ANALISIS STABILITAS MODEL MATEMATIKA DARI PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MELALUI TRANSPORTASI ANTAR DUA KOTA

ANALYSIS OF STABILITY OF SPREADING DISEASE MATHEMATICAL MODEL WITH TRANSPORT-RELATED INFECTION BETWEEN TWO CITIES

Oleh:Aglis Nisa Sari (1207100023)

Dosen Pembimbing:1. Drs.M.Setijo Winarko, M.Si

2. Drs. I Gusti Ngurah Rai Usadha, M.Si

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA2011

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Penyebaran penyakitmenular antar kota Harus dikontrol

Harus dipahami bagaimana pertumbuhandan penyebaran

dari suatu penyakit menular

Terdapat banyak faktor yang mempengaruhi, diantaranyapopulasi yang tidak terkontrol, meningkatnya perjalanan

internasional, dan perubahan cuaca

Untuk beberapa penyakit seperti penyakit kaki dan mulut serta SARS, transportasi adalah faktor

utama yang mempengaruhi penyebarannya

Dalam matematika epidemologi, beberapa model yang menggabungkan wilayah berlainan telah dipelajari. Sattenspiel

dan Dietz (1995) memperkenalkan sebuah model denganperjalanan diantara populasi [2]. Mereka mengidentifikasi

parameter dalam kasus perjangkitan cacar air di PulauCarribean, Dominika, dan secara numerik mempelajari

dinamika dari model

Pada tugas akhir ini, dianalisis sebuah model epidemik untuk menjelaskan penyebaran

penyakit menular melalui transportasi sertadianalisis dinamika dari model untuk beberapa

kasus penting.

Pada penelitian sebelumnya, sedikit penelitian yang membahas pengaruh dari penularan melaluitransportasi pada dinamika penyakit menular

B. PERUMUSAN MASALAH

Dengan: (1.1)Si adalah individu Susceptible (rentan penyakit) kota i,( i =1,2)Ii adalah individu Infective (terinfeksi penyakit) kota i, (i =1,2)a adalah laju kelahiranb adalah laju kematian individu rentand adalah laju individu terinfeksi yang kembali rentanc adalah laju kematian individu terinfeksi, dengan

adalah laju perpindahan (dari i ke j ; )adalah laju penularan dalam kota jadalah laju penularan (dari kota j ke kota i)

adalah incidence rate (jumlah kasus infeksi baru per satuan waktu) dalam kota j

adalah incidence rate (jumlah kasus infeksi baru per satuan waktu) dari kota j ke kota i

Pada tugas akhir ini akan dianalisis model epidemik [2] yang mempunyai bentuk:

C. BATASAN MASALAH

Tugas akhir ini dibatasi oleh hal-hal sebagai berikut:a. Transportasi terjadi melalui jalur darat antar dua kota yang berdekatan.b. Model epidemik yang digunakan adalah model epidemik tipe SIS (Susceptible Infective Susceptible).

Adapun permasalahan dalam tugas akhir ini adalah:a. Bagaimana menentukan basic reproduction number, analisis stabilitas dari endemicsteady state, dan disease free steady state, serta kaitannya dengan basic reproduction number.b. Bagaimana penyebaran melalui transportasi mempengaruhi dinamika danperjangkitan penyakit menular di kota berlainan.

Manfaat dari tugas akhir ini adalah untuk memberikan informasi pengaruhpenyebaran penyakit menular melalui transportasi terhadap dinamika danperjangkitan penyakit menular di kota berlainan sehingga dapat diambil langkah-langkah yang tepat untuk pencegahannya.

E. MANFAAT PENELITIAN

Tujuan dari tugas akhir ini adalah:a. Menentukan basic reproduction number, endemic steady state, dan disease free steady state, dan kestabilannya.b. Menginterpretasikan hasil analisis pengaruh penyebaran penyakit menularmelalui transportasi terhadap dinamika dan perjangkitan penyakit menular di kotaberlainan.

D. TUJUAN PENELITIAN

A. PENYAKIT MENULAR

Penyakit menular adalah penyakit yang disebabkan oleh kuman yangmenjangkiti tubuh manusia [8]. Kuman dapat berupa virus, bakteri, atau jamur.Penyakit menular disebut juga wabah. Wabah dalam lingkup yang lebih luasdisebut epidemik, yaitu wabah yang terjadi secara lebih cepat daripada yangdiduga. Adapun wabah dalam lingkup global disebut pandemik. Penyakit yangumum yang terjadi pada laju yang konstan namun cukup tinggi pada suatupopulasi disebut sebagai endemik. Suatu infeksi penyakit dikatakan sebagaiendemik bila setiap orang yang terinfeksi penyakit tersebut menularkannyakepada satu orang lain (secara rata-rata). Bila infeksi tersebut tidak lenyap danjumlah orang yang terinfeksi tidak bertambah secara eksponensial, suatuinfeksi dikatakan berada dalam keadaan endemik (endemic steady state).

TINJAUAN PUSTAKA

B. TRANSPORTASI

Transportasi adalah pemindahan manusia atau barang dari satu tempat ketempat lainnya dengan menggunakan sebuah alat yang digerakkan olehmanusia atau mesin [9]. Transportasi sendiri dibagi menjadi 3 jalur yaitu, jalurdarat, laut, dan udara. Transportasi darat menggunakan alat transportasi daratseperti sepeda, sepeda motor, dan mobil yang disebut kendaraan pribadi sertabis, kereta api, dan bemo yang disebut kendaraan (angkutan) umum.

C. MODEL KOMPARTEMEN

Kompartemen adalah suatu aliran yang mendeskripsikan penyebaran penyakit dariindividu-individu. Ada beberapa fase dalam suatu kompartemen, yaitu :

S : Susceptible; individu yang sehat namun rentan (tak kebal) terhadappenyakit.

E : Exposed; individu yang terjangkit penyakit namun belum tampak tandapenyakitnya (masa inkubasi).

I : Infective; individu yang terkena penyakit dan dapat menularkanpenyakitnya.

R : Removed; individu yang kebal setelah terinfeksi.

D. BILANGAN REPRODUKSI DASAR

Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yangberlangsung dalam populasi individu rentan penyakit [7]. Bilangan tersebutdiperlukan sebagai parameter untuk mengetahui tingkat penyebaran suatupenyakit. Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan menentukan nilai eigendari matriks Jacobian dari suatu sistem persamaan (model) yang dihitung padatitik kesetimbangan bebas penyakit. Pada model yang kompleks, suatu modelmungkin mempunyai lebih dari satu bilangan reproduksi dasar. Untuk kasusseperti ini, bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai terbesar daribeberapa bilangan reproduksi dasar. Untuk menentukan bilangan reproduksidasar, akan digunakan metode Driessche dan Watmough [4].

E. KESTABILAN TITIK TETAP

Pandang persamaan diferensial

Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (2.1) jikamemenuhi . Karena turunan suatu konstantasama dengan nol, maka sepasang fungsi konstanAdalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan (2.1) untuk semua t.

F. STABIL ASIMTOTIS LOKAL

Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilandari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbanganditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriksJacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan

Teorema 2.1Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik matriks ,mempunyai tanda negatif pada bagian realnya dan tidak stabil jika sedikitnya satudari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya.

Definisi 2.4Jika J adalah matriks yang berukuran n×n maka vektor tak nol dinamakan vektorkarakteristik dari J jika memenuhi :Jx = λx (2.2)Untuk suatu skalar λ disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektorkarakteristik yang bersesuaian dengan λ.Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n×n, maka dapatdituliskan kembali persamaan (2.2) sebagai Jx = λIx atau ekuivalen dengan(J - λI)x = 0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika | J - λI| = 0. (2.3)

Jika matriks maka (2.3) dapat ditulis:

2.6.3 Kriteria Kestabilan Routh – HurwitzKriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilansistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitungakar-akar karakteristik secara langsung.Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut :

, kemudian susun koefisien persamaan karakteristikmenjadi :

Sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika elemen-elemen pada kolom pertama (a0, a1, b1, c1, …) memiliki tanda yang sama.

METODOLOGI

Tahap-tahap yang digunakan dalam tugas akhir ini agar dapat mencapaitujuan adalah :

a. Studi literatur, meliputi pemahaman teoritis tentang penyebaran penyakitmenular melalui transportasi, serta kestabilan.b. Analisis kestabilan dengan menguji kestabilan asimotis lokal dari modelepidemik.c. Simulasi menggunakan MATLAB.d. Interpretasi hasil analisis dari model epidemik.e. Penyusunan draft dan laporan tugas akhir.

Model PenyebaranPenyakit Menular

Tanpa adanyatransportasi antar dua

kota

Melalui transportasiantar dua kota

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

individu rentan danterinfeksi bepergianantar 2 kota ( dan

Hanya individu rentanyang bepergian

Semua individu di kota 2bepergian ke kota 1, namunindividu terinfeksi di kota 1dicegah dari bepergian kekota 2

Model Penyebaran Penyakit Tanpa Adanya Transportasi Antar Dua KotaJika pergerakan dari individu diabaikan, , maka model (1.1)menjadi:

Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah:

P1

Titik kesetimbangan endemik adalah

Basic reproduction number untuk model (4.1) adalah

Sekarang akan dicari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan model(4.1). Setelah dilakukan proses linearisasi, didapat matriks Jacobianuntuk model (4.1) sebagai berikut

Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan bebas penyakit P1

Adalah

Nilai eigen matriks diperoleh dari

Jika , maka sehingga titik kesetimbangan bebas penyakitstabil. Jika , maka sehingga titik kesetimbangan bebaspenyakit tidak stabil.Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan adalah

Nilai eigen matriks diperoleh dari

Sehingga didapat persamaan kuadrat dengan bentukdengan nilai

Jika , maka , sehingga titik kesetimbanganendemik stabil. Jika , maka , sehingga titikkesetimbangan endemik tidak stabil.

Berdasarkan hasil analisa kestabilan, jika maka titikkesetimbangan bebas penyakit tidak stabil dan titik kesetimbanganendemik stabil sehingga jumlah individu terinfeksi bertambah danpenyebaran penyakit menular meningkat. Jika , maka titikkesetimbangan bebas penyakit stabil dan titik kesetimbanganendemik tidak stabil sehingga jumlah individu terinfeksi berkurangdan penyebaran penyakit menular akan menurun. Sedangkan jika

maka jumlah penderita banyaknya tidak bertambah dantidak berkurang.

Model Penyebaran Penyakit Menular melalui Transportasi antar Dua KotaJika individu rentan dan terinfeksi bepergian antar 2 kota, maka didapat modelsebagai berikut:

Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model (4.9) adalah:

Selanjutnya ditentukan titik kesetimbangan koeksisten, yaitu titik kesetimbanganyang semua variabelnya tidak bernilai nol. Jika diasumsikan kedua kota identik(parameter demografis sama untuk setiap kota), maka danTitik kesetimbangan koeksisten adalah dengan

Basic reproduction number untuk model (4.9) adalah

Sekarang akan dicari kestabilan lokal titik kesetimbangan model (4.9).Setelah dilakukan proses linearisasi, didapat matriks Jacobian untukmodel (4.9) sebagai berikut

Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan bebas penyakitAdalah

Nilai eigen dari J( ) diperoleh dari

titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ketika

Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan koeksisten adalah

dengan

polinomial karakteristik dari adalah

Pandang matriks . Jelas

Oleh karena itu, nilai eigen dari mempunyai bagian real negatif.

Pandang matriks

Kemudian,

Ketika , didapat , oleh karena itu, nilaieigen dari mempunyai bagian real negatif, yang mengakibatkan stabil ketika

Model Penyebaran Penyakit untuk Individu Rentan yang Bepergian

Pada kasus individu terinfeksi dicegah dari bepergian ke kota lain, model (4.9) menjadi

titik kesetimbangan bebas penyakit adalah :

titik kesetimbangan endemik adalah

dengan

titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 1 adalah

dengan

titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 adalah

dengan

Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan adalah

Nilai eigen matriks diperoleh dari

Nilai eigen dari matriks di atas adalah

Oleh karena itu, titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ketika

Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan koeksisten

Dengan

polinomial karakteristik dari adalah

Jika , maka

Kemudian dan

Oleh karena itu, 2 nilai eigen dari A+B mempunyai bagian real negatif.

dan . Nilai eigen dari juga mempunyaibagian real negatif. Oleh karena itu, stabil

Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan adalah

Andaikan

Nilai eigen dari diperoleh dari

Berdasarkan perhitungan, dapat disimpulkan bahwa ada dan stabiljika sedangkan jika ada tetapi tidak stabil.

Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan adalah

Andaikan

Persamaan karakteristik dari adalah

Dari perhitungan, dapat disimpulakan bahwa ada dan stabil jikasedangkan jika ada tetapi tidak stabil.

Model Penyebaran Penyakit untuk Semua Individu di Kota 2 Bepergian ke Kota 1, namun Individu Terinfeksi di Kota 1 Dicegah dari Bepergian ke Kota 2

Pada kasus ini, model (4.9) direduksi menjadi

titik kesetimbangan bebas penyakit pada model (4.21) adalah

titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 adalah

Dengan,

Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit adalah:

Nilai eigen dari adalah diperoleh dari

Oleh karena itu, stabil ketika

.

Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 adalah

Persamaan karakteristik dari matriks adalah

Dengan,

Titik kesetimbangan dari model 4.21 dikatakan stabil atau mempunyaibagian real negatif jika dan hanya jika

Supaya , maka

Dari perhitungan di atas, titik kesetimbangan bebas penyakitada untuk ataupun dan stabil jika . Jika dan , model mempunyai titik kesetimbangan endemik

yang stabil. Titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 yaitu juga ada untuk ,

tetapi tidak stabil jika menjadi stabil jika ditingkatkan, dengan kata lain .

Model Penyebaran Penyakit melalui Transportasi antar Dua Kota dengan

Jika , maka didapat model sebagai berikut:

titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model (4.23) adalah:

titik kesetimbangan koeksisten adalah dengan

Basic reproduction number untuk model (4.23) adalah

titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ketika

titik kesetimbangan endemik stabil ketika

SIMULASI

Untuk kasusDengan mengambil parameter

Dengan nilai awal

Didapat

Maka didapat grafik kestabilan

MODEL 4.9

Untuk kasusDengan mengambil parameter

Dengan nilai awal

Didapat

Maka didapat grafik kestabilan

Untuk kasusDengan mengambil parameter

Dengan nilai awal

Didapat

Maka didapat grafik kestabilan

MODEL 4.23

Untuk kasusDengan mengambil parameter

Dengan nilai awal

Didapat

Maka didapat grafik kestabilan

Untuk kasusDengan mengambil parameter

Dengan nilai awal

Didapat

Maka didapat grafik kestabilan

MODEL 4.17

Untuk kasus

Dengan mengambil parameter

Dengan nilai awal

Didapat

Maka didapat grafik kestabilan

Untuk kasus

Dengan mengambil parameter

Dengan nilai awal

Didapat

Maka didapat grafik kestabilan

MODEL 4.21

Untuk kasus

Dengan mengambil parameter

Dengan nilai awal

Didapat

Maka didapat grafik kestabilan

KESIMPULAN DAN SARAN

KESIMPULAN

1.Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada model (4.9) & (4.23) adalah

a. Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ada dan stabil,sedangkan titik kesetimbangan endemik tidak ada. Hal ini berarti jumlahindividu terinfeksi berkurang sehingga penyebaran penyakit menular akanmenurun dan tidak terjadi penyebaran (endemik) pada kedua kota.

b. Jika dan maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada tetapitidak stabil, sedangkan titik kesetimbangan endemik ada dan stabil. Hal inimenyebabkan keadaan endemik di kedua kota sehingga jumlah indivudu terinfeksi bertambah dan penyebaran penyakit menular meningkat.

2.Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada model (4.17) adalaha.Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada dan stabil,sedangkan

titik kesetimbangan endemik tidak ada.b.Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada tetapi tidak stabil,

sedangkan titik kesetimbangan endemik ada dan stabil.

3.Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada model (4.21) adalaha.Titik kesetimbangan bebas penyakit kedua kota

ada untuk ataupun dan stabil jika b.Jika dan ,titik kesetimbangan endemik stabil.

Titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 juga ada untuk ,tetapi tidak stabil jika menjadi stabil jika ditingkatkan, dengan kata lain .

SARAN

Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah dijelaskan analisis stabilitasmodel matematika dari penyebaran penyakit menular melaluitransportasi antar dua kota dengan kasus ( ) denganserta ( ) dengan . Kasus –kasus lain seperti ( )dengan perlu dikembangkan lagi untuk peneletian selanjutnya.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton, Howard. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1. Batam: Interaksara[2] Cui, J., Takeuchi, Y., Saito, Y. 2006. Spreading disease with transport-relatedinfection. Journal of Theoritical Biology 239 (2006) 376-390.[3] Diekmann,O. Heesterbeek. J.A.P, Metz, J.A.J. 1990. On the definition an thecomputation of the basic reproduction ratio in models for infectious disease inheterogeneous populations. J.Math.Biology 28, 365-382[4] Driessche,P.,Watmough,J. 2002. Reproduction Numbers and Sub-thresholdEndemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission.Mathematical Biosciences 180 (2002) 29-48[5] Finizio, N., Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with ModernApplications. California: Wadsworth Publishing Company.[6] Ma, Z. dan Li, J. 2009. Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics.Singapore: World Scientific Publishing.[7] Rahmalia, Dinita. 2010. Permodelan Matematika dan Analisis Stabilitas dariPenyebaran Penyakit Flu Burung. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Surabaya.[8]Wikipedia. 2 Agustus 2010. Wabah. <http://id.wikipedia.org/index.php>[9]Wikipedia. 3 Nopember 2010. Transportasi.<http://id.wikipedia.org/index.php>