CONTENIDO.

MÓDULO I: TEORIA DE CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

MÓDULO II: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

MÓDULO III: ESTIMACION

MÓDULO IV: CONTRASTE DE HIPOTESIS

MÓDULO V: REGRESION Y CORRELACION LINEAL SIMPLE

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Símbolos Matemáticos

Símbolos Descripción∈ Pertenece∉ No pertenece a⊆ Contenido en⊂ Estrictamente Contenido ⊄ No está contenido= Igual≠ Diferente Unión IntersecciónA – B DiferenciaP(A) Conjuntos de Partes de Ax < y x menor que yx ≤y x menor o igual a y[a, ∞ ) Intervalo Cerrado por la izquierda(– ∞ , b] Intervalo Cerrado por la derecha(a, ∞ ) Intervalo Abierto por la izquierda(- ∞ , b) Intervalo Abierto por la derecha[a, b] Intervalo Cerrado(a, b) Intervalo Abierto(x, y) Par ordenadoAxB Producto Cartesiano

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Interpretaciones de la Probabilidad 1

A pesar de que el concepto de probabilidad es una parte tan común y natural de la experiencia

de la gente, no existe una única interpretación científica del término probabilidad aceptada por

todos los estadísticos, filósofos y demás autoridades científicas. A través de los años, cada

interpretación de la probabilidad propuesta por unos expertos ha sido criticada por otros. De

hecho, el verdadero significado de la probabilidad es todavía un término muy conflictivo y

surge en muchas discusiones filosóficas actuales sobre los fundamentos de la estadística.

Se expondrán tres interpretaciones (o definiciones) diferentes de la probabilidad, cada una de

estas interpretaciones puede ser útil en la aplicación de la teoría de la probabilidad a

problemas prácticos.

Interpretación Clásica de la Probabilidad (o Probabilidad a priori)

La teoría de la probabilidad en sus comienzos estuvo asociada a los juegos de azar. Esta

asociación impulsa la interpretación clásica. Por ejemplo, supóngase que se quiere conocer la

probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara. Puede argumentarse de la siguiente

manera: Como hay solamente dos formas en que la moneda puede caer, cara o sello, y como la

moneda esta balanceada, podría esperarse que sea tan probable que salga cara como sello, así

la probabilidad de cara estará dada por el valor 1/2.

Esta interpretación de la probabilidad esta basada en el concepto de resultados igualmente

probables que son mutuamente excluyentes. Generalizando, si el resultado de algún proceso

debe ser uno de n resultados diferentes y estos n resultados son igualmente probables y

mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de cada resultado es 1/n.

Considérese otro ejemplo: Si un dado es lanzado (hay seis posibles resultados) cualquiera de

las seis caras numeradas pueden salir. Estos seis resultados son mutuamente excluyentes dado

que dos o más caras no pueden salir simultáneamente, 1 Basado en los siguientes textos: DeGroot, Morris. Probabilidad y Estadística. Págs. 2-6; Mood, Graybill y

Boes. Introduction to the Theory of Statistics. Págs. 3-5.

18

y si el dado es justo2, los seis resultados son igualmente probables, es decir que por la

naturaleza del proceso, por su simetría, todas las caras tienen la misma oportunidad de

aparecer.

Ahora se quiere la probabilidad de que el resultado de un lanzamiento sea un número par.

Tres de los seis posibles resultados tienen este atributo. La probabilidad de que un número

par aparecerá cuando el dado es lanzado es 3/6 ó 1/2. Similarmente, la probabilidad que un

cinco aparecerá cuando un dado es lanzado es 1/6. La probabilidad que el resultado de un

lanzamiento será mayor que 2 es 2/3.

De este modo, se tiene de manera más general que, si los n resultados de un fenómeno

aleatorio son mutuamente excluyentes e igualmente probables y si n(A) de estos resultados

presentan el atributo A, entonces la probabilidad de A es la proporción n (A)/n.

Debe notarse que por la interpretación clásica, la probabilidad de A es un número entre 0 y

1 (ambos inclusive). La proporción n (A)/n debe ser menor que o igual a1, ya que el

número total de posibles resultados no puede ser menor que el número de resultados con un

atributo específico. Si es seguro que un suceso ocurra, su probabilidad es 1; si es imposible

que ocurra, su probabilidad es cero. De esta manera, la probabilidad de obtener un 7 al

lanzar un dado es 0. La probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un número menor

que 8 es igual a 1.

Las probabilidades determinadas por la definición clásica son llamadas probabilidades a

priori, debido a que se llega al resultado solamente por razonamiento deductivo.

Hay algunas limitaciones en la interpretación clásica:

1. No proporciona un método sistemático para asignar probabilidades a resultados que no

sean igualmente probables.

19

Por ejemplo, es lanzada una moneda sabiendo que esta sesgada a favor de las caras, es

decir, es más probable que aparezca una cara que un sello. Los dos posibles resultados

del lanzamiento de la moneda no son igualmente probables3. ¿Cuál es la probabilidad

de cara? La definición clásica no tiene la posibilidad de ayudar aquí.

2. Hay otra dificultad cuando a la interpretación clásica se le hacen preguntas como:

• ¿Cuál es la probabilidad de que nazca un varón en Barinas?

• ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre muera antes de los 50 años?

• ¿Cuál es la probabilidad de que una persona se case?

Todas estas son preguntas legítimas que se quieren traer al campo de la teoría de

probabilidad. Sin embargo, las nociones de “simetría”, “igualmente probable”, etc., no

pueden ser utilizadas como lo son en los juegos de azar.

3. Otro inconveniente surge cuando los resultados del proceso no son finitos. Esto aparece

muchas veces cuando el número de resultados posibles del proceso es posiblemente

muy grande. Por ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen a una intersección

vial más de 500 automóviles entre las 12 PM y la 1 PM?

Nota 1:

Hay que tener cuidado y poner atención a las calificaciones de mutuamente excluyente,

igualmente probables y aleatorio. Supóngase que se desea calcular la probabilidad de

obtener dos caras si una moneda es lanzada dos veces. Pudiera razonarse que hay tres

posibles resultados para los dos lanzamientos: dos caras, dos sellos o una cara y un sello.

Uno de estos tres resultados tiene el atributo deseado, es decir, dos caras; Además la

probabilidad es 1/3. Este razonamiento es incorrecto ya que los tres resultados dados no

son igualmente probables. El tercer resultado, una cara y un sello, puede ocurrir de dos

maneras debido a que la cara puede aparecer en el primer lanzamiento y el sello en el

segundo; o la

2 Es decir, el dado es un cubo perfecto en el sentido de que es simétrico y no está arreglado para que alguna

de sus caras tenga más chance de ocurrir.

20

3 Esto se conoce con la expresión: la moneda no está balanceada, no es simétrica o no es justa

21

cara puede aparecer en el segundo lanzamiento y el sello en el primero. Así hay cuatro

resultados igualmente probables: (cara, cara), (cara, sello), (sello, cara) y (sello, sello)4. El

primero de estos tiene el atributo deseado, mientras los otros no. La probabilidad correcta

es entonces 1/4. El resultado debería ser el mismo si dos monedas balanceadas fueran

lanzadas simultáneamente.

Ahora, supóngase que se desea calcular la probabilidad que una carta extraída de una baraja

de bridge5 será un as o una espada. En la enumeración de los resultados favorables, pueden

contarse 4 ases y trece espadas y se concluye que hay 17 resultados con el atributo deseado.

Esto es claramente incorrecto ya que estos 17 resultados no son mutuamente excluyentes

debido a que el as de espadas es tanto as como espada. Hay 16 resultados que son

favorables a un as o una espada, así la probabilidad correcta es 16/52 o 4/13.

Interpretación Frecuentista de la Probabilidad (Probabilidad a Posteriori)

En muchos problemas, la probabilidad de obtener algún resultado especifico de un proceso

puede ser interpretado en el sentido de la frecuencia relativa con la que se obtendría ese

resultado si el proceso se repitiera un número grande de veces en condiciones similares.

Supóngase que una moneda simétrica la cual parece estar bien balanceada fue lanzada 100

veces, los resultados fueron los siguientes:

Tabla 1. Resultados obtenidos al lanzar una moneda 100 veces.

Resultado Frecuencia

observada

Frecuencia relativa observada Frecuencia relativa esperada

a largo plazo

C 56 0.56 0.50 S 44 0.44 0.50

TOTAL 100 1 1

Obsérvese que la frecuencia relativa de caras esta cerca de 1/2. Esto era lo que se esperaba

ya que la moneda era simétrica.

Supóngase ahora que un dado fue lanzado 300 veces, con los siguientes resultados:

Tabla 2. Resultados obtenidos al lanzar un dado 300 veces.

Resultado Frecuencia

observada

Frecuencia relativa

observada

Frecuencia relativa esperada a largo

plazo

1 51 0.170 0.1667 2 54 0.180 0.1667 3 48 0.160 0.1667 4 51 0.170 0.1667 5 49 0.163 0.1667 6 47 0.157 0.1667

TOTAL 300 1 1

Nótese ahora que la frecuencia relativa de la cara con 1 esta cerca de 1/6; de manera similar

para 2, 3, 4, 5 y 6. Estos resultados no son inesperados, ya que el dado estaba balanceado;

era de esperarse que cada cara ocurriera con aproximadamente la misma frecuencia en el

largo plazo.

Esto sugiere que se pueden usar las frecuencias relativas como una aproximación para la

probabilidad. En otras palabras, se supone que la proporción de lanzamientos en los que se

obtiene una cara en el lanzamiento de una moneda o de los números de un dado se puede

usar como una aproximación de la respectiva probabilidad. Adviértase que aunque las

frecuencias relativas de los diferentes resultados son predecibles, el resultado actual de un

lanzamiento individual es impredecible.

En los ejemplos anteriores puede usarse la interpretación clásica o la frecuentista y se

obtienen aproximadamente los mismos resultados. Esto se debe a que la moneda y el dado

están bien balanceados y son simétricos. Supóngase ahora que la moneda no está

balanceada, así que los dos casos: cara y sello, no son igualmente probables que ocurran.

Aquí la definición clásica no es útil en la misión de encontrar el valor de una probabilidad.

Entonces, podría utilizarse la interpretación de la frecuencia relativa o posiblemente algún

análisis físico de la moneda no balanceada.

En muchas investigaciones científicas, se toman observaciones las cuales tienen un

elemento de incertidumbre o son impredecibles. Como un ejemplo, supóngase que se quiere

predecir, si al nacer un bebe en cierta localidad será varón o hembra. Esto es

individualmente un evento incierto, pero los resultados de grupos de nacimientos pueden

ser satisfactorios. Se ha encontrado que existe una cierta regularidad a largo plazo, la cual

es similar a la regularidad a largo plazo de la frecuencia relativa de una cara cuando una

moneda es lanzada. Si por ejemplo es encontrado, examinando registros, que alrededor de

51% de los nacimientos en esta localidad son masculinos, este número puede ser tomado

como una aproximación a la probabilidad de que nazca un varón en esa localidad.

Para hacer esta idea mas concreta, se asumirá que una serie de observaciones pueden ser

obtenidas bajo condiciones uniformes. Es decir, una observación de un experimento

aleatorio es hecha; entonces el experimento se repitió bajo las mismas condiciones y se

tomó otra observación. Esto se repite muchas veces, y mientras las condiciones son

similares cada vez, hay una variación incontrolable la cual es aleatoria, así que las

observaciones son individualmente impredecibles. En muchos de estos casos las

observaciones caen dentro de ciertas clases en donde las frecuencias relativas son muy

estables. Esto sugiere que se postule un numero “p”, llamado la probabilidad del evento, y

“p” será aproximado por la frecuencia relativa con la cual las observaciones repetidas

satisfacen el evento en particular.

En la Figura 1 se muestran los resultados de efectuar en cinco oportunidades, el

experimento de lanzar 150 veces una moneda balanceada y graficar el comportamiento de

la respectiva frecuencia relativa de cara. Como era de esperarse, en los cinco casos, al

principio existe cierta fluctuación en las respectivas frecuencias relativas. A medida que

aumenta el número de lanzamientos, esta frecuencia relativa se va estabilizando mostrando

una tendencia clara hacia la frecuencia relativa 0,5. Nótese que algunas de las curvas

tienden más rápido a 0,5 que otras. Por tanto, según la interpretación frecuentista de la

probabilidad, p=0,5; que es el mismo valor

de la probabilidad de cara que se obtiene bajo la interpretación clásica. Esta es una

ilustración de cómo se comporta la frecuencia relativa en el largo plazo6.

De este modo para calcular la probabilidad p de que un suceso A ocurra, se realiza el

experimento sucesivamente bajo condiciones similares y se va contando el número de

veces que ocurre A. Sea n(A) el número de veces que ocurre el suceso A en las primeras n

repeticiones. Entonces la frecuencia relativa de ocurrencia de A en las primeras n

repeticiones del experimento viene dada por:

La probabilidad de A es el límite de este cociente, cuando n tiende a infinito, si este límite

existe:

Esta claro que las condiciones mencionadas son muy vagas para servir como base de una

definición científica de probabilidad. Por tanto, este criterio de la probabilidad a posteriori

recibe varias críticas, entre las cuales se pueden mencionar las siguientes:

1. Se menciona un número grande de repeticiones de un proceso, pero no hay una

identificación clara del número específico que podría considerarse suficientemente grande.

2. Se afirma que la moneda debería ser lanzada cada vez en condiciones similares, pero

estas condiciones no se describen con precisión. Las condiciones en la cual se lanza la

moneda no pueden ser completamente idénticas para cada lanzamiento porque entonces los

resultados serian todos iguales y se obtendrían sólo caras o sólo sellos. De hecho, una

persona experimentada puede lanzar una moneda repetidamente y cogerla de tal manera

que obtenga una cara en casi todos los lanzamientos. En consecuencia, los lanzamientos no

deben ser completamente controlados sino que deben tener una característica aleatoria.

1

3. Se asevera, además, que la frecuencia relativa de caras sería “aproximadamente 1/2”,

pero no se especifica un límite para la variación posible respecto al valor 1/2. Si una

moneda fuese lanzada 1.000.000 de veces, no se esperaría obtener exactamente 500.000

caras. En realidad, sería muy sorprendente si se obtuvieran exactamente 500.000 caras. Por

otro lado, tampoco se espera que el número de caras difiriera mucho de 500.000.

4. Otro inconveniente de la interpretación frecuentista de la probabilidad es que sólo puede

utilizarse para un problema en el que pueda haber, al menos en principio, un número grande

de repeticiones similares de cierto proceso. Muchos problemas importantes no son de este

tipo. Por ejemplo, la interpretación frecuentista de la probabilidad no puede ser aplicada

directamente a la probabilidad de que un determinado conocido contraiga matrimonio en

los próximos dos años.

Interpretación Subjetiva de la Probabilidad

De acuerdo con la interpretación subjetiva o personal de la probabilidad, la probabilidad

que una persona asigna a uno de los posibles resultados de un proceso representa su propio

juicio sobre la probabilidad de que se obtenga el resultado. Este juicio estará basado en las

opiniones e información de la persona acerca del proceso. Otra persona que puede tener

diferentes opiniones o información distinta puede asignar una probabilidad diferente al

mismo resultado. Por esta razón, resulta más apropiado hablar de la probabilidad subjetiva

que asigna cierta persona a un resultado, que de la verdadera probabilidad de ese resultado.

Con el objeto de que una persona sea capaz de asignar probabilidades subjetivas a los

resultados, debe expresar su grado de creencia en términos numéricos. La interpretación

subjetiva de la probabilidad puede ser formalizada, en general, si los juicios de una persona

acerca de las probabilidades de diversas combinaciones de resultados satisfacen ciertas

condiciones de consistencia. Entonces puede demostrarse que sus probabilidades subjetivas

para los diferentes sucesos posibles pueden ser determinadas en forma única.

La interpretación subjetiva tiene, sin embargo, dos dificultades:

1. El requisito de que los juicios de una persona sobre las probabilidades de un número

infinito de sucesos sean completamente consistentes y libres de contradicciones no

parece humanamente posible.

2. La interpretación subjetiva no proporciona bases “objetivas” para que dos o más

científicos que trabajan juntos obtengan una evaluación conjunta de su estado de

conocimiento en un área científica de interés común.

La evaluación por un determinado científico de la probabilidad de algún resultado incierto

debe ser, en última instancia, su propia evaluación, basada en todas las evidencias de que

dispone. Esta evaluación puede estar parcialmente basada en la interpretación frecuentista

de la probabilidad, ya que el científico puede tener en cuenta la frecuencia relativa de la

ocurrencia de este resultado o de resultados similares en el pasado. También puede basarse

parcialmente en la interpretación clásica de la probabilidad, puesto que el científico puede

tener en cuenta el número total de resultados posibles que considera igualmente probables.

Sin embargo, la asignación final de probabilidades numéricas es responsabilidad del propio

científico.

La Teoría de la Probabilidad y las Interpretaciones de Probabilidad

La teoría de la probabilidad y la estadística se pueden desarrollar, sin considerar la

controversia en torno a las diferentes interpretaciones del término probabilidad. Esta teoría

es correcta y puede ser aplicada útilmente, con independencia de la interpretación de

probabilidad que se utilice en un problema particular. Una vez asignadas las probabilidades

a algunos resultados de algún proceso, todos los expertos están completamente de acuerdo

en que la teoría matemática de la probabilidad proporciona la metodología apropiada para

ampliar el estudio de estas probabilidades.

Probabilidad de un evento

Las probabilidades se plantean con respecto a algún evento. El evento en cuestión puede ser

que llueva, haya ganancias, caiga cara, se obtenga un rendimiento de por lo menos 6%, se

termine el curso, se obtengan buenas calificaciones, entre otros.

Las probabilidades pueden expresarse en múltiples formas, incluyendo decimales,

fracciones y porcentajes. Por ejemplo, la posibilidad de lluvia se puede establecer como

20%, 2 de 10, 0.20, o bien 1/5.

La probabilidad de que un evento ocurra está dada mediante un número que va de 0 a 1.

La probabilidad de algún evento A, se representa por P(A), es un número que va del 0 al 1,

y que indica cuan probable es la ocurrencia del evento A. Cuanto mas cerca se encuentre el

número de uno (1), tanto mayor es la probabilidad de que dicho evento A ocurra; cuanto

mas cercano sea el numero a cero (0) menor es la probabilidad de que el evento A ocurra. A

un evento imposible se le asigna una probabilidad 0, mientras que a un evento del cual se

tiene la certeza que ocurrirá se le asigna una probabilidad de 1.

Espacio Muestral y Eventos

Uno de los conceptos matemáticos fundamentales, utilizados en el estudio de la

probabilidad es el conjunto. Este es un grupo de objetos o elementos que tienen ciertas

características comunes. Por ejemplo, los habitantes de Barinas, los ríos del Municipio

Pedraza, los estudiantes de la UBV-Barinas, entre otros.

Espacio Muestral, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o

muestra. Vamos a denotar al Espacio Muestral con la letra S. También el espacio

muestral se denota con la letra griega Omega(Ω).

Evento, son los posibles resultados de un Experimento Aleatorio.

Experimento Aleatorio, es todo aquel experimento que satisface los siguientes

requerimientos:

a. Puede repetirse un número ilimitado de veces bajo las mismas condiciones.

b. Es posible conocer por adelantado todos los posibles resultados a que pueda dar

origen.

c. No puede predecirse con exactitud el resultado en una realización particular de ese

experimento.

Ejemplos:

Si lanzamos una moneda al aire, el resultado puede ser cara o sello, pero no

sabemos de antemano cual de ello va a salir. El proceso de lanzamiento de la

moneda es un experimento aleatorio.

Su espacio muestral es S = cara, sello

Lanzamiento de un dado y registrar el numero de puntos que aparecen en el

lado de arriba. El espacio muestral es: S = 1,2,3,4,5,6. El experimento es:

lanzamiento del dado.

Si el dado es un cubo simétrico y balanceado, entonces todos sus lados tienen la misma

posibilidad de ocurrencia, es decir, sus probabilidades son: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) P(5) =

P(6) = 1/6. Sea cualquier evento A de ese experimento, por ejemplo, A: número par,

entonces A = 2,4,6, obsérvese que A tiene tres puntos muestrales, en consecuencia su

probabilidad de A viene dada por: numero de elementos de A dividido por número de

elementos del espacio muestral S, es decir: P(A) = 3/6 = ½ = 0.5

Por su dimensión un espacio muestral puede ser: finito, infinito numerable, ó infinito no numerable.

La estadística tiene dos objetivos inmediatos, describir e inferir, cuya finalidad es satisfacer

un objetivo mucho mas exigente: predecir.

La predicción está relacionada de una manera indisoluble con las probabilidades, y aquel

que no estudia los postulados de probabilidades para comprender profundamente su

significado, no podrá interpretar cabalmente los resultados de la estadística.

Es por esta razón que categóricamente afirmamos que con la estadística no se puede mentir.

Vincular a la estadística, en tanto que disciplina matemática, con la capacidad de

manipulación para engañar, es tan osado como acusar al español, como lenguaje verbal, de

herramienta susceptible de ser usada para decir mentiras. Es sólo la falta de información de

un individuo lo que faculta a otro para engañarlo, con o sin intención, tanto con letras como

con números.

Operaciones con eventos:

Tratándose los eventos de subconjuntos del espacio muestral, es natural que satisfagan todas las

características de los conjuntos. Sean A y B dos eventos pertenecientes a un espacio muestral S.

• La intersección, que se denota BA ∩ , es el evento que consta de todos los resultados en S que

pertenecen tanto a A como a B. Por tanto, la intersección BA ∩ ocurre si y sólo si tanto A

como B ocurren.

De manera más general, dados k eventos A1, A2, ..., Ak, su intersección kAAA ∩∩∩ 21 es el

conjunto de todos los resultados básicos que pertenecen a todo Ai (i = 1, 2, ..., k)

• La unión, que se denota BA ∪ , es el evento que consta de todos los resultados en S que

pertenecen al menos a uno de estos eventos. Por lo tanto, la unión BA ∪ ocurre si y sólo si A

y/o B ocurren.

De manera más general, dados k eventos A1, A2, ..., Ak, su unión kAAA ∪∪∪ 21 es el

conjunto de todos los resultados que pertenecen al menos a uno de estos k eventos.

• El complemento de A (con respecto al espacio muestral S ), que se representa por cA

(dependiendo de la literatura también se usa A ó ´A ), es el evento que consta de todos los

resultados pertenecientes a S pero no a A.

Definiciones complementarias:

• Si A y B no tienen puntos muestrales en común se denominan excluyentes y su intersección A

∩ B es el conjunto vacío Ø, lo que significa que A ∩ B no puede ocurrir.

De manera más general, dados k eventos A1, A2, ..., Ak, se dicen mutuamente excluyentes si cada

par de estos eventos es excluyente, es decir =∪ ji AA Ø para todo i ≠ j.

• Dados k eventos E1, E2, ..., Ek en el espacio muestral S , si su unión E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Ek = S se

dice que estos k eventos son colectivamente exhaustivos.

Ejercicios

1. Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican como defectuosos o no

defectuosos. Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta

que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se verifiquen cuatro artículos, lo que

ocurra primero. Describir el espacio muestral para este experimento aleatorio.

2. Considérense cuatro objetos, a, b, c y d. Supóngase que el orden en el cual se anotan esos

objetos representa el resultado de un experimento. Sean los eventos A = a está en el primer

lugar y B = b está en el segundo lugar.

a. Describir el espacio muestral.

b. Describir todos los elementos de los eventos BA ∩ y BA ∪ .

3. Considerando el espacio muestral S = a, b, c, construya todos los eventos posibles.

4. Sean A, B y C tres eventos asociados con un experimento. Expresar las siguientes

proposiciones verbales en notación de conjuntos. Puede ayudarse con diagramas de Venn.

a. Al menos uno de los eventos ocurre.

b. Exactamente uno de los eventos ocurre.

c. Exactamente dos de los eventos ocurren.

Desarrollo Axiomático de las Probabilidades

El desarrollo teórico anterior se ha efectuado con la finalidad de plantear formalmente el

siguiente problema: si A es un evento asociado con el experimento aleatorio E y el espacio

muestral S , no podemos indicar con certeza, en principio, si A ocurrirá o no.

Surge entonces la siguiente pregunta: ¿cómo podemos asociar un número con el evento A

que mida de alguna manera la posibilidad de que A ocurra?

Para ello vamos a estudiar a fondo un modelo de pensamiento que utilizamos

constantemente sin importar nuestra cultura probabilística.

Suponga que se repite n veces el experimento aleatorio E. Sean A y B dos eventos

relacionados con E. Sean nA y nB el número de veces que A y B ocurren respectivamente en

las n repeticiones.

Frecuencia Relativa: para el evento A se define como n

nf A

A = .

Propiedades de la frecuencia relativa:

1. 10 ≤≤ Af

2. 1=Af si y sólo si A ocurre en cada una de las n repeticiones de E.

3. 0=Af si y sólo si A no ocurre nunca en las n repeticiones de E.

4. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes entonces BABA fff +=∪

5. Regularidad estadística: la frecuencia relativa Af tiende a estabilizarse en cierto

valor (que luego bautizaremos como P(A)) a medida que el número de repeticiones

de un experimento aumenta.

Ejemplo: Lanzamiento de una moneda.

Sea E = lanzamiento de una moneda. El espacio muestral es S = C,S y consideremos el

evento A = C.

Observemos esta realización particular del experimento, repetido varias veces:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …nA 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 …fA 0 0 0.3

3

0.2

5

0.2 0.5 0.5

7

0.6

2

0.6

6

0.6 0.5

5

0.5 0.5

4

…

Esta frecuencia relativa aparece graficada a continuación:

Frecuencia relativa en el lanzamiento de una moneda

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Lanzamiento

Frecu

en

cia relativa

Vamos a usar las propiedades de la frecuencia relativa como esquema para las condiciones

que le exigiremos que cumpla a una medida de la posibilidad de que un evento ocurra.

Probabilidad

Consideraremos la probabilidad como el límite de la frecuencia relativa, de forma tal que se

convierte en una función que va del espacio de todos los eventos posibles al conjunto de los

números reales en el intervalo entre 0 y 1 inclusive:

An

fAP→∞

= lim)(

Sea E un experimento aleatorio y S un espacio muestral asociado a éste. Considerado

como el límite anterior, la probabilidad es una función que asigna a cada evento A de S un

número real denotado por P(A) y llamado probabilidad de A, que satisface las siguientes

propiedades:

1. 1)(0 ≤≤ AP

2. P(S ) = 1

3. Si A y B son mutuamente excluyentes entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

4. (teórico) Si cada par de eventos de la secuencia infinita E1,E2,..., Ek,..., es

mutuamente excluyente, entonces ∑∞

=

∞

=

=

11

)(i

iii

APAP

Los anteriores se conocen como Postulados de Probabilidades, si bien, debido a que en la

práctica sólo aparecen los tres primeros, esos son los mas conocidos en la literatura básica.

Hasta ahora hemos postulado la existencia de P(A) y las propiedades que debe cumplir,

pero no hemos indicado una forma de obtener en la práctica una función P que satisfaga las

propiedades. A partir de este momento vamos a establecer suposiciones que conduzcan a un

método válido para evaluar probabilidades.

Vamos a iniciar el trabajo suponiendo que el experimento E tiene sólo un número finito de

elementos, y bajo supuestos adicionales muy simples (y verificables) vamos a construir una

P(A) válida.

Caracterización de P(A) bajo un Espacio Muestral Finito

Suposición: espacio muestral finito, es decir S = a1,a2,..., ak

Definiremos como evento elemental (ó simple, ó resultado elemental) al evento constituido

por un sólo resultado, es decir Ai = ai para i = 1,…,k.

Asignamos un número pi a cada Ai mediante P(Ai) = pi tal que:

1. 0≥ip

2. 11 =++ kpp

Estos números son consistentes, por definición, con los postulados de probabilidades, lo

cual se puede verificar fácilmente.

Así, ,,1 rjj aaA = para kr ≤≤1 entonces

rrr jjjjjjjjj pppAPAPAPAAAPAP +++=+++=∪∪∪= 212121

)()()()()(

Ahora vamos a darle valores a los pi

Suposición: resultados equiprobables o igualmente probables.

Si los k resultados son equiprobables entonces

iiiik kppppppp =+++=+++= 211

Lo cual implica que k

pi

1= para i = 1,…,k.

Así, si consideramos el evento A definido anteriormente, k

rAP =)(

Esta forma de pensar nos lleva a la conocida fórmula de “casos favorables entre casos

totales” para calcular probabilidades. Formalmente se escribe:

Sdepuntosdenúmero

AenSdepuntosdenúmeroAP =)(

Técnicas de Conteo

Definiciones previas:

El número de posibles ordenaciones de x objetos es x! = x(x-1)(x-2)...(2)(1), es decir el

producto de todos los números inferiores a x. Este número se lee x factorial.

Regla m x n:

La regla del producto se aplica a situaciones en las que se busca un número de maneras

distintas que las que se pueden formar pares de objetos, en donde los objetos se seleccionan

de dos grupos distintos.

Este principio se conoce también como regla de multiplicación ó regla m por n.

Permutaciones:

El número de permutaciones de n objetos tomados de k en k es el número de posibles

ordenaciones cuando k objetos han de ser seleccionados de un total de n y dispuestos en

orden. Este número se calcula por la fórmula )!(

!

kn

nPP kn

nk −

== y se lee permutaciones

de n en k. En realidad se trata de una extensión de la regla m x n.

Combinaciones:

El número de combinaciones de n objetos tomados de k en k es el número de subconjuntos

de tamaño k que se pueden formar de un conjunto de n elementos. Este número se calcula

por la fórmula )!(!

!

! knk

n

k

PC kn

kn −== y se lee combinaciones de n en k. Generalmente se

aplica en situaciones en las que el orden no es importante.

Muestreo

Muestra al azar:

Supongamos que tenemos n objetos. Escoger al azar k objetos entre los n objetos originales

( nk ≤≤0 ) significa que cada subconjunto de tamaño k tiene la misma probabilidad de ser

elegida que cualquier otro subconjunto.

Muestreo con reemplazo ( o con reposición):

Consiste en seleccionar un objeto de una colección y devolverlo a la misma después de

anotar su característica de interés.

Muestreo sin reemplazo (o sin reposición):

Consiste en seleccionar un objeto de una colección sin devolverlo a la misma después de

anotar su característica de interés.

En principio, al efectuar un muestreo con reemplazo el espacio muestral no cambia, de

forma que en caso de seleccionar otra muestra posteriormente, las probabilidades originales

no cambian. En cambio en el muestreo sin reemplazo el espacio muestral se modifica, y

con el se modifica también la probabilidad.

Ejercicios

1. Un candado de combinación abre sólo cuando la combinación correcta de los tres

dígitos es seleccionada. Cada dígito puede ser cualquier número entre 0 y 9. Si una

combinación particular de dígitos representa a un punto muestral, ¿cuántas puntos se

están utilizando para definirlo?

2. El presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de una determinada asociación, se

elegirán de entre 10 candidatos. Encuentre el número de maneras distintas en que estos

puestos pueden ocuparse.

3. Un experimento consiste en asignar 10 trabajadores para 10 tareas distintas (un

trabajador por tarea y viceversa). ¿De cuantas maneras se pueden asignar las 10 tareas a

los 10 trabajadores?

4. Si se seleccionó una muestra de 10 enfermeras de un total de 90 de un hospital,

¿cuántas posibles muestras había?

5. Si se seleccionan cinco cartas con reposición (esto es, se selecciona al azar la primera y

se regresa al conjunto de cartas, etc.) de un mazo de 52 cartas, ¿cuántas selecciones

posibles hay?

6. Para el ejercicio anterior suponga que no hay reposición. ¿Cuántas selecciones posibles

hay?

7. En un departamento con 18 empleados, se debe efectuar una reducción de un tercio del

personal. Si todos los empleados tienen igual desempeño, ¿de cuántas formas se pueden

elegir los grupos de despidos?

8. En una habitación 25 personas tienen insignias numeradas del 1 al 25. Se eligen 5

personas al azar y se les pide que dejen la habitación inmediatamente y se anotan los

números de sus insignias.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el número menor de las insignias sea 7?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el número mayor de las insignias sea 7?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que los números de las cinco insignias estén

comprendidas entre 9 y 21?

Teorema de Probabilidad

Sean A y B dos eventos, y Ac el complementario. Siempre se satisfacen las fórmulas

siguientes:

• P(Ac) = 1 – P(A)

• P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B)

• P(A ∪ B) = P(A) + P(Ac ∩ B)

Teorema de la suma de probabilidades

La probabilidad de la unión de dos eventos cualesquiera A y B es

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Probabilidad Condicional

Dados dos eventos A y B, se define la probabilidad condicional de A dado B como

)()(

)|(BP

BAPBAP

∩= , siempre que P(B) > 0

Similarmente se define

)(

)()|(

AP

BAPABP

∩= , siempre que P(A) > 0

Propiedades de la probabilidad condicional

1. 1)|(0 ≤≤ BAP

2. 1)|( =ASP

3. ASAP =)|(

4. )|()|(11

BAPBAPi

iii

∑∞

=

∞

== si 0=∩ ji AA para ji ≠

En general tenemos dos formas de calcular )|( BAP :

a. Directamente, considerando la probabilidad de A respecto al espacio muestral S.

b. Usando la definición, donde )( BAP ∩ y P(B) se calculan respecto al espacio

muestral original S.

Regla del producto de probabilidadeds

También conocido como Teorema de Multiplicación, se puede ver como una consecuencia

de la definición de probabilidad condicional, indica que la probabilidad de la intersección

de dos eventos cualesquiera A y B es:

P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)

La generalización de esta regla para n eventos nos lleva a:

)()|()|()|()|()( 112213211111 APAAPAAAPAAAPAAAPAAP nnnnn ∩∩∩∩∩=∩∩ −−−

Independencia de Eventos

Dados dos eventos A y B se dice que son independientes estadísticamente, o simplemente

independientes, si y sólo si

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

En otras palabras, A y B son independientes si y solo si P(A|B) = P(A) siempre que P(A)

sea diferente de 0 y también si P(B|A) = P(B) siempre que P(B) sea diferente de 0.

En general n eventos nAA ,,1 , se dicen independientes si y sólo si

P( nAA ∩∩1 ) = P( 1A ) P( 2A ) ... P( nA )

En general n eventos nAA ,,1 , se dicen mutuamente independientes si y sólo si para

cualquier valor k = 2, 3, 4, …, n se tiene:

P(kii AA ∩∩

1) = P(

1iA ) P(

2iA ) ... P(

kiA )

Partición

Los eventos nAA ,,1 conforman una partición del espacio muestral S si

1. Ø=∩ ji AA para ji ≠

2. SAi

n

i=

=1

3. 0)( >iAP para todo i

Teorema de Bayes

Teorema de Bayes para dos eventos:

Dados los eventos A y B, entonces se cumple que

)(

)()|()|(

AP

BPBAPABP =

Teorema de Bayes para k eventos:

Dados k eventos E1, E2, ..., Ek, mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, y otro

evento A, entonces se cumple que

)()|()()|(

)()|(

)(

)()|()|(

11 kk

iiiii EPEAPEPEAP

EPEAP

AP

EPEAPAEP

++==

Probabilidades Bivariadas

Supóngase que al realizar un experimento los resultados puedan ser clasificados según dos

reglas de clasificación diferentes. Por ejemplo, un grupo de personas puede ser clasificado

por su edad y por su sexo.

Sea un experimento aleatorio y A1, A2, ..., Ah y B1, B2, ..., Bk dos grupos de eventos donde los

Ai son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, así como los Bj. Estos

grupos de eventos se denominan eventos bivariantes.

Las probabilidades conjuntas son las que se obtienen mediante P(Ai ∩ Bj)

Las probabilidades marginales son la que se obtienen mediante P(Ai) ó P(Bj)

Los aspectos importantes de esta forma de clasificar los datos está en que facilita el

planteamiento de los problemas donde hay dos formas de clasificar los resultados.

Las tablas de frecuencia que se arman previo al cálculo de probabilidades se conocen como

tablas de contingencia. Cuando las frecuencias son sustituidas por probabilidades se habla

de las probabilidades bivariadas o bivariantes.

Si a las reglas de clasificación las llamamos atributos A y B respectivamente como

representantes de cada uno de sus grupos de eventos mutuamente excluyentes y

colectivamente exhaustivos, decimos que dichos atributos son independientes si todo

evento Ai es independiente de todo evento Bj.

Ejercicios:

1. Un estudio sobre los estudiantes de la Universidad “ X ” reveló que el 20% fuma. La

probabilidad de enfermedad pulmonar, si una persona fuma es diez veces mayor que la

probabilidad de que se enferme del pulmón si no lo hace. Si la probabilidad de

enfermedad pulmonar es de 0.014 en nuestro país, ¿cuál es la probabilidad de que un

estudiante de la Universidad “ X “ sufra enfermedades pulmonares si fuma?

2. Supongamos que lanzamos dos dados. Se definen los eventos de la manera siguiente:

A = el primer dado muestra un número par

B = el segundo dado muestra un número impar

C = ambos dados muestran números pares ó números impares

Halle la probabilidad de cada evento, de cada par de eventos y de la intersección de

todos los eventos. ¿Los eventos son mutuamente independientes?

3. Cada vez que se realiza un experimento, la ocurrencia de un evento particular A es igual

a 0.2. El experimento se repite, independientemente, hasta que A ocurre. Calcular la

probabilidad de que sea necesario ejecutar un cuarto experimento.

4. Un conjunto electrónico consta de dos subsistemas, digamos A y B. A partir de una

serie de pruebas previas, se presuponen las siguientes probabilidades:

P(A falle) = 0.20

P(sólo B falle) = 0.15

P(A y B fallen) = 0.15

Calcular las probabilidades siguientes:

a. P(A falle | B haya fallado)

b. P(A falle solamente)

5. En la fabricación de cierto artículo se presenta un tipo de defectos con una probabilidad

de 0.1 y defectos de un segundo tipo con probabilidad de 0.05. Suponiendo

independencia entre los tipos de defectos, calcule la probabilidad de:

a. Un artículo no tenga ambas clases de defectos.

b. Un artículo sea defectuosos.

c. Suponiendo que un artículo sea defectuoso, tenga sólo un tipo de defecto

6. Tres componentes de un mecanismo, digamos C1, C2 y C3 están colocados en serie (en

una línea recta). Supóngase que estos mecanismos están agrupados en orden aleatorio.

Sea R el evento C2 está a la derecha de C1, y S el evento C3 está a la derecha de

C1. ¿Los eventos R y S son independientes?

Ejercicios

1. Suponga que se tira un dado no cargado una sola vez. A) ¿Cuál es la probabilidad

de obtener un par?. B) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4?.

Sol: (a) 3/6, (b) 2/6.

2. Se lanza una vez un par de dados no cargados, a) ¿cuál es la probabilidad de que la

suma de los dos números sea 2 (b) ¿ sea 7?,(C) ¿sea 11?.

Sol: (a) 1/36, (b) 6/36, (c) 2/36.

En determinado grupo hay 20 estudiantes, 7 son chicas rubias de ojos azules, 4 tienen

cabello castaño y ojos azules, 5 son muchachos rubios de ojos azules y los 4 restantes son

muchachos de cabello castaño y ojos cafés. Si se selecciona un estudiante al azar: a) ¿cuál

es la probabilidad de que el estudiante elegido sea una chica (b) que tenga ojos azules?, (c)

que tenga cabello castaño?, (d) que sea rubia y tenga ojos cafés?. Se supone que los 20

estudiantes están numerados en algún orden específico.

Sol: (a) 11/20, (b) 16/20, (c) 8/20, (d) 0.

3. Una caja contiene 7 fichas rojas y 3 blancas; si se sacan tres fichas de la caja una

después de la otra sin reemplazo, encontrar la probabilidad de que la dos primeras sean

rojas y la otra blanca.

Sol: 7/40.

4. Tres cartas son sacadas en forma aleatoria sin reemplazo de un juego de cartas

ordinarias. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las cartas sean reyes?.

Sol: 4/22.100.

5. ¿Cuántas manos diferentes de 5 naipes pueden darse con un juego de barajas

ordinarias?.

Sol: 2.598.960.

6. Si de una caja se sacan al azar 4 bolas rojas y 2 blancas y se colocan en una hilera;

(a) ¿cuál es la probabilidad de que la de los extremos sean blancas?. (B) ¿de qué no

sean blancas?. (C) ¿de qué las dos blancas estén juntas?.

Sol: (a) 1/15, (b) 14/15, (c) 240/720.

7. Una ensambladora de partes eléctricas usa motores de dos orígenes; de una

compañía “A”, que le suministra el 90% de los motores y de una compañía “B”, que le

suministra el otro 10% de los motores. Supóngase que es conocido que, el 5% de los

motores suministrados por la compañía “A” son detectados como defectuosos y 7% de

los suministrados por la compañía “B” son defectuosos. La ensambladora de partes

eléctricas encontró un motor defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que este motor sea

suministrado por la compañía “B?”.

Sol: 0,134653.

8. Nos entregan tres cajas que contienen lo siguiente:

Caja “A” contiene 3 bolas rojas y 5 blancas

Caja “B” “ 2 bolas rojas y 1 blanca

Caja “C” “ 2 bolas rojas y 3 blancas.

Una caja es seleccionada aleatoriamente y se extrae una bola que resulta ser roja. ¿Cuál

es la probabilidad de que provenga de la caja “A?”.

Sol: 45/173.

9. ¿De cuántas maneras pueden ser colocados 10 automóviles en u stock, si 3 de ellos

son Fiat, 4 son Ford, 2 Toyota y 1 BMW?.

Sol: 12.600

10. ¿De cuántas maneras pueden ser seleccionadas 4 personas provenientes de 5 parejas

de casados, si la selección consiste de 2 damas y 2 caballeros?.

Sol: 100.

11. Se lanza un par de dados no cargados una vez, y se establece que los dos números

que aparecen no son los mismos. (A) Calcular la probabilidad de que la suma sea 7. (B)

Calcular la probabilidad de que la suma sea 4. (C) Que la suma sea 12.

Sol: (a) 1/5 (b) 1/15 (c) 0.

12. Con base a su experiencia un médico ha recabado la siguiente información relativa a

las enfermedades de sus pacientes: 5% creen tener un virus infeccioso y lo tienen, 45%

creen tener el virus y no lo tienen, 10% creen no tener el virus pero sí lo tienen y

finalmente 40% creen no tenerlo, lo cual es cierto. Hallar: (a) la probabilidad de que un

paciente si cree tenerlo, (b) la probabilidad de que tenga virus si no cree tenerlo, (c) la

probabilidad de que crea tener virus y no lo tenga y (d) la probabilidad de que crea tener

el virus y sí lo tiene.

Sol: (a) 0,10 (b) 0,20 (c) 0,53 (d) 0,33

13. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar solamente un 6 en el lanzamiento de un dado

tres veces?.

Sol: 75/216.

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

Muchas veces se desea resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio.

En muchos de los ejemplos relativos a experimentos aleatorios que han sido considerados

hasta ahora, el espacio muestral es sólo una descripción de los posibles resultados. En

algunos casos tales descripciones son suficientes, pero en otros se hace útil asociar un

número con cada resultado del espacio muestral. Es así como se llega a la definición de

variable aleatoria.

Una variable aleatoria X es una función que asigna un número real a cada resultado en el

espacio muestral S de un experimento aleatorio. El conjunto de los posibles valores de la

variable aleatoria X se denomina rango. Diremos que la variable aleatoria es discreta si su

rango es finito (o infinito contable).

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria es discreta cuando puede tomar un número finito o infinito contable

de valores, es decir que pueden ordenarse en secuencia.

Ejemplos de variables aleatorias discretas:

Número de hermanos de una persona seleccionada al azar

Número de accidentes que ocurren en una autopista en un tiempo determinado

Número de veces que se lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara, etc.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria es continua cuando toma cualquier valor dentro de un intervalo de

número reales.

Ejemplos de variables aleatorias continuas: edad, estatura, peso, temperatura, ingreso, etc.

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Diremos que la función p(x)=P(X=x) que va del conjunto de valores posibles de la variable

aleatoria X al intervalo [0, 1] es la función distribución de probabilidad para X si y sólo

si se satisfacen las siguientes propiedades:

0 ≤ p(x) ≤ 1 , para todo x

( )∑ =x

1xp

Se define la distribución acumulada F(x) para la variable aleatoria X como

F(x) = P(X ≤ x) = ( )∑

≤xttp

Ejemplo 1

Experimento aleatorio: se lanza una moneda 3 veces

S = ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss

Sea X : Número de caras observadas

x 0 1 2 3p(x)

81

83

83

81

La distribución anterior es una distribución de probabilidades para la variable aleatoria X,

en efecto 0 ≤ p(x) ≤ 1 para todo x (x = 0, 1, 2 y 3) y además ( )∑ =x

1xp . Para

determinar la distribución acumulada de probabilidad observe que

P(X ≤ 0) = P(X = 0) = 81

P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 81 + 8

3 = 21

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 81 + 8

3 + 83 = 8

7

P(X≤ 3) = P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) = 81 + 8

3 + 83 + 8

1 = 1

Se tiene entonces,

x 0 1 2 3F(x)

81

21

87 1

Si X es una variable aleatoria, y el experimento aleatorio que determina el valor de X se

repite muchas veces, entonces se obtiene una secuencia de valores para X. A partir de esta

secuencia de valores se puede identificar el valor promedio o valor esperado de la variable

aleatoria X, que denotamos ( )XE , y se define en la forma siguiente:

( )XE = ( )∑x

xxp

Propiedades:a) E(k)=kb) E(kX)=kE(X)c) E(X± Y)=E(X)± E(Y)d) E(g(X))=∑g(x)p(x)

Para el ejemplo dado, ( )XE = ( )∑x

xxp = ( ) ( ) ( ) ( )33221100 pppp +++

= 23

812

81

.383

.283

.181

.0 ==+++

A veces, el interés es determinar la variabilidad de la variable aleatoria. Definimos entonces la varianza de la variable aleatoria X, denotada ( )XV ,ó σ2 mediante la siguiente ecuación:V(X)=E[(X-E(X))2] y su forma reducida es:

( )XV = ( ) ( )[ ]2EE XX2 −

donde, ( )2XE = ( )∑x

2 xx p

Para el ejemplo dado, ( )2XE = ( ) ( ) ( ) ( )33221100 2222 pppp +++

= 3824

81

.983

.483

.181

.0 ==+++

Entonces, ( )XV = 43

4

912

23

32

=−

=

−

Propiedades de la Varianza:a) V(k)=0b) V(kX)=k2V(X)c) V(X± Y)=V(X)+V(Y) si X y Y son independientesd)

La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir, σ = ( )XV .

Modelos discretos de probabilidad:

Distribución Binomial

Un ensayo Bernoulli, es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados,

denotados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito se denota p y la probabilidad de

fracaso por q.

Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene:

P (1) = p P (0) = 1-p = q

Además se cumple: E (X) = p V(X) = pq

Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones:

El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones

Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso

La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)

las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí.

Consideremos ahora la variable aleatoria X: Número de éxitos observados en n

repeticiones. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de observar x éxitos en n

repeticiones; esto es, se desea determinar P(X = x). Como lo importante es observar x

éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para

contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las

combinaciones

x

n. Por otro lado, como las n repeticiones del experimento son

independientes entre sí y calcular P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una

intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso),

tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es xnxqp − ; en definitiva:

P(X = x) = nxqpx

n xnx ,...,2,1,0para =

−

Dado que 10 ≤

≤ − xnxqp

x

n y 1qp

x

n xnx =

−

=∑n

0x, resulta que

una variable aleatoria X se distribuye Binomial con parámetros n y p si su funcion de

probabilidad es:

P(X = x) = nxqpx

n xnx ,...,2,1,0para =

−

En resumen X ˜ B ( n , p ) “se lee la variable aleatoria X se distribuye Binomial

con parámetro n y p”.

O, la variable aleatoria X tiene distribución binomial si su función distribución de

probabilidad está dada por

( )xp =

=

−

valoresotros

xsixnx

0

nqpx

n,...,1,0

Se puede demostrar que para una variable aleatoria con distribución binomial

( )XE = µ = n.p ( Valor esperado de X o esperanza matemática de X )

( )XV = n.p.q ( Varianza de X )

Ejemplo 1

Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B (50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).

Ejemplo 2

La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcular la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes:a) Ninguno sufra la enfermedadb) Todos sufran la enfermedadc) Dos de ellos contraigan la enfermedad

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

Ejemplo 3

La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar :a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000b) La varianza y la desviación típica.

Solución :

Distribución Normal

Sea una variable aleatoria X que toma todos los valores reales, y que posee una esperanza o

media μ y una desviación estándar σ . Esa variable tiene una Distribución Normal o

Gaussiana si su función de densidad de probabilidad es de la forma:

( ) ∞<<∞−

−⋅−⋅= x,σ

μx

2

1exp

2πσ

1f(x)

2

2

Los parámetros μ y σ deben satisfacer las condiciones ∞<<∞− μ y 0σ > . Puesto

que tendremos diversas ocasiones para referirnos a la distribución anterior; utilizaremos la

siguiente notación: X tiene la distribución N ( )2σμ, sí y sólo si su función de densidad está

dada por la expresión anterior.

El gráfico de f se denomina Curva Normal, la cual es simétrica respecto a un eje vertical

que pasa por el punto x = μ , donde f toma su valor máximo. La forma de la curva es

acampanada, positiva a lo largo del Eje X, creciente en ( )μ ,∞− y decreciente en ( )∞ μ, .

La curva no corta al Eje X, sino que es asintótica en ambos extremos.

La posición o localización de la curva varía con el valor de μ , y su forma cambia con el

valor de σ . Mientras más pequeña sea la desviación estándar (o dispersión con respecto a

la media), más alta y esbelta es la curva; mientras más pequeña sea la varianza más

achatada será la curva.

La denominación que tiene esta distribución viene del hecho de que al principio se

consideraba que todos los fenómenos en su estado normal debían seguirla. Actualmente,

esta se considera tan corriente como cualquier otro tipo de distribución.

Áreas bajo la Curva Normal

La mayor parte del área de la curva normal se concentra alrededor de μ . El gráfico

siguiente muestra que hay aproximadamente 68,26% del área dentro del intervalo

[ ]μσμ,σ ++− , 95,45% del área dentro del intervalo [ ]μσ2μ,σ2 +⋅+⋅− , y 99,73% del

área dentro del intervalo [ ]μ3σμ,3σ ++− . No se puede calcular más allá del último

intervalo ya que casi el 100% de los datos o valores está contenido allí. El área total bajo la

curva normal y sobre el Eje X es la probabilidad total, la cual es igual a 1 o 100%. Estas

consideraciones numéricas se conocen bajo el nombre de la Regla Empírica, la cual es

mucho más precisa que la Regla de Tchebyshev .

Fig. 1

Entre la media y una desviación estándar por encima de la media, se encuentra el 34,13%

de todos los casos. Análogamente, el 34,13% de todos los casos se encuentran entre la

media y una desviación estándar por debajo de la media. Dicho de otra manera, 34,13% del

área bajo la curva se encuentra entre la media y una desviación estándar por encima de la

media, y 34,13% del área está comprendida entre la media y menos una desviación

estándar.

Entre la media y dos desviaciones estándar por encima de la media, se encuentra el 47,72%

de los casos. Análogamente, por debajo de la media y menos dos desviaciones estándar se

encuentran el 47,72% de los datos.

Finalmente, entre la media y tres desviaciones estándar por encima de la media se

encuentra el 49,87% de los casos. Análogamente, el 49,87% de los casos se encuentra

entre la media y menos tres desviaciones estándar.

Distribución Normal Estándar y Estandarización de una Normal no estándar

Para diferentes valores de μ y σ los respectivos gráficos son todos similares entre sí más

allá de sus particularidades propias. Las respectivas distribuciones normales se pueden

reducir todas a una especial denominada Distribución Normal Estándar.

La función de densidad de esta distribución asociada a cierta variable Z está dada por:

( ) ∞<<∞−

−⋅= Z

2

Zexp

2π

1Zf

2

,

Vemos que para esta distribución la esperanza es μ = 0 y la varianza es σ = 1, por lo que

la variable Z tiene la distribución N(0,1).

Una porción de las probabilidades que representan áreas de diferentes tamaños bajo la

curva normal estándar se presentan en la siguiente tabla, donde aparecen los valores de Z a

intervalos de 0,25 unidades de longitud, desde Z = 0 hasta z = 4.

Función de Distribución

de una Curva Normal Estándar

Z F(Z)0,00 0,000000,25 0,098710,50 0,191460.75 0,273371,00 0,341341,25 0,394351,50 0,433191,75 0,45994

2,00 0,477252,25 0,487782,50 0,493792,75 0,497023,00 0,498653,25 0,499423,50 0,499773,75 0,499914,00 0,49997

Aquí F es la función de distribución de f, y F(Z) es la probabilidad de que el resultado del

experimento aleatorio sea mayor que cero (en este caso es la media μ = 0) y menor que Z.

Para cualquier otra distribución N ( )2σμ, de una variable X, con ≠μ 0, ≠σ 1 y función

de densidad Xf , esta se puede estandarizar si aplicamos el cambio de variable Z =

σ

μX −, y por tanto:

( ) ( ) ( )zfσ

1

2

Zexp

2π

1

σ

1

σ

μX

2

1exp

2πσ

1Xf

2

2

2

X ⋅=

−⋅⋅=

−⋅−⋅=

Para cada valor x que asume X se calcula el respectivo valor Z que asume Z usando la

esperanza y la desviación estándar de X, se revisa la tabla de la curva normal estándar, y así

se ubica el valor del área del gráfico de Xf que sea anterior a x.

Ahora, al transformar los datos X de una variable normalmente distribuida en datos

estandarizados Z, en realidad expresamos estos datos en unidades de la curva normal

estándar. La importancia de esta transformación radica en que podemos expresar cualquier

dato que provenga de una distribución normal como un valor porcentual. Además, puesto

que los datos estandarizados z representan números abstractos (adimensionales) en

oposición a las unidades concretas de los datos, podemos comparar la posición de un dato

en una variable con su posición en una segunda variable.

Puesto que cualquier forma de curva normal puede ser convertida en la forma de la curva

normal estándar, esta es la única que se requiere para encontrar la probabilidad de una

cierta área bajo la primera curva.

La Distribución Normal como aproximación de una distribución discreta o continua

Generalmente, el gráfico poligonal de una distribución discreta de probabilidad tiende a ser

parecido al de una curva normal. A cada distribución discreta de cualquier variable X con

parámetros conocidos μ y σ , se le puede asociar una distribución normal N ( )2σμ, , y la

función de probabilidad f definida con dichos parámetros se asemeja bastante a la línea

poligonal en cuestión.

Habiéndose mostrado la manera como toda distribución normal se puede representar por

medio de la distribución estándar N(0,1), se puede definir la forma como toda distribución

discreta se asocia con aquella.

En ese sentido, cada valor Pj de la función de probabilidad P de la variable discreta X puede

ser relativamente aproximado en cada valor Xj mediante la siguiente fórmula:

Yj = n,,j),f(Zσ

nj 1=⋅

Al graficar la distribución (X1, Y1), (X2, Y2),…, (Xn, Yn) uniendo esos pares con trazos

curvos y no lineales, se obtiene un gráfico muy cercano al de la función de probabilidad de

la distribución N ( )2σμ, .

Con el fin de entender mejor la fórmula y facilitar posteriores cálculos, para cada j = 1,…,

n tenemos que:

n Número de datos de la poblaciónμXd jj −= Distancia entre el dato y la media

jY Altura del punto Xj en la curva normal

Zj = σd j Normalización de la distancia dj

f(zj) Función de probabilidad de Zj

Básicamente, la curva normal se construye de acuerdo con las alturas Y. Para X = μ se

alcanza la altura máxima en esa curva ya construida, y la cual es Y0 =

( )2π

1

σ

n0f

σ

n

σ

μμf

σ

n ⋅=⋅=

−⋅ . Así como a ambos lados de z = 0 se ubica el 50% del

área total de la curva f de la distribución N(0,1), también a ambos lados de Y0 se ubica el

50% del área total de la curva normal de la distribución N ( )2σμ, .

Ejemplo 1:

Supongamos que X indica el monto de ingresos de 10.000 trabajadores de PDVSA, cuyo

promedio mensual de ingreso es $500 y la desviación estándar es $100. Vamos a construir

una curva normal.

Aquí n = 10.000, μ = 500, σ = 100 y 100000.10=σn = 100.

Consideremos el intervalo [ ]μ3σμ, + = [500, 800], y nos moveremos en este con pasos de

tamaño 50. Así obtenemos un conjunto de puntos Xj, j = 1,…, 7, el cual es 500, 550, 600,

650, 700, 750, 800 ⊆ [500, 800]

Usando los valores de la función de distribución de la curva normal, y aplicando la fórmula

para hallar los valores de las ordenadas de la curva normal, obtenemos la siguiente tabla.

X d = X – μ Z = σd f(Z) f(Z)σ

nY ⋅=

500 0 0.0 0,39894 39,894550 50 0.5 0,35207 35,207600 100 1.0 0,24197 24,197650 150 1.5 0,12952 12,952700 200 2.0 0,05399 5,399750 250 2.5 0,01753 1,753800 300 3.0 0,00443 0,443

Puesto que la curva normal es simétrica, la altura de la ordenada hacia el lado izquierdo de

la media μ debe ser la misma que la del lado derecho de ese valor. Definimos RXj como

aquel punto que está a la misma distancia de la media pero en dirección opuesta a Xj. Por

ejemplo, para X2 = 550 y RX2 = 450, tenemos –d2 = RX2 – μ = 450 – 500 = –50, –Z2 =

100

50− = –0,5 y f(–Z2) = f(–0,5) = f(0,5) = 0,35207, por lo que RY2 = 32,207 = Y2. Así, los

valores de las ordenadas para RX2 = 450 y X2 = 550, son los mismos puesto que ambos

datos se encuentran a la misma distancia de la media.

Ahora procedemos a dibujar la curva normal correspondiente.

Fig. 2

Como puede observarse, esta curva tiene forma acampanada además de ser simétrica

respecto a la media μ , es decir, es como si el segmento punteado fuese un espejo.

Ejercicio: construyamos una curva normal igual que en el ejemplo anterior pero tomando

la media en $600.

Ejemplo 2:

Supongamos que el ingreso mensual promedio de 10.000 trabajadores de PDVSA es $500

y la desviación estándar es $100. Si la distribución es normal, encontraremos el número de

trabajadores que tiene un ingreso mensual

a) Inferior a $500.

b) Superior a $500 pero inferior a $600.

c) Superior a $600.

Antes de usar la tabla de áreas de la curva normal, el valor de X debe ser transformado

en Z = σ

μX −. En este ejemplo, μ = 500 y σ = 100. Por otro lado, tengamos en cuenta

que el 100% del área de la distribución N(500, 100) está asociada al ingreso de 10.000

trabajadores, por lo que un área menor representa menos trabajadores.

a) El área requerida es la inferior a X = 500, la cual es equivalente al punto

z =100

500500 − = 0.

Debido a que la máxima ordenada Y0 está localizada en el punto X = μ donde Z = 0, la

región ubicada a la izquierda de Y0 tiene un área que representa el 0,5 o 50% del total del

área de la distribución. Por lo tanto, el número aproximado de trabajadores que tiene un

ingreso mensual inferior a $500 es 10.000⋅ (0,5) = 5.000.

b) Cuando X = 500 entonces Z = 0, y para X = 600 se tiene que Z = 1.

El área o probabilidad entre Z = 0 y Z = 1 es F(1) = 0,34134 o 34,134%. Por lo tanto, el

número aproximado de trabajadores que tienen un ingreso mensual superior a $500 pero

inferior a $600 es n⋅ F(1) = 10.000⋅ (0,34134) = 3.413,4 ≈ 3.414. Gráficamente, el área

está representada por la región sombreada.

Fig. 3

c) Para X = 600 tenemos Z = 1. La zona de interés es un intervalo donde z > 1,

y esa área está representada por la región sombreada en el siguiente gráfico.

Fig. 4

Para calcular esa área procedemos de la siguiente manera: el área por encima de Z = 0 es

0,5 o 50%, y el área por debajo de Z = 1 es F(1) = 0,34134 o 34,134 %. Luego, el área

sombreada se obtiene de la diferencia 0,5 – 0,34134 = 0,15866 o 15.866%. Así, el número

aproximado de trabajadores que perciben un sueldo por encima de $600 es

10.000⋅ (0,15866) =1.586,6 ≈ 1.587.

Ejemplo 3:

Siguiendo con el ejemplo anterior, si μ = $400 y σ = $100, hallaremos la probabilidad

(área) de que los 10.000 trabajadores ganen entre $250 y $500. Dicha probabilidad es la

suma del área entre $250 y μ = $400 más el área entre μ = $400 y $500.

El área entre 250 y 400 se calcula como sigue:

Cuando X = 250 entonces Z = 100

400250 − = –1,5, y para X = 400 queda Z =

100

400400 − =

0. Luego, el área entre Z = –1,5 y z = 0 es la misma que el área entre Z = 0 y Z = –1,5

debido a que la curva normal es perfectamente simétrica, y usando la tabla se tiene que

parte del área buscada es A1 = F(–1,5) = F(1,5) = 0,43319.

El área entre 400 y 500 se calcula como sigue:

Cuando X = 400 entonces Z = 100

400400 − = 0, y para X = 500 queda z =

100

400500 − = 1,0.

Por la tabla, parte del área buscada es A2 = F(1,0) = 0,34134.

En consecuencia, el área total buscada entre 250 y 500 es A1 + A2 = 0,43319 + 0,34134 =

0,77453 o 77,453%. Esto quiere decir que hay un 77,453% de que los 10.000 trabajadores

de PDVSA ganen entre $250 y $500.

Fig. 5

Ejercicios :

1) Hallar el área bajo la curva normal tipificada:

a) Entre Z = 0 y Z = 1,2 Sol: 0,3849

b) Entre Z = -0,68 y Z = 0 Sol: 0,2517

c) Entre Z = -0,46 y Z = 2,21 Sol: 0,6636

d) Entre Z = 0,81 y Z = 1,94 Sol: 0,1828

e) A la derecha de Z = -1,28 Sol: 0,8997

2) Si "área" se refiere al área bajo la curva normal tipificada, hallar el valor o los valores de

Z

tales que:

a) El área entre 0 y Z sea 0,3770 Sol: Z = ±1,16

b) El área a la izquierda de Z sea 0,8621 Sol: Z = 1,09

c) El área entre -1,5 y Z sea 0,0217 Sol: Z = -1,695 y Z = -1,35

3) El peso medio de 500 estudiantes varones de una universidad es de 68,5 Kg. y la

desviación

típica es de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el

número de estudiantes que pesan:

a) Entre 48 y 71 kg. Sol: entre 289 y 290 estudiantes.

b) Más de 91 kg. Sol: entre 6 o 7 estudiantes.

4) La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una

máquina es 1,275 cm. y la desviación típica de 0,0125 cm. El propósito para el cual se han

diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm. a 1,29

cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de

lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están

distribuidos normalmente.

Sol: 23,02%

5) Si X está distribuida normalmente con media 5 y desviación típica 2, hallar P (X > 8).

Sol: 0,0668

6) Se tiene un programador de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las

habilidades de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es auto

administrativo, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un

estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el

programa es de 500 h. y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una

desviación estándar de 100 h.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 h.

para

completar el programa?. Sol: 0,5

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 h. y 650

h. para completar el programa de entrenamiento?. Sol: 0,4332

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome más de 700 h. en

completar el programa?. Sol: 0,0228

d) Suponga que el director del programa de entrenamiento desea saber la probabilidad de

que un participante escogido al azar requiera entre 550 y 650 h. para completar el trabajo

requerido en el programa. ¿Cuánto ha de ser ese valor? Sol: 0,2417

e) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tomará menos de 580 h.

para completar el programa? Sol; 0,7881

Teoría de la Estimación Estadística

La inferencia estadística es el proceso de usar resultados muestrales para obtener

conclusiones respecto a las características de una población. En esta sección estudiaremos

los procedimientos estadísticos que permitan estimar dos parámetros de una población: la

media y la proporción.

Razón para estimar

Los administradores utilizan las estimaciones porque se deben tomar decisiones racionales,

sin que tengan la información pertinente completa y con una gran incertidumbre acerca de

lo que pueda deparar el futuro, pero con la intención de que las estimaciones constituyan

una buena aproximación de los parámetros desconocidos de la población.

Estimador

Es la regla o procedimiento, expresado en general por medio de una fórmula, que se utiliza

para deducir la estimación.

Estimación

Es un valor específico observado de un estimador, por lo que asigna uno o varios valores

numéricos a un parámetro de una población sobre la base de datos de muestra.

Tipos de estimación

a) Estimación puntual: consiste en un solo estadístico muestral que se usa para estimar el

valor verdadero de un parámetro de una población que es desconocido.

Por ejemplo, la media muestral es una estimador puntual de la media poblacional µ y

la proporción muestral es un estimador puntual de la verdadera proporción poblacional p

.

Cuando usamos una estimación puntual, sabemos que aunque usemos un método bueno de

estimación es prácticamente improbable que el valor de la estimación coincida con el

verdadero valor del parámetro, así que sería conveniente acompañar nuestra estimación con

alguna medida que nos permitiera expresar la cercanía del estimador al parámetro. Una

solución a ello no los brindan los estimadores por Intervalos de Confianza.

b) Estimación por intervalo: es la estimación de un parámetro de la población dado por dos

números que forman un intervalo que contiene al parámetro con una cierta probabilidad.

Conceptos básicos.

Nivel de Confianza

Está asociado con la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga al parámetro de

la población y es expresado en porcentaje. Los niveles de confianza que más se utilizan son

90%, 95% y 99%.

Interpretación de los intervalos de confianza

Un intervalo de confianza se puede interpretar de dos maneras diferentes.

Ejemplo: una directora de tiendas cree que el gasto medio de sus clientes en el último año

se encuentra en el intervalo de 35 a 38 dólares y concede una confianza del 95% a ese

intervalo.

Intervalos de confianza para la media poblacional y la proporción (muestras grandes)

Con el objeto de mostrar cómo se construyen los intervalos de confianza, realizaremos la

deducción de uno de ellos. Para el resto de los intervalos el procedimiento es similar así que

se darán sólo las expresiones para el cálculo de los mismos.

Para la construcción de los Intervalos es necesario tener en cuenta la distribución muestral

de los estimadores de interés, así que diferenciaremos los casos de manera análoga a como

lo hicimos para estudiar las distribuciones en el muestreo.

I ) Intervalos de Confianza para la Media de una población con varianza conocida.

_ _________ ___________

Ejemplo.1

Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una

muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro.

Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc

en el río. Suponga que los datos siguen una distribución normal con una desviación

estándar de 0.3.

Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación

mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel

de confianza del 95%

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Una empresa eléctrica fabrica 3000 focos con una duración aproximadamente distribuida

de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 300 focos

tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96%

para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa.

Solución:

En este caso la varianza de la población es conocida, la población es finita, así que:

Ejemplo 4

Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los capibaras cazados en el estado Apure.

Un estudio anterior de diez capibaras cazados mostró que la desviación estándar de sus

pesos es de 12.2 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el

95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 libras?

En consecuencia, si el tamaño de la muestra es 36, se puede tener un 95% de confianza en

que m difiere en menos de 4 libras de .

Ejemplo 5

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal

con una desviación estándar de 40 horas. ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se

desea tener 95% de confianza que la media real esté dentro de 10 horas de la media real?

Ejemplo 3.6

1.Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su municipio para conocer qué

proporción del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos estatales para

pagar abortos, ella supone que el 50% del electorado conoce su opinión.¿Qué tamaño de

muestra se necesita si se requiere una confianza del 95% y un error máximo de estimación

de 0.10?

Solución:

La proporción de residentes que conoce la opinión de la legisladora es de 0.5, así

que:

Se requiere un tamaño de muestra de 97 residentes para que con una confianza del 95% la

estimación tenga un error máximo de 0.10.

Control de la anchura del intervalo

Es evidente que si se estrecha el intervalo, se suministrará al investigador una estimación

más exacta del valor del parámetro. Hay dos métodos corrientes para estrechar un intervalo,

pero para ambos se debe hacer un sacrificio adicional. Estos procedimientos

son:

a) Ajuste del nivel de confianza: por la propia naturaleza de los intervalos de confianza, si

se acepta un nivel de confianza más bajo, se podría generar un intervalo más preciso,

menos amplio, pero eso aumenta la probabilidad de error.

b) Ajuste del tamaño de la muestra: el aumentar el tamaño de la muestra disminuye el error

esperado y es más probable que se dé una estimación más ajustada del valor verdadero del

parámetro, con ello se puede conservar un nivel de confianza determinado y al mismo

tiempo disminuir la anchura del intervalo; pero el sacrificio es un aumento ya sea de

tiempo, del gasto, etc.; que se exige para recoger los datos para una muestra mayor.

Contraste de Hipótesis1

La prueba de hipótesis y la estimación son dos de las ramas principales de la inferencia estadística2

El objetivo de la estimación es obtener una aproximación al valor de cierto parámetro de la

población y la finalidad de la prueba de hipótesis es decidir si una afirmación acerca de

una característica de la población es verdadera.

1 Otros nombres de contraste de hipótesis utilizados en la bibliografía estadística son: Prueba de hipótesis,

docimasia de hipótesis, test de hipótesis, prueba de significación. 2 Estos Apuntes están basados principalmente en: Newbold, Paul. Estadística para los Negocios y la Economía. Y en Stevenson,. W. Estadística para Administración y Economía.

Ejemplo 1:

Es posible desear determinar si afirmaciones como las siguientes son ciertas: 3

1. Un fabricante que produce cereales de desayuno afirma que, en promedio, el contenido

de cada caja pesa al menos 200 gramos. Para verificar esta afirmación, se pesa el contenido

de una muestra aleatoria y se infiere el resultado a partir de la información muestral.

2. Una compañía recibe un gran cargamento de piezas. Sólo puede aceptar el envío si no

hay más de un 5% de piezas defectuosas. La decisión de aceptar la remesa puede basarse en

el examen de una muestra aleatoria de piezas.

3. Un profesor está interesado en valorar la utilidad de realizar regularmente pruebas cortas

en un curso de estadística. La asignatura consta de dos partes y el profesor realiza esta

prueba sólo en una de ellas. Cuando acaba el curso, compara los conocimientos de los

estudiantes en las dos partes de la materia mediante un examen final y analiza su hipótesis

de que las pruebas cortas aumentan el nivel medio de conocimientos.

Los ejemplos propuestos tienen algo en común. La hipótesis se formula sobre la población,

y las conclusiones sobre la validez de esta hipótesis se basan en la información muestral.

Hipótesis Estadística

Es cualquier enunciado, teoría, conjetura, tentativa, afirmación que se haga sobre una o más

características poblacionales como un parámetro, la distribución de probabilidad de una

población, etc.

____________________

3 Newbold, Paul. Estadística para los Negocios y la Economía. Pág. 281.

Nunca se sabe con absoluta certeza la verdad o falsedad de una hipótesis estadística, a no

ser que se examine toda la población. Esto, por supuesto, sería impráctico en la mayoría de

las situaciones. En su lugar, se toma una muestra aleatoria de la población de interés y se

utilizan los datos que contiene tal muestra para proporcionar evidencias que confirmen o no

la hipótesis.

La evidencia de la muestra que es inconsistente con la hipótesis planteada conduce a un

rechazo de la misma, mientras que la evidencia que apoya la hipótesis conduce a su

aceptación. De ahí que el aspecto principal de la prueba de hipótesis sea determinar si la

diferencia entre un valor propuesto de un parámetro poblacional y el valor estadístico de

la muestra se debe razonablemente a la variabilidad del muestreo. O si la discrepancia es

demasiado grande para ser considerada de esa manera, lo cual en el argot estadístico es

conocido como que la diferencia es significativa.

Considérese la siguiente situación:

Se inspecciona una muestra de 150 productos de un enorme lote y se observa que el 7% de

ellos está defectuoso. El proveedor de dichos productos garantizó que un porcentaje igual al

5% de cualquier cargamento tendría defectos. La pregunta que se habrá de contestar

mediante la prueba de hipótesis es si la información proporcionada por el proveedor es

verdadera.

Si la proposición realmente es cierta, ¿Cuál sería la causa del hecho de que una muestra

señalara un 7% de partes defectuosas? Una posibilidad es que la causa sea la variabilidad

del muestreo. Si la decisión después de efectuar el análisis es aceptar la afirmación del

proveedor, significa que la discrepancia entre el porcentaje de productos defectuosos

observado en la muestra y el porcentaje de elementos defectuosos propuesto se debe

razonablemente a la variabilidad del muestreo (al azar). Por el contrario, la decisión de

rechazar la afirmación del proveedor, significa que la diferencia entre el valor observado y

el propuesto es demasiado grande como para deberse únicamente al azar.

Hipótesis Nula (H0)

Es la hipótesis que se considera cierta a no ser que se produzca suficiente evidencia en

contra, lo cual puede entenderse como mantener la hipótesis. Es la hipótesis que se plantea

para juzgar si puede ser o no rechazada. En general, se enuncia como hipótesis nula lo que

se viene aceptando, creyendo o asumiendo como lo que es cierto con anterioridad al

estudio.

Hipótesis Alternativa (H1)

Es la hipótesis que se plantea para oponerla a la hipótesis nula. Es un enunciado que ofrece

una alternativa a la proposición en H0, es decir, afirma que la proposición en la hipótesis

nula es falsa. En general, se enuncia en H1 lo que se presume que está sucediendo

(actualmente) y que ha cambiado con respecto a lo que se suponía como verdadero

(anteriormente). En la práctica, esta es la hipótesis de interés para el investigador debido a

que representa generalmente la proposición hipotética que él desea probar.

Ejemplo 2:

Supóngase que una persona es llevada a juicio en un tribunal de justicia. Las hipótesis nula

y alternativa son:

H0: Es inocente

H1: Es culpable

Cuando la persona acusada es llevada ante un tribunal de justicia, en principio, goza de la

presunción de inocencia (“toda persona es inocente hasta que se demuestre lo contrario”).

Como en la hipótesis nula se enuncia lo que se asume como cierto, en este caso H0: Es

inocente.

Por otra parte, en la hipótesis alternativa se plantea lo que se presume o se cree que es la

situación actual y que ha cambiado con respecto a lo enunciado en H0 y es lo que se quiere

probar. De esta manera, debe plantearse bajo esta circunstancia que H1: Es culpable.

Por lo tanto, la acusación debe presentar evidencia suficientemente clara como para

conseguir un veredicto de culpabilidad. Puede darse el caso de que no se rechace que el

enjuiciado “sea inocente” dado que no se han presentado suficientes evidencias.

En el contexto del contraste de hipótesis clásico, la hipótesis nula se considera cierta

inicialmente. La tarea de persuadirnos de lo contrario corresponde a los datos de la muestra.

La aceptación de una hipótesis nula implica tan sólo que los datos de la muestra no

proporcionan evidencia suficiente para rechazarla. Por otro lado, el rechazo implica que la

evidencia muestral la refuta.

Tipos de Hipótesis Nula y Alternativa

Para hacer más general la exposición, se denotará por θ al parámetro poblacional de interés

(por ejemplo, la media poblacional, la varianza o una proporción) y por θ0 para designar un

valor que puede tomar el parámetro θ.

Una hipótesis nula o alternativa, puede designar un único valor, llamado θ0, para el

parámetro poblacional θ. En este caso, se dice que la hipótesis es simple. La notación

simbólica para una hipótesis de este tipo es

H0: θ = θ0

que se lee “La hipótesis nula es que el parámetro poblacional θ es igual al valor específico

θ0”. Por ejemplo, en la situación de los productos defectuosos de un gran lote, el

investigador podría comenzar el estudio con la hipótesis simple de que el porcentaje de

artículos defectuosos es igual a 5%.

Una hipótesis también puede designar un rango de valores para el parámetro poblacional

desconocido. Una hipótesis de este tipo se denomina compuesta y será cierta para más de

un valor del parámetro poblacional. Por ejemplo, la hipótesis nula de que el peso medio de

las cajas de cereales es al menos 200 gramos es compuesta. La hipótesis es cierta para

cualquier peso medio poblacional mayor o igual que 200 gramos.

En muchas situaciones, se contrasta una hipótesis nula simple, digamos, H0: θ = θ0, frente a

una alternativa compuesta. En algunos casos, sólo interesan alternativas a un lado de la

hipótesis nula. Por ejemplo, podría quererse contrastar esta hipótesis nula frente a la

hipótesis alternativa de que el verdadero valor de θ es mayor que θ0, lo cual puede escribirse

como: H1: θ > θ0

Por el contrario, la alternativa de interés puede ser: H1: θ < θ0

Las hipótesis alternativas de este tipo se denominan alternativas unilaterales. Otra

posibilidad es que se quiera contrastar esta hipótesis nula simple frente a la alternativa

general de que el valor de θ es cualquiera distinto de θ0, es decir: H1: θ ≠ θ0

Ésta se conoce como alternativa bilateral.

En resumen, se pueden tener las siguientes combinaciones de hipótesis nulas y alternativas:

1 1. H0: θ = θ0 vs. H1: θ > θ0

2 2. H0: θ = θ0 vs. H1: θ < θ0

3 3. H0: θ = θ0 vs. H1: θ ≠ θ0

4 4. H0: θ ≤ θ0 vs. H1: θ > θ0

5 5. H0: θ ≥ θ0 vs. H1: θ < θ0

6

Obsérvese que en la hipótesis nula siempre se encuentra la posibilidad de la igualdad del

planteamiento. Esto se debe a que, como se mencionó anteriormente, la hipótesis nula

inicialmente se considera cierta.

Nota 1:

La especificación de las hipótesis nula y alternativa apropiadas depende del problema.

Ejemplo 3:

Para ilustrar estos conceptos, se considerarán los ejemplos enunciados al principio de estas notas:

1. Sea θ el peso medio poblacional (en gramos) de cereales por caja. La hipótesis nula es

que esta media es al menos 200 gramos, luego se tiene la hipótesis nula compuesta:

H0: θ ≥ 200

La alternativa obvia es que el verdadero peso medio es inferior a 200 gramos, es decir,

H1: θ < 200

1 2. La compañía resuelve aceptar envíos de piezas siempre que no tenga evidencia para

sospechar que más del 5% son defectuosas. Denotando por θ la proporción poblacional

de piezas defectuosas. La hipótesis nula aquí es que esta proporción es como mucho

0.05, es decir, H0: θ ≤ 0,05.

2

Basándose en la información muestral, se contrasta esta hipótesis frente a la alternativa

H1: θ > 0,05.

La hipótesis nula, entonces, es que el cargamento de piezas tiene una calidad adecuada,

mientras que la hipótesis alternativa es que no la tiene.

1 3. Supóngase que la conjetura del profesor es que la realización de pruebas cortas

regularmente no produce diferencias en el promedio de las puntuaciones del examen

final. Denotando por θ la diferencia entre las puntuaciones medias poblacionales para

las dos partes del curso, con y sin pruebas cortas regulares. La hipótesis nula es,

entonces, una hipótesis simple:

H0: θ = 0

Sin embargo, el profesor puede sospechar que posiblemente los controles produzcan un

incremento en el promedio y, en consecuencia, querrá contrastar la hipótesis nula frente

a la hipótesis alternativa:

H1: θ > 0

Después de especificar las hipótesis nula y alternativa, y de recoger información muestral,

debe tomarse una decisión sobre la hipótesis nula. Las dos posibilidades son no rechazar

(aceptar) la hipótesis nula o rechazarla en favor de la alternativa. Con el fin de llegar a una

de estas conclusiones, se adopta una regla de decisión basada en la evidencia muestral.

Más adelante se estudiaran reglas de decisión concretas.

Tipos de Errores que se pueden cometer en un Contraste de Hipótesis

Si sólo se dispone de una muestra de la población, entonces el parámetro poblacional no se

conocerá con exactitud (¿Por qué?). Por consiguiente, no se puede saber con seguridad si la

hipótesis nula es cierta o falsa. Por tanto, cualquier regla de decisión adoptada tiene cierta

probabilidad de llegar a una conclusión errónea sobre el parámetro poblacional de interés.

Existen dos tipos de errores que son inherentes al proceso de contraste de hipótesis:

• Error Tipo I: Consiste en rechazar la hipótesis nula (H0) cuando realmente es cierta

• Error Tipo II: Consiste en aceptar la hipótesis nula (H0) cuando realmente es falsa

Si la regla de decisión es tal que P(cometer Error Tipo I ) = α, es decir, la probabilidad de

rechazar la hipótesis nula cuando es cierta es α, entonces α se llama nivel de significación

del contraste. Nótese que α es una probabilidad condicional,

P(Rechazar H0 / H0 es cierta) = α

Puesto que la hipótesis nula tiene que ser aceptada o rechazada, la probabilidad de aceptar

la hipótesis nula cuando es cierta es (1− α), es decir,

P(Aceptar H0 / H0 es cierta) = 1−α.

Por otro lado, la P(cometer Error Tipo II) = β, es decir, la probabilidad de aceptar una

hipótesis nula falsa se denota por β. También puede verse como,

P(Aceptar H0 / H0 es falsa) = β

Entonces, la probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa es (1−β), y se denomina

potencia del contraste. Visto como una probabilidad condicional,

P(Rechaza H0 / H0 es falsa) = 1−β.

En la Tabla 1 se resumen las situaciones posibles en un contraste de hipótesis al tomar la

decisión sobre la hipótesis nula.

Tabla 1.Situación Real y decisiones sobre la hipótesis nula, con las probabilidades

Asociadas a cada decisión, dada una determinado situación real

DECISIONES SOBRE LA HIPÓTESIS NULA

SITUACIÓN REAL

H0 VERDADERA H0 FALSA

ACEPTAR H0

Decisión correcta

Probabilidad = 1− α

Error Tipo II

Probabilidad = β

RECHAZAR H0 Error Tipo I

Probabilidad = α

Decisión correcta

Probabilidad = 1−β

Ejemplo 4:

Haciendo referencia al ejemplo del juicio, se aclararán estas ideas. Se tiene que determinar

si la persona llevada a juicio a un tribunal de justicia es inocente o culpable. Como se

estableció más atrás, se consideró como hipótesis nula el que esta persona es inocente

contrastándose con la hipótesis alternativa de que es culpable. Cuando la decisión es

tomada se está en presencia de las situaciones expuestas en la Tabla 1.

Si el veredicto es que el acusado es declarado culpable, es decir, se rechaza H0, entonces

esta decisión puede ser la correcta si efectivamente esta persona es culpable. O por el

contrario, se puede estar ante la presencia de un Error Tipo I que en este caso significa que

¡se está condenando a una persona inocente!

Pero, si el veredicto declara que el acusado es inocente, en otras palabras, se acepta H0, esta

puede ser la decisión correcta si ciertamente esta persona no cometió el delito. O se puede

estar cometiendo un Error Tipo II, lo cual implica que ¡se está declarando inocente a una

persona que realmente es culpable!

Ejercicio

¿Cuál de los dos errores anteriores es más grave? Justifique su respuesta.

Influencia de las Probabilidades α y β sobre una Prueba de Hipótesis

Evidentemente, lo ideal sería que las probabilidades de los dos tipos de error fuesen lo más

pequeñas posible. Sin embargo, hay una clara compensación entre las dos. Cuando se ha

tomado una muestra, cualquier modificación de la regla de decisión que haga menos

probable rechazar una hipótesis nula cierta, inevitablemente, se traducirá en mayor

probabilidad de aceptar esta hipótesis cuando es falsa. En otras palabras, cuando α decrece,

β aumenta y viceversa.

Supóngase que se quiere contrastar, basándose en una muestra aleatoria, la hipótesis nula

de que el verdadero peso medio del contenido de las cajas de cereales es al menos de 200

gramos: H0: θ ≥ 200. Dado un tamaño muestral específico, digamos n = 30 observaciones,

se puede adoptar la regla de decisión de “rechazar la hipótesis nula si el peso medio en la

muestra es inferior a 185 gramos”. Ahora, es fácil encontrar otra regla de decisión para la

cual, la probabilidad de cometer un error de Tipo I es menor. Si se modifica la regla de

decisión anterior para “rechazar la hipótesis nula si el peso medio en la muestra es inferior a

180 gramos”, se conseguirá este objetivo.

Sin embargo, hay que pagar un precio. Si se usa la regla de decisión modificada, será más

probable aceptar la hipótesis nula, tanto si es cierta como si es falsa (¿Por qué?) Por tanto,

al disminuir la probabilidad de cometer un error de Tipo I, se ha aumentado la probabilidad

de cometer un error de Tipo II. La única manera de disminuir simultáneamente las dos

probabilidades de error será obtener más información sobre la verdadera media de la

población, tomando una muestra mayor. Habitualmente, lo que se hace en la práctica, es

fijar la probabilidad de cometer un error de Tipo I a un nivel deseado, es decir, se fija el

nivel de significación α. Esto determina, entonces, la regla de decisión adecuada, que a su

vez determina la probabilidad de un error de Tipo II. Este procedimiento se ilustra en la

Figura 2.

Para ilustrar este procedimiento, considérese de nuevo el problema de contrastar, a partir de

una muestra de 30 observaciones, si el verdadero peso medio de las cajas de cereales es al

menos de 200 gramos. Dada una regla de decisión, se pueden determinar las probabilidades

de los errores de Tipo I y de Tipo II asociadas al contraste. Sin embargo, en realidad, se

procede fijando primero la probabilidad de error de Tipo I. Supóngase, por ejemplo, que se

quiere asegurar que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta sea como

mucho 0,05. Esto se puede conseguir eligiendo un número, k, apropiado a la regla de

decisión “rechazar la hipótesis nula si la media muestral es inferior a k gramos” (más

adelante se explicará cómo se puede hacer esto). Una vez elegido el número k, pueden

calcularse las probabilidades del error de Tipo II usando los procedimientos que se

expondrán más adelante. Así se puede observar que la regla de decisión queda determinada

por el nivel de significación elegido.4

1

Nota 2:

Al usar el criterio de fijar la probabilidad de error Tipo I, α, para encontrar una regla de

decisión; implícitamente se está considerando a este error más grave que el error Tipo II.

Así, al fijar α en un valor pequeño, el investigador está controlando directamente la

probabilidad de cometer un error Tipo I. Por tal razón, al plantear las hipótesis siempre hay

que hacerlo tomando en cuenta esto último, es decir, que “rechazar la hipótesis nula cuando

es cierta” es un error más grave que “aceptar la hipótesis nula cuando es falsa”.

Terminología adicional en el contraste de hipótesis

Estadístico de Contraste (o de Prueba)

Es aquella función de las observaciones muestrales que se usa para determinar si la

hipótesis nula debe ser aceptada o rechazada.

Regla de Decisión

Una regla de decisión define las condiciones que llevan a la aceptación o rechazo de la

hipótesis nula.

Región de Aceptación

Es un rango de valores, tal que si el estadístico de prueba queda dentro, la hipótesis nula se

declara aceptable.

Región de Rechazo

Es un rango separado de valores, tal que si el estadístico de prueba queda dentro, la

hipótesis nula se rechaza.

Valor(es) Crítico(s)

Los valores críticos son los números que definen las fronteras de la región de rechazo.

¿Cómo establecer los valores críticos?

Va a depender del:

1 1. nivel de significación, α.

2 2. tipo de distribución de probabilidad del estadístico de contraste

3 3. tipo de hipótesis alternativa que se esté contrastando (bilateral o unilateral)

Los valores críticos pertenecen a la región de rechazo. En la Figura 3 de forma ilustrativa se

pueden apreciar las regiones de aceptación y rechazo, como también los valores críticos

para las diferentes hipótesis alternativas.

Nota 3:

Los términos aceptar (no rechazar) y rechazar son comúnmente usados para las posibles

decisiones sobre la hipótesis nula en los resúmenes formales de los resultados de un

contraste particular. Sin embargo, estos términos no reflejan adecuadamente las

consecuencias de un procedimiento en el que se fija el nivel de significación y no se

controla la probabilidad de un error de Tipo II. Como ya se ha señalado, la hipótesis nula

tiene estatus de hipótesis mantenida, una hipótesis que se considera cierta salvo que los

datos contengan suficiente evidencia en contra. Además, al fijar el nivel de significación,

generalmente en alguna probabilidad pequeña, se está asegurando que el riesgo de rechazar

una hipótesis nula cierta sea pequeño.

Con esta estructura, una pequeña cantidad de datos no será suficiente para poderse colocar

en posición de rechazar una hipótesis nula, aunque sea completamente errónea. Cuando

aumenta el número de observaciones, es decir, aumenta el tamaño de la muestra, también lo

hace la capacidad de la técnica de contraste para detectar una hipótesis nula falsa. Por tanto,

al “aceptar” una hipótesis nula, no se está asegurando necesariamente, que haya mucho en

su favor. Una afirmación más precisa sobre la situación es “los datos disponibles no

proporcionan suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula” en lugar de “se acepta la

hipótesis nula”.

Se seguirá usando “aceptar” como una manera eficiente de expresar esta idea, pero es

importante tener en cuenta la interpretación de la frase. La situación es muy similar a la de

un tribunal de justicia, donde el acusado, al principio, goza de la presunción de inocencia, y

la acusación debe presentar evidencia contraria lo suficientemente clara como para

conseguir un veredicto de culpabilidad. En el contexto del contraste de hipótesis clásico, la

hipótesis nula se considera cierta inicialmente. La tarea de persuadir de lo contrario

corresponde a los datos de la muestra.5

Casos Particulares

A continuación se introducirá la metodología del contraste de hipótesis clásico. Supóngase

que se dispone de una muestra aleatoria de n observaciones, X1, X2, … , Xn, proveniente de

una población con media μ y varianza σ2. ( También la varianza se denota S2 )

1. Contrastes para la Media Poblacional

El objetivo es contrastar una hipótesis sobre la media poblacional desconocida.

Asumiendo:

• Población con distribución normal

• Varianza poblacional, σ2, conocida

Se comenzará con el problema de contrastar la hipótesis nula de que la media poblacional

es igual a cierto valor, μ0. Esta hipótesis se representa:

H0: μ = μ0

Supóngase que la hipótesis alternativa de interés es que la media poblacional supera este

valor específico, es decir, H1: μ > μ0

Es natural que el contraste sobre la media poblacional, se base en la media muestral . En

este caso particular, el investigador desconfiará de la veracidad de una hipótesis nula, frente

a esta alternativa, si la media muestral observada fuese mucho mayor que μ0.

La idea es buscar la forma de un contraste con un nivel de significación α prefijado.

digamos representada por la v. a. X, se distribuye normalmente, X ~ N(μ, σ2). Por tal

razón, la variable aleatoria ( v . a).

Cuando la hipótesis nula es cierta, μ es igual μ0, y en consecuencia, la variable aleatoria

La variable Z de la ecuación (1) es lo que se llamará Estadístico de Contraste en este caso

particular.

Ahora, se rechazará la hipótesis nula si la media muestral es mucho mayor que el valor μ0

postulado para la media poblacional. Por tanto, H0 será rechazada si se observa un valor alto

para el estadístico de contraste en la ecuación (1)

Se quiere fijar en α la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta. Al igual

que en la parte correspondiente a intervalos de confianza, se denotará por zα el número para

el cual P(Z > zα) = α

que significa, que cuando la hipótesis nula es cierta, la probabilidad de que el estadístico de

prueba Z sea mayor que zα es α.

Por tanto, denotando por a la media muestral observada y si se adopta la siguiente regla

de decisión:

entonces la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta será α, luego α es el nivel de

significación del contraste basado en esta regla de decisión.

Esta situación se observa en la Figura 4, la cual ilustra la distribución muestral del

estadístico de contraste en ecuación (1) cuando la hipótesis nula es cierta, mediante un

gráfico de su función de densidad. En la figura se señala el valor crítico zα, tal que la

probabilidad de superarlo, cuando la hipótesis nula es cierta, es el nivel de significación del

contraste. Esto significa que la probabilidad de obtener un resultado muestral en la

correspondiente región de rechazo, área sombreada de la figura, debe ser α cuando la

hipótesis nula es cierta

Ejemplo 5:

Cuando un proceso de producción de bolas de rodamiento funciona correctamente, el peso

de las bolas tiene una distribución normal con media cinco gramos y desviación estándar

0,1 gramos. Se lleva a cabo una modificación del proceso, y el director de la fábrica

sospecha que esto ha incrementado el peso medio de las bolas producidas, sin modificar la

desviación estándar. Se toma una muestra aleatoria de 16 bolas, y se comprueba que su

peso medio es de 5,038 gramos.

a. ¿Son válidas las sospechas del director de la fábrica? Use un nivel de significación del

5%

b. Responda la pregunta anterior usando, ahora, un nivel de significación del 10%

Solución:

a. Población: Peso (en gramos) de las bolas de rodamiento producidas en una fábrica

Denotando por μ el peso medio (en gramos) de las bolas de rodamientos, se quiere

contrastar H0: μ = 5 frente a H1: μ > 5

¿Por qué son esas las hipótesis?

La regla de decisión es:

De esta manera,

Para un contraste de nivel 5%, en las tablas estadísticas se puede hallar que

Z0,05 = 1,645

Como 1,52 no es mayor que 1,645, no se puede rechazar la hipótesis nula para un nivel de

significación del 5%, es decir, se acepta la hipótesis nula con este nivel de significación. En

otras palabras, si se usa un contraste que nos asegure que la probabilidad de rechazar la

hipótesis nula cuando es cierta es 0,05; los datos de la muestra no contienen suficiente

evidencia como para rechazar esta hipótesis.

En términos del problema, se puede decir que no se han encontrado evidencias en la

muestra que apoyen la sospecha del director de la fábrica en cuanto a que las

modificaciones en el proceso han incrementado el peso medio de las bolas de rodamiento

producidas.

b. Para un contraste de nivel 10%, se tiene que

Z0,10 = 1,28

Como 1,52 es mayor que 1,28, se rechaza la hipótesis nula para un nivel de significación

del 10%. Hasta aquí, existe una cierta evidencia en los datos que sugiere que el verdadero

peso medio supera los 5 gramos.

¿Qué es lo que se entiende por el rechazo de una hipótesis nula?

En el ejemplo anterior, la hipótesis de que el peso medio en la población es 5 gramos fue

rechazada por un contraste con nivel de significación 0,1. Desde luego, esto no significa

que se haya probado que la verdadera media supera los 5 gramos. Partiendo sólo de la

información muestral, nunca será posible asegurar nada sobre un parámetro poblacional.

Por el contrario, se puede pensar que los datos suscitan cierta duda sobre la veracidad de la

hipótesis nula. Si esta hipótesis fuese cierta, entonces el valor observado representaría

una observación de una distribución normal estándar

.Al contrastar hipótesis, lo que realmente se está cuestionando es la verosimilitud

(probabilidad) de observar un valor tan extremo si la hipótesis nula fuese cierta.

En el ejemplo anterior, se vio que la probabilidad de observar un valor mayor que 1,28 es

0,1. Por tanto, al rechazar la hipótesis nula, se está diciendo que la hipótesis nula es falsa o

que se ha observado un suceso poco verosímil (que ocurriría sólo con la probabilidad que

especifica el nivel de significación). Es en este sentido en el que la información muestral

despierta dudas sobre la hipótesis nula.

Obsérvese que en el último ejemplo, la hipótesis nula fue rechazada al nivel de

significación 0,10 pero no fue rechazada al menor nivel 0,05. Al rebajar el nivel de

significación, se está reduciendo la probabilidad de rechazar un hipótesis nula cierta y, en

consecuencia, se está modificando la regla de decisión para hacer menos verosímil que se

rechace la hipótesis nula, tanto si es cierta como si no.

Obviamente, cuanto menor sea el nivel de significación al cual puede rechazarse una

hipótesis nula, mayor será la duda sobre su veracidad. En lugar de contrastar hipótesis con

niveles de significación asignados de antemano, los investigadores suelen determinar el

menor nivel de significación al cual puede rechazarse la hipótesis nula.

Valor p

Es el nivel de significación más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis nula H0.

El valor p señala la probabilidad (suponiendo que H0 sea cierta) de obtener un valor del

estadístico de prueba, por lo menos tan extremo como el obtenido.

Por tanto, de acuerdo con la regla de decisión en el problema anterior, se rechaza la

hipótesis nula para cualquier nivel de significación α tal que zα sea mayor que 1,52. El

valor p del contraste viene dado en este caso por p = P(Z>1.52), que al usar las tablas

estadísticas se encuentra que p = 0,0643. La implicación es que la hipótesis nula puede ser

rechazada para todos los niveles de significación mayores que 6,43%.

Este procedimiento compara la probabilidad, llamada valor p, con el nivel de significancia

α. Si el citado valor p es menor que dicho nivel, H0 se rechaza. Si tal valor es mayor que el

nivel en cuestión, H0 se acepta.

Interpretación del peso de las evidencias contra H0

Si el valor p es menor que6:

a. 0.10, se tiene regular evidencia de que H0 no es verdadera.

b. 0.05, se tiene fuerte evidencia de que H0 no es verdadera.

c. 0.01, se tiene muy fuerte evidencia de que H0 no es verdadera.

d. 0.001, se tiene evidencia extremadamente fuerte de que H0 no es verdadera.

Nota 4:

En los últimos años este concepto ha adquirido gran relevancia. Todos los programas

estadísticos modernos proporcionan valores p, y algunas calculadoras de bolsillo permiten

su cómputo. En consecuencia, actualmente, los estudios aplicados suelen proporcionar

valores p.

Supóngase ahora, que en lugar de una hipótesis nula simple, se quiere contrastar la

hipótesis nula compuesta frente a la alternativa: H0: μ ≤ 5 vs H1: μ > 5

al nivel de significación α. Para la regla de decisión desarrollada en el caso de la hipótesis

nula simple, se vio que si la media de la población es precisamente μ0, entonces la

probabilidad de rechazar la hipótesis nula es α. Para esta misma regla de decisión, si la

verdadera media de la población es menor que μ0, parece aún menos verosímil rechazar la

hipótesis nula. Por tanto, usar esta regla de decisión en el presente contexto garantiza que la

probabilidad de rechazar la hipótesis nula compuesta cuando es cierta es como mucho α.

Supóngase ahora, que en lugar de una hipótesis nula simple, se quiere contrastar la

hipótesis nula compuesta H0: μ ≤ 5 frente a alternativa H1: μ > 5

al nivel de significación α. Para la regla de decisión desarrollada en el caso de la hipótesis

nula simple, se vio que si la media de la población es precisamente μ0, entonces la

probabilidad de rechazar la hipótesis nula es α. Para esta misma regla de decisión, si la

verdadera media de la población es menor que μ0, parece aún menos verosímil rechazar la

hipótesis nula. Por tanto, usar esta regla de decisión en el presente contexto garantiza que la

probabilidad de rechazar la hipótesis nula compuesta cuando es cierta es como mucho α.

6 Tomado de Mason-Lind-Marchal. Estadística para Administración y Economía. Pág. 322.

Procedimiento general para la prueba de hipótesis

Pasos para la contratación de una hipótesis:

1 1. Formulación de hipótesis

2 2. Especificación de un valor de probabilidad crítico o nivel de significación.

3 3. Elección de un estadístico de la muestra y de su distribución para someter a prueba

las hipótesis.

4 4. Establecimiento de una zona de rechazo para Ho.

5 5. Cómputos necesarios.

6 6. Decisión.

Tabla 1 Parámetros y estadísticos de prueba mas comunes

Tabla 2 Estadísticos de prueba para algunos parámetros poblacionales

Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional cuando la muestra

proviene de una población distribuida normalmente y con varianza conocida.

Ejemplo. Un médico traumatólogo afirma que el contenido de calcio en

los huesos de mujeres que padecen osteoporosis después de aplicársele

cierto tratamiento es mayor al valor promedio observado para la

población femenina que padece está enfermedad, el cual se sabe es

igual a 270 mg/g con una desviación de 120 mg/g. Para probar su

premisa el investigador determinó el contenido de calcio en los huesos

de 36 individuos que fueron sometidos al tratamiento y pudo determinar

que dicha muestra arroja un valor promedio de calcio igual a 310 mg/g.

La concentración de calcio es una variable que se distribuye

normalmente.

Las hipótesis de investigación son las siguientes:

Ho : El tratamiento para la osteoporosis no tiene ningún efecto

H1 : El tratamiento para la osteoporosis aumenta los niveles de calcio en

los huesos.

Prueba de las hipótesis estadísticas

a. Formulación de hipótesis. Ho : μ = 270 frente a H1 : μ > 270

b. Especificación de un valor de probabilidad crítico o nivel de

significación. α = 0.05

c. Elección de un estadístico de la muestra y de su distribución para

someter a prueba las hipótesis.

Puesto que el parámetro involucrado en la docimasia es la media

poblacional μ, y la variable se distribuye normalmente con varianza

conocida lo más conveniente es usar como estadístico de prueba la

media muestral en su forma derivada Z.

d. Establecer una zona de aceptación para Ho.

Como H1: μ > μo se trata de una prueba de una cola hacia la derecha,

siendo la zona de aceptación la siguiente: ZA = Z / Z < z (1−α)

e. Cómputos (cálculos) necesarios:

f. Decisión:

Como z = 2 > z(0.95) = 1.65 el valor del estadístico de prueba se

encuentra dentro de la zona de rechazo. Por lo tanto se concluye que

los datos proporcionan suficiente evidencia para rechazar Ho.

La información obtenida de la muestra permite afirmar que se tiene

un 95% de confianza que el tratamiento aplicado a los pacientes

enfermos de osteoporosis aumenta el nivel de calcio en los tejidos

óseos.

La información obtenida de la muestra permite afirmar que se tiene un 95% de confianza

que el tratamiento aplicado a los pacientes enfermos de osteoporosis aumenta el nivel de

calcio en los tejidos óseos.

Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional cuando la muestra

proviene de una población distribuida normalmente, con varianza desconocida

y tamaño de muestra grande (n > 30).

Ejemplo. Un entomólogo sospecha que en cierta zona endémica para el

dengue el valor de la tasa neta reproductiva (Ro) de una población del

mosquito Aedes aegypti vector de dicha enfermedad, ha cambiado en

relación con el valor determinado hace 5 años el cual era igual a 205

individuos. Con tal propósito determinó el valor de Ro a 40 hembras

criadas en el laboratorio y pertenecientes a una cepa desarrollada a

partir de mosquitos capturados en la zona estudiada. Los resultados

fueron los siguientes:

El investigador sabe que la variable se distribuye normalmente y quiere someter a prueba su

hipótesis no queriendo equivocarse en más del 5% de las veces.

Las hipótesis de investigación son las siguientes:

Ho : La tasa neta de reproducción no ha cambiado

H1 : La tasa neta de reproducción se modificó después de cinco años.

Prueba de las hipótesis estadísticas

a. Formulación de hipótesis

Ho : μ = 205

H1 : μ ≠ 205 (Analice porque la hipótesis alternativa es de diferencia)

b. Especificación de un valor de probabilidad crítico o nivel de significación.

El nivel de significación especificado es α = 0.05

c. Elección de un estadístico de la muestra y de su distribución para someter a prueba las

hipótesis.

Puesto que el parámetro involucrado en la docimasia es la media poblacional μ, y la

variable se distribuye normalmente con varianza desconocida y el tamaño de la muestra

grande lo más conveniente es usar como estadístico de prueba la media muestral en su

forma derivada Z. El valor de la desviación de la muestra se usa para estimar el

valor de σ.

d. Establecer una zona de aceptación para Ho.

Como H1: μ ≠ μo se trata de una prueba de dos colas, siendo la zona de aceptación la siguiente:

ZR = Z / -z(1−α/2) < Z < z (1−α/2)

e. Cómputos necesarios.

e.1) Media: 202.9

e.2) Desviación estándar: s = 36.17 e.3) Estadístico de prueba:

e.4) Zona de aceptación: ZA = Z / -z(1−α/2) < Z < z (1−α/2) = Z / -z (0.975) < Z < z (0.975) = Z / -1.96 <

Z < + 1.96

f. Decisión:

Como z = -0.35, el valor del estadístico de prueba se encuentra dentro de la zona de aceptación de Ho. Por lo tanto se concluye que los datos no proporcionan suficiente evidencia para rechazar Ho

La sospecha del investigador que la tasa de reproducción de la población de mosquito se

había modificado fue rechazada con un 95% de confianza a la luz de la información

proporcionada por la muestra.

Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional cuando la muestra proviene de

una población distribuida normalmente, con varianza desconocida y tamaño de

muestra pequeño (n < 30).

Ejemplo. Un ecofisiólogo vegetal desea verificar si el contenido de nitrógeno en las hojas

jóvenes de la especie Rhizophora mangle, es menor en las plantas que viven en una zona

ambientalmente protegida con relación al de plantas que viven en una zona que está siendo

afectada por la contaminación con fertilizantes y cuyo valor promedio se cuantificó en 14.6

mg/g de nitrógeno. El análisis de 25 hojas jóvenes provenientes de la zona protegida

produjo los resultados siguientes:

Si la concentración de nitrógeno se distribuye normalmente, ¿apoya la evidencia

proporcionada por la muestra la presunción que las plantas de la zona protegida contienen

menos nitrógeno?. El error tipo I no debe ser mayor al 1%.

Las hipótesis de investigación son las siguientes:

Ho : La concentración de nitrógeno en las hojas jóvenes de Rhizophora mangle en ambas

regiones es la misma

H1 : La concentración de nitrógeno en las hojas jóvenes de Rhizophora mangle es menor en

la región protegida.

Prueba de las hipótesis estadísticas

a. Formulación de hipótesis

Ho : μ = 14.6

H1 : μ < 14.6

b. Especificación de un valor de probabilidad crítico o nivel de significación.

El nivel de significación especificado es α = 0.01

c. Elección de un estadístico de la muestra y de su distribución para someter a prueba las

hipótesis.

Puesto que el parámetro involucrado en la docimasia es la media poblacional μ, y la

variable se distribuye normalmente con varianza desconocida y el tamaño de la muestra

es pequeño lo más conveniente es usar como estadístico de prueba la media muestral en

su forma derivada T. El valor de la desviación de la muestra se usa para estimar el

valor de σ.

1

d. Establecer una zona de aceptación para Ho.

Como H1: μ < μo se trata de una prueba de una cola hacia la izquierda, siendo la zona

de aceptación la siguiente:

ZA = T / T > - t ( 1−α; n-1)

e. Cómputos necesarios.

e.1) Media: x= 10.48

e.2) Desviación estándar: s = 2.41

e.3) Estadístico de prueba:

e.4) Zona de aceptación:

ZA = T / T > -t(1−α; n-1) = T / T > -t(0.99; 24) = T / T > -2.492

1 f. Decisión:

Como t = - 8.55 < -t(0.99; 24) = -2.492 el valor del estadístico de prueba se encuentra

dentro de la zona de rechazo de Ho. Por lo tanto se concluye que los datos

proporcionan suficiente evidencia para rechazar Ho

De acuerdo a la información obtenida de la muestra se puede afirmar con un 99%

de confianza que la concentración de nitrógeno en las hojas jóvenes de

Rhizophora mangle en ambas regiones es la misma.

Regresión y Correlación Lineal Simple

Si sabemos que existe una relación entre una variable denominada dependiente y otras

denominadas independientes (como por ejemplo las existentes entre: la experiencia

profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos, las estaturas y pesos de

personas, la producción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc.), puede

darse el problema de que la dependiente asuma múltiples valores para una combinación

de valores de las independientes.

La dependencia a la que hacemos referencia es relacional matemática y no

necesariamente de causalidad. Así, para un mismo número de unidades producidas,

pueden existir niveles de costo, que varían empresa a empresa.

Si se da ese tipo de relaciones, se suele recurrir a los estudios de regresión en los cuales

se obtiene una nueva relación pero de un tipo especial denominado función, en la cual la

variable independiente se asocia con un indicador de tendencia central de la variable

dependiente. Cabe recordar que en términos generales, una función es un tipo de

relación en la cual para cada valor de la variable independiente le corresponde uno y

sólo un valor de la variable dependiente.

Regresión Lineal Simple y Correlación

La Regresión y la correlación son dos técnicas estadísticas que se pueden utilizar para

solucionar problemas comunes.

Muchos estudios se basan en la creencia de que es posible identificar y cuantificar

alguna Relación Funcional entre dos o más variables, donde una variable depende de la

otra variable.

Se puede decir que Y depende de X, en donde Y y X son dos variables cualquiera en un

modelo de Regresión Simple.

"Y es una función de X"

Y = f(X)

Como Y depende de X, Y es la variable dependiente, y X es la variable independiente.

En el Modelo de Regresión es muy importante identificar cuál es la variable

dependiente y cuál es la variable independiente.

En el Modelo de Regresión Simple se establece que Y es una función de sólo una

variable independiente, razón por la cual se le denomina también Regresión Bivariada

porque sólo hay dos variables, una dependiente y otra independiente y se representa así:

Y = f (X)

"Y depende de X"

La variable dependiente es la variable que se desea explicar, predecir. También se le

llama Variable Respuesta.

La variable Independiente X se le denomina Variable Explicativa y se le utiliza para

Explicar Y.

Análisis Estadístico: Regresión Lineal Simple

En el estudio de la relación funcional entre dos variables poblacionales, una variable X,

llamada independiente, explicativa o de predicción y una variable Y, llamada

dependiente o variable respuesta, presenta la siguiente notación:

Y = A + B X + E

Donde:

A es el valor de la ordenada donde la línea de regresión se intercepta con el eje

Y.

B es el coeficiente de regresión poblacional (pendiente de la línea recta)

E es el error.

Suposición de la regresión Lineal

1.Los valores de la variable independiente X son fijos, medidos sin error.

2.La variable Y es aleatoria

3.Para cada valor de X, existe una distribución normal de valores de Y

(subpoblaciones Y)

4.Las variancias de las subpoblaciones Y son todas iguales.

5.Todas las medias de las subpoblaciones de Y están sobre la recta.

6.Los valores de Y están normalmente distribuidos y son estadísticamente

independientes.

Estimación de la ecuación de regresión muestral

Consiste en determinar los valores de "a" y "b" a partir de la muestra, es decir, encontrar

los valores de a y b con los datos observados de la muestra. El método de estimación es

el de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se obtiene:

Luego, la ecuación de regresión muestral estimada es:

Interpretación de:

a es el estimador de A. Es el valor estimado de la variable Y cuando la variable X = 0

b es el estimador de B , es el coeficiente de regresión. Está expresado en las mismas

unidades de Y por cada unidad de X. Indica el número de unidades en que varía Y

cuando se produce un cambio, en una unidad, en X (pendiente de la recta de regresión).

Un valor negativo de b sería interpretado como la magnitud del decremento en Y por

cada unidad de aumento en X.

Ejemplo

Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de

una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el

peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando:

X 152 155 152 155 157 152 157 165 162 178 183 178

Y 50 61.5 54.5 57.5 63.5 59 61 72 66 72 84 82

Con estos datos vamos a plantear una ecuación de regresión simple que nos permita

pronosticar los pesos conociendo las estaturas.

Desarrollo:

• Representación matemática y gráfica de los datos:

Representación Matemática

estatura pesos Regresión Lineal

I.C. para la

media

I. C. individual

datos x y x ^2 y ^2 xy y est. Residual L. I. L. S. L. I. L. S.

1 152 50 23104 2500 7600 56.43 -6.43 53.07 59.79 47.30 65.56

2 155 61.5 24025 3782.3 9532.5 59.03 2.47 56.09 61.97 50.05 68.02

3 152 54.5 23104 2970.3 8284 56.43 -1.93 53.07 59.79 47.30 65.56

4 155 57.5 24025 3306.3 8912.5 59.03 -1.53 56.09 61.97 50.05 68.02

5 157 63.5 24649 4032.3 9969.5 60.77 2.73 58.05 63.48 51.85 69.68

6 152 59 23104 3481 8968 56.43 2.57 53.07 59.79 47.30 65.56

7 157 61 24649 3721 9577 60.77 0.23 58.05 63.48 51.85 69.68

8 165 72 27225 5184 11880 67.71 4.29 65.17 70.24 58.85 76.57

9 162 66 26244 4356 10692 65.11 0.89 62.65 67.56 56.27 73.94

10 178 72 31684 5184 12816 78.99 -6.99 74.65 83.33 69.45 88.52

11 183 84 33489 7056 15372 83.32 0.68 78.01 88.64 73.31 93.34

12 178 82 31684 6724 14596 78.99 3.01 74.65 83.33 69.45 88.52

Representación Gráfica

• De acuerdo al desarrollo matemático hemos obtenido los siguientes cálculos:

Lo que nos permite obtener los coeficientes a y b.

Luego,

b = 1223 / 1409.667 = 0.8676

a = 65.25 – (0.8676) (162.167) = -75.446

Interpretación:

• La ecuación de regresión estimada es:

Coeficiente de correlación: R= 0.9379

Coeficiente de determinación: R²=0.8796

El valor de b = 0.8676 indica el incremento del peso en kilogramos, en promedio, por

cada centímetro de aumento en la estatura de los hombres adultos.

El valor de a, no tiene interpretación práctica en el ejemplo, se interpretaría como el

valor obtenido, en promedio, para el peso Y, cuando la estatura es 0.

Utilizando la ecuación de regresión para estimar o predecir valores de la variable Y:

Para una talla de 180 se obtiene un peso de 80.7 kg.

¿Cuánto se espera que pese (en promedio) una persona que mide 1.60 m?

Sustituyendo el valor de interés en la ecuación:

Se obtiene:

Conclusión:

De acuerdo a la gráfica de dispersión y la ecuación de Regresión Lineal estimada para

las variables estatura y peso muestran, que las variables peso y estatura están

correlacionadas.

Esta relación se ha estimado en un R = 93.7, que indica una fuerte relación positiva.

Además si consideramos el coeficiente de determinación R² = 87.9 podemos indicar que

el 87.9% de las variaciones que ocurren en el peso se explicarían por las variaciones en

la variable estatura.

FUENTES CONSULTADAS:

1 Armas, J. (1992) Estadística Sencilla. Probabilidades. Mérida:

FACES-ULA.

2 Newbold, P. (1998) Estadística para los Negocios y la

Economía. Madrid: Prentice Hall.

3 Ya-Lun Chou. (1992) Análisis Estadístico. México: Editorial

Interamericana.

4 Walpole, R. y Myers, R. (1992) Probabilidad y Estadística.

México, D.F.: Editorial Interamericana.

5 Canavos, G. (1988) Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y

Métodos. España: McGraw-Hill / Interamericana.

6 Berenson, M., Levine, D. y Krehbiel, T. (2001) Estadística

para Administración. México: Pearson Educación.

7 Mason, R., Lind, D. y Marchal, W. (2001) Estadística para

Administración y Economía. México, D.F.: Alfaomega.

8 Stevenson,. W. (1981) Estadística para Administración y

Economía. México, D.F.: Harla.

9 Montgomery, D. y Runger, G. (2000) Probabilidad y

Estadística: aplicadas a la Ingeniería. México, D.F.: McGraw-Hill /

Interamericana.

10 amsey, F. y Schafer, D. (2002) The Statistical Sleuth. USA:

Duxbury.

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