1 Analisis dimensional

El analisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en lafısica, la quımica y la ingenierıa para ganar comprension de fenomenos queinvolucran una combinacion de diferentes cantidades fısicas. Es ademas,rutinariamente utilizada para verificar relaciones y calculos, ası como paraconstruir hipotesis razonables sobre situaciones complejas, que puedan serverificadas experimentalmente.

Uno de dichos usos esta basado en el requerimiento de consistencia dimen-sional. Este requerimiento esta relacionado con la 2da Ley de Newton: cuandose describen magnitudes mecanicas, el conjunto de magnitudes que se utilicepuede ser arbitrario; sin embargo existen dos tipos de sistemas de magnitudes,los consistentes y los no consistentes. Se dira que un sistema de magnitudeses consistente si las magnitudes que lo define verifican la siguiente propiedad:

[F ] = [M ][A]

donde los corchetes indican la magnitud. Para que un sistema pueda ser uti-lizado en la mecanica, este debe ser consistente.

Los conceptos de unidad y magnitud estan relacionados pero no son lo mismo:en efecto, en la observacion de fenomenos, cada cantidad fısica Rj , tendraasociada unidades {Rj} –que indicaremos entre llaves– que representan can-tidades de referencia de una magnitud, aceptadas por convencion. Ası unkilogramo (kg) corresponde a una cantidad de masa estandar y patron o unapulgada (in) corresponde con una longitud patron que puede representarsepor 2, 54 centımetros (cm), otra unidad patron en otro sistema de unidades.Ası una cantidad fısica se representa, en un sistema de unidades como

Rj = v(Rj){Rj},

donde v(Rj) es un numero real que representa el valor de dicha cantidadexpresada en unidades {Rj}. Si se desea utilizar otro sistema de unidades,

debe disponerse de una relacion del tipo Rj = x−1j Rj que permita el cambio

entre dichos sistemas. Ası la misma cantidad fısica resultara

Rj = v(Rj)xj︸ ︷︷ ︸

v(Rj)

{Rj} = v(Rj){Rj},

donde el factor xj es el denominado factor de conversion.

Los sistemas de magnitudes se representan por sımbolos. Por ejemplo, [MLTΘ]representan respectivamente masa, longitud, tiempo y temperatura. Ası,

1

siguiendo el ejemplo, la velocidad tiene asociada la magnitud [V]; sin em-bargo, considerando el sistema [M,L,T,Θ] es posible escribir que [V]=[L]/[T],resultando que hay algunas magnitudes derivadas de otras, mediante unacombinacion de aquellos sımbolos elevados a alguna potencia.

Definicion 1 Sistema de magnitudes fundamentales

Se llama sistema de magnitudes fundamentales [F1, · · · , Fm] al conjunto demenor cantidad de elementos que permite derivar todas las magntudes in-volucradas en un fenomenos. �

El sistema [M,L,T,Θ] es un sistema fundamental de magnitudes para lamecanica. En este sistema, la fuerza tiene una magnitud derivada [M][L]/[T]2.Sin embargo, en virtud de la ley de Newton, serıa posible definir un sistema[F,L,T,Θ] de magnitudes fundamentales, en el cual la masa tendrıa una mag-nitud derivada [F][T]2/[L]. Ası, los sistemas de magnitudes fundamentalesson arbitrarios, pesando sobre ellos el unico requerimiento de consistenciadimensional.

Propiedad 1

Las magnitudes que forman un sistema fundamental son independientes:

m∏

i=1

F xi

i = 1 ⇒ xi = 0, para i = 1, 2, · · · , m. �

El conjunto de los sımbolos que definen un sistemas de magnitudes formanun grupo: en efecto, existe un elemento identidad, indicado por [1] y todosımbolo –por ejemplo L– tiene su inverso –en este caso, L−1. Ademas, todosımbolo elevado a una potencia es miembro del grupo, con inverso

Definicion 2

Sea un sistema de n magnitudes, representadas por su correspondiente sımbolo[Mj ], los que se pueden representar por un sistema de m magnitudes funda-mentales [F1, · · · , Fm], m < n, segun

Mj = Fa1j

1 · · ·F amj

m , para j = 1, · · · , n.

La matriz

A :=

a11 · · · a1n

.... . .

...am1 · · · amn

se denomina matriz de dimension A. �

2

Dado un conjunto de magnitudes, estas pueden combinarse para formar unanueva magnitud

[Mλ1

1 · · ·Mλn

n ] =

m∏

i=1

F ai1λ1

i · · ·

m∏

i=1

F ainλn

i =

m∏

i=1

F ai1λ1+···+ainλn

i

Definicion 3 Magnitud adimensional

Una magnitud construida por combinacion de n magnitudes, representa-bles en un sistema de m magnitudes fundamentales se dice adimensional, siai1λ1 + · · ·+ ainλn = 0, para i = 1, · · · , n o en forma equivalente, si Aλ = 0,donde A ∈ R

m×n es la matriz de dimension. �

Esta relacion pone en evidencia que existe una relacion 1 a 1 entre el espacionulo de A y el conjunto de las combinaciones adimensionales de las magni-tudes. Mas aun, si se considera una base del espacio nulo de A y se tomanlas correspondientes combinaciones adimensionales {π1, · · · , πn−m} (m es elrango de A), entonces cualquier otra combinacion adimensional podra es-cribirse como πc1

1 · · ·πcn−m

n−m , donde los exponentes {c1, · · · , cn−m} son unicos,y resultan ser los coeficientes del elemento del espacio nulo en la base elegida.{π1, · · · , πn−m} es un conjunto maximal de las combinaciones adimensionalesindependientes.

Ejemplo: Considerese el caso de una cuerda de longitud ` [L], vibrando conamplitud A [L]. La cuerda tiene una densidad lineal ρ [M/L] y se encuentrasometida a una tension σ [M /L T2]. Se requiere una relacion para la energıaE especıfica [L2/T2] de la misma. Observando las magnitudes involucradas,se pueden formar dos combinaciones adimensionales, π1 = ρE

Aσ, and π2 = `

A.

Combinando estas dos magnitudes adimensionales, resulta

F (ρE

Aσ,

`

A) = 0,

donde F es una funcion implıcita desconocida. En forma equivalente se puedeexpresar

E =Aσ

ρf(

`

A),

donde f es otra funcion. Esta funcion desconocida indica que la solucion esincompleta, pero esta tecnica puso de manifiesto algo que en principio no esevidente: que la energıa es proporcional a la tension. �

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1.1 El teorema Π de Buckingham

En esta seccion se enunciara y demostrara un importante resultado

Teorema 1 Teorema Π de Buckingham [Phys. Rev. 4, 345, 1914.]

Cualquier relacion Φ(M1, · · · , Mn) = 0 entre n cantidades fısicas, es equiv-alente a una relacion de la forma Ψ(π1, · · · , πn−m) = 0 que involucra unconjunto maximal de (n−m) combinaciones adimensionales independientes.

Demostracion: Sea {[M1], · · · , [Mn]} el conjunto de las magnitudes asocia-das a las n cantidades fısicas y sea {[F1], · · · , [Fm]} un conjunto de magni-tudes fundamentales. La cantidad Φ tendra magnitud,

[Φ] =m∏

i=1

F bi

i , bi = Aiλ

donde Ai es la i–esima columna de la matriz de dimension. A tiene rangom, es decir, tiene m columnas linealmente independientes, que se asume, sonlas primeras. Ası las correspondientes magnitudes seran independientes en elsentido de la Propiedad 1, esto es, que su unica combinacion adimensional esla trivial ([M1]

λ1 [M2]λ2 · · · [Mm]λm sera adimensional si λ1 = · · · = λm = 0).

Las restantes columnas pueden expresarse como combinacion lineal de lasprimeras m, de modo que

[Mj ] = [M c11 · · ·M cm

m ], j = m + 1, · · · , n

para una adecuada eleccion de c1, · · · , cm. Pero entonces, [MjM−c11 · · ·M−cm

m ]es adimensional, pudiendo escribirse que

[Mj ] = [M1]c1 · · · [Mm]cmπd1

1 · · ·πdn−m

n−m

siendo los d1, · · · , dn−m unicos y constituyendo los π1, · · ·πn−m, un conjuntomaximal. Reemplazando en la relacion Φ, resulta

Φ(M1, · · · , Mn) = Ψ(M1, · · · , Mm, π1, · · · , πn−m) = 0.

Para terminar la demostracion hay que probar la independencia de Ψ respectode M1, · · · , Mm. Para ello, observese que si se realiza un cambio de unidades–manteniendo el sistema de magnitudes– la relacion resulta

Ψ(M∗

1 , · · · , M∗

m, π1, · · · , πn−m) = 0.

Como los πk son invariantes ante el cambio de unidades, concluimos que paraconservar el valor de la funcion Ψ esta no puede depender de M1, · · · , Mm,reduciendose a Ψ(π1, · · · , πn−m) = 0, lo que completa la prueba. �

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El Teorema ofrece no solo una poderosa herramienta teorica, sino una metodo-logıa para la construccion y analisis de modelos:Ejemplo: Considerese el problema de determinar gradp := px, la caıdade presion por unidad de longitud que sufre un fluido viscoso en regimenturbulento al transportarse a lo largo de un tubo. Las variables relevantesson

- el caudal masico m, [M/T],

- la densidad ρ, [M/L3],

- la viscosidad dinamica µ [M/LT],

- el diametro del tubo, D, [L],

- la rugosidad del tubo, e, [L].

Determinadas las variables, se construye la matriz de dimension con ayudade la siguiente tabla:

px m D e µ ρ[M ] 1 1 0 0 1 1[L] -2 0 1 1 -1 -3[T ] -2 -1 0 0 -1 0

El Teorema indica que hay que determinar el espacio nulo de A y utilizarlopara construir las combinaciones adimensionales por simple inspeccion. Paraeste problema, hay n = 6 parametros y m = 3 magnitudes fundamentales,de modo que habra n −m = 3 parametros adimensionales. Queda claro queinfinitas posibilidades para la eleccion de la base del espacio nulo1. Guiadospor la practica usual resultan los siguientes parametros:

Parametro Sımbolo Denomiacion

π1 =m

µD=

ρvD

µRe numero de Reynolds

π2 =pxρD5

m2=

pxD

ρv2

π3 =e

Dε Rugosidad relativa

1Para hallar los parametros adimensionales, reducir A a la forma escalonada por filas:

A =

1 1 0 0 1 1

−2 0 1 1 −1 −3

−2 −1 0 0 −1 0

→

1 0 0 0 0 −1

0 1 0 0 1 2

0 0 1 1 −1 −5

px

mD

.

Las ultimas tres columnas tienen los exponentes para formar los π: por ejemplo, de la

cuarta columna, la del parametro e, resulta π1 = e/p0

xm0D1 = e/D.

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2 El principio de semejanza

La semejanza es un concepto que puede emplearse en la verificacion de mo-delos. Se dice que un modelo tiene semejanza con un sistema si se verificaque ambos tienen:

1. semejanza geometrica: el modelo tiene la misma forma que el sistemaa analizar, siendo usualmente un modelo a escala,

2. semejanza cinematica: las tasas de cambio del flujo en el sistema y enel modelo deben ser similares y

3. semejanza dinamica: los cocientes formados por todas las fuerzas ac-tuantes deben ser los mismos en el sistema y en el modelo.

Los modelos se emplean en el estudio de flujos complejos donde no hay solu-ciones analıticas o donde las simulaciones numericas no son suficientementeconfiables. El diseno de experimentos a escala requiere de un analisis pre-vio: mientras que la geometrıa puede ser sencillamente definida por unatransformacion de escala, otros parametros como la velocidad o la presionno responderan a una ley tan sencilla: la semejanza se alcanza cuando lascondiciones de ensayo son tales que los resultados del mismo son aplicablesal sistema.

Tıpicamente, el analisis procede segun:

1. identificar los parametros que describen el sistema,

2. reducir el numero de parametros mediante tecnicas de analisis dimen-sional,

3. identificar cuales de los parametros adimensionales deben permancerconstantes entre el modelo y el sistema, para asegurar la semejanza,

4. derivar de las relaciones de invarianza para los parametros adimension-ales de las relaciones de escala.

Hay situaciones en las que no es posible asegurar semejanza estricta, es de-cir, preservar todos los parametros adimensionales: en esos casos habra queanalizar que aspectos del modelo se quieren privilegiar y mantener la inva-rianza de los parametros adimensonales correspondientes.

Ejemplo: Considerese un modelo escala 1 : 40 de un submarino que operaen agua de mar a 0.5◦C y que se desplaza a 5m/seg. Se desea determinar lapotencia requerida para que el submarino opere en esas condiciones, a partir

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de un ensayo del modelo, que se realiza en un canal hidraulico alimentadocon agua dulce a 20◦C.

La siguiente tabla resume los parametros que describen el flujo alrededor delsubmarino y alrededor del modelo, junto con sus valores:

Parametro Sistema Modelos UnidadesD (diametro del submarino) 10 1/4 m

v (velocidad) 5 a determinar m/segρ (densidad) 1028 998 kg/m3

µ (viscosidad dinamica) 1.88 1 Pa.segF (fuerza) a calcular a medir N

De la tabla, surge que hay 5 parametros y tres magnitudes fundamentales,[MLT], de modo que, en virtud del Teorema Π, el sistema podra describirsecon 2 parametros adimensionales, que resultan

Re =ρvD

µ, numero de Reynolds Cp =

(2∆P

ρV 2

)

, coeficiente de presion

donde ∆P := F/D2. Tanto el numero de Reynolds cuanto el coeficientede presion, representan cocientes de fuerzas: en efecto, el primero puedeinterpretarse como el cociente de las fuerzas de inercia y las viscosas y elsegundo como el cociente de las fuerzas de presion y las de inercia. Como yaindicamos, para que el modelo y el sistema sean semejantes deben satisfacerel requerimiento de semejanza dinamica, que se traduce en que estos numerosadimensionales deben valer lo mismo en el modelo y en el sistema. Con esto,se deben verificar las siguientes relaciones de escala:

Re =

(ρV D

µ

)

⇒ vm = vs ×

(ρs

ρm

)

×

(Ds

Dm

)

×

(µm

µs

)

Cp =

(2∆P

ρV 2

)

, F = ∆PD2 ⇒ Fs = Fm ×

(ρs

ρm

)

×

(vs

vm

)2

×

(Ds

Dm

)2

donde se utilizan los subındice s y m para indicar sistema y modelo respec-tivamente. La invarianza del numero de Reynolds permite determinar lavelocidad en el modelo a ensayar:

Vm = 21.9 × Vs.

Con vm, la relacion de invarianza de Cp prmite determinar la fuerza sobre lesubmarino:

Fs = 3.44 × Fm.

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Ası, la potencia requerida es

Potencia = Fs × Vs = 17.2 × Fm (J/s).

Observese que, a pesar que el modelo es mas pequeno que el sistema, serequiere una mayor velocidad para satisfacer las condiciones de semejanza.Otra observacion es que, los fluidos en el sistema y en el modelo no tieneque ser los mismos: esto abre el campo a aplicaciones en los que el fluidoen el sistema son caros o peligrosos o en los que los cambios fısico-quımicosque puede modificar el fluido debido a las condiciones de ensayo lo invaliden,pudiendose evaluar los dispositivos con sustitutos mas apropiados.

3 Relacion entre el sistema de numeros adi-

mensionales y las ecuaciones de gobierno

de la mecanica de fluidos

Existe una relacion profunda entre el sistema de numeros adimensionales ylas ecuaciones de gobierno de la mecanica de fluidos y sus simplificaciones.Para ponerla de manifiesto y al mismo tiempo dar una justificacion del princi-pio de semejanza dinamica presentado antes, considerese la siguiente versionsimplificada de la ecuacion de Navier-Stokes unidimensional, para el caso dedespreciar los efectos gravitatorios y la conveccion,

ρ∂u

∂t=

dp

dx+ µ

∂2u

∂x2.

Si se observa con cuidado, asociado a esta ecuacion hay un sistema de tresmagnitudes fundamentales, como por ejemplo, el [M, L, T ]: sin embargo ypor conveniencia, utilizaremos el sistema [ρ, L, V ], esto es, densidad, longi-tud y velocidad. La eleccion no es caprichosa: en fecto, observese que paradescribir un flujo incompresible como el representado universalmente por laecuacion, es posible considerar la densidad ρ del fluido como densidad car-acterıstica -unica por cierto para todo el fluido-, una escala de longitud olongitud caracterıstica ` del flujo y una velocidad de referencia o velocidadcaracterıstica del flujo u0.

Estas cantidades caracterısticas pueden usarse para construir nuevas vari-ables, adimensionales, de la siguiente forma

u =u

u0, p =

p

ρu20

, x =x

`, t =

tu0

`,

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de modo que los terminos de la ecuacion, pueden rescribirse de la siguienteforma:

ρ∂u

∂t=

ρu20

`

∂(u/u0)

∂(tu0/`),

dp

dx=

ρu20

`

(p/ρu20)

d(x/`), µ

∂2u

∂x2=

µu0

`2

∂(u/u0)

∂(x/`)2.

Reemplazando esta expresiones en la ecuacion, y acomodando el coeficientedel termino difusivo para que aparezca el factor ρu2

0/`, la ecuacion resulta:

(ρu2

0

`

)∂u

∂t=

(ρu2

0

`

)dp

dx+

µ

ρu0`

(ρu2

0

`

)∂2u

∂x2,

y eliminando el factor comun, queda

∂u

∂t=

dp

dx+

(µ

ρu0`

)∂2u

∂x2.

En el coeficiente del termino difusivo se puede reconocer la inversa del numerode Reynolds. Esta observacion justifica el postulado de semejanza dinamicaempleado en la seccion anterior: en efecto, si se toman las cantidades carac-terısticas como referencia en dos flujos, para que sus ecuaciones sean identicasbastara con que los respectivos Re coincidan.

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