Análisis y diseño de modelos estructurales para ensayos en m

UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

ANÁLISIS Y DISEÑO DE MODELOS ESTRUCTURALES PARA

ENSAYOS EN MESA VIBRATORIA EDUCATIVA

TRABAJO DE GRADUACIÓN PREPARADO PARA LA

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

PARA OPTAR AL GRADO DE

INGENIERO CIVIL

POR:

GERARDO ERNESTO AGUILAR MURILLO

PAOLA GERALDINE MELÉNDEZ ORELLANA

OCTUBRE 2009

ANTIGUO CUSCATLÁN, EL SALVADOR, C.A

RECTOR

JOSÉ MARÍA TOJEIRA, S.J.

SECRETARIO GENERAL

RENÉ ALBERTO ZELAYA

DECANO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

EMILIO JAVIER MORALES QUINTANILLA

COORDINADOR DE LA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

ROBERTO MAURICIO MERLOS LAÍNEZ

DIRECTOR DEL TRABAJO

ERICK BURGOS GANUZA

LECTOR

ALBA ALFARO

i

RESUMEN EJECUTIVO

El tramo en el cual se ubica El Salvador está constituido por la zona de subducción entre la

placa de Cocos y la Placa del Caribe cuyo movimiento relativo provoca sismos que afectan

los países de América Central. Esta ubicación es causante del gran número de sismos que

se aprecian cada año en el país.

A raíz de esta alta actividad sísmica surge la necesidad de entender el comportamiento

dinámico de las estructuras ante un movimiento del terreno. Es por esto que nace la idea de

realizar el “Análisis y diseño de modelos estructurales para ensayos en mesa vibratorio

educacional” cuyo fin medular es mejorar la comprensión del comportamiento dinámico de

estructuras en la materia de “Ingeniería Sísmica” de la UCA mediante la elaboración de

guías para prácticas de laboratorio que permitan poner en práctica los conocimientos

adquiridos en la materia.

Para la elaboración de este trabajo se ha procedido a analizar los parámetros que afectan el

comportamiento de las estructuras siguiendo un orden particular. Primero, se analizan los

parámetros externos a la estructuras. En este caso, si bien existen muchos parámetros

externos que inciden en el comportamiento de las estructuras tales como el viento, el

impacto, entre otros; el parámetro externo que se analiza en este trabajo es el movimiento

del terreno. En efecto, son los sismos los que afectan a las estructuras con mayor frecuencia

en El Salvador. Para efectos de este trabajo, se cuenta con el diseño de una mesa vibratoria

diseñada por estudiantes de la universidad que es capaz de general un movimiento senoidal.

Es este el movimiento que será inducido a modelos estructurales para el análisis de su

comportamiento ante una excitación dinámica en la base.

Posteriormente, se analizan los parámetros inherentes a la estructura, los cuales rigen su

comportamiento. Estos son aquellos que se derivan de la configuración propia de la

estructura (materiales y geometría), específicamente, la masa, la rigidez y el

amortiguamiento. Son básicamente estos tres parámetros y su interacción con los factores

ii

externos (movimiento de la base) los que determinan el comportamiento dinámico de las

estructuras.

Finalmente, utilizando ambos parámetros, externos e internos, se procede a analizar el

comportamiento de la estructura ante un movimiento específico del terreno. Este análisis se

realiza mediante dos métodos distintos. Por un lado, se resuelve la ecuación de movimiento

utilizando nada más que un proceso matemático analítico, es decir que se resuelve

directamente la ecuación diferencial de movimiento de modo a obtener una solución

matemática en forma de una función del tiempo. A este resultado se le denomina teórico

pues proviene únicamente de un análisis abstracto y deberá ser comparado con uno

concreto.

Por otro lado, se resuelve la ecuación diferencial de movimiento mediante un método

numérico. En el presente trabajo el método numérico utilizado fue el de Newmark. Este

método se utiliza con el fin de utilizar algoritmos para, a través de números y reglas

matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos

del mundo real como lo es el comportamiento de estructuras ante un movimiento del

terreno. Debido a que es un proceso iterativo y por lo tanto trabajoso, es necesaria la

utilización de herramientas tales como programas de computadora para su ejecución en

problemas de gran magnitud. Para el caso, se realizó un programa en Matlab que permitiera

obtener dichos resultados. El programa ejecutado es capaz de comparar los resultados

obtenidos mediante un método teórico y uno numérico; lo que permite apreciar la precisión

que se puede generar a través de dichos métodos.

Es necesaria la realización de un análisis paramétrico que permita identificar, a través del

análisis del comportamiento de diferentes modelos ante una excitación generada por la

mesa, cuáles son los modelos que mejor se adecuan a los propósitos del trabajo. Este filtro

es posible de realizar únicamente si se tienen fijos los lineamientos que permiten la

selección o rechazo de los modelos. Con el fin de proponer los modelos más apropiados,

estos lineamientos deben ser no solamente de carácter académico, sino también de carácter

económico y constructivo; pues la concepción de estos modelos no se limita únicamente a

iii

un ámbito teórico (en el papel), sino que deberán ser posteriormente construidos con fondos

de la universidad.

El diseño de estos modelos estructurales es la base para la elaboración de guías para

prácticas de laboratorio para la materia de Ingeniería Sísmica de la UCA. Prácticas que

tendrán como objetivo principal facilitar la comprensión de los fundamentos enseñados en

la materia, desde los más básicos como el cálculo de los parámetros de los modelos, hasta

los más complejos como el análisis del comportamiento de las estructuras ante una

excitación dinámica experimental generada por la mesa vibratoria.

iv

v

ÍNDICE

RESUMEN EJECUTIVO........................................................................................................i

ÍNDICE DE FIGURAS ...................................................................................................... viii

ÍNDICE DE TABLAS ......................................................................................................... xii

SIGLAS……….. ..............................................……………………………………………xv

ABREVIATURAS............................................................................................................. xvii

UNIDADES DE MEDIDA..................................................................................................xix

SIMBOLOGÍA ....................................................................................................................xxi

PRÓLOGO……................................................................................................................ xxiii

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN .........................................................................................1

1.1 Antecedentes .........................................................................................................1

1.2 Objetivos...............................................................................................................3

1.2.1 Objetivos Generales ...............................................................................3

1.2.2 Objetivos Específicos ............................................................................4

1.3 Alcances y Limitaciones .......................................................................................4

1.4 Organización del trabajo.......................................................................................5

CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO.......................................................................................7

2.1 Excitación dinámica..............................................................................................7

2.1.1 Tipos de excitación dinámica ................................................................7

2.1.2 Sismos....................................................................................................8

2.1.3 Movimiento Senoidal...........................................................................13

2.2 Modelos estructurales de edificaciones ..............................................................14

2.2.1 Tipos de estructuras .............................................................................14

2.2.2 Modelo estructural simplificado de edificios.......................................16

2.2.3 Investigaciones realizadas sobre modelos estructurales

a escala reducida. .................................................................................21

2.3 Estudio analítico de la respuesta dinámica de estructuras ..................................24

2.3.1 Sistemas de un grado de libertad (SDOF) ...........................................24

2.3.2 Sistemas de varios grados de libertad (MDOF)...................................31

CAPÍTULO 3: EVALUACIÓN DE LA EXCITACIÓN SENOIDAL DE ANÁLISIS.......39

vi

3.1 Ventajas y desventajas de una aproximación senoidal de la excitación ............ 39

3.2 Parámetros de la excitación................................................................................ 40

CAPÍTULO 4: DISEÑO DE LOS MODELOS ESTRUCTURALES................................. 43

4.1 Análisis paramétrico de modelos de un grado de libertad. ................................ 43

4.1.1 Definición del análisis paramétrico..................................................... 43

4.1.2 Resultados del análisis paramétrico de modelos de

un grado de libertad............................................................................. 48

4.2 Análisis de resultados del análisis paramétrico para modelos de

un grado de libertad. .......................................................................................... 51

4.3 Determinación definitiva de los modelos de un grado de libertad. .................... 55

4.4 Determinación definitiva de los parámetros de los modelos de

tres grados de libertad........................................................................................ 67

CAPÍTULO 5: ESTUDIO ANALÍTICO DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE

LOS MODELOS PROPUESTOS................................................................... 69

5.1 Respuesta de sistemas de un grado de libertad (SDOF)..................................... 69

5.1.1 Modelos de un grado de libertad flexibles (aluminio) ........................ 69

5.1.2 Modelos de un grado de libertad rígidos (acero)................................. 71

5.2 Respuesta de sistemas de tres grados de libertad (3DOF). ................................ 74

5.2.1 Modelo de tres grados de libertad flexible (aluminio) ........................ 75

5.2.2 Modelo de tres grados de libertad rígido (acero) ................................ 77

5.3 Resumen de resultados máximos y mínimos. ..................................... 78

CAPÍTULO 6: GUÍAS DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO ....................................... 81

6.1 Práctica de Laboratorio No. 1 ............................................................................ 81



6.4 Práctica de Laboratorio No. 4 .......................................................................... 100



CONCLUSIONES ............................................................................................................. 119

RECOMENDACIONES .................................................................................................... 121

REFERENCIAS ................................................................................................................. 123

vii

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................125

ANEXOS ANEXO A: PLANOS CONSTRUCTIVOS DE LOS MODELOS DISEÑADOS.

ANEXO B: ALGORITMOS DE PROGRAMAS EN MATLAB PARA ANÁLISIS

DINÁMICO DE ESTRUCTURAS.

viii

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1. Distribución de las Placas Tectónicas en que se divide el globo terrestre.......10

Figura 2.2. Mapa de Isosistas y Epicentros de Terremotos Históricos en El Salvador......11

Figura 2.3. Acelerograma Estación Santa Tecla Sismo del 13-01-01 en El Salvador. ......12

Figura 2.4. Parámetros que definen una curva senoidal.....................................................14

Figura 2.5. Sistemas de marco y resorte sometidos a una fuerza externa p(t). ..................17

Figura 2.6. Elemento AB sometido a un desplazamiento ∆=1 en extremo B....................18

Figura 2.7. Simplificación geométrica de estructuras de edificio a corte. .........................19

Figura 2.8. Componentes de las mesas vibratorias educacionales. ....................................23

Figura 2.9. Esquematización espacial y simplificada de sistema de un grado de libertad. 24

Figura 2.10. Respuesta de un sistema de un grado de libertad (SDOF) ante una excitación

periódica de la base..........................................................................................28

Figura 4.1. Modelo tipo I para sistemas de un grado de libertad (SDOF). ........................44

Figura 4.2. Modelo tipo II para sistemas de un grado de libertad (SDOF). .......................45

Figura 4.3. Esquema de columnas consideras para modelos tipo I y tipo II. .....................47

Figura 4.4. Gráfica de desplazamiento de la masa para Ф=1/4 plg y L=20 cm. ................59

Figura 4.5. Gráfica de desplazamiento de la masa para Ф=1/4 plg y L=25 cm..................59









Figura 4.14. Gráfica de desplazamiento de la masa para Ф=3/8 y L=25 cm........................65


Figura 4.16. Esquema de ensamblaje de modelos de un grado de libertad..........................67

Figura 4.17. Esquema de ensamblaje de modelos de tres grados de libertad. .....................68

Figura 5.1. Respuesta de modelos de un grado de libertad flexibles. ................................70

x

Figura 5.2. Aceleración de masa de modelos de un grado de libertad flexibles................ 71

Figura 5.3. Respuesta de modelos de un grado de libertad rígidos. .................................. 72

Figura 5.4. Aceleración de masa de modelos de un grado de libertad rígidos. ................. 73

Figura 5.5. Respuesta de modelo de tres grados de libertad flexible. ............................... 76

Figura 5.6. Historial de aceleraciones de cada masa del modelo de

tres grados de libertad flexible. ....................................................................... 77

Figura 5.7. Respuesta de modelo de tres grados de libertad rígido. .................................. 78

Figura 5.8. Historial de aceleraciones de cada masa del modelo de tres grados

de libertad rígido. ............................................................................................ 79

Figura 6.1. Balanza de precisión 0.1g................................................................................ 83

Figura 6.2. Balanza de resorte. .......................................................................................... 83

Figura 6.3. Base para colocar mesa vibratoria y modelos estructurales. ........................... 83

Figura 6.4. Cuerda elástica con ganchos en sus extremos ............................................... 84

Figura 6.5. Nivel de caja.................................................................................................... 84

Figura 6.6. Esquema de la longitud libre de columna. ...................................................... 84

Figura 6.7. Base para mesa vibratoria y soportes instalados en pared de laboratorio......... 85

Figura 6.8. Esquemas de los modelo de tres grados de libertad con rigideces k1, k2 y k3

correspondientes a entrepisos 1, 2 y 3 respectivamente y la medición de la

rigidez de cada entrepiso. ................................................................................ 87

Figura 6.9. Ventana de interacción de SAP para definición de unidades y

tipo de estructura. .......................................................................................... 110

Figura 6.10. Ventana de interacción de SAP para definición de las dimensiones

de la cuadrícula.............................................................................................. 110

Figura 6.11. Ventana interactiva de SAP para definir las cargas en

los nodos del modelo..................................................................................... 111

Figura 6.12. Ventana interactiva de SAP para definir el material de las columnas. ......... 112

Figura 6.13. Ventana interactiva de SAP para definir la sección transversal

de las columnas. ............................................................................................ 113

Figura 6.14. Ventana interactiva de SAP para definir las propiedades de la sección

transversal de las columnas. .......................................................................... 114

xi

Figura 6.15. Ventana interactiva de SAP para definir funciones para

analizar con el modelo. ..................................................................................114

Figura 6.16. Ventana interactiva de SAP para definir las características de

las funciones de evaluación. ..........................................................................115

Figura 6.17. Ventana interactiva de SAP para definir los casos de análisis a utilizar. ......116

Figura 6.18. Ventana interactiva de SAP para definir casos de análisis

nuevos a añadir. .............................................................................................116

Figura 6.19. Ventana interactiva de SAP para modificar los parámetros

del análisis modal...........................................................................................117

Figura 6.20. Ventana interactiva de SAP para seleccionar resultados que

se desean observar. ........................................................................................118

Figura 6.21. Ventana interactiva de SAP para seleccionar tablas. .....................................118

xii

xiii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1. Valores recomendados de fracción de amortiguamiento crítico

en estructuras. ..................................................................................................20

Tabla 3.1. Valores de los parámetros de movimiento que proporciona

la mesa vibratoria propuesta. ...........................................................................41

Tabla 4.1. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I flexible. ........................50

Tabla 4.2. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I rígido. ...........................51

Tabla 4.3. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo II flexible. .......................52

Tabla 4.4. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo II rígido...........................53

Tabla 4.5. Resumen de resultados de frecuencia angular circular máxima y

mínima de los modelos. ...................................................................................55

Tabla 4.6. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I flexible para

varillas de 1/4 de pulgada. ...............................................................................58

Tabla 4.7. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I rígido para


Tabla 4.8. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I flexible para


Tabla 4.9. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I rígido para


Tabla 5.1. Resultados de análisis de modelos de un grado de libertad flexibles ..............69

Tabla 5.2. Resultados de análisis de modelos de un grado de libertad rígidos.................73

Tabla 5.3. Coeficientes de participación y frecuencias naturales de los modos de

vibración de modelos. ......................................................................................74

Tabla 5.4. Resultados de análisis de modelo de tres grados de libertad flexible. .............75

Tabla 5.5. Resultados de análisis de modelo de tres grados de libertad rígido.................77

Tabla 5.6. Resumen de valores de amplitud y aceleración máximos en

modelos 3DOF.................................................................................................79

Tabla 6.1. Hoja para toma de datos de laboratorio de medición de propiedades

de los modelos. ................................................................................................88

xiv

Tabla 6.2. Hoja para toma de datos de las deformaciones y fuerzas en el cálculo

de las rigideces. ............................................................................................... 89

Tabla 6.3. Hoja de toma de datos de los desplazamientos y el tiempo para el cálculo de

fracción de amortiguamiento crítico. .............................................................. 93

Tabla 6.4. Hoja de toma de datos de las respuestas del modelo ante un

movimiento de la base..................................................................................... 98

Tabla 6.5. Hoja de comparación de datos de las respuestas del modelo ante un

movimiento de la base con las respuestas calculadas en Matlab. ................... 99


movimiento de la base con las respuestas calculadas en Matlab. ................. 103

Tabla 6.7. Hoja de comparación de frecuencia y amplitud del modelo ante un

movimiento de la base con las calculadas en Matlab.................................... 107


movimiento de la base con las respuestas calculadas en Matlab. ................. 108

xv

SIGLAS

CISMID: Centro Peruano Japonés de Investigaciones Sísmicas y Mitigación de

Desastres.

EE.UU.: Estados Unidos

MDOF: Multi Degree of Freedom (Varios Grados de Libertad)

NTDS: Norma Técnica para Diseño por Sismo de El Salvador.

NEES: National Network for Earthquake Engineering Simulation (Red Nacional

para Simulaciones de Ingeniería Sísmica)

RESESCO: Reglamento para la Seguridad Estructural de las Construcciones.

SDOF: Single Degree of Freedom (Un Grado de Libertad)

3DOF: 3 Degrees of Freedom (3 Grados de Libertad)

SNET: Servicio Nacional de Estudios Territoriales.

UCIST: University Consortium on Instructional Shake Tables (Consorcio

Universitario de Mesas Vibratorias Educacionales).

xvi

xvii

ABREVIATURAS

Ec.: Ecuación.

Fig.: Figura.

p.: Página.

xviii

xix

UNIDADES DE MEDIDA

cm: Centímetro.

g: Gramo.

Hz: Hertzio.

kg: Kilogramo.

kg/cm2: Kilogramo por centímetro cuadrado.

m: Metro.

N: Newton.

plg: Pulgada.

rad/s: Radian por segundo.

s: Segundo.

xx

xxi

SIMBOLOGÍA

A: Amplitud de movimiento de la estructura en un tiempo determinado.

A0: Amplitud del movimiento de la base.

C: Matriz de amortiguamiento.

c: Coeficiente de amortiguamiento.

cos(t): Función cosenoidal del tiempo.

cr: Amortiguamiento crítico.

E: Coeficiente de elasticidad.

Eab: Coeficiente de elasticidad del elemento ab.

et: Función exponencial del tiempo.

f: Frecuencia natural de vibración.

I: Inercia.

Iab: Inercia del elemento ab.

K: Matriz de rigidez.

k: Coeficiente de rigidez.

Kij: Coeficiente de rigidez que ocupa el lugar i, j de una matriz de rigideces K.

L: Longitud.

Lab: Longitud del elemento ab.

M: Matriz de masas.

m: Masa.

Mab: Momento flector del elemento ab.

MEab: Momento de empotramiento del elemento ab en extremo a.

P(t): Fuerza dinámica externa función del tiempo.

pi: Coeficiente de participación modal del modo i.

s(t): Movimiento de la base función del tiempo.

sen(t): Función senoidal del tiempo .

T: Período natural de vibración de la estructura.

Ta: Período amortiguado de vibración.

t: Tiempo.

U(t): Vector de desplazamientos relativos.

xxii

(t)U& : Vector de velocidades relativas.

(t)U&& : Vector de aceleraciones relativas.

(t)ui : Desplazamiento relativo de la masa i función del tiempo.

(t)ui& : Velocidad relativa de la masa i función del tiempo.

(t)ui&& : Aceleración relativa de la masa i función del tiempo.

x(t) : Desplazamiento función del tiempo.

(t)x& : Velocidad función del tiempo.

(t)x&& : Aceleración función del tiempo.

∆: Deriva de posición.

∆t: Intervalo de tiempo.

θa: Giro del elemento en extremo i.

θb: Giro del elemento en extremo j.

ξ: Fracción de amortiguamiento crítico.

π: Número Pi.

ψab: Desviación angular del elemento ij.

ω: Frecuencia circular natural.

ωa: Frecuencia angular amortiguada.

xxiii

PRÓLOGO

El trabajo se desarrolló siguiendo un orden lógico de ideas; en el cual, primeramente, se

presentan y se definen las características del movimiento de una base (suelo y en este caso

específicamente mesa vibratoria). Luego, se presentan y analizan los parámetros de

modelos estructurales (partiendo de una caso general a un caso específico como los son los

modelos que se pretende diseñar); y, finalmente, se realiza el estudio analítico del

comportamiento de estos últimos ante la excitación de la base.

Considerando este esquema, se inició el trabajo con un marco teórico (Capítulo 1) con el

fin de ubicar al lector dentro del contexto y permitirle adquirir el ángulo a partir del cual se

realizará el trabajo. En este capítulo se presentan las bases necesarias para la comprensión

de la ejecución del trabajo.

Posteriormente, en el Capítulo 2, se introducen de manera general las características del

movimiento de la base que la mesa vibratoria educacional ya diseñada por alumnos de la

UCA podrá generar. Además, se explica cómo este movimiento será definido para su

utilización en el estudio analítico del comportamiento de los modelos a diseñar.

En el Capítulo 3 se definirá el diseño de los modelos. Para ello se procederá a realizar un

estudio paramétrico de los modelos propuestos con el fin de obtener un diseño óptimo de

los mismos para efectos educacionales (ensayos de laboratorio). Para ello, será necesaria la

ejecución de dos programas (uno para sistemas de un grado de libertad y uno para sistemas

de tres grados de libertad) que permitirán obtener la solución del movimiento de modelos

de un grado de libertad y de modelos de tres grados de libertad ante una excitación

armónica y periódica de la base (movimiento senoidal). Dichos programas deberán generar

las respuestas del movimiento de las masas teórica (solución matemática directa de la

ecuación diferencial de movimiento) y numérica (método numérico iterativo de Newmark);

de modo que se puedan comparar dichas soluciones. Al final de este capítulo, mediante el

análisis de los resultados obtenidos, se procederá a proponer un diseño definitivo de los

xxiv

modelos que se utilizarán en las prácticas de laboratorio de Ingeniería Sísmica que se

propondrán posteriormente.

A continuación, en el Capítulo 4, se procederá a presentar los resultados que se obtendrán

mediante los programas al introducir las características específicas de cada uno de los

modelos diseñados en el Capítulo 3 ante una excitación de la base.

En el Capítulo 5, se propondrán las prácticas de laboratorio para la materia de Ingeniería

Sísmica que se consideren pertinentes y funcionales para alcanzar el objetivo principal del

trabajo. Esto es, mejorar el entendimiento del comportamiento de estructuras ante un

movimiento de la base.

Finalmente, en el Capítulo 6, se procederá a exponer las conclusiones que se han podido

realizar a lo largo de la ejecución del trabajo; al igual que algunas recomendaciones se

estipulen eficaces para mejorar la ejecución de las prácticas de laboratorio.

1

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN

1.1 Antecedentes

El desarrollo industrial, urbanístico y tecnológico de la humanidad permanece en constante

crecimiento. Un testigo de dicho crecimiento es la identificación de grandes y complejas

estructuras construidas por el hombre. Dichas estructuras se ven sometidas a toda clase de

solicitaciones dinámicas tales como cargas vivas, viento, sismos y, recientemente, impacto;

razón por la cual es fundamental conocer a detalle cada una de estas para proporcionar

estructuras estables y seguras que no comprometan el desarrollo humano. Sin embargo

hasta la fecha, son los sismos las excitaciones dinámicas que las afectan con mayor fuerza

en El Salvador.

A través de los años y las múltiples experiencias de sismo vividas por el hombre, este se ha

visto en la necesidad de ir calibrando y mejorando las técnicas de diseño sismo resistente.

Un paso muy importante en el desarrollo y comprensión de estos mecanismos fue la

creación de la teoría de placas. Estas investigaciones revelaron muchos detalles sobre las

dorsales. Igualmente, se logró ubicar los epicentros de los sismos con mayor confiabilidad

y se observó que muchos coincidieron con las dorsales meso-oceánicas, indicando que eran

zonas de inestabilidad. Además, se identificó que la costa pacífica de América Central y

América del Sur es zona de terremotos a profundidades muy superiores al espesor de la

litosfera. En estas zonas, secciones del suelo oceánico se sumergen por debajo del

continente, en un proceso que se conoce como subducción. La teoría de placas revela que

hay distintas formas de interacción entre estas dependiendo del tipo de corteza en sus

límites y su movimiento relativo. Las interacciones son básicamente cinco: extensión en los

dorsales meso-oceánicos, choque de frente de placas (puede ocurrir subducción cuando una

placa desciende debajo de la otra), choque de una placa continental con una oceánica

(acreción), falla de transformación o falla transformante (cuando dos placas se mueven

paralelamente con rozamiento en la falla) y, finalmente, colisión entre dos placas

continentales. [Bommer, 1996: p. 16-57]

2

La ubicación de la mayoría de los terremotos está estrechamente relacionada con las placas

tectónicas y su interacción. Por tanto la mayoría de los terremotos son llamados tectónicos

cuando son provocados por los inmensos esfuerzos originados por el movimiento y la

interacción de las placas.

En zonas con una actividad sísmica tan pronunciada como lo es la costa del Pacífico de

América Central y América del Sur, es indispensable elaborar normas de diseño de

estructuras por sismo. Para ello, se debe comenzar con un estudio analítico del

comportamiento de estructuras ante dicha solicitación. Con el fin de facilitar este proceso,

se procede a realizar una simplificación de los modelos estructurales, procedimiento que

lleva a la determinación de la respuesta o del comportamiento del sistema estructural ante la

solicitación externa (movimiento del terreno). Para escoger una idealización de la estructura

se selecciona un modelo teórico y analítico factible de ser analizado con los procedimientos

de cálculo disponibles; para ello, se deben tomar en consideración los siguientes aspectos:

a) Geometría. Esquema que representa las principales características geométricas de la

estructura.

b) Condiciones de continuidad en las fronteras. Debe establecerse como cada elemento

está conectado a sus adyacentes y cuáles son las condiciones de apoyo de la estructura.

c) Comportamiento de los materiales. Debe suponerse una relación acción-respuesta o

esfuerzo-deformación del material que compone la estructura.

d) Acciones impuestas. Las acciones que afectan la estructura para una condición dada de

funcionamiento se representan por fuerzas o deformaciones impuestas.

Los resultados de los estudios analíticos y empíricos realizados por expertos en la materia

han permitido desarrollar metodologías simplificadas que permiten estudiar el

comportamiento dinámico e idealizar las edificaciones como edificios a corte de n grados

de libertad cuya masa se concentra a nivel de piso, los elementos horizontales tales como

3

vigas y losas son considerados rígidos y únicamente los elementos verticales, es decir las

columnas, aportan rigidez al sistema los cuales resisten las fuerzas inducidas por los

sismos.

Con el propósito de proporcionar un diseño estructural adecuado para cada zona sísmica es

necesario determinar la respuesta de los modelos ante las solicitaciones dinámicas

aplicadas. Las fuerzas sísmicas se pueden calcular mediante la relación entre el peso de la

edificación y la aceleración generada por la vibración del sismo. Partiendo de estos datos,

se han definido unas curvas llamadas espectros de diseño, las cuales recogen el conjunto de

los máximos valores de aceleración que pueden afectar diferentes edificaciones de acuerdo

a sus características dinámicas. Un espectro de diseño, entonces, es la herramienta, que

permite diseñar las estructuras, teniendo en cuenta la actividad sísmica de la región, las

condiciones locales de la respuesta del suelo, y las características de la estructura (período

de vibración).

Es por medio de la conjunción de esta información (caracterización de la excitación,

características de la estructura y análisis de la respuesta ante la solicitación) que se procede

a comprender de manera integral el efecto de los sismos en las edificaciones y, por lo tanto,

a mejorar y adecuar las normas de diseño de estructuras por sismo con el fin de minimizar

cada vez más el riesgo sísmico.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivos Generales

Los objetivos generales del trabajo son primordialmente elaborar y proveer a la

Universidad y al Departamento de Mecánica Estructural de un medio que permita mejorar

la comprensión de los conceptos enseñados en la materia Ingeniería Sísmica mediante

métodos prácticos.

rosalis

Resaltado

4

1.2.2 Objetivos Específicos

Los objetivos específicos del trabajo son los siguientes:

1. Caracterización de la excitación dinámica senoidal: Determinación de la amplitud,

frecuencia y período.

2. Determinación de los parámetros fundamentales que rigen el comportamiento de los

modelos estructurales simplificados (rigidez, amortiguamiento y masa).

3. Determinación analítica del comportamiento dinámico de los modelos simplificados

ante la excitación senoidal caracterizada por su frecuencia, amplitud y período.

4. Diseño de modelos de estructuras simplificadas a corte para ensayos de laboratorio.

(modelos que deberán ser posteriormente construidos y ensayados en la Universidad).

5. Elaboración de guías de prácticas de laboratorio que permitan dirigir la cátedra práctica

de la materia Ingeniería Sísmica.

1.3 Alcances y Limitaciones

El trabajo abarcará, en primer lugar, la caracterización de la excitación dinámica en base a

la cual se estudiará el comportamiento de los modelos estructurales que se pretenden

elaborar. Dicha excitación será senoidal y estará identificada por su amplitud y su

frecuencia.

En segundo lugar, se determinarán los parámetros necesarios para un pre-diseño de

modelos estructurales simplificados, estos son: rigidez, amortiguamiento y masa. Además,

se realizará un estudio analítico del comportamiento de los mismos y de su respuesta

mediante el uso de métodos informáticos.

5

Finalmente, se elaborará el diseño definitivo de los cuatro que mejor se adecuen a las

necesidades del caso; al igual que las guías para prácticas de laboratorio de Ingeniería

Sísmica.

1.4 Organización del trabajo

El siguiente trabajo está estructurado de la siguiente manera: primero se presentan y se

definen las características del movimiento de la base de los modelos constituida por la

plataforma de la mesa vibratoria. Luego, se presentan y analizan los parámetros de modelos

estructurales; y, finalmente, se realiza el estudio analítico del comportamiento de estos

últimos ante la excitación de la base.

Considerando este esquema, se inició el trabajo con un marco teórico (Capítulo 2) con el

fin de ubicar al lector dentro del contexto y permitirle comprender el ángulo a partir del

cual se realizará el trabajo. En este capítulo se presentan las bases necesarias para la

comprensión de la ejecución del trabajo.

Posteriormente, en el Capítulo 3, se introducen de manera general las características del

movimiento de la base que la mesa vibratoria educacional, diseñada por alumnos de la

UCA, podrá generar. Además, se explica cómo este movimiento será definido para su

utilización en el estudio analítico del comportamiento de los modelos a diseñar.

En el Capítulo 4 se realiza un estudio paramétrico de los modelos propuestos con el fin de

obtener un diseño óptimo de los mismos para efectos educacionales (ensayos de

laboratorio). Para ello, fue necesaria la elaboración de dos programas (uno para sistemas de

un grado de libertad y uno para sistemas de tres grados de libertad) que permiten obtener la

respuesta de los modelos ante una excitación armónica de la base (movimiento senoidal).

Dichos programas calculan los desplazamientos de las masas de dos maneras distintas: una

resolviendo las ecuaciones diferenciales de movimiento y otra utilizando el método

numérico de Newmark; de modo que se puedan comparar ambas soluciones. Al final de

este capítulo, mediante el análisis de los resultados obtenidos, se procede a proponer un

6

diseño definitivo de los modelos que se utilizarán en las prácticas de laboratorio de la

materia Ingeniería Sísmica.

A continuación, en el Capítulo 5, se presenta el análisis dinámico de los modelos diseñados

en el Capítulo 4 ante una excitación senoidal de la base. En el Capítulo 6, se proponen

prácticas de laboratorio para la materia de Ingeniería Sísmica. Finalmente, en el Capítulo 7

se enumeran las conclusiones del presente trabajo al igual que las recomendaciones que se

consideraron para mejorar la ejecución de las prácticas de laboratorio.

7

CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO

2.1 Excitación dinámica

Las edificaciones o estructuras diseñadas y construidas por el hombre deben incluir en el

proceso de diseño la aplicación de dos tipos de solicitaciones; estas son cargas estáticas

(muertas) y cargas dinámicas (vivas y accidentales). En el caso de este trabajo, son las

cargas dinámicas las que tienen mayor relevancia pues son las que permitirán realizar el

análisis dinámico de los modelos.

2.1.1 Tipos de excitación dinámica

Los diferentes tipos de solicitaciones de carácter dinámico que pueden afectar a una

estructura son las siguientes:

• Cargas vivas

Son aquellas debidas al uso u ocupación de la estructura, por lo cual se les denomina

también como cargas de ocupación. Estas incluyen el peso de personas, objetos móviles o

divisiones que puedan cambiar de sitio. Generalmente actúan durante períodos cortos de la

vida de la estructura y pueden ser concentradas en un punto o distribuidas. [Universidad

Nacional de Colombia, http://www.virtual.unal.edu.co, Abril 2009]

• Cargas de viento

La carga de viento es una carga muy importante en el diseño de estructuras altas, muy

flexibles (como los puentes colgantes) o de gran superficie lateral (como las bodegas o

grandes cubiertas). Los factores que influyen en la magnitud de esta carga son: la velocidad

del viento, su variación con la altura, la magnitud de las ráfagas, las condiciones locales de

la superficie del terreno circunvecino, la forma de la superficie expuesta al viento y la zona

o región. Estas cargas perjudican principalmente a estructuras muy flexibles como los

cables de transmisión o los puentes colgantes en los cuales se pueden inducir fuerzas

periódicas causando hasta la falla. Es el caso de la falla del Puente de Tacoma (USA), en

1940, que con un viento suave entró en resonancia, produciéndose su colapso, lo cual

8

“afortunadamente” sirvió para impulsar el estudio del fenómeno y definió un nuevo rumbo

en el diseño de puentes colgantes y en la consideración del efecto dinámico del viento

como carga o acción estructural. [Universidad Nacional de Colombia,

http://www.virtual.unal.edu.co, Abril 2009]

En El Salvador esta solicitación no es usualmente la más influyente en el diseño de

estructuras pues, por una parte, no se suelen presenciar grandes ventiscas o huracanes en el

país y, por otra parte, la construcción en altura es un ámbito que está comenzando a

florecer. No obstante, cabe mencionar que este parámetro sí es considerado en el diseño de

naves industriales las cuales suelen tener muros y techos de gran superficie y altura.

• Cargas de impacto

Las cargas de impacto son aquellas en las cuales la dirección del movimiento es coincidente

con la dirección en que se produce la carga. Se caracterizan por un tiempo de aplicación

muy breve (instantánea). Algunos ejemplos son: choque de un vehículo, público saltando

sobre gradas en estadios deportivos y acción de frenado (sobre puentes).

• Cargas por sismos

Las cargas sísmicas son cargas inerciales causadas por movimientos sísmicos, estas pueden

ser calculadas teniendo en cuenta las características dinámicas del terreno, de la estructura

(amortiguamiento, masa y rigidez) y las aceleraciones esperadas. Estas cargas dinámicas

por sismo pueden ser aproximadas a cargas estáticas equivalentes aplicadas a cada una de

las masas de la estructura. [Chopra, 2000 p.23]

Las cargas por sismo son las de mayor relevancia en el diseño de estructuras en El

Salvador, es por esto que se presenta a continuación una introducción general al

comportamiento de los sismos.

2.1.2 Sismos

Los sismos son la excitación dinámica que afecta con mayor frecuencia las estructuras en

El Salvador. Únicamente en el año 2001 en un margen de un mes se experimentaron dos

9

terremotos de magnitud considerable y una cantidad considerable de réplicas de diferentes

magnitudes según la escala de Richter. Es por esto que su estudio y el análisis de sus

efectos en las estructuras son de gran importancia. Para entender dicho comportamiento es

necesario conocer sus causas y las características del movimiento que estos provocan en el

terreno. A continuación se profundiza en ambos temas.

• Causas de los sismos

“Los sismos, terremotos o temblores de tierra, son vibraciones de la corteza terrestre,

generadas por distintos fenómenos como la actividad volcánica, las explosiones, el colapso

de techos de cavernas, movimiento de placas, etcétera.” [Newmark y Rosenblueth, 1976:

p.241] No obstante, los sismos más severos y los más importantes desde el punto de vista

de la ingeniería son de origen tectónico, es decir, los asociados con deformaciones o

desplazamientos bruscos de las grandes placas en que está subdividida la corteza terrestre.

Las presiones que se generan en la corteza por los flujos de magma desde el interior de la

tierra llegan a vencer la fricción que mantiene en contacto los bordes de las placas y

producen caídas de esfuerzos y liberación de enormes cantidades de energía almacenada en

la roca. La energía se libera principalmente en forma de ondas vibratorias que se propagan

a grandes distancias a través de la roca de la corteza terrestre. Esta energía liberada durante

un sismo se genera por el deslizamiento de cierta área de contacto entre placas. Se

identifica un punto, generalmente subterráneo, que se denomina foco o hipocentro, donde

se considera que inicia el movimiento; a su proyección sobre la superficie de la tierra se le

llama epicentro. Aunque prácticamente toda la corteza terrestre está afectada por las fallas

geológicas, se ha observado que la actividad sísmica se concentra en algunas zonas donde

los movimientos a lo largo de estas fallas son particularmente severos y frecuentes. [Bazán

y Meli, 2001: p. 15]

La zona donde se libera la mayor parte de la energía sísmica es un gran arco, conocido

como Cinturón Circumpacífico, un tramo del cual está constituido por la zona de

subducción entre la placa de Cocos y la Placa del Caribe cuyo movimiento relativo provoca

sismos que afectan a nuestro país. [Figura 2.1].

10

La Figura 2.2 muestra con mayor detalle los epicentros de algunos sismos registrados en El

Salvador durante el período del año 1917 al año 2001 cuyas magnitudes oscilaron entre 5.4

y 7.0 en la escala de Richter.

Figura 2.1. Distribución de las Placas Tectónicas en que se divide el globo terrestre.

[Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, http://www.smis.org.mx/, Abril 2009]

• Movimientos sísmicos del terreno

La energía liberada por un sismo se propaga desde la zona de ruptura, mediante diversos

tipos de ondas que hacen vibrar la corteza terrestre. Se identifican ondas de cuerpo que

viajan a grandes distancias a través de la roca y ondas superficiales, denominadas ondas L,

que se deben a reflexiones y refracciones de las ondas de cuerpo, cuando estas llegan a la

superficie o a la interfase entre estratos. Las ondas de cuerpo se dividen en ondas P,

también llamadas principales o de dilatación, y en ondas S, secundarias o de cortante. En

las ondas P las partículas de la corteza experimentan un movimiento paralelo a la dirección

de la propagación, mientras que en las ondas S las partículas se mueven transversalmente a

la dirección de propagación. Las ondas de cuerpo se propagan a grandes distancias y su

11

amplitud se atenúa poco a poco. La velocidad de propagación de las ondas P es mayor que

la de las S. Las ondas S producen un movimiento del terreno más intenso y de

características más dañinas para las edificaciones que las ondas P. Por la complejidad de los

mecanismos de la ruptura y por la irregularidad de las formaciones geológicas por las que

viajan las ondas y por las múltiples refracciones y reflexiones que sufren durante su

recorrido, el movimiento del terreno de un sitio dado es muy complejo e irregular. [Bazán y

Meli, 2001: p. 18]

Figura 2.2. Mapa de Isosistas y Epicentros de Terremotos Históricos en El Salvador.

[Servicio Nacional de Estudios Territoriales de El Salvador, http://www.snet.gob.sv/ , Abril 2009]

• Registros sísmicos

Entre los aparatos para medir los sismos se encuentran los sismógrafos, que se usan

principalmente para determinar los epicentros y mecanismos focales. Para fines de

ingeniería los más importantes son los acelerógrafos que proporcionan la variación de

aceleraciones con el tiempo en el lugar donde están colocados. Estos aparatos colocados en

edificios permiten determinar la respuesta de éstos a la acción sísmica. [Bazán y Meli,

2001: p. 21] Los principales parámetros que definen el movimiento sísmico son su

aceleración, el período, la frecuencia de oscilación y la amplitud del movimiento en un

12

punto determinado. La Figura 2.3 muestra el acelerograma de la componente norte-sur del

sismo del terremoto del 13 de enero de 2001 registrado por una estación de la SNET

ubicada en Santa. En efecto, el acelerograma presenta una curva que refleja claramente el

vaivén que provoca el sismo en el terreno.

-800.00

-700.00

-600.00

-500.00

-400.00

-300.00

-200.00

-100.00

0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

900.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(cm

/s/s

)

Figura 2.3. Acelerograma Estación Santa Tecla Sismo del 13-01-01 en El Salvador.

• Efectos de los sismos en edificios

El movimiento sísmico del suelo se transmite a los edificios que se apoyan sobre éste. La

base del edificio tiende a seguir el movimiento del suelo, mientras que, por inercia, la masa

del edificio se opone a ser desplazada dinámicamente y a seguir el movimiento de su base.

Son estas fuerzas de inercia las que ponen en riesgo la seguridad de la estructura. Debido a

la irregularidad del movimiento del suelo y por la complejidad de los sistemas constituidos

por las edificaciones, el análisis dinámico de las estructuras requiere de grandes

simplificaciones. La flexibilidad de la estructura ante el efecto de las fuerzas de inercia

hace que ésta vibre de forma distinta a la del suelo. Las fuerzas que se inducen en la

estructura no son función solamente de la intensidad del movimiento del suelo, sino

13

dependen en forma preponderante de las propiedades de la estructura. Los movimientos del

suelo son amplificados en forma importante por la vibración de la estructura, de manera

que las aceleraciones que se presentan en la misma llegan a ser varias veces superiores a las

del terreno. El grado de amplificación depende del amortiguamiento propio de la

edificación y de la relación entre el periodo de la estructura y el periodo dominante del

suelo. De esta forma, cuando los movimientos del suelo son bruscos con predominio de

ondas de periodo corto, resultan más afectadas las construcciones rígidas y pesadas.

Cuando el movimiento del terreno es lento, con periodos dominantes largos, es en las

estructuras altas y flexibles donde se amplifican las vibraciones y se generan aceleraciones

más elevadas y por ende fuerzas de inercia mayores.

2.1.3 Movimiento Senoidal

El movimiento senoidal es una excitación periódica armónica que para efectos educativos

permitirá simular el movimiento de vaivén que generan los sismos al terreno y a las

estructuras. Dicho movimiento es representado por una función x, desplazamiento o

amplitud, dependiente del tiempo, t, y está caracterizado por su frecuencia.

La amplitud, denotada A, es la magnitud máxima del desplazamiento respecto a la posición

de equilibrio tal como se observa en la Figura 2.4. Una vibración completa, o ciclo, es el

viaje que empieza en una posición A1 en t1 y llega a una posición A2 en t2, pasando por la

posición de equilibrio. El período, T, es el tiempo que tarda un ciclo (T=t2- t1), y es siempre

positivo. La unidad del período en el sistema internacional SI es el segundo [Figura 2.4].

La frecuencia, f, es el número de ciclos en la unidad de tiempo, y también siempre positiva.

La unidad de la frecuencia en el sistema internacional SI es el Hertzio (1 Hertzio = 1 Hz = 1

ciclo/s = 1 s-1).

La frecuencia angular o circular, ω, es 2π veces la frecuencia, sus unidades son rad/s:

fπω 2= (Ec. 1.1)

14

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.5 1.5 3.5 5.5 7.5 9.5 11.5 13.5 15.5

Tiempo,t (s)

Am

plit

ud, A

t1 t2

A1 A2T

Figura 2.4. Parámetros que definen una curva senoidal.

Por las definiciones de período T y frecuencia f, es evidente que uno es el recíproco del

otro:

Tf

1= ,

fT

1=

(Ec. 1.2)

También, por la definición de ω,

Tf

ππω

22 ==

(Ec. 1.3)

2.2 Modelos estructurales de edificaciones

2.2.1 Tipos de estructuras

Existen diferentes tipos de estructuras entre los cuales se pueden mencionar los puentes, las

carreteras, los edificios, entre otros. Sin embargo, para efectos del presente trabajo el tipo

de estructura que es de interés son los edificios. A continuación se presenta una breve

descripción de dicho tipo de estructura.

15

• Edificios

Los edificios son construcciones con materiales resistentes para albergar a personas,

animales, cosas o actividades. Debido al crecimiento poblacional, los terrenos han ido

siendo cada vez más escasos, aumentando el costo de las edificaciones y disminuyendo la

facilidad de su adquisición, es por esto que en muchos países se ha recurrido a la

construcción en altura, ya sea de edificios de apartamentos, centros comerciales, oficinas,

entre otros.

Existen varios tipos de sistemas estructurales con los cuales se construyen estos edificios,

dentro de los cuales se pueden mencionar los siguientes:

- Sistemas de estructuras formados por marcos arriostrados, los cuales resisten

primordialmente por acción flexionante de sus miembros, la totalidad de las cargas

gravitacionales y laterales.

- Sistemas de estructuras formado por marcos no arriostrados que soportan

esencialmente las cargas gravitacionales y por paredes enmarcadas o marcos

arriostrados que resisten la totalidad de las cargas laterales.

- Sistemas de estructuras formados por marcos no arriostrados y por paredes

enmarcadas o marcos arriostrados. Todos los componentes de las estructura resisten

la totalidad de las cargas verticales y horizontales.

- Sistemas de estructuras en las cuales la resistencia a cargas gravitacionales es

proporcionada esencialmente por paredes o marcos arriostrados que resisten

también la totalidad de las cargas laterales.

- Sistemas de estructuras cuyos elementos resistentes a cargas laterales en la

dirección el análisis, sean aislados o deban considerarse como tal.

En el diseño de edificios deben tomarse en cuentas las cargas estacionarias y las cargas

dinámicas.

Los edificios son las estructuras que debido a su cantidad, vulnerabilidad y ubicación

generan el mayor riesgo sísmico. En efecto, su colapso durante un terremoto ocasiona las

mayores pérdidas humanas. Es por esto que el análisis de su comportamiento durante un

16

evento sísmico es fundamental para mejorar las normas de diseño y los métodos de

construcción.

2.2.2 Modelo estructural simplificado de edificios

Los reglamentos modernos de diseño sísmico, entre ellos la Norma Técnica para Diseño

por Sismo (NTDS) y el Reglamento para la Seguridad Estructural de las Construcciones

(RESESCO), aceptan que el análisis estructural ante cargas sísmicas puede efectuarse

considerando que las estructuras tienen comportamiento elástico lineal. Aunque se

reconoce que durante temblores fuertes los edificios pueden incursionar en comportamiento

inelástico, esta consideración es aceptada con el fin de simplificar los cálculos y obtener

respuestas bastante aproximadas a la realidad.

Aceptando la hipótesis de comportamiento elástico lineal, se puede considerar que los

métodos matriciales son exactos para el análisis de marcos y otros sistemas estructurales.

Estos procedimientos se han desarrollado extensamente en décadas recientes y en su forma

más general constituyen el método de elementos finitos. Para estructuras de edificios es

adecuado, en la gran mayoría de casos, usar el método de rigideces para marcos, el cual se

puede extender fácilmente para incluir sistemas con muros y diagonales.

Considérense el marco y el resorte de la Figura 2.5 que son estructuras formadas por

elementos elásticos conectados en ciertos puntos llamados nudos. Se denomina grado de

libertad a la posibilidad que tiene un nudo de moverse en forma independiente, en cierta

dirección.

En el caso del resorte, el único grado de libertad es el desplazamiento horizontal, u, de su

extremo libre. En marcos los grados de libertad son los giros o desplazamientos de los

nudos. El nombre desplazamientos generalizados engloba a desplazamientos lineales y

giros; congruentemente, las fuerzas y momentos aplicados en los nudos en las direcciones

de los grados de libertad se denominan fuerzas generalizadas. Los vectores u y p de

desplazamientos y fuerzas generalizadas, respectivamente, están formados por los

conjuntos ordenados de los correspondientes valores para todos los grados de libertad.

17

(a) Sistema de masa-columnas-amortiguamiento (b) Sistema de masa-resorte-amortiguamiento.

Figura 2.5. Sistemas de marco y resorte sometidos a una fuerza externa p(t).

[Chopra, 2000:p.14 y p.18]

Estos sistemas se caracterizan por sus parámetros de rigidez, amortiguamiento y masa; los

cuales generalmente se presentan de forma matricial.

Por definición, el coeficiente de rigidez Kij, que ocupa el lugar i, j de una matriz de

rigideces K, es la fuerza o momento que se necesita aplicar a la estructura en la dirección

del grado de libertad i para que se produzca un desplazamiento unitario en la dirección del

grado de libertad j. El conjunto ordenado de los valores Kij constituye la matriz de rigideces

que es cuadrada, de tamaño igual al número de grados de libertad. De acuerdo con el

teorema de reciprocidad de Betti-Maxwell, Kij=Kji y, por tanto, las matrices de rigideces

son simétricas. En vista de que en estructuras lineales se aplica el principio de

superposición, se puede escribir:

puK =. (Ec. 1.4)

En el caso que compete a este trabajo, debido a que se abordará el estudio analítico del

comportamiento de edificios a corte ante una excitación dinámica, se debe recordar que los

únicos elementos que trabajarán a flexión serán los elementos verticales (columnas o

paredes); por lo tanto, se centrará únicamente en el cálculo de rigideces de columnas.

18

Considérese el elemento de la Figura 2.6:

Figura 2.6. Elemento AB sometido a un desplazamiento ∆=1 en extremo B.

Se tiene:

ababba

ab

abab

ab MEL

IEM +−+= )32(*

2ψθθ

(Ec. 1.5)

Donde abM Momento flector de elemento AB.

abME Momento de empotramiento del elemento en extremo A.

abE Módulo de elasticidad del material del elemento AB.

abI Momento de inercia centroidal con respecto al eje de flexión.

abL Longitud del elemento AB.

aθ Giro en el extremo A.

bθ Giro en el extremo B.

abψ Desviación angular del elemento AB.

En el caso de estudio se consideran columnas empotradas en ambos extremos por lo cual se

tiene 0=aθ , 0=bθ , abab L∆=ψ y 0=abME ; la Ec. 1.5 se simplifica como lo muestra la

Ec. 1.6.

19

abab

abab

abLL

IEM

∆=

6

(Ec. 1.6)

Considerando la Ec. 1.4 y que 1=∆=u se puede determinar finalmente la rigidez del

elemento como sigue:

3

12

1ij

ijij

L

IEppk ==

∆=

(Ec. 1.7)

Siendo p la fuerza que ocasiona el desplazamiento ∆ y el momento Mab.

De este modo se obtiene la rigidez de uno de los elementos verticales de la estructura. La

rigidez de cada entrepiso de la estructura corresponde a la suma de las rigideces de las

columnas que soporta el piso superior. En la Figura 2.7 se muestra la simplificación

geométrica y matemática que se hace de una estructura de marcos.

(a) Modelo tridimensional (b) Modelo simplificado

Figura 2.7. Simplificación geométrica de estructuras de edificio a corte.

20

Estas edificaciones constan de un sistema de amortiguamiento inherente a las

características de la estructura que reduce la amplitud de la vibración. La disipación de

energía es indispensable para asegurar un mejor comportamiento frente a sismos, esto con

la finalidad de reducir las perdidas de vidas humanas y materiales. Los requerimientos de

diseño convencionales requieren que la estructura resista los sismos a través de la

combinación de fuerza, deformación y absorción de energía. Si no existiera

amortiguamiento las vibraciones podrían existir infinitamente. A continuación se presenta

una tabla con valores recomendados de fracción de amortiguamiento en estructuras según

su tipo y nivel de esfuerzo:

Tabla 2.1. Valores recomendados de fracción de amortiguamiento crítico en estructuras.

[Chopra, 2000: p. 416]

Nivel de esfuerzo Tipo y condición de la

estructura Fracción de

amortiguamiento (%)

Acero soldado, concreto preesforzado, concreto reforzado con grietas

despreciables

2 a 3

Concreto reforzado con grietas considerables

3 a 5 Esfuerzo no más de 1/2 esfuerzo de fluencia

Acero empernado y/o remachado, estructuras de

madera con juntas clavados o empernadas

5 a 7

Acero soldado, concreto preesforzado (sin pérdida completa del preesfuerzo)

5 a 7

Concreto preesforzado con pérdida completa de del

preesfuerzo 7 a 10

Concreto reforzado 7 a 10

Acero empernado y/o remachado, estructuras de

madera con juntas empernadas

10 a 15

Esfuerzo de fluencia o justo bajo esfuerzo de

fluencia

Estructuras de madera con juntas clavadas

15 a 20

21

En el tipo de estructuras que se muestran en la Figura 2.7, la masa del sistema corresponde

a la masa colocada en cada nivel, la cual se considera concentrada en ese punto (nudo). De

aquí en adelante, se referirá a la masa del nivel n como mn, y será medida en kg con el fin

de conservar las unidades de medida del SI. La matriz de masas del sistema se denomina M

y es estrictamente diagonal.

2.2.3 Investigaciones realizadas sobre modelos estructurales a escala reducida.

Es debido a las distintas catástrofes que han ocurrido en muchos países a raíz de los sismos

que se han ido desarrollando programas e instituciones encargadas de la investigación del

comportamiento de las estructuras sismorresistentes. Dentro de las instituciones que

investigan el comportamiento de las estructuras simplificadas ante movimientos de la base

se encuentra el University Consortium on Instructional Shake Tables (UCIST, Consorcio

Universitario de Mesas Vibratorias Educacionales) en asociación con la National Network

for Earthquake Engineering Simulation (NEES, Red Nacional para Simulaciones de

Ingeniería Sísmica). Este consorcio de la Universidad de Washington tiene como misión

mejorar la comprensión de la repuesta dinámica de estructuras tales como edificios,

puentes, torres y presas ante movimientos del terreno resultantes de desastres naturales tales

como sismos y aquellos ocasionados por el hombre tales como explosiones. Además,

pretende reconocer las implicaciones que estos tienen en el diseño estructural de dichas

edificaciones. Los experimentos propuestos por dicho consorcio son bastante efectivos para

demostrar los conceptos fundamentales de análisis dinámico e ingeniería sísmica. Las

mesas simuladoras de sismos o mesas vibratorias son típicamente utilizadas para realizar

investigaciones en el ámbito de la ingeniería sísmica ya que este equipo es capaz de

reproducir el movimiento del suelo que ocurre durante un sismo, permitiendo así la

elaboración de prácticas experimentales de estructuras sometidas a sismos controlados.

Nuevos conceptos o técnicas son usualmente probados en estructuras a escala utilizando

mesas vibratorias antes de ser implementados en estructuras reales. [UCIST,

http://mase.wustl.edu/wusceel/ucist/, Abril 2009]

22

El consorcio se encarga de elaborar y nacionalizar en Estados Unidos (EE.UU.) las

prácticas de laboratorio para probar distintos modelos de edificios a corte de uno a varios

grados de libertad con distintas configuraciones estructurales, ya sea de estructuras

flexibles, estructuras rígidas, estructuras con o sin amortiguamiento, estructuras con su base

empotrada, estructuras con bases aisladas (permitiendo su desplazamiento), estructuras con

bases aisladas a base de elastómeros, entre otras. Las pruebas realizadas consisten en

colocar los modelos de los edificios a corte antes mencionados sobre mesas vibratorias

educacionales, induciéndoles movimientos de la base con características propuestas por los

investigadores, así como de sismos ocurridos de los cuales ya se tiene conocimiento de

todas sus características de vibración y duración; todo esto con el fin de conocer el

comportamiento de los modelos de los edificios a corte ante estas solicitaciones. El equipo

necesario para la elaboración de dichas prácticas es el que se muestra en la Figura 2.8. En

dicha figura se pueden apreciar los componentes básicos que forman el equipo de una mesa

vibratoria educacional tal como las establece la UCIST, estos son:

- Modulo de Energía (Power Module): Este incluye un amplificador de energía para

manejar el motor de la mesa (Servomotor).

- Sistema de Control y Adquisición de Datos (Data Adquisition and Control System):

El tablero utilizado para la adquisición de los datos y el control del abastecimiento

de poder es un tablero manufacturado por Quanser Consulting, Inc. Las

especificaciones de los tableros varían dependiendo de las necesidades del

laboratorio que lo solicita y de los tipos de experimento que se vayan a realizar.

- Sensores de Movimiento: Para la medición del movimiento del modelo se colocan

acelerómetros, los cuales deben ser posicionados de manera estratégica. Se coloca

uno en la base para medir el movimiento de la mesa y uno o dos en cada entrepiso

del modelo a escala para conocer el movimiento de estos y su comportamiento ante

la vibración inducida.

23

Figura 2.8. Componentes de las mesas vibratorias educacionales.

[UCIST, http://mase.wustl.edu/wusceel/ucist/, Abril 2009]

Otra entidad que investiga modelos estructurales a escala reducida es el Centro Peruano

Japonés de investigaciones Sísmicas y Mitigación de Desastres (CISMID), el cual posee un

laboratorio equipado para realizar ensayos de materiales y ensayos estáticos y seudo

dinámicos de elementos, componentes, modelos y estructuras a escala natural y a escala

reducida. Algunas de las investigaciones realizadas por este instituto son:

- Estudio de las propiedades físicas y mecánicas de los materiales de construcción.

- Evaluación de seguridad sísmica en obras de ingeniería civil.

- Ensayos dinámicos de modelos a escala reducida sobre mesa vibratoria.

- Ensayos dinámicos de estructuras existentes, con excitador generador de

vibraciones.

[Centro Peruano Japonés de Investigaciones Sísmicas y Mitigación de Desastres,

http://www.cismid-uni.org/, Mayo 2009]

24

2.3 Estudio analítico de la respuesta dinámica de estructuras

Respuesta dinámica se le llama a cualquier cantidad que pueda caracterizar el efecto de las

acciones dinámicas sobre estructuras. La noción tiene un carácter genérico pudiendo

significar cualquier consecuencia de las excitaciones dinámicas sobre las construcciones

(desplazamientos, aceleraciones, tensiones, esfuerzos); sin embargo, en el caso que

compete a este trabajo se refiere exclusivamente a desplazamientos, velocidades y

aceleraciones. Para poder calcular esta respuesta dinámica es necesario definir con

anterioridad las características del movimiento sísmico y de la estructura.

2.3.1 Sistemas de un grado de libertad (SDOF)

Los sistemas de un grado de libertad son aquellos que admiten el desplazamiento de la

masa en una dirección definida por lo general como el desplazamiento horizontal, u. [Ver

Figura 2.9]

(a) Modelo tridimensional (b) Modelo simplificado

Figura 2.9. Esquematización espacial y simplificada de sistema de un grado de libertad.

25

• Ecuación diferencial del equilibrio dinámico o ecuación de movimiento en sistemas

de un grado de libertad sub-amortiguados [Chopra, 2000: p. 48 y 49]

Las componentes de la idealización o del modelo de un sistema de un grado de libertad son

las siguientes:

- m Masa del sistema (se supone concentrada)

- k Rigidez elástica

- c Coeficiente de amortiguamiento

- p(t) Fuerza dinámica externa

- u(t) Grado de libertad de interés

La ecuación diferencial del equilibrio dinámico o ecuación de movimiento de un sistema de

un grado de libertad se define como:

)()()()( tptkutuctum =++ &&& (Ec. 1.8)

Donde )(tu Desplazamiento en de la masa m en dirección horizontal

)(tu& Velocidad de movimiento de la masa m

)(tu&& Aceleración de movimiento de la masa m

tFtum =)(&& Fuerza de Inercia

AFtuc =)(& Fuerza de Amortiguamiento

RFtku =)( Fuerza de Restitución Un sistema en vibración libre se da cuando 0)( =tp , en ese caso se obtiene:

0)()()( =++ tkutuctum &&& (Ec. 1.9)

Dividiendo entre m

0)()(2)( 2=++ tututu nn ωςω &&& (Ec. 1.10)

26

Donde m

kn =ω Frecuencia circular natural

n

nTω

π2= Periodo natural de vibración

n

nT

f1

= Frecuencia natural de vibración

ncr mkmc ω22 == Amortiguamiento crítico

ncr m

c

c

c

ως

2== Fracción de amortiguamiento crítico

21 ςωω −= nD Frecuencia circular amortiguada

D

DTω

π2= Periodo amortiguado de vibración

La respuesta del sistema depende del amortiguamiento del mismo. En el caso de las

estructuras en cuestión, estas son consideradas como sistemas sub-amortiguadas ( 1<ς ) y

su fracción de amortiguamiento se determina según los lineamientos de la Tabla 1.1. En ese

caso la solución a dicha ecuación es de la forma:

+

+= − )cos()()( 0

00 tutsenuu

etu DD

D

ntn ωωω

ςωςω &

(Ec. 1.11)

Donde las constantes 0t , 0u y 0u& son las condiciones iniciales del sistema.

Para el caso de vibraciones forzadas ( 0)( ≠tp ) la solución es de la forma:

)()()( tututu cp += (Ec. 1.12)

Donde )(tu p es la solución particular en vibración forzada (sistema sometido p(t))

)(tuc es la solución complementaria en vibración libre.

27

• Respuesta ante una excitación armónica y periódica en sistemas amortiguados de un

grado de libertad [Chopra, 2000: p.72 y 73]

La ecuación diferencial que describe el movimiento amortiguado de una estructura ante una

excitación armónica y periódica senoidal con amplitud p0 es:

)()()()( 00 tsenptkutuctum ω=++ &&& (Ec. 1.13)

Considerando las condiciones iniciales del sistema 0t , 0u y 0u& iguales a 0, la solución

particular del sistema es:

)cos()()( 00 tDtCsentu p ωω += (Ec. 1.14)

Donde [ ] [ ]2

0

220

200

)(2)(1

)(1

nn

n

k

pC

ωωξωω

ωω

+−

−=

[ ] [ ]2

0

220

00

)(2)(1

2

nn

n

k

pD

ωωξωω

ωωξ

+−

−=

La solución homogénea es la solución a la ecuación de vibración libre (Ec. 1.10), es decir:

( ))cos()()( tBtAsenetu DD

tn ωωςω += − (Ec. 1.15)

Donde D

n CDA

ω

ωςω 0−−=

DB −=

Finalmente, la solución completa de la ecuación diferencial de movimiento es:

( ) )cos()()cos()()( 00 tDtCsentBtAsenetu DD

tn ωωωωςω +++= − (Ec. 1.16)

En la ecuación anterior se puede apreciar que el movimiento consta de dos componentes de

vibración distintas: vibración forzada y vibración libre transitoria como se muestra en la

Figura 2.10. En efecto, se puede ver en el gráfico de dicha figura que la respuesta a la

28

vibración forzada es la que controla el desplazamiento y se mantiene (respuesta del estado

permanente); mientras que la respuesta transitoria va decayendo hasta que la respuesta total

se aproxima a únicamente la respuesta del estado permanente, por lo cual a esta última se le

llama respuesta estacionaria.

Figura 2.10. Respuesta de un sistema de un grado de libertad (SDOF) ante una excitación periódica de

la base.

• Evaluación numérica de la respuesta dinámica [Chopra, 2000: p. 174 y 175]

La solución analítica a la ecuación diferencial de movimiento de sistemas de un grado de

libertad no es posible realizarla cuando la excitación, ya sea por fuerza aplicada o por

movimiento de la base, varía arbitrariamente con el tiempo o cuando el sistema es no lineal.

Estos problemas pueden ser resueltos por medio de métodos numéricos para resolución de

ecuaciones diferenciales. Existe una vasta cantidad de literatura que aborda y explica estos

Respuesta total

Respuesta del estado permanente

29

métodos para resolver varios tipos de ecuaciones diferenciales que surgen en el amplio

espacio de la mecánica aplicada.

Para efectos de este trabajo se hará uso del método numérico de Newmark el cual se

describe a continuación.

En 1959, N. M. Newmark desarrollo una familia de métodos de paso en el tiempo basados

en las siguientes ecuaciones:

( )[ ] ( ) 11 1 ++ ∆+∆−+= iiii ututuu &&&&&& γγ (Ec. 1.17a)

( ) ( )( )[ ] ( )[ ] 122

1 5.0 ++ ∆+∆−+∆+= iiiii utututuu &&&&& ββ (Ec. 1.17b)

Donde 1+iu& velocidad relativa de la masa en el tiempo i+1.

iu& velocidad relativa de la masa en el tiempo i.

iu&& aceleración relativa de la masa en el tiempo i.

1+iu&& aceleración relativa de la masa en el tiempo i+1.

iu posición relativa de la masa en el tiempo i.

1+iu posición relativa de la masa en el tiempo i+1.

t∆ intervalo de tiempo.

Los parámetros de β y γ definen la variación de la aceleración sobre cada paso de tiempo

y determinan las características de estabilidad y precisión del método. Un valor típico de γ

es 2

1 y 4

1

6

1≤≤ β es satisfactorio desde todos los puntos de vista. [Chopra, 2000: p. 174] Las

ecuaciones 1.17a y 1.17b combinadas con la ecuación de equilibrio

( ) 1111 ++++ =++ iiii pfsucum &&& al final del paso del tiempo, provee las bases para el cálculo de

1+iu , 1+iu& y 1+iu&& en el tiempo i+1 a partir de los ya conocidos iu , iu& y iu&& en el tiempo i.

Iteraciones son requeridas para completar estos cálculos ya que el valor desconocido 1+iu&&

aparece en el lado derecho de la Ec. 1.17b.

30

El método de Newmark para casos lineales (como los que se plantean en este trabajo

consideran los siguientes factores:

(1) Método de la aceleración promedio(21

=γ , 41

=β )

(2) Método de la aceleración lineal (21

=γ , 61

=β )

Para efectos del trabajo se utilizará el método de aceleración lineal ya que este es más

preciso que el método de aceleración promedio. Además, se ha asumido que el sistema en

cuestión es lineal por lo cual la consideración es particularmente adecuada.

Los cálculos iniciales para la ejecución de las iteraciones del método de Newmark son los

siguientes:

m

kuucpu 000

0

++=

&&&

(Ec. 1.18)

Donde 0u&& , 0u& , 0u y 0p son la aceleración inicial, velocidad inicial, posición inicial y fuerza

inicial respectivamente.

Se selecciona el intervalo de tiempo t∆ para el cual se calculará la respuesta numérica y se

prosigue:

( )m

tc

tkk 2

1ˆ∆

+∆

+=ββ

γ

(Ec. 1.19)

cmt

aβ

γ

β+

∆=

1

(Ec. 1.20)

ctmb

−∆+= 1

22

1

β

γ

β

(Ec. 1.21)

Los cálculos a realizar para cada paso de tiempo i son:

iiii ubuapp &&& ++∆=∆ˆ (Ec. 1.22)

31

k

pu i

i ˆˆ∆

=∆ (Ec. 1.23)

iiii utuut

u &&&&

−∆+−∆

∆=∆

β

γ

β

γ

β

γ

21

(Ec. 1.24)

( ) iiii uut

ut

u &&&&&βββ

γ

2

112 −

∆−∆

∆=∆

(Ec. 1.25)

iii uuu ∆+=+1 (Ec. 1.26)

iii uuu &&& ∆+=+1 (Ec. 1.27)

iii uuu &&&&&& ∆+=+1 (Ec. 1.28)

Finalmente, se repiten las ecuaciones 1.22 a 1.28 para el siguiente paso de tiempo,

reemplazando i por i+1.

2.3.2 Sistemas de varios grados de libertad (MDOF)

Los sistemas de varios de grados de libertad son aquellos que admiten el desplazamiento de

dos o más masas en una dirección definida generalmente como el desplazamiento

horizontal. [Ver Figura 2.7]

• Ecuación diferencial del equilibrio dinámico o ecuación de movimiento en sistemas

de varios grados de libertad

La ecuación diferencial del equilibrio dinámico que define el movimiento de sistemas de

varios grados de libertad se define como:

)()()()( tttt pKuuCuM =++ &&& (Ec. 1.29)

Donde )(tu&& , )(tu& y )(tu Vectores de posición, velocidad y aceleración de las n masas

concentradas correspondientes a los n grados de libertad del

sistema, Orden nx1.

p(t) Vector de las fuerzas dinámicas que actúan sobre cada una de

las n masas del sistema. Orden nx1.

32

M Matriz diagonal de masas. Orden nxn.

K Matriz de rigidez correspondiente a los n grados de libertad.

Orden nxn.

C Matriz de amortiguamiento. Orden nxn.

• Vibración libre no amortiguada

Un sistema discreto con n grados de libertad, tiene n modos de vibración. Existe una

frecuencia natural y una forma de vibrar asociada a cada modo. La ecuación de equilibrio

aplicable es:

0)()( =+ tt KuuM && (Ec. 1.30)

En determinadas circunstancias de vibración libre cada masa experimenta un movimiento

armónico de la misma frecuencia pasando simultáneamente por la posición de equilibrio,

por lo que la solución puede expresarse:

)()( tt Φqu = (Ec. 1.31)

Donde Φ es la matriz modal y q(t) es el vector de ecuaciones de la respuesta en

coordenadas modales, el cual tiene la forma )cos()()( tBtsenAtq nnnnn ωω += por lo que la

respuesta de movimiento de cada masa puede expresarse como:

))cos()(()(1

tBtsenAtu nini

n

i

in ωωφ +=∑=

(Ec. 1.32)

Al derivar dos veces:

)()()()( 2ttt n qΦqΦu ω−== && (Ec. 1.33)

Sustituyendo en la Ec. 1.30 se obtiene la Ec. 1.34.

33

0)()()()( 22=−=+− ΦMKq KΦqMΦ nn tt ωω (Ec. 1.34)

Dicha ecuación constituye un sistema de ecuaciones homogéneo, cuya solución existe si se

cumple que:

02=− MK nω (Ec. 1.35)

Las características de la solución son las siguientes:

- Existen n soluciones para 2nω , que corresponden a n frecuencias o a n períodos de

vibración. En sistemas estables los valores de 2nω son reales positivos.

- Se acostumbra ordenar tales valores en orden creciente. El primer valor corresponde

a la denominada frecuencia fundamental.

- Al sustituir los valores de 2nω en la Ec. 1.34 se obtienen n vectores jΦ que definen

la configuración del modo.

Definiendo a jω como la frecuencia (circular) y a jΦ como el vector modal del modo j, se

verifican las siguientes propiedades:

- Ortogonalidad con respecto a las matrices de masa y de rigidez: 0=r

T

j MΦΦ para

rj ≠ y 0=r

T

j KΦΦ para rj ≠

- Cualquier configuración de desplazamiento puede expresarse como una

combinación lineal de los vectores modales. Entonces, para un caso general:

)()( tt Φqu = , donde Φ es la matriz modal cuya columna j define la configuración

del modo j. Así, la posición ijφ representa la amplitud (relativa) de la masa i en el

modo j; y, q(t) es el vector de funciones escalares (qr(t) es una función que expresa

la variación en el tiempo de la participación del modo r).

34

• Vibración forzada

La ecuación que describe este tipo de vibración es:

)()()()( tttt pKuuCuM =++ &&& (Ec. 1.36)

La cual puede expresar según la Ec. 1.31 como sigue:

)()()()( tttt pq KΦqCΦqMΦ =++ &&& (Ec. 1.37)

Al premultipicar todos los términos por ΦT se obtienen, debido a la ortogonalidad con

respecto a las matrices de masa, rigidez y de amortiguamiento, se convierten en las matrices

diagonales M*, K* y C*. Se obtiene:

)()(*)(*)(* tttt T pΦqKqCqM =++ &&& (Ec. 1.38)

Para un modo j la ecuación j del sistema de ecuaciones es:

)()(*)(*)(* tptqktqctqm jjjjjj =++ &&& (Ec. 1.39)

En donde los escalares mj*, cj* y kj* son, respectivamente, la masa, el amortiguamiento y la

rigidez generalizadas del modo j, y están dadas por:

j

T

jjm MΦΦ=* (Ec. 1.40)

j

T

jjc CΦΦ=* (Ec. 1.41)

j

T

jjk KΦΦ=* (Ec. 1.42)

Además se tiene:

)()( ttpT

jj pΦ= (Ec. 1.43)

Debe notarse que puede hacerse: *

*

j

j

jm

k=ω , **2 jjcrj mkc = y

crj

j

jc

c *=ς

35

De donde puede determinarse la solución para qj(t) como se hace en los casos de vibración

forzada de sistemas de un grado de libertad. Conocidas las qj(t), se definen todos los

desplazamientos de las masas con la ayuda de la Ec. 1.31.

• Movimiento de la base

Ante un movimiento de la base, s(t), las fuerzas de restitución y las fuerzas de

amortiguamiento dependen, respectivamente, de los desplazamientos y de las velocidades

relativas de las masas (obsérvese que es igual x2 – x1 que u2 – u1, donde x es el

desplazamiento absoluto de la masa con respecto a su posición inicial y u, el

desplazamiento relativo), por lo que se puede escribir:

0)()()( =++ ttt KuuCxM &&& (Ec. 1.44)

Con:

+

=

+

=

+

+

+

=

)(

...

)(

)(

)(

1

...

1

1

)(

...

)(

)(

)(

...

)(

)(

)()(

...

)()(

)()(

)( 2

1

2

1

2

1

tu

tu

tu

ts

tu

tu

tu

ts

ts

ts

tuts

tuts

tuts

t

nnn&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&&&

&&&&

&&&&

&&x

(Ec. 1.45)

O bien:

)()()()( tsttt &&&&& M1KuuCuM −=++ (Ec. 1.46)

Utilizando la Ec. 1.31, la Ec. 1.46 queda:

)()()()( tsttt &&&&& M1q KΦqCΦqMΦ −=++ (Ec. 1.47)

Al pre multiplicar por ΦT:

)()()()( tsttt T&&&&& M1Φq*Kq*Cq*M −=++ (Ec. 1.48)

36

Particularmente, para el modo j:

)()(*)(*)(* tstqktqctqmT

jjjjjjj&&&& M1φ−=++ (Ec. 1.49)

Dividiendo toda la expresión entre mj*, y teniendo presente las expresiones de ωj, ccrj y ζj:

)(1

)()(2)( 2tstqtqtq

j

T

j

T

j

jjjjjj&&&&&

φφ

φωως

M

M−=++

(Ec. 1.50)

Definiendo:

∑

∑

=

===n

i

iji

n

i

iji

j

T

j

T

j

j

m

m

p

1

2

1

φ

φ

φφ

φ

M

M1

(Ec. 1.51)

Siendo pj el denominado coeficiente de participación del modo j, la ecuación 1.50 queda:

)()()(2)( 2tsptqtqtq jjjjjjj

&&&&& −=++ ωως (Ec. 1.52)

• Modos Ortonormales

Los vectores modales pueden tener una escala arbitraria. Por conveniencia, los vectores

modales se escalan de tal forma que las masas generalizadas son iguales a la unidad, y se

dice entonces que los modos han sido normalizados con respecto a la matriz de masa, o que

son modos ortonormales.

Para obtener un modo ortonormal, a partir del vector modal definido en cualquier escala, se

dividen los componentes del vector modal originalmente obtenido entre la raíz cuadrada de

su masa generalizada, de tal forma que se cumple:

1=j

T

jφφ M (Ec. 1.53)

22 ** jjjjj

T

jmk ωωφφ ===K (Ec. 1.54)

37

( ) jjjjjjj

T

jmkc ωφςφφ 2**2* ===C (Ec. 1.55)

Con los modos ortonormales, el cálculo de los coeficientes de participación se simplifican

a:

∑=

==n

i

ijj

T

jj mp1

φφ M1 (Ec. 1.56)

38

39

CAPÍTULO 3: EVALUACIÓN DE LA EXCITACIÓN SENOIDAL DE ANÁLISIS

Tal como se mencionó anteriormente, se utilizará un impulso senoidal para simular la

excitación con origen en la base de modelos estructurales de edificios a corte de escala

reducida. No obstante, esta aproximación, si bien es aceptable, no es completamente

acertada. En efecto, tiene sus ventajas y desventajas las cuales serán abordadas a

continuación.

3.1 Ventajas y desventajas de una aproximación senoidal de la excitación

El movimiento sísmico es la suma de diferentes impulsos complejos cuya característica en

común es el movimiento de vaivén en el suelo; es por esto que se utilizará en este trabajo

un impulso senoidal simple para simular dicho movimiento.

La ventaja principal de dicha aproximación radica en la conveniencia matemática, debido a

que este tipo de impulso es considerablemente sencillo en comparación con el impulso

sísmico real y, por ende, facilita en gran manera el estudio analítico y numérico del

comportamiento de modelos estructurales ante dicha excitación. Otra ventaja importante es

la factibilidad de la generación de un movimiento senoidal en condiciones de laboratorio.

Debido a su sencillez dicho movimiento es bastante factible de reproducir mediante la

utilización de una mesa vibratoria manufacturada. El diseño de dicha mesa ha sido

elaborado previamente por estudiantes de la UCA y permitirá la determinación de las

características del movimiento que será aplicado a los modelos que se pretenden diseñar.

Además, es muy favorable el hecho que dicha excitación puede ser regulada, es decir que la

excitación aplicada a cada uno de los modelos podrá ser modificada según la conveniencia

del caso. Finalmente, otra ventaja que vale la pena mencionar es que, si bien el movimiento

senoidal no es exactamente igual a la excitación ocasionada por el movimiento sísmico,

este permite reproducir ese efecto de vaivén que produce el sismo. Este vaivén permite

simular cómo el sismo hace que una estructura se mueva hacia sentidos opuestos en una

misma dirección generando así los modos de vibración en la estructura que se desea

estudiar.

40

Una de las desventajas más prominentes es que, debido a la mencionada sencillez del

movimiento, el impulso senoidal resulta bastante deficiente para ejemplificar con fidelidad

la complejidad del movimiento sísmico. El movimiento sísmico depende de muchos

factores difíciles de cuantificar o predecir, como ubicación de fallas, tipo de suelo, densidad

del terreno, ubicación del epicentro, refracción de ondas sísmicas, entre otros; por lo que

resulta bastante difícil simularlo mediante la utilización de aparatos manufacturados

especialmente si se tiene una escasez de recursos (materiales, económicos, tecnológicos).

Además, el movimiento sísmico actúa en diferentes direcciones a la vez contrario al

movimiento producido por la mesa vibratoria educacional diseñada, la cual produce un

movimiento unidireccional lo que limita el estudio del comportamiento de una estructura en

una sola dirección.

A pesar de las desventajas, se procederá a utilizar el movimiento senoidal en el estudio

analítico del comportamiento de los modelos estructurales ante un movimiento de la base.

3.2 Parámetros de la excitación

Los parámetros de la excitación dinámica en la base generada por la mesa son básicamente

dos: la amplitud y la frecuencia. La mesa vibratoria que se está tomando como base para la

elaboración del presente informe es capaz de producir un movimiento senoidal cuyo

comportamiento está dado por la ecuación:

)()( 00 tsenAts ω= (Ec. 2.1)

Donde A0 Amplitud del movimiento.

ω0 Frecuencia angular o circular del movimiento.

t Tiempo.

Ambos parámetros podrán ser modificados a fin de obtener una amplia gama de

movimientos con diferentes características. Sin embargo, es importante recalcar que, de

acuerdo al diseño de la mesa vibratoria, la amplitud del movimiento no podrá ser modifica

41

mientras la mesa esté en uso. Es decir, que la amplitud debe ser fijada antes del iniciar el

funcionamiento de la mesa y podrá ser modificada únicamente deteniendo el

funcionamiento y fijando una nueva amplitud. El rango de valores que podrá adoptar dicho

parámetro está comprendido entre 4 y 15 cm.

Al contrario de la amplitud, la frecuencia del movimiento sí podrá ser modificada durante

el funcionamiento de la mesa por lo cual se deberá tener sumo cuidado de no colocar la

estructura sobre la mesa en resonancia durante mucho tiempo (es decir, emplear un

movimiento cuya frecuencia circular sea igual a la frecuencia circular natural del modelo).

La frecuencia podrá ser modificada de 5 Hz hasta 20 Hz.

La Tabla 3.1 presenta en resumen los valores permisibles que pueden adoptar los

parámetros del movimiento que la mesa vibratoria puede generar:

Tabla 3.1. Valores de los parámetros de movimiento que proporciona

la mesa vibratoria propuesta. [Alvayero et al., 2008]

Amplitud del

desplazamiento (cm)

Frecuencia mínima (Hz)

Frecuencia máxima (Hz)

4 5 20 5 5 20 6 5 20 7 5 20 8 5 20 9 5 20

10 5 20 11 5 20 12 5 20 13 5 20 14 5 18 15 5 15

Cabe mencionar que el peso máximo que soportará la mesa es de 15 kg y su dimensión es

de 1 m x 1 m.

42

Se deberán tomar en cuenta cada una de las limitaciones de la mesa con el fin de

proporcionar un diseño de los modelos a ensayar que se adecue a las solicitaciones de cada

una de las prácticas de laboratorio que se pretenden desarrollar.

En el Capítulo 4 se detallará en qué manera dichas limitaciones permitirán enmarcar el

diseño de los modelos.

43

CAPÍTULO 4: DISEÑO DE LOS MODELOS ESTRUCTURALES.

4.1 Análisis paramétrico de modelos de un grado de libertad.

4.1.1 Definición del análisis paramétrico

Un análisis paramétrico es necesario para proporcionar un diseño óptimo de los modelos a

ensayar en el laboratorio. Por medio de este análisis se conocerán las propiedades de los

modelos que mejor se ajusten a las necesidades de la investigación y a las limitaciones de la

mesa vibratoria. Se desean diseñar dos tipos de modelos: uno flexible y uno rígido; con el

fin de comparar los resultados obtenidos con ambos modelos.

Para comenzar el análisis paramétrico se realizó una investigación de mercado en la que se

buscaron aquellos materiales que cumplieran los siguientes requisitos:

• Resistencia a la flexión.

• Resistencia al corte.

• Facilidad de manipulación.

• Economía.

• Facilidad de maquinación (procesamiento en tornos o fresadoras).

• Existencia en el mercado.

Tomando en cuenta estos requisitos y la necesidad de diseñar dos tipos de modelos

(flexible y rígido) se concluyó que los materiales a utilizar en las columnas del modelo que

mejor se ajustan a las necesidades u objetivos del trabajo son los siguientes:

a) Aluminio Aleación 6061, el cual existe en El Salvador en presentación de varillas

lisas de diámetro desde 3/8 plg hasta 12 plg incrementando el diámetro 1/4 plg entre

cada varilla. El módulo de elasticidad de dicho material es de 700,000 kg/cm2 por lo

cual será considerado para la elaboración del modelo flexible.

b) Acero de denominación en el mercado AISI 1020, este existe en el país en

presentaciones de placas y barras cilíndricas (varillas lisas) cuyas dimensiones son

44

iguales a las de las varillas de aluminio. El módulo de elasticidad de dicho material

es de 2,079,000 kg/cm2 por lo cual será utilizado para la elaboración del modelo

rígido.

En lo que refiere a la masa de los modelos, se podrán utilizar el nylon o el acero según se

desee modificar su valor (para masas livianas se utilizará el nylon y para masas pesadas se

utilizará el acero).

En el análisis paramétrico también se pretende determinar la configuración geométrica de

los modelos que genere los resultados más adecuados para el caso. Es por este motivo que

se analizaron dos configuraciones, las cuales fueron inspiradas de las configuraciones que

se pueden apreciar en la mayoría de libros de análisis dinámico de estructuras; es decir: una

columna con una masa centrada y un marco de dos columnas sosteniendo la masa. A estos

modelos se les denominó modelo tipo I y modelo tipo II respectivamente. [Ver Figura 4.1 y

Figura 4.2]

1) Tipo I: Modelo de una masa centrada sobre una columna para sistemas de un grado

de libertad (SDOF).

Figura 4.1. Modelo tipo I para sistemas de un grado de libertad (SDOF).

Masa m

Columna de sección circular con rigidez k

45

2) Tipo II: Modelo de una masa apoyada sobre dos columnas para modelos de un

grado de libertad.

Figura 4.2. Modelo tipo II para sistemas de un grado de libertad (SDOF).

Para cada tipo de modelo (I y II) se analizará una opción de estructura flexible (columnas

de aluminio) y una opción de estructura rígida (columnas de acero). El punto de partida de

este análisis considera los valores mínimos de los parámetros del movimiento

proporcionados por la mesa vibratoria (amplitud de 4 cm y frecuencia de 5 Hz). Estos

parámetros han sido seleccionados con el fin de comprobar si las capacidades mínimas de

la mesa son satisfactorias para los requerimientos del laboratorio.

Por un lado, para la amplitud del movimiento se escogió la mínima pues se consideró que

con la mínima amplitud sería más factible apreciar el desplazamiento relativo de la masa

ante una vibración de la base que con una amplitud más elevada.

La frecuencia mínima de la mesa fue seleccionada pues luego de un análisis preliminar de

los modelos tipo I, se observó que los que podían cumplir con el propósito que sean lo

suficientemente flexibles para que sus amplitudes cerca de resonancia puedan ser

apreciadas en el laboratorio, tenían frecuencias naturales de vibración bajas, del orden de 1

Hz, y la frecuencia mínima con la que se cuenta en este momento es la que más se puede

Masa m

Columna de sección rectangular de rigidez k

46

acercar a la frecuencia natural de estos modelos y por tanto con esta conocer las amplitudes

máximas de los modelos mas flexibles. Otro objetivo que se busca con las prácticas de

laboratorio, es generar una práctica en la cual se pueda observar el comportamiento de los

modelos ante la variación de la frecuencia del movimiento al cual serán sometidos dichos

modelos, comenzando desde frecuencias por debajo de la frecuencia natural de vibración de

los modelos, pasando por la frecuencia natural de vibración de los mismos y continuando

con frecuencias superiores a las frecuencias naturales de vibración de los modelos, y debido

a que los modelos a estudiar son relativamente flexibles se quiere corroborar desde un

inicio si las capacidades mínimas de la mesa en cuanto a frecuencia de vibración son

funcionales para los propósitos del trabajo (de modo que, de probar lo contrario, se podrán

emitir las recomendaciones necesarias para el caso).

Los valores iniciales de los parámetros del modelo (rigidez, masa y amortiguamiento) han

sido establecidos considerando los siguientes criterios:

• La rigidez será el parámetro que se manipulará a lo largo del análisis. Para el

análisis de los modelos tipo I flexible se comenzará por columnas de aluminio

aleación 6010 de diámetro 3/8 plg (menor diámetro en el mercado) y se

incrementará hasta columnas de 1 1/4 plgs de diámetro utilizando únicamente los

diámetros que existen en el mercado por motivos de factibilidad constructiva y

económica. En lo que refiere a las columnas de sección rectangular para el modelo

tipo II, las dimensiones de la sección serán tomadas considerando dimensiones que

sean factibles de construir y de manipular en el laboratorio. Por otro lado, a parte de

la variación de la sección transversal de las columnas, también se modificará su

altura. Para cada tipo de columna se analizarán columnas de 15, 20 y 25 cm de

altura, estas medidas han sido tomadas en base a criterios de geometría y

proporcionalidad, y en la búsqueda de longitudes cuyas frecuencias naturales estén

dentro de los rangos de la frecuencia de vibración de la mesa. La configuración de

los dos tipos de columnas se muestra en la Figura 4.3.

47

L

Ф

L

a b

a) Columna de sección rectangular b) Columna de sección circular

Figura 4.3. Esquema de columnas consideras para modelos tipo I y tipo II.

• La masa inicial proviene de un cubo de acero de 5 x 5 x 5 cm (dimensiones

determinadas en base a criterios de geometría y proporcionalidad de la masa con las

columnas) para el modelo tipo I y una placa de acero de 20 x 15 x 1 cm (ídem) para

el modelo tipo II.

• El amortiguamiento es un valor muy difícil de estimar por lo que para efectos de

esta estructura se ha tomado un amortiguamiento inicial del 5%, valor tomado de

acuerdo a una investigación realizada por el UCIST a través de prácticas de

laboratorio, en las cuales para modelos mucho más flexibles obtenían fracciones de

amortiguamiento critico del orden 1.5%. Considerando que los modelos analizados

en este trabajo son más rígidos y tomando en cuenta los lineamientos establecidos

en la Tabla 2.1, considerando que las columnas estarán sometidas a un esfuerzo por

debajo de la mitad del esfuerzo de fluencia y que estarán empernadas a la mesa y a

la masa (los detalles constructivos de los modelos serán presentados luego de haber

establecido parámetros y modelos definitivos). [Shonkwiler, B.E. y T.H. Miller,

Small-Scale Shake Table Experiments and Comparison to Analitical Predictions.

Teacher’s Manual, 1-40.]

Los modelos descritos (modelos tipo I flexibles y rígidos y modelos tipo II flexibles y

rígidos) serán sometidos a una excitación de la base cuyos parámetros de movimiento serán

48

los que se determinaron anteriormente. Para ello, se utilizará un programa elaborado en

Matlab que permite obtener los resultados teóricos y numéricos de cada modelo ante la

excitación de la base. Dichos resultados son graficados directamente por el programa lo

cual permite apreciar con mayor facilidad las similitudes y/o discrepancias entre ambos

resultados.

4.1.2 Resultados del análisis paramétrico de modelos de un grado de libertad.

Como se mencionó anteriormente, el parámetro que será evaluado es la rigidez. Para dicho

parámetro se analizaron los modelos flexible y rígido de cada tipo de estructura (tipo I y

tipo II). A continuación se presentan las tablas que contienen los datos de entrada y de

salida del programa utilizado para el análisis.

Los datos introducidos al programa son la rigidez, la masa y el amortiguamiento de los

modelos, al igual que la amplitud, la frecuencia y el tiempo de análisis del movimiento. De

estos, se presentan en las tablas de análisis paramétrico la masa y la rigidez de cada modelo

analizado con el fin de presentar dichos datos de manera ordenada y de no perder de vista

las características de cada uno. También se presentan los datos de la sección transversal de

las columnas de los modelos analizados (diámetro de columnas de sección circular y ancho

y largo de columnas de sección rectangular), los cuales fueron utilizados para el cálculo de

la rigidez del entrepiso.

Los datos de salida del programa que se tomaron en cuenta en el estudio y que serán

analizados son las amplitudes máximas registradas del movimiento de la masa (teórica y

numérica), las cuales son comparadas en base a un porcentaje de error; y el esfuerzo

cortante máximo que percibe cada columna el cual se compara al cortante máximo

admisible con el fin verificar que le modelos no fallen por cortante. Además, se presentan

en la tabla la frecuencia circular natural de cada modelo y su equivalente en Hz (con el fin

de no perder de vista en qué parte del rango de frecuencias generadas por la mesa se

encuentra la del modelo).

49

La ecuación utilizada para el cálculo del porcentaje de error de las amplitudes fue la que se

muestra en la Ec. 4.1.

100,

,,×

−

máxteórica

máxnuméricamáxteórica

A

AA

(Ec. 4.1)

Donde Ateórica,máx es la amplitud teórica máxima registrada por el programa.

Anumérica,máx es la amplitud numérica máxima registrada por el programa.

Los cortantes máximos fueron calculados utilizando la Ecuación 4.2:

máxmáx AkV ×= (Ec. 4.2)

Donde Amáx es la amplitud teórica o numérica máxima registrada.

Vmáx es el cortante teórico o numérico máximo calculado respectivamente.

k es la rigidez de la columna.

Este dato permitió la obtención del esfuerzo cortante máximo como sigue:

st

máx

máxA

V=τ

(Ec. 4.3)

Donde Vmáx es el cortante teórico o numérico máximo calculado.

Ast es el área de la sección transversal de la columna.

τmáx es el esfuerzo cortante máximo en la columna.

Los resultados obtenidos para cada tipo de modelo se presentan en las tablas 4.1, 4.2, 4.3 y

4.4.

A) Modelo Tipo I Flexible:

La Tabla 4.1 presenta los resultados obtenidos al someter diferentes modelos tipo I

(flexibles) al movimiento de prueba establecido anteriormente. Las características de cada

uno de los modelos son diferentes pues se ha ido modificando su configuración geométrica.

Inicialmente se consideraron modelos cuya altura de columna fue de 15 cm, luego se

consideraron modelos con altura de columna de 20 cm y finalmente, de 25 cm. Los

diámetros de las varillas se aumentaron de 3/8 de pulgada hasta 1 1/4 de pulgada en

50

variaciones de 1/8 de pulgada (según existencia en el mercado). Los correlativos de las

gráficas permiten identificar la gráfica que corresponde a cada uno de los modelos en la

carpeta correspondiente en el disco compacto del Anexo B.

Tabla 4.1. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I flexible.

Graf nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)

Cortante teórico máximo

(kg)

Esfuerzo cortante teórico máximo

(kg/cm2)

Cortante numérico máximo

(kg)

Esfuerzo cortante

numérico máximo

(kg/cm2)

Esfuerzo cortante

admisible

(kg/cm2)

Amplitud máxima teórica (cm)

Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la

estructura ω (rad/s)

Frecuencia natural de

la estructura f

(Hz)

1 15 3/8 0.98 100.56 1.79 2.52 1.77 2.49 2110.64 0.02 0.02 1.12 10.12 1.61

2 15 1/2 0.98 317.83 3.74 2.95 3.68 2.91 2110.64 0.01 0.01 1.52 17.99 2.86

3 15 5/8 0.98 775.95 19.61 9.91 18.68 9.44 2110.64 0.03 0.02 4.72 28.10 4.47

4 15 3/4 0.98 1609.00 13.17 4.62 13.37 4.69 2110.64 0.01 0.01 1.49 40.47 6.44

5 15 7/8 0.98 2980.87 6.54 1.68 6.91 1.78 2110.64 0.00 0.00 5.72 55.08 8.77

6 15 1 0.98 5085.24 6.27 1.24 6.17 1.22 2110.64 0.00 0.00 1.60 71.94 11.45

7 15 1 1/4 0.98 12415.13 5.00 0.63 5.29 0.67 2110.64 0.00 0.00 5.71 112.41 17.89

8 20 3/8 0.98 42.42 0.90 1.26 0.89 1.24 2110.64 0.02 0.02 1.07 6.57 1.05

9 20 1/2 0.98 134.08 2.20 1.74 2.18 1.72 2110.64 0.02 0.02 1.28 11.68 1.86

10 20 5/8 0.98 327.35 3.80 1.92 3.74 1.89 2110.64 0.01 0.01 1.55 18.25 2.91

11 20 3/4 0.98 678.80 14.09 4.94 13.59 4.77 2110.64 0.02 0.02 3.57 26.28 4.18

12 20 7/8 0.98 1257.56 20.35 5.25 21.17 5.46 2110.64 0.02 0.02 4.01 35.78 5.69

13 20 1 0.98 2145.33 9.59 1.89 10.04 1.98 2110.64 0.00 0.00 4.68 46.73 7.44

14 20 1 1/4 0.98 5237.63 6.26 0.79 6.17 0.78 2110.64 0.00 0.00 1.34 73.01 11.62

15 25 3/8 0.98 21.72 0.65 0.92 0.65 0.91 2110.64 0.03 0.03 0.97 4.70 0.75

16 25 1/2 0.98 68.65 1.33 1.05 1.32 1.04 2110.64 0.02 0.02 1.13 8.36 1.33

17 25 5/8 0.98 167.60 2.57 1.30 2.54 1.28 2110.64 0.02 0.02 1.34 13.06 2.08

18 25 3/4 0.98 347.54 4.05 1.42 3.98 1.40 2110.64 0.01 0.01 1.90 18.81 2.99

19 25 7/8 0.98 643.87 12.34 3.18 11.80 3.04 2110.64 0.02 0.02 4.41 25.60 4.07

20 25 1 0.98 1098.41 28.84 5.69 30.35 5.99 2110.64 0.03 0.03 5.23 33.44 5.32

21 25 1 1/4 0.98 2681.67 7.34 0.93 7.35 0.93 2110.64 0.00 0.00 0.22 52.24 8.31

B) Modelo Tipo I Rígido

El procedimiento para la obtención de la Tabla 4.2 ha sido el mismo que el que se explicó

para la Tabla 4.1, salvo que se ha cambiado el material de las columnas de aluminio a

acero.

C) Modelo Tipo II Flexible:

La Tabla 4.3 presenta los resultados obtenidos al someter diferentes modelos tipo II

(flexibles) al movimiento de prueba establecido anteriormente. Las características de cada

uno de los modelos son diferentes pues se ha ido modificando su configuración geométrica.

Inicialmente se consideraron modelos cuya altura de columnas fue de 15 cm, luego se

51

consideraron modelos con altura de columnas de 20 cm y finalmente, de 25 cm. Para cada

altura de columnas la sección transversal de las placas se ha modificando como se muestra

en la tabla. Los correlativos de las gráficas permiten identificar la gráfica que corresponde a

cada uno de los modelos en la carpeta correspondiente en el disco compacto del Anexo B.

Tabla 4.2. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I rígido.

Graf nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)

Cortante teórico

máximo (kg)


(kg/cm2)


(kg)

Esfuerzo cortante numérico máximo

(kg/cm2)

Esfuerzo cortante

admisible

(kg/cm2)


Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la



la estructura f

(Hz)

1 15 3/8 0.98 298.67 3.63 5.10 3.58 5.02 3800.00 0.01 0.01 1.50 17.44 2.77

2 15 1/2 0.98 943.95 38.08 30.06 36.01 28.43 3800.00 0.04 0.04 5.44 31.00 4.93

3 15 5/8 0.98 2304.56 8.50 4.30 8.88 4.49 3800.00 0.00 0.00 4.44 48.43 7.71

4 15 3/4 0.98 4778.73 6.29 2.21 6.17 2.16 3800.00 0.00 0.00 1.97 69.74 11.10

5 15 7/8 0.98 8853.19 5.65 1.46 5.64 1.45 3800.00 0.00 0.00 0.31 94.93 15.11

6 15 1 0.98 15103.16 4.86 0.96 4.93 0.97 3800.00 0.00 0.00 1.24 123.98 19.73

7 15 1 1/4 0.98 36872.94 4.83 0.61 4.87 0.62 3800.00 0.00 0.00 0.64 193.73 30.83

8 20 3/8 0.98 126.00 2.11 2.96 2.08 2.92 3800.00 0.02 0.02 1.27 11.32 1.80

9 20 1/2 0.98 398.23 5.10 4.03 4.95 3.91 3800.00 0.01 0.01 2.90 20.13 3.20

10 20 5/8 0.98 972.24 40.01 20.21 38.96 19.69 3800.00 0.04 0.04 2.61 31.46 5.01

11 20 3/4 0.98 2016.03 10.56 3.71 10.85 3.81 3800.00 0.01 0.01 2.71 45.30 7.21

12 20 7/8 0.98 3734.94 6.47 1.67 6.40 1.65 3800.00 0.00 0.00 1.15 61.66 9.81

13 20 1 0.98 6371.64 5.99 1.18 6.03 1.19 3800.00 0.00 0.00 3.96 80.53 12.82

14 20 1 1/4 0.98 15555.77 4.83 0.61 4.87 0.62 3800.00 0.00 0.00 0.64 125.83 20.03

15 25 3/8 0.98 64.51 1.27 1.78 1.25 1.76 3800.00 0.02 0.02 1.12 8.10 1.29

16 25 1/2 0.98 203.89 2.90 2.29 2.86 2.26 3800.00 0.01 0.01 1.39 14.41 2.29

17 25 5/8 0.98 497.78 8.07 4.08 7.84 3.96 3800.00 0.02 0.02 2.87 22.51 3.58

18 25 3/4 0.98 1032.21 35.31 12.39 37.11 13.02 3800.00 0.03 0.04 5.10 32.41 5.16

19 25 7/8 0.98 1912.29 11.19 2.89 11.44 2.95 3800.00 0.01 0.01 2.22 44.12 7.02

20 25 1 0.98 3262.28 6.55 1.29 6.43 1.27 3800.00 0.00 0.00 1.84 57.62 9.17

21 25 1 1/4 0.98 7964.56 5.75 0.73 5.66 0.71 3800.00 0.00 0.00 1.66 90.04 14.33

D) Modelo Tipo II Rígido:

El procedimiento para la obtención de la Tabla 4.4 ha sido el mismo que el que se explicó

para la Tabla 4.3, salvo que se ha cambiado el material de las columnas de aluminio a

acero.

4.2 Análisis de resultados del análisis paramétrico para modelos de un grado de

libertad.

Al finalizar el análisis de las estructuras flexibles y de las estructuras rígidas tipo I y tipo II,

se contaba con 21 respuestas del modelo tipo I flexible y 21 respuestas del modelo tipo I

52

rígido; y con 45 respuestas del modelo tipo II flexible y 45 respuestas del modelo tipo II

rígido.

Los resultados que se analizaron fueron las amplitudes de movimiento de la masa, los

esfuerzos cortantes inducidos a las columnas y la frecuencia circular natural de los

modelos. A partir de los resultados obtenidos se pueden hacer las siguientes observaciones.

Tabla 4.3. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo II flexible.

Graf nº

L (cm)

a (cm)

b (cm)

Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)


(Entrepiso)

Cortante teórico

máximo por

columna

Esfuerzo cortante teórico

máximo

(kg/cm2)


(Entrepiso)


por columna

Esfuerzo cortante

numérico máximo

(kg/cm2)

Esfuerzo cortante

admisible

(kg/cm2)

Amplitud

máxima teórica

(cm)

Amplitud

máxima numérica

(cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la


Frecuencia natural de la estructura f

(Hz)

1 15 0.5 0.5 2.36 25.93 0.42 0.21 0.85 0.42 0.21 0.84 2110.64 0.02 0.02 1.22 3.32 0.53

2 15 0.5 1.0 2.36 207.41 1.60 0.80 1.60 1.58 0.79 1.58 2110.64 0.01 0.01 1.30 9.38 1.49

3 15 0.5 2.0 2.36 1659.26 14.59 7.30 7.30 14.37 7.18 7.18 2110.64 0.01 0.01 1.14 26.53 4.22

4 15 0.5 3.0 2.36 5600.00 8.33 4.17 2.78 8.57 4.29 2.86 2110.64 0.00 0.00 0.00 48.73 7.76

5 15 0.5 4.0 2.36 13274.07 6.21 3.10 1.55 6.23 3.11 1.56 2110.64 0.00 0.00 0.29 75.03 11.94

6 15 0.5 5.0 2.36 25925.93 5.32 2.66 1.06 5.48 2.74 1.10 2110.64 0.00 0.00 2.99 104.86 16.69

7 15 1.0 1.0 2.36 414.81 2.62 1.31 1.31 2.60 1.30 1.30 2110.64 0.01 0.01 0.00 13.26 2.11

8 15 1.0 2.0 2.36 3318.52 17.13 8.57 4.28 17.36 8.68 4.34 2110.64 0.01 0.01 0.00 37.51 5.97

9 15 1.0 3.0 2.36 11200.00 6.30 3.15 1.05 6.26 3.13 1.04 2110.64 0.00 0.00 0.52 68.92 10.97

10 15 1.0 4.0 2.36 26548.15 5.27 2.63 0.66 5.44 2.72 0.68 2110.64 0.00 0.00 3.27 106.11 16.89

11 15 1.0 5.0 2.36 51851.85 4.28 2.14 0.43 4.56 2.28 0.46 2110.64 0.00 0.00 6.56 148.29 23.60

12 15 2.0 2.0 2.36 6637.04 7.20 3.60 0.90 7.31 3.65 0.91 2110.64 0.00 0.00 0.00 53.05 8.44

13 15 2.0 3.0 2.36 22400.00 5.59 2.79 0.47 5.67 2.83 0.47 2110.64 0.00 0.00 1.50 97.47 15.51

14 15 2.0 4.0 2.36 53096.30 4.23 2.11 0.26 4.52 2.26 0.28 2110.64 0.00 0.00 7.06 150.06 23.88

15 15 2.0 5.0 2.36 103703.70 4.39 2.19 0.22 4.45 2.22 0.22 2110.64 0.00 0.00 1.39 209.71 33.38

16 20 0.5 0.5 2.36 10.94 0.27 0.14 0.55 0.27 0.14 0.54 2110.64 0.03 0.02 0.80 2.15 0.34

17 20 0.5 1.0 2.36 87.50 0.79 0.39 0.79 0.78 0.39 0.78 2110.64 0.01 0.01 1.11 6.09 0.97

18 20 0.5 2.0 2.36 700.00 3.59 1.79 1.79 3.55 1.78 1.78 2110.64 0.01 0.01 0.00 17.23 2.74

19 20 0.5 3.0 2.36 2362.50 39.40 19.70 13.13 40.10 20.05 13.37 2110.64 0.02 0.02 1.80 31.65 5.04

20 20 0.5 4.0 2.36 5600.00 8.57 4.29 2.14 8.33 4.17 2.08 2110.64 0.00 0.00 0.00 48.73 7.76

21 20 0.5 5.0 2.36 10937.50 6.29 3.15 1.26 6.26 3.13 1.25 2110.64 0.00 0.00 0.61 68.11 10.84

22 20 1.0 1.0 2.36 175.00 1.40 0.70 0.70 1.38 0.69 0.69 2110.64 0.01 0.01 1.25 8.61 1.37

23 20 1.0 2.0 2.36 1400.00 10.22 5.11 2.56 10.08 5.04 2.52 2110.64 0.01 0.01 1.37 24.37 3.88

24 20 1.0 3.0 2.36 4725.00 10.87 5.43 1.81 11.02 5.51 1.84 2110.64 0.00 0.00 0.00 44.76 7.12

25 20 1.0 4.0 2.36 11200.00 6.30 3.15 0.79 6.26 3.13 0.78 2110.64 0.00 0.00 0.52 68.92 10.97

26 20 1.0 5.0 2.36 21875.00 5.62 2.81 0.56 5.69 2.85 0.57 2110.64 0.00 0.00 1.29 96.32 15.33

27 20 2.0 2.0 2.36 2800.00 24.49 12.24 3.06 25.09 12.55 3.14 2110.64 0.01 0.01 3.45 34.46 5.48

28 20 2.0 3.0 2.36 9450.00 6.41 3.20 0.53 6.42 3.21 0.53 2110.64 0.00 0.00 0.21 63.31 10.08

29 20 2.0 4.0 2.36 22400.00 5.59 2.79 0.35 5.67 2.83 0.35 2110.64 0.00 0.00 1.50 97.47 15.51

30 20 2.0 5.0 2.36 43750.00 4.59 2.29 0.23 4.81 2.41 0.24 2110.64 0.00 0.00 4.89 136.21 21.68

31 25 0.5 0.5 2.36 5.60 0.19 0.10 0.38 0.19 0.10 0.38 2110.64 0.03 0.03 0.88 1.54 0.25

32 25 0.5 1.0 2.36 44.80 0.60 0.30 0.60 0.60 0.30 0.60 2110.64 0.01 0.01 1.48 4.36 0.69

33 25 0.5 2.0 2.36 358.40 2.38 1.19 1.19 2.36 1.18 1.18 2110.64 0.01 0.01 0.00 12.33 1.96

34 25 0.5 3.0 2.36 1209.60 8.26 4.13 2.75 8.14 4.07 2.71 2110.64 0.01 0.01 1.47 22.65 3.60

35 25 0.5 4.0 2.36 2867.20 22.86 11.43 5.72 23.41 11.71 5.85 2110.64 0.01 0.01 2.50 34.87 5.55

36 25 0.5 5.0 2.36 5600.00 8.33 4.17 1.67 8.57 4.29 1.71 2110.64 0.00 0.00 0.00 48.73 7.76

37 25 1.0 1.0 2.36 89.60 0.80 0.40 0.40 0.79 0.40 0.40 2110.64 0.01 0.01 0.00 6.16 0.98

38 25 1.0 2.0 2.36 716.80 3.63 1.82 0.91 3.60 1.80 0.90 2110.64 0.01 0.01 1.96 17.44 2.77

39 25 1.0 3.0 2.36 2419.20 38.03 19.01 6.34 39.00 19.50 6.50 2110.64 0.02 0.02 2.55 32.03 5.10

40 25 1.0 4.0 2.36 5734.40 7.98 3.99 1.00 8.24 4.12 1.03 2110.64 0.00 0.00 0.00 49.31 7.85

41 25 1.0 5.0 2.36 11200.00 6.30 3.15 0.63 6.26 3.13 0.63 2110.64 0.00 0.00 0.52 68.92 10.97

42 25 2.0 2.0 2.36 1433.60 10.58 5.29 1.32 10.43 5.22 1.30 2110.64 0.01 0.01 1.35 24.66 3.92

43 25 2.0 3.0 2.36 4838.40 10.56 5.28 0.88 10.74 5.37 0.90 2110.64 0.00 0.00 0.00 45.30 7.21

44 25 2.0 4.0 2.36 11468.80 6.29 3.15 0.39 6.27 3.13 0.39 2110.64 0.00 0.00 0.43 69.74 11.10

45 25 2.0 5.0 2.36 22400.00 5.59 2.79 0.28 5.67 2.83 0.28 2110.64 0.00 0.00 1.50 97.47 15.51

53

Tabla 4.4. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo II rígido.

Graf nº

L (cm)

a (cm

)

b (cm

)

Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)


(Entrepiso)


por columna


(kg/cm2)


(Entrepiso)


por columna

Esfuerzo cortante numérico máximo

(kg/cm2)

Esfuerzo cortante

admisible

(kg/cm2)

Amplitud

máxima teórica (cm)

Amplitud

máxima numérica

(cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la



la estructura f

(Hz)

1 15 0.5 0.5 2.36 77.00 0.77 0.38 1.54 0.76 0.38 1.52 3800.00 0.01 0.01 1.00 5.71 1.10

2 15 0.5 1.0 2.36 616.00 3.35 1.67 3.35 3.31 1.66 3.31 3800.00 0.01 0.01 0.00 16.16 0.39

3 15 0.5 2.0 2.36 4928.00 10.30 5.15 5.15 10.50 5.25 5.25 3800.00 0.00 0.00 0.00 45.72 0.14

4 15 0.5 3.0 2.36 16632.00 5.80 2.90 1.93 5.91 2.96 1.97 3800.00 0.00 0.00 1.91 83.98 0.07

5 15 0.5 4.0 2.36 39424.00 4.76 2.38 1.19 4.92 2.46 1.23 3800.00 0.00 0.00 3.36 129.30 0.05

6 15 0.5 5.0 2.36 77000.00 4.35 2.17 0.87 4.17 2.09 0.83 3800.00 0.00 0.00 4.01 180.71 0.03

7 15 1.0 1.0 2.36 1232.00 8.54 4.27 4.27 8.41 4.21 4.21 3800.00 0.01 0.01 1.45 22.86 0.27

8 15 1.0 2.0 2.36 9856.00 6.34 3.17 1.58 6.36 3.18 1.59 3800.00 0.00 0.00 0.42 64.65 0.10

9 15 1.0 3.0 2.36 33264.00 4.94 2.47 0.82 5.01 2.50 0.83 3800.00 0.00 0.00 1.23 118.77 0.05

10 15 1.0 4.0 2.36 78848.00 4.35 2.17 0.54 4.18 2.09 0.52 3800.00 0.00 0.00 3.83 182.86 0.03

11 15 1.0 5.0 2.36 154000.00 4.06 2.03 0.41 4.59 2.30 0.46 3800.00 0.00 0.00 13.13 255.56 0.02

12 15 2.0 2.0 2.36 19712.00 5.73 2.86 0.72 5.75 2.88 0.72 3800.00 0.00 0.00 0.45 91.43 0.07

13 15 2.0 3.0 2.36 66528.00 4.22 2.11 0.35 4.17 2.08 0.35 3800.00 0.00 0.00 1.32 167.97 0.04

14 15 2.0 4.0 2.36 157696.00 4.06 2.03 0.25 4.60 2.30 0.29 3800.00 0.00 0.00 13.39 258.61 0.02

15 15 2.0 5.0 2.36 308000.00 4.14 2.07 0.21 0.00 0.00 0.00 3800.00 0.00 0.00 0.00 361.41 0.02

16 20 0.5 0.5 2.36 32.48 0.49 0.25 0.98 0.49 0.24 0.97 3800.00 0.02 0.02 0.66 3.71 1.69

17 20 0.5 1.0 2.36 259.88 1.89 0.95 1.89 1.88 0.94 1.88 3800.00 0.01 0.01 1.37 10.50 0.60

18 20 0.5 2.0 2.36 2079.00 27.67 13.83 13.83 26.87 13.44 13.44 3800.00 0.01 0.01 3.01 29.69 0.21

19 20 0.5 3.0 2.36 7016.63 6.64 3.32 2.21 6.91 3.45 2.30 3800.00 0.00 0.00 4.05 54.55 0.12

20 20 0.5 4.0 2.36 16632.00 5.80 2.90 1.45 5.91 2.96 1.48 3800.00 0.00 0.00 1.91 83.98 0.07

21 20 0.5 5.0 2.36 32484.38 4.96 2.48 0.99 5.01 2.50 1.00 3800.00 0.00 0.00 0.97 117.37 0.05

22 20 1.0 1.0 2.36 519.75 3.01 1.51 1.51 2.99 1.49 1.49 3800.00 0.01 0.01 1.72 14.85 0.42

23 20 1.0 2.0 2.36 4158.00 12.55 6.28 3.14 12.66 6.33 3.17 3800.00 0.00 0.00 0.00 41.99 0.15

24 20 1.0 3.0 2.36 14033.25 6.14 3.07 1.02 6.18 3.09 1.03 3800.00 0.00 0.00 0.62 77.14 0.08

25 20 1.0 4.0 2.36 33264.00 4.94 2.47 0.62 5.01 2.50 0.63 3800.00 0.00 0.00 1.23 118.77 0.05

26 20 1.0 5.0 2.36 64968.75 4.19 2.10 0.42 4.21 2.10 0.42 3800.00 0.00 0.00 0.32 165.99 0.04

27 20 2.0 2.0 2.36 8316.00 6.53 3.27 0.82 6.51 3.26 0.81 3800.00 0.00 0.00 0.33 59.39 0.11

28 20 2.0 3.0 2.36 28066.50 5.13 2.57 0.43 5.33 2.67 0.44 3800.00 0.00 0.00 3.92 109.10 0.06

29 20 2.0 4.0 2.36 66528.00 4.22 2.11 0.26 4.17 2.08 0.26 3800.00 0.00 0.00 1.32 167.97 0.04

30 20 2.0 5.0 2.36 129937.50 4.32 2.16 0.22 4.39 2.19 0.22 3800.00 0.00 0.00 1.62 234.74 0.03

31 25 0.5 0.5 2.36 16.63 0.34 0.17 0.69 0.34 0.17 0.68 3800.00 0.02 0.02 0.97 2.66 2.37

32 25 0.5 1.0 2.36 133.06 1.12 0.56 1.12 1.11 0.56 1.11 3800.00 0.01 0.01 0.00 7.51 0.84

33 25 0.5 2.0 2.36 1064.45 6.54 3.27 3.27 6.44 3.22 3.22 3800.00 0.01 0.01 1.64 21.25 0.30

34 25 0.5 3.0 2.36 3592.51 14.50 7.25 4.83 14.86 7.43 4.95 3800.00 0.00 0.00 2.50 39.03 0.16

35 25 0.5 4.0 2.36 8515.58 6.52 3.26 1.63 6.50 3.25 1.63 3800.00 0.00 0.00 0.24 60.09 0.10

36 25 0.5 5.0 2.36 16632.00 5.80 2.90 1.16 5.91 2.96 1.18 3800.00 0.00 0.00 1.91 83.98 0.07

37 25 1.0 1.0 2.36 266.11 1.93 0.96 0.96 1.91 0.95 0.95 3800.00 0.01 0.01 0.00 10.62 0.59

38 25 1.0 2.0 2.36 2128.90 30.42 15.21 7.60 29.49 14.75 7.37 3800.00 0.01 0.01 2.80 30.05 0.21

39 25 1.0 3.0 2.36 7185.02 6.54 3.27 1.09 6.63 3.31 1.10 3800.00 0.00 0.00 1.36 55.20 0.11

40 25 1.0 4.0 2.36 17031.17 5.78 2.89 0.72 5.86 2.93 0.73 3800.00 0.00 0.00 1.43 84.99 0.07

41 25 1.0 5.0 2.36 33264.00 4.94 2.47 0.49 5.01 2.50 0.50 3800.00 0.00 0.00 1.23 118.77 0.05

42 25 2.0 2.0 2.36 4257.79 12.26 6.13 1.53 12.40 6.20 1.55 3800.00 0.00 0.00 0.00 42.49 0.15

43 25 2.0 3.0 2.36 14370.05 6.10 3.05 0.51 6.15 3.07 0.51 3800.00 0.00 0.00 0.78 78.07 0.08

44 25 2.0 4.0 2.36 34062.34 4.93 2.46 0.31 5.00 2.50 0.31 3800.00 0.00 0.00 1.50 120.19 0.05

45 25 2.0 5.0 2.36 66528.00 4.22 2.11 0.21 4.17 2.08 0.21 3800.00 0.00 0.00 1.32 167.97 0.04

1) Amplitudes:

En general se pudo observar que a mayor rigidez se obtienen menores amplitudes de

movimiento de la masa. Dicho resultado es congruente con el hecho que mientras más

rígidas son las columnas, más rígida es la estructura. Por lo mismo, la diferencia entre

el comportamiento de los modelos flexibles (tipo I y tipo II) y los modelos rígidos (tipo

I y tipo II) es perceptible. Más detalladamente, comparando los resultados obtenidos de

amplitud máxima teórica y amplitud máxima numérica se observó que a lo largo del

análisis para los modelos tipo I el error máximo fue de 5.72%, siendo el porcentaje de

54

error promedio de 2.4%. Por su parte, en los modelos tipo II se alcanza un porcentaje de

error máximo del 13.36% en parte ocasionado por el orden de los resultados

(amplitudes del orden de 10-6 cm); sin embargo, el porcentaje de error promedio

obtenido es del 1.36%. No obstante, a pesar de que ambos tipos de modelos presentaron

resultados satisfactorios, se pudo observar claramente que los resultados obtenidos para

los modelos tipo II fueron muy bajos (es decir, que modelos de esta configuración

geométrica son muy rígidos y presentan amplitudes de movimiento de la masa

demasiado pequeñas para los efectos del trabajo), comparados con los resultados

obtenidos para los modelos tipo I.

2) Esfuerzos Cortantes:

En general se pudo observar que los esfuerzos cortantes inducidos en las columnas por

el movimiento al cual fueron sometidos los modelos no están dentro del rango crítico

(los esfuerzos cortantes están muy por debajo de los esfuerzos cortantes admisibles de

cada uno de los materiales de los modelos). Por lo tanto, el esfuerzo cortante no es un

factor que limite el diseño.

3) Frecuencia circular natural:

La frecuencia circular de los modelos, ωn es un parámetro un poco más complejo de

analizar pues, en efecto, depende de dos factores: la masa y la rigidez del modelo. Sin

embargo, en el análisis únicamente se procedió a modificar ωn manipulando la rigidez

del entrepiso de los mismos manteniendo la masa constante. Los resultados máximos y

mínimos se resumen en la Tabla 4.5. De dichos resultados se puede constatar que para

obtener amplitudes que pueden ser apreciadas por los usuarios de la mesa se debe tener

una frecuencia natural de los modelos bastante reducida y, por lo tanto, una rigidez baja

(como se había determinado en el análisis de las amplitudes). Además se observa que

dichas frecuencias están por debajo del límite inferior del rango propuesto para la

amplitud del movimiento de la mesa vibratoria (4 Hz). Nuevamente, los modelos tipo I

parecen ser los más adecuados.

55

Tabla 4.5. Resumen de resultados de frecuencia angular circular máxima y mínima de los modelos.

Modelo Valores de

amplitud (cm)

Frecuencia circular natural (rad/s)

Frecuencia natural

(Hz)

Máximo 0.03 4.17 0.66 Flexible

Mínimo 0.0004 112.41 17.86 Máximo 0.02 8.10 1.29

Modelo tipo I

Rígido Mínimo 0.0003 193.93 30.83 Máximo 0.03 1.54 0.25

Flexible Mínimo 0.00004 209.71 33.38 Máximo 0.02 2.66 0.42

Modelo tipo II

Rígido Mínimo 0.00003 258.61 41.16

4.3 Determinación definitiva de los modelos de un grado de libertad.

Obtenidos estos resultados se procedió a analizarlos con el fin de encontrar los modelos que

mejor se adecuen a las necesidades del caso. Se pudo observar que la resistencia a cortante

no es un factor crítico en el diseño de los modelos en cuestión, por lo cual no limitará el

diseño. Debido a esto, se determinó que el factor que se consideraría como influyente en el

diseño será la frecuencia natural del modelo. Se planteó inicialmente que se necesitarían

modelos que tuvieran una frecuencia natural de vibración que estuviera en el centro del

rango de frecuencias que puede generar la mesa; marginando así todos aquellos modelos

cuya frecuencia no estuviera entre los rangos de 12 +/- 3 Hz. Al establecer estos límites se

logró excluir varios modelos y se observó que los que cumplían con los requisitos de

frecuencia natural contaban con amplitudes máximas de movimiento bastante pequeñas (del

orden de 0.001 cm, no percibidas a simple vista por el ojo humano) por lo que se realizó

una primera conclusión: para efectos ilustrativos en el laboratorio, estos modelos no son de

mucha utilidad pues el movimiento de las masas no podrá ser apreciado en las prácticas. De

este modo, se determinó que el factor principal para la selección de los modelos a escoger

sería que el modelo fuera un modelo ilustrativo para efectos educativos; es decir, un

modelo cuyas amplitudes puedan ser apreciadas a la vista de cualquier estudiante y que al

mismo tiempo la mesa vibratoria pueda generar frecuencias cercanas a su frecuencia

56

circular natural (resonancia) para efectos de estudio. Así, los modelos tipo II se descartaron

por arrojar amplitudes muy pequeñas y, por lo tanto, requerir de frecuencias mucho

menores a la frecuencia mínima producida por la mesa para obtener el comportamiento

deseado de los modelos.

Con el fin de cumplir este último requisito, la rigidez del modelo debe ser baja lo que

implica también que debe tener una frecuencia de vibración pequeña. Tomando en cuenta

todos los modelos analizados, se puede afirmar que dicha frecuencia debe ser menor que la

frecuencia mínima que puede generar la mesa (4 Hz). A partir de dicha limitante se puede

extraer una segunda conclusión, la cual establece que para que un modelo sea funcional y

cumpla con los objetivos educacionales de los laboratorios, la mesa vibratoria deberá ser

capaz de trabajar bajo frecuencias menores a su límite inferior, de lo contrario el modelo no

podrá ilustrar su comportamiento de manera visible (incluso en resonancia). Por lo tanto,

será necesario realizar un nuevo diseño o bien aplicar las modificaciones necesarias para

que la mesa pueda trabajar en frecuencias dentro del rango de 0 a 5 Hz.

Luego de definir las modificaciones necesarias en la mesa para que su funcionamiento

fuera de utilidad para alcanzar los objetivos estipulados, se procedió a indagar con los

encargados diseño mecánico de la mesa vibratoria es posible realizar dichas modificaciones

y si serían factibles económica y constructivamente. Los encargados del diseño elaboraron

los cálculos y suposiciones necesarias para un replanteamiento del funcionamiento de la

mesa; a través de los cuales se determinó que sí sería posible reducir las frecuencias

estimadas inicialmente (4 a 20 Hz). Esta modificación se puede lograr mediante el uso de

un reductor de velocidad, el cual permite regular la velocidad del motor de la mesa. Este

complemento podría permitir que el mismo diseño de la mesa que ya se posee pueda

generar las frecuencias deseadas mediante la simple adición de dicho aparato y algunas

modificaciones adicionales que será necesario aplicar, las cuales conciernen al área de

mecánica. La opción es bastante viable pues no implica un rediseño completo de la mesa.

Con dicho aparato se podría obtener una frecuencia mínima de hasta 0.1 Hz sin forzar al

motor. El costo de dicho aparato no excede de $500.00 y depende la marca del aparato.

57

Esta modificación permitirá estudiar cada uno de los modelos bajo frecuencias debajo y

sobre su frecuencia natural de vibración, pasando por su frecuencia de resonancia lo cual

permitiría ilustrar perfectamente el comportamiento de la estructura.

Luego de haber superado el primer obstáculo (disminuir la frecuencia de movimiento de la

mesa), se procedió a replantear los parámetros necesarios de los modelos para que su

comportamiento en el laboratorio sea el adecuado. Los lineamientos para tomar dicha

decisión fueron los siguientes:

- La amplitud mínima de movimiento de la masa del modelo al estar cerca de su

frecuencia de resonancia debe ser 0.5 cm, tanto para los modelos rígidos como para

los modelos flexibles; esto con el fin de garantizar que al someter los modelos a un

movimiento cuya frecuencia vaya aumentando de 0.1 Hz a 5 Hz o más, se podrá

apreciar a simple vista el movimiento en resonancia del modelo sin comprometer su

integridad.

- La amplitud máxima de movimiento de la masa del modelo al estar cerca de su

resonancia no deberá exceder de 5 cm respecto a su posición de equilibrio. Esto, con

el fin de conservar la integridad del modelo pues debido a que consiste de varillas

deformables, un desplazamiento muy pronunciado podría causar deformaciones en

las varillas que afectarían su comportamiento y reducirían así su período de uso.

- La suma de las diferentes alturas que tendrán los tres modelos de un grado de

libertad no deberá exceder 0.9 m para todo tipo de modelo, de modo que al

ensamblar los tres modelos de un grado de libertada y construir el modelo de tres

grados de libertad no se obtengan dimensiones muy elevadas que generarían

amplitudes de movimiento muy altas y períodos de vibración pequeños (esto debido

a que mientras más alta es la altura de las columnas menor es la rigidez y por lo

tanto mayor es la amplitud y menor el período de vibración).

58

- La frecuencia angular natural de los tres modelos de un grado de libertad, no deberá

ser menor a 0.2 Hz tanto para los modelos rígidos como para los modelos flexibles

con el fin de garantizar que el modelo establecido pueda estudiarse desde

frecuencias menores a su frecuencia natural de vibración hasta frecuencias mayores,

pasando por su frecuencia de resonancia.

- El porcentaje de error de las amplitudes máximas no podrá ser mayor al 5%.

Luego de haber definido estos lineamientos se procedió a buscar en los cálculos

previamente realizados los modelos que pudiesen cumplir con cada una de estas

normativas, los cuales fueron los modelos tipo I con columna de sección circular de

diámetro 3/8 de pulgada. Además, se determinaron las medidas a implementar para la

obtención de modelos que cumplieran con los lineamientos establecidos. Primero se

determinó aumentar la longitud de las columnas las cuales ya no sería de 15, 20 y 25 cm

sino de 20, 25 y 30 cm. Además, se estableció disminuir su sección transversal para lo cual

se analizaron igualmente modelos de diámetro de 1/4 de pulgada. Los resultados obtenidos

tras esta readecuación de los modelos son los que muestran en las tablas 4.6, 4.7, 4.8 y 4.9.

• Resultados obtenidos con varillas de diámetro de 1/4 de pulgada.

a) Modelo tipo I flexible:

Tabla 4.6. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I flexible para varillas de 1/4 de pulgada.

Graf nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)


(kg)


(kg/cm2)


(kg)

Esfuerzo cortante

numérico máximo

(kg/cm2)

Esfuerzo cortante

admisible

(kg/cm2)


Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la



la estructura f

(Hz)

1 20 1/4 0.98 8.38 38.93 122.94 38.93 122.93 2110.64 4.65 4.65 0.01 2.92 0.46

2 25 1/4 0.98 4.29 36.22 114.38 36.22 114.37 2110.64 8.44 8.44 0.00 2.09 0.33

3 30 1/4 0.98 2.48 32.91 103.93 32.91 103.93 2110.64 13.26 13.26 0.00 1.59 0.25

59

Figura 4.4. Gráfica de desplazamiento de la masa para Ф=1/4 plg y L=20 cm.


0 5 10 15 20 25-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

0 5 10 15 20 25-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

60


b) Modelo tipo I rígido:

Tabla 4.7. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I rígido para varillas de 1/4 de pulgada.

Graf nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)

Cortante teórico

máximo (kg)


(kg/cm2)


(kg)

Esfuerzo cortante

numérico máximo

(kg/cm2)

Esfuerzo cortante

admisible

(kg/cm2)

Amplitud máxima teórica

(cm)

Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la



la estructura f

(Hz)

1 20 1/4 0.98 24.89 39.93 126.07 39.92 126.06 3800.00 1.60 1.60 0.00 5.03 0.80

2 25 1/4 0.98 12.74 39.44 124.55 39.44 124.54 3800.00 3.10 3.09 0.01 3.60 0.57

3 30 1/4 0.98 7.37 38.53 121.66 38.53 121.66 3800.00 5.22 5.22 0.01 2.74 0.44

0 5 10 15 20 25-15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

61



0 5 10 15 20 25 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

0 5 10 15 20 25 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

62


• Resultados obtenidos con varillas de diámetro de 3/8 de pulgada.

a) Modelo tipo I flexible:

Tabla 4.8. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I flexible para varillas de 3/8 de pulgada.

Graf nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)

Cortante teórico

máximo (kg)


(kg/cm2)


(kg)

Esfuerzo cortante

numérico máximo

(kg/cm2)

Esfuerzo cortante

admisible

(kg/cm2)


(cm)

Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la



la estructura f

(Hz)

1 20 3/8 0.98 42.42 39.99 56.12 39.97 56.10 2110.64 0.94 0.94 0.04 6.57 1.05

2 25 3/8 0.98 21.72 39.90 55.99 39.89 55.98 2110.64 1.84 1.84 0.02 4.70 0.75

3 30 3/8 0.98 12.57 39.40 55.29 39.39 55.28 2110.64 3.13 3.13 0.01 3.58 0.57

0 5 10 15 20 25 -6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

63



0 5 10 15 20 25 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

0 5 10 15 20 25 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

64


b) Modelo tipo rígido:

Tabla 4.9. Resultados de análisis paramétrico de modelo tipo I rígido para varillas de 3/8 de pulgada.

Graf nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)

Cortante teórico

máximo (kg)


(kg/cm2)


(kg)

Esfuerzo cortante

numérico máximo

(kg/cm2)

Esfuerzo cortante

admisible

(kg/cm2)


Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la



la estructura

f (Hz)

1 20 3/8 0.98 126.00 40.01 56.15 39.97 56.09 3800.00 0.32 0.32 0.11 11.32 1.80

2 25 3/8 0.98 64.51 40.01 56.15 39.99 56.12 3800.00 0.62 0.62 0.04 8.10 1.29

3 30 3/8 0.98 37.33 40.00 56.14 39.99 56.13 3800.00 1.07 1.07 0.02 6.16 0.98

0 5 10 15 20 25 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

65


Figura 4.14. Gráfica de desplazamiento de la masa para Ф=3/8 y L=25 cm.

0 5 10 15 20 25 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tiempo (s)

TEORICA NUMERICA

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

0 5 10 15 20 25 -0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

66


Estos resultados revelan que los desplazamientos de las masas en los modelos flexibles con

varillas de diámetro de 1/4 de pulgada son demasiado elevados en resonancia (el modelo de

L=30 cm presenta una amplitud máxima de casi 14 cm) y exceden los límites establecidos.

Razón por la cual fueron descartados a pesar de que los modelos rígidos sí presentaron

amplitudes aceptables.

En cambio, los resultados en resonancia de los modelos con varillas de 3/8 de pulgada son

satisfactorios tomando como base de comparación los lineamientos previamente

establecidos Se observar, no obstante, que para el caso del modelo más rígido (modelo de

columna de acero de L=20 cm) se registra una amplitud máxima de aproximadamente 0.3

cm los cual es inferior a los establecido; sin embargo, debido a que se trata del modelo más

rígido se considerará como satisfactorio.

Para dichos modelos (varilla de 3/8 de pulgada), las frecuencias naturales están

comprendidas entre 0.57 y 1.80 Hz, lo cual es satisfactorio considerando las modificaciones

0 5 10 15 20 25 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

TEORICA NUMERICA

67

a realizar en el diseño de la mesa vibratoria. Por lo cual de aquí en adelante se elegirán

estos como los modelos propuestos para la realización de las prácticas de laboratorio. La

propuesta de configuración y ensamblaje de los modelos de un grado de libertad es la que

se muestra en la Figura 4.16.

Figura 4.16. Esquema de ensamblaje de modelos de un grado de libertad.

4.4 Determinación definitiva de los parámetros de los modelos de tres grados de

libertad.

Por motivos de factibilidad puramente económica, funcional y de construcción, se ha

determinado que los modelos de tres grados de libertad se formarán utilizando los

elementos de los modelos de un grado de libertad. De modo que, utilizando los tres

modelos flexibles de un grado de libertad se pueda conformar el modelo flexible de tres

grados de libertad constituido por tres columnas cilíndricas de diámetro de 3/8 de pulgada

de longitudes de 30, 25 y 20 ms (en el orden que se desee) y tres masas de acero de 5 x 5 x

5 ms como se esquematiza en la Figura 4.17. De igual manera, se procederá a elaborar el

modelo rígido de tres grados de libertad en base a los tres modelos rígidos de un grado de

libertad.

68

Esta determinación permitirá reducir los costos de la ejecución de los modelos pues cada

elemento será reutilizable. Además, permitirá el ensamblaje de una gran variedad de

modelos según se requiera en futuras prácticas y/o simulaciones no planteadas en el actual

trabajo.

Figura 4.17. Esquema de ensamblaje de modelos de tres grados de libertad.

69

CAPÍTULO 5: ESTUDIO ANALÍTICO DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE LOS

MODELOS PROPUESTOS.

5.1 Respuesta de sistemas de un grado de libertad (SDOF).

En esta evaluación del comportamiento de los modelos propuestos se aplicó una excitación

dinámica periódica en la base, tal como se describe en la Ecuación 2.1, cuya amplitud es de

4 cm (A0 = 4 cm) y su frecuencia de vibración es cercana a la frecuencia natural de cada

estructura. Esto con el fin de apreciar cómo se comportarán los modelos cerca de su

frecuencia de resonancia y corroborar que dichos resultados sean satisfactorios en

comparación con los lineamientos establecidos en el Capítulo 4 (ver sección 4.3).

5.1.1 Modelos de un grado de libertad flexibles (aluminio)

La Tabla 5.1 muestra los resultados de desplazamiento y frecuencias obtenidos del análisis

dinámico de los modelos de un grado de libertad flexibles.

Tabla 5.1. Resultados de análisis de modelos de un grado de libertad flexibles

Graf nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)


(cm)

Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la



la estructura f

(Hz)

Período de

vibración teórico Tt

(s)

Período de

vibración numérico

Tn (s)

Porcentaje de error

(%)

1 20 3/8 0.98 42.42 0.94 0.94 0.038 6.57 1.05 1.18 1.18 0.016

2 25 3/8 0.98 21.72 1.84 1.84 0.017 4.70 0.75 1.64 1.64 0.008

3 30 3/8 0.98 12.57 3.13 3.13 0.012 3.58 0.57 2.16 2.16 0.005

Las gráficas de respuesta teórica versus respuesta numérica de desplazamientos obtenidas

de dichos modelos son las mismas que se muestran en Capítulo 4, Figura 4.10, 4.11 y 4.12

respectivamente; se repiten en la Figura 5.1 por conveniencia. Añadidas a estas se

presentan las gráficas que resumen los resultados de aceleración de la masa de cada modelo

con el fin de determinar cuáles serán los acelerómetros que se deberán utilizar para

registrarlas en las condiciones del laboratorio. [Ver Figura 5.2]

70

a) Historia de respuesta de modelo de b) Historia de respuesta de modelo de

un grado de libertad flexible Lcolumna=20 cm un grado de libertad flexible Lcolumna=25 cms

c) Historia de respuesta de modelo de

un grado de libertad flexible Lcolumna=30 cm

Figura 5.1. Respuesta de modelos de un grado de libertad flexibles.

Estos resultados permiten confirmar nuevamente que los modelos de un grado de libertad

flexibles cumplen con los lineamientos para aceptación establecidos anteriormente (estos

son amplitudes máxima y mínima de desplazamiento de 0.5 y 5 cm respectivamente,

frecuencia natural de vibración superior a 0.2 Hz y porcentaje de error entre resultado

teórico y numérico máximo de 5%).

0 5 10 15 20 25 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

0 5 10 15 20 25 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

0 5 10 15 20 25 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

71

a) Historia de aceleración de modelo de b) Historia de aceleración de modelo de


c) Historia de aceleración de modelo de


Figura 5.2. Aceleración de masa de modelos de un grado de libertad flexibles.

5.1.2 Modelos de un grado de libertad rígidos (acero)

La Tabla 5.2 muestra los resultados de desplazamiento y frecuencia obtenidos del análisis

dinámico de los modelos de un grado de libertad rígidos.

Las gráficas de respuesta teórico versus respuesta numérica obtenidas de dichos modelos se

muestran en las Figuras 4.13, 4.14 y 4.15 respectivamente; se repiten en la Figura 5.3 por

0 5 10 15 20 25 -50 -40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40 50

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(cm

/s2 )

0 5 10 15 20 25 -50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(cm

/s2 )

0 5 10 15 20 25 -50 -40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40 50

Tiempo (s)

72

conveniencia. Además se añaden a estas las gráficas que resumen los resultados de

aceleración de cada masa con los fines mencionados anteriormente. [Ver Figura 5.4]

a) Historia de respuesta de modelo de b) Historia de respuesta de modelo de

un grado de libertad rígido Lcolumna=20 cm un grado de libertad rígido Lcolumna=25 cm

c) Historia de respuesta de modelo de

un grado de libertad rígido Lcolumna=30 cm

Figura 5.3. Respuesta de modelos de un grado de libertad rígidos.

Se puede observar que para el modelo de longitud de 20 cm [Figura 5.3 a)], la amplitud

máxima experimentada cuando el movimiento de la base vibra cerca de la frecuencia

natural de vibración de la estructura, es de 0.3 cm (0.2 cm menos que lo establecido en

lineamientos de aceptación de Capítulo 4), lo que para efectos de visualización en la

práctica del laboratorio es considerado aceptable considerando que se trata del modelo más

0 5 10 15 20 25 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tiempo (s) 0 5 10 15 20 25 -0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

0 5 10 15 20 25 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

73

rígido. Los otros dos modelos con longitudes de columna de 25 y 30 cm sí cumplen con los

requisitos de desplazamiento deseados.

a) Historia de aceleración de modelo de b) Historia de aceleración de modelo de


c) Historia de aceleración de modelo de


Figura 5.4. Aceleración de masa de modelos de un grado de libertad rígidos.

Tabla 5.2. Resultados de análisis de modelos de un grado de libertad rígidos

Graf nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k (kg/cm)


(cm)

Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Frecuencia circular

natural de la


Frecuencia circular

natural de la

estructura ω (Hz)

Período de


(s)

Período de


Tn (s)

Porcentaje de error

(%)

1 20 3/8 0.98 126.00 0.32 0.32 0.110 11.32 1.80 0.68 0.68 0.048

2 25 3/8 0.98 64.51 0.62 0.62 0.040 8.10 1.29 0.95 0.95 0.025

3 30 3/8 0.98 37.33 1.07 1.07 0.018 6.16 0.98 1.25 1.25 0.014

0 5 10 15 20 25 -50 -40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40 50

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(cm

/s2 )

0 5 10 15 20 25 -50 -40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40 50

Tiempo (s)

0 5 10 15 20 25 -50 -40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40 50

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(cm

/s2 )

74

5.2 Respuesta de sistemas de tres grados de libertad (3DOF).

Al igual que en la evaluación anterior, los modelos propuestos se sometieron a una

excitación dinámica periódica en la base, tal como se describe en la Ecuación 2.1, cuya

amplitud es de 4 cm (A0 = 4 cm) y su frecuencia de vibración es cercana a la frecuencia

natural de vibración del modo 1 de cada estructura. Se utilizó la frecuencia natural de

vibración del modo 1 pues es el modo cuyo factor de participación es el más elevado según

los resultados obtenidos; por lo cual es el modo que participa más en la respuesta de la

estructura. En la Tabla 5.3 se resumen los resultados de factor de participación y

frecuencias correspondientes de cada modelo de tres grados de libertad.

Para efectos de este trabajo, únicamente se analizarán los modelos tales como los plantea el

esquema de la Figura 4.17, utilizando en cada uno la configuración de columnas como se

observa en dicha figura (columnas de 30 ms en primer entrepiso, columna de 25 ms en

segundo entrepiso y columna de 20 ms en tercer entrepiso). Sin embargo, debido a que los

modelos pueden ser armados y desarmados, pueden ensayarse una gran variedad de

configuraciones lo cual será interesante implementarlo en las prácticas de laboratorio con el

fin de comparar y analizar resultados.

Tabla 5.3. Coeficientes de participación y frecuencias naturales de los modos de vibración de modelos.

MODELO MODO COEFICIENTE DE PARTICIPACIÓN

MODAL FRECUENCIA NATURAL (rad/s)

Modo 1 1.7806 2.95

Modo 2 0.3130 9.84 3DOF

FLEXIBLE Modo 3 0.0295 16.70

Modo 1 1.7061 1.78

Modo 2 0.3013 5.98 3DOF

RÍGIDO Modo 3 0.0302 10.09

Se han incluido las gráficas que resumen los resultados de aceleración de las masas de

modelos de tres grados de libertad flexible y rígido respectivamente. Este resultado no fue

un parámetro con el cual se analizaron los modelos (no se establecieron requisitos ni

limitantes respecto a estos); sin embargo, se muestran con el fin de seleccionar los

75

acelerómetros que mejor puedan registrar las aceleraciones de las masas en las prácticas de

laboratorio propuestas en el Capítulo 6.

5.2.1 Modelo de tres grados de libertad flexible (aluminio)

La Tabla 5.4 muestra los resultados obtenidos del análisis dinámico del modelo de tres

grados de libertad flexible.

Tabla 5.4. Resultados de análisis de modelo de tres grados de libertad flexible.

Masa nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)


(cm)

Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Período de


(s)

Período de


Tn (s)

Porcentaje de error

(%)

1 30 3/8 1.02 12.57 8.52 8.51 0.003 2.51 2.51 0.001

2 25 3/8 1.01 21.72 12.18 12.18 0.002 2.53 2.53 0.001

3 20 3/8 0.98 42.42 13.14 13.14 0.002 2.53 2.53 0.001

Las gráficas de respuesta teórica versus respuesta numérica de los desplazamientos

obtenidos para cada masa del modelo se muestran en la Figura 5.5. Además se muestran en

la Figura 5.6 los historiales de aceleración de cada una de las masas del modelo calculadas

en los programas.

Estos resultados reflejan unos desplazamientos máximos mayores al máximo establecido en

el Capítulo 4 (5 cm); sin embargo, estos pueden ser controlados o manipulados, por un

lado, a través del tiempo de exposición de la estructura al movimiento de frecuencia

cercana a la frecuencia natural del modelo. Dicho tiempo no deberá exceder el tiempo que

toma a cada masa llegar a una amplitud de 5 cm. Por ejemplo en este caso la estructura no

deberá ser expuesta al movimiento con frecuencia cercana a la de resonancia más de

aproximadamente 5 segundos para que el desplazamiento relativo de la masa no exceda de

5 cm. Por otro lado, los desplazamientos de las masas pueden ser también controlados

mediante la modificación de la altura de los entrepisos (altura de columnas).

76

a) Historia de respuesta de la masa 1 b) Historia de respuesta de la masa 2

c) Historia de respuesta de la masa 3

Figura 5.5. Respuesta de modelo de tres grados de libertad flexible.

Como se mencionó anteriormente, se propone analizar y ensayar diferentes configuraciones

geométricas. Para este caso en específico, se plantea utilizar un modelo de tres grados de

libertad flexible con altura de columnas de 20 cm con el fin de disminuir las amplitudes de

desplazamiento de cada masa. Este dato deberá ser primero corroborado con el auxilio de

los programas de Matlab y luego confirmado empíricamente en el laboratorio.

0 5 10 15 20 25 30 -15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

0 5 10 1

5 20 2

5 30

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

0 5 10 15 20 25 30 -15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (s)

77

Figura 5.6. Historial de aceleraciones de cada masa del modelo de tres grados de libertad flexible.

5.2.2 Modelo de tres grados de libertad rígido (acero)

La Tabla 5.5 muestra los resultados obtenidos del análisis dinámico del modelo de tres

grados de libertad flexible.

Tabla 5.5. Resultados de análisis de modelo de tres grados de libertad rígido.

Masa nº

L (cm)

Φ

(plg)Masa (kg)

Rigidez, k

(kg/cm)


(cm)

Amplitud máxima

numérica (cm)

Porcentaje de error

(%)

Período de


(s)

Período de


Tn (s)

Porcentaje de error

(%)

1 30.00 3/8 1.14 37.33 3.36 3.36 0.007 1.52 1.52 0.002

2 25.00 3/8 1.11 64.51 4.78 4.78 0.006 1.52 1.52 0.003

3 20.00 3/8 1.02 126.00 5.15 5.15 0.008 1.53 1.53 0.003

Las gráficas de respuesta teórica versus respuesta numérica obtenidas para cada masa del

modelo se muestran en la Figura 5.7. Además se muestran en la Figura 5.8 los historiales de

aceleraciones de cada una de las masas del modelo calculados en los programas.

0 5 10 15 20 25 30 -50

-40 -30

-20 -10

0

10 20

30

40

50

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(cm

/s2 )

ACEL. MASA 1ACEL. MASA 2ACEL. MASA 3

78

JHG

a) Historia de respuesta de la masa 1 b) Historia de respuesta de la masa 2

c) Historia de respuesta de la masa 3

Figura 5.7. Respuesta de modelo de tres grados de libertad rígido.

Estos resultados reflejan que para el caso del modelo de tres grados de libertad rígido los

desplazamientos máximos y mínimos cumplen con los requisitos y límites establecidos en

el Capítulo 4.

5.3 Resumen de resultados máximos y mínimos.

Con el objetivo de visualizar claramente los resultados obtenidos del estudio analítico de

los modelos de tres grados de libertad vibrando en cada uno de los modos se presenta la

Tabla 5.6.

0 5 10 15 20 25 30 -6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

0 5 10 15 20 25 30 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s) 0 5 1

1

2

2

3

-

-

-

-

0

1

2

3

4

Tiempo

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

79

Figura 5.8. Historial de aceleraciones de cada masa del modelo de tres grados de libertad rígido.

Tabla 5.6. Resumen de valores de amplitud y aceleración máximos en modelos 3DOF.

Amplitud máxima

cm

Aceleración

máxima cm/s2

Amplitud máxima

cm

Aceleración

máxima cm/s2

Amplitud máxima

cm

Aceleración

máxima cm/s2

1 9.00 30.00 0.45 11.00 0.19 5.502 12.00 40.00 0.50 5.00 0.24 5.003 14.00 50.00 0.55 7.00 0.25 5.001 3.50 30.00 0.16 11.00 0.06 5.902 4.90 41.00 0.19 6.00 0.08 4.203 5.00 45.00 0.20 7.50 0.09 5.80

MODO 3MODO 2

MASAMODELO

3DOF flexible

3DOF rígido

MODO 1

En la tabla anterior se presentan los resultados máximos de amplitud y aceleración

obtenidos del estudio analítico de los modelos de tres grados de libertad. Para su obtención

se aplicó a cada modelo la frecuencia de vibración de cada uno de sus modos y se

registraron los datos de salida obtenidos.

0 5 10 15 20 25 30 -50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(cm

/s2 )

ACEL. MASA 1ACEL. MASA 2ACEL. MASA 3

80

81

CAPÍTULO 6: GUÍAS DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO

6.1 Práctica de Laboratorio No. 1

6.1.1 Tema

MEDICIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS MODELOS Y CÁLCULO DE LAS

RIGIDECES.

6.1.2 Objetivo

Determinar las masas y las dimensiones del modelo del experimento, que serán utilizadas

como datos de entrada para el programa que calcula la respuesta dinámica de los modelos.

También se desea medir la rigidez de los entrepisos del modelo a ensayar sobre la mesa

vibratoria.

6.1.3 Marco Teórico

Una de las aplicaciones más importantes de la teoría de la dinámica de estructuras es el

analizar la respuesta de las estructuras al movimiento del suelo causado por sismos. El

propósito de conocer las propiedades de los modelos de estructuras a corte es comparar los

resultados analíticos obtenidos mediante la utilización de los programas de Matlab

(ProgramaSDOF y Programa3DOF) con los obtenidos a través de pruebas de laboratorio

[Chopra, 2000: p. 197].

La rigidez no es una entrada directa del programa hecho en Matlab, pero es necesario

conocer la rigidez real del modelo y así saber que tan preciso es el modelo que se ha

calculado en el programa en Matlab.

Para los sistemas lineales, la relación entre la fuerza lateral fs y la deformación resultante u

es lineal, esto es:

kufs = (Ec. 6.1)

82

Donde k es la rigidez lateral del sistema, sus unidades son fuerza/longitud. Está implícito en

la Ec. 5.1 el supuesto que la relación lineal de fs-u determinada para deformaciones

pequeñas de la estructura es válida también para grandes deformaciones.

Para los casos de estructuras de marcos en los cuales se considera que las vigas tienen

rigidez infinita, la rigidez de las columnas puede ser calculada así:

∆== ∑

V

L

EIk

Columnas

c

3

12

(Ec. 6.2)

Donde: E Modulo de elasticidad de la columna

I Inercia de la columna alrededor del eje de flexión.

L Longitud de la columna.

V Fuerza cortante.

∆ Desplazamiento lateral.

Como se puede observar, la rigidez puede ser calculada a partir de solamente las

dimensiones y propiedades de los materiales de la columna (Ec. 6.2). También puede

calcularse si se conoce la deformación lateral de un entrepiso y la carga que la produce,

usando la ecuación 6.1. [Chopra, 2000: p. 9]

6.1.4 Equipo a utilizar

- Balanza con una precisión de 0.1g [Figura 6.1].

- Cinta métrica.

- Modelo de estructura.

- Pie de rey.

- Balanza de resorte [Figura 6.2].

- Base para empotrar el modelo [Figura 6.3].

- Cuerdas elásticas con ganchos en sus extremos [Figura 6.4].

- Nivel de caja [Figura 6.5].

83

Figura 6.1. Balanza de precisión 0.1g. [Fuente: http://www.basculasbalanzas.com, Junio 2009 ]

Figura 6.2. Balanza de resorte. [Fuente: http://www.basculasbalanzas.com, Junio 2009]

Figura 6.3. Base para colocar mesa vibratoria y modelos estructurales.

84

Figura 6.4. Cuerda elástica con ganchos en sus extremos [Fuente http://www.nautilus21.com, Junio

2009]

Figura 6.5. Nivel de caja. [Fuente: http://www.basculasbalanzas.com, Junio 2009]

Figura 6.6. Esquema de la longitud libre de columna.

L

85

Figura 6.7. Base para mesa vibratoria y soportes instalados en pared de laboratorio.

6.1.5 Procedimiento

• Cálculo de los parámetros de los modelos

1. Tome el modelo de uno o varios grados de libertad al cual se medirán las propiedades y

separe cada una de sus piezas.

2. Mida todas las piezas del modelo con la cinta métrica y guarde registro de dichas

medidas. Las medidas que se tomarán son: altura de columnas según la [Figura 6.6],

dimensiones de la masa, dimensión transversal de columnas.

3. Pese la(s) masa(s) y la(s) columna(s); guarde registro de ello en la Tabla 6.1

4. Arme nuevamente el modelo.

Sujetadores

m3

m2

m1

Base de mesa vibratoria

Pizarra para medición de desplazamientos

86

• Cálculo de las rigideces de los entrepisos.

1. Colocar el modelo, ya sea de uno o de tres grados de libertad sobre la base para

empotrar y fijarlo a la misma.

2. Verificar que la balanza de resorte y el deformímetro estén calibrados.

3. Instalar en alguna pared del laboratorio sujetadores con los cuales se pueda asegurar la

masa de cada entrepiso (esto si se trata de un modelo de tres grados de libertad) estos

sujetadores, se pueden instalar a través del empotramiento de ganchos que

posteriormente se fijarán a argollas colocadas estratégicamente en cada masa. [Figura

6.7]

4. Determinación de k1 (rigidez del primer entrepiso).

a) Sujete un extremo de la cinta elástica a la masa del piso 1 y el otro extremo a la

balanza de resorte.

b) Marque la posición inicial de la masa del piso 1 en la pizarra de la base.

c) Verifique que la balanza esté en posición 0.

d) Tire de la balanza a modo que la masa del piso 1 se desplace de manera

horizontal [Figura 6.8 (a)], para mayor certeza, verifique que la cinta esté en

posición horizontal con el nivel de caja. Marque la nueva posición de la masa en

la pizarra, mida el desplazamiento ∆ (posición final menos posición inicial

marcadas en la pizarra) y mida la carga (registro en la balanza de resorte).

e) Si todos los modelos a estudiar son de un grado de libertad (SDOF), repita los

pasos desde a) hasta d) para cada modelo.

5. Determinación de k2 (rigidez del segundo entrepiso)

a) Fije la masa del piso 1 a uno de los sujetadores previamente instalados en la

pared, de tal forma que la masa del piso 1 no se mueva de su posición no

deformada [Figura. 6.8 (b)].

b) Repita los pasos desde a) hasta d) del numeral 4 para el piso 2.

6. Determinación de k3 (rigidez entre el segundo piso y el tercer entrepiso):

87

a) Manteniendo fija la masa del piso 1, fije la masa del piso 2 a uno de los

sujetadores previamente instalados en la pared, de tal forma que ambas masas

no se muevan de su posición no deformada [Figura 6.8 (c)].

b) Repita los pasos desde a) hasta d) del numeral 4 para el piso 3.

7. Ordene todo y guarde el equipo.

(a) (b) (c)

Figura 6.8. Esquemas de los modelo de tres grados de libertad con rigideces k1, k2 y k3 correspondientes

a entrepisos 1, 2 y 3 respectivamente y la medición de la rigidez de cada entrepiso.

6.1.6 Referencias bibliográficas

Chopra A.K., [2000]. Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake

Engineering

UCIST, http://mase.wustl.edu/wusceel/ucist/, Junio de 2009

88

Tabla 6.1. Hoja para toma de datos de laboratorio de medición de propiedades de los modelos.

Fecha: ____________________________

Grupo de Laboratorio: _______________

1. Modelos de un grado de libertad (SDOF)

Dimensiones de masa (axbxc) _____x_____x_____=_____cm

Masa (m) _________ kg

Longitud de columna (L) __________cm

Dimensiones de columna (axb) _____x_____=_____cm

2. Modelos de un grado de libertad (SDOF)

Piso

Propiedad 1 2 3

Dimensiones de masa

(axbxc), cm

a: ______

b: ______

c: ______

a: ______

b: ______

c: ______

a: ______

b: ______

c: ______

Masa, kg

Longitud de columna, cm

Dimensiones de columna

(axb), cm

a: ______

b: ______

a: ______

b: ______

a: ______

b: ______

89

Tabla 6.2. Hoja para toma de datos de las deformaciones y fuerzas en el cálculo de las rigideces.

Fecha: ____________________________

Grupo de Laboratorio: _______________

Piso 1 Piso 2 Piso 3 No

Fuerza

(kg)

Deformación

(cm2)

Rigidez

(kg/cm)

Fuerza

(kg)

Deformación

(cm2)

Rigidez

(kg/cm)

Fuerza

(kg)

Deformación

(cm2)

Rigidez

(kg/cm)

1

2

3

4

5

6

7

8

90


6.2.1 Tema

EXPERIMETO PARA EL CÁLCULO DEL AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

6.2.2 Objetivo

Determinar experimentalmente la fracción de amortiguamiento crítico de un modelo

estructural.


Debido a que no es posible determinar de manera analítica para estructuras prácticas la

fracción de amortiguamiento críticoζ , esta propiedad debe ser determinada de manera

experimental. Los experimentos de vibración libre son un medio para determinar el

amortiguamiento de los modelos de estructuras. Una estructura está en vibración libre

cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la

excitación de fuerza externa alguna ( 0)( =tp ). De este modo se realiza una prueba para

medir la fracción de amortiguamiento crítico de una estructura, primero desplazando la

masa de la estructura fuera de su posición no deformada (midiendo el desplazamiento

inducido), liberándola y registrando sus desplazamientos en el tiempo hasta que llega a su

posición de equilibrio. Los sistemas pueden tener los siguientes comportamientos:

� Si c=ccr ó x=1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por

tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento

crítico.

� Si c>ccr ó x>1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio

lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado.

� Si c<ccr ó x<1 El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una

amplitud que decrece progresivamente, y es llamado sistema subamortiguado.

91

Para sistemas ligeramente subamortiguados la fracción de amortiguamiento crítico puede

ser determinada a partir de las siguientes expresiones:

1

ln2

1

+

=i

i

u

u

jπζ ó

1

ln2

1

+

=i

i

u

u

j &&

&&

πζ

(Ec. 6.3)

Donde ζ Fracción de amortiguamiento crítico

iu Desplazamiento de la masa en el tiempo i

1+iu Desplazamiento de a masa en el tiempo i+1

iu&& Aceleración de la masa en el tiempo i

1+iu&& Aceleración de a masa en el tiempo i+1

j Numero de ciclos que transcurridos entre el parámetro de tiempo i y el

parámetro del tiempo i+1.

El período natural amortiguado del sistema DT puede ser determinado a partir del registro

del tiempo que necesita el modelo estructural para completar un ciclo de vibración.

[Chopra, 2000: p. 54]


- Modelo estructural.

- Acelerómetro para cada masa del modelo.

- Base para empotrar el modelo [Figura. 6.3].

- Computadora para registrar aceleraciones.

- Sistema de adquisición de datos.

- Cronómetro.

- Cámara de video con cronómetro interno para comparar la grabación con el registro

del tiempo.

- Regla con precisión de 1 mm para medir desplazamientos de las masas.

- Televisión o computadora (para observar el video).

92

6.2.5 Procedimiento

1. Colocar el modelo a ensayar (de uno o de tres grados de libertad) sobre la base y

fijarlo a la misma.

2. Colocar los acelerógrafos en cada una de las masas del modelo.

3. Conectar los acelerógrafos al sistema de adquisición de datos y este a la computadora

para comenzar el registro.

4. Colocar el modelo frente a la pizarra de la base que tiene las reglas de medida.

5. Colocar la cámara de tal forma que se pueda filmar el modelo desde la parte frontal y se

aprecien las medidas de la regla al fondo.

6. Desplazar la masa del último nivel del modelo a modo que esta se desplace de manera

horizontal hacia un extremo. Anotar dicho desplazamiento inicial en la Tabla 6.3.

7. Luego que en el cronómetro de la cámara de grabación han transcurrido 10 segundos,

liberar la masa y dejar el modelo en vibración libre.

8. Grabar el proceso hasta que la masa entre en reposo.

9. Contar el número de ciclos que necesita el modelo para llegar al reposo y anotarlo.

10. Reproducir el video en una televisión y registrar en la Tabla 6.3 los desplazamientos

contra el tiempo.

11. Seleccione el tiempo i e i+1 de tal manera que tanto los desplazamientos como las

aceleraciones se diferencien claramente uno del otro.

12. Determine la aceleración iu&& y 1+iu&& tomada del registro acelerográfico.

13. Determinar los desplazamientos iu y 1+iu tomados del video.

14. Determine el número de ciclos j entre el tiempo i y el i+1, de los cuales se han

tomado las aceleraciones y los desplazamientos.

15. Calcule ζ a partir de la Ec. 6.2

16. Repita el procedimiento desplazando la masa en sentido contrario dando un

desplazamiento inicial igual al anterior.

17. Repita el ensayo usando un desplazamiento inicial igual a ¾ del desplazamiento del

ensayo 1.

93

Tabla 6.3. Hoja de toma de datos de los desplazamientos y el tiempo para el cálculo de fracción de

amortiguamiento crítico.

Fecha: ________________________

Grupo de laboratorio: ____________

Masa (kg)

Longitud de columna (cm)

Dirección del desplazamiento (izquierda o

derecha)

Desplazamiento inicial (cm)

Nota: se tomaran como positivos los desplazamientos hacia la derecha respecto a la

posición no deformada.

Tiempo (s)

Desplazamiento respecto al

equilibrio (cm)

Desplazamientos máximos

identificados (cm)

94

6.2.6 Referencias Bibliográficas


Engineering

UCIST, http://mase.wustl.edu/wusceel/ucist/, 20 de junio de 2009

UMSS, http://www.umss.edu.bo/epubs/etexts/downloads/19/cap_IV, 22 de julio de 2009

95


6.3.1 Tema

CÁLCULO DE LA RESPUESTA DEL MODELO ANTE UN MOVIMIENTO DE LA

BASE.

6.3.2 Objetivo

Determinar y conocer el comportamiento de los modelos ante una excitación dinámica en la

base a través de un movimiento senoidal inducido por una mesa vibratoria y compararlo

con el comportamiento estimado a través de cálculos en programas utilizando métodos

teóricos y numéricos.


El estudio analítico de la respuesta de las estructuras ante movimientos del terreno

generado por un sismo es muy importante; ya que a través de dicho estudio es posible

estimar si determinada configuración estructural será resistente o no ante estos eventos.

Al estudiar la respuesta de una estructura lo que se desea conocer, entre otros parámetros,

es la amplitud máxima del movimiento de cada una de sus masas o entrepisos; igualmente

interesan su aceleración y su velocidad máximas. Es posible conocer estos valores de

manera práctica a través de la modelación de una estructura y de su ensayo en una mesa

vibratoria; y así conocer mejor su comportamiento. La comparación de datos provenientes

de los métodos analíticos con los provenientes del laboratorio es imprescindible. En efecto,

son de gran utilidad para conocer el grado de precisión con los que estos métodos se

acercan a la realidad.



- Acelerógrafos (uno para cada masa del modelo).

- Mesa vibratoria educacional.


96

- Cronómetro.


del tiempo.

- Base para mesa vibratoria con reglas de medición con precisión de 1 mm [Figura

6.3]

- Televisión o computadora para poder ver el video.

- Computadora con los programas para obtención de los resultados del estudio

analítico denominados SDOF y 3DOF en Matlab.

6.3.5 Procedimiento

• Cálculo de la amplitud máxima de cada masa a) Colocar el modelo sobre la mesa vibratoria.

b) Asegurarlo a modo que quede fijo y empotrado.

c) Colocar la cámara a modo que se puedan filmar los desplazamientos de cada masa.

d) Determinar la amplitud y la frecuencia del movimiento de la mesa que se utilizará.

e) Activar la mesa de modo que genere el movimiento previamente diseñado (tener

cuidado que la frecuencia del movimiento de la mesa no sea la misma que la frecuencia

circular natural del modelo)

f) Posicionar la regla detrás de cada masa y filmar durante 30 segundos de modo a obtener

el desplazamiento máximo de cada masa.

g) Detener la mesa.

h) Cambiar la frecuencia (sin acercarse a la frecuencia natural del modelo) y volver a

repetir los pasos desde d) hasta g). Hacer esto con tres frecuencias distintas.

i) Colocar la cinta grabada en el reproductor de video.

j) Anotar las amplitudes máximas obtenidas para cada masa en las tres frecuencias

inducidas al movimiento.

k) Repetir todos los pasos desde a) hasta j) para cada modelo a probar.

• Cálculo de la aceleración máxima de cada masa.

a) Colocar los acelerómetros en cada masa del modelo.

b) Conectarlos a la computadora y prepararlos para iniciar el movimiento.

97

c) Activar la mesa con la amplitud utilizada para el experimento anterior.

d) Tomar el registro de la aceleración para cada frecuencia inducida en el experimento

anterior.

e) Repetir los pasos de a) hasta d) para cada modelo a probar.

• Comparación de los datos obtenidos en el laboratorio con los datos del programa

en Matlab.

a) Abrir el programa de Matlab SDOF o 3DOF, según lo requiera el caso.

b) Introducir las entradas al programa de los datos previamente obtenidos (amplitud y

frecuencia del movimiento; y rigidez, masa y fracción de amortiguamiento crítico del

modelo).

c) Correr el programa.

d) Tomar del programa la amplitud máxima, aceleración máxima, y velocidad máxima y la

frecuencia natural para cada masa.

e) Comparar los datos obtenidos del programa de Matlab con los obtenidos en la práctica

del laboratorio

f) Evaluar el porcentaje de error de cada valor.

98

Tabla 6.4. Hoja de toma de datos de las respuestas del modelo ante un movimiento de la base.

Fecha: ________________________


Frecuencia: ____________________

Prueba realizada Masa 1 Masa 2 Masa 3

Amplitud máxima

Aceleración máxima

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Frecuencia circular

natural

Nota: en caso de no visualizar más de una frecuencia de resonancia, calcular los factores

de participación para verificar si existe una influencia significante de cada modo de

vibración.

99

Tabla 6.5. Hoja de comparación de datos de las respuestas del modelo ante un movimiento de la base

con las respuestas calculadas en Matlab.

Fecha: ________________________


Respuesta

Prueba Elemento Práctica de

laboratorio

Programa

Matlab

Error (%)

M1 (cm)

M2 (cm) Amplitud

máxima M3 (cm)

M1 (cm/s2)

M2 (cm/s2) Aceleración

máxima M3 (cm/s2)

Modo1 (rad/s)

Modo2 (rad/s)

Frecuencia

circular

natural Modo3 (rad/s)



Engineering

UCIST, http://mase.wustl.edu/wusceel/ucist/, 20 de junio de 2009

100


6.4.1 Tema

CÁLCULO DEL FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICO.

6.4.2 Objetivo

Determinar y conocer los factores de amplitud dinámico de la estructura, y al mismo

tiempo conocer el comportamiento y la relación que el factor dinámico tiene con la razón

de frecuencias.


Para el caso de un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento se sabe que la

ecuación diferencial del movimiento es la siguiente:

tPkuucum ωsin0=++ &&& (Ec. 6.4)

Donde m Masa del entrepiso

u&& Aceleración de la masa

c Coeficiente de amortiguamiento

u& Velocidad de la masa

k Rigidez del entrepiso

u Posición de la masa

ω Frecuencia de la fuerza de excitación

P0 Amplitud del movimiento de excitación

t Tiempo

La solución completa de esta ecuación consiste de dos soluciones, las cuales son conocidas

como la solución complementaria (uc(t)) y la solución particular (up(t)). La solución

complementaria es la respuesta de libre vibración y está dada por la siguiente ecuación:

)sincos()( tBtAetu DD

t

cn ωωζω += − (Ec. 6.5)

Donde ζ Fracción de amortiguamiento crítico

nω Frecuencia natural de la estructura

101

Dω Frecuencia natural amortiguada

t Tiempo

La solución particular está dada por la siguiente ecuación:

)cossin()( tDtCtu p ωω += (Ec. 6.6)

Donde:

[ ] [ ]222

20

)/(2)/(1

)/(1

nn

n

k

PC

ωωζωω

ωω

+−

−=

(Ec. 6.7)

[ ] [ ]222

0

)/(2)/(1

/2

nn

n

k

PD

ωωζωω

ωζω

+−

−=

(Ec. 6.8)

La deformación en el estado fijo del sistema debida a una fuerza armónica descrita por la

ecuación (6.6), (6.7) y (6.8), puede ser reescrita como:

)sin()()sin()( 00 φωφω −=−= tRututu dst (Ec. 6.9)

Donde:

220 DCu += (Ec. 6.10)

Y también:

)/(tan 1 CD−= −φ (Ec. 6.11)

Sustituyendo por los valores de C y D (ecuaciones (6.7) y (6.8)) obtenemos:

[ ] [ ]2220

0

)/(2)/(1

1

)(nn

st

du

uR

ωωζωω +−==

(Ec. 6.12)

21

)/(1

)/(2tan

n

n

ωω

ωωζφ

−= −

(Ec. 6.13)

102

Donde dR Factor de amplitud dinámico

φ Angulo de fase

[Chopra, 2000: p. 72-76]



- Acelerógrafos (uno para cada masa del modelo).



- Cronómetro.


del tiempo.


6.3]

- Televisión (para poder ver el video).



6.4.5 Procedimiento

a) De los resultados obtenidos para los tres modelos de un grado de libertad tomar la

frecuencia natural ( nω ) de cada uno.

b) Establecer el la frecuencia natural de la estructura ( nω ) como el centro de los rangos de

datos en la Tabla 6.6.

c) Calcular 15 datos sobre y bajo el valor de ( nω ) para cada estructura.

d) Calcular el factor de amplitud dinámica (Rd) para los valores de ζ =0.01, ζ =0.1,

ζ =0.2, ζ =0.7 y ζ =1.0, y colocarlos en la Tabla 6.6 para cada valor de la frecuencia

angular natural del movimiento (ω ).

e) Graficar los siguientes puntos:

((ω / nω ), ( dR (ζ =0.01)))

((ω / nω ), ( dR (ζ =0.1)))

103

((ω / nω ), ( dR (ζ =0.2)))

((ω / nω ), ( dR (ζ =0.7)))

((ω / nω ), ( dR (ζ =1.0)))



Fecha: __________________________________

Grupo de laboratorio: ______________________

Longitud de columna (L): ___________________

Frecuencia natural ( nω ): ____________________

ω

(rad/s)

ω / nω dR (ζ =0.01) dR (ζ =0.1) dR (ζ =0.2) dR (ζ =0.7) dR (ζ =1)

(15 puntos)

.

.

nω

.

. (15 puntos)



Engineering.

104


6.5.1 Tema

CALCULO DE LA FRECUENCIA NATURAL, PERÍODO NATURAL Y FACTOR DE

AMPLITUD DINÁMICO DE LOS MODELOS DE MANERA EXPERIMENTAL

6.5.2 Objetivo

Conocer los procedimientos para calcular la frecuencia y períodos naturales de los modelos

y los que se realizan para el cálculo del factor de amplitud dinámico


Al tener una teoría es necesario realizar pruebas para verificar su precisión y grado de

certeza. Al conocer las propiedades geométricas y estructurales de determinado modelo de

edificio a corte, ya sea de uno o varios grados de libertad. Es posible, por medio de la

utilización de cálculos matemáticos, conocer la frecuencia natural, período natural y factor

de amplitud dinámico de esa estructura. Pero es de suma importancia, para conocer con

mayor profundidad el comportamiento de determinado modelo, comparar los resultados

obtenidos luego de un análisis dinámico con los obtenidos de pruebas de laboratorio.



- Acelerómetros (uno para cada masa del modelo).



- Cronómetro.


del tiempo.


6.3]

- Televisión (para poder ver el video).

105



6.5.5 Procedimiento

• Cálculo de las frecuencias naturales de cada modelo.

a) Iniciar la mesa con la frecuencia mínima y la amplitud previamente establecida.

b) Iniciar el proceso de grabación, como el realizado para la práctica anterior.

c) Empezar a aumentar la frecuencia en valores de 0.2 Hz, cambiarlo cada 5 seg para dar

tiempo al modelo de llegar a la amplitud de la frecuencia del movimiento inducida,

hasta que se observe que la masa está entrando en resonancia y seguir aumentando la

frecuencia hasta que se observe que el modelo claramente ha salido de la resonancia.

d) Observar la grabación realizada y anotar para cada valor de frecuencia, la amplitud

máxima obtenida en la Tabla 6.7.

e) Anotar en la Tabla 6.7, la frecuencia en la que se observa que el modelo está

experimentando las amplitudes máximas (frecuencia natural del modelo)

f) Graficar los valores de frecuencia de vibración de la mesa contra los valores de las

amplitudes obtenidas para cada frecuencia (ω , )(tu ).

g) Realizar el proceso de a) hasta d) para cada modelo.

• Cálculo del período natural de cada modelo.

a) De la práctica realizada para conocer el período natural de los modelos, tomar el valor de

la frecuencia natural obtenida y calcular su inverso.

fT

1=

(Ec. 6.14)

• Cálculo del factor de amplitud dinámico de cada modelo.

a) Tomar los resultados obtenidos para la práctica del cálculo de las frecuencias naturales.

b) Para cada valor de frecuencia ω inducida, dividirla entre la frecuencia natural calculada

del modelo.

c) Anotar los valores de ω / nω en la Tabla 6.8.

106

d) Para cada valor de ω / nω , calcular el factor de amplitud dinámico, con los valores de

fracción de amortiguamiento crítico siguientes en la Ec. 6.15: ζ =0.01, ζ =0.1, ζ =0.2,

ζ =0.7 y ζ =1.0.

[ ] [ ]2220

0

)/(2)/(1

1

)(nn

st

du

uR

ωωζωω +−==

(Ec. 6.15)

e) Colocar cada valor del factor de amplitud dinámico dR , en la Tabla 6.8.

f) Graficar los siguientes puntos y comparar con los resultados obtenidos en la práctica No.

4:

((ω / nω ), ( dR (ζ =0.01)))

((ω / nω ), ( dR (ζ =0.1)))

((ω / nω ), ( dR (ζ =0.2)))

((ω / nω ), ( dR (ζ =0.7)))

((ω / nω ), ( dR (ζ =1.0)))

107

Tabla 6.7. Hoja de comparación de frecuencia y amplitud del modelo ante un movimiento de la base

con las calculadas en Matlab.

Fecha: __________________________________



Frecuencia natural obtenida de la práctica ( nω ): _____________________

ω

(rad/s)

ω

(Hz)

Amplitud

)(tu

108



Fecha: __________________________________



Frecuencia natural ( nω ): ____________________

ω

(rad/s)

ω / nω dR (ζ =0.01) dR (ζ =0.1) dR (ζ =0.2) dR (ζ =0.7) dR (ζ =1)



Engineering.

109


6.6.1 Tema

ANALISIS DE MODELOS EN PROGRAMA SAP.

6.6.2 Objetivo

Conocer el procedimiento para simular un modelo de uno y varios grados de libertad en el

programa SAP, y comparar los resultados obtenidos con los resultados de la práctica en el

laboratorio.


Es muy importante siempre al realizar un cálculo, tener un parámetro de comparación con

el cual poder definir si los cálculos realizados han dado resultados coherentes. El programa

SAP, es un programa que nos permite definir de alguna manera el modelo estructural de

estudio y someterlo al movimiento que la mesa generará.

6.6.4 Procedimiento

a) Abrir el programa SAP y escoger en menú principal “File”(Archivo); ahí, seleccionar la

opción “New Model” (Nuevo Modelo). Se abre la ventana de la Figura 6.9. Primero,

seleccionar las unidades que se utilizarán a lo largo del análisis: “Kgf, cm, C”. En esta

ventana también aparecen todos los tipos de estructuras preestablecidas en el programa.

Sin embargo, la estructura de los modelos en cuestión no aparece por lo cual se deberá

seleccionar el dibujo de la opción “Grid Only” (Solo Cuadrícula). Se abre una nueva

ventana en la cual se seleccionará la casilla “Edit Grid” (Editar Cuadrícula).

Nuevamente, se abre una ventana denominada “Define Grid Data” (Definir Información

de Cuadrícula) en la cual se dibujará la cuadrícula sobre la cual se dibujará el modelo

según la conveniencia del caso. [Ver Figura 6.10] Dar “Ok”. Aparece la cuadrícula en

la página de dibujo.

110

Figura 6.9. Ventana de interacción de SAP para definición de unidades y tipo de estructura.

Figura 6.10. Ventana de interacción de SAP para definición de las dimensiones de la cuadrícula.

b) Seleccionar las vistas “xz” y “3d”.

111

c) Se procederá a dibujar el modelo seleccionando en menú principal “Draw” (Dibujar).

Escoger la opción “Draw Frame/Cable/Tendon” (Dibujar Marco/Cable Tendón).

Dibujar las columnas del modelo empezando por la base.

d) Seleccionar todas las juntas correspondientes a los niveles y seleccionar en barra de

Menú principal la opción “Assign” (Asignar). Buscar y seleccionar “Joint” (Juntas).

Seleccionar “Masses” (Masas). Se abre la ventana de ingreso de información [ver

Figura 6.11]. En dicha ventana, en la sección de “Masses in Local Directions” (Masas

en Dirección Local) cambiar únicamente el valor de “Direction 3” (Dirección 3)

colocando el valor de la masa del nivel correspondiente (con signo negativo para

indicar que la masa tiene la dirección de la de la gravedad). Dar “Ok”.

Figura 6.11. Ventana interactiva de SAP para definir las cargas en los nodos del modelo.

112

e) Seleccionar junta correspondiente a la base y en “Assign” de menú principal buscar y

seleccionar “Joint” y ahí, “Restraints” (Restricciones). En dicha ventana seleccionar el

ícono que corresponde a un empotramiento en la base.

f) Definir propiedades de las columnas seleccionando cada columna y escogiendo en el

menú principal la opción “Define” (Definir). Ahí, seleccionar “Materials” (Materiales).

Aparece la ventana de la Figura 6.12. En dicha ventana seleccionar la viñeta “Add New

Material” (Añadir Nuevo Material). Definir las propiedades del material

correspondiente a las columnas del modelo representado (Aluminio 6061 o Acero AISI

1020 según corresponda).

Figura 6.12. Ventana interactiva de SAP para definir el material de las columnas.

g) Luego de haber definido las propiedades del material de las columnas, se procede a

definir su sección transversal. Para ello, en el menú principal, seleccionar la opción

“Assign”. Ahí, buscar y seleccionar “Frame/Cable/Tendon”, en esta opción seleccionar

“Frame Sections” (Secciones de Marco). Aparece la ventana “Frame Properties”

(Propiedades de Marco) donde se determinará la sección de la columna. [Ver Figura

6.13]. En esta ventana, en la sección “Choose Property Type to Add” (Escoger Tipo de

Propiedad a Añadir) escoger la opción “Import Circle” (Importar Círculo) y a

113

continuación, la opción “Add Circle” (Añadir Círculo). Finalmente, en la sección

“Click to” (Click en) de la ventana, seleccionar “Add New Property” (Añadir Nueva

Propiedad).

Figura 6.13. Ventana interactiva de SAP para definir la sección transversal de las columnas.

h) Se abre la ventana de la Figura 6.14, en la cual se deberá primeramente dar un nombre a

la sección en “Section Name” (Nombre de Sección). Luego, en “Material”, seleccionar

el material correspondiente a la columna representada establecido en el paso anterior.

Finalmente, en “Diameter” (Diámetro) colocar el valor en cm del diámetro de la

columna (para el caso, 0.9525 cm). Dar “Ok”.

i) A continuación se procederá a definir la función senoidal que representa el movimiento

de la base aplicado a los modelos por medio de la mesa vibratoria. En menú principal,

seleccionar “Define”. Ahí, buscar y seleccionar “Function” (Función). En esta opción

escoger “Time History” (Historia de Tiempo). Se abre la ventana de la Figura 6.17. En

esta ventana, en la sección “Choose Function Type to Add” (Escoger Tipo de Función a

Añadir), buscar y seleccionar la función senoidal “Sine Funtion”. En la sección “Click

to” hacer click en “Add New Function” (Añadir Nueva Función). Aparece la ventana de

la Figura 6.16 en la cual se definirán los parámetros de la función senoidal con la cual

se desea analizar el comportamiento dinámico de la estructura. Definir nombre de la

vibración en “Function Name” (Nombre de la Función); definir su período en “Period”;

114

definir el número de ciclos que se aplicarán en “Number of Cycles”; definir la amplitud

del movimiento en “Amplitude”.

Figura 6.14. Ventana interactiva de SAP para definir las propiedades de la sección transversal de las

columnas.

Figura 6.15. Ventana interactiva de SAP para definir funciones para analizar con el modelo.

115

Figura 6.16. Ventana interactiva de SAP para definir las características de las funciones de evaluación.

j) Luego, se definen los casos de análisis que se tomarán en cuenta para el análisis

dinámico de la estructura. Para ello, en “Define” del menú principal, escoger “Analysis

Cases” (Casos de Análisis). Se abre la ventana de la Figura 6.18; en esta ventana ya se

encuentran preestablecidos los casos de análisis modal y por carga muerta, se deberá

añadir el caso de análisis por movimiento de la base escogiendo en “Click to” “Add

New Case” (Añadir Nuevo Caso). Se abre nuevamente una ventana [ver Figura 6.18],

en la cual se definirá dicho caso como se muestra en la figura. Dar “Ok”.

k) Se deberán definir los casos de análisis modal y por carga muerta según corresponda al

caso (modelo analizado: un grado de libertad o tres grados de libertad). Esto se hace

seleccionando en la ventana de la Figura 6.17 el caso de análisis. Por ejemplo, para el

caso de análisis modal, seleccionar en “Cases” el tipo “MODAL”. Luego, hacer click

en “Modify/Show Case” (Modificar/Mostrar Casos). Se abre la ventana de la Figura

6.19 en la cual se deberá definir el número de modos a analizar según el caso.

116

Figura 6.17. Ventana interactiva de SAP para definir los casos de análisis a utilizar.

Figura 6.18. Ventana interactiva de SAP para definir casos de análisis nuevos a añadir.

l) Para correr el análisis es necesario primero definir el plano en el que se realizará. Para

ello, ir a menú principal en la viñeta “Analyse” seleccionar “Set Analysis Options”

(Determinar Casos de Análisis); aparecerá una ventana en la cual se deberá seleccionar

117

la opción “XZ Plane” (Plano XZ) debido a que se trata de un análisis bidimensional.

Dar “Ok”.

Figura 6.19. Ventana interactiva de SAP para modificar los parámetros del análisis modal.

m) Finalmente, dar inicio al análisis en “Run Analysis” (Correr Análisis) en viñeta

“Analyse” del menú principal.

n) Luego de haber corrido el análisis se pueden observar los resultados buscando y

seleccionando en menú principal “Display” (Mostrar), ahí seleccionar “Show Tables”

(Mostrar Tablas). Aparecerá la ventana de la Figura 6.20, en la cual se deberán

seleccionar los datos que se desean observar. Dar “Ok”. Se abre la ventana de

resultados de la Figura 6.21 en la cual se seleccionan las tablas escogidas.

o) Comparar los resultados con los resultados obtenidos de las prácticas de laboratorio y

con los que se obtuvieron en el programa de Matlab.

118

Figura 6.20. Ventana interactiva de SAP para seleccionar resultados que se desean observar.

Figura 6.21. Ventana interactiva de SAP para seleccionar tablas.

119

CONCLUSIONES

• El comportamiento de las estructuras sometidas a cargas inducidas por un impulso

senoidal es difícil de predecir y calcular, pero existen métodos numéricos con los cuales

se pueden hacer aproximaciones muy cercanas del comportamiento de las mismas y por

consiguiente diseños aceptables.

• El diseño actual de la mesa no es funcional para los propósitos de las prácticas de

laboratorio, ya que cuenta con limitantes concernientes al rango de frecuencias de

movimiento que es capaz de generar. El valor mínimo de frecuencia que puede generar

tal como ha sido diseñada es de 5 Hz; la cual es demasiado elevada para los propósitos

de estudio. La conclusión fue emitida luego de observar las frecuencias naturales de

cada uno de los modelos estructurales analizados, entre los cuales están los que se van a

utilizar en el laboratorio. Se observó que sería imposible ver a simple vista el

comportamiento de estos últimos vibrando en resonancia si la mesa no fuere capaz de

generar frecuencias menores que 5 Hz.

• Para lograr el dominio de fenómenos complicados hay que dominar primero los

fenómenos sencillos, de ahí la importancia de conocer y analizar a fondo modelos

simplificados de estructuras ya que a través de ellos se logra un mejor conocimiento y

entendimiento del comportamiento dinámico de estructuras más complejas.

• En los análisis realizados para los modelos estructurales, con los métodos de análisis

numérico (Newmark) y con los teóricos (resolución de ecuación diferencial del

movimiento), se ha observado luego de comparar las respuestas obtenidas por ambos

métodos que la diferencia entre las mismas es muy pequeña, obteniendo porcentajes de

error menores a 5%. Por consiguiente se puede afirmar que para efectos de los modelos

estructurales estudiados sometidos a movimientos senoidales en la base, es aceptable un

diseño que provenga de cualquiera de estas dos teorías.

120

• El trabajo confirma que luego de estudiar las modificaciones a realizarse en la mesa

vibratoria y de verificar que es factible adecuarla a las necesidades planteadas, es

posible generar prácticas de laboratorio sencillas con los recursos que se poseen en la

universidad que permitan mejorar la comprensión de los fundamentos de Ingeniería

Sísmica.

121

RECOMENDACIONES

• Para un mejor desempeño de los modelos estructurales sobre la mesa vibratoria, es

necesario buscar la manera de disminuir la frecuencia mínima a la que trabajará la mesa

vibratoria en el laboratorio. Esta disminución se puede realizar conectando un reductor

de frecuencia 120:1 en la salida del motor, el cual reducirá una frecuencia de 10 Hz

transformándola a 0.1 Hz, permitiendo el estudio de los modelos ante frecuencias

menores a su frecuencia natural (frecuencia de resonancia).

• La amplitud mínima de vibración de la mesa podría disminuirse de tal forma que el

movimiento que más se aprecie durante las prácticas de laboratorio sea el movimiento

relativo de la masa respecto a la base (plataforma de la mesa vibratoria), y no el

movimiento total de la masa.

• Realizar más ensayos con modelos de tres grados de libertad de diferentes

configuraciones (variar las alturas de entrepiso) buscando un mejor conocimiento del

comportamiento de las estructuras ante movimientos de la base, y agregar en las

prácticas un literal que compare la respuesta teórica y/o numérica con los resultados

obtenidos de los ensayos de los modelos estructurales en el laboratorio.

• Con el propósito de ampliar los conocimientos sobre el comportamiento de los modelos

estructurales, se recomienda crear una práctica de laboratorio en la cual se calculen los

periodos naturales de la estructura usando una función de transferencia.

• Para los modelos de tres grados de libertad, se recomienda realizar una investigación

acerca de los valores de fracción de amortiguamiento crítico que se recomienda o se

pueden utilizar para los modos superiores al primer modo.

• Debido a que todos los modelos estructurales se han diseñado tomando como punto de

referencia el diseño de la mesa vibratoria establecido por los estudiantes de Ing.

Mecánica, al momento de construir la mesa se requiere que se cumpla con las siguientes

características mínimas.

122

Requerimientos mínimos para la mesa vibratoria

Parámetro Valor

Amplitud de movimiento mínima

4 cm

Frecuencia de vibración mínima

0.1 Hz

Dimensiones de plataforma mínimas

0.50 x 0.50 m

• Se recomienda elaborar 3 ejemplares idénticos para cada columna con el fin de poder

aumentar la gama de combinaciones posibles de modelos de tres grados de libertad y

para asegurar la existencia de los materiales durante las prácticas de laboratorio.

123

REFERENCIAS

Alvayero, J.A., Huezo, C.A. Huezo, C.R. Sierra, Proyecto “Mesa Vibratoria (Shake

Table)”, Ciclo 02-2008, Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”.

Bazán, E., R. Meli, [2001], Diseño Sísmico de Edificios.

Centro Peruano Japonés de Investigaciones Sísmicas y Mitigación de Desastres,

http://www.cismid-uni.org/, Mayo 2009.


Engineering.

Cuaderno de clase de Ingeniería Sísmica, Ciclo 02-2008, Universidad Centroamericana

“José Simeón Cañas”.

Newmark, N.M., E. Rosenblueth, [1976], Fundamentos de Ingeniería Sísmica.

Servicio Nacional de Estudios Territoriales de El Salvador, http://www.snet.gob.sv/ , Abril

2009.

Shonkwiler, B.E. y T.H. Miller Small-Scale Shake Table Experiments And Comparison To

Analitical Predictions. Teacher’s Manual.

Sociedad Mexicana De Ingeniería Sísmica, http://www.smis.org.mx/, Abril 2009.

Universidad Nacional de Colombia, http://www.virtual.unal.edu.co, Abril 2009.

University Consortium on Instructional Shake Tables (UCIST),

http://mase.wustl.edu/wusceel/ucist.

124

125

BIBLIOGRAFÍA

Alvayero, J.A., Huezo, C.A. Huezo, C.R. Sierra, Proyecto “Mesa Vibratoria (Shake

Table)”, Ciclo 02-2008, Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”.

Bazán, E., R. Meli, [2001], Diseño Sísmico de Edificios.

Centro Peruano Japonés de Investigaciones Sísmicas y Mitigación de Desastres,

http://www.cismid-uni.org/, Mayo 2009.


Engineering.

Cuaderno de clase de Ingeniería Sísmica, Ciclo 02-2008, Universidad Centroamericana

“José Simeón Cañas”.

Newmark, N.M., E. Rosenblueth, [1976], Fundamentos de Ingeniería Sísmica.

Servicio Nacional de Estudios Territoriales de El Salvador, http://www.snet.gob.sv/ , Abril

2009.

Shonkwiler, B.E. y T.H. Miller Small-Scale Shake Table Experiments And Comparison To

Analitical Predictions. Teacher’s Manual.

Sociedad Mexicana De Ingeniería Sísmica, http://www.smis.org.mx/, Abril 2009.

Universidad Nacional de Colombia, http://www.virtual.unal.edu.co, Abril 2009.

University Consortium on Instructional Shake Tables (UCIST),

http://mase.wustl.edu/wusceel/ucist.

ANEXO A

PLANOS CONSTRUCTIVOS DE

MODELOS DISEÑADOS

ANEXO B

ALGORITMOS DE PROGRAMAS EN

MATLAB PARA ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS.

1

ALGORITMO PROGRAMA SDOF %Programa que compara la respuesta teórica y la respuesta numérica de un %sistema de un grado de libertad ante una excitación armónica y periódica %sinusoidal clear %Ubicación y denominación de los archivos dir='C:\Documents and Settings\Pao\My Documents\Universidad\Trabajo de Graduación\Programas Matlab\ProgramaSDOF\'; var1='.txt'; %Apertura de entradas datos=[dir 'Entradas' var1]; cor1=fopen(datos,'r'); %Lectura de entradas fgetl(cor1); k=fscanf(cor1,'%f6.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); fac=fscanf(cor1,'%f2.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); m=fscanf(cor1,'%f2.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); A0=fscanf(cor1,'%f2.1',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); w0=fscanf(cor1,'%f3.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); tpa=fscanf(cor1,'%f2.1',1); fgetl(cor1);

2

%Cálculos preliminares w=sqrt(k/m); T=2*3.1416/w; f=1/T; wa=w*sqrt(1-fac^2); Ta=2*pi/wa; %Respuesta teórica C=(A0/k)*((1-(w0/w)^2)/((1-(w0/w)^2)^2+(2*fac*(w0/w))^2)); D=(A0/k)*((-2*fac*(w0/w))/((1-(w0/w)^2)^2+(2*fac*(w0/w))^2)); B=-D; A=(-fac*w*D-C*w0)/wa; dt=0.01; t=0:dt:tpa; Ut=exp(-fac*w*t).*(A*sin(wa*t)+B*cos(wa*t))+C*sin(w0*t)+D*cos(w0*t); Vt=-fac*w*exp(-fac*w*t).*(A*sin(wa*t)+B*cos(wa*t))+exp(-fac*w*t).*(wa*A*cos(wa*t)-wa*B*sin(wa*t))+C*w0*cos(w0*t)-D*w0*sin(w0*t); At=fac^2*w^2*exp(-fac*w*t).*(A*sin(wa*t)+B*cos(wa*t))-fac*w*exp(-fac*w*t).*(wa*A*cos(wa*t)-wa*B*cos(wa*t))-fac*w*exp(-fac*w*t).*(wa*A*cos(wa*t)-wa*B*cos(wa*t))+exp(-fac*w*t).*(-wa^2*A*sin(wa*t)-wa^2*B*cos(wa*t))+C*w0^2*sin(w0*t)-D*w0^2*cos(w0*t); %Respuesta numérica [desp,vel,acel]=newm(A0,w0,fac,k,m,dt,tpa); Un=desp; Vn=vel; An=acel; %Ploteo de Respuestas plot(t,Ut,'r'); hold on plot(t,Un,'b'); xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Desplazamiento (cm)'); title('Respuesta de sistema de un grado de libertad a movimiento senoidal'); legend('TEORICA','NUMERICA'); Ampteoricamax=max(Ut) Ampnumericamax=max(Un) vt=Ampteoricamax*k vn=Ampnumericamax*k

3

figure (2) plot(t,Vt,'r'); hold on plot(t,Vn,'b') xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Velocidad (cm/s)'); title('Respuesta de sistema de un grado de libertad a movimiento sinusoidal'); legend('VELOCIDAD TEORICA','VELOCIDAD TEORICA'); figure (3) plot(t,At,'r'); hold on plot(t,An,'b') xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Aceleracion (cm/s2)'); title('Respuesta de sistema de un grado de libertad a movimiento sinusoidal'); legend('ACELERACION TEORICA','ACELERACION NUMERICA'); %Para calcular el periodo if Ut(1)>=0 i=2; while Ut(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while Ut(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end Pt=(-Ut(posi)/(Ut(posi+1)-Ut(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) else i=2; while Ut(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while Ut(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end Pt=(-Ut(posi)/(Ut(posi+1)-Ut(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) end

4

if Un(1)>=0 i=2; while Un(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while Un(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end Pn=(-Un(posi)/(Un(posi+1)-Un(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) else i=2; while Un(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while Un(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end Pn=(-Un(posi)/(Un(posi+1)-Un(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) End

5

ALGORITMO PROGRAMA 3DOF %Programa que compara la respuesta teórica y numérica para sistemas de %varios grados de libertad ante una excitación armónica y periódica %sinuosoidal clear %Ubicación y denominación de los archivos dir='C:\Documents and Settings\Pao\My Documents\Universidad\Trabajo de Graduación\Programas Matlab\Programa3DOF\'; var1='.txt'; %Apertura de entradas datos=[dir 'Entradas' var1]; mov=[dir 'Movimiento' var1]; cor1=fopen(datos,'r'); cor2=fopen(mov,'r'); %Lectura de entradas fgetl(cor1); fgetl(cor1); m(1,1)=fscanf(cor1,'%f1.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); m(1,2)=fscanf(cor1,'%f1.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); m(1,3)=fscanf(cor1,'%f1.6',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); m(2,1)=fscanf(cor1,'%f1.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); m(2,2)=fscanf(cor1,'%f1.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); m(2,3)=fscanf(cor1,'%f1.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); m(3,1)=fscanf(cor1,'%f1.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1);

6

m(3,2)=fscanf(cor1,'%f1.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); m(3,3)=fscanf(cor1,'%f1.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); k(1,1)=fscanf(cor1,'%f4.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); k(1,2)=fscanf(cor1,'%f4.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); k(1,3)=fscanf(cor1,'%f4.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); k(2,1)=fscanf(cor1,'%f4.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); k(2,2)=fscanf(cor1,'%f4.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); k(2,3)=fscanf(cor1,'%f4.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); k(3,1)=fscanf(cor1,'%f4.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); k(3,2)=fscanf(cor1,'%f4.5',1); fgetl(cor1); fgetl(cor1); k(3,3)=fscanf(cor1,'%f4.5',1); fgetl(cor1); %Lectura de parametros del movimiento fgetl(cor2); a0=fscanf(cor2,'%f2.1',1); fgetl(cor2); fgetl(cor2); w0=fscanf(cor2,'%f3.5',1); fgetl(cor2); fgetl(cor2); fgetl(cor2); tpa=fscanf(cor2,'%f2.1',1); fgetl(cor2);

7

%Determinación de frecuencia natural de vibración wcuad=eig(k,m); w1=sqrt(wcuad(1,1)); w2=sqrt(wcuad(2,1)); w3=sqrt(wcuad(3,1)); %Determinación de modos de vibración %Determinación de modo 1 para w1 d=k-(w1^2).*m; z111=1; z121=(-d(1,1)*1)/d(1,2); z131=(-d(2,1)-d(2,2)*z121)/d(2,3); z1=[z111;z121;z131]; %Determinación de modo 2 para w2 e=k-(w2^2).*m; z211=1; z221=(-e(1,1)*1)/e(1,2); z231=(-e(2,1)-e(2,2)*z221)/e(2,3); z2=[z211;z221;z231]; %Determinación de modo 3 para w3 f=k-(w3^2).*m; z311=1; z321=(-f(1,1)*1)/f(1,2); z331=(-f(2,1)-f(2,2)*z321)/f(2,3); z3=[z311;z321;z331]; %Matrices modales traspuestas z1t=[z111,z121,z131]; z2t=[z211,z221,z231]; z3t=[z311,z321,z331]; %Determinación de modos ortonormalizados mast1=z1t*m*z1; mast2=z2t*m*z2; mast3=z3t*m*z3; z1n=(1/(sqrt(mast1)))*z1;

8

z2n=(1/(sqrt(mast2)))*z2; z3n=(1/(sqrt(mast3)))*z3; %Determinación de los coeficientes de participación modal z1nt=[z1n(1,1),z1n(2,1),z1n(3,1)]; z2nt=[z2n(1,1),z2n(2,1),z2n(3,1)]; z3nt=[z3n(1,1),z3n(2,1),z3n(3,1)]; uno=[1;1;1]; p1=z1nt*m*uno; p2=z2nt*m*uno; p3=z3nt*m*uno; %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- %Determinación de los vectores qi(t) y de las respuestas teóricas y %numéricas de cada modo dt=0.01; t=0:dt:tpa; fac=0.05; %-------------------------------------------------------------------------- %Respuesta teórica de q1(t) m1=1; c1=2*0.05*w1; k1=wcuad(1,1); wast1=sqrt(k1/m1); wa1=(wast1)*sqrt(1-fac^2); A01=-p1*a0; C1=(A01/k1)*((1-(w0/wast1)^2)/((1-(w0/wast1)^2)^2+(2*fac*(w0/wast1))^2)); D1=(A01/k1)*((-2*fac*(w0/wast1))/((1-(w0/wast1)^2)^2+(2*fac*(w0/wast1))^2)); B1=-D1; A1=(-fac*wast1*D1-C1*w0)/wa1; q1t=exp(-fac*wast1*t).*(A1*sin(wa1*t)+B1*cos(wa1*t))+C1*sin(w0*t)+D1*cos(w0*t); vel1t=-fac*wast1*exp(-fac*wast1*t).*(A1*sin(wa1*t)+B1*cos(wa1*t))+exp(-fac*wast1*t).*(wa1*A1*cos(wa1*t)-wa1*B1*sin(wa1*t))+C1*w0*cos(w0*t)-D1*w0*sin(w0*t); ace1t=fac^2*wast1^2*exp(-fac*wast1*t).*(A1*sin(wa1*t)+B1*cos(wa1*t))-fac*wast1*exp(-fac*wast1*t).*(wa1*A1*cos(wa1*t)-wa1*B1*cos(wa1*t))-fac*wast1*exp(-fac*wast1*t).*(wa1*A1*cos(wa1*t)-wa1*B1*cos(wa1*t))+exp(-

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fac*wast1*t).*(-wa1^2*A1*sin(wa1*t)-wa1^2*B1*cos(wa1*t))+C1*w0^2*sin(w0*t)-D1*w0^2*cos(w0*t); %Respuesta numérica de q1(t) [desp1,vel1,acel1]=newm(A01,w0,fac,k1,m1,dt,tpa); q1n=desp1; vel1n=vel1; ace1n=acel1; %-------------------------------------------------------------------------- %Respuesta teórica de q2(t) m2=1; c2=2*0.05*w2; k2=wcuad(2,1); wast2=sqrt(k2/m2); wa2=(wast2)*sqrt(1-fac^2); A02=-p2*a0; C2=(A02/k2)*((1-(w0/wast2)^2)/((1-(w0/wast2)^2)^2+(2*fac*(w0/wast2))^2)); D2=(A02/k2)*((-2*fac*(w0/wast2))/((1-(w0/wast2)^2)^2+(2*fac*(w0/wast2))^2)); B2=-D2; A2=(-fac*wast2*D2-C2*w0)/wa2; q2t=exp(-fac*wast2*t).*(A2*sin(wa2*t)+B2*cos(wa2*t))+C2*sin(w0*t)+D2*cos(w0*t); vel2t=-fac*wast2*exp(-fac*wast2*t).*(A2*sin(wa2*t)+B2*cos(wa2*t))+exp(-fac*wast2*t).*(wa2*A2*cos(wa2*t)-wa2*B2*sin(wa2*t))+C2*w0*cos(w0*t)-D2*w0*sin(w0*t); ace2t=fac^2*wast2^2*exp(-fac*wast2*t).*(A2*sin(wa2*t)+B2*cos(wa2*t))-fac*wast2*exp(-fac*wast2*t).*(wa2*A2*cos(wa2*t)-wa2*B2*cos(wa2*t))-fac*wast2*exp(-fac*wast2*t).*(wa2*A2*cos(wa2*t)-wa2*B2*cos(wa2*t))+exp(-fac*wast2*t).*(-wa2^2*A2*sin(wa2*t)-wa2^2*B2*cos(wa2*t))+C2*w0^2*sin(w0*t)-D2*w0^2*cos(w0*t); %Respuesta numérica de q1(t) [desp2,vel2,acel2]=newm(A02,w0,fac,k2,m2,dt,tpa); q2n=desp2; vel2n=vel2; ace2n=acel2; %-------------------------------------------------------------------------- %Respuesta teórica de q3(t) m3=1; c3=2*0.05*w3; k3=wcuad(3,1);

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wast3=sqrt(k3/m3); wa3=(wast3)*sqrt(1-fac^2); A03=-p3*a0; C3=(A03/k3)*((1-(w0/wast3)^2)/((1-(w0/wast3)^2)^2+(2*fac*(w0/wast3))^2)); D3=(A03/k3)*((-2*fac*(w0/wast3))/((1-(w0/wast3)^2)^2+(2*fac*(w0/wast3))^2)); B3=-D3; A3=(-fac*wast3*D3-C3*w0)/wa3; q3t=exp(-fac*wast3*t).*(A3*sin(wa3*t)+B3*cos(wa3*t))+C3*sin(w0*t)+D3*cos(w0*t); vel3t=-fac*wast3*exp(-fac*wast3*t).*(A3*sin(wa3*t)+B3*cos(wa3*t))+exp(-fac*wast3*t).*(wa3*A3*cos(wa3*t)-wa3*B3*sin(wa3*t))+C3*w0*cos(w0*t)-D3*w0*sin(w0*t); ace3t=fac^2*wast3^2*exp(-fac*wast3*t).*(A3*sin(wa3*t)+B3*cos(wa3*t))-fac*wast3*exp(-fac*wast3*t).*(wa3*A3*cos(wa3*t)-wa3*B3*cos(wa3*t))-fac*wast3*exp(-fac*wast3*t).*(wa3*A3*cos(wa3*t)-wa3*B3*cos(wa3*t))+exp(-fac*wast3*t).*(-wa3^2*A3*sin(wa3*t)-wa3^2*B3*cos(wa3*t))+C3*w0^2*sin(w0*t)-D3*w0^2*cos(w0*t); %Respuesta numérica de q3(t) [desp3,vel3,acel3]=newm(A03,w0,fac,k3,m3,dt,tpa); q3n=desp3; vel3n=vel3; ace3n=acel3; %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- %Determinación de los vectores de movimiento relativo de las masas de cada %piso U1t=z1n(1,1)*q1t+z2n(1,1)*q2t+z3n(1,1)*q3t; U2t=z1n(2,1)*q1t+z2n(2,1)*q2t+z3n(2,1)*q3t; U3t=z1n(3,1)*q1t+z2n(3,1)*q2t+z3n(3,1)*q3t; V1t=z1n(1,1)*vel1t+z2n(1,1)*vel2t+z3n(1,1)*vel3t; V2t=z1n(2,1)*vel1t+z2n(2,1)*vel2t+z3n(2,1)*vel3t; V3t=z1n(3,1)*vel1t+z2n(3,1)*vel2t+z3n(3,1)*vel3t; A1t=z1n(1,1)*ace1t+z2n(1,1)*ace2t+z3n(1,1)*ace3t; A2t=z1n(2,1)*ace1t+z2n(2,1)*ace2t+z3n(2,1)*ace3t; A3t=z1n(3,1)*ace1t+z2n(3,1)*ace2t+z3n(3,1)*ace3t; %-------------------------------------------------------------------------- U1n=z1n(1,1)*q1n+z2n(1,1)*q2n+z3n(1,1)*q3n;

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U2n=z1n(2,1)*q1n+z2n(2,1)*q2n+z3n(2,1)*q3n; U3n=z1n(3,1)*q1n+z2n(3,1)*q2n+z3n(3,1)*q3n; V1n=z1n(1,1)*vel1n+z2n(1,1)*vel2n+z3n(1,1)*vel3n; V2n=z1n(2,1)*vel1n+z2n(2,1)*vel2n+z3n(2,1)*vel3n; V3n=z1n(3,1)*vel1n+z2n(3,1)*vel2n+z3n(3,1)*vel3n; A1n=z1n(1,1)*ace1n+z2n(1,1)*ace2n+z3n(1,1)*ace3n; A2n=z1n(2,1)*ace1n+z2n(2,1)*ace2n+z3n(2,1)*ace3n; A3n=z1n(3,1)*ace1n+z2n(3,1)*ace2n+z3n(3,1)*ace3n; %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- %Graficas de movimiento de cada masa plot(t,U1t,'r'); hold on plot(t,U1n,'b') xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Desplazamiento (cm)'); title('Respuesta de sistema de un grado de libertad a movimiento sinusoidal'); legend('TEORICA MASA 1','NUMERICA MASA 1'); figure (2) plot(t,U2t,'r'); hold on plot(t,U2n,'b') xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Desplazamiento (cm)'); title('Respuesta de sistema de un grado de libertad a movimiento sinusoidal'); legend('TEORICA MASA 2','NUMERICA MASA 2'); figure (3) plot(t,U3t,'r'); hold on plot(t,U3n,'b') xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Desplazamiento (cm)'); title('Respuesta de sistema de un grado de libertad a movimiento sinusoidal'); legend('TEORICA MASA 3','NUMERICA MASA 3'); Ampteormaxm1=max(U1t) Ampnumemaxm1=max(U1n) vteorm1=Ampteormaxm1*k1

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vnumem1=Ampnumemaxm1*k1 Ampteormaxm2=max(U2t) Ampnumemaxm2=max(U2n) vteorm2=Ampteormaxm2*k2 vnumem2=Ampnumemaxm2*k2 Ampteormaxm3=max(U3t) Ampnumemaxm3=max(U3n) vteorm3=Ampteormaxm3*k3 vnumem3=Ampnumemaxm3*k3 %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- %Gráficas de movimiento de cada masa superpuestas figure (4) plot(t,U1t,'r'); hold on plot(t,U2t,'g'); hold on plot(t,U3t,'b'); xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Desplazamiento (cm)'); legend('TEORICA MASA 1','TEORICA MASA 2','TEORICA MASA 3'); figure (5) plot(t,U1n,'r'); hold on plot(t,U2n,'g'); hold on plot(t,U3n,'b'); xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Desplazamiento (cm)'); legend('NUMERICA MASA 1','NUMERICA MASA 2','NUMERICA MASA 3'); figure (6) plot(t,V1n,'r'); hold on plot(t,V2n,'g'); hold on plot(t,V3n,'b'); xlabel('Tiempo (seg)');

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ylabel('Velocidad (cm)'); legend('NUMERICA MASA 1','NUMERICA MASA 2','NUMERICA MASA 3'); figure (7) plot(t,A1n,'r'); hold on plot(t,A2n,'g'); hold on plot(t,A3n,'b'); xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Aceleracion (cm)'); legend('NUMERICA MASA 1','NUMERICA MASA 2','NUMERICA MASA 3'); figure (8) plot(t,V1t,'r'); hold on plot(t,V2t,'g'); hold on plot(t,V3t,'b'); xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Velocidad (cm)'); legend('TEORICA MASA 1','TEORICA MASA 2','TEORICA MASA 3'); figure (9) plot(t,A1t,'r'); hold on plot(t,A2t,'g'); hold on plot(t,A3t,'b'); xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Aceleracion (cm)'); legend('TEORICA MASA 1','TEORICA MASA 2','TEORICA MASA 3'); %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- %Para calcular el período if U1t(1)>=0 i=2; while U1t(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U1t(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i;

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i=i+1; end P1t=(-U1t(posi)/(U1t(posi+1)-U1t(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) else i=2; while U1t(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U1t(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P1t=(-U1t(posi)/(U1t(posi+1)-U1t(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) end if U2t(1)>=0 i=2; while U2t(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U2t(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P2t=(-U2t(posi)/(U2t(posi+1)-U2t(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) else i=2; while U2t(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U2t(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P2t=(-U2t(posi)/(U2t(posi+1)-U2t(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi)

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end if U3t(1)>=0 i=2; while U3t(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U3t(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P3t=(-U3t(posi)/(U3t(posi+1)-U3t(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) else i=2; while U3t(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U3t(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P3t=(-U3t(posi)/(U3t(posi+1)-U3t(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) end if U1n(1)>=0 i=2; while U1n(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U1n(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end

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P1n=(-U1n(posi)/(U1n(posi+1)-U1n(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) else i=2; while U1n(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U1n(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P1n=(-U1n(posi)/(U1n(posi+1)-U1n(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) end if U2n(1)>=0 i=2; while U2n(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U2n(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P2n=(-U2n(posi)/(U2n(posi+1)-U2n(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) else i=2; while U2n(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U2n(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P2n=(-U2n(posi)/(U2n(posi+1)-U2n(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) end

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if U3n(1)>=0 i=2; while U3n(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U3n(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P3n=(-U3n(posi)/(U3n(posi+1)-U3n(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) else i=2; while U3n(i)<0 %posi es la ultima posicion en que es positivo %posi=i; i=i+1; end while U3n(i)>=0 %posi es la ultima posicion en que es negativo posi=i; i=i+1; end P3n=(-U3n(posi)/(U3n(posi+1)-U3n(posi)))*(t(posi+1)-t(posi))+t(posi) end

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ALGORITMO FUNCIÓN NEWMARK function [de,ve,ac]=newm(amp,frec,amor,rig,mas,delt,tpoa) gam=1/2; bet=1/4; t=0:delt:tpoa; p=amp.*sin(frec*t); c=amor*2*mas*sqrt(rig/mas); p0=0; desp0=0; vel0=0; acel0=(p0-amor*vel0-rig*desp0)/mas; kbar=rig+(gam/(bet*delt))*c+(1/(bet*(delt*delt)))*mas; a=(1/(bet*delt))*mas+(gam/bet)*c; b=(1/(2*bet))*mas+delt*((gam/(2*bet))-1)*c; vel(1)=0; acel(1)=0; desp(1)=0; %Iteraciones for i=1:1:length(t)-1; deltap(i)=p(i+1)-p(i); deltapbar(i)=deltap(i)+a*vel(i)+b*acel(i); deltadesp(i)=(deltapbar(i))/kbar; deltavel(i)=(gam/(bet*delt))*deltadesp(i)-(gam/bet)*vel(i)+delt*(1-(gam/(2*bet)))*acel(i); deltaacel(i)=(1/(bet*delt*delt))*deltadesp(i)-(1/(bet*delt))*vel(i)-(1/(2*bet))*acel(i); desp(i+1)=desp(i)+deltadesp(i); vel(i+1)=vel(i)+deltavel(i); acel(i+1)=acel(i)+deltaacel(i); end de=desp; ve=vel; ac=acel;