UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Per, DECANA DE AMRICA)

FACULTAD DE CIENCIAS BIOLGICAS

E.A.P Gentica y Biotecnologa

DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS BSICAS

LABORATORIO DE FSICA

Profesor de laboratorio: Erwin Haya Enriquez

TEMA: ANLISIS GRFICO

Alumna:

Cdigo:

2012

OBJETIVOS

Conocer las bases para una buena representacin grafica

Utilizar adecuadamente el papel milimtrico, logartmico y semilogaritmico.

Descubrir el comportamiento de un sistema fsico a partir de la evaluacin de los

datos obtenidos en un experimento.

Hacer uso de las tcnicas del anlisis grfico, incluyendo las tcnicas de

linealizacion y ajuste por el mtodo de cuadrados mnimos para un

comportamiento lineal de los datos.

Obtener nuevos datos por interpolacin y extrapolacin.

FUNDAMENTO TERICO

Al estudiar cualquier fenmeno fsico, se busca obtener cambios o variaciones del

sistema ante situaciones que podamos aplicar y controlar. Es por ello que se

hacen mediciones de las cantidades fsicas que intervienen en el sistema a

estudiar, siguiendo procedimientos y/o protocolos establecidos, para luego

encontrar la relacin de aquellas cantidades y visualizar claramente el fenmeno

fsico.

I. GRFICAS

Con los datos obtenidos del fenmeno se construye una tabla de datos.

Aunque ya se pueda vislumbrar una relacin funcional entre los datos, se

recomienda hacer una grfica con los valores de la tabla para observar

claramente la evolucin del fenmeno, es decir, las variaciones de una cantidad

respecto a otra. Tambin se pueden obtener nuevos datos por extrapolacin o

interpolacin gracias a la relacin funcional (ley).

II. ELECCIN DE VARIABLES

Cuando investigamos un fenmeno fsico tratamos con variables que se

relacionen de tal modo que el cambio en una de ellas afecta a los valores de las

otras. Entonces surge la necesidad de elegir ciertas variables.

A. Variables

Son las cantidades fsicas que intervienen en el experimento y cuya

relacin de desea conocer. Como variable se le puede asignar, durante

el proceso, un nmero ilimitado de valores. Distinguimos dos tipos de

variables

1. Variable Independiente

Es la variable que podemos controlar, es decir, podemos

variar en un proceso experimental, por lo que puede tomar

cualquier valor arbitrariamente seleccionado por el

experimentador. Se llama tambin variable de entrada.

2. Variable Dependiente Es aquella variable, cuyo valor depende del valor que toma la

variable independiente, es la respuesta del sistema fsico a un

cambio en la variable independiente. Se llama tambin como

variable de salida.

III. FUNCIN:

Una cantidad y determinada por el valor de la variable x.

y=f(x)

A. Funciones lineales

Correspondiente a la geometra y el lgebra elemental, una funcin

lineal es una funcin polinmica de primer grado. Es decir,

una funcin que se representa en el plano cartesiano como una lnea

recta. Esta funcin se puede escribir como:

y = b + mx

Donde m y b son constantes reales, es una variable real. La

constante m es la pendiente de la recta (inclinacin), y b es el punto de

corte de la recta con el eje y.

y2

y1

b

x1 x2 X

Representacin grfica de una funcin lineal

B. Funciones Potenciales

Cuando la grfica en papel milimtrico de y=f(x), no resulta lineal

podemos sospechar de una relacin potencial, es decir, que las variables

estn afectadas de algn exponente diferente de la unidad. Esta funcin

potencial viene representada por la siguiente ecuacin:

y = kxn

Donde k y n son constantes que debern ser determinadas, el

exponente n puede ser un nmero entero o fraccionario. Una forma de

determinar el valor del exponente es por el mtodo de linealizacin de la

funcin, es decir, transformar la ecuacin en una forma lineal a base de

logaritmos.

log(y) = log(k) + n log(x)

= 2 1

2 1 =

A continuacin de muestra los grficos de una funcin potencial

creciente:

Y Y

X X

Funcin potencial Funcin potencial linealizada

(papel milimtrico) (papel logartmico)

En ambos grficos se ha representado directamente los valores de (x,

y)

C. Funcin Exponencial

Las funciones exponenciales son la de la forma representada en la

siguiente figura y la que la representa tiene la forma:

y = ke.x

Donde k y son constates que debern ser determinadas.

Exponente diferente a la unidad.

Y Y

X X

Funcin exponencial Funcin exponencial linealizada

(papel milimtrico) (papel semilogartmico)

Las constantes k y se pueden determinar linealizando la funcin

exponencial, para ello es necesario expresarlo en su forma lineal

tomando logaritmos

log(y) = log(k) ( log e)x

IV. Ajuste de una recta: mtodo de los mnimos cuadrados

La pendiente m y, el corte con el eje Y b, son magnitudes determinadas

despus del ajuste. El mtodo de mnimos cuadrados se basa en que la

desviacin total de los datos experimentales con relacin a los puntos ajustados

debe ser mnimo.

Se tiene la ecuacin lineal:

y = b + mx

Utilizando el mtodo de los mnimos cuadrados para hallar m y b

b =x i y i x i x i y i

N x i (x i ) m =

Nx i y i x iy i

Nx i2 (x i)

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

MATERIALES

3 hojas de papel milimtrico

1 hoja de papel logartmico

1hoja de papel

semilogartmico

Regla 30 cm

Lpiz

1. ANLISIS DE RESULTADOS 1. En condiciones de reposo contamos el nmero de pulsos arteriales de

los integrantes del grupo. TABLA 1

T(s)

Nombre 10 20 30 40 50 60 70 80

Miguel 14 18 40 53 64 75 86 99

Vania 12 24 35 50 63 75 85 79

Andrea 13 23 35 47 59 68 84 91

2. La tabla 2 muestra la rapidez (v) de propagacin de un pulso elctrico a

lo largo de una fibra nerviosa en funcin de su dimetro (d).

TABLA 2

V(m/s) 15.8 18.8 25.1 30.2 37.6 45.7 50.1 63.1 70.8 79.4

d(m) 2.0 3.2 5.0 7.9 11.2 15.8 20.0 28.2 39.8 50.1

3. La tabla 3 muestra la tasa de recuento de una sustancia radiactiva en el

tiempo. TABLA 3

T(das) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cuentas/min 455 402 356 315 278 246 218 193 171 151 133

2. Cuestionario

1. Construya la grfica correspondiente a la tabla 1 en papel milimtrico,

nmero de pulsos en funcin del tiempo. Describa la grfica:

Para t= 75 s, el nmero de pulsos arteriales es: 87

= 1,15 + 0,96 = 1,15(75) + 0,96

= 87,21

Para t= 120 s, el nmero de pulsos arteriales es: 139

= 1,15 + 0,96 = 1,15(120) + 0,96

= 138,96

2. Construya la grfica correspondiente a la tabla 2 en papel milimtrico, la

rapidez del pulso elctrico en funcin del dimetro de la fibra nerviosa.

Describa esta grfica:

Para d= 6.0 m, la rapidez del impulso elctrico es

= 10,720,52 = 10,72(6)0,52 = 27,22 /

Para d= 54 m, la rapidez del impulso elctrico es:

= 10,720,52 = 10,72(54)0,52

= 83,33 / De los resultados anteriores, cul es el ms confiable?

El que tenga menor % de error He tomado el valor real como el valor que me proporciona la grfica en el papel logartmico.

=| |

100%

Para el 1 dato

E =|27.50 27.22|

27.50x100% = 1,02%

Para el 2 dato

E =|85 83.33|

85x100% = 1,97%

El primer dato es el ms confiable

3. Ajustar por el mtodo de mnimos cuadrados los siguientes datos:

Tabla 7.1

xi 1 3 4 6 8 11 12 15 60

yi 1 7 12 17 25 34 36 45 177

xi yi 1 21 48 102 200 374 432 675 1853

xi 1 9 16 36 64 121 144 225 616

Obtenemos b y m, mediante el mtodo de mnimos cuadrados

=x i y i x i x i y i

N x i (x i ) =

Nx i y i x iy i

Nx i2 (x i)

=(616)(177)(60)(1853)

8(616)(60)2 =

(8)(1853)(60)(177

Nx i2 (x i)

= 1,62 = 3,17

Finalmente la ecuacin es: = 3,17 1,62

4. Construya la grfica correspondiente a la Tabla 1 en papel milimtrico y

determine la ecuacin emprica.

Con los datos de Andrea y utilizando el mtodo de los mnimos cuadrados:

=Nx i y i x iy i

Nx i2 (x i)

=8(23710) (360)(420)

8(20400) (360)2= 1,15

=x i y i x i x i y i

N x i (x i )

=(20400)(420) (360)(23710)

8(20400) (360)= 0,96

Finalmente: = + = , + , (pulso) (tiempo)

x Tiempo (s) 10 20 30 40 50 60 70 80 360

y Pulso 13 23 35 47 59 68 84 91 420

xy 130 460 1050 1880 2950 4080 5880 7280 23710

2 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 20400

5. Construya la grfica correspondiente a la Tabla 2 en papel milimtrico.

Describa esta grfica: (ver siguiente pgina)

Los puntos tienden a formar una curva ascendente.

6. Construya la grfica correspondiente a la Tabla 2 en papel logartmico.

Describa esta grfica. Halle la frmula emprica que relaciona V con d.

Los puntos tienden a formar una recta. Esto se debe a que el papel

logartmico hace el trabajo de convertir los datos a sus logaritmos

respectivos para apreciar mejor la relacin funcional.

logy V(m/s) 1,18 1,27 1,40 1,48 1,58 1,66 1,70 1,80 1,85 1,90 15,82

logx d(m) 0,30 0,51 0,70 0,90 1,05 1,20 1,30 1,45 1,60 1,70 10,71

logx.logy 0,35 0,65 0,98 1,33 1,66 1,99 2,21 2,61 2,96 3,23 17,98

(logx)2 0,09 0,26 0,49 0,81 1,10 1,44 1,69 2,10 2,56 2,89 13,43

=Nx i y i x iy i

Nx i2 (x i)

=(10)(17,98) (10,71)(15,82)

10(13,43) 10,712= 0,52

b =x i y i x i x i y i

N x i (x i )

b =(13,43)(15,82) (10,71)(17,98)

10(13,43 (10,71)= 1,03

La ecuacin lineal es: = 0,52 + 1,03

log() = log() +

log() = 0,52 log() + log ()

= 0,52 log() = 1,03

= 10,72

= = 10,720,52

Donde y : velocidad (m/s)x: dimetro (m)

7. Construya la grfica correspondiente a la Tabla 3 en papel milimtrico.

Describa esta grfica:

Al unir los puntos se visualiza una curva descendente

8. Construya la grfica correspondiente a la Tabla 3 en papel

semilogartmico y determine la ecuacin emprica que relaciona t con el

nmero de cuentas.

logy Cuentas /min

2,66 2,60 2,55 2,50 2,44 2,39 2,34 2,29 2.23 2,18 2,12 26,3

x t (das) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

x.logy. 0 2,60 5.10 7,50 9,76 11,95 14,04 16.03 17,84 19,62 21,2 125,64

(x)2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

=Nx i y i x iy i

Nx i2 (x i)

=(11)(125,64) (55)(26,3)

11(385) 552= 0,053

b =x i y i x i x i y i

N x i (x i )

b =(385)(26,3) (125,64)(55)

11(385) (55)= 2,66

Se obtiene la funcin lineal: = 0,053 + 2,66

log() = log() + log (2,66)

log(2,66) = 477,088 =

log() = 0,053

= 0,12

= = , ,

3. Anlisis de resultados y conclusiones

Al colocar los datos de una tabla en un papel grfico, nos dimos cuenta

de que no todos los puntos coincidieron con la recta o curva (segn sea

el caso).

En la tabla 1 (pulsos arteriales), los datos obtenidos jams van a formar

una recta pues intervienen diversos factores externos como internos, en

la toma de las medidas.

Es recomendable utilizar el mtodo de los mnimos cuadrados para

obtener una frmula emprica ms precisa.

4. Bibliografa

Experimentacin: Una introduccin a la Teora de Mediciones y al

Diseo de Experimentos. D.C Baird. Editorial Prentice Hall.

Cmo construir grficas. G.E Shilov. Editorial Mir.