de 0,04 Hz – courbes en bleu et jaune de la figure 4.13) ont une moyenne eloignee

de celle attendue. La meme constatation que pour l’angle de rotation θ1 peut etre faite pour

43

Azimut(en degre)

distance (km)4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150

50

55

60

Fig. 4.13 – Evolution du back-azimut α avec la distance

en presence de bruit coherent.

les frequences superieure a 0,04 Hz quant a l’allure general de la courbe et la presence d’un pic

a 5000 km (moins marque dans ce cas).

La bande de frequences centrale (0,02 a 0,04 Hz – en rouge) a une allure globale similaire a

celle fournie par les courbes theorique (figure 4.5) bien qu’elle soit irreguliere. Cette irregularite

est due au manque de precision des resultats (sous-echantillonnage et separation en bande de

frequence).

4.4 Conclusion de l’analyse multicapteurs

L’analyse multicomposantes multicapteurs de donnes synthetiques permet, pour des rap-

ports signal sur bruit superieurs a 3, d’estimer assez precisement (la marge d’erreur est plus

petite que les variations observees) les parametres de polarisation.

Dans le cas synthetique presente, une heterogeneite provoque une modification sensible

(superieure a 2 degres) du back-azimut. Une modification de la polarisation peut donc avoir

pour origine une heterogeneite.

L’inclinaison de l’ellipse si elle existe dans un signal donne ne semble pas etre influencee par

une l’heterogeneite consideree ici.

L’etude en bande de frequence peut constituer une information utile. Toutefois, la technique

employee pour separer en differentes bandes de frequence doit etre amelioree car l’analyse menee

ici apporte des resultats trop imprecis pour poivoir etre interpretes.

La presence de bruit coherent altere cette analyse, et le rapport signal sur bruit peut etre

difficile a ameliorer. Dans l’analyse faite ici, nous avons choisi d’utiliser du bruit coherent qui

rend le plus difficile l’estimation des parametres de polarisation mais qui est plus realiste.

44

Chapitre 5

Signal reel multicomposantes

multicapteurs

5.1 Description

Les enregistrements sont effectues sur 6 des stations larges bandes a 3 composantes situees

dans les Alpes. La carte fournie en figure 5.1 represente les differentes stations sismologiques

implantees dans les Alpes Francaises.

Fig. 5.1 – Les stations sismologiques dans les

Alpes.

Sur cette carte representant en degrade de couleur

les altitudes (MNT), sont representes les differents

reseaux de capteurs sismologiques situes dans les

Alpes : ? reseau sismalpes - 4 reseaux de cap-

teurs large bande permanents (ROSALP, TGRS,

et GEOSCOPE) - ¦ reseau accelerometrique per-

manent (R.A.P.) - Les carres noirs representent les

capteurs large bande multicomposantes (3) utilises

pour l’analyse faite ici.

L’evenement choisi est le tremblement de Terre du 22 janvier 2003 - 2h06 U.T.C. qui s’est

produit au large de la cote Ouest Mexicaine dans la zone sismique ”ST OF JALISCO, MEX”

(lat 18.77 – long -104.104). La magnitude est estimee a 6,5. Au cours de cet evenement, seul 6

45

enregistrements a 3 composantes ont pu etre realises :

1.Station PRI 2.Station VIN 3.Station VAT 4.Station NON 5.Station FIR 6.Station LAU

(Privas) (St Vincent (Vatilieu) (Les Nonieres) (St Firmin) (Lautaret)

la commenderie)

Les enregistrements etant consideres dans cet ordre, l’enregistrement multicapteurs multicom-

posantes constitue une coupe Ouest - Est des structures Alpines. Les stations VIN et VAT se

trouvant au meme niveau le long de cette coupe.

Les signaux sont echantillionnes a un pas de temps egal a 1,024 seconde. Le signal recu a la

station de Privas est presente figure 5.2.

temps (en seconde)

Verticale

N - S

E - W

Amplitude

0 500 1000 1500 2000

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fig. 5.2 – Station PRI - Enregistrement du seisme du

Mexique du 22 janvier 2003.

5.2 Methode

L’analyse de la polarisation est effectuee par SVD comme presente dans le deux cas precedents.

L’enregistrement est pretraite afin d’ameliorer la precision des resultats. Un fenetrage en temps

est effectue afin de ne selectionner que la partie de l’enregistrement comportant les ondes de

surface (le debut de l’enregistrement comportant les ondes de volume ainsi que la coda ont ete

supprimes).

Une fois pretraite, le signal se presente comme illustre en figure 5.3.

46

temps (en seconde)

Verticale

N - S

E - W

Amplitude

700 800 900 1000 1100

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fig. 5.3 – Station PRI - Enregistrement pretraite.

5.3 Resultats

Apres SVD, on obtient les differents parametres de polarisation. La figure 5.4 presente

l’’evolution du premier angle de rotation θ1 avec la distance (pour les 6 stations).

PRI VIN NONVAT FIR LAU

Angle theta 1(en degre)

Stations0 1 2 3 4 5

-80

-60

-40

-20

0

Fig. 5.4 – Evolution de θ1 en fonction de la station.

L’evolution du back-azimut est presentee dans la figure 5.5.

back-azimut(en degre)

PRI VIN NONVAT FIR LAU

Stations

0 1 2 3 4 5

300

310

320

330

340

350

360

Fig. 5.5 – Evolution de α en fonction de la station.

Ces valeurs ont une incertitude liee a l’implentation des capteurs (de l’ordre de 5o). Par

ailleurs, il faut les corriger de la declinaison au pole Nord : lors de l’implentation d’un capteur,

47

le capteur est aligne sur le Nord magnetique et non geographique. Dans les Alpes, la declinaison

est environ de -0,4o.

La direction de propagation attendue par mesure le long du grand cercle est 340o N.

5.4 Conclusion de l’analyse de donnees reelles.

La methode utilisee ici fonctionne sur des enregistrements reels. Les resultats obtenus

semblent indiquer une variation du back-azimut selon le capteur. Ces valeurs sont a considerer

avec precaution en raison des incertitudes qui resident dans l’estimation de l’angle de propaga-

tion a travers l’analyse de la polarisation : implentation des capteurs, importance du bruit.

Faute de temps, l’analyse faite ici est incomplete. Il est necessaire d’estimer le rapport signal

sur bruit afin d’evaluer significativement l’erreur commise lors de l’estimation des parametres

de polarisation. Par ailleur, un meilleur pretraitement des donnees devrait permettre d’aug-

menter le rapport signal sur bruit et ainsi de minimiser l’erreur commise lors de l’estimation

des parametres de polarisation.

48

Chapitre 6

Conclusion

Nous avons vu dans l’analyse mono-capteur que la polarisation etait un indicateur fiable

de la direction de propagation pour des signaux synthetiques comportant tout le train d’onde

avec des rapports signal sur bruit pouvant descendre jusqu’a 3. Nous avons egalement vu que

l’analyse de la polarisation en presence d’une heterogeneite permet de detecter cette structure

en comparant les valeurs obtenues par mesure de la direction de propagation le long du grand

cercle et par estimation la direction de propagation obtenue par l’analyse de la polarisation.

Ces resultats sont valables pour des donnees reelles.

L’analyse de la direction de propagation a travers l’analyse des parametres de polarisation

d’une onde de Rayleigh est possible, pour des bruits realistes avec un rapport signal sur bruit

superieur a 3. Cette analyse de la polarisation en vue de mesurer la direction de propagation

est possible grace a la Decomposition en Valeurs Singulieres et aux techniques des traiteurs de

signaux.

La polarisation d’une onde de Rayleigh depend donc des structures que l’onde a traverse. Il

est donc envisageable d’utiliser les capteurs multicomposantes a des fins tomographiques, en

procedant a l’analyse de la polarisation sur les differents capteurs.

Toutefois, cette optique d’imagerie des structures sous-jacentes doit etre envisagee avec pru-

dence en raison des difficultes que pose l’amelioration du rapport signal sur bruit.

A l’heure actuelle, l’obstacle majeur dans l’analyse des parametres de polarisation sur des

donnees reelles reside donc dans l’ameliration du rapport signal sur bruit avant d’utiliser les

techniques exposees ici.

Dans l’avenir, une etude combinant heterogeneites et anisotropie pourrait completer le travail

sur l’anisotropie effectue par Laske (Laske & Masters – 1998) et le travail presente ici.

49

Bibliographie

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50

Table des matieres

1 Introduction 2

2 Fondement physique 4

2.1 Sismologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 La polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Dispersion des ondes de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Traitement du signal usuel des ondes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Relations entre les differents parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Signal synthetique multicomposantes mono-capteur 10

3.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Contexte physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.2 Signal synthetique obtenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Analyse du signal non bruite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Polarisation simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.2 Decomposition en Valeurs Singulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Analyse du signal bruite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Choix du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.2 Bruit aleatoire homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.3 Bruit aleatoire filtre en frequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.4 Bruit coherent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Conclusion de l’analyse mono-capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Signal synthetique multicomposantes multicapteurs 34

4.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Analyse polarisation – distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1 Analyse par SVD du signal non bruite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2 Analyse par SVD du signal bruite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

51

4.3 Analyse polarisation – distance – frequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Analyse par SVD du signal non bruite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2 Analyse par SVD du signal bruite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Conclusion de l’analyse multicapteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Signal reel multicomposantes multicapteurs 45

5.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Conclusion de l’analyse de donnees reelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Conclusion 49

52

Table des figures

2.1 Polarisation d’une onde de Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Ellipse de propagation d’une onde de Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Ellipse de propagation - les differents parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Structure geophysique simulee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Spectrogramme du signal mono-capteur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Signal multicomposantes – mono-capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Signal en phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5 Signal projete selon la Verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.6 Determination de la valeur de dephasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.7 Signal mono-capteur apres projection par S.V.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.8 Signal mono-capteur avec un bruit aleatoire homogene . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.9 Spectres en frequence du signal et du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.10 Decroissance des valeurs propres λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.11 Signal ”debruite” par S.V.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.12 Spectres en frequence du signal et du bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.13 Evolution de l’angle de rotation θ1 avec le taux de bruit . . . . . . . . . . . . . . 24

3.14 Evolution du back-azimut en fonction du bruit et du rapport signal sur bruit . . . 25

3.15 Signal mono-capteur avec un bruit aleatoire filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


3.17 Variation du back-azimut α en fonction du numero de realisation. . . . . . . . . 27

3.18 Variation du back-azimut α en fonction du numero de realisation. . . . . . . . . 29

3.19 Signal mono-capteur avec un bruit coherent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


3.21 Effet du filtre passe-haut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.22 Signal mono-capteur avec bruit coherent ”debruite”. . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Disposition des capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

53

4.2 Signal synthetique multicomposantes multicapteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Evolution des angles de rotation en fonction de la distance. . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Evolution du back-azimut en fonction de la distance. . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5 Evolution theorique du back-azimut en fonction de la distance. . . . . . . . . . . 37

4.6 Evolution de l’inclinaison en fonction de la distance. . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7 Evolution de l’angle de rotation θ1 avec la distance. . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.8 Evolution du back-azimut α avec la distance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.9 Evolution de l’angle de rotation θ1 avec la distance. . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.10 Evolution du back-azimut α avec la distance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.11 Evolution du back-azimut (distance – frequence). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.12 Evolution de l’angle de rotation θ1 avec la distance en presence de bruit coherent. 43

4.13 Evolution du back-azimut α avec la distance en presence de bruit coherent. . . . 44

5.1 Les stations sismologiques dans les Alpes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Station PRI - Enregistrement du seisme du Mexique du 22 janvier 2003. . . . . 46

5.3 Station PRI - Enregistrement pretraite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Evolution de θ1 en fonction de la station. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5 Evolution de α en fonction de la station. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

54

Liste des tableaux

3.1 Parametres de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Valeurs des dephasages et des angles de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Valeurs de polarisation du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Resultat de la SVD sur un signal non bruite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Exemple de resultats de la SVD sur un signal bruit aleatoire. . . . . . . . . . . . 23

3.6 Influence du bruit sur un signal avec bruit aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7 Exemple de resultats de la SVD sur un signal avec bruit filtre. . . . . . . . . . . 26

3.8 Influence du bruit sur un signal avec bruit filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.9 Exemple de resultats de la TKL sur un signal avec bruit filtre. . . . . . . . . . . 28

3.10 Influence du bruit sur un signal avec bruit filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.11 Comparaison des methodes en presence de bruit aleatoire filtre. . . . . . . . . . . 30

3.12 Resultats de la SVD sur un signal avec bruit coherent. . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Longueurs d’onde en fonction de la frequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

55

Documents

Analyse multicomposantes et multicapteurs de la ...nicolas.carry.free.fr/fichiers/memoire.pdf · Ondes de Rayleigh, polarisation, multicomposantes, multicapteurs, back-azimut