ANALISIS STRUKTUR METODE MATRIX

PERTEMUAN KE-2

ANALYSIS STRUCTURES CONCEPT

DEFORMASI LENTUR

DEFORMASI AKSIAL

DEFORMASI AKSIAL

DEFORMASI TORSI

DEFORMASI GESER

DEFORMASI GESER

ANALYSIS STRUCTURES CONCEPT

DISPLACEMENT (perpindahan)

• Translasi perpindahan posisi dalam arah lurus

• Rotasi perpindahan posisi dalam arah berputar

DISPLACEMENT (perpindahan)

OPERASI MATRIX

PERTEMUAN KE-2

◦ Bila kita memiliki suatu sistem persamaan linier :

2 x + 3 y + 2 z = 4

x + y + 3 z = 5

- x + 2 y - z = 8

Maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi :

[A] {X} = {B}

Jajaran bilangan dengan notasi [A], [B], {X} disebut sebagai matrix

8

5

4

121

311

232

z

y

x

◦ Secara umum, matrix dapat dituliskan sebagai :

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

A

Baris 1

Kolom 1 Kolom 2 Kolom n

Baris 2

Baris m

Matriks [A] berukuran m x n baris x kolom

Atau disebut matrix [A] ber-orde m x n

aij i = baris ; j = kolom

◦ Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks

dinamakan elemen

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

A

Baris 1

Kolom 1 Kolom 2 Kolom n

Baris 2

Baris m

aij i = baris ; j = kolom

Elemen diagonal

◦ Berapa orde matrix berikut ?

◦ Berapa a22, a12, a31 ?

510

242A

13

41B

4121C

4

3

1

E

16

12

13

41

D

600

210

542

F

Macam macam matrix

◦ Matrix bujur sangkar

◦ Matrix baris, bila m=1

◦ Matrix kolom, bila n=1

600

210

542

13

41

4121

4

3

1

◦ Matrix nol, bila aij = 0

000

000

000

Tipe matrix bujur sangkar

◦ Matrix diagonal

◦ Matrix satuan, bila aii = 1

◦ Matrix simetris, bila aij=aji

◦ Matrix skew simetris, bila aij=-aji

300

020

001

I

100

010

001

304

005

451

304

005

451

Operasi matrix

◦ Kesamaan matrix

Matrix A dan B dikatakan sama bila : orde sama dan elemen

matrix sama

C dan D ?

303

925

501

A

304

005

451

C

304

005

451

D

303

925

501

B

Operasi matrix

◦ Penjumlahan matrix

Syarat matrix bisa dijumlahkan adalah memiliki orde yang sama

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

BA

Operasi matrix

◦ Penjumlahan matrix

22

31

24

A

21

12

43

B

2212

1321

4234

BA

43

41

27

BA

Sifat penjumlahan matrix :

[A]+[B] = [B]+[A]

[A]+[B]+[C]=([A]+[B]) + [C]

Berlaku pula untuk pengurangan

matrix

Operasi matrix

◦ Perkalian matrix dengan skalar

◦ Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij )

◦ Sifat perkalian dengan skalar

k [A] =[A] k

k ([A]+[B]) = k[A] + k[B]

15

83A

1*45*4

8*43*44A

420

32124A

Operasi matrix

◦ Perkalian matrix dengan matrix

◦ Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidakbersifat komutatif. A x B tidak sama dg B x A

◦ Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua

Contoh :

A3x4 x B4x1 = C3x1

Operasi matrix

◦ Perkalian matrix dengan matrix

0

1

3

B

11)0*1()1*2()3*3(

0

1

3

*123*

BA

123A

000

123

369

1*02*03*0

1*12*13*1

1*32*33*3

123*

0

1

3

* AB

Operasi matrix

◦ Sifat perkalian matrix dengan matrix

AB ≠ BA

A (BC) = (AB)C

A(B+C) = AB+AC

(B+C)A = BA+CA

A(B-C)=AB-AC

(B-C)A = BA-CA

A(BC) = (aB)C= B(aC)

AI = IA = A

Operasi matrix

◦ Determinan matrix

◦ Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.

◦ Contoh :

2221

1211

aa

aaA

21122211)det( aaaaA 2221

1211)det(

aa

aaA

31

52A 156)det( A

31

52)det( A

◦ Determinan matrix

◦ Contoh

det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)

= 2 +12+0+6-0-2

= 18

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

102

311

322

A

Operasi matrix

◦ Transpose matrix

◦ Merubah matrix dari baris x kolom menjadi kolom x baris

◦ Contoh :

◦ Sifat transpose :

314

131A

31

13

41T

A

TT

TTT

TT

TTT

kAkA

ABAB

AA

BABA

)(

)(

)(

)(

Operasi matrix

◦ Inverse matrix

Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang

apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I

Formula invers

IAA 1

dc

baA

ac

bd

bcadA

11

Operasi matrix dalam excel ?

◦ Penjumlahan

◦ Pengurangan

◦ Perkalian matrix dengan skalar

◦ Perkalian matrix dengan matrix

◦ Invers

◦ Determinan

◦ Transpose

= A + B

= A – B

= k*A

=MMULT(A:B)

=MINVERSE(A)

=MDETERM(A)

=TRANSPOSE(A)

Sistem persamaan linier simultan

◦ Bila kita memiliki suatu sistem persamaan linier :

2 x + 3 y + 2 z = 4

x + y + 3 z = 5

- x + 2 y - z = 8

Maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi :

[A] {X} = {B}

8

5

4

121

311

232

z

y

x [A] matrix koefisien persamaan linear

[B] matrix kolom dari variabel /

bilangan yg tdk diketahui

[C] matrix kolom konstanta yg

diketahui

Sistem persamaan linier simultan

[A] {X} = {B}

Bisa diselesaikan dengan metode numerik metode

eliminasi gauss dsb.

Atau menggunakan invers matrix

{X} = [A]-1 .{B}

8

5

4

121

311

232

z

y

x

◦ Contoh

Sistem persamaan linier simultan