FUNCII

NOTIUNI GENERALE

Mulimea A se numete domeniul de definiie a funciei .

B se numete mulimea n care funcia ia valori sau codomeniul funciei .

Dac este o funcie de la A la B, atunci se mai spune c este o aplicaie de la A la B.

De obicei funciile se noteaz cu litere mici , g, h,

Mulimea funciilor de la A la B se noteaz cu (A, B).

MODURI DE A DEFINI O FUNCIE

Indiferent de modul n care este definit o funcie trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizeaz: domeniul de definiie, codomeniul i legea de coresponden.

1. FUNCII DEFINITE SINTETIC corespund acelor funcii f : A B pentru care se indic fiecrui element x din A elementul y = f (x) din B.

Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu sgei, fie cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou.

Acest mod de a defini o funcie se utilizeaz cnd A este o mulime finit.

EXEMPLE. 1) Fie f : {1, 2, 3} {a,b} definit prin f (1) = f (2) = a, f (3) = b.

n diagrama cu sgei sunt reprezentate mulimile prin diagrame, iar legea de coresponden

prin sgei.

A B Faptul c fiecrui element x din A i corespunde un unic

element y = f (x) din B nseamn pentru diagrama cu sgei c din fiecare element din A pleac o singur sgeat.

Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigen nseamn c ntr-un astfel de element pot ajunge una, mai multe sgei sau niciuna.

DEFINIIE. Fie A i B dou mulimi nevide. Spunem c am definit o funcie pe mulimea A cu valori n B dac printr-un procedeu oarecare facem ca fiecrui element

x A s-I corespund un singur element y B.

NOTAIE. O funcie definit pe A cu valori n B se noteaz f: A B (citim f definit pe A cu valori n B).

Uneori o funcie se noteaz simbolic A B, x y = (x)(citim: de x), unde y este imaginea elementului x din A prin funcia sau nc valoarea funciei n x.

Elementul x se numete argument al funciei sau variabil independent

Aceeai funcie o putem defini utiliznd tabelul de valori.

Acesta este format din dou linii. n prima linie se trec elemetele mulimii pe care este definit funcia, iar n a doua linie valorile funciei n aceste elemente.

Pentru cazul analizat tabelul arat astfel:

x 1 2 3

y = f (x) a a b

2) Funcia : {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} definit prin (1) = 3, (2) = 1, (3) = 4, (4) = 2 poate fi reprezentat sub forma unui tablou, unde n prima linie avem domeniul de definiie,

1 2 3 4

=

3 1 4 2

iar n linia a doua sunt valorile funciei n punctele domeniului (3 este valoarea lui n x = 1, 1 este valoarea lui n x = 2, etc.). O astfel de funcie se numete permutare de gradul patru.

OBSERVAIE. Nu putem defini sintetic o funcie al crui domeniu de definiie are o infinitate de elemente.

2. FUNCII DEFINITE ANALITIC. Funciile : A B definite cu ajutorul unei (unor) formule sau a unor proprieti sunt funcii definite analitic. Corespondena leag ntre ele elementul arbitrar x din A de imaginea sa (x).

EXEMPLE. 1) Fie funcia : R R, (x) = x2. Aceast funcie asociaz fiecrui numr real x patratul lui, x2.

2) Funcia : Z Z, (x) = x - 1, dac x este par

x + 1, dac x este impar,

este exemplu de funcie definit prin dou formule.

Funciile definite prin mai multe formule se numesc funcii multiforme.

OBSERVAIE. n cazul funciilor multiforme, fiecare formul este valabil pe o anumit submulime a lui A i deci dou formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginea unuia i aceluia element.

Cea mai frecvent reprezentare a unei funcii n matematic este printr-o formul. n acest caz, elementele domeniului de definiie i ale domeniului valorilor nu pot fi dect numere sau obiecte matematice pentru care s-au introdus reeguli de calcul corespunztoare.

De exemplu: y = 3x 2.

Cnd asupra domeniului de definiie nu s-au fcut ipoteze speciale, se consider ca fcnd parte din acesta toate numerele reale, crora din formula respectiv li se pune n coresponden o anumit valoare.

n cazul funciei y = 3x 2, domeniul de definiie este alctuit din mulimea numerelor reale.

IMAGINEA UNEI FUNCII. PREIMAGINEA UNEI FUNCII

DEFINIIE. Fie : A B, g: C D dou funcii; , g sunt funcii egale ( = g) dac:

1) A = C (funciile au acelai domeniu de definiie),

2) B = D (funciile au acelai codomeniu) i

3) (x) = g(x), x A (punctual, funciile coincid).

DEFINIIE. Fie : A B, iar A A. Se numete imaginea lui A prin , notat cu (A),

Fie : A B. Din definiia funciei, fiecrui element x A I se asociaz prin funcia un unic element (x) B, numit imaginea lui x prin sau valoarea funciei n x.

EXEMPLE. Considerm funcia : {1, 2, 3, 4} {a,b,c,d} dat prin diagrama cu sgei.

Fie A = {1, 2, 3}.

Atunci (A) = {(1), (2), (3)} = {a,c}

A B

EXEMPLE. n funcia : {-1, 0, 1, 2} {a, b, c, d, e} definit cu ajutorul diagramei cu sgei.

Atunci Im = {(-1), (0), (1), (2)} = {a, b, c} B.

A B

EXEMPLE. Se consider funcia : {-1, 0, 1, 2} {1, 2, 3} definit prin diagrama cu sgei.

n acest caz, -1({1}) = {0}, deoarece (0) = 1;

-1({2}) = {-1, 1} pentru c (-1) = (1) = 2;

-1({1,2}) = {-1, 0, 1}, deoarece (-1) = 2, (0) = 1,

(1) = 2.

A B

GRAFICUL UNEI FUNCII

submulimea lui B format din elementele care sunt imagini prin a cel puin unui element

din A.

Deci, (A) = {(x) x A} sau (A) = {y B x A astfel nct (x) = y}.

DEFINIIE. Fie : A B. Se numete imagine a funciei , notat Im sau (A), partea lui B constituit din toate imaginile elementelor lui A.

Deci, Im = V(A) = {(x) x A} sau Im = {y B x A astfel nct (x) = y}.

DEFINIIE. Fie : A B. Se numete imaginea reciproc a unei pri B a lui B, notat -1(B), submulimea lui A format din acele elemente ale cror imagini prin aparin lui B.

Deci, -1(B) = {x A (x) B}.

DEFINIIE. Fie o funcie : A B. Se numete graficul funciei mulimea de cupluri G = {(x, (x)) x A} = {(x, y) x A, y = (x)}.

Se observ c G A x B.

EXEMPLE. 1) Fie funcia : A B, definit prin diagrama alturat.

Graficul funciei este mulimea

G = {(1, a), (2, a), (3, b)}.

A B

1) Fie funcia numeric : A B definit prin tabelul de valori.

x -1 0 1 2 n acest caz, graficul lui este mulimea

G = {(-1, 2), (0, 3), (1, -2), (2, 0)}.

(x) 2 3 -2 0

REPREZENTAREA GRAFIC A UNEI FUNCII NUMERICE

Dac funcia : A B este o funcie numeric, atunci la produsul cartezian A x B R x R, unui cuplu (x, y) din A x B i se poate asocia n planul n care se consider un reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M avnd coordonatele x, y, componentele cuplului). Cum mulimea R x R se reprezint geometric prin planul cartezian, se poate deduce c: graficul funciei numerice se reprezint geometric printr-o anumit submulime a planului. Aceast submulime a planului se numete reprezentarea geometric a graficului funciei. Reprezentarea grafic a unei funcii : A B este,

n general, o curb, numit curba reprezentativ a funciei i notat C = {M (x, y) x A, y = (x)}. Prin abuz de limbaj, n loc de reprezentarea geometric a unei funcii vom spune simplu graficul funciei .

EXEMPLE. Funcia : {-1, 0, 1} R, (x) = 2x

are graficul G = {(-1, -2), (0, 0), (1, 2)},

iar reprezentarea grafic este format din trei puncte:

A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2).

FUNCII PARE. FUNCII IMPARE

OBSERVAII. par Gf simetric fa de Oy

impar Gf simetric fa de O (originea axelor).

DEFINIIE. D R se numete mulime simetric dac x D -x D

Fie : D R, D simetric

s.n. funcie par x D (-x) = (x)

s.n. funcie impar x D (-x) = -(x)

DEFINIIE.

Funcia este strict cresctoare pe I dac: Funcia este strict descresctoare pe I dac:

MONOTONIA FUNCIILOR

Fie : A R, o funcie de variabil real i I A.

O funcie strict cresctoare pe I sau strict descresctoare pe I se numete strict monoton pe I.

O funcie cresctoare pe I sau descresctoare pe I se numete monoton pe I.

Dac este strict monoton (sau monoton) pe A (pe tot domeniul de definiie ) spunem simplu c funcia este strict mnoton (sau monoton) fr a mai indica mulimea.

A studia monotonia unei funcii : A R revine la a preciza submulimile lui A pe care este strict cresctoare (cresctoare) i submulimile lui A pe care este strict descresctoare (descresctoare).

Pentru studiul monotoniei unei funcii numerice : A R, se utilizeaz raportul:

(x2) - (x1) cu x1, x2 A, x1 x2, numit raportul de variaie asociat

x2 - x1 funciei i numerelor x1, x2.

Diferena x2 x1 se numete variaia argumentului, iar diferena (x2) - (x1) se numete variia funciei. Prin urmare raportul de variaie asociat lui i numerelor x1, x2 este raportul dintre variaia funciei i variaia argumentului.

Are loc urmtoarea:

()x1, x2 I ()x1, x2 I

(x1) < (x2) (x1) > (x2)

x1 < x2 x1 < x2

DEFINIIE.

Funcia este cresctoare pe I dac: Funcia este descresctoare pe I dac:

()x1, x2 I ()x1, x2 I

(x1) (x2) (x1) (x2)

x1 < x2 x1 < x2

TEOREM. Fie : A R o funcie numeric i I A. Atunci:

este strict cresctoare (cresctoare) pe I (x2) - (x1) > () 0, ()x1, x2 I x2 - x1 x1 x2;

este strict descresctoare (descresctoare) pe I (x2) - (x1) < () 0, ()x1, x2 I x2 - x1 x1 x2;

DEFINIIE. Dac exist x0 I astfel nct (x) (x0), x I, atunci (x0) se numete maximul funciei pe mulimea I i scriem (x0) = max(x).

VALORI EXTREME ALE UNEI FUNCII. FUNCIE MRGINIT

Fie funcia numeric : A R, I A.

Valoarea maxim sau minim a lui pe I se numete valoarea extrem a funciei pe I.

Punctul x0 de maxim sau x1 de minim se numete punct de extrem pentru funcia pe I.

EXEMPLE. Funcia definit prin tabelul de valori are valoarea maxim egal cu 8 i se

atinge pentru x = -6. Deci max = (-6)=

x -6 -4 -1 0 1 2 = 8. Punctul x = -6 este punct de maxim

(x) 8 3 -1 -5 0 1 pentru funcie. Valoarea minim a lui

este egal cu 5 i se obine pentru x = 0. Deci min = (0) = -5. Punctul x= 0 este punctul de minim al funciei. n final, valorile extreme ale funciei sunt 5 i 8, iar punctele de extrem sunt 0 i respectiv 6.

Semnificaia geometric a unei funcii mrgintite este aceea c graficul funciei este cuprins ntre dreptele orizontale y = m, y = M. (fig. 3)

Fig. 3

Punctul x0 pentru care se obine valoarea maxim a lui pe I se numete punct de maxim pentru funcia pe I.

Dac exist x1 I astfel nct (x) (x1), x I, atunci (x1) se numete minimul funciei pe mulimea I i scriem (x1) = min(x).

Punctul x1 pentru care se obine valoarea minim a lui pe I se numete punct de minim pentru funcia pe I.

DEFINITIE. (MARGINIREA UNEI FUNCTII). O functie numerica : A R se numeste marginit dac exist dou numere reale m, M a.. m f(x) M, xA.

x1, x2 A

: A B este injectiva x1 = x2

(x1) = (x2)

DEFINITIE. O functie : A B se numeste functie surjectiva (sau simplu surjectie), daca orice element din B este imaginea prin a cel putin unui element din A, ceea ce-I echivalent cu faptul ca pentru orice y B, ecuatia (x) = y are cel putin o solutie x A.

Altfel spus, functia este surjectiva y B, x A astfel incat (x) = y.

FUNCTIA INJECTIVA

DEFINITIE. O functie : A B se numeste functie injectiva ( sau simplu injectie) daca orice element din B este imaginea prin a el mult unui element din A, ceea ce-I echivalent cu faptul ca pentru orice y B ecuatia (x) = y are cel mult o solutie x A. Altfel spus, functia este injective daca si numai daca doua elemente diferite oarecare din A au imagini diferite in B prin , adica x1, x2 A este injectiva (x1) (x2) x1 x2

Aceasta ultima echivalenta va fi utilizata pentru a proba ca o functie este injectiva.

Pe diagrama cu sageti o functie este injective daca in fiecare element al codomeniului ajunge cel mult o sageata.

Utilizand graficul unei functii, se poate stabili daca functia este injectiva ducand prin fiecare punct al codomeniului o paralela la axa Ox. Daca aceasta taie graficul in cel mult un punct, functia este injectiva.

Pentru a arata ca o functie : A B nu este injectiva, este sufficient sa aratam ca exista doua elemente x1, x2 A, x1 x2 pntru care (x1) = (x2).

OBSERVAIE. este injectiva (X Y) = (X) - (Y), X,Y A

EXEMPLU. S se arate c funcia : R R, (x) = 3x este injectiv. Fie x1, x2 R pentru care (x1)= (x2). Avem achivalena 3x1=3x2, deci x1=x2, de unde rezult c este injectiv.

FUNCTIA SURJECTIVA

Din ultima echivalenta se deduce ca:

Pe diagrama cu sageti o funtie este surjectiva daca la fiecare element din B ajunge cel putin o sageata.

Graficul unei functii poate preciza daca functia este surjectiva. Daca orice paralela la Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel putin un punct.

O functie : A B nu este surjectiva daca exista y B astfel incat x A, (x) y.

: A B este surjectiva (A) =B, adica Im = B.

EXEMPLU. Funcia : R R, (x) = 3x este surjectiv, deoarece y R, x R a.. (x) = y 3x= y x= y/3.

FUNCTIA BIJECTIVA

Pe diagrama cu sageti o functi este bijectiva daca in fiecare element al codomeniului ajunge exact o sageata. Se mai spune despre functia bijectiva ca este o corespondenta one to one (unu la unu).

O functie numerica data prin graficul sau este bijectiva daca orice paralela la ax Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in exact un punct.

EXEMPLU. Functia : R R , (x) = 3x este bijectiva.

FUNCTIA INVERSA

Daca : A B este bijectiva, atunci pentru orice element y B exista exact un element x din A astfel incat (x) = y, ceea ce inseamna ca x = -1 (y) (adica preimaginea elementului y este elementul x).

OBSERVAII. 1) Sa remarcam ca functia -1: B A exista daca : A B este bijectiva.

2) Functia -1 are ca domeniu de definitie codomeniul functiei directe, iar drept codomeniu, domeniul de definitie al functiei directe.

3) Daca este bijectiva, atunci -1 este bijectiva si avem (-1 ) -1 = .

4) Pentru a construi diagrama cu sageti a lui -1 , schimbam sensul sagetilor de pe diagrama cu sageti a lui . (Se spune ca -1 actioneaza invers decat ) Schema de functionare a lui si -1 este redata mai jos.

x A B y

5) Nu conteaza cum se noteaza argumentul lui -1 . De aceea, vom prefera pe x in locul lui y.

DEFINITIE. O functie : A B se numeste functie bijectiva (sau simplu biejctie), daca este atat injectiva cat si surjectiva.

Altfel spus functia : A B este functie bijectiva y B, ! x A astfel incat(x) = y. Simbolul ! Inseamna exista si este unic.

DEFINITIE. Fie : A B o functie bijectiva. Se numeste functie inversa a functiei , functia g: B A, care asociaza fiecarui element y din B elementul unic x din A astfel incat (x) = y.

NOTAIE. Pentru functia g utilizam notatia -1 (citim f la minus unu). O functie care are inversa se spune ca este invesabila. Functia se numeste functie directa, iar -1 functie inversa (a lui ).

OPERATII CU FUNCTII

EXEMPLU. : Z R, (x) = 3x+1

OBSERVAII. 1) Se defineste produdul dintre un numar real si o functie : A R, ca fiind functia : A R, ( ) (x) = (x), x A.

2) Daca , g : A R,atunci definim diferenta dintre functia si functia g ca fiind functia - g: A R, ( - g ) (x) = (x) g (x), x A. De fapt , diferenta - g este suma + (-g), unde g = (-1) g.

EXEMPLU. Fie , g : R R, (x) = 3x+1, g(x) = -x +3. Atunci + g, - g, g : R R prin ( + g )(x) = (x) + g(x) = 3x + 1 x +3 = 2x + 4. ( - g)(x) = (x) g(x) = 3x+1 x 3 = 4x 2. (g)(x) = (x)g(x) = (3x + 1)(-x+3).

PROPRIETATI ALE ADUNARII FUNCTIILOR

Fie (A, R) multimea functiilor definite pe A cu valori in R. Atunci are loc urmatoarea:

PROPRIETATI ALE INMULTIRII FUNCTIILOR

DEFINIIE. Fie A, B R. O functie : A B se numeste functie numerica sau functie reala de variabila reala.

DEFINIIE. 1) Functia +g : A R definita prin (+g) (x) = (x) + g (x), x A, se numeste suma dintre functia si functia g.

2) Functia g : A R definita prin ( g ) (x) = (x) g (x), x A, se numeste produsul dintre functia si functia g.

3) Functia / g : A { x g (x) = 0 } R definita prin ( / g ) (x) = (x) / g (x), x A, g (x) 0 se numeste catul dintre functia si functia g.

TEOREM. Pentru operatia de adunare pe (A, R) au loc proprietatile:

1) ( +g) + h = + (g + h), , g, h (A, R) (adunarea functiilor este asociativa);

2) + g = g + , , g (A, R) (adunarea functiilor este comutativa);

3) exista functia 0 (A, R), 0(x) = 0, x A astfel incat + 0 = 0 + = , (A, R) (0 se numeste functie nula si este element neutru pentru adunarea functiilor);

4) (A, R), (-) (A, R) astfel incat + (-) = (-) + = 0 ( orice functie are o opusa (-)).

TEOREM . Pentru operatia de inmultire pe (A, R), au loc proprietatile:

1) ( * g) * h = * (g * h), , g, h (A, R) (inmultirea functiilor este asociativa);

2) * g = g * , , g (A, R) (inmultirea functiilor este comutativa);

3) exista functia 1 (A, R), 1(x) = 1, x A astfel incat * 1 = 1 * = , (A, R) (1 se numeste functia unitate pemultimea A ).

PROPOZIIE. Inmultirea este distributiva in raport cu adunarea pe (A, R), adica

* (g + h) =g + h, , g, h (A, R).

COMPUNEREA FUNCIILOR

Fie : A B, g : B C, dou funci cu urmtoarea particularitate: codomeniul lui este egal cu domeniul lui g. Cu ajutorul acestor funcii se poate construi o alt funcie h : A C. Funcia h astfel definit se noteaz g (citim g compus cu ) i reprezint compunerea funciei g cu (n aceast ordine). Funcia go are domeniul lui (prima funcie care acioneaz n aceast compunere) i codomeniul lui g (ultima care acioneaz n compunere).

OBSERVAII. 1) Funcia compus go a dou funcii , g nu poate fi definit dect dac codomeniul lui coincide cu domeniul de definiie a lui g.

2) Dac : A B, g : B A, atunci are sens fog i gof. n general ns gof fog.

PROPRIETI ALE COMPUNERII FUNCIILOR

1. Asociativitatea

, g , h avem fo(goh) = (fog)oh

2. Comutativitatea

, g a.. og go

3. Element neutru

o funcie 1A a.. avem o1A = 1Ao = ; 1A : A A; 1A(x) = x (funcie identic)

4. Elemente simetrizabile

Nu toate funciile admit inverse!

Funcia invers: : A B, g : B C; g s.n inversa lui dac fog = 1B; go = 1A(notaie: g = -1)

Proprietti:

a) g = -1 (go)(x) = x (og)(x) = x;

b) -1((x)) = x, x A

(-1(x)) = x, x B;

c) inversabil bijecie

DEFINIIE. Fie A, B, C mulimi nevide i funciile : A B, g : B C. Se numete compusa funciei g cu funcia (sau funcia compus din i g), considerat n aceast ordine, funcia notat go , definit astfel: go : A C , (go)(x) = g((x)), x A.

TEOREMA. 1) Dac , g sunt funcii pare, atunci go este o funcie par (Compunerea a dou funcii pare este o funcie par).

2) Dac i g sunt funcii impare, atunci go este funcie impar. (Compunearea a dou funcii impare este o funcie impar).

3) Dac si g au paritti diferite, atunci go este o funcie par.

4) Dac i g au aceiai monotonie, atunci go este cresctoare. (Compunearea a dou funcii de aceiai monotonie este o funcie cresctoare).

5) Dac i g au monotonii diferite, atunci go este descresctoare. (Compunerea a dou funcii de monotonie diferit este o funcie descresctoare).

6) Dac i g sunt bijective, atunci go este bijectiv. (Compunerea a dou funcii bijective este o funcie bijectiv).

Compunerea a doua funcii inversabile i g este o funcie inversabil.

FUNCII PARTICULARE

FUNCIA DE GRADUL I

OBSERVAIE. Funcia de gradul nti este bine determinat dac se cunosc coeficienii a,bR

MONOTONIA FUNCIEI DE GRADUL NTI

OBSERVAIE. Semnul lui a precizeaz monotonia funciei de gradul nti.

SEMNUL FUNCIEI DE GRADUL NTI

GRAFICUL FUNCIEI DE GRADUL INTAI

Graficul funciei de gradul nti este o dreapt (oblic) de ecuaie y = ax + b. Pentru trasarea unei drepte sunt necesare dou puncte care aparin graficului.

BIJECTIVITATEA I INVERSABILITATEA FUNCIEI DE GRADUL NTI. COMPUNEREA FUNCIILOR DE GRADUL NTI.

DEFINIIE. Funcia : R R, (x) = ax + b, a, b R se numete funcie afin.

Dac a 0, atunci se numete funcie de gradul nti de coeficieni a, b.

Dac a 0 i b = 0 atunci se numete funcie liniar ((x) = ax).

Pentru funcia de gradul nti, ax se numete termenul de gradul nti, iar b, termenul liber al funciei.

Ecuaia ax + b = 0 se numete ecuaia ataat funciei .

TEOREM. Funcia de gradul nti : R R, (x) = ax +b , a o este:

1) strict cresctoare daca a > 0

2) strict descresctoare dac a < 0

TEOREM. Funcia de gradul nti : R R, (x) = ax + b, a 0 are zeroul x = -b/a, iar semnul funciei este dat n tabelul de semn

x - -b/a

(x) semn contrar lui a 0 acelai semn cu a

Numrul x = -b/a este rdcina ecuaiei ataate ax + b = 0.

Spunem c pn n rdcin, adic pentru x < -b/a, are semn contrar lui a, iar dincolo de rdcin, adic pentru x > -b/a, are semnul lui a.

TEOREM. 1) Funcia : R R, (x) = ax + b, a 0 este bijectiv.

2) Inversa funciei este funcia -1 : R R, -1 (x) = (x-b)/a.

3) Dac g : R R, g(x) = cx + d, c 0, atunci go : R R, (go)(x) = acx + bc + d.

(Compunerea a dou funcii de gradul nti este o funcie de gradul nti).

FUNCIA DE GRADUL AL DOILEA.

ORSERVAII. 1. Funcia de gradul al doilea este bine determinat dac se cunosc coeficienii a 0, b, c.

2. Cum domeniul i codomeniul lui coincid cu R, funcia de gradul al doilea este o funcie numeric. n loc de (x) = ax2 + bx + c, vom scrie y = ax2 + bx + c.

MONOTONIA FUNCIEI DE GRADUL AL DOILEA

SEMNUL FUNCIEI DE GRADUL AL DOILEA

DEFINIIE. Funcia : R R, (x) = ax2 + bx + c, a, b, c R, a 0 se numete funcie de gradul al doilea (sau funcie ptratic) cu coeficienii a, b, c.

Pentru funcia de gradul al doilea ax2 se numete termenul de gradul doi (sau ptratic), bx termenul de gradul nti(sau liniar), iar c termenul liber.

Ecuaia ax2 + bx + c = 0 se numete ecuaia ataat funciei (x) = ax2 + bx + c , iar

= b2 4ac discriminantul ecuaiei l numim pentru funcie discriminantul funciei.

TEOREM. Fie funcia de gradul doi : R R, (x) = ax2 + bx + c, a 0.

1) Dac a > 0, atunci este strict descresctoare pe (-, -b/2a]

este strict descresctoare pe [-b/2a, )

x - -b/2a

Tabelul de variaie a funcieie este:

(x) -/4a

2) Dac a < 0, atunci este strict cresctoare pe (-, -b/2a]

este strict descresctoare pe [-b/2a, )

x - -b/2a

Tabelul de variaie a funciei este:

(x) -/4a

(x) = a(x = b/2a)2 - /4a se numete forma canonic a funciei de gradul doi.

TEOREM. Fie : R R, (x) = ax2 + bx + c, a 0.

1) Dac > 0, atunci ecuaia ataat lui are dou rdcini reale distincte x1 < x2, iar semnul lui este cel al lui a n afara rdcinilor i semn contrar lui a ntre rdcini:

x - x1 x2

(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

2) Dac = 0, atunci ecuaia ataat lui are dou rdcini reale egale x1 = x2 = -b/2a, iar semnul funciei este cel al lui a pe R/{-b/2a}.

x - -b/2a

(x)semnulluia0semnulluia

ALTE FUNCII NUMERICE

FUNCIA PUTERE CU EXPONENT NATURAL

PROPRIEI.

FUNCIA RADICAL

PROPRIETI

3) Dac < 0, atunci ecuaia ataat lui nu are rdcini reale, iar semnul funciei este semnul lui a pe R.

x -

(x) semnul lui a

DEFINIIE. Funcia : R R,(x) = xn, n N* se numete funcia putere de exponent n

FUNCIA MONOTONIA TABEL PARITATE BIJECTIV SIMETRIA

DE VARIEIE GRAFICULUI

(x) = x2k, strict descresctoare x - 0 par nu fa de Oy

k N* pe (-, 0) (-x) = (x)

strict cresctoare (x) 0

pe [0, )

(x) = x2k+1, strict cresctoare x - 0 impar da fa de O

k N* (-x) = -(x)

(x) - 0

DEFINIE. Funcia : R R, (x) =1n2, n N*, se numete funcia radical de ordin impar. Funcia : [0, ) [0, ), (x) = n2x, n N*, se numete funcia radical de ordin par

FUNCIA MONOTONIA TABEL PARITATE BIJECTIV SIMETRIA

DE VARIEIE GRAFICULUI

(x) =n2x , strict cresctoare x 0 nu da nu

n N*

(x) 0

(x) = strict cresctoare x - impar da fa de O

n N*

(x) x

FUNCIA : R R*, (x) = 1/x

FUNCIA OMOGRAFIC

PROPRIETI

FUNCIA MODUL

PROPRIETI

FUNCIA PARTE NTREAG I PARTE FRACIONAR.

MONOTONIA TABEL PARITATE BIJECTIV SIMETRIA

DE VARIEIE GRAFICULUI

strict descresctoare x - 0 impar da fa de O

pe intervalele (-x) = -(x)

(-, 0) , (0, ) (x) 0 - 0

DEFINIIE. Funcia : R {-d/c} R {a/c}, (x) = (ax + b) / (cx + d), a, b, c, d R, c 0, ad bc 0 se numete funcia omografic.

SEMNUL MONOTONIA TABEL BIJECTIV SIMETRIA

LUI ad - bc DE VARIEIE GRAFICULUI

strict cresctoare x - -d/c fa de punctul

+ pe intervale da (-d/c, a/c)

(x) a/c - a/c

strict descresctoare x - -d/c fa de punctul

- pe intervale da (-d/c, a/c)

(x) a/c - a/c

DEFINIIE. Funcia : R [0, ), (x) = x = x, x 0 se numete funcia modul.

-x, x < 0

MONOTONIA TABEL PARITATE BIJECTIV SIMETRIA

DE VARIEIE GRAFICULUI

strict descresctoare x - 0 par nu fa de Oy

pe (-, 0]

strict cresctoare (x) 0

pe[0,)

: R Z, (x) = [x] : R [0, 1), (x) = {x} = x [x]

.

-2, x[-2, -1) x + 2, x[-2, 1)

-1, x[-1, 0) x + 1, x[-1, 0)

(x) = 0, x[0, 1) (x) = x, x[0, 1) 1, x[1, 2) x 1, x[1, 2)

2, x[2, 3) x 2, x[2, 3)

.

DEFINIIE. Fie a > 0, a 1. Funcia : R (0, ), (x) = ax, se numete funcia exponenial de baz a.

1) Funcia exponenial face s-i corespund sumei a dou numere reale produsul valorilor corespunztoare ale funciei, adic: (x1+x2) = (x1)(x2), x1, x2 R.

FUNCIA EXPONENIAL

OBSERVAII. 1. Baza a este diferit de 1 pentru c n caz contrar (x) = 1x = 1 este considerat constant i nu este considerat ca o funcie exponenial.

2. A nu se confunda funcia exponeniala (x) = ax, a>0, a 1 cu functia g(x) = xa, xR. Pentru prima funcie a este baza puterii ax care este constanta, in timp ce pentru a doua funcie a este exponentul puterii axa care este constant.

GRAFICUL FUNCIEI EXPONENIALE

Graficul funciei exponeniale se traseaz n dou cazuri:

1. Baza a (0, 1) (spunem c baza este subunitar). n acest caz graficul funciei este situat deasupra axei Ox i intersecteaz axa Oy n (0, 1). Graficul funciei exponeniale cu baz subunitar este din ce n ce mai apropiat de axele coordonate, cu ct baza este mai mic.

2. Baza a > 1 (spunem c baza este supraunitar). n acest caz graficul funciei este situat deasupra axei Ox i intersecteaz axa Oy n (0, 1). Graficul funciei exponeniale cu baz subunitar este din ce n ce mai apropiat de axele coordonate, cu ct baza este mai mare.

PROPRIETI ALE FUNCIEI EXPONENIALE

OBSERVAII. (x1 x2) = (x1) / (x2); (cx1) = ((x1))c

OBSERVAIE. Pentru a > 1, ax1 < ax2 x1 < x2; Pentru 0 < a < 1, ax1 < ax2 x1 > x2.

3) MONOTONIA FUNCIEI EXPONENIALE.

Dac a > 0, atunci (x) = ax este strict cresctoare;

0 < a < 1, atunci (x) = ax este strict descresctoare.

2) Funcia exponenial este bijectiv i deci inversabil.

SEMNUL FUNCIEI EXPONENIALE.

a (0, ) / {1}, atunci (x) = ax > 0;

a (0, 1) i x(-, 0), atunci (x) = ax (1,)

x(0,), atunci (x) = ax (0, 1)

a > 1 i x(-, 0), atunci (x) = ax (0, 1)

x(0, ), atunci (x) = ax (1, )

FUNCIA LOGARITMIC

OBSERVAII. 1. Nu se poate defini logaritmul unui numr real negativ x, deoarece ay > 0, y R.

2. alogax = x (identitatea logaritmic fundamental).

GRAFICUL FUNCIEI LOGARITMICE.

Graficul funciei logaritmice se traseaz n dou cazuri:

1. Baza a (0, 1) (spunem c baza este subunitar). n acest caz graficul funciei intersecteaz axa Ox n punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, n raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) n care graficul funciei exponeniale intersecteaz axa Oy. Graficul funciei logaritmice cu baz subunitar este din ce n ce mai apropiat de axele coordonate, cu ct baza este mai mic.

2. Baza a > 1 (spunem c baza este supraunitar). n acest caz graficul funciei intersecteaz axa Ox n punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, n raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) n care graficul funciei exponeniale intersecteaz axa Oy.

PROPRIETTI ALE FUNCIEI LOGARITMICE

OBSERVAII. g(x1 / x2) = g(x1) g(x2), x1, x2 > 0; (x1) = (x1), x1 > 0.

OBSERVAIE. Din faptul c g este bijectiv avem echivalena: logax = logay x = y.

OBSERVAIE. Pentru a > 1, logax1 < logax2 x1 < x2

Pentru 0 < a< 1, logax1 < logax2 x1 > x2.

DEFINIIA LOGARITMULUI UNUI NUMR POZITIV. Fie a > 0, a 1 i x > 0. Se numete logaritmul numrului x n baza a, i se noteaz logax, numrul real y definit prin: y = logax ay = x.

DEFINIIE. Fie a > 0, a 1. Funcia g : (0, ) R, definit prin g(x) = log ax se numete funcie logaritmic de baz a.

2) Funcia logaritmic este inversa funciei exponeniale.

1) Funcia logaritmic face s-I corespund produsului a dou numere reale pozitive suma valorilor corespunztoare ale funciei, adic: g(x1x2) = g(x1) + g(x2) ,x1, x2 > 0.

MONOTONIA FUNCIEI LOGARITMICE.

Dac a > 1, atunci g(x) = logax este strict cresctoare.

0 < a < 1, atunci g(x) = logax este strict descresctoare.

OBSERVAIE! loga1 = 0. Logaritmul lui 1 n orice baz este egal cu 0.