Analisis Dimensi1

Oleh : Abdurrouf2

0.1 Tujuan

Setelah mempelajari topik ini, diharapkan peserta dapat memahami pengertian dimensi,mengenal dimensi besaran pokok, dapat menurunkan dimensi besaran satuan, serta dapat

memanfaatkan analisis dimensi untuk menduga bentuk persamaan fisis tertentu.

0.2 Ringkasan

Besaran adalah representasi dari kuantitas fisis yang ada di alam, baik yang ada secara riilmaupun maupun yang muncul untuk penyederhanaan kerja matematis. Setiap besaran selalumemiliki identitas berupa

• Satuan. Satuan ini diperlukan untuk memberi kepastian akan nilai kuantitatif suatu be-saran. Hubungan antar satuan diatur dalam sistem satuan. Beberapa sistem satuan yangdikenal antara lain adalah sistem internasional (SI), sistem British, sistem Gauss, danlain-lain. Hubungan antar sistem satuan diatur dalam sistem konversi.

Satuan yang diambil dari nama orang ditulis dengan huruf kecil jika ditulis lengkap te-tapi ditulis dengan huruf besar jika disingkat. Contoh: satuan arus adalah ampere dandisingkat A.

• Dimensi. Dimensi diperlukan untuk mengetahui kesetaraan dua besaran, mengecek ke-benaran suatu persamaan, serta menduga bentuk suatu persamaan fisis.

– Dimensi untuk besaran pokok biasanya ditulis dengan huruf pertama dari nama be-saran yang bersangkutan, dalam bahasa Inggris. Contoh: dimensi untuk panjang(Inggris: length) adalah [L]. Dimensi dari besaran pokok ditunjukkan pada tabel. 1.

– Dimensi untuk besaran turunan merupakan kombinasi dari dimensi besaran pokok,sesuai dengan cara besaran turunan tersebut diperoleh dari besaran pokok. Dimensidari beberapa besaran turunan dalam mekanika ditunjukkan pada tabel. 2. Terlihatbahwa besaranmekanika merupakan gabungan dari tiga besaran pokok, yaitu massa,panjang, dan waktu.

1Disampaikan pada training of trainer (ToT) untuk guru-guru fisika SMA se-Jawa Timur, di Hotel Orchid,Batu, Malang, pada tanggal 18 Agustus - 2 September 2010

2Dr. rer. nat. Abdurrouf, S.Si., M.Si., adalah staf pengajar di Jurusan Fisika FMIPA UB. Saat ini juga tercatatsebagai Pembina Olimpiade Bidang Studi Fisika Tingkat Propinsi Jawa Timur. Penulis juga aktif di kegiatan CIBI.

1

Tabel 1: Besaran pokok dalam sistem SIBesaran Satuan dalam SI Dimensi (*)

Panjang (l) meter (m) [L]Massa (m) kilogram (kg) [M ]Waktu (t) second (sec) [T ]

Arus listrik (i) ampere [I]Temperatur (t) kelvin (K) [θ]

Intensitas cahaya (I) candela (Cd) [J ]Jumlah zat (n) mole (mol) [N ]Sudut bidang radian (rad.) tak berdimensiSudut ruang steradian (strad.) tak berdimensi

(*) Seringkali dimensi ditulis tanpa tanda kurung tegak. Dalam kasus ini dimensi panjangadalah L

Dimensi memegang peranan setral dalam analisis dimensi, dan dapat digunakan untuk

• Merunut bagaimana suatu besaran turunan dapat dibentuk dari suatu besaran pokok.

Contoh:

Besaran kecepatan v memiliki dimensi [L] [T ]−1. Ini berarti bahwa untuk mengukur ke-cepatan v, orang harus mengukur panjang l dan waktu t.

• Mendefinisikan kesetaraan satuan turunan dengan satuan pokok.

Contoh:

Gaya F memiliki dimensi [M ] [L] [T ]−2. Ini berarti satuan gaya (newton N ) juga dapatdinyatakan sebagai kg m s−2.

• Mengetahui kesetaraan dua besaran. Dua besaran dikatakan setara jika keduanya memi-liki dimensi yang sama.

Contoh:

Usaha W dan energi E adalah setara, karena keduanya memiliki dimensi [M ] [L]2 [T ]−2.

• Mengetahui kebenaran suatu persamaan. Suatu persamaan fisis dianggap benar jika keduasuku memiliki dimensi yang sama.

Contoh:

Persamaan gerak jatuh bebas s = 12gt2 adalah benar secara dimensi, karena kedua suku

memiliki dimensi panjang[L].

• Menduga bentuk eksplisit suatu persamaan fisis. Fungsi ke empat inilah yang kita bahasdalam contoh berikut.

2

Tabel 2: Beberapa besaran turunan dalam mekanika, dalam sistem SI

Besaran Definisi Dimensi

Satuan(dalamsatuanpokok)

Satuan SI

luas (A) panjang kali panjang [L]2 m2 -volume (V ) luas kali tinggi [L]3 m3 -

massa jenis (ρ)massa per satuan

volume [M ] [L]−3 kg m−3 -

kecepatan (v)perpindahan per satuan

waktu [L] [T ]−1 ms−1 -

percepatan (a)kecepatan per satuan

waktu [L] [T ]−2 ms−1 -

gaya (F ) massa kali percepatan [M ] [L] [T ]−2 kg m s−2 newton (N)

usaha (W )gaya kali

perpindahannya [M ] [L]2 [T ]−2 kg m2 s−2 joule (J)

energi (E)massa kali kuadrat

percepatan [M ] [L]2 [T ]−2 kg m2 s−2 joule (J)

daya (P )energi (atau usaha) per

satuan waktu [M ] [L]2 [T ]−3 kg m s−3 watt (W)

intensitas (energi) (I)energi per satuan waktu

per satuan luas [M ] [T ]−3 kg s−2 Wm−2

momentum (p) massa kali pecepatan [M ] [L] [T ]−1 kg m s−1 -

impuls (I) gaya kali waktu [M ] [L] [T ]−1 kg m s−1

Newton-second(Ns)

tekanan / tegangan (p) gaya per satuan luas [M ] [L]−1 [T ]−2 kg m−1 s−2 pascal (Pa)

regangan (ε)perubahan panjang per

panjang mula-mula - - -

modulus Young (Y ) tegangan per regangan [M ] [L]−1 [T ]−2 kg m−1 s−2 -

viskositas (η)regangan per gradien

kecepatan [M ] [L]−1 [T ]−1 kg m−1 s−1 -

momen gaya (τ ) jarak kali gaya [M ] [L]2 [T ]−2 kg s−2

Newton-meter(Nm)

momentum sudut (L) jarak kali momentum [M ] [L]2 [T ]−1 kg m2 s−1 -Catatan:

– Terdapat beberapa besaran yang memiliki dimensi yang sama atau setara, yaitu: usaha danenergi, impuls dan momentum, serta tegangan dan modulus Young.

– Terdapat beberapa besaran yang dimensinya berbeda dengan faktor [T ]. Hal ini berartibesaran dengan pangkat [T ] lebih rendah merupakan turunan waktu dari besaran dengan[T ] lebih tinggi. Contoh pasangan tersebut adalah: perpindahan-kecepatan, kecepatan-percepatan, energi-daya, gaya-momentum, serta momen gaya - momentum sudut.

3

0.3 Contoh Soal dengan Penyelesaian

1. Soal OSK tahun 2007: Gaya angkat pesawat

Sebuah pesawat dengan massa M terbang pada ketinggian tertentu dengan laju v. Kera-patan udara di ketinggian itu adalah ρ. Diketahui bahwa gaya angkat udara pada pesawatbergantung pada: kerapatan udara, laju pesawat, luas permukaan sayap pesawat A, dansuatu konstanta tanpa dimensi yang bergantung geometri sayap. Pilot pesawat memutusk-an untuk menaikkan ketinggian pesawat sedemikian sehingga rapat udara turun menjadi0.5ρ. Tentukan berapa kecepatan yang dibutuhkan pesawat untuk menghasilkan gayaangkat yang sama? (nyatakan dalam v).

Penyelesaian

Secara umum dapat dikatakan bahwa daya angkat pesawat F tergantung konstanta takberdimensi k, kerapatan udara ρ, laju pesawat v, serta luas permukaan sayap pesawat A.Permaslahan ini dapat dipeahkan sebagai berikut:

• Langkah 1: menuliskan persamaan matematis.

Karena gaya F bergantung pada k, ρ, v, dan A, maka persamaan untuk F dapatditulis sebagai

F = kραvβAγ

di mana α, β, dan γ adalah konstanta yang akan dicari nilainya.

• Langkah 2: menuliskan persamaan dimensi.

Kaidah dimensi mengatakan bahwa dimensi suku kiri harus sama dengan dimensisuku kanan, atau

[M ] [L] [T ]−2 =([M ] [L]−3

)α ([L] [T ]−1

)β ([L]2

)γ.

• Langkah 3: menyelesaikan sistem persamaan linier untuk mendapatkan nilai para-meter α, β, dan γ yang tidak diketahui.

Persamaan di atas menghasilkan 3 persamaan, terkait dengan 3 dimensi yang ada,yaitu persamaan untuk [M ], [L], dan [T ]. Kita mulai dengan persamaan untuk [M ]

(karena [M ] hanya muncul satu kali di suku kanan), sebagai berikut

1 = α atau α = 1.

Selanjutnya persmaan untuk [T ]

−2 = −β atau β = 2.

4

Terakhir adalah persamaan untuk[L], di mana

1 = −3α + β + 2γ atau γ = 1.

• Langkah 4: menuliskan persamaan akhir.

Dengan memanfaatkan nilai α, β, dan γ, didapatkan persamaan untuk F sbb

F = kρv2A.

• Langkah 5: mencari hubungan antar kuantitas, jika diperlukan.

Untuk kasus hanya v dan A yang berubah, persamaan di atas dapat ditulis sebagaiF ∝ v2A. Jika rapat udara ρ turun menjadi 0, 5ρ maka untuk mempertahankan gayaF yang sama dibutuhkan kecepatan

√2v = 1, 41v.

2. Soal OSK tahun 2009: Daya angkat pesawat

Sebuah helikopter memiliki daya angkat P yang hanya bergantung pada berat beban totalW (yaitu berat helikopter ditambah berat beban) yang diangkat, massa jenis udara ρ danpanjang baling-baling helikopter l.

(a) Gunakan analisa dimensi untuk menentukan ketergantungan P pada W , ρ, dan l.

(b) Jika daya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban total W adalah P0, berapakahdaya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban total 2W ?

Penyelesaian

(a) Dari informasi soal didapatP = CW αρβlγ

Dengan mengingat bahwa C adalah sebuah konstanta tidak berdimensi, dimensi da-ya P adalah [M ][L]2[T ]−3, dimensi gaya W adalah [M ][L][T ]−2, dimensi rapas jenisudara ρ adalah [M ][L]−3, sedang dimensi panjang l adalah [L]. Dengan demikiandapat diperoleh persamaan dimensi sebagai berikut

[M ][L]2[T ]−3 =([M ][L][T ]−2

)α ([M ][L]−3

)β([L])γ .

Dengan mencocokan dimensi [T ], didapatkan

−3 = −2α atau α =3

2.

5

Selanjutnya, dengan mencocokkan dimensi [M ] didapatkan

1 = α + β atau β = −1

2.

Terakhir, dengan mencocokkan dimensi [L] didapatkan

2 = α− 3β + γ atau γ = −1.

Dengan demikian didapatkan persamaan akhir

P = CW 3/2ρ−1/2l−1.

(b) Terlihat bahwa P ∝ W 3/2. Jika beban total W dinaikkan dua kali, maka daya baruP menjadi 23/2P0 = 2

√2P0.

3. Periode revolusi planet

Periode revolusi (T ) dari sebuah planet yang berputar mengelilingi matahari dalam orbitlingkaran tergantung pada jari-jari orbit (r), massa matahari (M ), konstanta gravitasi (G),serta konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah Hukumke-3 Keppler untuk gerakan planet.

Penyelesaian

Persamaan periode T dapat ditulis sebagai

T = CrαMβGγ,

yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut

[T ] = [L]α [M ]β([M ]−1 [L]3 [T ]−2

)γ.

Persamaan di atas memberi kita 3 persamaan linier, yaitu

1 = −2γ

0 = α + 3γ

0 = β − γ,

sehingga didapatkan γ = −1/2, β = −1/2 dan α = 3/2. Dengan demikian persamaanuntuk periode adalah

T = Cr3/2M−1/2G−1/2.

6

Persamaan di atas juga dapat ditulis sebagai T 2 = C2r3

MG, yang menunjukkan bahwa T 2

r3 =C2

MG= konstan, yang tidak lain adalah Hukum ke-3 Keppler untuk pergerakan planet.

4. Bola yang bergerak dalam fluida

Stokes mengamati bahwa sebuah bola yang bergerak dalam fluida akan mengalami gayaperlambatan F yang besarnya bergantung pada (i) koefisien viskositas µ (ii) kecepatangerak bola v, (iii) jari-jari bola r, serta (iv) konstanta tak berdimensi C. Dengan menggu-nakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk gaya F sebagai fungsi ketiga parametertersebut.

Penyelesaian

Persamaan gaya F dapat ditulis sebagai

F = Cµαvβrγ,

yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut

[M ] [L] [T ]−2 =([M ] [L]−1 [T ]−1

)α ([L] [T ]−1

)β([L])γ .

Persamaan di atas memberi kita 3 persamaan linier, yaitu

1 = α

1 = −α + β + γ

−2 = −α− β,

yang memberi kita α = 1, β = 1, dan γ = 1. Dengan demikian persamaan untuk F dapatditulis sebagai

F = Cηvr,

yang dikenal sebagai hukum Stokes. Kelak diketahui bahwa C = 6π.

5. Energi ledakan bom

Ketika sebuah bom nuklir meledak, maka energi ledakannya akan menyebar ke selu-ruh arah membentuk permukaan bola dengan jari-jari R. Tentunya masuk akal jika kitaasumsikan bahwa nilai R dipengaruhi oleh energi ledakan E, massa jenis bahan ledak ρ,selang waktu antara pengamatan dan ledakan t, serta konstanta tak berdimensi C. De-ngan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk getaran R sebagai fungsikeempat parameter tersebut.

Penyelesaian

7

Secara umum persamaannya dapat ditulis sebagai berikut

R = CEαρβtγ,

yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut

[L] =([M ] [L]2 [T ]−2

)α ([M ] [L]−3

)β[T ]γ

= [M ]α+β [L]2α−3β [T ]−2α+γ .

Persamaan terakhir menghasilkan tiga persamaan linier, yaitu

α + β = 0

2α− 3β = 1

−2α + γ = 0,

yang memberikan solusi α = 1/5, β = −1/5, dan γ = 2/5. Dengan demmikian,persamaan yang benar adalah

R = CE1/5ρ−1/5t2/5.

0.4 Soal Latihan

1. Gerak jatuh bebas

Misalkan sebuah mengalami gerak jatuh bebas. Adalah masuk akal untuk membayangk-an bahwa jarak yang ditempuh benda akan bergantung pada waktu jatuh t, percepatangravitasi g, serta massa benda m. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan per-samaan untuk s sebagai fungsi dari m, g, dan t. (Jawab: s ∝ gt2)

2. Panjang gelombang

Panjang dari suatu gelombang (λ) dapat dihitung jika frekuensi (f ) dan kecepatan rambat(v)-nya diketahui. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untuk λ

sebagai fungsi dari f dan v. (Jawab: λ = vf

)

3. Tekanan fluida statis

Tekanan fluida pada kedalaman tertentu p dipengaruhi oleh rapat fluida ρ, percepatangravitasi g, serta kedalaman titik pengamatan h. Tunjukan bahwa persamaan yang benaradalah p = ρgh.

4. Tekanan fluida dinamis

8

Tekanan yang diakibatkan oleh fluida yang mengalir p dapat dianggap dipengaruhi olehmassa jenis fluida tersebut ρ, laju alir fluida v, dan konstanta tak berdimensi C. Denganmenggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untuk tekanan adalah p = Cρv2 (dimana dari pengukuran diketahui bahwa C bernilai 1

2).

5. Bandul matematis

Frekuensi getaran ω pada bandul matematis sangat mungkin dipengaruhi oleh massa ben-da yang bergetar m, percepatan gravitasi g, serta panjang tali l. Dengan menggunakananalisis dimensi, tunjukkan bahwa persamaan untuk getaran adalah ω =

√gl.

6. Osilasi massa dan pegas

Misalkan sebuah massa m digantung pada pegas dengan konstanta kekakuan k, padasuatu daerah yang percepatan gravitasinya g. Dengan menggunakan analisis dimensi,tentukan ketergantungan T pada m, k, g, dan konstanta tak berdimensi C. (Jawab: T =

C√

mk

)

7. Getaran bintang

Bintang di angkasa mengalami osilasi atau getaran dengan frekuensi sudut ω, yang nila-inya tergantung pada kerapatan massa bintang ρ, jari-jari bintang R, konstanta gravitasiuniversal G, dan konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi,carilah persamaan untuk frekuensi sudut getaran ω sebagai fungsi keempat parametertersebut. (Jawab: ω = C

√Gρ)

8. Periode osilasi busa

Periode osilasi T dari gelembung gas akibat ledakan dalam air bergantung pada tekananstatis air (p), rapat massa air ρ, energi total dari ledakan E, serta konstanta tak berdimensiC. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk periode getaran T

sebagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: T = Cp−5/6ρ1/2E1/3)

9. Frekuensi garpu tala

Frekuensi dari garpu tala (f ) bergantung pada panjang giginya (l), rapat massa (ρ), danmodulus Young (Y ) dari material garpu tala, serta konstanta tak berdimensi C. Denganmenggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk frekkuensi garpu tala f sebagaifungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: f = C

l

√Yd

)

10. Frekuensi gelombang gravitasi

Gelombang di permukaan zat cair (biasanya disebut sebagai gelombang gravitasi ataugelombang kapiler), memiliki frekuensi ω yang bergantung pada bilangan gelombang k,rapat massa cairan ρ, percepatan gravitasi g, dan konstanta tak berdimensi C. Dengan

9

menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk frekuensi anguler getaran ω se-bagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: ω =

√gk)

11. Kecepatan jalar gelombang gravitasi (λ besar dan air cukup dalam)

Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis yang merambat melalui sejumlah besarair, seperti laut. gelombang memiliki λ cukup besar (20 cm atau lebih) tetapi cukup kecildibandingkan dengan kedalaman air. Secara intuitif, kecepatan jalar gelombang vg akanbergantung pada panjang gelombang λ, percepatan gravitasi g, serta rapat massa air ρ.Silahkan dicek, apakah vg merupakan fungsi dari rapat massa ρ atau tidak. (Jawab: tidak,karena vg ∝

√λg)

12. Kecepatan jalar gelombang kapiler (λ pendek dan air cukup dalam)

Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis yang merambat melalui sejumlah besarair, seperti laut. gelombang memiliki λ cukup kecil (2 mm atau kurang) dan cukup kecildibandingkan dengan kedalaman air. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah lajurambat gelombang vg sebagai fungsi dari panjang gelombang λ, rapat massa air ρ, sertategangan permukaan s. (Jawab: vg ∝

√s/ (λρ))

13. Kecepatan jalar gelombang dengan λ panjang pada air dangkal

Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis dengan panjang gelombang λ yangmerambat melalui air yang dangkal dengan kedalaman h, sehingga λ � h. Dalam kasusini, tegangan permukaan air s dapat diabaikan, sehingga kecepatan gelombang hanyabergantung pada percepatan gravitasi g dan kedalaman air h. Carilah ungkapan untukkecepatan jalarnya vg. (Jawab: vg ∝

√gh)

14. Bilangan Reynold

Adalah diketahui bahwa bilangan Reynold Re tergantung pada kerapatan fluida ρ, pan-jang benda l, viskositas fluida η, serta kecepatan gerak benda v. Carilah bentuk eksplisitketergantungan Re terhadap ρ, l, η, dan v. (Jawab: Re = ρvl

η)

15. Viskositas

Viskositas η suatu gas tergantung pada massa m, diameter efektif d dan kecepatan rata-rata molekul v. Gunakan analisa dimensi untuk menentukan rumus η sebagai fungsivariabel-variabel ini. (Jawab: η = C mv

d2 )

16. Kecepatan bunyi

Tentukan rumus kecepatan bunyi v jika kecepatannya tergantung pada tekanan p dan mas-sa jenis udara ρ. (Jawab: v = C

√Pρ

)

10