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7/26/2019 Anals. Cinematico2
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CAPTULO 3.ANLISIS CINEMTICO
Objetivo y Mtodos Movimiento plano Cinemtica del slido rgido Centros instantneos de rotacin Movimiento respecto a distintos sistemas de
referencia Teorema de los tres centros Contacto directo y por rodadura Anlisis de mecanismos mediante lgebra compleja
DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICAESCUELA TCNICA SUPERIOR DE I NGENI ERA I NDUSTRIAL
UNIVERSIDAD DE SALAMANCA
7/26/2019 Anals. Cinematico2
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Movimiento: cambio de posicin de un cuerpo en el espacio enfuncin del tiempo
Cinemtica: estudio del movimiento sin considerar las causas
Grficos hay que repetir el procedimiento para cada
posicinAnalticos vlidos para toda posicin cambiando elvalor de las variables
lgebra vectorial (mecanismos planos y espaciales)
lgebra compleja (mecanismos planos)
Objetivo
Determinar el movimiento de las barras enfuncin de las variables cinemticas de entrada
Captulo 3. Anlisis cinemtico
Mtodos
7/26/2019 Anals. Cinematico2
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MOVIMIENTO PLANO
Captulo 3. Anlisis cinemtico
Movimiento plano: si las trayectorias
de todos los puntos se encuentran enplanos paralelos entre s.
Movimiento espacial: en caso
contrario
Plano de referencia p: unocualquiera de dichos planos Plano XY
X
Y
Todos los puntos situados en la mismaperpendicular ap tienen igual velocidady aceleracin, y siguen trayectoriasparalelas.
jvivv yx
jaiaa yx
k
k
El movimiento plano queda completamente caracterizado conociendo elmovimiento de una seccin del slido contenida en el plano de referenciap.
Movimiento de traslacin:En cada instante de tiempo, todos lospuntos tienen igual desplazamiento.
Movimiento de rotacin:Movimiento plano con todos los puntos de cadaplano en movimiento circular con el mismo centro.
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CINEMTICA DEL SLIDO RGIDO
Slido rgido: conjunto de puntosmateriales tales que las distancias entreellos permanecen constantes
No hay deformacin por grande que sea la carga modelo idealizado
dt
OPd
dt
Rdv PP
1112
2
21121
12dt
Rd
dt
vda P
PP
Captulo 3. Anlisis cinemtico
velocidad de P(2) respecto de (1):
AC=cte, BC=cte,
aceleracin de P(2) respecto de (1):
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Campo de velocidades
caracteriza el movimiento de (2) respecto a (1)
instantnea de (2) respecto a (1)
Captulo 2. Anlisis cinemtico
12
Conjunto de las velocidades de todoslos puntos de un slido
APvv AP 121212
Relacin entre las velocidades de dospuntos:
12
puntos cualesquiera A, P 2
AP fijo a 2
vector rotacinvelocidad angular
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Conocidos:
la velocidad de un punto 12Av
12
APvv AP 121212
la ecuacin
genera todo el campo de velocidades
12Av
12
y caracterizan el campo de velocidades
es una relacin vectorial 3 ecuaciones escalares (2 en el plano)
APvAPv AP 1212
Teorema de las velocidades proyectadas
es 1 ecuacin escalar no aparece 12
Captulo 3. Anlisis cinemtico
la velocidad angular
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Campo de aceleraciones
APAPaa AP 1212121212
Relacin entre las aceleraciones de dos puntos:
puntos cualesquiera A,P(2)
dt
d 12112
aceleracin angular instantnea de (2) respecto a (1)
Captulo 3. Anlisis cinemtico
Conjunto de las
aceleraciones de todos lospuntos del slido
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Conocidos:
la aceleracin de un punto12
Aa
12
la ecuacingenera todo el campo de
aceleraciones
12Aa
12
y caracterizan el campo de aceleraciones
es una relacin vectorial 3 ecuaciones escalares (2 en el plano)
212121212 )( APAP vvPAaa
Teorema de las aceleraciones proyectadas
es 1 ecuacin escalar no aparece
APAPaa AP 1212121212
12
la aceleracin angular
Captulo 3. Anlisis cinemtico
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00 1212121212
IIIAA vAIvAIvAIvvAI
00 1212121212
IIIBB vBIvBIvBIvvBI
012 Iv
12Iv
no puede ser simultneamente
BIyAIa
Sea I(2) (puede que virtualmente) el punto decorte de las dos
perpendiculares a y
Captulo 3. Anlisis cinemtico
12Av
12Bv
Teorema de las velocidades proyectadas
Dadas las velocidades de
dos puntos y12Av
12Bv
CENTRO INSTANTNEO DE ROTACIN (C.I.R.)
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Centro instantneo de rotacin
012
Iv
Para cualquier otro punto C(2)
ICICvv IC 12121212
ICvC 12
ICvC 1212
La distribucin de velocidades esla misma que la de una rotacinalrededor de un eje pase por I
Adems,Ies distinto en cada instante
por eso se llama centroinstantneo de rotacin
Captulo 3. Anlisis cinemtico
punto I(2) tal que
proporcional a la distancia de C a I
I
12Av
12Bv
12Av
12Bv
I
12Av
I
12Bv
rA
rB
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Determinacin de centros instantneos de rotacin
[1] Si el movimiento es una rotacin corte del eje de rotacin con el planop I[2] Si el movimiento es una traslacin velocidades de todos lo puntos paralelas se cortan en el infinito I en e l , en la perpendicular a las velocidades
[3] Conocidas las direcciones de las velocidades de dos puntos el corte de superpendiculares I
[4] Si los puntos estn en la misma perpendicular a la velocidad tringulo desemejanza vrtice I
[5] Teorema de los tres centros I1,2,I3,2 e I3,1 alineados
Captulo 3. Anlisis cinemtico
Mecanismo de nbarras
2
)1(
2
2
nnnCn
nmero de centros instantneos
(entre cada 2 barras 1 C.I.R. )
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[1] I2,1=A, I3,2=B, I4,3=C, I4,1=D
Mecanismo de cuatro barras
DCvv
ABvv
CC
BB
1314
1312
[3] I3,1
I2,1, I3,2, I3,1 alineadosI4,1, I4,3, I3,1 alineados
[5] I3,1
I3,2, I4,3, I4,2 alineadosI2,1, I4,1, I4,2 alineados
[5] I4,2
Captulo 3. Anlisis cinemtico
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Captulo 3. Anlisis cinemtico
guavC //14
[1] I2,1=A, I3,2=B, I4,3=C
DCvv
ABvv
CC
BB
1314
1312
[3] I3,1
I2,1, I3,2, I3,1 alineadosI4,1, I4,3, I3,1 alineados[5] I3,1
I3,2, I4,3, I4,2 alineadosI2,1, I4,1, I4,2 alineados
[5] I4,2
[2] I4,1
Mecanismo excntrico de biela-manivela
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Movimiento respecto a distintos sistemas de referencia
Sistema de referencia (2)Movimiento de (2)respecto a (1)
12
12
Ov
Punto material P
Movimiento de Prespecto a (1)
Movimiento de Prespecto a (2)
dt
POdvP
111
dt
POdvP
222
1221 PPP vvv
velocidad de P respecto de (1)velocidad absoluta
velocidad de P respecto de (2)
velocidad relativa
velocidad de un punto P2(2)que en ese instante coincide
con P, respecto de (1)velocidad de arrastre
Relacin entre y ?2Pv
1Pv
POvv OP 2121212
Velocidad de un punto respecto a distintos sistemas de referencia
Captulo 3. Anlisis cinemtico
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Si hay tres sistemas de referencia
para (1) y (2)
para (2) y (3)
Si el punto P pertenece a un slido,por ejemplo, P(8)
1221 PPP vvv
2332 PPP vvv
122331 PPPP vvvv
absoluta relativa arrastre
122818 PPP vvv
12232818 PPPP vvvv
Aceleracin de un punto respecto a distintos sistemas de referencia
aceleracin de un puntoP2(2) que en ese instante
coincide con P, respecto de (1)aceleracin de arrastre
Relacin entre y ?2Pa
1Pa
2121221 2 PPPP vaaa
aceleracin de Prespecto de (1)
aceleracin absolutaaceleracin de Prespecto de (2)
aceleracin relativa
aceleracin de Coriolis
Captulo 3. Anlisis cinemtico
l li i i i
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012
Si (2) no rota respecto de (1)
Si P no se mueve respecto a (2) 02Pv
aceleracin de Coriolis = 0
Si el punto P pertenece a un slido,por ejemplo, P(8)
Captulo 3. Anlisis cinemtico
2812122818 2 PPPP vaaa
C l 3 A li i i i
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Movimiento de un slido respecto a distintos sistemas de referencia
Sistema de referencia (2)
Movimiento de (2)respecto a (1)
12
12
Bv
Movimiento del slido (3) respecto de (1)?
Movimiento de (3)respecto a (2)
23
23
Av
Slido rgido (3)
122313 velocidad angular
absoluta
velocidad angularrelativa
velocidad angularinstantnea de arrastre
Captulo 3. Anlisis cinemtico
A3/2
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2312122313
aceleracin angularabsoluta
aceleracin angularrelativa
aceleracin angularinstantnea de arrastre
Si hay tres sistemas de referencia y un slido (4)
122313
133414 12233414
aceleracin angularinstantnea
complementaria o deResal
C t l 3 A li i i ti
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Teorema de los tres centros (de Aronhold-Kennedy)
Captulo 3. Anlisis cinemtico
1,22,3121,32,313 IIII
1,32,3 II
1,22,3 IIparalelo a
1312 y
1,32,3 II
1,22,3 IIe
tienen sentidos opuestos
2,3I est entre 1,21,3 eII
Posibilidades I3,2I
3,2
I3,2I2,1
I2,1I3,1
I3,1 I2,1
I3,1
I3,1 en medio
I2,1 en medio
I3,2 en medio
1,22,31,3 e, III estn alineados
tienen sentidos distintos
C t l 3 A li i i ti
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1,32,3
1,22,3
12
13
II
II
Teorema de la razn de las velocidades angulares
Captulo 3. Anlisis cinemtico
mdulos
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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Contacto directo y por rodadura
Contacto entre dos slidos con deslizamiento
Leva y seguidorEje de deslizamiento:tangente comn a lassuperficies en contacto
Eje de transmisin:normal comn a lassuperficies en contacto
Captulo 3. Anlisis cinemtico
122313 PPP vvv
absoluta = relativa + arrastreI2,1, I3,2, I3,1 alineados[5]
[1] I2,1=A, I3,1=B
PIvP 2,323
[3] I3,2
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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BPvvBP 13
01313
APvv AP 12
0
1212
PIBPv
P 1,313
PIAPvP 1,212
Captulo 3. Anlisis cinemtico
23Pv
sobre el eje de deslizamientoEl punto P3(3) no puede
penetrar en (2)
12
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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122313 PPP vvv
Proyectando:
sobre el eje detransmisin
sobre el eje de
deslizamiento
0trans23
Pv
trans12
trans13 PP vv
1213 yrelacin entre
desl
12
desl
1323 PPP vvv
Captulo 3. Anlisis cinemtico
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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Gua mvil122414 BBB vvv
absoluta = relativa + arrastre
B comn a (4) y (3)
2423 BB vv // eje de deslizamiento
BICBvB 1,212
BIABvB 1,313
0trans23
Bv trans
12trans
13 BB vv
desl1223
desl13 BBB vvv
1213
relacin
Captulo 3. Anlisis cinemtico
122313 BBB vvv
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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2312122313 2 BBBB vaaa
absoluta = relativa + arrastre + Coriolis
// eje de deslizamiento
desl1223
desl13 BBB
aaa
0trans23
Ba
2423 BB aa
2312trans
12trans
13 2 vaa
BB
Captulo 3. Anlisis cinemtico
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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Contacto entre dos slidos sin deslizamiento
0desl43
Pv 043 Pv
144313 PPP vvv
absoluta = relativa + arrastre
sobre el eje detransmisin
movimiento de (3) sobre(4) sin deslizamiento
Captulo 3. Anlisis cinemtico
43Pa
0desl43
Pa
1413 PP vv
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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Ecuacin de cierre:
Anlisis de mecanismos mediante lgebra compleja
4132 RRRR
r1
, r2
, r3
, r4
, yq1
datos
Dado q2 posicin de (3) y (4), es decir, q3 y q4?
(2) impulsor Problema:
Anlisis de posicin
q2, q3 y q4 variables
Captulo 3. Anlisis cinemtico
4324132
qqq iiierrerer
22122
21 cos2 qrrrrs
221
22
cos
arctan
q
q
rr
senr
3
24
23
2
32
arccossr
rrsq
4
23
24
2
4
2
arccos180
sr
rrsq
solucin
Mecanismo de cuatro barras
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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Anlisis cinemtico
Dado 2/1 velocidad angular de (3) y de (4), es decir, 3/1 y 4/1?
(2) impulsor Problema:
cierrede
ecuacin
dt
d432
443322qqq
qqq iii
erierieri
2212 qq
dt
d3313 q
q dt
d4414 q
q dt
d
3qie )(414313
)(212
3432 qqqq ii eririeri
4qie 414
)(313
)(212
4342 rierieri ii qqqq
)()( 3441432212 qqqq senrsenrparte real
velocidades
12344
32214
)()(
qqqq
senrsenr
Captulo 3. Anlisis cinemtico
12343
42213
)(
)(
senr
senr
432 414313212 qqq ii
i erierieri
multiplicando por
Ntese que q3(q2) y
q4(q2) deben ser
conocidos
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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Anlisis cinemtico
aceleraciones
Dado 2/1 aceleracin angular de (3) y de (4), es decir, 3/1 y 4/1?
cierrede
ecuacin
2
2
dt
d 4433224
2144143
2133132
212212
qqqqqq
iiiiiiereriereriereri
222
212
12 qq
dt
d
dt
d
323
213
13 qq
dt
d
dt
d
424
214
14 qq
dt
d
dt
d
3qie
4qie
multiplicando por
)(
)cos()cos()(
344
342144
213332
212232212
14qq
qqqqqq
senr
rrrsenr
)(
)cos()cos()(
343
214443
213342
212242212
13qq
qqqqqq
senr
rrrsenr
Ntese que 3/1(2/1) y
4/1(2/1) deben ser
conocidos
Captulo 3. Anlisis cinemtico
Captulo 3 Anlisis cinemtico
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velocidad y aceleracin de un punto cualquiera
Resueltos los problemas de posicin y cinemtico
141312
141312
432
,,
,,
,,
qqq
conocidos
Expresar la posicin del punto respecto de (1) en forma
compleja exclusivamente en funcin de: coordenadas articulares q2, q3, q4 constantes
1 derivada velocidad del punto
2 derivada aceleracin del punto
Captulo 3. Anlisis cinemtico
Captulo 3. Anlisis cinemtico
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Posicin del punto U (2) respecto a (1)
441
q iW werR
22 q iU ueR
221212
q iUU ueidt
dRv velocidad (1 derivada)
aceleracin (2 derivada)
Captulo 3. Anlisis cinemtico
B
2222 21212
1212
qq ii
UU ueuei
dt
dva
Posicin del punto W (4) respecto a (1)
441414
q iWW wei
dt
dRv
4444 21414
1414
iiW
W weweidt
dva
333322 213132
212212
1313
qqqq iiii
VV veveiereri
dt
dva
3322
ii
V veerR 332
1321213qq iiVV veieri
dt
dRv
Posicin del punto V (3) respecto a (1)
Captulo 3. Anlisis cinemtico
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Ventaja mecnica
Potencia = (fuerza) (velocidad) = (par) (velocidad angular)
par de entrada: T2 potencia de entrada = T22/1par de salida: T4 potencia de salida = T44/1
T22/1=T44/1potencia de entrada = potencia de salida
Captulo 3. Anlisis cinemtico
T2
)(
)(
entradadepar
salidadepar
322
344
14
12
2
4
senr
senr
T
T
ventaja mecnica
sen
sen
senr
senrCTE
2
4
ngulo de transmisin entre bielay acoplador: 34 qq
32
ventaja mecnica
Captulo 3. Anlisis cinemtico
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32
324
qq ii
ererr
32,rr datos
324 ,, qqr variables
Ecuacin de cierre:
Problema:
Mecanismo de biela-manivela
dado q2 posicin de (3) y (4), es decir, q3 y r4?
(2) impulsor
2
3
23 180 qq sen
r
rarcsen
33224 coscos qq rrr
solucin
Captulo 3. Anlisis cinemtico
Captulo 3. Anlisis cinemtico
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34/36
p
Anlisis cinemtico
velocidades
Dado 2/1 velocidad angular de (3) y velocidad lineal de (4), esdecir, 3/1 y v4/1?
(2) impulsor Problema:
cierredeecuacin
dtd 32 3132124 qq ii erierir
414 rv 32 31321214qq ii
erieriv
3313221214 qq senrsenrv
33132212 coscos0 qq rr 1233
2213
cos
cos
q
q
r
r
Captulo 3. Anlisis cinemtico
7/26/2019 Anals. Cinematico2
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Anlisis cinemtico
aceleraciones
p
Dado 2/1 aceleracin angular de (3) y aceleracin lineal de (4), esdecir, 3/1 y a4/1?
cierrede
ecuacin
2
2
dt
d 33223
2133132
21221214
qqqq
iiiiereriereria
424
214
14 r
dt
rd
dt
dva
33213331322
212221214
coscos qqqq rsenrrsenra
33213331322
2122212 coscos0 qqqq senrrsenrr
33
33213221222
212
13cos
cos
q
qqq
r
senrrsenr
Captulo 3. Anlisis cinemtico
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36/36
Procedimiento vlido para toda posicin, velocidad y aceleracin
Para cualquier q2 2423frmulas
22frmulas
,, qqqqqq s
Para cualquier 2/1 12141213frmulas
,
Para cualquier 2/1 12141213frmulas
,
,, 22 qq VU RRposteriormente
,, 12121212 VU vvposteriormente
,, 12121212 VU aaposteriormente
explcitamente Implcitamente
a travs de
s(q2) y (q2)
p