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Analyse du PAPR pour les modulations multiporteuses avec forme d'onde

9 Novembre 2006

Alexandre SKRZYPCZAK - RESA/BWA/IRI

[email protected]

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Généralités sur les MCM

Les études sur les modulations multiporteuses (MCM) ont commencé vers la fin des années 50 (FDM).

Idée: transmettre des données en parallèle en utilisant plusieurs fréquences porteuses.

La transmission est faite sur des bandes de fréquence plus étroites.Adaptée sur des canaux sélectifs en fréquence.

La plus connue des MCM reste l'OFDM.Multiplex orthogonal de fréquences.Présent dans de nombreux standards (ADSL, DAB, DVB-T, Home Plug, …).Possède de nombreuses variantes: OFDM-IG, PRP-OFDM, VOFDM, …



Quelques rappels sur l'OFDM

Le signal OFDM en formalisme continu s'écrit:

ΠT0 est la fonction porte de durée T0 centrée en 0.M est le nombre de porteuses.T0 et F0 sont respectivement la durée symbole OFDM et l'écart interporteuse, avec T0F0 = 1.cm,n sont des symboles complexes (issus par exemple d'une constellation MAQ ou MDP).

Ce système est orthogonal:

On démodule le signal simplement:



Quelques rappels sur l'OFDM (2)

Le signal discret est obtenu en échantillonnant le signal s à la cadence critique T0/M. Ainsi pour le premier temps symbole:

On génère ainsi facilement un symbole OFDM discret par une simple IFFT.

Les propriétés d'orthogonalité sont conservées en utilisant le produit scalaire discret. La démodulation revient donc à faire une FFT.

IFFT FFTs



OFDM-IG: une variante de l'OFDML'OFDM reste sensible aux canaux multitrajets.

Adjonction d'un intervalle de garde de durée Δ qui absorbe les échos.Tt = T0 + Δ: le temps symbole est allongé.L'efficacité spectrale diminue d'autant plus que Δ augmente.

Bilan:Les points positifs:

Système orthogonal.Schéma de réalisation simple et efficace.Egalisation simple (ZF).

Les points négatifs:Perte d'efficacité spectrale due à l'intervalle de garde.Porte en temps → sinc en fréquence (mauvaise localisation fréquentielle).



Théorème de Balian-LowDéfinition: famille de Gabor

On appelle famille de Gabor toute famille de fonctions fm,n(t) telles que:

d=1/T0F0 est appelé densité et f est la fonction prototype.

Théorème de Balian-Low:Il n'existe pas de famille de Gabor formant une base orthonormée de densité 1ayant une fonction prototype f à la fois bien localisée en temps et en fréquence.

Traduction: en OFDM, on ne peut pas remplacer la fonction porte par une meilleureforme d'onde sans perdre l'orthogonalité et l'efficacité spectrale maximale !

2 solutions possibles:On relache la contrainte d'efficacité spectrale maximale: OFDM suréchantillonné.On sort du formalisme de Gabor (OFDM): OFDM/OQAM.



La modulation OFDM/OQAM

Au lieu de transmettre un symbole complexe cm,n par temps symbole et par fréquence, on retarde la partie réelle (ou imaginaire) d'un demi-temps symbole τ0(= T0/2): transmission avec Offset ("O" de OQAM).

On s'arrange pour que 2 symboles adjacents (en temps et en fréquence) aient une différence de phase de π/2.

Ceci impose un nombre pair de porteuses.



La modulation OFDM/OQAM (2)On peut donc écrire le signal OFDM/OQAM en continu de la manière suivante:

M reste le nombre de porteuses (M = 2N).h est la forme d'onde.am,n est alternativement la partie réelle ou la partie imaginaire du symbole complexe à

transmettre.φm,n est nul si m et n sont de même parité. Il vaut π/2 dans le cas contraire.

La famille de fonction hm,n n'est pas une famille de Gabor et donc on peut imaginer une forme d'onde h à la fois orthogonale et bien localisée en temps et en fréquence.

L'orthogonalité n'est alors vérifiée que dans R et non plus dans C (OFDM).



OFDM/OQAM: orthogonalité

Les conditions d'orthogonalité s'écrivent avec le produit scalaire réel:

Ainsi, on démodule le signal en faisant:

Les contraintes d'orthogonalité réelle de l'OFDM/OQAM apparaissent au travers du mode de codage des symboles et de φm,n. Il y a cependant des solutions possibles:



Discrétisation du signal OFDM/OQAMEn échantillonnant le signal OFDM/OQAM à la cadence critique T0/M, on obtient le signal discret suivant:

D est un paramètre de retard égal à Lh-1 pour un filtre orthogonal h (de longueur Lh)

L'orthogonalité est vérifiée par le produit scalaire réel et les équations de démodulation s'écrivent:

Schémas de réalisation efficaces ?



Modem OFDM/OQAM

A partir de l'expression de l'OFDM/OQAM en discret, on peut en déduire la structure du modem:

modulateurdémodulateur

La (dé)modulation consiste en une transformée rapide de type FFT + un filtrage polyphase.

Accroissement de complexité par rapport à l'OFDM.Mais d'autant plus moindre que le filtre h est court.



OFDM/OQAM: bilan

Efficacité spectrale identique à l'OFDM sans intervalle de garde.1 réel transmis par demi-temps symbole en OFDM/OQAM.Pas d'intervalle de garde en OFDM/OQAM.

Choix non limité de formes d'onde.Les filtres ont un support supérieur ou égal à T0.Filtres SRRC, IOTA (et plus généralement EGF) en continu.Filtres optimisés selon des critères de localisation temps-fréquence ou de sélectivitéfréquentielle en discret.Meilleures performances que l'OFDM en DSP (spectre mieux confiné).

Cependant:Augmentation de la complexité du modem.Gestion de l'estimation de canal plus complexe.



Le PAPRLes signaux multiporteuses ne sont pas à enveloppe constante.

Des pics de puissance peuvent intervenir.Problématique pour l'amplification de puissance.Génération de distorsion et remontée des lobes secondaires dans la DSP.

Utilisation du PAPR comme moyen d'analyse de ces effets.PAPR = Peak-to-Average Power Ratio.Rapport du pic de puissance sur la puissance moyenne.

Définitions pour l'OFDM:

Le PAPR est une variable aléatoire.L'étude statistique est préférable.Complementary Cumulative Density Function (CCDF): Pr(PAPR>γ).

et



Le PAPR: cas de l'OFDM/OQAM

En OFDM, l'étude du PAPR est faite sur un support T0: c'est le support de la forme d'onde rectangulaire.

En OFDM/OQAM, le support du filtre peut être plus grand que T0.Quelle définition prendre pour l'OFDM/OQAM ?

On transmet la même quantité d'information sur T0 dans les 2 cas.Conséquence: on garde les mêmes définitions en OFDM/OQAM.

De nombreuses analyses théoriques sur le PAPR ont déjà été réalisées mais aucune sur les modulations multiporteuses avec forme d'onde.

Trouver une expression approchée de la CCDF.Analyser les influences des différents paramètres de la modulation OFDM/OQAM sur la CCDF.



Analyse d'un échantillon de signalRappel:

On pose:

Cette variable aléatoire a pour moyenne et variance:

Par le théorème de la limite centrale, on en déduit que s[k] suit un processus gaussien complexe de moyenne nulle et de variance 2σ

k2=Mσx

2.

Enfin, on montre que les parties réelles et imaginaires de s[k] sont décorellées.

Constante pour tout m



Approximation de la CCDFDes résultats précédents, on en déduit que |s[k]| suit une loi de Rayleigh et que X = |s[k]|2 suit une loi du χ2.

Posons:

Comme E{|s[k]|2}=σa2, on en déduit la densité de probabilité de Y:

Ainsi, pour un certain seuil γ fixé:



Approximation de la CCDF (2)Par conséquent:

Et finalement:



Approximation de la CCDFL'expression précédente nous montre l'influence:

Du nombre de porteuses M.Plus M est grand, plus l'hypothèse "s[k] suit un processus gaussien complexe" est vérifiée. L'expression précédemment trouvée est alors d'autant plus vraie.

Du filtre utilisé par l'intermédiaire des coefficients αk

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1110

−3

10−2

10−1

100

γ (dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

M = 16 (simulation)

M = 16 (approximation)

M = 64 (simulation)


M = 256 (simulation)


Quel est l'ensemble des coefficients (α0, …, αM-1) qui génère la distribution optimale ?



CCDF minimale

2 résultats préliminaires:

Le problème à résoudre est donc le suivant:

Ecriture du Lagrangien:

et

Problème standard d'optimisation Lagrangienne



CCDF minimale (2)Conditions nécessaires:

Une étude de fonction montre que la fonction est bijective sur [0, 1.59/γ].

En utilisant les contraintes sur les αk, on obtient que les CN deviennent:

Conditions suffisantes: on montre que la matrice hessienne HL (de terme général) est définie positive.

À condition que γ · 1.59 N.



CCDF minimale: pour quels filtres ?On a montré que l'on obtient la CCDF minimale pour αk = 1.

Cas des filtres orthogonaux:Les conditions d'orthogonalité s'écrivent sous la forme d'un système à M équations.Une de ces équations est:

Théorème:

La CCDF optimale a pour expression:

Pour des valeurs de PAPR contenues dans l'intervalle ]0,1.59 N], l'orthogonalité du filtre prototype hest une condition suffisante pour l'obtention d'une CCDF optimale pour un système OFDM/OQAMtransmettant des symboles i.i.d. sur M porteuses.

Expression de la CCDF pourl'OFDM à M porteuses.



Ecart à l'optimum: le paramètre εOn mesure l'écart par rapport au cas optimal grâce au paramètre:

Vérifications expérimentales (M = 64):

4 5 6 7 8 9 10 11 1210

−3

10−2

10−1

100

γ (dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

ε = 0

ε = 0.2156

ε = 0.4041

ε = 0.6241

ε = 0.8308



Réduction du PAPRLes signaux multiporteuses peuvent avoir des valeurs de PAPR élevées, àdes probabilités non négligeables.

Engendre de la distorsion.Fait remonter les lobes secondaires de la DSP.Nécessité de diminuer la probabilité des fortes valeurs de PAPR.

De nombreuses solutions ont déjà été proposées pour l'OFDM:Leur validité repose sur des critères comme:

La réduction de PAPR.La complexité de l'algorithme.Applicabilité en pratique.

3 grandes catégories de techniques:Techniques de codage: codes BCH ou codes de Reed-Müller …Techniques de clipping: soft clipping + compensation, ajout de signal …Techniques probabilistes: PTS, SLM …



La technique SLM pour l'OFDMPrincipe:

On choisit U codes de longueur M.On crée U versions différentes d'un symbole OFDM grâce à ces codes.On calcule le PAPR pour ces U symboles.On transmet le symbole ayant le PAPR de plus faible valeur.

Plus U est grand, plus les performances sont bonnes.



Application à l'OFDM/OQAM ?Rappel de l'expression du signal OFDM/OQAM continu:

Problème: la forme d'onde h a un support au moins égal à 2τ0.Existence de recouvrement entre 2 formes d'onde successives.Ce n'est pas le cas en OFDM.

Nécessité de gérer ce problème de chevauchement.La technique SLM "brute" n'est pas applicable directement.

Cas de l'OFDM

tempsT0

Forme d'onde rectangulaireCas de l'OFDM/OQAM

Forme d'onde h



Notre solution: l'Overlapped SLM (OSLM)

Principe: exemple pour une forme d'onde de longueur 2T0=4τ0

Quelle influence:de U ? de la longueur du prototype ? De la forme d'onde elle-même ?

Premiers symboles à déterminer

calculdu PAPR

Choix et mémorisation des symbolesdonnant le plus faible PAPR

Nouveaux symboles à déterminer

Calculdu PAPR

Etc …

Nouveaux symboles à déterminer

τ0

Génération de U versions de ces symboles grâce aux codesMais ces symboles restent non codés

Génération de U signaux grâce aux U ensembles de symboles

temps

Mêmes opérations de codageCes symboles restent non codés

Sur cet intervalle, les symboles sont obtenus grâce à l'étape précédente



Influence de U

M=64, 4-QAM, IOTA (tronquée pour avoirune FO de longueur 8τ0).

En pratique, pour M=64, U=2 ou 4 est suffisant.



Influence de la longueur du prototype

Choix d'une FO de longueur 2bτ0.

M=64, 4-QAMU=4

Résultats similaires pour des FO différentes mais de même longueur



RésuméEtude théorique de la distribution du PAPR pour l'OFDM/OQAM.

Expression analytique de la CCDF.Obtention d'un critère donnant la meilleure CCDF.

Ce critère est vérifié pour les filtres orthogonaux.Définition du paramètre ε: écart par rapport au cas optimal.

Développement d'une méthode de réduction de PAPR pour l'OFDM/OQAM.Calquée sur la méthode SLM.Mais adaptée aux particularités de l'OFDM/OQAM.Les performances sont d'autant meilleures que le filtre est court.

Il est bien sur possible d'adapter d'autres techniques conçues pour l'OFDM en tenant compte des caractéristiques de l'OFDM/OQAM.



Cas de l'OFDM suréchantillonnéUne étude analogue a été réalisée pour l'OFDM suréchantillonné.

Le signal en continu s'écrit de la manière suivante:

où:M est le nombre de porteuses.F0 est l'écart inter porteuses.cm,n sont des symboles issus d'une constellation 22K-QAM.T0 est le temps symbole.h est la forme d'onde de support au moins égal à T0.

Dans ce cas de figure, on a: T0F0 = η = N/M avec η>1.

On parle "d'OFDM suréchantillonné" car dans la version discrète du signal, du fait de la propriété précédente, il y a plus de M échantillons de signal dans un temps symbole.



Expression théorique de la CCDF

On reprend le même type de raisonnement que précédemment sauf que les calculs sont légèrement différents.

On obtient ainsi l'expression suivante de la CCDF:

On montre de la même manière que l'approximation est d'autant plus précise que M est grand.

avec:



Minimisation de la CCDFLe problème d'optimisation reste pratiquement identique au cas de l'OQAM.

On obtient la CCDF optimale si et seulement si:

Les différences par rapport à l'OQAM:Les filtres orthogonaux en OFDM suréchantillonné ne donnent pas βk = 1.La CCDF optimale est:

Une condition nécessaire et suffisante pour avoir la même CCDF que l'OFDM est d'être à suréchantillonnage critique (η=1) et d'obtenir un filtre vérifiant βk = 1.8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12

10−4

10−3

10−2

10−1

100

γ

Pr(

PA

PR

>γ)

OFDMOptimal Distribution (η=1.25)

Optimal Distribution (η=1.5)

SRRC (η=1.25, ε=0.16)

Loc. (η=1.25, Lh=10M, ε=0.53)

Energy (η=1.25, Lh=10M, ε=0.20)

SRRC (η=1.5, ε=0.31)

Loc. (η=1.5, Lh=6M, ε=0.72)

Energy (η=1.5, Lh=6M, ε=0.41)

Loc. (η=1.5, Lh=12M, ε=0.69)

Energy (η=1.5, Lh=12M, ε=0.29)



L'algorithme OSLM

0.190.270.210.19Pr(PAPR>γ) = 0.01

0.220.300.180.21Pr(PAPR>γ) = 0.1Lh/N = 4

0.911.010.770.87Pr(PAPR>γ) = 0.01

1.061.170.860.96Pr(PAPR>γ) = 0.1Lh/N = 2

3.083.022.372.36Pr(PAPR>γ) = 0.01

2.172.151.661.65Pr(PAPR>γ) = 0.1Lh/N = 1

η = 3/2η = 5/4η = 3/2η = 5/4

U = 8U = 4

Gain (en dB) apporté par l'OSLM par rapport à la CCDF originale.

Système: OS OFDM avec 64 porteusesFO: SRRC



OSLM: comparaisons avec l'OQAM

On observe des similarités avec l'OFDM/OQAM dans la mesure oùles meilleures performances sont obtenues pour les filtres courts.

Mais pour les filtres plus longs, les performances se dégradent très vite. Ceci est du au fait que dans le cas de l'OFDM/OQAM, comme le temps de référence de l'algorithme est τ0, l'algorithme OSLM est réalisé 2 fois sur un temps symbole contre une fois seulement dans le cas de l'OFDM suréchantillonné.



Conclusions

Réalisation d'une étude théorique du PAPR dans le cas des modulations avec forme d'onde.

Expression théorique de la CCDF.CNS d'obtention de la CCDF minimale.Mesure de distance par rapport au cas optimal.

Développement d'un algorithme de réduction de PAPR.Nécessité de gérer le chevauchement des formes d'onde successives.Très bons résultats pour les formes d'ondes courtes.

Pour ces 2 aspects, l'OFDM/OQAM présente des résultats plus intéressants:CNS d'obtention de la CCDF minimale directement liée à l'orthogonalité.La CCDF pour un filtre orthogonal est identique à l'OFDM (pour le même M).Les dégradations de performances de l'OSLM pour les formes d'ondes "longues" sont moins brutales.



Questions ?



Amplification et DSP



DSP: OFDM vs. OFDM/OQAM

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency/Subcarrier Spacing

Pow

er S

pect

ral D

ensi

ty (

dB)

OFDM (simulation)IOTA (simulation)IOTA (theoretical expression)SRRC with r = 0.5 (simulation)

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Frequency/Subcarrier Spacing

Pow

er S

pect

ral D

ensi

ty (

dB)

OFDMOptimized Filter for the Time−Frequency Localization CriterionOptimized Filter for the Frequency Selectivity Criterion

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