Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski ﬁlozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio

Analiticka geometrija

Predavanje 1

Pravougli (Dekartov, Kartezijanski) koordinatni sistem i(Euklidsko) rastojanje tacaka

Novi Sad, 2019.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 1 / 16

OsnivanjeZa osnivaca Analiticke geometrije, kakvu je danas znamo, se uzima ReneDekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650)francuski filozof, matematicar i naucnikDekart je 1637. godine objavio svoje cuveno filozofsko delo "Rasprava ometodi" ("Discours de la méthode", potpun naziv je Rasprava o metodi kakodobro usmeriti svoj razum i tražiti istinu u naukama) koje ga je ucinilozacetnikom novog filozofskog pravca racionalizma.1 Naime, Dekartovatvrdnja je bila da jedino matematika predstavlja sigurno znanje, te da zato svemora biti zasnovano na njoj - univerzalna nauka/sumnja. Dekart pokušava dacitavom univerzumu pripriše matematicku osnovu, svodeci sva izucavanja naiskljucivo naucna.Tu svoju filozofsku ideju je pokušao da primeni, i time potvrdi, kroz tri dodatkakoja prate ovo delo. Treci deo se naziva "Geometrija" ("La géométrie"), i onje inace najznacajniji medu njima i zaista matematicki opravdano utemeljen.Tu Dekart definiše metod za uvodenje koordinatnog sistema, odnosno,algebre i analize u geometriju... kasnije je ova ideja razvijana do forme u kojojje danas poznajemo

1Racionalizam je filozofski pravac u teoriji saznanja prema kojem u procesu saznanjapresudnu ulogu i znacaj ima razum. Glavno merilo vrednosti saznanja je ljudski razum.Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 2 / 16





Osnovna ideja analiticke geometrije

tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)

geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine

Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.



































Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16




Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16

Literatura

Thomas, G., Finney, R.: Calculus and Analytic Geometry. 9th edition. Addison–Wesley, Reading, 1996.

Gelfand, I. M., Glagoleva, E. G., Kirillov, A. A.: The Method of Coordinates. Birkhäuser, Boston, 1990.

Stojakovic, Z., Herceg, D.: Linearna algebra i analiticka geometrija. Univerzitet u Novom Sadu, 1992.

Blažic, N., Bokan, N., Lucic, Z., Rakic, Z.: Analiticka geometrija. Matematicki fakultet, Beograd, 2003.

Jojic, D., Paunic, -D.: Analiticka geometrija. PMF, Banja Luka, 2016.


Pravougli koordinatni sistem na pravoj

tacka koordinataT 7−→ x ∈ R

pišemo T (x)




pišemo T (x)




pišemo T (x)




pišemo T (x)


(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravoj

Rastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)

d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2

Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)

d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2




d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2




d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2




d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2




d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2




d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2




d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2


(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravojRastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)

d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2



d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2



d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2



d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2



d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√

x2


d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2


Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O

(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)

d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2

(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2

(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)

d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2




d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2



d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2


Pravougli koordinatni sistem u ravni

tacka koordinataT 7−→ (x , y) ∈ R2

pišemo T (x , y)




pišemo T (x , y)




pišemo T (x , y)




pišemo T (x , y)




pišemo T (x , y)


(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravni

Rastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)

d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =

√x2 + y2, Pitagorina teorema

Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)

d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2


(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)

d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =



d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2



d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =



d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2



d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =



d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2



d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =



d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2



d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =



d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2



d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =



d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2



d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =



d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2



d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =



d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2



d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =



d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2


Primer 1.2 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0) koordinatni

pocetak, A(3,−4) i B(4,2)(b) skup tacaka T (x , y) koje se od koordinatnog pocetka O(0,0)

nalaze na rastojanju r , r > 0(sfera sa centrom u O poluprecnika r u ravni){

T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2

}(c) nejednacinu kojom se u ravni opisuje otvorena, odnosno

zatvorena lopta sa centrom u O(0,0) poluprecnika r , r > 0otvorena lopta u ravni je skup tacaka{

T (x , y)∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 < r

}, odnosno x2 + y2 < r2

zatvorena lopta u ravni je skup tacaka{T (x , y)

∣∣ d(T ,O) =√

x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2





T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2



T (x , y)∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 < r



∣∣ d(T ,O) =√

x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2





T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2



T (x , y)∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 < r



∣∣ d(T ,O) =√

x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2





T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2



T (x , y)∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 < r



∣∣ d(T ,O) =√

x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2





T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2



T (x , y)∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 < r



∣∣ d(T ,O) =√

x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2





T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2



T (x , y)∣∣ d(T ,O) =

√x2 + y2 < r



∣∣ d(T ,O) =√

x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2


(d) jednacinu sfere sa centrom u C(a,b) poluprecnika r , r > 0skup tacaka

{T (x , y)

∣∣ d(T ,C) =√(x − a)2 + (y − b)2 = r

},

odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2

(e) jednacinu u zadatku pod (d) izvesti primenom translacije(f) skup tacaka

{T (x , y)

∣∣ x = y}

i{

T (x , y)∣∣ |x | = |y |}

(g) skup tacaka{

T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6

}= ∅

Napomena: Nema svaka algebarska jednacina (ili nejednacina)klasicnu geometrijsku interpretaciju; ponekad, skup tacaka kojezadovoljavaju datu jednacinu bude nekoliko geometrijskih objekata ilije, pak, prazan skup.



{T (x , y)

∣∣ d(T ,C) =√

(x − a)2 + (y − b)2 = r},

odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2


{T (x , y)

∣∣ x = y}

i{

T (x , y)∣∣ |x | = |y |}

(g) skup tacaka{

T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6

}= ∅




{T (x , y)

∣∣ d(T ,C) =√

(x − a)2 + (y − b)2 = r},

odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2


{T (x , y)

∣∣ x = y}

i{

T (x , y)∣∣ |x | = |y |}

(g) skup tacaka{

T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6

}= ∅




{T (x , y)

∣∣ d(T ,C) =√

(x − a)2 + (y − b)2 = r},

odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2


{T (x , y)

∣∣ x = y}

i{

T (x , y)∣∣ |x | = |y |}

(g) skup tacaka{

T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6

}= ∅




{T (x , y)

∣∣ d(T ,C) =√

(x − a)2 + (y − b)2 = r},

odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2


{T (x , y)

∣∣ x = y}

i{

T (x , y)∣∣ |x | = |y |}

(g) skup tacaka{

T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6

}= ∅




{T (x , y)

∣∣ d(T ,C) =√

(x − a)2 + (y − b)2 = r},

odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2


{T (x , y)

∣∣ x = y}

i{

T (x , y)∣∣ |x | = |y |}

(g) skup tacaka{

T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6

}= ∅




{T (x , y)

∣∣ d(T ,C) =√

(x − a)2 + (y − b)2 = r},

odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2


{T (x , y)

∣∣ x = y}

i{

T (x , y)∣∣ |x | = |y |}

(g) skup tacaka{

T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6

}= ∅



Pravougli koordinatni sistem u prostoru

tacka koordinataT 7−→ (x , y , z) ∈ R3

pišemo T (x , y , z)














(Euklidsko) rastojanje tacaka u prostoruRastojanje tacke T (x , y , z) od koordinatnog pocetka O(0,0,0)

d(T ,O) =√

d2 + z2 =√

x2 + y2 + z2

Rastojanje tacke A(x1, y1, z1) od tacke B(x2, y2, z2)

d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2



d(T ,O) =√

d2 + z2 =√

x2 + y2 + z2


d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2



d(T ,O) =√

d2 + z2 =√

x2 + y2 + z2


d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2



d(T ,O) =√

d2 + z2 =√

x2 + y2 + z2


d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2



d(T ,O) =√

d2 + z2 =√

x2 + y2 + z2


d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2



d(T ,O) =√

d2 + z2 =√

x2 + y2 + z2


d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2


Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni

pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)

sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)

∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}

otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)

∣∣ d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 < r}, odnosno

x2 + y2 + z2 < r2

zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)

∣∣ d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno

x2 + y2 + z2 ≤ r2

sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2

(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose





∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2







∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2







∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2







∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2







∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2







∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2







∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2







∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2







∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2







∣∣d(T ,O) =√

x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 < r2


∣∣ d(T ,O) =√


x2 + y2 + z2 ≤ r2




Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:

d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla

ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)


































Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:

d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2

Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2

√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2

a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2

0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2

a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.



d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2




d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;

d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√

(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2

=√


(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤

√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +

√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2


√(a + b)2 + (c + d)2 ≤

√a2 + c2 +

√b2 + d2 |2

a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√

(a2 + c2)(b2 + d2)

ab + cd ≤√

(a2 + c2)(b2 + d2) |2


0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2



Documents

Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski ﬁlozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio