BAB I

BARISAN DAN DERET

1.1. Barisan dan Limit Barisan

Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain ℕ dan

mempunyai range dalam S. Pada subbab ini akan dibahas mengenai barisan di ℝ

dan konvergensi dari suatu barisan.

Dengan kata lain, barisan dalam ℝ mengawankan setiap bilangan asli

n 1, 2,3,... kepada suatu bilangan real. Jika X :ℕℝ merupakan barisan, maka

biasanya dituliskan dengan nilai dari X pada n dengan notasi xn . Barisan sering

dinotasikan dengan X atau (xn )atau xn: nℕ atau {xn }atau {xn }n≥1 . Apabila

diketahui suatu barisan Y, artinya Y=( yk ) .

Contoh 1.1.2.

(a) Barisan (xn )dengan xn=(−1 )n adalah barisan −1,1 ,−1,1 ,−1,1 , .. . , (−1 )n , .. . .

(b) Barisan (xn )denganxn=

1

2n,( 1

2n:n∈Ν )=1

2,14

,18

,. . . ,1

2n,. . .

.

1

Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan padahimpunan ℕ dengan range dalam ℝ .

(c) Barisan konstan (kn) dengan k n=3 adalah 3,3,3,3,.... .

(d) Barisan( nn+1 )=1

2,23

,34

, . .. ,n

n+1, .. .

.

Jika x adalah limit suatu barisan(xn ) , maka dikatakan (xn )konvergen ke

x, atau (xn )mempunyai limit x. Dalam hal ini ditulis limn→∞

( xn )=x atau lim (xn )=x

atau xn→ x . Jika (xn ) tidak konvergen, maka (xn )dikatakan divergen.

2

Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real (xn )dan( y n) , dan ℝ. Maka dapat didefinisikan

(i) (xn )±( yn)=(xn± yn )

(ii) α ( xn)=(αxn)

(iii) (xn ) . ( yn)=(xn . yn)

(iv)

( xn )( yn )

=( xn

yn), asalkan yn≠0

Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui (xn )barisan bilangan real.

Suatu bilangan real x dikatakan limit barisan (xn ) jika untuk setiap

ε>0 terdapat K (ε )∈N sedemikian hingga untuk setiap n∈Ν

dengan n≥Κ (ε ) berlaku |xn−x|<ε .

Teorema 1.1.5. Jika barisan (xn ) konvergen, maka (xn )mempunyai paling banyak satu limit (limitnya tunggal).

Bukti. Andaikan limn→∞

( xn )=x'

dan limn→∞

( xn )=x' '

dengan x'≠x ' '

. Maka untuk

sebarang

ε>0 terdapat Ksedemikian hingga |xn−x '|<ε

2 untuk setiap n≥K ', dan

terdapat K' '

sedemikian hingga |xn−x ' '|<ε

2untuk setiap n≥K ' '. Dipilih

K=maks {K ' , K ' ' }.Menggunakan Ketaksamaan Segitiga, maka untuk n K diperoleh

|x '−x ' '|=|x '−xn+xn−x ' '|

=|x'−xn|+|xn−x ' '|

¿ ε2+ε

2=ε

Karena berlaku untuk setiap ε>0 , maka x'−x ' '=0 yang berarti x

'=x ' '.

Kontradiksi dengan pengandaian. Jadi, terbukti bahwa limitnya tunggal.

Bukti.

(a) ⇒ (b) Jelas (dari definisi).

3

Teorema 1.1.6. Jika (xn ) barisan bilangan real dan xℝ, maka empat pernyataanberikut ekuivalen.

(a) Barisan(xn ) konvergen ke x.

(b) Untuk setiap ε>0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K

berlaku|xn−x|<ε

.(c) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K

berlaku x−ε<xn<x+ε .

(d) Untuk setiap persekitaran V ε ( x ) dari x , terdapat K ℕ sedemikian hingga

untuk setiap n K berlaku xn∈V ε ( x ) .

(b) ⇒ (c) |xn−x|<ε ⇔−ε< xn−x<ε⇔ x−ε<xn< x+ε

.

(c) ⇒ (d) x−ε<xn<x+ε ⇔ xn∈ ( x−ε , x+ε )⇔ xn∈V ε ( x ) .

(d) ⇒ (a) xn∈V ε ( x )⇔ x−ε<xn<x+ε ⇔|xn−x|<ε .

4

BAB II

KESIMPULAN

Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan padahimpunan ℕ dengan range dalam ℝ .

Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real (xn )dan( y n) , dan ℝ. Maka dapat didefinisikan

(i) (xn )±( yn)=(xn± yn )

(ii) α ( xn)=(αxn)

(iii) (xn ) . ( yn)=(xn . yn)

(iv)

( xn )( yn )

=( xn

yn), asalkan yn≠0

Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui (xn )barisan bilangan real. Suatu

bilangan real x dikatakan limit barisan (xn ) jika untuk setiap ε>0 terdapat K (ε )∈N sedemikian hingga untuk setiap n∈Ν dengan n≥Κ (ε ) berlaku |xn−x|<ε .

Teorema 1.1.5. Jika barisan (xn ) konvergen, maka (xn )mempunyai paling banyak satu limit (limitnya tunggal).

Teorema 1.1.6. Jika (xn ) barisan bilangan real dan xℝ, maka empat pernyataanberikut ekuivalen.

(a) Barisan(xn ) konvergen ke x.

(b) Untuk setiap ε>0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K

berlaku|xn−x|<ε

.(c) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K

berlaku x−ε<xn<x+ε .

5

(d) Untuk setiap persekitaran V ε ( x ) dari x , terdapat K ℕ sedemikian hingga

untuk setiap n K berlaku xn∈V ε ( x ) .

6