Analiza si sinteza circuitelor Cap2

8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2

1/26

42

CIRCUITELOR LINIARE

2.1. Introducere

are ca obiectiv principal suficiente

(sau de sistem) pot fi clasificate n:a) b)

n curent.

0

0

( )( ) ; ,( )

mk

k

kk kn

kk

k

a s

P sF s a bQ s

b s

=

=

= =

(1)

Sinteza circuitelor

se numesc schemecanonice.

Cons din figura 1, acesta )(sZ ,respectiv )(sY .

Figura 1.Uniport pasiv.

Uniport

RLC

i(t)

u(t) Z(s)


2/26

43

pentru ca )(sZ sau )(sY

( )Z s

ka kb

( ) pentruZ s s (2)

alimentat de tensiunea:

( ) cos( ) cu 0tu t U e t = + > (3)

; ;j jU U e I I e s j = = = + (4)

t

( ) { }stu t e Ue= (5)

i invariant n timp, permite

( )i t :

( ) { } cos( )st ti t e Ie I e t = = + (6)

t

[ ]

{ }

2

2

2( ) ( ) 2 ( )

( ) ( ) ( ) cos( )cos( )

1 cos(2 ) cos( )

21

2

t

t

j t j t j

p t u t i t U I e t t

U I e t

U I e e e e e

+ +

= = + + =

= + + + =

= +

(7)

t va fi:

{ }

{ }

2( ) ( ) 2 ( )

2( ) ( ) 2 ( )

1( )

2

1

2

t tj j j

t

tj j j

W p d e e e e e d

U I e e e e e d

+ +

+ +

= = + =

= +

(8)


3/26


4/26

45

RLC

umirea de realizabilitate Brune sau test Brune

( )Z s clasei .

O (prescurtat p.r.) ( )F s s j = +

1. ( )F s 0> ;

2. ( )F ;

3. { }( ) 0 pentru { } 0e F s e s = . (18)

( )Z s ( )F s este o P4 I

sunt

Din punct de vedere practic este dificil de verificat caracterul pozitiv-real al unei

testului Brune II din (17) s j = + { }j .

determina

Cteva

P1: 1( )F s 2 1( ) 1/ ( )F s F s= .

1( )F s

2 ( )F s . Astfel:

I. 1 2( ) pentru ( ) pentruF s s F s s .

II. 1 1 1 1( ) ( , ) ( , ) cu ( , ) 0 pentru 0F s U jV U = +

{ } 12 2 21 1 1 1

1 ( , ) ( ) 0 pentru 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Ue F s eU jV U V

= = + +


5/26

46

P1: ( )Y s .

P2: .

1( )F s , 2( )F s 1 2( ) ( ) ( )F s F s F s = +

P3: ( )F s ( )w s ( ( ))F w s - . I. ( ) pentru , ( ) pentru ( ( )) pentruF s s w s s F w s s .

II. ( )F s { ( )} 0e F s pentru { } 0e s .

{ }( ) 0 pentru { } 0e F w e w (19)

( )w s

{ }( ) 0 pentru { } 0e w s e s (20)

( ){ }( ) 0 pentru { } 0e F w s e s (21)

( )w s

P4: ( SPD), iar polii de

. SPD

Fie 1s un pol n SPD, de multiplicitate p ( )F s

1s

1 11

11 1

( ) ......... ( )( ) ( )

p prp p

k k kF s F s

s ss s s s

= + + + +

(22)

unde ( )rF s 1s (pe un contur ).

1s (n jurul lui 1s ) se poate reprezenta ( )F s numaiprin primul termen din dezvoltarea (22), acesta fiind un infinit de ordin superior:

1

( )( )

ps p

kF s

s s

(23)

Utiliznd coordonate polare, se poate scrie:

1 cu 0js = [0,2 ) (24)

( )

( )

jp p j p

s p jp p

k e k

F s ee

= = (25)


6/26

47

{ }( ) cos( )p

s p

ke F s p

= (26)

Cnd s parcurge conturul , argumentul ( )p ia valori n domeniul [ , 2 ]p , 2p cos( )p

2p { }( ) se F s ar fi negativ la 0 ( )> , ceea ce ( )F s

Fie 1s pentru ( )F s 0

1 , ,2 2 2 2

s

(27)

Argumentul ( )p p cos( )p ( 1)p= 0= atunci:

, cos( - ) cos( ) 02 2

p

= (28)

Deci ( )F s poate avea poli simpli pe axa { }j :

01 1 1 0

jk k e k = = > (29)

P5: .Proprietatea P5 P1 P4 1( )F s

2 1( ) 1/ ( )F s F s=

sale sunt polii lui 1( )F s SPD, iar cele de pe { }j vor fi

1( )F s are un pol 1 1s j= reziduul lui 1( )F s n acest pol, 1k , este:

1

1 1 1

( ); ( ) 0 ; 0

( )s j

P sk Q j k

Q s

=

= = > (30)

2( )F s se poate scrie:

1 11

22

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10

( )( )s j s js j

dF s Q s P s P s Q s Q s

ds P s k P s = ==

= = = > (31)

Deci derivata lui F2(s 1s j=

P6: ( )F s . polinom Hurwitz


7/26

48

a) 2 2( ) ( ) pentru zerourile de pe {j }i i is j s j s + = + ;

b) ( ) cu 0 pentru zerourile de pe {- }k ks + > ;

c) 2 2 2 p( ) ( ) 2 cu 0,p p p p p p ps j s j s s + + + = + + + > pentru zerourile din SPS

d) s pentru zeroul din origine. (32)

1. ;2.

:- -

Polinoamele Hurwitz pot fi de trei tipuri:

- Hurwitz n sens larg - strict Hurwitz SPS;- Hurwitz degenerat

testul

Hurwitz

P7: forma (1), :

1

1

1

m n

n m m n

m n

= +

= =

(33)

P4 P5 m n ( )F s ar avea pol dublu la s , ceea ce { }j nu pot fi dectsimple.

P8. ,

1( )F s si 2 ( )F s , astfel nct:

a) 1( )F s ;

b) 2( )F s .

1 2( ) ( ) ( )F s F s F s= + (34)

1 2 21

2( )

Mok k sF s k ss s

=

= + ++

(35)

0; 0; 0ok k k


8/26

49

{ }j 0s= , respectiv s , iar ceiM

s j = .

1( )F s 2 ( )F s

ia 1( )F s SPD, inclusiv pe axa { }j

{ } { }1 2 21

2 ( )( ) ( )

( )

Mok k je F s e e e k jj j

=

+ = + + +

+ + + (36)

{ }2 2 2

1 2 2 2 2 2 2 2 21

2 ( )( )

( ) 4

M

o

ke F s k k

=

+ + = + +

+ + + (37)

0 , ,k k k

{ }1( ) 0 pentru { } 0e F s e s = (38)

1( )F s

mult, fiecare termen al lui 1( )F s

2 ( )F s

a) { } { } { }2 2( ) ( ) ( ) 0o

e F s e F j e F j

=

= = deoarece { }1( ) 0e F j = (39)

pe axa { }j 1( )F s

b) 2 ( )F s SPD { }j .

0 2 ( )F s SPD

{ } { } { }2 2 20 0 0( ) ( ) ( ) 0e F s e F s e F s > = > (40)

2( )F s s

P9: P8 ( )F s 2( )F s

2 ( )F s nu are poli pe { }j

( )F s


9/26

50

1.

2.

)(sF

1. )(sF ;

2. )(sF ;

3. Polii lui F(s)

pozitive;

4. { }( ) 0 pentrue F j . (41)

)(

1 sF , respectiv )(

2 sF din descompunerea (34), ca la proprietatea P8

)(sF P2. n

a) realen tot semiplanul drept, ci numai pe axa }{ j .b) denumirea de A, B, C

LC, RC RL

LC pozitiv-reale ( )Z s

{ }( ) 0e Z j = (42)

LC

LC


10/26

51

( )Z s .

P1: ( )LCF s 1/ ( )LCF s .

{ }1

( ) 0 0( )

LcLC

e F j eF j

= =

(43)

P2: 1( )F s 2 ( )F s , 1 2( ) ( ) ( )F s F s F s= +

P3: ( )LCF s i ( )LCw s ( ( ))LC LCF w s este de

.

P4: :

2 21

2( )

cu: 0 ; 0 ; 0

Mo

LC

o

k k sF s k ss s

k k k

=

= + ++

(44)

P8 ( )F s

{ } { }2( ) 0 ( ) 0e F j e F j = = (45)

2 ( )F s SPD { }j

2 ( )F s K=

0K= ( )F s 2 ( ) 0F s = . Drept urmare

( )F s se reduce doar la 1( )F s

P5: ( )F s n forma (44) P2


11/26

52

P6: ( )s j= Evalund ( )LCF s din (44) pe axa jse poate scrie:

( ) ( )LC LCF j jX = (46)

2 21

2cu : ( )

Mo

LC

k kX k

=

= + +

(47)

2 2

2 2 2 21

( ) 2 ( )

( )

MLC odX k k kd

=

+= + +

(48)

( )LCX

0 ; ; = =

expresia (47).

P7: ( pz-uri) :

2 2 2 2 2 2 2 201 02 0 0, 1

2 2 2 2 2 21 2

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

n nLC

xnx x

s s s sF s H

s s s s

++ + + += + + +

(49)

01 1 0 0 0, 1cu : 0 ; 0 x i xi n xn nH +> < < < < < < < < <

( )LCF s { }j

P1 1/ ( )LCF s ( )LCF s { }j . Evalund

( )LCF s

( )LCX n-ar respecta

proprietatea P6. Constanta H ( )LCF s n polul de la infinit.

a)Factorul s ( )LCF s

01 0 = , factorul s

b)

P8: (49) . ( )LCF s de

reziduurile ik

reziduuluin polul xis j= :2 2 2 2 2 201 0, 1 0, 1

2 2 2 21

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (2 ) ( )xi

xi xi xii ni xi LC s j

xi xi xi xn xixk s j F s H j j

+ +=

= =

(50)


12/26

53

i i 0ik > .

P9: , :

22

0

2 12 1 2 2 1

1

( ) ( )( ) sau ( ) cu: ( ) ;( ) ( )

( ) si 0 ; 0

n kLC LC k

k

nk

k k k -

k

M s N sF s F s M s a sN s M s

N s b s a b

=

=

= = =

= > >

(51)

P10: (pol sau zero) la 0s= s . P7.

P4 P5, respectiv P7 P8

Testul 1

( )F s :

1. ( )F s ;

2. ( )F s { }j , ;

3. { }( ) 0e F j = sau, n mod echivalent, ( )F s . (52)

Testul II

( )F s :

1. ( )F s s ;

2. ( )F s are pz-urile numai pe{ }j ;

3. ( )F s are n origine un pol sau zero( ( )F s );

4. Constanta de multiplicare(H) . (53)

LC

a) , metode Foster.


13/26

54

b) metode Cauer.

Metoda Foster I ( )Z s serie. Prelucrnd dezvoltarea lui ( )Z s

2 2 21 1

2 1( )

2 2

n No ok k s k Z s k s k ss ss s

k k s

= =

= + + = + ++

+ (54)

2 2

2 2

o

( ) ( )( )cu : ( ) ; ; 2

s os s

s Z sZ sk sZ s k k

s s

=

=

+= = = (55)

Metoda Foster II ( )Y s

2 2 21 1

2 1( )

2 2

n no ok k s k Y s k s k ss ss s

k k s

= =

= + + = + ++

+ (56)

Metoda Cauer I ( )Z s sau( )Y s ( )Z s are pol la infinit, se poate scrie:

(1)1 1 2 2

1

2( ) ( ) cu ( )

nok k sZ s k s Z s Z ss s

=

= + = ++

(57)

Cum pentru s 1( ) 0Z s 1( )Y s ( )Z s din (57) devine:

(1) (1)

(2)1 2

1 1( )

( ) ( )Z s k s k s

Y s k s Y s

= + = ++

(58)

( )i ik e = ,

1 12 3 2

2

32

1 1 11( )

1

1n

n

Z s e s e se s e s e s

e s

e se s

= + = + + + ++

+ +

(59)

polinoamelor ( )M s ( )N s


14/26

55

cel mai mare:

2

2 1

( )

( )

n

ns

aM sk

sN s b

= = (60)

Metoda Cauer II ( )Z s sau( )Y s ( )Z s are poln origine, se poate scrie:

(1)0

1 1 2 21

2( ) ( ) cu Z ( )

nk k sZ s Z s s k s

s s

=

= + = ++

(61)

Deoarece 1( )Z s are un zero n 0s= 1( )Y s are un pol n 0s=

(1) (1)0 0

(2)1 0

2

1 1( )

( )( )

k kZ s

s Y s s kY s

s

= + = +

+

(62)

( )i ik f = ,

1

2

3

2

1( )

1

1

n

fZ s

fsfs

fs

s

= ++

+ +

(63)

Constantele ,k ke f

( )M s ( )N s din origine pentru ( )Z s , ( )Y s de gradul cel mai mic:

01

( ) oo sa

k sZ s b== = (64)

1. ( )M s ( )N s ;

2. ( )Z s sau ( )Y s ( )Z s sau ( )Y s

P1 P2


15/26

56

, foarte paragraful 2.2.5 nu sunt disponibile.

3.

canonice.4. LC ( )Z s

( )Y s LC 5.

Notnd cu 0 0R

s ( )kZ s sunt:

( ) ; ( ) ( ) ; ( )

n o

nn n ns s

o o

Z sss Z s Z s z s

R = = = = (65)

expresiile valorilor normate ale elementelor decircuit ( , ,k k kl c r , ,k k kL C R ). Astfel, pentru o

kL

( )( ) ; ( ) ; ( ) n o kk n n o k n n

o o

Z s LZ s sL Z s s L z s s

R R

= = = = (66)

lk

o kk

o

Ll

R

= (67)

( )n n kz s s l= (68)

kR , respectiv a unui condensator kC


16/26


17/26

58

1.Fie P1(s) = M1(s) + N1(s

2 22 1 2 21(s) ( ) ( ) ( ) ( )P s P s M s N s= + = + (73)

cu polinoamele:2 2 2 2

2 1 2 11 1( ) ( ) (s) ; ( ) ( ) ( )M s s M N s s N s = + = +

P2(s) este un polinom Hurwitz degenerat. Testul Hurwitz al polinomului P1(s 1(s) = M1(s) / N1(s 1(s P1(s 0ke > . Pentru polinomul P2(s

2(s) = M2(s) / N2(s) se va termina prematur,

deoareceM2(s N2(s) au divizorul comun 2 21s + , iar testul Hurwitz nu este altceva dect

algoritmul lui Euclid aplicat pentru aflarea celui mai mare divizor comun al polinoamelor

M2(s N2(s 2(s 1(s).

2. s j = este un zero pentru P(s

M(s N(s):

( ) 0 ( ) 0P j M j = = ( ) 0N j = (74)

{ }j ale polinomului P(s) vor apare ca factori n cel mai maredivizor comun al polinoamelorM(s N(s

3. Testul Hurwitzal polinomului P(s ( ) ( ) / ( ) sau ( ) ( ) / ( )s M s N s s N s M s = = N} >grad {M}. kl P(s)

estepolinom strict Hurwitz;

P(s) nu esteHurwitz.

k

l

polinomul este Hurwitz n senslarg.

4. Testul Hurwitz H(s) = P(s) / Q(s) are polinomul Q(s) strict H(s SPS strict stabil Q(s) este Hurwitzn sens larg, sistemul este stabil n sens larg.


18/26


19/26

60

Z(s

Z(s Z(s ( )RCZ s

Testul 1 ( )RCZ s

( )RCZ s :

1. Z(s)

2. Z(s) { } ; polii sunt

3. 0 unde lim ( )s

h h Z s

= (80)

P4. ( )RC

Z s :

01 02 0 0, 1

1 2

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

n nRC

x x xn

s s s sZ s H

s s s s

++ + + +=+ + +

(81)

cu:

01 1 02 2 0 0, 10 si 0 x x n xn nH +> < < < < < < < < (82)

( )LCZ s

2 20 0 0 ; 0i xi xii = > = > (83)

Z(s Z(s Z(s ( )RCZ s

Testul 2 ( )RCZ s

Z(s) este de tip ( )RCZ s :

1.Z(s) ;

2.Z(s) { } ;

3. ;

4. . (84)

P5. (9.88) RCZ, provenind

P6. Z(s)= P(s) / Q(s m = grad {P}, n = grad {Q}, dintre grade:


20/26

61

a)m = n h

b) m = n 0h=

( )RCZ s nu poate avea pol la infinit.

RCY. Metode de testare

RC

1 1( ) ; Z ( )

( ) ( )LC

LC RC

Z s sY s Y s

= = (85)

21( ) ( )LC RCY s Y ss

= (86)

( ) ( )RC LCY s s Y s= (87)

Y(s YLC(s RCY ( )RCY s ). Spre deosebire

( )LCY s ( )LCZ s RCY

RCZ.

RCY

P1. 1( )Y s 2 ( )Y s suma 1 2( ) ( ) ( )Y s Y s Y s= + este de asemenea RCY;P2. ( )Y s ( )w s RCY, ( ( ))Y w s RCZ;P3. RCYse poate descompune n forma:

1

( )n

RC o

h sY s h h s

s

=

= + ++

(88)

( )LCY s RCY, provenind din termenul omolog al ( )LCY s

( )Y s s

1

( ) nRC oY s h hhs s s

=

= + ++

(89)

( )Y s ( )RCY s


21/26

62

( )RCY s

( )Y s este de tip ( )RCY s :

1. ( )Y s ;

2. ( ) / Y s s { } , ;

3. 0 unde lim ( ) / s

h h Y s s

= (90)

P4. s = ( )RCY s sunt negative. Fie

( )RCY s

1

( )n

RC o

hY s h h s

s

=

= + ++

(91)

h h din (91):

( ) ; ( ) ( )RC RC ss

sh Y s h s Y s

s

==

+= = + (92)

0h h = < (93)

( )RCY s pentru s = s , , respectivo oh h h

h anume:

1

(0)n

o o RC

RC

s

hh h Y

Yh h

s

=

= + =

= =

(94)

( )RCY s , ea

n s = RCY.

P5. ( )RCY s :

01 02 0 0, 1

1 2

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

n nRC

x x xn

s s s sY s H

s s s

++ + + +=+ + +

(95)

cu:

01 1 0 0, 10 si 0 x n xn nH +> < < < < < <


22/26


23/26

64

Metoda Foster II ( ) /Y s s sa formei (88) pentru ( )Y s :

1 1

1( )

1

n n

o o

h sY s h h s h h s

s h h s

= =

= + + = + ++

+

(99)

elementarRC

Metoda Cauer I

( )RCZ s sau ( )RCY s

( )LCZ s sau ( )LCY s

( )LC

Z s

aceasta devine:

1

2

3

42

1 1( ) ( )

1

1

1

RC LC

n

Z s Z s es e s

e

e se s+

= = ++

++

(100)

cturi de forma 1 3 2 1, ,..., ne e e forma 2 4 2, , ..., ne s e s e s

( )RCY s are pol la n timp

ce ( )RCZ s nu are pol la .

Metoda Cauer II

( )RCZ s sau ( )RCY s

( )LCZ s sau ( )LCY s

( )LCZ s avea pol n origine, respectiv ( )LCY s ( )LCZ s

ia forma:

1

23

42

1 1( ) ( )

1

1

1

RC LC

n

fZ s Z s

ss ff

sf

f+

= = ++

++

(101)

Cturile sunt de forma /if s

if

RCZ RCYnupoate avea un astfel de pol.


24/26

65

RLZ RLY

RL LCaplicnd o ( )RLZ s ( )LCZ s

Transformarea unui uniportRLntr-un uniportLCse poate realizan trei etape: 1/k iR isL ale uniportuluiRL

(1/ ) ( )RLk Z s .

k iL

schimbarea variabilei s n variabila ks (1/ ) ( )RLk Z ks .

3. Se facenlocuirea k = s 2(1/ ) ( )RLs Z s . Acest

uniport final este un uniport LC cu 1/i iC R=

(1) (2) (3) 21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )RL RL RL RL LCZ s Z s Z ks Z s Z s

k k s = (105)

RLLC

21( ) ( )LC RLZ s Z ss

= (106)

( ) ( )RL LCZ s s Z s= (107)

( ), ( )LC RLY s Y s

1( ) ( )RL LCY s Y s

s= (108)

2( ) ( )LCY s sY s= (109)

( )LCZ s ( )LCY s

importante:

( )RLZ s ( )RCY s ;

( )RLY s ( )RCZ s .

RC

metode indirecte.


25/26

66

Metodele indirecte ( )LCZ s pe baza

LC condensatoarelor iC 1/i iR C= .

Metodele directe

( )RLZ s ( )RCY s ( )RLZ s

{ } ( )RCY s , unde

Y(s)/s de ( ) /RLZ s s .

( )Z s ( ), ( ), ( )LC RC RLZ s Z s Z s ,

( )RLCZ s ( )RLCZ s sau ( )RLCY s ncepe

totdeauna cupreambulul Foster { }j ( )Z s ( )Y s ( )Z s are poli pe{ }j P8

1( ) ( ) ( )AZ s Z s Z s= + (110)

unde ( )AZ s ( )LCZ s

1( )Z s SPD { }j 1( )Z s nu mai are poli pe axa

1( )Y s

1 2( ) ( ) ( )BY s Y s Y s= + (111)

( )Z s care nu mai are nici poli, nici zerouri

pe axa { }j 1( )Z s ) care nu mai are poli pe axa 2( )Z s

de ( )Z s

( )Z s

1( ) ( )

1( )

1( )

( )

A

B

C

Z s Z s

Y s

Z sZ s

= ++

+ +

(112)

( ), ( )A BZ s Y s LC, de tip Foster sau Cauer.


26/26

( ) ( )RCZ s Z s = sau ( ) ( )RLZ s Z s =

ntruct pentru ( )Z s RC, respectiv

RL ( )Z s ( )RLCZ s

RLC, cum ar fi: metoda Brune, metoda Darlington, metoda

1. Mateescu Ad.,

2. Mateescu Ad., Dumitriu N., Stanciu L., semnalelor, Editura Teora, 2001.

Documents

Analiza si sinteza circuitelor Cap2