Analisis Sistemas Lineales - Oscar Duarte

Principal

Bienvenidos!

El curso de Anlisis de Sistemas Dinmicos est dirigido a estudiantes de pregrado de la carrera de Ingeniera Elctrica. Como prerrequisito se debe haber tomado el curso Circuitos III.

Ultima actualizacin: 19-Febrero-2008

__

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20lineale....unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/frames/principal.html06/07/2008 12:12:03

Principal

Descripcin

Nombre del curso: Anlisis de Sistemas Dinmicos

Facultad: Ingeniera Elctrica.

Profesor encargado:

Duarte Velasco, scar Germn

Dirigido a: Estudiantes de Ingeniera Elctrica.

Tipo de contenido: Teoria y Ejercicios.

Formato del curso: Html.

Objetivos

Se trata de que los estudiantes adquieran la capacidad de modelar sistemas dinmicos y de analizar sus respuestas dinmicas y estticas.

l Formular modelos externos/internos de sistemas dinmicos de diferentes tipos. Obtener modelos linealizados de sistemas no lineales y comprender sus propiedades.

l Estudiar las diversas herramientas desarrolladas para analizar modelos matemticos de sistemas lineales y no lineales, continuos y discretos.

Intensidad Semanal: 4 Horas Tericas y 0 Horas Prcticas

Crditos

Monitor

Nelson Javier Hurtado

Montaje de los contenidos en html Nov a Dic de 2002

__

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20lineal...du.co/cursos/ingenieria/2001619/docs_curso/descripcion.html06/07/2008 12:10:22

Principal

Datos Generales

Apellidos: Duarte Velasco

Nombres: scar Germn

Cargo: Coordinador de Posgrados Facultad de Ingeniera

Categora Docente: Profesor asociado

Dedicacin: Dedicacin Exclusiva

Correo Electrnico: [email protected]

Oficina: 453-202/224

Telfono: (+34) 630860297

Ttulos: Ingeniero Electricista, Nacional de Colombia. 1991 M.Sc. Automatizacin Industrial, Nacional de Colombia. 1997 Ph.D. Informtica, Universidad de Granada. 2000

Publicaciones

l

Duarte O. Microcontrolador 8031.Texto para el curso impartido por la Unidad de Educacin Continuada de la Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional de Colombia. 1994..1994

l

Duarte O. UNFUZZY - Software para el Diseo, Anlisis, Simulacin e Implementacin de Sistemas de Lgica Difusa.Tesis de Magister. Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional de Colombia. 1997.1997

l

Duarte, O. Circuitos D.C. Con Resistores No Lineales.Editorial de la Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional de Colombia. 1997.1997

l

Duarte O. UNFUZZY - Software para el Diseo, Anlisis, Simulacin e Implementacin de Sistemas de Lgica Difusa.Conferencia presentada en las III Jornadas Iberoamericanas de Automtica Industrial. Cartagena. Agosto de 1997.1997

l

Losada M.A., Duarte O., Llorca J. Recommendations for maritime structures in Spain: A review of the new ROM 0.2-99 en Coastal Structures-99.Santander, Spain 1999.1999 Losada M.A.

l

Duarte O. Presentacin de la nueva ROM 0.2-99. II. Factores de Proyecto en EROM 99-1. Universitat de Valencia y Puertos del Estado. 1999.1999

l

Losada M.A., Duarte O. Presentacin de la nueva ROM 0.2-99. I. Criteros Generales en EROM 99-1. Universitat de Valencia y Puertos del Estado. 1999.1999

l

Duarte O., Prez G. UNFUZZY: fuzzy logic system analysis, design simulation and implementation software.Proceedings of the 1999 Eusflat-Estylf Joint Conference. Mallorca, Spain 1999.1999

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20li...u.co/cursos/ingenieria/2001619/docs_curso/profesor.html (1 de 3)06/07/2008 12:10:35

Principal

Duarte O., Delgado M., Requena I. Algorithms to extend crisp functions and their inverse functions to fuzzy numbers.Proceedings of the 1999 Eusflat-Estylf Joint Conference. Mallorca, Spain.1999

l

Duarte O. Sistemas de Lgica Difusa - Fundamentos.Ingeniera e Investigacin, Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de Colombia. No. 42 Abril de 1999, pp 22-30.1999

l

Duarte O. Tcnicas Difusas en la Evaluacin de Impacto Ambiental.Tesis Doctoral, Universidad de Granada. Espaa, Septiembre del 2000

l

Duarte O., Delgado M., Requena I. Application of the Extension of crisp Functions to Fuzzy Numbers In the Environmental Impact Analysis.Information Processing and Managment of Uncertainity in Knowledge.based Systems en Proceedings of the Eighth Internatio nal Conference IPMU 2000. Madrid, Spain.2000

Proyectos de Investigacin

l Variacin del algoritmo gentico BLX-alfa l UNFUZZY 1.2 l Soporte informtico para la ROM 0.1-00 l Tcnicas difusas y Evaluacin de Impacto Ambiental

Temas de Inters

l Computacin flexible: No es fcil encontrar una definicin exacta para el trmino "Computacin Flexible"; se trata de un conjunto de estrategias de computacin no tradicional que tienen en comn sus capacidades para manejar en forma robusta informacin que contiene incertidumbre.

m Algunas de las tcnicas incluidas dentro del paradigma de la Computacin flexible son: m Lgica difusa m Redes Neuronales m Algoritmos Genticos

l Control y Automatizacin Industrial: La aplicacin industrial del Control y la Automatizacin de procesos va ms all del estudio de la Teora Matemtica del Control, y abarca temas como la utilizacin de Controladores y de PLCs, y la planificacin de procesos.

l Microcontroladores: Los Microcontroladores son dispositivos electrnicos con capacidades lgicas similares a las de un microprocesador, pero mucho ms limitadas, y que incorporan en si mismos otros dispositivos de hardware, tales como contadores, temporizadores, puertos de Entrada/Salida, manejadores de interrupciones, puertos seriales, etc. Por esta razn resultan adecuados para el desarrollo de aplicaciones electrnicas en donde se requiera manejar pocas seales fsicas con poca potencia de clculo, tal como sucede en muchas aplicaciones de Control de bajo nivel. Existen varias familias de Microcontroladores, entre las que destacan las de Intel, MicroChip, Motorola y National.

l Tcnicas difusas: Las Tcnicas difusas son todas aquellas estrategias de representacin del conocimiento y/o anlisis de la informacin basados en la Teora de Conjuntos Difusos propuesta por Zadeh.

m Puede encontrarse una presentacin preliminar de estas tcnicas en cualquiera de estos documentos:

m Tcnicas Difusas m Lgica difusa - Fundamentos m Lgica difusa - Aplicaciones

Cursos Dictados

l 22010: Circuitos I l 22015: Laboratorio de Circuitos l 22020: Circuitos II


Principal

l 22110: Anlisis de Sistemas Dinmicos l 22120: Control

Software Desarrollado

l UNFUZZY 1.2: Herramienta de Software para el Anlisis, Diseo, Simulacin e Implementacin de Sistemas de Lgica Difusa.

l TDEIA (Demo): Tcnicas Difusas de Evaluacin de Impacto Ambiental. l Ejemplos de UNFUZZY: C-Means (01/11/97): Un sencillo programa demostrativo del

algoritmo de agrupamiento difuso "Fuzzy C-Means". Corre en DOS, y se trata de agrupar los nmeros enteros del 1 al 20. Se incluye el cdigo fuente

l UNFUZZY 1.1 (01/01/98): Software para el anlisis, diseo, simulacin e implementacin de Sistemas de Lgica Difusa

l LabAg (01/06/99): Laboratorio de Algoritmos Genticos con Codificacin Real

Hardware Desarrollado

l Controlador Programable de Movimiento (01/06/91): Sistema basado en el microprocesador 80286 diseado para el control de hasta seis grados de libertad

l Tarjetas electrnicas para dimmer artsticos (01/01/92): Diseadas para el auditorio "Getseman" del Centro de Convenciones Cartagena de Indias, y para el auditorio "Amira de la Rosa" de Barranquilla.

l Sistema de Desarrollo para Microcontrolador 8031 (01/06/94): Tarjetas electrnicas con un microcontrolador programable desde un PC a travs del puerto serial Tesis y Trabajos de Grado dirigidos No hay Tesis ni Trabajos de Grado dirigidos en los registros

__


Principal

Contenido

captulo 1. Introduccin al Modelamiento de Sistemas

l 1. Introduccin al Modelamiento de Sistemasl 1.1 Conceptos preliminares

m 1.1.1 Sistemasm 1.1.2 Seales m 1.1.3 Modelos m 1.1.4 Construccin de los Modelos Matemticosm 1.1.5 Clasificacin de los Modelos Matemticos m 1.1.6 Modelos matemticos a utilizar

l 1.2 Sistemas Fsicos l 1.3 Grafos de Enlaces de Potencia. "Bond graphs"

m 1.3.1 Elementos bsicosm 1.3.2 Causalidad m 1.3.3 Obtencin de las ecuacionesm 1.3.4 Procedimientos especficos

n 1.3.4.1 Circuitos Elctricosn 1.3.4.2 Sistemas traslacionales

captulo 2. Preliminares Matemticos

l 2. Preliminares Matemticosl 2.1 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencia

m 2.1.1 Ecuaciones Diferencialesm 2.1.2 Ecuaciones de Diferencias Finitasm 2.1.3 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencias Lineales

n 2.1.3.1 Linealidad n 2.1.3.2 E.D. Lineales n 2.1.4 Mtodos de solucin de E.D. Lineales

l 2.2 Transformada de Laplace y Transformada Z m 2.2.1 Definiciones

n 2.2.1.1 Transformada de Laplacen 2.2.1.2 Transformada Z

m 2.2.2 Propiedades m 2.2.3 Parejas de Transformadas m 2.2.4 Utilizacin de la tabla de parejas de transformadasm 2.2.5 Transformadas Inversas por Expansin de Fracciones Parciales

n 2.2.5.1 Otra estrategia l 2.3 Solucin de E.D. Lineales mediante transformadas

captulo 3. Introduccin al Anlisis de Sistemas Dinmicos Lineales

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20li....co/cursos/ingenieria/2001619/docs_curso/contenido.html (1 de 5)06/07/2008 12:09:42

Principal

l 3. Introduccin al Anlisis de Sistemas Dinmicos Linealesl 3.1 Sistemas Dinmicos y E.D.

m 3.1.1 Sistemas contnuosm 3.1.2 Sistemas discretos

l 3.2 Funciones de Transferencial 3.3 Diagramas de Bloquesl 3.4 Diagramas de Flujo de Seal

m 3.4.1 Regla de Masonl 3.5 Respuesta al Impulso

m 3.5.1 Caso Discreto n 3.5.1.1 La funcin Impulso Unitario Discreton 3.5.1.2 La Respuesta a un Impulso genricon 3.5.1.3 Convolucin

m 3.5.2 Caso Contnuo n 3.5.2.1 La funcin Impulso Unitario Contnuon 3.5.2.2 Respuesta al Impulson 3.5.2.3 Convolucin

l 3.6 Simulacin de Sistemas

captulo 4. Sistemas de primer y Segundo Orden

l 4. Sistemas de primer y Segundo Ordenl 4.1 Sistemas Contnuos de Primer Ordenl 4.2 Sistemas Discretos de Primer Ordenl 4.3 Sistemas Contnuos de Segundo Orden

m 4.3.1 Regin de Estabilidadm 4.3.2 Regin de Tiempo mximo de asentamientom 4.3.3 Regin de Frecuencia mxima de oscilacinm 4.3.4 Regin de sobrepico mximom 4.3.5 Regin de diseo

l 4.4 Sistemas Discretos de Segundo Orden m 4.4.1 Regin de Estabilidadm 4.4.2 Regin de Tiempo mximo de asentamientom 4.4.3 Regin de Frecuencia mxima de oscilacinm 4.4.4 Regin de sobrepico mximo m 4.4.5 Regin de diseo

l 4.5 Efecto de los ceros. Sistemas de Fase Mnimal 4.6 Polos Dominantes

m 4.6.1 Caso contnuo m 4.6.2 Caso discreto

captulo 5. Anlisis de Sistemas retroalimentados simples


Principal

l 5. Anlisis de Sistemas retroalimentados simplesl 5.1 Tipo de Sistema y Error de Estado Estacionario

m 5.1.1 Caso Contnuo m 5.1.2 Caso Discreto

l 5.2 Estabilidad y Criterios de Estabilidad en sistemas contnuos m 5.2.1 Arreglo y Criterio de Routh-Hurwitz

n 5.2.1.1 Construccin del Arreglo de Routhn 5.2.1.2 Criterio de Routh-Hurwitzn 5.2.1.3 Problemas en la Construccin del Arreglo de Routh

m 5.2.2 Lugar Geomtrico de las Raices n 5.2.2.1 Determinacin de la estabilidadn 5.2.2.2 Reglas de construccin de los diagramas

m 5.2.3 Diagramas y Criterio de Bode n 5.2.3.1 Mrgenes de Estabilidad

m 5.2.4 Diagrama y Criterio de Nyquist n 5.2.4.1 Determinacin grfica del valor de una funcin

compleja racionaln 5.2.4.2 Principio del Argumenton 5.2.4.3 Trayectoria de Nyquistn 5.2.4.4 Diagrama de Nyquistn 5.2.4.5 Criterio de Nyquist

l 5.3 Estabilidad y Criterios de Estabilidad en sistemas discretos m 5.3.1 Transformacin bilineal m 5.3.2 Arreglo y Criterio de Jury

n 5.3.2.1 Construccin del Arreglo de Juryn 5.3.2.2 Criterio de Juryn 5.3.2.3 Problemas en la construccin del arreglo de Jury

m 5.3.3 Lugar Geomtrico de las Raicesm 5.3.4 Diagramas y Criterio de Bodem 5.3.5 Diagrama y Criterio de Nyquist

captulo 6. Representacin en Variables de Estado

l 6. Representacin en Variables de Estadol 6.1 Introduccin l 6.2 Algunos resultados de lgebra Lineal

m 6.2.1 Espacios Vectorialesm 6.2.2 Valores y Vectores Propiosm 6.2.3 Forma Cannica de Jordan

n 6.2.3.1 Matrices con valores propios diferentesn 6.2.3.2 Matrices con valores propios repetidosn 6.2.3.3 Matrices con valores propios complejos

m 6.2.4 Funciones de Matrices Cuadradasl 6.3 Variables de Estado

m 6.3.1 El concepto de Estadom 6.3.2 Representacin de Estado a partir de ED

l 6.4 Sistemas contnuos libres m 6.4.1 Retratos de Fasem 6.4.2 El Espacio de Estadom 6.4.3 Matriz de Transicin de Estado

l 6.5 Sistemas discretos libres m 6.5.1 Matriz de Transicin de Estado

l 6.6 Sistemas contnuos excitados


Principal

m 6.6.1 Matriz de Funciones de Transferenciam 6.6.2 Variables de Estado en el Tiempo

l 6.7 Sistemas discretos excitados m 6.7.1 Matriz de Funciones de Transferenciam 6.7.2 Variables de Estado en el Tiempo

l 6.8 Introduccin al Control por Variable de Estado m 6.8.1 Controlabilidad

n 6.8.1.1 Test de Controlabilidadn 6.8.1.2 Anotaciones al concepto de Controlabilidad

m 6.8.2 Observabilidad n 6.8.2.1 Test de Observabilidadn 6.8.2.2 Anotaciones al concepto de Observabilidad

captulo 7. Introduccin a los Sistemas No Lineales

l 7. Introduccin a los Sistemas No Linealesl 7. Introduccin a los Sistemas No Linealesl 7.1 Prdida de Superposicicin y Proporcionalidad l 7.2 Mltiples Puntos de Equilibriol 7.3 Estabilidad Locall 7.4 Ciclos Lmite l 7.5 rbitas Homoclnicas l 7.6 Bifurcaciones l 7.7 Comportamientos caticos

ANEXOS

A Anotaciones al concepto de Modelo

l 1. Anotaciones al concepto de Modelo

B Transformadas Z y L - Demostraciones

l B. Transformadas Z y L - Demostracionesl 1.1 Propiedades de la Transformada de Laplace

m 1.1.1 Linealidad: m 1.1.2 Diferenciacin: m 1.1.3 Desplazamiento en la Frecuencia:m 1.1.4 Multiplicacin por t:m 1.1.5 Teorema de valor Inicial:m 1.1.6 Teorema de valor final:m 1.1.7 Convolucin: m 1.1.8 Desplazamiento en el tiempo:

l 1.2 Propiedades de la Transformada Z m 1.2.1 Linealidad: m 1.2.2 Diferencia positiva:m 1.2.3 Escalamiento en la Frecuencia:m 1.2.4 Multiplicacin por k

C Diagramas de Bode para Sistemas Contnuos


Principal

l 1.1 Definicin m 1.2 Construccin de los diagramas de Bode

D Carta de Nichols

l 1. Introduccin m 1.1 M-crcunferencias m 1.2 N-crcunferencias m 1.3 Carta de Nichols

E Apuntes de lgebra Lineal

l 1.1 Espacios Vectoriales m 1.1.1 Estructuras Algebricas Bsicasm 1.1.2 Definicin de Espacio Vectorialm 1.1.3 Bases m 1.1.4 Cambio de Base

l 1.2 Transformaciones Lineales m 1.2.1 Transformaciones y Cambios de Base

l 1.3 Normas de Vectores y Matricesl 1.4 Sistemas de Ecuaciones Algebricasl 1.5 Valores y Vectores Propios

m 1.5.1 Valores propios diferentesm 1.5.2 Valores propios repetidosm 1.5.3 Obtencin de vectores propios generalizados

l 1.6 Forma Cannica de Jordanl 1.7 Forma Cannica Real de Jordan

m 1.7.1 Bloques de Jordan de tamao 1 n 1.7.1.1 Otra alternativa n 1.7.1.2 Una interpretacin

m 1.7.2 Bloques de Jordan de tamao mayor que 1l 1.8 Funciones de Matrices Cuadradas

m 1.8.1 Polinomios de matricesm 1.8.2 Funciones como series de potenciasm 1.8.3 Definicin de funciones mediante polinomios

__


2. Preliminares Matemticos

2. Preliminares Matemticos

Subsecciones

l 2.1 Ecuaciones diferenciales y de diferencia m 2.1.1 Ecuaciones diferenciales m 2.1.2 Ecuaciones de diferencias finitas m 2.1.3 Ecuaciones diferenciales y de diferencias lineales

n 2.1.3.1 Linealidad n 2.1.3.2 E.D. lineales

m 2.1.4 Mtodos de solucin de E.D. lineales

l 2.2 Transformadas de Laplace y m 2.2.1 Definiciones

n 2.2.1.1 Transformada de Laplace n 2.2.1.2 Transformada

m 2.2.2 Propiedades m 2.2.3 Parejas de transformadas m 2.2.4 Utilizacin de la tabla de parejas de transformadas m 2.2.5 Transformadas inversas por expansin de fracciones parciales

n 2.2.5.1 Otra estrategia

l 2.3 Solucin de E.D. lineales mediante transformadas

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20lineal...o/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/preliminar/node1.html06/07/2008 12:37:43

2.2 Transformadas de Laplace y

Subsecciones

l 2.2.1 Definiciones m 2.2.1.1 Transformada de Laplace m 2.2.1.2 Transformada

l 2.2.2 Propiedades l 2.2.3 Parejas de transformadas l 2.2.4 Utilizacin de la tabla de parejas de transformadas l 2.2.5 Transformadas inversas por expansin de fracciones parciales

m 2.2.5.1 Otra estrategia

2.2 Transformadas de Laplace y 2.2.1 Definiciones

2.2.1.1 Transformada de Laplace

Dada una funcin de los reales en los reales,

Existe una funcin denominada transformada de Laplace que toma como argumento y

produce una funcin de los complejos en los complejos.

La funcin denominada transformada inversa de Laplace toma como argumento y

produce , tal como se visualiza en la figura 2.1

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20li...rsos/ingenieria/2001619/lecciones/preliminar/node3.html (1 de 18)06/07/2008 12:42:35


\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/preliminar/trans_laplace} }\end{center}

La transformada de Laplace se define2.3 como

(2.11)

Existe una definicin alternativa, conocida como la transformada bilateral de Laplace, cuyos lmites de integracin son ( y ):

(2.12)

Debido a que nuestro inters se centra en el comportamiento de las seales a partir del instante de tiempo , trabajaremos con la versin unilateral de la transformada.

2.2.1.2 Transformada

Dada una funcin de los enteros en los reales,

Existe una funcin denominada transformada que toma como argumento y produce una

funcin de los complejos en los complejos.

La funcin denominada transformada inversa toma como argumento y produce



, tal como se visualiza en la figura 2.2

La transformada se define2.4 como

(2.13)

Existe una definicin alternativa, conocida como la transformada bilateral , cuyos lmites de integracin son ( y ):

(2.14)

Debido a que nuestro inters se centra en el comportamiento de las seales a partir del instante de tiempo , trabajaremos con la versin unilateral de la transformada.

La tabla 2.3 muestra una comparacin entre las definiciones de las transformadas de Laplace y

Tabla:Comparacin de las definiciones de las transformadas de Laplace y



Transformada de Laplace Transformada

La transformada de Laplace se define como

La transformada se define como

Transformada bilateral de Laplace:

Transformada bilateral :

$\displaystyle \begin{matrix} F_b(z)\doteq\mathcal{Z}_b\left\{f(k)\right\} \\ F_b(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty f(k)z^{-k} \end{matrix}$

2.2.2 Propiedades

Las transformadas de Laplace y satisfacen ciertas propiedades que son muy similares para una y otra transformada; algunas de estas transformadas se listan en la tabla 2.4, y sus demostraciones se

presentan en el apndice [*] . De estas propiedades destacamos los siguientes hechos:

1. La propiedad de linealidad permite que la aplicacin de estas transformadas a la solucin de E.D. lineales sea bastante simple. Por el contrario, estas transformadas no suelen ser tiles para solucionar E.D. No Lineales.

2. Las propiedades de diferenciacin y diferencias positivas son las que permiten convertir Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones de Diferencia, respectivamente, en Ecuaciones Algebricas.

3. Hay una diferencia sutil pero importante entre las propiedades de diferenciacin y diferencias positivas: las condicin inicial est multiplicada por en el caso discreto, mientras que

en el caso contnuo no est multiplicada por .

Este hecho origina algunas diferencias en la forma de las parejas de funciones y sus



transformadas (ver seccin 2.2.3) y en la forma en que se emplea la expansin en fracciones parciales para calcular las transformadas inversas(ver seccin 2.2.5).

4. La propiedad de multiplicacin por el tiempo tiene una expresin directa en el caso continuo (multiplicacin por ) mientras que en el caso discreto tiene una expresin iterativa (multiplicacin por ). Este hecho se ve reflejado en la tabla 2.6

5. La propiedad de convolucin pone de manifiesto que la transformada del producto de dos funciones NO es el producto de las transformadas individuales.

Tabla:Propiedades de las transformadas de Laplace y


Sean tres funciones

cuyas Transformadas de Laplace son, respectivamente , y

un escalar (real o complejo). Se cumplen las siguientes propiedades:

Sean tres funciones

cuyas Transformadas son, respectivamente y

un escalar (real o complejo). Se cumplen las siguientes propiedades:

Linealidad:

Linealidad:

Diferenciacin2.5:

Diferencia positiva:



Desplazamiento en la frecuencia:

Escalamiento en la frecuencia:

Multiplicacin por :

Multiplicacin por :

Teorema de valor inicial:

Teorema de valor inicial:

Teorema de valor final:

Teorema de valor final:

Convolucin:

Convolucin:

2.2.3 Parejas de transformadas La tabla 2.5 muestra las parejas de transformadas para las funciones elementales ms importantes en



el anlisis de sistemas dinmicos. El contenido de la tabla se demuestra en el Apndice [*] . De estas parejas destacamos los siguientes hechos:

1. En cada uno de los casos de las tablas 2.5 y 2.6, las transformadas (de Laplace o ) son fraccciones de polinomios en la variable compleja ( o ).

2. Al comparar estos polinomios en funciones anlogas (por ejemplo y ) notamos que el orden del denominador es el mismo; en el numerador, sin embargo, sucede que el orden de los polinomios de la transformada siempre es superior en al de su contraparte en la transformada de Laplace.

3. Si centramos nuestra atencin en la tabla 2.5, podemos notar que la ubicacin de los polos de las funciones transformadas en el plano complejo determina el tipo de funcin en el dominio del tiempo. Este hecho se resalta en la tabla 2.7 y en las figuras 2.3 y 2.4

4. Las funciones reseadas en la tabla 2.6 tambin estn asociadas a una ubicacin especfica de los polos en el plano complejo, pero cuando stos se repiten.

Tabla 2.5:Tabla de parejas de transformadas elementales


Tabla 2.6:Tabla de parejas de transformadas elementales multiplicadas por el tiempo



Transformada de Laplace Transformada $ f(k)$$ k\mu(k)$

iterar

$ \frac{1}{(s-a)^2}$

iterar

Tabla 2.7:Ubicacin de los polos en los planos complejos y funciones en el tiempo

Caso Contnuo Caso Discreto

Ubicacin de los polos

Funcin Ubicacin de los polos

Funcin

Origen escaln

escaln

Semieje real positivo

exponenciales crecientes

Intervalo

del

eje real

series geomtricas crecientes no alternantes



Intervalo

del eje real

series geomtricas crecientes alternantes

Semieje real negativo

exponenciales decrecientes

Intervalo

del

eje real

series geomtricas decrecientes no

alternantes

Intervalo

del

eje real

series geomtricas decrecientes alternantes

Eje imaginario

sinusoidales circunferencia unitaria

sinusoidales.

Complejos en el semiplano derecho

funciones sinusoidales amplificadas por una exponencial creciente

Complejos fuera del crculo unitario

sinusoidales amplificadas por una serie geomtrica creciente

Complejos en el semiplano izquierdo

sinusoidales amplificadas por una exponencial decreciente

Complejos dentro del crculo unitario

sinusoidales amplificadas por una serie geomtrica decreciente



file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20l...sos/ingenieria/2001619/lecciones/preliminar/node3.html (10 de 18)06/07/2008 12:42:35


2.2.4 Utilizacin de la tabla de parejas de transformadas Para emplear las tablas 2.5 y 2.6 para obtener la transformada inversa de una funcin, primero hay que expresar sta ltima como alguno de los casos que aparecen en dichas tablas. Suele ser til recordar que las transformaciones de Laplace y son funciones lineales.

Ejemplo 2.3 Para obtener la transformada inversa de Laplace de , primero

reescribimos la como:

La expresin es de la forma , cuya transformada inversa de Laplace es . Aplicando linealidad tenemos:

Ejemplo 2.4 Para obtener la transformada inversa de Laplace de , primero

destacamos que el denominador de es de segundo orden, y por tanto es similar al que aparece

en las transformadas de Laplace de las sinusoides amortiguadas. Con esto presente, buscamos reescribir con el denominador en la forma . Para ello, ntese que

Igualando los coeficientes podemos identificar (y por tanto ) y

(y por tanto ). En consecuencia, podemos reescribir como



Los dos sumandos corresponden a transformadas de la forma , por lo tanto:

Este resultado puede reescribirse utilizando la identidad trigonomtrica:

con y . Por lo tanto, resulta ser:

2.2.5 Transformadas inversas por expansin de fracciones parciales

Una de las estrategias que pueden emplearse para obtener la transformada Inversa de Laplace (o ) de una funcin racional de polinomios en (o ):



consiste en reescribir (o ) como suma de funciones ms sencillas, cuyas transformadas inversas sean posibles de obtener mediante la lectura de las tablas de parejas. Este procedimiento se conoce como la expansin en fracciones parciales.

El procedimiento general puede enumerarse como sigue:

1. Si entonces se realiza la divisin hasta obtener una fraccin en la que el grado del polinomio del denominador sea mayor al del numerador; en los siguientes puntos se trabaja slo con la fraccin.

Ejemplo 2.5

2. Identificar las races del polinomio del denominador ( ), y cuntas veces se repite cada una de ellas ( , o multiplicidad de la raiz).

Evidentemente la suma de las multiplicidades ser , el grado del polinomio

3. Escribir la fraccin como suma de de fracciones parciales:

4. Obtener los coeficientes

Este sencillo procedimiento tiene dos puntos de dificultad, el primero de los cuales es cmo encontrar las races de , y el segundo cmo obtener los coeficientes .



Para la obtencin de las races suponemos que disponemos de algn tipo de procedimiento (analtico o computacional) para ello. Para la obtencin de los coeficientes , por su parte, pueden seguirse los siguientes procedimientos, segn sea el caso:

1. Polos de multiplicidad 1 Si el polo tiene multiplicidad , el coeficiente de la expansin podr calcularse como:

(2.15)

Ejemplo 2.6

2. Polos de multiplicidad mayor que 1

Si el polo tiene multiplicidad , el coeficiente de la expansin podr calcularse como:

(2.16)

Esta expresin tambin es vlida para , si se considera que , y que la derivada



de orden cero es la misma funcin.

Ejemplo 2.7

El procedimiento anterior tambin es vlido cuando las races del denominador son complejas:

Ejemplo 2.8



Las fracciones complejas pueden sumarse (ntese que los numeradores y denominadores de una fraccin son los conjugados de la otra):

2.2.5.1 Otra estrategia

Existe otra posibilidad para obtener los coeficientes . Consiste en efectuar la suma de las fracciones parciales e igualar coeficientes.

Tambin pueden combinarse las dos estrategias. Adems, puede emplearse el hecho segn el cual la suma de las fracciones debidas a polos complejos conjugados sern de la forma

Ejemplo 2.9



Al sumar las fracciones parciales se tiene:

Al igualar coeficientes se genera un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas:

Ejemplo 2.10

Obtenemos el primer coeficiente con 2.18:

Reescribimos la expansin e igualamos coeficientes:



$\displaystyle =\frac{10}{s(s^2+4s+13)}=\frac{10/13}{s}-\frac{0.77s+3.08}{s^2+4s+13}$



2.3 Solucin de E.D. lineales mediante transformadas

2.3 Solucin de E.D. lineales mediante transformadas La solucin de Ecuaciones Diferenciales (o de diferencia) mediante transformadas emplea el siguiente procedimiento:

1. Aplicar la transformada (de Laplace o $ \mathcal{Z}$

segn sea el caso) a cada lado de la Ecuacin. 2. Despejar la transformada de la funcin desconocida. 3. Aplicar la transformada inversa (de Laplace o $

\mathcal{Z}$

segn sea el caso) a la funcin desconocida.

Para la aplicacin del ltimo paso, suele ser conveniente utilizar la expansin en fracciones parciales.

Ejemplo 2.11 Resolver la ecuacin diferencial

$\displaystyle y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=5\mu(k) $

Con las condiciones iniciales : $ y(0)=-1$ , .

1. Al aplicar la Transformada a cada lado de la ecuacin se tiene:

Debido a la propiedad de linealidad se tiene

Si denominamos por a , y empleamos la propiedad de diferencias positivas,

tenemos

Reemplazando los valores de las condiciones iniciales, tenemos:



2. Para despejar la transformada de la funcin desconocida escribimos:

3. Para aplicar la transformada inversa primero efectuamos una expansin en fracciones

parciales de

Los coeficientes se pueden calcular como

Por lo tanto



La transformada inversa se puede obtener ahora en forma directa:



3. Introduccin al Anlisis de Sistemas Dinmicos Lineales

3. Introduccin al Anlisis de Sistemas Dinmicos Lineales

En este captulo se presentan algunas herramientas bsicas del anlisis de sistemas dinmicos. La seccin 3.1 muestra cmo puede descomponerse la respuesta de cualquier sistema dinmico en las respuesta de entrada cero y de estado cero; a partir de sta ltima se presenta en la seccin 3.2 la definicin de funcin de transferencia; con esta definicin se desarrollan en las secciones 3.3 y 3.4 se presentan dos herramientas grficas; la respuesta al impulso se analiza en la seccin 3.5.

Subsecciones

l 3.1 Respuestas de estado cero y de entrada cero m 3.1.1 Sistemas continuos m 3.1.2 Sistemas discretos

l 3.2 Funciones de transferencia l 3.3 Diagramas de bloques l 3.4 Diagramas de flujo de seal

m 3.4.1 Regla de Mason

l 3.5 Respuesta al impulso m 3.5.1 Caso discreto

n 3.5.1.1 La funcin impulso unitario discreto n 3.5.1.2 La respuesta a un impulso genrico n 3.5.1.3 Convolucin

m 3.5.2 Caso continuo n 3.5.2.1 La funcin impulso unitario continuo n 3.5.2.2 Respuesta al impulso n 3.5.2.3 Convolucin


file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20lineale...u.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/analisis/node1.html06/07/2008 12:43:45

3.1 Respuestas de estado cero y de entrada cero

Subsecciones

l 3.1.1 Sistemas continuos l 3.1.2 Sistemas discretos


3.1.1 Sistemas continuos

Supngase un sistema dinmico lineal continuo como el de la figura 3.1, cuya relacin entre la

entrada y la salida est descrita por la siguiente ecuacin diferencial genrica:

$\displaystyle a_n\frac{d^ny}{dt^n}+\cdots+a_1\frac{dy}{dt}+a_0y(t)= b_m\frac{d^mu}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{du}{dt}+b_0u(t)$ (3.1)

o en forma resumida:

Al aplicar la transformada de Laplace a esta ecuacin se tiene:

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20lin.../cursos/ingenieria/2001619/lecciones/analisis/node2.html (1 de 5)06/07/2008 12:44:01


De esta ecuacin podemos despejar como:

o de otra forma:



La ecuacin (3.2) muestra que la respuesta de un sistema dinmico continuo puede descomponerse en dos partes3.1:

Respuesta de estado cero:Es la primera parte de la ecuacin (3.2). Depende de la entrada y no de las condiciones iniciales; de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si las condiciones iniciales son cero, es decir, si su estado inicial es cero (de all su nombre).

Respuesta de entrada cero:Es la segunda parte de la ecuacin (3.2). Depende de las condiciones iniciales y no de la entrada ; de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si la entrada es cero (de all su nombre).

3.1.2 Sistemas discretos

Supngase un sistema dinmico lineal discreto como el de la figura 3.2, cuya relacin entre la entrada $ u(k)$

y la salida est descrita por la siguiente ecuacin de diferencias genrica:

o en forma resumida:



Al aplicar la transformada a esta ecuacin se tiene:

De esta ecuacin podemos despejar como:

o de otra forma:



De forma semejante al caso continuo, la ecuacin 3.4 muestra que la respuesta de un sistema dinmico continuo puede descomponerse en dos partes:

Respuesta de estado cero:Es la primera parte dela ecuacin 3.4. Depende de la entrada y no de las condiciones

iniciales; de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si las condiciones iniciales son cero, es decir, si su estado inicial es cero (de all su nombre).

Respuesta de entrada cero:Es la segunda parte dela ecuacin 3.4. Depende de las condiciones iniciales y no de la entrada

; de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si la entrada es cero (de all su nombre).



3.2 Funciones de transferencia

3.2 Funciones de transferencia Se define la funcin de transferencia de un sistema continuo o discreto como la relacin en el dominio de la frecuencia compleja entre salida y entrada con condiciones iniciales nulas

De acuerdo con las ecuaciones 3.2 y 3.4, la funcin de transferencia ser, para los casos continuo y discreto, respectivamente:

Las expresiones

slo son vlidas si las condiciones iniciales son nulas. En este caso, es posible representar grficamente la relacin entrada-salida del sistema mediante dos tipos de diagramas:

Diagramas de bloque:La figura 3.3 muestra un sistema como un bloque definido por la funcin de transferencia

o , que recibe una seal de entrada o y entrega una seal de salida

o . Estos diagramas se explican en la seccin 3.3.

Diagramas de flujo de seal:La figura 3.4 muestra un sistema como dos seales $ U

(s)$ y $ Y

(s)$ (o y )

relacionadas entre s por la funcin de transferecia o $ F(z)$

. Estos diagramas se

explican en la seccin 3.4


3.2 Funciones de transferencia



3.4 Diagramas de flujo de seal

Subsecciones

l 3.4.1 Regla de Mason

3.4 Diagramas de flujo de seal La figura 3.8 presenta las relaciones bsicas de un diagrama de flujo de seal. Ntese que el nfasis se pone en la seal y no en el sistema, a diferencia de los diagramas de bloques. Este es un texto de anlisis de sistemas y no de anlisis de seales, por esa razn preferimos los diagramas de bloques a los de flujo de seal.

No obstante lo anterior, el ejemplo 3.1 pone de manifiesto que para la obtencin de la funcin de transferencia de un sistema a partir de su diagrama de bloques es necesario desarrollar una habilidad especfica debido a que no existe un algoritmo para ello. Por el contrario, si se utilizan diagramas de flujo de seal s se cuenta con un procedimiento para la obtencin de la funcin de transferencia conocido como la regla de Mason.

La regla de Mason, que se explica en la seccin 3.4.1, emplea las definiciones que se presentan a continuacin y que se ilustran en el ejemplo 3.2.

Camino directoConjunto de ramas que llevan de la entrada a la salida, sin repetirse.



Ganancia de camino directoProducto de las ganancias de las ramas que forman el camino directo.

Lazo cerradoConjunto de ramas que parten de un nodo y llegan a el mismo nodo, sin repetir ningn otro nodo.

Ganancia de lazo cerradoProducto de las ganancias de las ramas que forman un lazo.

Lazos adyacentesLazos que comparten al menos un nodo.

Lazos no adyacentesLazos que no comparten ningn nodo.

Ejemplo 3.2 Considrese el diagrama de flujo de seal de la figura 3.9(a)

Camino directoLas figuras 3.9(b) y 3.9(c) muestran los caminos directos. 3.2

Ganancia de camino directoLas ganancias de camino directo Son:

m Figura 3.9(b):

m Figura 3.9(c): . Lazo cerrado

Las figuras 3.9(d) a 3.9(f) muestran los lazos del ejemplo. Ganancia de lazo cerrado

Las ganancias de lazo cerrado son: m Figura 3.9(d):

m Figura 3.9(e):

m Figura 3.9(f): Lazos adyacentes

Los lazos mostrados en las figuras 3.9(e) y 3.9(f) son adyacentes. Lazos no adyacentes

Los lazos mostrados en las figuras 3.9(d) y 3.9(e) son no adyacentes.



3.4.1 Regla de Mason

El clculo de la funcin de transferencia de un diagrama de flujo de seal esta dado por:

Donde:

l p= Nmero de caminos directos de a

l = Ganancia del camino directo nmero

l = 1 - (Suma de ganancias de lazos cerrados) + (Suma de ganancias de lazos no adyacentes tomados de a 2) - (Suma de ganancias de lazos no adyacentes tomados de a 3) + (Suma de ganancias de lazos no adyacentes tomados de a 4)

l : para el diagrama eliminando los lazos que tocan el camino nmero

Ejemplo 3.3 Para el sistema de la figura 3.10 la aplicacin de la regla de Mason es como sigue:

l Slo existe un camino directo ( ), cuya ganancia es:



l Existen cuatro lazos cerrados, cuyas ganancias son:

l Como existen 4 lazos, hay 6 posibles grupos de 2 lazos ( , , , ,

, ), pero de ellos, slo son no adyacentes los siguientes:

l Como existen 4 lazos, hay 4 posibles grupos de 3 lazos ( , , ,

), pero de ellos, slo hay uno que es no adyacentes:

l Como existen 4 lazos, slo hay un posible grupo de 4 lazos ( ), pero estos son adyacentes.

l De acuerdo con lo anterior, el valor de es:



l Al eliminar los lazos que tocan el nico camino directo slo subsiste el lazo . Por lo tanto resulta:

l Dado que slo hay un camino directo, la funcin de transferencia se calcula como:



3.5 Respuesta al impulso

Subsecciones

l 3.5.1 Caso discreto m 3.5.1.1 La funcin impulso unitario discreto m 3.5.1.2 La respuesta a un impulso genrico m 3.5.1.3 Convolucin

l 3.5.2 Caso continuo m 3.5.2.1 La funcin impulso unitario continuo m 3.5.2.2 Respuesta al impulso m 3.5.2.3 Convolucin

3.5 Respuesta al impulso La funcin de transferencia presentada en la seccin 3.2 permite caracterizar un sistema dinmico lineal invariante en el tiempo, en situacin de reposo, mediante una expresin en el dominio de la frecuencia compleja o . La respuesta al impulso logra esa misma caracterizacin, pero en el dominio del tiempo o , mediante el estudio del comportamiento del sistema cuando se estimula con una seal especial: el impulso unitario3.3.

3.5.1 Caso discreto

3.5.1.1 La funcin impulso unitario discreto

Dado un sistema como el de la figura 3.2 la respuesta al impulso es la respuesta del sistema cuando la

entrada es el impulso unitario , con condiciones iniciales nulas. La respuesta al impulso suele

denotarse por , y su transformada por

La funcin (ver figura 3.11) se define como:

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20li...cursos/ingenieria/2001619/lecciones/analisis/node6.html (1 de 12)06/07/2008 12:44:28


Una de las caractersticas importantes de la funcin es que su transformada es , tal como

se muestra a continuacin:

Supngase un sistema discreto con condiciones iniciales nulas, con funcin de transferencia ,

que se excita con el impulso unitario (figura 3.12). La respuesta del sistema, en el dominio de la frecuencia ser el producto de la entrada por la funcin de transferencia:

Este hecho pone de manifiesto la relacin que existe entre la respuesta al impulso y la funcin de transferencia (ver figura 3.13): la funcin de transferencia es la transformada de la respuesta al impulso



3.5.1.2 La respuesta a un impulso genrico

Supngase un sistema discreto lineal, que es excitado con la funcin impulso , y cuya salida es

la respuesta al impulso , tal como el de la figura 3.14(a). Si ese mismo sistema se excita con la funcin impulso, pero retrasada en , la salida debe ser la misma respuesta al impulso retrasada en

, como se muestra en la figura 3.14(b) ya que se supone que el sistema es invariante en el tiempo.



Por otra parte, debido a que el sistema es lineal, al multiplicar la entrada por un escalar la salida se multiplicar por el mismo escalar ; por lo tanto, si el sistema recibe como entrada la seal impulso

, la salida ser (ver figura 3.14(c)).

3.5.1.3 Convolucin



Una seal discreta cualquiera es un conjunto de valores en el tiempo, que puede representarse como la suma de infinitos impulsos individuales , tal como se muestra en la figura 3.15.

Adems, cada uno de los pulsos individuales puede representarse como un impulso aplicado en el

instante de tiempo , cuya amplitud es justamente Dicho de otra forma, cualquier seal puede escribirse como:

Debido a que el sistema es lineal, podemos aplicar el principio de superposicin, y obtener la respuesta del sistema cuando la entrada es como la suma debida a cada uno de los

impulsos (suponiendo condiciones iniciales nulas). Estas respuestas son de la forma que se

muestra en la figura 3.14(c), y por tanto la respuesta ser de la forma:

Esta ltima sumatoria corresponde a la convolucin discreta de las seales y ,

representada por el operador

El resultado anterior no debe sorprender, ya que al aplicar transformada a cada lado de la igualdad se tiene:

y la transformada de la respuesta al impulso resulta ser la funcin de transferencia del sistema, tal como se haba mostrado ya en la figura 3.13



3.5.2 Caso continuo

3.5.2.1 La funcin impulso unitario continuo

Para obtener con sistemas continuos un resultado similar el mostrado para sistemas discretos en la seccin 3.5.1 es necesario contar con una funcin continua cuyas propiedades sean anlogas a las de la funcin impulso discreto; es decir, se necesita una funcin cuya transformada de Laplace sea . Dicha funcin es la funcin impulso o delta de Dirac, generalmente representado por .

Para presentar la funcin , primero consideramos la funcin , cuya grfica se muestra en

la figura 3.16:

Ntese que el rea bajo la grfica de la funcin es , independientemente del valor de , es decir,

Se define la funcin delta de Dirac como la funcin que resulta al disminuir progresivamente, hasta llevarlo al lmite en que tiende a cero:



Esta funcin, cuya grfica se muestra en la figura 3.17 conserva la propiedad segn la cual el rea bajo la grfica es

Adems, si calculamos el rea bajo la grfica desde hasta un valor el resultado es la funcin escaln unitario

Por otra parte, consideremos el producto de la funcin desplazada en el tiempo, con una

funcin cualquiera, y calculemos el rea bajo la grfica de ese producto (ver figura 3.18)

Para valores de suficientemente pequeos, el rea puede hacerse equivalente a la de un rectngulo

de base y altura , por lo tanto,



El lmite puede introducirse en la integral, con lo que se obtiene

(3.2)

Es posible demostrar que la transformada de Laplace del impulso es , es decir que



Para ello, puede aplicarse directamente el resultado de la ecuacin 3.5 o considerar la propiedad de la transformada de Laplace segn la cual

Observese que la transformada de Laplace de , que es puede escribirse como

por lo tanto

3.5.2.2 Respuesta al impulso

Dado un sistema como el de la figura 3.1 la respuesta al impulso es la respuesta del sistema cuando la

entrada es el impulso unitario , con condiciones iniciales nulas. La respuesta al impulso suele

denotarse por , y su transformada de Laplace por

Si el sistema continuo tiene una funcin de transferencia , (figura 3.19), la respuesta del sistema, en el dominio de la frecuencia ser el producto de la entrada por la funcin de transferencia:

Este hecho pone de manifiesto la relacin que existe entre la respuesta al impulso y la funcin de transferencia (ver figura 3.20):La funcin de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20l...ursos/ingenieria/2001619/lecciones/analisis/node6.html (10 de 12)06/07/2008 12:44:28


De manera semejante al caso discreto (ver seccin 3.5.1) puede argumentarse que debido a que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta del sistema a una seal impulso genrica

ser

3.5.2.3 Convolucin

La ecuacin 3.5 muestra que una seal cualquiera puede representarse como la convolucin

contnua entre y identificada con el operador (se han intercambiado las variables y , lo que no altera el resultado):

La integral es la suma de infinitos trminos (trminos infinitesimales), y por tanto podemos emplear el principio de superposicin para obtener la respuesta del sistema cuando la entrada es

como la suma debida a cada uno de los trminos infinitesimales (suponiendo condiciones iniciales nulas), es decir:

Al igual que en al caso discreto, la respuesta del sistema a una entrada cualquiera se puede

obtener como la convolucin (contnua) de esa entrada con la respuesta al impulso.

Este resultado concuerda con una afirmacin previa, ya que al aplicar transformada de Laplace a cada



lado de la igualdad se tiene:

y la transformada de Laplace de la respuesta al impulso resulta ser la Funcin de Transferencia del sistema, tal como se haba mostrado ya en la figura 3.20



4. Sistemas de primer y Segundo Orden


Los sistemas de primer y segundo orden merecen especial atencin, ya que ellos presentan los comportamientos bsicos que pueden aparecer en cualquier sistema dinmico. Dicho de otra forma, en general un sistema dinmico presentar un comportamiento que puede descomponerse en los comportamientos ms simples de los sistemas de primer y segundo orden.

Este hecho puede explicarse observando el mtodo de solucin de E.D. que emplea expansin en fracciones parciales (ver seccin ): una fraccin se descompone en fracciones ms simples en donde los denominadores son polinomios de primer o segundo orden.

La excepcin a esta regla la constituyen los sistemas con polos repetidos, en donde adems aparecen los mismos comportamientos bsicos multiplicados por o (ver tablas y ).

En este captulo se estudian los sistemas continuos de primer y segundo orden. En todos los casos se proceder de la misma forma: se seleccionar una funcin de transferencia prototipo, se calcular su respuesta al escaln unitario4.1 con condiciones iniciales nulas, y se analizar la relacin existente entre esa respuesta y el valor de los polos dela funcin de transferencia. Las secciones 4.5 y 4.6 buscan resaltar que los resultados presentados en este captulo son estrictamente vlidos para las funciones prototipo seleccionadas.

Subsecciones

l 4.1 Sistemas continuos de primer orden l 4.2 Sistemas discretos de primer orden l 4.3 Sistemas continuos de segundo orden

m 4.3.1 Regin de estabilidad m 4.3.2 Regin de tiempo mximo de asentamiento m 4.3.3 Regin de frecuencia mxima de oscilacin m 4.3.4 Regin de sobrepico mximo m 4.3.5 Regin de diseo

l 4.4 Sistemas discretos de segundo orden m 4.4.1 Regin de estabilidad m 4.4.2 Regin de tiempo mximo de asentamiento m 4.4.3 Regin de Frecuencia mxima de oscilacin m 4.4.4 Regin de sobrepico mximo

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20li...co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/orden/node1.html (1 de 2)06/07/2008 12:45:09


m 4.4.5 Regin de diseo

l 4.5 Efecto de los ceros. Sistemas de fase mnima l 4.6 Polos dominantes



4.1 Sistemas continuos de primer orden

4.1 Sistemas continuos de primer orden Supngase un sistema continuo de primer orden, cuya funcin de transferencia sea

(4.1)

Al estimular el sistema con un paso unitario , con condiciones iniciales nulas, la respuesta

puede calcularse como sigue:

(4.2)

La expresin (4.2) muestra que la respuesta del sistema depender del valor de . Este hecho se constata en la figura 4.1, que muestra las grficas de para distintos valores de .



Al cambiar el valor de tambien cambia el valor del nico polo de la funcin de transferencia (4.1), que es . Para cualquier valor real positivo de el polo es un real negativo , y viceversa. Cuando el polo es positivo, la respuesta del sistema tiende a infinito, y se dice que el sistema es inestable. La figura 4.2 muestra cuales son las regiones de estabilidad e inestabilidad con referencia a la recta real, es decir, en qu lugares debe estar ubicado el polo de la funcin de transferencia para que el sistema sea, respectivamente, estable o inestable.

Para un polo negativo cualquiera , la respuesta es como la que se muestra en la figura 4.3. El

valor determina qu tan empinada es la respuesta (y cul ser el valor final de la respuesta); para valores grandes de , la respuesta es ms empinada, debido a que la respuesta natural se extingue ms rpido.

Para medir qu tan rpido decae una respuesta natural, podemos definir el tiempo de asentamiento o tiempo de estabilizacin, como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera un porcentaje de su valor mximo, por ejemplo el . Para el caso del sistema continuo de



primer orden, este tiempo satisface:

En general, al alejar el polo del origen (al desplazarlo hacia la izquierda) disminuye el tiempo de asentamiento, es decir, la respuesta es ms empinada. Esto nos permite definir una regin de tiempo de asentamiento mximo, como la que se muestra en la figura 4.4. Si el polo de la funcin de transferencia (4.1) cae en esa regin podemos asegurar que su tiempo de asentamiento satisface

.

Ntese que la regin de tiempo de asentamiento mximo est contenida dentro de la regin de estabilidad; esto es lgico, ya que la definicin de tiempo de asentamiento slo tiene sentido para sistemas estables.



4.2 Sistemas discretos de primer orden

4.2 Sistemas discretos de primer orden Supngase un sistema discreto de primer orden, cuya funcin de transferencia sea

(4.3)

Al estimular el sistema con un paso unitario , con condiciones iniciales nulas, la respuesta


(4.4)

La expresin (4.4) muestra que la respuesta del sistema depender del valor de . Este hecho se constata en la figura 4.1, que muestra las grficas de para distintos valores de .



Al cambiar el valor de tambien cambia el valor de el nico polo de la funcin de transferencia (4.3), que es . Para cualquier valor real positivo de el polo es un real negativo , y viceversa. Cuando el polo es negativo, la respuesta del sistema es de signo alternante (P.ej.

); por el contrario, si el polo es positivo la respuesta siempre ser del mismo signo.

Por otra parte, si el valor absoluto de es mayor que 1, el valor absoluto de la respuesta tiende a infinito, y se dice que el sistema es inestable. La figura 4.6 muestra cuales son las regiones de estabilidad e inestabilidad con referencia a la recta real, es decir, en qu lugares debe estar ubicado el polo de la funcin de transferencia para que el sistema sea, respectivamente, estable o inestable; tambin se muestra en la misma figura cuando la respuesta es alternante o no.



Para medir qu tan rpido decae una respuesta natural en los sistemas estables podemos definir el tiempo de asentamiento o tiempo de estabilizacin, como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera un porcentaje de su valor mximo, por ejemplo el . Para el caso del sistema discreto de primer orden, este tiempo ser el menor entero tal que:

En consecuencia, satisface

En general, al alejar el polo del origen (al acercarlo a o ) aumenta el tiempo de asentamiento, es decir, la respuesta es ms lenta. Esto nos permite definir una regin de tiempo de asentamiento mximo, como la que se muestra en la figura 4.7. Si el polo de la funcin de transferencia (4.3) cae en esa regin podemos asegurar que su tiempo de asentamiento satisface .



Al igual que en el caso continuo, en el caso discreto la regin de tiempo de asentamiento mximo est contenida dentro de la regin de estabilidad.



4.3 Sistemas continuos de segundo orden

Subsecciones

l 4.3.1 Regin de estabilidad l 4.3.2 Regin de tiempo mximo de asentamiento l 4.3.3 Regin de frecuencia mxima de oscilacin l 4.3.4 Regin de sobrepico mximo l 4.3.5 Regin de diseo

4.3 Sistemas continuos de segundo orden Supngase un sistema continuo de segundo orden, cuya funcin de transferencia sea

(4.5)

Los polos de la funcin de transferencia sern:

En caso de que , el radical es negativo, y los polos resultan ser complejos conjugados:

La figura 4.8 muestra la ubicacin de los polos complejos. Ntese que la distancia de los polos al origen (la magnitud del complejo) es justamente :

Adems, el coseno del ngulo formado con el semieje real negativo, es justamente :

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20l...o/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/orden/node4.html (1 de 11)06/07/2008 12:45:25


Al estimular el sistema (4.5) con un paso unitario , con condiciones iniciales nulas, la respuesta


(4.6)

donde,

Las figuras 4.9 a 4.11 muestran la grfica de (4.6) en varias condiciones: en la figura 4.9 se ha fijado



, y se ha variado . En la figura 4.10 se ha fijado y se ha variado . La figura 4.11 muestra la forma genrica de (4.6) con .



4.3.1 Regin de estabilidad

Al evaluar (4.6) se observa que para valores positivos de el trmino exponencial crece

indefinidamente, y por tanto la respuesta se har infinita. El trmino coincide con la parte real de los polos de (4.5), tal como se muestra en la figura 4.8, por lo tanto, la regin de estabilidad, aquella en la que deben ubicarse los polos para que el sistema sea estable, resulta ser el semiplano izquierdo. Esto se muestra en la figura 4.12



4.3.2 Regin de tiempo mximo de asentamiento

La respuesta transitoria de (4.5) es el producto de una exponencial por una sinusoidal

, es decir, su amplitud es menor o igual que .

Si tomamos el tiempo de asentamiento como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera el de su valor mximo, en el caso del sistema continuo de segundo orden

este tiempo satisface:

Debido a que es la parte real de los polos de (4.5) , tal como se muestra en la figura 4.8, la regin de tiempo de asentamiento mximo es la que se muestra en la figura 4.13



4.3.3 Regin de frecuencia mxima de oscilacin

La frecuencia de oscilacin de la respuesta es la frecuencia de la sinusoidal de (4.5), es decir es , que corresponde a la parte imaginaria de los polos de (4.5) (ver figura 4.8). Por esta

razn, la regin de frecuencia mxima de oscilacin es la que se muestra en la figura 4.14



4.3.4 Regin de sobrepico mximo

Uno de los parmetros ms importantes de la respuesta graficada en la figura 4.11, es el sobrepico mximo, , que indica qu tanto llega a valer la respuesta en relacin con su valor final:

donde es el valor mximo, y el valor final (estacionario) de .

Para calcular el sobrepico mximo, primero derivamos e igualamos a cero para obtener los

instantes en los que suceden los mximos y mnimos de :



Para obtener el valor de la arcotangente en la ecuacin anterior, obsrvese en la figura (4.8) el valor de :

La funcin es peridica, de periodo , por lo tanto

Existen infinitos instantes en los que la derivada de es nula, que corresponden a los mximos y

mnimos locales que se observan en la figura 4.11. Para resulta , por lo tanto la

respuesta es prcticamente horizontal en su inicio. El sobrepico mximo sucede en , que

corresponde a :

El valor de en es el valor mximo de , es decir



Dado que , podemos escribir

El valor final de es 1, por lo tanto

Las figuras 4.15 y 4.16 muestran cmo vara el sobrepico mximo en funcin de el factor de

amortiguamiento y el ngulo , respectivamente. Es interesante observar que el sobrepico

depende del ngulo que forman los polos con el semieje real negativo (figura 4.8), lo que nos permite establecer una regin de sobrepico mximo, tal como la que se muestra en la figura 4.17



4.3.5 Regin de diseo

Las regiones que se muestran en las figuras 4.12, 4.13, 4.14 y 4.17 pueden resumirse en una nica regin de diseo, como la que se muestra en la figura 4.18. Refirindonos a esta figura, la regin de



diseo puede interpretarse asi:

Dado un sistema de segundo orden como el de la ecuacin (4.5) con condiciones iniciales nulas, cuyos polos estn ubicados dentro de la regin de diseo, puede asegurarse que:

l el sistema es estable l el tiempo de asentamiento es menor o igual que

l la frecuencia mxima de oscilacin de la respuesta natural es

l al estimularlo con un escaln unitario el sobrepico mximo es menor que



4.4 Sistemas discretos de segundo orden

Subsecciones

l 4.4.1 Regin de estabilidad l 4.4.2 Regin de tiempo mximo de asentamiento l 4.4.3 Regin de Frecuencia mxima de oscilacin l 4.4.4 Regin de sobrepico mximo l 4.4.5 Regin de diseo

4.4 Sistemas discretos de segundo orden Supngase ahora un sistema discreto de segundo orden, cuya funcin de transferencia sea

$\displaystyle F(z)=\frac{1-2b\cos a+b^2}{z^2-2bz\cos{a} +b^2}$

(4.7)

Los polos de la funcin de transferencia sern:

$\displaystyle p_{1,2}=\frac{2b\cos{a}\pm\sqrt{4b^2\cos^2a-4b^2}}{2}=b\left(\cos{a}\pm \sqrt{\cos^2a-1}\right) $

El trmino del radical ser menor o igual que cero; en caso de que sea menor, los dos polos sern los complejos conjugados:

$\displaystyle p_{1,2}=b\left(\cos{a}\pm j\sqrt{1-\cos^2a}\right)= b\left(\cos{a}\pm j\sin{a}\right) $

La figura 4.19 muestra la ubicacin de los polos en el plano complejo.



Al estimular el sistema (4.7) con un paso unitario $ \mu(k)$

, con condiciones iniciales nulas, la respuesta

$ y(k)$


sumando e igualando coeficientes se obtiene



Finalmente, las dos sinusoidales se pueden agrupar en una sola, para obtener:

(4.8)

donde

La figura 4.20 muestra la grfica de para unos valores especficos de y . Aunque

slo tiene sentido en los valores enteros de , se ha trazado tambin en punteado la curva que se obtendra para valores reales de .

Podra plantearse que para estudiar la secuencia (los puntos en la figura 4.20) sera vlido analizar el sistema continuo que la genera ((la curva punteada en la figura 4.20)); sin embargo, en ocasiones los resultados pueden ser muy engaosos: considrese el caso en que y , que se grafica en la figura 4.21; si se analiza la curva contnua, se concluye que el mximo valor

(absoluto) de ser cercano a , pero al ver la secuencia de puntos observamos que sta nunca supera (en valor absoluto) a .

No obstante, dado que un anlisis de la curva contnua arrojar valores mayores o iguales que la secuencia, puede utilizarse para establecer cotas superiores de los valores de la secuencia, y asi establecer regiones de diseo.



4.4.1 Regin de estabilidad

Al evaluar (4.8) se observa que para valores de mayores que 1 el trmino exponencial crece indefinidamente, y por tanto la respuesta se har infinita. El trmino coincide con la magnitud de los polos de (4.7), tal como se muestra en la figura 4.19, por lo tanto, la regin de estabilidad, aquella en la que deben ubicarse los polos para que el sistema sea estable resulta ser el crculo unitario centrado en el origen, tal como se ve en la figura 4.22.



4.4.2 Regin de tiempo mximo de asentamiento

La respuesta transitoria de (4.7) es el producto de la exponencial por la sinusoide ,

es decir, su amplitud es menor o igual que .

Si tomamos el tiempo de asentamiento como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera el de su valor mximo en el caso del sistema discreto de segundo orden,

este tiempo satisface:

Debido a que es la magnitud de los polos de (4.7) , tal como se muestra en la figura 4.19, la regin de tiempo de asentamiento mximo es la que se muestra en la figura 4.23.



4.4.3 Regin de Frecuencia mxima de oscilacin

La frecuencia de oscilacin de la respuesta es la frecuencia de la sinusoidal de (4.7), es decir es , que corresponde al ngulo de los polos de (4.7) respecto a la horizontal (ver figura 4.19). Por esta razn, la regin de frecuencia mxima de oscilacin es la que se muestra en la figura 4.24.



4.4.4 Regin de sobrepico mximo

Al comparar las respuestas a escalones unitarios de los sistemas continuos y discretos de segundo orden, que aparecen en las ecuaciones (4.6) y (4.8) respectivamente, podemos ver las semejanzas de estas respuestas.

Si reescribimos como , podemos asimilar los coeficientes de los exponentes y

las sinusoides:

De tal manera que

(4.9)



La ecuacin 4.9 permite definir, para el caso discreto, curvas anlogas a las que generan la regin de sobrepico mximo de los sistemas continuos (figura 4.17). La figura 4.25 muestra las curvas generadas por la ecuacin (4.9) para distintos valores de .

Por su parte, la figura 4.26) muestra la regin definida por (4.9) al fijar un valor de (o de ), es decir, al establecer un factor de amortiguamiento. Esta regin no es la regin de sobrepico mximo, sino la regin de amortiguamiento mnimo. El sobrepico mximo es ms difcil de obtener debido a que el tiempo es discreto.



4.4.5 Regin de diseo

Al combinar las regiones definidas en las figuras 4.22 a 4.26 se obtiene la regin de diseo que se muestra en la figura 4.27. Su significado es anlogo a la regin de diseo del caso continuo.


4.5 Efecto de los ceros. Sistemas de fase mnima

4.5 Efecto de los ceros. Sistemas de fase mnima Pese a que en las secciones anteriores se ha hecho nfasis en el efecto que tiene sobre la respuesta natural la ubicacin de los polos en el plano, no debe desconocerse que los ceros tambin influyen en la respuesta.

Supngase un sistema continuo de segundo orden, con un cero real:

(4.10)

La respuesta al escaln del sistema definido por (4.10) es :

(4.11)

La figura 4.28 muestra la grfica de (4.11), para tres valores distintos de , con unos valores fijos de y ; es decir, lo que se est modificando es la posicin del cero de la funcin de

transferencia. Alli puede verse que la ubicacin del cero afecta directamente la forma de la respuesta.



Es importante resaltar que las regiones de diseo de las figuras 4.18 y 4.27 fueron desarrolladas para sistemas prototipo de segundo orden, sin ceros. Estas regiones pueden emplearse para el anlisis y control de sistemas de segundo orden con ceros, pero slo como una gua de carcter general.

Ms importante an es resaltar que para ceros en el semiplano derecho (este es el caso en la figura 4.28) la respuesta al escaln presenta en sus inicios valores de signo contrario a los de la respuesta de estado estacionario; este fenmeno, conocido como subpico (en ingls undershoot) puede llegar a ser muy peligroso en algunos sistemas fsicos, y constituye una gran dificultad para su control.

Los sistemas que no poseen ceros en el semiplano derecho, se conocen como sistemas de fase mnima, o simplemente minifase 4.2.

La presencia de subpicos ante una entrada escaln es fcil de demostrar para un sistema de segundo orden con polos reales y un cero real4.3, tal como

(4.12)

La respuesta al escaln ser:



El signo de la derivada de evaluada en nos indica si la respuesta crece o decrece en ese

momento:

La derivada siempre es positiva, por lo tanto, para valores cercanos a , ser siempre

positiva. Por otra parte, la respuesta de estado estacionario de ser ; para sistemas

estables, tanto b como c son positivos, y por lo tanto el signo de la respuesta estacionaria es el mismo signo de .

En conclusin, para valores negativos de (ceros positivos), la respuesta en sus inicios tendr un signo diferente al de la respuesta de estado estacionario y suceder el subpico.



5. Anlisis de Sistemas retroalimentados simples

5. Anlisis de Sistemas retroalimentados simples En este captulo centramos nuestro inters en sistemas continuos y discretos como los que se muestran en las figuras 5.1 y 5.2, respectivamente. Este tipo de sistemas se denominan realimentados o retroalimentados, debido a que la seal de salida es retornada para ser comparada con la entrada

mediante una resta. El resultado de esta comparacin es la seal de error .

Esta es una estructura tpica de control; es la planta que se desea controlar, y el comportamiento que se desea que tenga . es el comportamiento real de , que es medido y comparado con a travs de . Si el comportamiento real difiere del deseado, existir un error , que se amplifica por como entrada directa a

Definimos la funcin de transferencia del sistema realimentado como la relacin entre la salida y la entrada con condiciones iniciales nulas. En el caso continuo ser

(5.1)

y en el discreto:

file:///C|/Mis%20lugares%20Web/analisis%20sistemas%20li...rsos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node1.html (1 de 4)06/07/2008 12:46:01


(5.2)

Tambin se define la funcin de transferencia del error o transmitancia del error como la relacin entre el error y la entrada. En el caso continuo:

(5.3)

y en el discreto:

(5.4)

Adems, a los productos y se les denomina ganancia de lazo abierto.

Si escribimos y como dos fraccin de polinomios y respectivamente, las

expresiones (5.1), (5.2), (5.3) y (5.4) se convierten en:

l Funcin de transferencia del sistema realimentado, caso continuo:

(5.5)

l Funcin de transferencia del sistema realimentado, caso discreto:

(5.6)

l Funcin de transferencia del error, caso continuo:



(5.7)

l Funcin de transferencia del error, caso discreto:

(5.8)

Subsecciones

l 5.1 Tipo de sistema y error de estado estacionario

m 5.1.1 Caso continuo m 5.1.2 Caso discreto

l 5.2 Estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas continuos m 5.2.1 Arreglo y criterio de Routh-Hurwitz

n 5.2.1.1 Construccin del arreglo de Routh n 5.2.1.2 Criterio de Routh-Hurwitz n 5.2.1.3 Problemas en la construccin del arreglo de Routh

m 5.2.2 Lugar geomtrico de las races n 5.2.2.1 Determinacin de la estabilidad n 5.2.2.2 Reglas de construccin de los diagramas

m 5.2.3 Diagramas y criterio de Bode n 5.2.3.1 Mrgenes de estabilidad

m 5.2.4 Diagrama y criterio de Nyquist n 5.2.4.1 Determinacin grfica del valor de una funcin compleja racional n 5.2.4.2 Principio del argumento n 5.2.4.3 Trayectoria de Nyquist n 5.2.4.4 Diagrama de Nyquist n 5.2.4.5 Criterio de Nyquist

l 5.3 Estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas discretos m 5.3.1 Transformacin bilineal m 5.3.2 Arreglo y criterio de Jury



n 5.3.2.1 Construccin del arreglo de Jury n 5.3.2.2 Criterio de Jury n 5.3.2.3 Problemas en la construccin del arreglo de Jury

m 5.3.3 Lugar geomtrico de las races m 5.3.4 Diagramas y criterio de Bode m 5.3.5 Diagrama y criterio de Nyquist



5.1 Tipo de sistema y error de estado estacionario

Subsecciones

l 5.1.1 Caso continuo l 5.1.2 Caso discreto


5.1.1 Caso continuo

Uno de los objetivos de los esquemas de control como el que se muestra en las figura 5.1 suele ser el asegurar que la seal de error sea nula, al menos despues de que las respuestas transitorias hayan desaparecido. Por ese hecho, se estudia la respuesta de estado estacionario de la seal de error, comunmente denominada el error de estado estacionario.

Bajo la suposicin de que el sistema realimentado es estable5.1, se puede argumentar que despues de un cierto tiempo la respuesta transitoria se habr hecho lo suficientemente pequea como para considerar que no existe, y por lo tanto slo queda la respuesta estacionaria, es decir

(5.9)

donde es el error de estado estacionario, y es la seal de error en el dominio del tiempo, es

decir

El teorema de valor final de la transformada de Laplace provee una forma de calcular :

(5.10)

Combinando (5.10) con (5.3) se obtiene:



(5.11)

Al observar (5.11), se encuentra que el error de estado estacionario podr ser 0, o un valor finito, dependiendo del nmero de polos y ceros en que tengan y , como se muestra

en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5.1 Sea y . Segn (5.11) el error de estado estacionario ser

Ejemplo 5.2 Sea y . Segn (5.11) el error de estado estacionario ser

Ejemplo 5.3 Sea $ F_E(s)=\frac{s(s+4)}{(s+3)(s+5)}$ y . Segn (5.11) el error de estado estacionario ser

Documents

Analisis Sistemas Lineales - Oscar Duarte